{ x n } = {,1.1, 0.2,2.1,3.0, 1.2, }

Transkrypt

1 CPS 6/7 Defiicje: SYGNAŁY DYSKRETNE USygały dyskree w czasieu rerezeowae są rzez ciągi liczb i ozaczae jako {x[]} Elemey ych ciągów azywa się UróbkamiU, warości róbek sygałów ozacza się jako x[] dla całkowiych w zakresie < < Sygały dyskree w czasie mogą być zaisae:. jako zależości ozwalające obliczyć -ą warość ciągu. Na rzykład: lub ( ) 3 x = < { x } ( ) =,,,,,. jako lisy warości ciągów. Na rzykład: { x } = {,.,.,.,3.,., } gdzie srzałka ozacza róbkę o ideksie =, lub x =., x =., x = 3. UGraficza rerezeacja sygału dyskreego w czasieu: MATLAB clear; =-8::7; x=.+si(.3*); lo(,x); grid

2 CPS 6/ T x[-3]=x a (-3T) Sygał dyskrey ajczęściej orzymuje się w wyiku Uróbkowaia w rówych odsęach czasuu sygału ciągłego w czasie (aalogowego). Wedy -ą róbkę oisuje zależość: () a( ),,,,,,, x x x T = a = T = = Odległość między kolejymi róbkami ( TB B) azywa się Urzedziałem róbkowaiau lub Uokresem róbkowaiau. Odwroość okresu róbkowaia osi azwę Uczęsoliwości róbkowaiau i ozacza się jako fbb f = T Klasyfikacja: URzeczywise i zesoloe sygały: Ze względu a y warości róbek sygały dzielimy rzeczywise i zesoloe. W wielu alikacjach cyfrowego rzewarzaia sygały zesoloe mają duże zasosowaie. Sygały zesoloe wyraża się jako sumę części rzeczywisej i urojoej: z = x + jy

3 CPS 3 6/7 lub w osaci wykładiczej: z = z jarg ( z e ) UDeermiisycze i rzyadkowe Sygały UdeermiisyczeU są sygałami, kórych warości są zae dla każdej chwili czasu. Sygały akie moża zamodelować jako fukcje czasu. Sygały UrzyadkoweU osiadają rzyadkowe warości i muszą być oisywae saysyczie. Program wykładu ie obejmuje klasy sygałów rzyadkowych. UParzyse i iearzyse Sygał x[] azywa się UarzysymU jeżeli: x = x x[] Sygał x[] azywa się UiearzysymU jeżeli: x x = x[]

4 CPS 4 6/7 UOkresowe i ieokresowe Sygał dyskrey x[] azywa się UokresowymU z okresem N (N jes dodaią liczbą całkowią) jeżeli: x + N = x dla wszyskich x[] -N N N USygały o skończoej eergii i skończoej mocy: Jeżeli rąd i łyący rzez rezysor o warości R wywołuje sadek aięcia u o chwilowa moc a jedoskę rezysacji jes defiiowaa jako: () = ( ) u ( ) i () = i Wedy eergia całkowia a jedoskę rezysacji wyosi: E = R i ( ) oraz średia moc a jedoskę rezysacji wyosi: P T T / d = lim i ( ) d T T / Aalogiczie, dla sygału dyskreego x[] defiiuje się Uzormalizowaą eergię sygałuu jako: E = = x

5 CPS 5 6/7 oraz zormalizowaą moc średią sygału dyskreego: P + N = lim N N = N x Bazując a ych defiicjach sygały dzieli się a: - Usygały o skończoej eergiiu, jeżeli < E < oraz P=; - Usygały o skończoej mocyu < P < oraz E = Podsawowe rzebiegi dyskree: USkok jedoskowy: [ ], =, < [] [-+] [-]

6 CPS 6 6/7 UImuls jedoskowy: δ [ ], = =, δ[] - 3 δ[-] δ[+] Z defiicji skoku jedoskowego i imulsu jedoskowego wyikają asęujące zależości: oraz: x δ = x δ x δ k = x k δ k δ = = δ k k =

