ANALIZA BŁĘDÓW METOD WYZNACZANIA MIAR NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW KOMUNALNYCH NA PRZYKŁADZIE SYSTEMU ZAOPATRZENIA W WODĘ

Transkrypt

1 RYZARDA IWANEJKO ANALIZA BŁĘDÓW METOD WYZNACZANIA MIAR NIEZAWODNOŚCI OBIEKTÓW KOMUNALNYCH NA PRZYKŁADZIE YTEMU ZAOPATRZENIA W WODĘ ANALYI OF ERROR FROM RELIABILITY MEAURE ETIMATION METHOD FOR MUNICIPAL YTEM ON EXAMPLE OF WATER UPPLY t r e s z c z e e A b s t r a c t Podstawą podejmowaa welu decyzj jest zajomość mar ezawodośc róŝych obektów techczych. Mary te szacuje sę, bazując a daych eksploatacyjych. Wększość metod szacowaa mar ezawodośc wprowadza do wyku dodatkowy błąd, ezwązay z edokładoścą epewoścą daych, azyway błędem metody. ą to węc metody przyblŝoe. W artykule przeaalzowao pod tym kątem ajczęścej stosowae metody wyzaczaa mar ezawodośc obektów techczych. Błędy metod wykają z pomjaa w oblczeach mało prawdopodobych staów systemu, stosowaa uproszczoych wzorów czy prowadzea oblczeń a tzw. welkoścach eskończee małych. Przedstawoe w artykule zaleŝośc umoŝlwają określee błędów aalzowaych metod. ZaleŜośc mogą być stosowae dla róŝych waŝych obektów techczych, ezaleŝe od tego, czy dla obektu moŝa skostruować schemat ezawodoścowy, czy e. Umejętość ocey błędów metod, wraz z umejętoścą ocey błędów zwązaych z daym wyjścowym, pozwol uzyskać wyk z zadowalającą dla Ŝyerskch zastosowań dokładoścą. łowa kluczowe: ezawodość, mary ezawodośc, błąd metody Uderstadg of relablty measures for dfferet techcal facltes plays a mportat role a decso makg process. The measures are estmated based o the operatoal data. Most methods used for estmato of relablty measures mpose a addtoal error o the fal result. The error, called the method s error, s ot related to data accuracy ad relablty. The paper aalyses the most popular methods used for determato of relablty measures for techcal facltes, from that perspectve. Methods errors result from gorg calculatos less probable codtos of a system, usg smplfed formulas, or makg calculatos for ftesmal values. The relatoshps preseted the paper help to determe the errors of the preseted methods. The relatoshps may be used for dfferet major techcal facltes. Ablty to evaluate the methods errors, together wth kowledge about possble errors wth the output data set, helps to acheve a satsfactory accuracy of the fal output, at least for the egeerg applcatos. Keywords: relablty, relablty measures, method s error Dr Ryszarda Iwaejko, Istytut Zaopatrzea w Wodę Ochroy Środowska, Wydzał IŜyer Środowska, Poltechka Krakowska.

2 22. Wstęp ystemy wodocągowe kaalzacyje tworzą strategczą frastrukturę mejską, dlatego ezmere waŝa jest umejętość wyzaczaa ch podstawowych parametrów ezawodośc (rówowaŝe mar lub wskaźków ezawodośc). Istota jest teŝ umejętość dokoaa ocey dokładośc tych parametrów. W pracach [6, 7] przedstawoo sposoby ocey dokładośc mar ezawodośc za pomocą dwóch grup metod: metod klasyczego rachuku błędów oraz metod statystyczych. UmoŜlwają oe oceę wpływu błędów, edokładośc lub epełośc eksploatacyjych daych wyjścowych a błąd wyku. W tym artykule zostaą przedstawoe sposoby ocey tzw. błędów metod. Błąd metody e jest zwązay z daym wyjścowym, lecz wyka ze stosowaa praktyczych metod teor ezawodośc, z ch uproszczeń, z pomjaa człoów o małych wartoścach. UŜywae dalej sformułowae, Ŝe daa metoda jest dokłada, ozacza, Ŝe e obcąŝa wyku oblczeń dodatkowym błędem ezwązaym z błędam daych. Metoda, która e jest dokłada, daje wyk przyblŝoe. W dalszej częśc zakłada sę, Ŝe systemy () są złoŝoe z elemetów odawalych dwustaowych, które uszkadzają sę ezaleŝe, a czasy ch sprawośc esprawośc moŝa opsać rozkładem wykładczym. Poadto zakłada sę, Ŝe cały system jest dwustaowy, przy czym sta sprawośc esprawośc określa sę względem zadaego kryterum. Zakłada sę róweŝ, Ŝe praca systemu jest aalzowaa w tzw. okrese ormalym, w którym uszkodzea są losowe, a czasy sprawośc esprawośc systemu moŝa opsać rozkładem wykładczym. Aalzę tych załoŝeń przeprowadzoo w pracy [4]. W praktyce do wyzaczaa mar ezawodośc obektów stosuje sę metody jedolub dwuparametrycze. 2. Błędy metod jedoparametryczych Metody jedoparametrycze [9, 0] pozwalają a wyzaczee jedej, kompleksowej mary ezawodośc systemu. Najczęścej stosowaą marą jest tzw. stacjoary wskaźk gotowośc K, potocze azyway ezawodoścą wyraŝoy wzorem K Tp = Tp + T gdze Tp, T odpowedo śred czas sprawośc śred czas esprawośc systemu. Wartość K terpretuje sę jako prawdopodobeństwo, Ŝe w dowolej chwl, dostatecze odległej od włączea systemu do eksploatacj, system będze sprawy. Taka mara e charakteryzuje ezawodośc systemu w sposób jedozaczy, gdyŝ dla wartośc Tp T proporcjoalych do Tp T uzyskuje sę tę samą wartość K. Drugą marą kompleksową jest tzw. uogóloy wskaźk ezawodośc K u wyraŝoy wzorem K u () EN = (2) Q w

