O testowaniu jednorodności współczynników zmienności

Transkrypt

1 NR 6/7/ BIULETYN INSTYTUTU HODOWLI I AKLIMATYZACJI ROŚLIN 003 STANISŁAW CZAJKA ZYGMUNT KACZMAREK Katedra Metod Matematyczych Statystyczych Akadem Rolczej, Pozań Istytut Geetyk Rośl PAN, Pozań O testowau jedorodośc współczyków zmeośc O testg the homogeety of coeffcets of varato Omaway jest przyblżoy test dla badaa jedorodośc współczyków zmeośc, poday przez Beetta (976). Do testowaa hpotezy zerowej o rówośc k współczyków zmeośc propoowaa jest statystyka. Z posadająca przyblżoy rozkład χ z (k-) stopam swobody. Sposób testowaa rówośc współczyków zmeośc uzupełoy jest o formacje dotyczące przydatośc testu w różych sytuacjach praktyczych, uzyskae a podstawe przeprowadzoych badań symulacyjych. Słowa kluczowe: obszar krytyczy, statystyka Z, waracja, współczyk zmeośc A approxmate test for homogeety of coeffcets of varato gve by Beett (976) s descrbed. The approxmate Z statstc for testg the ull hypothess of homogeety for k coeffcets of varato s proposed. It s approxmately dstrbuted as χ wth (k-) degrees of freedom. Addtoal formato cocerg usefuless of the Z test dfferet practcal stuatos, obtaed o the bass of smulato study, s also gve. Key words: coeffcet of varato, crtcal rego, varace, Z statstc WSTĘP W welu problemach geetyk loścowej dotyczących charakterystyk badaych populacj, obok mar położea takch jak średa arytmetycza, medaa czy wartość modala, wykorzystywae są mary rozproszea (dyspersj), spośród których odchylee stadardowe, waracja współczyk zmeośc ależą do ajczęścej stosowaych. Powszeche praktykowae jest podawae średch arytmetyczych odchylea stadardowego lub waracj dla opsu populacj o rozkładze ormalym. Często jedak oprócz porówywaa średch dla tych populacj koecze jest porówae waracj. Ne stwarza żadego problemu porówae zmeośc dwu populacj pod względem tej samej cechy. Stosoway jest wówczas test F będący lorazem oce waracj wyzaczo- Praca wykoaa częścowo w ramach gratu KBN 5 PO6A 009 5

2 Stasław Czajka... ych a podstawe obserwacj w próbach opsujących badae populacje. Możlwe jest także porówae zmeośc wększej lczby populacj, których obserwacje dotyczą jedej cechy. Pomocy może okazać sę w tym wypadku test Bartletta weryfkujący hpotezę o rówośc waracj k populacj ormalych. Szczegółowy ops tego testu moża zaleźć mędzy ym w podręczkach Eladt (964) Grea (987). Jeśl jedak celem byłoby określee porówae zmeośc populacj pod względem różych cech, ajlepszą marą wydaje sę być współczyk zmeośc wyrażay zazwyczaj w procetach. Powstaje pytae, czy tak jak w przypadku waracj, możlwe jest testowae rówośc współczyków zmeośc. Przyblżoy test dla jedorodośc współczyków zmeośc został zapropooway przez Beetta (976). W pracy omówoy jest sposób testowaa rówośc współczyków zmeośc, a także przeprowadzoe jest, poprzez oblczea symulacyje, badae wpływu lczby obserwacj oraz lczby porówywaych współczyków zmeośc a wyk testowaa. APROKSYMACYJNY TEST DLA JEDNORODNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKÓW ZMIENNOŚCI Omówmy pożej sposób testowaa jedorodośc współczyków zmeośc zapropooway przez Beetta (976). Weźmy pod uwagę k prób ezależych o lczeboścach,,..., k pobraych z k populacj ormalych N(µ, σ ). Ozaczmy przez CV = σ /µ, (µ > 0), współczyk zmeośc dla -tej populacj ( =,,...,k). Wówczas testowaą hpotezę zerową H 0 o jedorodośc współczyków zmeośc możemy zapsać astępująco: H 0 : CV = CV =... = CV k = CV = cost. Hpotezę alteratywą H jest brak rówośc współczyków zmeośc dla co ajmej dwóch populacj. W celu przeprowadzea weryfkacj hpotezy H 0 wprowadzamy astępujące ozaczea: przez x, x, x3,..., x określmy zbór obserwacj z próby dla populacj X `, przez 3 ` x, x, x,..., x zbór obserwacj z próby dla populacj X, wreszce przez: x, x, x,..., x zbór obserwacj z próby dla populacj X k. k k k3 k k ` Nech poadto = k ozacza sumę wszystkch obserwacj, welkość x = x j średą z próby dla -tej populacj, j = atomast S = ( xj x ) warację z próby dla -tej populacj. j= Wówczas: S z = jest oceą współczyka zmeośc z próby dla -tej populacj. x 6