7 CPS 7 6/7 URzeczywisy sygał wykładiczy: x = a dla < < Częso aalizowae są sygały wykładicze jedosroe: x[ ] = a [ ] x[]=(.8) [] x[]=(.8) [-3] x[]=(.8) (-3) [-3] UZesoloy sygał wykładiczy: x e jω < < = dla Tak oisay sygał jes okresowy z okresem N jeżeli sełioy jes waruek: ω gdzie m jes liczbą całkowią dodaią = π m N

8 CPS 8 6/7 Kowersja aalogowo-cyfrowa: Proces róbkowaia oisuje się jako możeie sygału aalogowego f() i ieskończoego szeregu imulsów (del) Diraca d(). Imulsy w akim szeregu owarzają się z okresem róbkowaia TBB. Szereg imulsów Diraca oisuje zależość: () = δ ( ) d T Na wykresie rzedsawia się aki szereg w osaci srzałek o jedoskowej długości ( jes o miara ola owierzchi dely), oddaloych od siebie o sały rzedział czasu rówy T (okres róbkowaia). d() δ ( T ) = T T Ozaczając sygał sróbkoway jako: f *( ) = f ( ) d( ) () = () δ ( ) f f T * i wykorzysując własość filracyją dely Diraca orzymujemy wyrażeie oisujące sygał dyskrey: *() = ( ) δ ( ) f f T T

9 CPS 9 6/7 Zais e ależy ierreować jako szereg imulsów Diraca o olach rówych warościom róbkowaej fukcji aalogowej w ukach, w kórych zajdują się imulsy szeregu d(). f*() f ( T ) δ ( ) T = T UWidmo dely DiracaU zgodie z defiicją rzekszałceia Fouriera wyosi: Ie ary rasforma Fouriera: F jω { δ() } = δ () e d = δ δ ( ) F j T ( T) F e ω F ( ) πδ ω F ( ) j e ω πδ ω ω UWidmo rzebiegu okresowego.u Do wyzaczeia wykorzysamy zesoloy szereg Fouriera Przebieg okresowy f() w osaci zesoloego szeregu Fouriera ma osać jk () cke ω f = k =

10 i CPS 6/7 Jego rasformaa Fouriera osaeczie: gdzie ck T jkω () jk ( ω ) = F { k } F j c e ω k = jk ( ω ) = kf { } F j c e ω k = F jω = π c δ ω + k ω ) (**) ( ) k ( k = = f e d wsółczyiki szeregu Fouriera T π ω = odsę między imulsami widma T ω ω Wiosek: Widmo dowolego sygału okresowego, oisuje szereg imulsów Diraca oddaloych od siebie o sałą warość ωbb o olach rówych odowiedio π ck. Sygał okresowy osiada dyskree widmo. Wykorzysując właściwość symerii rzekszałceia Fouriera moża swierdzić, że sygał dyskrey osiada okresowe widmo. Ta właściwość charakerysyki widmowej sygału dyskreego, ma swoje waże kosekwecje w eorii róbkowaia.

11 TBB (w ( CPS 6/7 USzereg imulsów DiracaU rozarzymy jako szczególy rzyadek rzebiegu okresowego () = δ ( ) d kt k = Po rzedsawieiu d() w osaci szeregu Fouriera jk () cke ω d = k = wsółczyiki ego szeregu wyoszą () T / jω k c δ e d k = = T T T / Sąd charakerysyka widmowa szeregu imulsów Diraca rzyjmuje osać (**) ( ω) D j π π = δ ω + k T k = T Trasformaa Fouriera szeregu imulsów owarzających się z okresem dziedziie czasu) jes rówież szeregiem imulsów owarzających się z okresem π T (w dziedziie częsoliwości). / Zmiejszając odsęy między imulsami w dziedziie czasu ( większa częsoliwość róbkowaia ) zwiększają się odsęy miedzy imulsami w dziedziie częsoliwości (i odwroie). Ta rosa zależość ma fudameale zaczeie odczas realizacji zadaia róbkowaia rzebiegów aalogowych. UObliczeia widma sygału dyskreego U F { f * )} Aaliza sygałów w dziedziie częsoliwości ozwala leiej rozumieć zagadieia rzewarzaia sygałów. Trasformaa Fouriera iloczyu dwóch rzebiegów ( wierdzeie o slocie z dziedziie częsoliwości ): F{ f () d() } = F{ f () } F { d() } π F{ f *() } = F{ f () } F{ d() } π