3 gdze EN dla obektów wodocągowych to śred edobór wydajośc (brak wody) określay względem wymagaej wydajośc systemu Q w, a dla obektów usuwaa śceków średa lość eodprowadzoych śceków. Wartość K u jest terpretowaa jako stopeń spełaa przez system postawoych mu wymagań. Pommo Ŝe te dwe mary (K, K u ) charakteryzują ezawodość systemu z róŝych puktów wdzea, co wyka z róŝych defcj (wzorów) terpretacj, to z matematyczych przekształceń wyka erówość: K Ku. Dla systemów o ezawodoścowej strukturze meszaej do wyzaczea K stosuje sę wzory aaltycze połączoe z ewetualym blokowaem elemetów. Jest to metoda prosta szybka. Jedyym wymogem stosowaa wzorów aaltyczych jest moŝlwość skostruowaa schematu ezawodoścowego systemu lub moŝlwość dokoaa tzw. dekompozycj systemu złoŝoego. Dekompozycja moŝe być przeprowadzoa względem jedego lub klku elemetów. W perwszym przypadku (tzw. dekompozycja prosta) polega a wyborze takego elemetu, dla którego aalza zajśca stau sprawośc esprawośc pozwol wyelmować te elemet przekształcć system złoŝoy a dwa róŝe systemy o strukturze meszaej. Dla tych dwóch struktur stosuje sę wzory aaltycze, a końcowy wyk uzyskuje sę po zastosowau wzoru a prawdopodobeństwo zupełe. Drug przypadek polega a klkukrotym stosowau dekompozycj prostej, borąc pod uwagę klka elemetów. Wzory aaltycze są dokłade, dlatego e będą omawae w dalszej częśc. Do wyzaczea K oraz K u powszeche stosuje sę tzw. metody przeglądu (MP). Polegają oe a sporządzeu tabel staów elemetarych systemu. Tabela ta zawera róŝe kombacje staów sprawośc elemetów tworzących day system. Dla ch określa sę sta sprawośc systemu. Wartość stacjoarego wskaźka gotowośc wyzacza sę ze wzoru K E 23 = P (3) gdze: umer stau elemetarego systemu, P prawdopodobeństwo zajśca tego stau, E zbór staów sprawośc systemu. Wartość uogóloego wskaźka ezawodośc wyzacza sę ze wzoru (2), przy czym śred edobór jest rówy I ( MP) P N = E 0 I( MP) I( MP) EN = = P = = P N gdze: N edobór występujący w -tym stae elemetarym systemu, E0 zbór staów esprawośc systemu, I(MP) lczba staów systemu uwzględaych w metodze przeglądu. W zaleŝośc od lczby uwzględaych staów wyróŝa sę metodę przeglądu zupełego (MPZ) oraz metodę przeglądu częścowego (MPCz) [9, 0]. P (4)

4 24 Metoda przeglądu zupełego uwzględa wszystke moŝlwe stay elemetare systemu, jest węc metodą dokładą. PoewaŜ lczba wszystkch staów rówa I (MPZ) = 2 wzrasta wykładczo, czyl bardzo szybko, wraz ze wzrostem -lczby elemetów systemu, to ze względu a duŝą pracochłoość metodę stosuje sę zazwyczaj dla 4. Dla > 4 w praktyce stosuje sę metodę przeglądu częścowego. Metoda przeglądu częścowego uwzględa jedye ajbardzej prawdopodobe stay elemetare systemu. Aalzy oblczea ogracza sę do staów, w których uszkodzoych jest e węcej Ŝ k elemetów. W praktyce przyjmuje sę zazwyczaj max 2. max k = Wówczas aleŝy uwzględć ( 0 ) ( ) ( k ) I (MPCz) = (5) staów elemetarych systemu. Wyk uzyskae za pomocą (3) oraz (4) z zastosowaem MPCz są przyblŝoe. W dalszej częśc K oraz K u ozaczają wartośc odpowedch mar ezawodośc eobarczoe błędem metody. Natomast wyk przyblŝoe uzyskae za pomocą MPCz będą ozaczae przez K (MPCz) oraz K u (MPCz). Nezae wyk dokłade moŝa oszacować za pomocą erówośc K (MPCz) K < K (MPCz) + ε oraz K (MPCz) ε < K K (MPCz) (6) gdze błąd oszacowaa ( ) ( ) max max u u u max I (MPCz) ε = P k > k = P k k = P (7) określa prawdopodobeństwo zajśca staów pomjaych w MPCz. Jeśl przeprowadzający oblczea uza, Ŝe popełay maksymaly błąd ε jest zbyt duŝy, to powe uwzględć stay z wększą lczbą rówoczesych uszkodzeń k max. PowyŜsze oszacowaa (6) są pesymstycze, wykają bowem z przyjęca, Ŝe wszystke pomjae stay są odpowedo staam sprawośc przy szacowau K lub staam esprawośc z maksymalym edoborem rówym Q w przy wyzaczau K u. W rzeczywstośc wększość pomjaych staów to stay esprawośc. Przykład. Pewa jedostka osadcza jest zaopatrywaa w wodę przez = 5 ezaleŝych układów zaslaa w wodę, tworzących razem podsystem dostawy wody (PsDoW). PoewaŜ aalzę ogracza sę jedye do tego podsystemu, w dalszej częśc jest o traktoway jak system. MoŜlwe wydajośc tych układów wyoszą odpowedo: q = 38% Q, q 2 = 32% Q, q 3 = 28% Q, q 4 = 5% Q oraz q 5 = 7% Q. Łącze moŝlwośc produkcyje wyoszą węc Qp = q = 30% Q. Te PsDoW uzaje sę za wystarczająco sprawy, gdy w dowolej chwl moŝlwa jest produkcja dostarczee do sec dystrybucj co ajmej Q w = 70% Q. Dae są wartośc stacjoarych wskaźkków gotowośc układów zaslaa w wodę. Oszacowao je z dokładoścą do czterech mejsc, ozaczoych odpowedo jako K = 0,996; K 2 = 0,932; K 3 = 0,9734; K 4 = 0,958 oraz K 5 = 0,9786. NaleŜy oszacować wartośc: stacjoarego wskaźka gotowośc K oraz uogóloego wskaźka ezawodośc K u. Oblczea prowadz sę za pomocą metody przeglądu. Ze względu a zaczą lczbę wszystkch moŝlwych staów elemetarych 5 I ( MPZ) = 2 = 32 oraz epewość co do dokładośc mar K dla poszczególych ukła- =