3 Stasław Czajka... Odpowedą statystyką dla testowaa hpotezy H 0 jest statystyka Z postac: k z z k = + z + z Z = ( k)log ( )log, k = mająca przyblżoy rozkład χ z (k-) stopam swobody. Hpotezę H 0 o jedorodośc współczyków zmeośc odrzucamy a pozome stotośc α, jeśl: Z > χ. α ; k WYNIKI BADAŃ SYMULACYJNYCH W celu sprawdzea przydatośc testu Z w różych sytuacjach praktyczych oraz określea wpływu lczby porówywaych populacj k lczebośc obserwacj a jedorodość współczyków zmeośc odpowadających wspomaym populacjom, wykoao badaa symulacyje. Testowae hpotezy H 0 przeprowadzoo a pozomach stotośc α = 0,05, α = 0,0 α = 0,00 dla wszystkch możlwych kombacj k =, 3,...,0 oraz = 0, 0,...,00 przy stałej różcy d (%) mędzy poszczególym współczykam zmeośc wyoszącej %, %, 3%, 4%, 5%, 0%, 5% 0%. Wartośc statystyk Z, wylczoe były dla każdego k każdego dotyczyły zborów CV rozpoczyających sę od współczyka zmeośc rówego % z krokem r = 5%. Pożej podajemy wybrae przykłady oblczeń symulacyjych. Przykład Testowae a pozome stotośc α = 0,0 jedorodośc dwóch współczyków zmeośc (H 0 : CV = CV ) różących sę o 5% przy lczeboścach prób wyoszących 70. Mamy zatem: k = ; = = 70; d = 5%; r = 5%; α = 0,0. Krok. CV = %,CV = 6%, Z = 67,386** H 0 odrzucoa Krok. CV = 6%,CV = %, Z = 0,58** H 0 odrzucoa Krok 3. CV = %,CV = 6%, Z = 3,97 H 0 eodrzucoa χ 0,0; = 6,635. Przykład Testowae a pozome stotośc α = 0,0 jedorodośc trzech współczyków zmeośc (H 0 : CV = CV = CV 3 ) różących sę o 0% przy lczeboścach prób wyoszących 90. Mamy zatem: k = 3; = = 3 = 90; d = 0%; r = 5%; α = 0,0 Krok. CV = %, CV = %, CV 3 = %, Z = 84,98** H 0 odrzucoa Krok. CV = 6%, CV = 6%, CV 3 = 6%, Z = 6,708** H 0 odrzucoa 7