12 CPS 6/7 W uroszczoej osaci zaiszemy rasformaę Fouriera sygału dyskreego jako F* ( jω ) = F( jω) D( jω) π oraz zając rasformaę szeregu imulsów Diraca orzymamy: π F* ( jω) = F( jω) δ ω + k T k = T Pamięamy, że slo fukcji z imulsem Diraca owoduje rzesuięcie ej fukcji do uku, w kórym zajduje się dela. T ( ) δ ( ) = ( ) f f T A f T ( ) δ ( ) f T ( ) T rzesuięcie Dodakowo jeżeli fukcja slaaa jes z szeregiem imulsów, o asęuje owielaie ej fukcji i rzesuwaie owieleń do miejsc, w kórych zajdują się imulsy Diraca. f T () ( δ ( ) + δ ( )) = f ( ) + f ( ) T T A f T () δ ( ) δ ( ) f T ( ) ( ) f T T rzesuięcie i owieleie Wioskujemy zaem, że widmo sygału dyskreego owsaje w wyiku owielaia widma sygału aalogowego ieskończoą ilość razy i rzesuwaia ych owieleń o wielokroości ωb.

13 CPS 3 6/7 ω = π T Trasformaa Fouriera sygału dyskreego ma zaem asęującą osać: π F* ( jω) = F jω + jk T k = T Oerację róbkowaia sygału aalogowego f() moża rzedsawić graficzie w osaci wykresów w dziedziie czasu i częsoliwości. f() F( ω ) ω d() D(ω) π ω T ω f*() F*(ω) ω ω Jak wyika z wyrowadzeń osać widma sygału dyskreego zależy od częsoliwości róbkowaia. W iekórych wyadkach w wyiku owieleń i rzesuięć widma sygału aalogowego, może wysęować akładaie się owieleń.

14 CPS 4 6/7 Defiicja: SYSTEMY DYSKRETNE W sysemie dyskreym, rzewarzaie obejmuje oeracje arymeycze rzerowadzae a sygale wejściowym x[], w wyiku, kórych a wyjściu sysemu orzymuje się sygał wyjściowy y[] w osaci ciągu liczb. W większości rzyadków sysemy czasu dyskreego są sysemami o jedym wejściu i jedym wyjściu. x[] Sygał wejściowy Sysem dyskrey y[] Sygał wyjściowy Sysemy dyskree moża oisywać, odobie jak układy aalogowe, w kowecji wejście-wyjście, do oisu sosuje się w ym rzyadku Urówaia różicoweu, saowiące algebraiczą zależość między ciągiem wejściowym i wyjściowym. Klasyfikacja: Sysemy dyskree moża klasyfikować ze względu asęujących własości: Liiowość Sacjoarość Pamięć Przyczyowość Sabilość Pasywość

15 CPS 5 6/7 ULiiowość:U Defiicja: Jeżeli y [ ] jes sygałem wyjściowym sysemu zależym od sygału wejściowego x [ ] oraz y [ ] jes sygałem wyjściowym dla sygału wejściowego x [ ] o dla sygału wejściowego: a wyjściu sysemu orzymamy x = α x + β x [ ] = α [ ] + β [ ] y y y Zależość owyższa zachodzi dla dowolie wybraych sałych α, β oraz x dowolych sygałów wejściowych [ ] Przykład sysemu liiowego: [ ] x, [ ] [ ] y= x[ ] x = si( ωt ) o częsoliwości f=hz róbkoway z fbb=hz [ ] x = si(3 ωt ) o częsoliwości f=3hz róbkoway z fbb=hz Suerozycja sygałów wejściowych [ ] [ ] [ ] x = x + x = si( ωt) + si(3 ωt) Na wyjściu sysemu dla kolejych sygałów wejściowych orzymamy: [ ] = y si( ωt ) [ ] = y si(3 ωt ) [ ] = [ ] + [ ] = ω y y y si( T) si(3 ωt) oraz iaczej y[ ] = x[ ] + x[ ] = si( ωt ) + si(3 ωt ) ( ) ( )

