ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU

Transkrypt

1 Haa Dudek a, Moka Dybcak b a Katedra Ekoometr Iformatyk SGGW b studetka Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr e-mal: hdudek@mors.sggw.waw.pl ZASTOSOWANIE MODELU LOGITOWEGO DO ANALIZY WYNIKÓW EGZAMINU Streszczee: W pracy podjęto próbę wyjaśea przyczy wysokego udzału oce egatywych uzyskaych z egzamu z ekoometr a Mędzywydzałowym Studum Iformatyk Ekoometr SGGW. W celu określea welkośc wpływu czyków objaśających wyk egzamu zastosowao model logtowy. Model te staow jede z rodzajów model dwumaowych, w których zmea objaśaa jest zmeą zerojedykową. Przedstawoo metody estymacj weryfkacj modelu logtowego. Podao sposób terpretacj otrzymaych wyków. Na podstawe oszacowaego modelu stwerdzoo, Ŝe systematycza praca w cągu semestru oraz dobry wypoczyek bezpośredo przed psaem pracy egzamacyjej zwększały prawdopodobeństwo zdaa otrzymaa ocey pozytywej. Słowa kluczowe: model logtowy, zmea zerojedykowa, wyk egzamu. WSTĘP Uzyskae ocey egatywej z egzamu jest przykrym dośwadczeem. Ozacza koeczość poowej weryfkacj wedzy z daego przedmotu. W ektórych wyŝszych uczelach ezdae egzamu w perwszym terme wąŝe sę z utratą otrzymywaa stypedum aukowego w astępym roku akademckm. Regulam Szkoły WyŜszej Gospodarstwa Wejskego e arzuca takch sakcj. JedakŜe egatywa ocea uzyskaa poowe a egzame poprawkowym przekreśla zwykle moŝlwość ubegaa sę o take stypedum. Zdecydowae powaŝejszą kosekwecją jest zasadcza trudość w kotyuowau studów. Negatywa ocea uzyskaa a egzame moŝe meć takŝe zaczee psychologcze. Studet czasem zastaawa sę ad tym, czy wybrał właścwy keruek studów oraz czy w ogóle powe studować. RozwaŜaa take rzadko bywają kostruktywe. Dlatego teŝ powo sę mmalzować ryzyko ezdaa egzamu. W pracy tej podjęto próbę aalzy zaleŝośc wyku egzamu od róŝych czyków a podstawe zbudowaego modelu ekoometryczego. Oszacoway model moŝe pomóc odpowedzeć a pytae jak zwększyć prawdopodobeństwo uzyskaa ocey pozytywej.

2 8 DANE EMPIRYCZNE Aalzowae w pracy dae dotyczą studetów trzecego roku pęcoletch dzeych studów magsterskch Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr SGGW w roku akademckm 004/005. Studec w semestrze zmowym uczęszczal a zajęca z Ekoometr w wymarze 30 godz wykładów 30 godz ćwczeń. Ekoometra była a keruku studów Iformatyka ekoometra przedmotem kerukowym kończącym sę egzamem z lczbą puktów ECTS wyoszącą 5. W roku akademckm 004/005 a trzecm roku pęcoletch studów dzeych magsterskch Mędzywydzałowego Studum Iformatyk Ekoometr SGGW zarejestrowaych było 8 osoby. Do egzamu z przedmotu Ekoometra w perwszym terme przystąpło 77 studetów. 5 osób e zdawało wtedy egzamu z powodu braku zalczea ćwczeń bądź z powodu choroby. Oceę pozytywą otrzymało 45 studetów, co staowło 58,44% wszystkch zdających. Po kosultacjach ze studetam ustaloo zestaw czyków wpływających a wyk egzamu. Na podstawe tych formacj sporządzoo aomową aketę teretową. Odpowedzało a ą 39 studetów, wśród których 3 zdały egzam, co staowło 58,97% wszystkch osób udzelających odpowedz. Procetowy udzał lczby prac egzamacyjych z oceą pozytywą był zatem zblŝoy do aalogczego udzału wśród wszystkch osób przystępujących do egzamu. Dzęk akece teretowej otrzymao formacje, a podstawe których określoo astępujące zmee: Y przyjmującą wartość jeśl studet zdał egzam z ekoometr w perwszym terme oraz 0 w przypadku otrzymaa ocey egatywej, X określającą lczbę opuszczoych godz wykładów ćwczeń z ekoometr, X odoszącą sę do lczby godz pośwęcoych a aukę dywdualą tego przedmotu przed egzamem, X 3 ozaczającą oceę uzyskaą a zalczee ćwczeń z ekoometr, X 4 określających lczbę godz su daego studeta w ostatej dobe przed egzamem. PoŜej przedstawoo krótką charakterystykę zmeych X, X, X 3 X 4. Tabela. Mary połoŝea zróŝcowaa zmeych Zmee: Mary: X X X 3 X 4 Średa arytmetycza 3,4 33,77 3,85 7,06 Medaa 3,00 5,00 4,00 7,00 Odchylee stadardowe 3,5 7,38 0,67,0 Mmum Maksmum Źródło: oblczea włase.