4 Stasław Czajka... Krok 3. CV = %, CV = %, CV 3 = 3%, Z = 33,655** H 0 odrzucoa Krok 4. CV = 6%, CV = 6%, CV 3 = 36%, Z = 0,7** H 0 odrzucoa Krok 5. CV = %, CV = 3%, CV 3 = 4%, Z = 3,740** H 0 odrzucoa Krok 6. CV = 6%, CV = 36%, CV 3 = 46%, Z = 9,564** H 0 odrzucoa Krok 7. CV = 3%, CV = 4%, CV 3 = 5%, Z = 6,884 H 0 eodrzucoa χ 0,0; = 9,0. Przykład 3 Testowae a pozome stotośc α = 0,05, jedorodośc trzech współczyków zmeośc (H 0 : CV = CV = CV 3 ) różących sę o 0% przy lczeboścach prób wyoszących 30. Mamy węc: k = 3; = = 3 = 30; d = 0%; r = 5%; α = 0,05. Krok. CV = %,CV = %, CV 3 = 4%, Z = 75,60* H 0 odrzucoa Krok. CV = 6%,CV = 6%, CV 3 = 46%, Z = 3,458* H 0 odrzucoa Krok 3. CV = %,CV = 3%, CV 3 = 5%, Z = 0,033* H 0 odrzucoa Krok 4. CV = 6%,CV = 36%, CV 3 = 56%, Z = 3,564* H 0 odrzucoa Krok 5. CV = %,CV = 4%, CV 3 = 6%, Z = 9,636* H 0 odrzucoa Krok 6. CV = 6%,CV = 46%, CV 3 = 66%, Z = 7,059* H 0 odrzucoa Krok 7. CV = 3%,CV = 5%, CV 3 = 7%, Z = 5,85 H 0 eodrzucoa χ 0,05; = 5,99. Przykład 4 Testowae a pozome stotośc α = 0,05 jedorodośc czterech współczyków zmeośc (H 0 : CV = CV = CV 3 = CV 4 ) różących sę o 5% przy lczeboścach prób wyoszących 0. Mamy zatem: k = 4; = = 3 = 4 = 0; d = 5%; r = 5%; α = 0,05. Krok. CV = %, CV = 6%, CV 3 = 3%, CV 4 = 46%, Z = 54,03* H 0 odrzucoa Krok. CV = 6%, CV = %, CV 3 = 36%, CV 4 = 5%, Z = 4,63* H 0 odrzucoa Krok 3. CV = %, CV = 6%, CV 3 = 4%, CV 4 = 56%, Z = 5,766* H 0 odrzucoa Krok 4. CV = 6%, CV = 3%, CV 3 = 46%, CV 4 = 6%, Z = 0,70* H 0 odrzucoa Krok 5. CV = %, CV = 36%, CV 3 = 5%, CV 4 = 66%, Z = 7,706 H 0 eodrzucoa χ 0,05; = 7,85. Wyk badań symulacyjych moża także przedstawć grafcze wyzaczając dla różych zborów współczyków zmeośc pewe obszary krytycze, tz. obszary, w których zbory k współczyków zmeośc e są jedorode. Góre grace tych obszarów są wyzaczoe dla kolejych = 0, 0,...,00 poprzez testowae hpotezy o jedorodośc k współczyków zmeośc, z krokem r = 5%, poczyając od CV = % do mometu gdy wartość statystyk Z e przekroczy wartośc krytyczej χ 0,05; k. Wówczas wartość ajższego współczyka zmeośc w zborze k współczyków jedorodych określa górą gracę obszaru dla daego k. Rysuek przedstawa obszary krytycze ejedorodośc k (=, 4, 6 8) współczyków zmeośc (różących sę o stałą welkość d = 5%), wyzaczoe przy pozome stotośc α = 0,05. 8

5 Stasław Czajka Współczyk zmeośc w (%) Coeffcet of varato ( %) Lczba obserwacj () Number of observatos () k= k=4 k=6 k=8 Rys.. Obszary krytycze o ejedorodośc k (=, 4, 6, 8) współczyków zmeośc (różących sę o stałą welkość d = 5%), wyzaczoe przy pozome stotośc 0,05 Fg.. Crtcal areas of uhomogeety of k (=, 4, 6, 8) coeffcets of varato (wth the dfferece d = 5%), obtaed at the sgfcace level 0.05 WNIOSKI. Przy zachowau stałych lczb obserwacj, stałej różcy d mędzy sąsadującym współczykam zmeośc stałej lczbe k współczyków zmeośc, prawdopodobeństwo, że staowć oe będą zbór jedorody wzrasta wraz ze wzrostem wartośc porówywaych współczyków.. Przy stałych lczbach obserwacj, stałej różcy d oraz takch samych mmalych wartoścach współczyków zmeośc w daym zborze, prawdopodobeństwo, że zbór k współczyków zmeośc będze jedorody maleje wraz ze wzrostem lczby k. 3. Przy stałej lczbe k populacj, stałej różcy d ustaloej wartośc ajmejszego w zborze współczyka zmeośc, prawdopodobeństwo, że zbór będze jedorody maleje wraz ze wzrostem lczb obserwacj. LITERATURA Beett B. M O a approxmate test for homogeety of coeffcets of varato,. I: Cotrbutos to appled statstcs (ed. W. I. Zegler). Brkhäuser Verlag: Eladt R Statystyka matematycza w zastosowau do dośwadczalctwa rolczego. PWN, Warszawa. Greń J Statystyka matematycza. PWN. Warszawa. 9