16 CPS 6 6/7 Dla sygału liiowego zachodzi rówość: [ ] = [ ] y y MATLAB clear; f=; T=/f; f=; omega=*i*f; =:T:-T; x=si(omega*); figure(); sem(,x); grid y=-x/; figure(); sem(,y); grid x=si(3*omega*); figure(3); sem(,x); grid y=-x/; figure(4); sem(,y); grid x=x+x; figure(5); sem(,x); grid y=y+y; figure(6); sem(,y); grid yy=-x/; figure(7); sem(,yy,'-r'); grid x [] y [] sysem x [] sysem y [] y []+y [] x[]=x []+x [] y[] sysem

17 CPS 7 6/7 Przykład sysemu ieliiowego: [ ] [ ] = ( x [ ]) y x = si( ωt ) o częsoliwości f=hz róbkoway z fbb=hz [ ] x = si(3 ωt ) o częsoliwości f=3hz róbkoway z fbb=hz Suerozycja sygałów wejściowych [ ] [ ] [ ] x = x + x = si( ωt ) + si(3 ωt ) Na wyjściu sysemu orzymamy: y[ ] = cos( ωt ) [ ] cos(6 ω ) y = T Sygał jako suma sygałów wyjściowych [ ] = ω y cos( T ) cos(6 ωt ) oraz jako sygał wyjściowy sumy sygałów wejściowych [ ] = + y cos( ωt) cos(4 ωt) cos(6 ωt ) Nierówość [ ] [ ] y y wskazuje a ieliiowość sysemu MATLAB clear; f=; T=/f; f=; omega=*i*f;

18 CPS 8 6/7 =:T:-T; x=si(omega*); figure(); sem(,x); grid y=x.^; figure(); sem(,y); grid x=si(3*omega*); figure(3); sem(,x); grid y=x.^; figure(4); sem(,y); grid x=x+x; figure(5); sem(,x); grid y=y+y; figure(6); sem(,y); grid yy=x.^; figure(7); sem(,yy,'-r'); grid x [] y [] x [] sysem sysem y [] y []+y [] x[]=x []+x [] y[] sysem

19 CPS 9 6/7 Sacjoarość W sysemie sacjoarym rzesuięcie w czasie w ciągu wejściowym owoduje rówoważe rzesuięcie w ciągu wyjściowym Jeżeli a wymuszeie x odowiedź wyosi y sysem [ ] y[ ] x o a wymuszeie x rzesuięe w czasie o k róbek układ odowie sygałem y ak samo rzesuięym [ ] sysem [ ] x k y k Przykład sysemu sacjoarego [ ] y= x[ ] sysem [ ] = [ + 4 ] [ ] = [ + 4] x x y y MATLAB clear; f=; T=/f; f=; omega=*i*f; =:T:-T; x=si(omega*); figure(); sem(x); grid y=-x/; figure(); sem(y); grid x=x(5:);figure(3); sem(x); grid y=-x/; figure(4); sem(y); grid

20 CPS 6/ x [] x [] sysem sysem y [] y [] Pamięć: W układach bez amięci odowiedź sysemu y[] zależy ylko od eraźiejszych warości wymuszeia x[]. Przyczyowość: Odowiedź sysemu rzyczyowego y[] zależy ylko od rzeszłych i eraźiejszych warości sygału wymuszeia x[]. Sabilość: Układ jes sabily w sesie BIBO (bouded iu, bouded ouu), jeżeli rzy ograiczoym sygale wejściowym x[] sygał wyjściowy y[] jes akże ograiczoy. Formalie moża waruek zaisać: Pasywość: [ ] [ ] x M < y M < x Sysem dyskrey jes asywy jeżeli dla każdego sygału wejściowego x[] o skończoej eergii sygał wyjściowy y[] osiada eergię miejszą lub rówą eergii x[]. yk [ ] xk [ ] k= < k= y