5 dów, zastosowao MPCz dla k max = 2. Wówczas, zgode z (5), aleŝy uwzględć ( ) ( 0 ) ( ) ( 2 ) I MPCz = + + = 6 staów elemetarych PsDoW (tab. ). Łącze prawdopodobeństwo zajśca staów uwzględaych w aalze wyos P(MPCz, k 2) = 6 = P = 0, Pomja sę stay z lczbą rówoczesych uszkodzeń k > 2 o łączym = prawdopodobeństwe zajśca ε = P(MPCz, k 2) = 0, Jest to rówocześe maksymaly błąd moŝlwy do popełea przy wyzaczau mar K(MPcz) oraz K u (MPCz). Tabela metody przeglądu częścowego dla k 2 Elemety Q [% Q] N [% Q] T a b e l a ta systemu k P 0 0, E , E 3 0 0, E 4 0 0, E 5 0 0, E 6 0 0, E , E , E , E , E 0 0 0, E , E , E , E , E , E Oprócz prawdopodobeństw P dla kaŝdego -tego stau wyzaczoo dodatkowo welkośc: Q czyl maksymalą moŝlwą wydajość PsDoW, N czyl edobór wody w -tym stae. Maksymalą moŝlwą wydajość PsDoW w -tym stae określo- o jako Q s = q. Nedobór wody w -tym stae wyzaczoo jako UZWj spr { } j N = max Q Q ; 0. PoewaŜ jako kryterum sprawośc przyjęto Q w = 70% Q, węc w stay, dla których N = 0 zakwalfkowao do zboru E. tąd a podstawe (2), (3) (4) otrzymao K (MPCz) = 0,992239, EN = 0, [% Q] oraz K u (MPCz) = 0,9999. Operając sę a (6), mamy oszacowae 0, K < 0,99309 oraz 0, < Ku 0,

6 26 Jak zazaczoo wyŝej, te dwe mary mają róŝe terpretacje praktycze. Jeśl dalsze aalzy wymagają wększej dokładośc szacuku ε, to aleŝy uwzględć stay z wększą lczbą rówoczesych uszkodzeń (k = 3). 3. Błędy metod dwuparametryczych Metody dwuparametrycze umoŝlwają wyzaczee dwóch ezaleŝych mar ezawodośc systemu średego czasu sprawośc Tp oraz średego czasu esprawośc T. tąd a podstawe () moŝa określć teŝ wartość stacjoarego wskaźka gotowośc systemu K. Zamast Tp moŝa wyzaczać tzw. tesywość uszkodzeń systemu rówą λ =. Zajomość tych mar pozwala a jedozaczą oceę ezawodośc Tp systemu. W praktyce do szacowaa ezawodośc obektów wodocągowych kaalzacyjych ajczęścej stosuje sę metody: częstośc uszkodzeń (klasyczą [9, 0] albo uogóloą [4]) lub mmalych przekrojów esprawośc [9, 0]. tosowae tych metod wymaga zajomośc dwóch ezaleŝych parametrów: średego czasu sprawośc Tp oraz średego czasu esprawośc T dla kaŝdego z elemetów systemu ( =,..., ). W podaych poŝej wzorach zamast Tp wykorzystuje sę tzw. tesywość uszkodzeń elemetów rówą λ =. Tp 3.. Klasycza metoda częstośc uszkodzeń Częstość uszkodzeń systemu określa sę jako [9, 0] f = Tp + T gdze: Tp, T odpowedo średe czasy sprawośc esprawośc systemu. Welkość f określa średą lczbę uszkodzeń systemu przypadającą a jedostkę czasu. łusze są wzory Tp K = oraz f s T Ks (8) = (9) f Jeśl węc zae są wartośc stacjoarego wskaźka gotowośc systemu K oraz częstośc uszkodzeń f, to z zaleŝośc (9) moŝa wyzaczyć poszukwae mary Tp oraz T. Dla struktur podstawowych (szeregowej, rówoległej, progowej) wartość K moŝa wyzaczyć dokłade za pomocą wzorów aaltyczych. Wartość f wyzacza sę atomast stosukowo prosto z fukcj matematycze opsującej przypadk utraty sprawośc systemu, czyl przypadk przejśca systemu ze zboru staów E do zboru E0. Rozpatruje sę jedye tzw. stay gracze, dla których zajśce jedego uszkodzea powoduje utratę sprawośc systemu. Klasyczą metodę częstośc uszkodzeń moŝa stosować dla systemów o ezawodoścowej strukturze podstawowej oraz meszaej. W ostatm przypadku aleŝy ajperw zblokować elemety tworzące struktury podstawowe, a as-

7 tępe etapam wykającym z blokowaa stosować metodę dla bloków elemetów. PoŜej przedstawoo wzory do wyzaczaa Tp oraz T dla struktur podstawowych [9, 0]. Dla -elemetowej struktury szeregowej zachodz K s = K oraz = Po dokoau ezbędych przekształceń uzyskuje sę oraz = λ = λ f = f K j = j T 27 (0) = λ T gdze: λ, λ tesywośc uszkodzeń systemu elemetów. Zak przyblŝea dla T wyka z uproszczea wzoru pomęca loczyów kombacj klku człoów postac λ T. PrzyblŜoą wartość średego czasu esprawośc systemu ozaczoo przez T (f ), a wartość dokładą przez T. Popełay przy tym błąd pomęca jest rówy ( T) = T T ( f ) = λλ jtt j + λλ jλ ktt jtk λλ2... λtt 2... T (2) < j < j< k = λ Dla rzeczywstych obektów Ŝyerskch zachodz Tp >> T, co teoretycze ozacza, Ŝe pomjae welkośc są małe. Dla -elemetowej struktury rówoległej zachodz K s = ( K ) oraz f = f ( K j ) = Po dokoau ezbędych przekształceń uzyskuje sę λ λ T j = = j λ = j = oraz T = gdze: λ, λ tesywośc uszkodzeń systemu elemetów. () (3) = j Podobe jak poprzedo, zak przyblŝea dla λ wyka z uproszczea wzoru pomęca człoów o małej wartośc. PrzyblŜoą wartość tesywośc uszkodzeń, T T j (4)