3 83 Najwększym zróŝcowaem cechuje sę X - współczyk zmeośc wyos 89,74%. Bardzo budujące są formacje dotyczące meday rozkładu tej zmeej - absecja co ajmej 50% studetów e przekraczała 3 godz. Wśród badaych 39 osób byl studec, którzy e opuścl a jedych zajęć, rekordzśc zaś e byl obec a godzach. Współczyk zmeośc dla X jest rówy 8,08%, co śwadczy o zaczym zróŝcowau lczby godz pośwęcoej a aukę dywdualą przed egzamem. Średo do egzamu przygotowywao sę ok. 30 godz, zdarzały sę przy tym osoby uczące sę jedye godzy jak take, które pośwęcały 00 godz. Zmee X 3 X 4 charakteryzują sę stosukowo ewelkm zróŝcowaem, współczyk zmeośc są zblŝoe: dla X 3-7,40% oraz dla X 4-7,00%. Zwraca tu uwagę stosukowo wysoka średa uzyskaa a zalczee ćwczeń oraz fakt, Ŝe co ajmej połowa aketowaych studetów spała przed egzamem e mej Ŝ 7 godz. Dla powyŝszych zmeych zbudowao model, w którym zmeą objaśaą jest Y a zestaw potecjalych zmeych objaśających staową X, X, X 3 X 4. MODELE ZMIENNYCH JAKOŚCIOWYCH Modele dwumaowe (dychotomcze są ajprostszym ajpopularejszym modelam, w których zmea objaśaa jest zmeą jakoścową. W modelach tych zmea objaśaa jest kwatyfkowaa za pomocą zmeej zerojedykowej. Nech y ozacza -tą realzację zmeej zerojedykowej Y. Zmea y ma rozkład Beroullego. Przyjmuje wartość z prawdopodobeństwem P oraz wartość 0 z prawdopodobeństwem -P. Wartość oczekwaa zmeej y wyos: E( y = P + 0 ( P = P ( W modelach dwumaowych zakłada sę, Ŝe P jest fukcją wektora wartośc zmeych objaśających x dla -tego obektu oraz wektora parametrów β: T P = P( y = = F( xβ ( W zaleŝośc od typu fukcj F wyróŝa sę róŝe rodzaje model [Judge. 985]. Do ajbardzej zaych aleŝą: T T lowy model prawdopodobeństwa, którym P = F( x β = x β, (3 T xβ T t model probtowy, gdze P = F( xβ = exp dt, π (4 model logtowy, dla którego P = F( x T β = + exp T x β. (5 ( Zastosowae ajprostszego z przedstawoych model - lowego modelu prawdopodobeństwa ma wele egatywych kosekwecj [Gruszczyńsk 00, Maddala 00].