8 28 uzyskaą za pomocą klasyczej metody częstośc uszkodzeń, ozaczoo tutaj przez λ ( f ), atomast wartość dokładą przez λ. Zachodz mędzy m zwązek λ = + λ T + λλ jtt j + λλ jλ ktt jtk λ jt j ( f ) = < j < j< k = j λ (5) który pozwala a względą oceę popełaego błędu jako λ λ ( f ) λ ( f ) δ = 00% = 00% λ λ Dla jedorodych struktur progowych typu z M wartość stacjoarego wskaźka gotowośc wyzacza sę jako M M k ( ) ( ) M k = k e e k= 0 (6) K K K (7) gdze: k lczba rówocześe uszkodzoych elemetów, K e wartość stacjoarego wskaźka gotowośc dowolego elemetu e. Wartość fukcj częstośc uszkodzeń jest rówa M ( ) ( ) M e M e e f = Mf K K (8) Dla struktur ejedorodych ogóle wzory a K oraz f są bardzo złoŝoe, dlatego lepej jest wyzaczać ch wartośc a podstawe tabel metody przeglądu. Następe a podstawe wzorów (9) wyzacza sę wartośc parametrów Tp oraz T. W tym przypadku e pomja sę Ŝadych człoów, węc uzyskae wyk Tp T powy być dokłade. Jedak w pewych sytuacjach, tj. wówczas gdy cały system jest wysoce ezawody (wysoce ezawode elemety lub duŝa rezerwa elemetów), uzyskuje sę wyk obarczoe tzw. błędam umeryczym, wykającym z przeprowadzaa oblczeń a tzw. welkoścach eskończee małych. Takm eskończee małym welkoścam w pewych wyjątkowych przypadkach są f oraz występująca w (9) zawodość systemu rówa U = K. Aby zabezpeczyć sę przed takm przypadkam, propouje sę stosowae dla struktur progowych jedorodych zamast (9) odpowedo przekształcoych wzorów oraz M M Tp e M M = λe e = e e M k M k k= 0 k = 0 k M + M k + k M + ( ) (9) Tp T Tp T M M Tpe M Tp M = λe e = e e M k M k k = M + k = M + k M + e M k + k M + ( ) (20) T T Tp T gdze: λ e tesywość uszkodzeń elemetów jedorodych rówa λ e = /Tp e.

9 Przykład 2. Pompowa wody uzdatoej w Tarowe ma jedorodą strukturę progową 4 z 6 [2]. Elemetam e struktury są agregaty pompowe zblokowae z zastalowaym obok zaworam zwrotym Na podstawe daych z eksploatacj parametry ezawodoścowe tych elemetów przyjęto jako: Tp e = h oraz T e = 25 h. tąd ch stacjoary wskaźk gotowośc wyos K e = 0, [5]. Dalej prowadzoo oblczea za pomocą klasyczej metody uszkodzeń z róŝą dokładoścą. Z Ŝyerskego puktu wdzea wartośc K, róŝące sę a mejscach szóstym dalszych, są praktycze erozróŝale. Wartośc uzyskae podczas oblczeń zameszczoo w tabel 2. Zastosoway zaps 0,9 (x) ozacza, Ŝe po przecku dzesętym zajduje sę x cyfr 9. Zestawee wyków oblczeń Tp T za pomocą wzorów (9) w zaleŝośc od dokładośc prowadzea oblczeń K Tp [h] T [h] 0,9 (7),684E ,40 0,9 (8),684E ,4 0,9 (9),684E + 0 6,8 0,9 (0),684E + 0,68 T a b e l a 2 W zaleŝośc od lczby uwzględaych cyfr zaczących K uzyskuje sę róŝe rzędy wyków T. Natomast zastosowae wzorów (9) (20) pozwala uzyskać warygode wartośc Tp =,684E + 0 [h] oraz T = 8,34 [h]. Poprawość tych wyków zweryfkowao m.. za pomocą metody mmalych przekrojów esprawośc symulacyjej metody Mote Carlo Uogóloa metoda częstośc uszkodzeń Dla systemów złoŝoych, dla których steją róŝe rodzaje rezerw lub elemety są ejedorode, wyzaczee matematyczej postac fukcj częstośc uszkodzeń moŝe być trude lub wręcz emoŝlwe. W takch sytuacjach moŝa stosować uogóloą metodę częstośc uszkodzeń [4, ]. Itesywość strumea uszkodzeń dowolego systemu jest rówa [8] Φ = Pλ z z E 0 E 29 (2) gdze:, z umery staów elemetarych systemu, E, E0 odpowedo zbór staów sprawośc esprawośc systemu, P prawdopodobeństwo zajśca -tego stau systemu, λ tesywość przejśca systemu ze stau -tego do stau z-tego. z Jak wyka ze wzoru do wyzaczea Φ aleŝy uwzględć jedye gracze stay systemu. pełoa jest aalogcza do (8) zaleŝość [8] Φ = Tp + T (22)

10 30 Wykazao, Ŝe średe czasy sprawośc esprawośc systemu moŝa wyzaczać jako [8] Tp = P Φ oraz T = P E Φ (23) E 0 W dalszej częśc przyjęto ozaczea: K (MP) = P oraz U (MP) = P. E E 0 Welkośc K (MP) oraz U (MP) są odpowedo ezawodoścą zawodoścą systemu, wyzaczoym za pomocą MP, przy czym dla MPZ zachodz K (MPZ) + U (MPZ) =. Zdefowaa powyŝej tesywość uszkodzeń jest odpowedkem klasyczej częstośc uszkodzeń. Wykazao, Ŝe dla struktur podstawowych wzory a f oraz Φ po dokoau odpowedch przekształceń są zgode [4]. Wyzaczae parametrów Tp T a podstawe MPZ e wprowadza błędów wykających z pomjaa mało prawdopodobych staów elemetarych systemu. Jedak przy stosowau MPCz aleŝy dokoać ocey dokładośc wyków. Wykorzystae MPCz ozacza prowadzee oblczeń e a dokładych welkoścach K, U oraz Φ, lecz a welkoścach przyblŝoych, ozaczoych tutaj odpowedo przez K (MPCz), U (MPCz) Φ (MPCz). Zbyt duŝe przyblŝea tych welkośc mogą zacząco wpłyąć a dokładość wyków końcowych Tp T. Neobarczoe błędem MPCz wartośc K, U oraz Φ moŝa oszacować za pomocą astępujących erówośc K (MPCz) K < K (MPCz) + ε U (MPCz) < U U (MPCz) + ε (24) oraz (MPCz) (MPCz) ( ) Φ Φ < Φ + Φ (25) gdze błędy oszacowań są odpowedo rówe: ε (wzór (7)) oraz ( ) Φ = ε k > kmax =,... ( k ) m. Tp PowyŜszy wzór (26) jest prosty. MoŜlwe jest stosowae ego, bardzej złoŝoego wzoru a błąd Φ k m. Tp =,... =,... =,... k > kmax k k (26) ( Φ ) = ( k ) ( ) max { K } m. { K } (27) Oszacowaa (26) (27), podobe jak (6), są pesymstycze, gdyŝ przyjmuje sę, Ŝe wszystke pomjae w MPCz stay (tj. dla k > k max ) są staam graczym, dla których uszkodzee kaŝdego z ( k) sprawych elemetów spowoduje utratę sprawośc systemu, a rówocześe tesywość λ z jest maksymala. Wzór złoŝoy (27) lepej sprawdza sę w sytuacjach, gdy wartośc K są mało zróŝcowae, atomast wzór prosty (26) w sytuacjach, gdy wartośc K są bardzej zróŝcowae. Jedak, ezaleŝe od przypadku, róŝce oszacowań błędów Φ za ch pomocą wyoszą klka procet. Na podstawe tych oszacowań oraz wzorów (23) moŝa, stosując zasady aalzy przedzałowej [6], podać