4 84. Składk losowy modelu y = x T β + ε jest heteroskedastyczy, gdyŝ Var( ε = P ( P.. Składk losowy modelu y = x T β + ε e ma rozkładu ormalego, co powoduje trudośc w zastosowau testów stotośc. 3. Wartośc y ˆ = x T b mogą wykraczać poza przedzał [0, ] (przez b ozaczoo wektor oce wektora parametrów β. 4. Współczyk determacj R w modelu LMP przyjmuje zwykle bardzo ske wartośc. Poadto, jak wskazuje Gujarat [Gujarat 003], fudametaly problem w stosowau LMP polega a przyjęcu załoŝea, Ŝe prawdopodobeństwo w sposób lowy zaleŝy od zmeych objaśających, co jest rówozacze z załoŝeem, Ŝe krańcowy efekt jest stały. W wększośc problemów praktyczych zaleŝość prawdopodobeństwa od zmeych objaśających jest elowa. Jak wskazują ektórzy autorzy modele probtowe logtowe są podobe do sebe w praktyce wykorzystuje sę jede z ch [Judge. 985]. MODEL LOGITOWY Wartość fukcj odwrotej do F, określoej wzorem (5, czyl P F ( P = l (6 P azywa sę logtem. Stąd dla modelu (5 przyjęło sę w lteraturze przedmotu określee model logtowy. Na podstawe tego modelu moŝa określć margaly przyrost prawdopodobeństwa: T ( xβ T ( x β P exp = β j = β jp ( P. (7 x [ + exp ] j P ( 0 PoewaŜ P >, (8 to zak parametru stojącego przy zmeej X j określa keruek wpływu X j a Y: dodatemu β j odpowada wzrost prawdopodobeństwa tego, Ŝe Y=, jeśl X j zwększa sę, ujememu β j towarzyszy spadek prawdopodobeństwa tego, Ŝe Y=, jeśl X j zwększa sę, przy załoŝeu, Ŝe pozostałe zmee objaśające pozostają bez zma. Do terpretacj oszacowaego modelu logtowego wykorzystuje sę róweŝ P wyraŝee azywae lorazem szas. Iloraz szas określa zatem stosuek P prawdopodobeństwa, Ŝe Y= do prawdopodobeństwa, Ŝe Y=0. PoewaŜ

5 85 P exp( P = T xβ, zatem exp( β j formuje le razy zwększa sę loraz szas jeśl zmea X j wzrasta o jedostkę, ceters parbus. Na podstawe oszacowaego modelu Pˆ = + exp b b x... b x moŝa określć progozy: * y ˆ =, jeśl > p oraz Pˆ ( 0 k k * y ˆ = 0, jeśl Pˆ p * Zwykle przyjmuje sę wartość odcającą p = 0,5. JedakŜe ektórzy autorzy [Judge. 985] propoują ustalć tę wartość w tak sposób, aby uwzględć fakt ezblasowaa próby. Przez próbę ezblasowaą uwaŝa sę próbę, gdze róŝ sę od 0,. gdze 0 -lczba przypadków, dla których odpowedo Y * przyjmuje wartość oraz 0. W takej sytuacj propouje sę p =, gdze = 0 +. ESTYMACJA PARAMETRÓW MODELU LOGITOWEGO Do estymacj parametrów β 0, β,...β k stosuje sę zwykle metodę ajwększej warygodośc. Jeśl dyspouje sę -elemetową próbą y, y,...,y, gdze kaŝda z y przyjmuje wartość z prawdopodobeństwem P określoym jako (5, to fukcja warygodośc ma postać: L = Π P = y y ( P, (9 stąd logarytm tej fukcj moŝa zapsać jako: l L = [ y l P + ( y l( P ] = P y l + l( P = = P (0 = Wykorzystując zaleŝość (5 otrzymuje sę: l L = y ( β0 + βx βk xk + l = = + exp ( β0 + βx βk xk ( NaleŜy zatem przy zaych wartoścach y, x,...,x k, =,,...,, oszacować tak parametry β 0, β,...β k, by zapewały maksymalą wartość logarytmu fukcj warygodośc. W tym celu aleŝy oblczyć pochode cząstkowe perwszego rzędu fukcj ll przyrówać je do zera. Otrzymuje sę wówczas k+ rówań elowych; ( β0 + βx + + βk xk ( x x l L exp... = ( y = 0 ( β + β + β + + β 0 = exp 0... k k