11 astępujące oszacowaa dla średego czasu sprawośc średego czasu esprawośc systemu K (MPCz) K (MPCz) + ε Tp Φ (MPCz) + Φ Φ (MPCz) ( ) U (MPCz) U (MPCz) + ε T Φ (MPCz) + Φ Φ (MPCz) ( ) Do oblczeń praktyczych, jako przyblŝoe wyk średego czasu pracy średego czasu esprawośc, propouje sę przyjmować wartośc średe z dolego górego oszacowaa rówe odpowedo Tp T K (MPCz) K (MPCz) + ε = + / 2 Φ (MPCz) + ( Φ ) Φ (MPCz) U (MPCz) U (MPCz) + ε = + / 2 Φ (MPCz) + ( Φ ) Φ (MPCz) Wówczas maksymale moŝlwe do popełea błędy bezwzględe oszacowań są rówe K (MPCz) + ε K (MPCz) ( Tp ) = Φ (MPCz) Φ (MPCz) + Φ ( ) U (MPCz) + ε U (MPCz) ( T ) = Φ (MPCz) Φ (MPCz) + Φ Jeśl błędy ( Tp ) ( T ) ( ) / 2 / 2 3 (28) (29) (30) (3) (32) (33) są z Ŝyerskego puktu wdzea a tyle małe, Ŝe ch edokładośc e spowodują ejedozaczośc procesów decyzyjych, to oblczea moŝa zakończyć. W przecwym wypadku aleŝy zwększyć zakres MPCz (tj. zwększyć lczbę uwzględaych staów elemetarych). W praktyce, dla przypadków, gdy system mus spełać wysoke wymagaa (lub rówowaŝe ostre krytera przyaleŝośc do zboru E p. Q w = 90% Q), lczba staów elemetarych, które aleŝy uwzględć, moŝe być ograczoa przez k max = 2 lub k max = 3, gdyŝ stay systemu dla wększej lczby rówoczesych uszkodzeń będą a ogół staam esprawośc. Natomast dla przypadków, gdy wymagaa wobec systemu mogą zostać złagodzoe (p. dla stau ucąŝlwego fukcjoowaa systemu Q w = 30% Q), aleŝy zazwyczaj uwzględć wększą lczbę staów. Jeśl awet dla k max = 2 welkość ε jest mała (p. rzędu 0 6 ), moŝe sę zdarzyć, Ŝe Ŝade z uwzględaych w MPCz staów elemetarych e jest staem graczym wówczas w MPCz aleŝy uwzględć stay z wększą lczbą rówoczesych uszkodzeń, dla których będze Φ 0, a błędy oszacowań ( Tp ) ( T ) będą dopuszczale. Przykład 3. Dla = 5 układów zaslaa w wodę o moŝlwoścach produkcyjych jak w przykładze wykorzystao formacje a temat średch czasów pracy esprawośc. Zostały oe oszacowae odpowedo przez: Tp = 83 h, Tp 2 = 244 h, Tp 3 = 732 h,

12 32 Tp 4 = 649 h, Tp 5 = 366 h oraz T = 6 h, T 2 = 8 h, T 3 = 20 h, T 4 = 24 h, T 5 = 8 h. Kryterum sprawośc, podobe jak w przykładze, przyjęto jako Q w = 70% Q. NaleŜy oszacować śred czas pracy śred czas esprawośc całego PsDoW. Jako bazowa zostae zastosowaa MPCz. Wartość k max zostae określoa a podstawe welkośc popełaych błędów ocey Tp oraz T. Kolejo, w zaleŝośc od potrzeb, mogą być aalzowae przypadk: k max =, k max = 2, k max = 3 td. Na początek dla przypadku 5 5 k max = aleŝy uwzględć ( 0 ) ( ) I (MPCz) = + = + 5 = 6 staów elemetarych PsDoW. Potrzebe do dalszych oblczeń wartośc zawarto w tab. 3. Perwsze kolumy są take jak w klasyczej tabel MPCz (por. tab. ). k T a b e l a 3 Tabela MPCz dla k max = dostosowaa do wyzaczea Tp T Q Elemety Q P ta [% Q] ta PsDoW po uszkodzeu elemetu po uszkodzeu elemetu [% Q] PsDoW , E E E E E E 2 0 0, E E E E E 3 0 0, E E E E E 4 0 0, E E0 E E E 5 0 0, E E0 E E E 6 0 0, E E0 E0 E E E 6 Na podstawe tabel 3 oraz wzorów (3) (7) wyzaczoo kolejo wartośc: K (MPCz) = P = 0, , ε = P = 0, 09746, a podstawe (6) oszacowaa: 0, K <, 0 U < 0, Jak wdać, w tabel zdetyfkowao cztery przypadk utraty sprawośc po zajścu dodatkowego uszkodzea. tąd Φ (MPCz) = P4 λ + P5 λ + P6 ( λ 2 + λ 3) = 0, /h. Na podstawe prostego wzoru (26) określoo Φ = 0, [/h]. JuŜ a tym etape moŝa spodzewać sę duŝych wartośc Tp T, gdyŝ jak wdać błąd Φ jest duŝy ( Φ : Φ 0,8). Dalej a podstawe (28) (29) określoo moŝlwe zakresy wyraŝoych w godzach wartośc średch czasów pracy esprawośc w postac erówośc: 678, 80 Tp 24,87 oraz 0 T 24, 52. Zgode z (30) (3) jako szacukowe wartośc moŝa by przyjąć Tp 958,34 h oraz T 2,26 h, jedak błędy szacuku są zbyt duŝe. ą oe rówe Tp = 283,53 h oraz T = 2, 26 h, czyl odpowedo 29,6% oraz 00% (w stosuku do propoowaych szacuków). Dlatego koecze jest poszerzee zakresu MPCz uwzględee dodatkowych staów dla k = 2. Potrzebe do dalszych oblczeń wartośc zawera tabela 4. Na podstawe tabel 4 wyzaczoo mejszy błąd ε = P = 0, dokładejsze wartośc: E 6 K (MPCz) = P = 0, , a astępe oszacowaa:

13 0, K < 0, 99309, 0, U < 0, W tabel zdetyfkowao poadto 2 przypadków utraty sprawośc po zajścu dodatkowego uszkodzea. tąd Φ (MPCz) = 0, /h. Na podstawe prostego wzoru (26) określoo Φ =, 4E 5 /h. W tym przypadku Φ : Φ 0, 05, moŝa węc przypuszczać, Ŝe błędy Tp T będą ewelke. Na podstawe (28) określoo moŝlwe zakresy wyraŝoych w godzach wartośc średch czasów pracy esprawośc w postac erówośc: 07, 64 Tp 088, 99 oraz 7,46 T 8,5. Zgode z (30) (3) jako szacukowe wartośc moŝa by przyjąć Tp 080,32 h oraz T 7,99 h. Wówczas błędy szacuku wyoszą odpowedo Tp = 8, 68 h oraz T = 0, 52 h, czyl 0,8% oraz 6,6% (w stosuku do propoowaych szacuków). PoewaŜ błędy szacuków są ewelke, moŝa węc zakończyć oblczea a tym etape. Dodatkowo wyzaczoo pozostałe stay elemetare systemu (dla k = 4,5) oblczoo wartośc dokłade (oparte a MPZ), uzyskując Tp = 087,85 h, T = 8,49 h oraz K = 0, NaleŜy zazaczyć, Ŝe te etap w praktyce jest zbędy (do podjęca decyzj wystarczą szacukowe wartośc parametrów ezawodośc wraz z ch błędam), a tu posłuŝył jedye do potwerdzea słuszośc oszacowań. 33 k 2 Tabela MPCz zawerająca dodatkowe stay dla k = 2 T a b e l a 4 Q [% Q] ta PsDoW Elemety Q P ta po uszkodzeu po uszkodzeu elemetu [% Q] PsDoW elemetu , E , E , E E0 E0 E , E E0 E0 E , E E0 E0 E , E E0 E0 E , E E0 E0 E , E E0 E0 E , E E0 E0 E , E E0 E0 E 3.3. Metoda mmalych przekrojów esprawośc Parametry ezawodoścowe systemu Tp T oblcza sę po wyzaczeu mmalych przekrojów esprawośc. Przekrój esprawośc systemu to tak zbór jego elemetów, Ŝe jeśl wszystke są esprawe, to system teŝ jest esprawy. Mmaly przekrój esprawośc e zawera w sobe Ŝadego ego przekroju. PoewaŜ prawdopodobeństwo rówoczesego uszkodzea węcej Ŝ trzech elemetów jest małe, w praktyce wyzacza sę węc zazwyczaj przekroje jedo-, dwu- oraz trójelemetowe [9, 0]. Wszystke przekroje esprawośc, z ezawodoścowego puktu wdzea, są połączoe szeregowo, bo esprawość przyajmej jedego przekroju powoduje esprawość systemu. Natomast w jedym przekroju elemety są połączoe rówolegle, co wyka z określea przekroju esprawośc. PowyŜsze spostrzeŝea upowaŝają do stosowaa

14 34 wzorów klasyczej metody częstośc uszkodzeń. W praktyce stosuje sę ajczęścej wzory uproszczoe [9, 0]: dla struktury rówoległej w celu wyzaczea tesywośc uszkodzeń oraz średch czasów esprawośc mmalych przekrojów esprawośc: jedoelemetowych dwuelemetowych trójelemetowych λ [ ] = λ, T[ ] ( T T ) λ[, j] λλ j + j, T[, j] = T (34) TT j = T + T ( T T T T T T ) [, j, k] j k j k j k j (35) λ λ λ λ + + (36) T [, j, k] TT jtk = T T + T T + T T j k j k (37) dla struktury szeregowej w celu wyzaczea tesywośc uszkodzeń oraz średego czasu esprawośc całego systemu T (38) λ = λ + λ + λ [ ] [, j] [, j, k] [ ] [, j] [, j, k ] λ T + λ T + λ T [ ] [ ] [, j] [, j] [, j, k] [, j, k] [ ] [, j] [, j, k] Zak przyblŝeń we wzorach a tesywość uszkodzeń mmalych przekrojów esprawośc (35), (36) oraz we wzorze a śred czas esprawośc systemu (39) wykają, jak wspomao w pukce 3., z pomjaa loczyów λ T, które ajczęścej są człoam o małej wartośc. Aaltycze oszacowae końcowych błędów Tp T dla ogólego przypadku jest trude. Dlatego, aby uzyskać dokłady wyk, w mejsce wzorów uproszczoych moŝa stosować wzory dokłade: dla struktury rówoległej w celu wyzaczea tesywośc uszkodzeń mmalych przekrojów esprawośc: dwuelemetowych trójelemetowych λ ( T T ) (39) λλ j + j λ [, j] = (40) + λ T + λ T j j ( T T T T T T ) λλ jλ k j + k + j k λ [, j, k] = (4) + λ T + λ T + λ T + λ T λ T + λ T λ T + λ T λ T j j k k j j k k k k

15 dla struktury szeregowej w celu wyzaczea tesywośc uszkodzeń oraz średego czasu esprawośc struktury T λ [ ] T[ ] + λ [, j] T[, j] + λ [, j, k] T[, j, k] + λ[, j] T[, j] λ [ l, k] T[ l, k] + [ ] [, j] [, j, k] [, j], [ l, k] (42) + λ[, j] T[, j] λ[ l, k] T[ l, k] λ [ m, ] T[ m, ] +... λ[, j] T [, j] / λ [, j], [ l, k], [ m, ] [, j] Metoda mmalych przekrojów esprawośc jest metodą przyblŝoą, gdyŝ opera sę a przyblŝoej klasyczej metodze częstośc uszkodzeń. Z aalzy wyków przeprowadzoych dla welu przykładów oblczeowych wyka, Ŝe wyzaczoe za pomocą tej metody parametry Tp T mogą być obarczoe błędam, jeśl: elemety systemu charakteryzują sę ską ezawodoścą, system jest złoŝoy; wówczas ektóre elemety mogą występować w welu mmalych przekrojach esprawośc, w przypadku małej lczby lub braku przekro jedo-, dwu- lub trójelemetowych pomja sę przekroje weloelemetowe (gdy jest ch duŝo), powyŝsze przyczyy występują rówocześe. Perwsza przyczya jest stosukowo łatwa do sprawdzea, wyka bowem z faktu, Ŝe róŝca rzędów średch czasów pracy mędzy uszkodzeam średch czasów esprawośc elemetów jest zbyt mała. Jedak w kokretym przypadku trudo przewdzeć, jak będze błąd wyku. Wpływ trzecej przyczyy moŝa zweryfkować przez przeprowadzee oblczeń z uwzględeem przekrojów weloelemetowych porówae wyków. Zawsze jedak w wątplwych przypadkach oraz gdy uzyskae wartośc Tp T są blske wartoścom uzaym przez decydetów za gracze lub krytycze dla prawdłowego bezpeczego dzałaa obektów wodocągowych kaalzacyjych, zaleca sę przeprowadzee oblczeń z wykorzystaem wzorów dokładych lub za pomocą ej metody. Przykład 4. Z określea struktury progowej wyka, Ŝe struktura z M posada tylko ( M ) mmalych przekrojów (M + )-elemetowych. Dla jedorodych struktur progowych typu z 5 (dla = 5, 4, 3) wyzaczoo Tp T. Zastosowao metody: a) klasyczą częstośc uszkodzeń (f ), b) uogóloą częstośc uszkodzeń (Φ ), c) mmalych przekrojów esprawośc z wykorzystaem wzorów uproszczoych (MPN-U), d) mmalych przekrojów esprawośc z wykorzystaem wzorów dokładych (MPN-D). Oblczea przeprowadzoo dla dwóch zestawów daych, tj. gdy elemety charakteryzowała ezawodość: I) ska: Tp e = 26 h, T e = 24 h, K e = 0,84, II) wyŝsza: Tp e = 500 h, T e = 24 h, K e = 0, We wszystkch przypadkach dla metod (f ) (Φ ) uzyskao zgodość wyków Tp, T K. Poadto K było zgode z wykem uzyskaym za pomocą wzorów aaltyczych (wartość dokłada). Dlatego w dalszej częśc wyk uzyskae z metod częstośc uszkodzeń 35

16 36 uwaŝa sę za dokłade przyjmuje za podstawę do porówań. Metody MPN-U MPN-D dały wyk Tp T zaŝoe w stosuku do wyków uzyskaych za pomocą metod częstośc uszkodzeń. Dla zestawu II (elemety bardzej ezawode) uzyskao dokładejsze wartośc Ŝ dla zestawu I (elemety bardzej zawode). Częścowe wyk oblczeń, tj. średe czasy Tp T wraz z błędam procetowym δ wyzaczoym w stosuku do wyków uzyskaych za pomocą metod częstośc uszkodzeń, zestawoo w tab. 5. Błędy procetowe wyzaczoo jako gdze: WD wartość dokłada, WP wartość przyblŝoa. ( WD WP) δ = 00% (43) WD T a b e l a 5 Zestawee wyków oblczeń za pomocą metod dwuparametryczych dla przykładu 4 truktura 5 z 5 4 z 5 3 z 5 Metoda Zestaw I Zestaw II Tp [h]; δ [%] T [h]; δ [%] Tp [h]; δ [%] T [h]; δ [%] f ; Φ 25,2; 0% 35,06; 0% 00; 0% 26,42; 0% MPN-U MPN-D 25,2; 0% 24; 3,5% 00; 0% 24; 9,5% f ; Φ 64,58; 0% 4,5; 0% 645,83; 0% 2,59; 0% MPN-U 33,08; 48,8% 520,83; 9,4% 2; 7,3% 2; 4,7% MPN-D 45,68; 50% 570,83;,6% f ; Φ 268,0; 0% 8,79; 0% 936,57; 0% 8,2; 0% MPN-U 5,76; 56,8% 7233,8; 20,8% 8; 9% 8; 2,3% MPN-D 94,5; 27,4% 8325,5; 8,9% Wpływ ezawodośc elemetów składowych struktury jest zaczy. Poadto przy wększej lczbe elemetów rezerwowych uzyskuje sę w stosuku do metod częstośc uszkodzeń róŝce wększe dla Tp oraz mejsze dla T. Przykład 5. Dla daych z przykładów 3 a podstawe tabel metody przeglądu zupełego wyzaczoo mmale drog sprawośc. Następe wyzaczoo astępujące mmale przekroje esprawośc: [, 2], [, 3, 4], [, 4, 5], [2, 3, 4], [2, 4, 5] oraz wyzaczoo mary ezawodośc systemu: Tp, T K. Wyk oblczeń dla przypadków, gdy stosowao wzory uproszczoe dokłade oraz gdy pomęto gdy uwzględoo przekroje trójelemetowe [3], porówao z wykam oblczeń, uzyskaym za pomocą uogóloej metody częstośc uszkodzeń opartej a MPZ, zestawoo w tab. 6. W tabel podao róweŝ błędy procetowe wyzaczoe w stosuku do wyków dokładych, uzyskaych za pomocą uogóloej metody częstośc uszkodzeń opartej a MPZ. kutkem stosowaa wzorów uproszczoych moŝe być zaczy błąd Tp lub T. Rówocześe dokładość wyku zaleŝy od uwzględaa lub euwzględaa w oblczeach przekro trójelemetowych. Jeśl występuje duŝa lczba przekro trójelemetowych, to dokładejszy wyk uzyska sę po uwzględeu tych przekro. Jeśl atomast lczba przekro trójelemetowych jest ewelka, to ch uwzględee paradoksale geeruje wększy błąd wyku. Fakt te moŝa tłumaczyć powtarzaloścą elemetów

17 w przekrojach. Choć dla zastosowań Ŝyerskch błąd (Tp ) (T ) moŝe e meć zaczea (czasem stoty jest tylko rząd wyku), to e ma moŝlwośc oszacowaa popełaego błędu. 37 T a b e l a 6 Zestawee wyków oblczeń za pomocą metod dwuparametryczych dla przykładu 5 Mary ezawodośc systemu Uogóloa metoda częstośc uszkodzeń Φ (MPZ) Tp [h] 087,85 T [h] 8,49 K s 0, Metoda mmalych przekrojów esprawośc wzory uproszczoe (MPN-U) wzory dokłade (MPN-D) przekroje 3-elemetowe pomęte przekroje 3-elemetowe uwzględoe przekroje 3-elemetowe pomęte przekroje 3-elemetowe uwzględoe 970,70 99,0 5,05 055,65 0,77% 5,52% 2,50% 2,96% 8,58 8,39 8,58 8,39,0%,8%,0%,8% 0, , , ,9929 0,0% 0,3% 0,0% 0,0% 4. Podsumowae Obekty wodocągowe kaalzacyje są obok obektów gazowczych cepłowczych strategczym elemetam frastruktury mejskej. Dlatego oprócz kryterów techczych ekoomczych formułuje sę dla ch krytera ezawodoścowe. Krytera te są oparte a ocee podstawowych mar ezawodośc tych obektów (p. ezawodość e Ŝsza Ŝ wymagaa, tesywość uszkodzeń e wyŝsza Ŝ dopuszczala, czas esprawośc e dłuŝszy od graczego). Rówe waŝa jest przy tym umejętość wyzaczaa tych mar, jak teŝ umejętość określea popełaego przy tym błędu. zacowae mary ezawodośc są obarczoe błędam daych wyjścowych, mogą róweŝ być obarczoe błędem metody szacowaa mar ezawodośc. Błędy metod wykają z pomjaa w oblczeach mało prawdopodobych staów systemu, stosowaa uproszczoych wzorów lub z prowadzea oblczeń a tzw. welkoścach eskończee małych. Uzyskae przez autorkę przedstawoe powyŝej zaleŝośc od wyzaczaa błędów aalzowaych metod wskazują a ch praktyczą przydatość. Mogą być oe stosowae do ych waŝych obektów techczych. Uogóloa metoda częstośc uszkodzeń sprawdzła sę w welu zadaach testowych. W przecweństwe do metody mmalych przekrojów esprawośc moŝlwe jest oszacowae jej błędu sterowae dokładoścą oblczeń. Wydaje sę, Ŝe uogóloa metoda częstośc jest edoceaa, co moŝe wykać z jej ezajomośc. Obece, w dobe powszechego wykorzystywaa komputerów, zaleca sę prowadzć oblczea z uwzględeem wększej lczby staów elemetarych systemu, tak aby błąd metody uczyć dowole małym (błędy te moŝa wyzaczyć za pomocą odpowedch zaleŝośc), albo stosować skomplkowae wzory dokłade (wówczas e ma potrzeby ocey błędu). Ią moŝlwoścą jest uŝyce symulacyjej metody Mote Carlo, jedak akład pracy a apsae dobrego programu symulacyjego, uwzględającego specyfkę pracy obektu, a ogół jest wększy Ŝ akład pracy a programową realzację zaych metod szacowaa mar ezawodośc.

18 38 L t e r a t u r a [] B a j e r J., I w a e j k o R., K a p c a J., Nezawodość systemów wodocągowych kaalzacyjych w zadaach, Wyd. Poltechk Krakowskej, Kraków [2] D uŝy B., Ocea ezawodośc podsystemu dostawy wody dla masta Tarów, praca dyplomowa a Wydzale IŜyer Środowska Poltechk Krakowskej, Kraków [3] I w a e j k o R., ZPN Program komputerowy realzujący metodę mmalych przekrojów esprawośc, Kraków 997. [4] I w a e j k o R., O praktyczym sposobe dokoaa dwuparametryczej ocey ezawodośc systemu za pomocą metody przeglądu, Czasopsmo Techcze z. 8-Ś/2002, Wyd. Poltechk Krakowskej, Kraków 2002, [5] I w a e j k o R., B u d z ł o B., Uwag do dwuparametryczej metody wyzaczaa ezawodośc obektów wodocągowych, Czasopsmo Techcze z. 7-Ś/2003, Wyd. Poltechk Krakowskej, Kraków 2003, [6] I w a e j k o R., Ocea dokładośc parametrów ezawodoścowych systemów wodocągowych kaalzacyjych, Część I, Ocey wstępe, Czasopsmo Techcze z. 2-Ś/2009, Wyd. Poltechk Krakowskej, Kraków 2009, [7] I w a e j k o R., Ocea dokładośc parametrów ezawodoścowych systemów wodocągowych kaalzacyjych, Część II, Ocey statystycze, Czasopsmo Techcze z. 2-Ś/2009, Wyd. Poltechk Krakowskej, Kraków 2009, [8] o ł o w j e w A.D., Aaltycze metody w teor ezawodośc, WNT, Warszawa 983. [9] W e c z y s t y A., Nezawodość systemów wodocągowych kaalzacyjych, t., Teora ezawodośc jej zastosowaa, Cz. I II, krypt dla studetów wyŝszych szkół techczych do przedmotu Optymalzacja systemów zaopatrzea w wodę usuwaa śceków, Wyd. Poltechk Krakowskej, Kraków 990. [0] W e c z y s t y A. (red.), Metody ocey podoszea ezawodośc dzałaa komualych systemów zaopatrzea w wodę, Moografe Komtetu IŜyer Środowska Polskej Akadem Nauk, Vol. 2, Kraków 200.