6 86 M ( β0 + βx + + βk xk ( x x l L exp... β + β + β + + β = ( y x = 0 (3 = exp 0... k k ( β0 + βx + + βk xk ( x x l L exp... = ( y xk = 0 (4 β + β + β + + β k = exp 0... k k PowyŜsze rówaa są elowe ze względu a parametry β 0, β,...β k. Ne moŝa podać aaltyczych wzorów określających estymatory tych parametrów. Dlatego teŝ do poszukwaa maksmum logarytmu fukcj warygodośc aleŝy zastosować procedury teracyje. Macerz drugch pochodych jest ujeme określoa dla wszystkch wartośc parametrów β 0, β,...β k [Gujarat 003]. To ozacza, Ŝe logarytm fukcj warygodośc jest fukcją wklęsłą, zatem maksmum lokale jest maksmum globalym. Zwykle węc osągaa jest zbeŝość w procese teracyjym. TESTY ISTOTNOŚCI PARAMETRÓW Estymatory parametrów uzyskae metodą ajwększej warygodośc mają asymptotyczy rozkład ormaly są asymptotycze ajefektywejsze. Zatem dla dostatecze duŝych prób do testowaa statystyczej stotośc parametrów moŝa wykorzystać asymptotyczy test t Studeta. Do weryfkacj hpotezy zerowej: H 0 : β j = 0, (5 wobec hpotezy alteratywej: H : β j 0, =,,...,k, wykorzystuje sę takŝe statystykę lorazu warygodośc [Greee 000]: LR = (l Lˆ l Lˆ (6 j Rj UR gdze ll ˆ Rj jest wartoścą maksymalą logarytmu fukcj warygodośc dla modelu z wyrazem wolym zawerającego zmee X,...X j-, X j+,...,x k, (tj. bez zmeej X j, ll ˆ UR - wartość wartoścą maksymalą logarytmu fukcj warygodośc dla pełego modelu (tj. ze zmeym X,...X j-, X j, X j+,...,x k. Statystyka LR j ma dla duŝych prób rozkład χ z stopem swobody. Test lorazu warygodośc stosuje sę takŝe do weryfkacj hpotezy o braku statystyczej stotośc wszystkch parametrów przy zmeych objaśających Hpoteza zerowa ma wtedy postać: H 0 : β = β =...=β k =0, (7 a hpotezę alteratywą moŝa sformułować w astępujący sposób: H : co ajmej jede parametr β j 0, =,,...,k. Wtedy statystyka lorazu warygodośc moŝe być zapsaa jako:

7 87 LR = (l Lˆ l ˆ R LUR, (8 gdze ll ˆ R jest maksymalą wartoścą logarytmu fukcj warygodośc dla modelu zawerającego jedye wyraz woly, ll ˆ UR - wartoścą maksymalą logarytmu fukcj warygodośc dla pełego modelu. Statystyka LR ma dla duŝych prób rozkład χ z k stopam swobody. OCENA ZGODNOŚCI MODELU Z DANYMI EMPIRYCZNYMI Dla model barych stosuje sę róŝe mary oceające zgodość modelu z daym empryczym. Wele z tych mar kostruuje sę a zasadze odpowedków klasyczego współczyka determacj dla modelu lowego szacowaego metodą ajmejszych kwadratów. Najprostszą marą jest kwadrat współczyka korelacj mędzy wartoścam empryczym zmeej objaśaej a wartoścam wyzaczoym z modelu: ˆ R = [ r( y, P]. (9 Propozycja Efroa zaś opera sę a pomyśle, aby we wzorze a klasyczy współczyk determacj : podstawć PoewaŜ R = = = ˆ ( y P [Maddala 00].: = R = = Efro = ( y y e ( y Pˆ ( y y 0 ( y y = y y = = = = zamast sumy kwadratów reszt (0, ( to współczyk Efroa moŝa zapsać jako: R ( ˆ Efro = y P ( 0 = gdze 0 -lczba przypadków, dla których odpowedo Y przyjmuje wartość oraz 0. Koleja mara zapropoowaa przez McFaddea dotyczy modelu szacowaego za pomocą metody ajwększej warygodośc:

8 88 ˆ l LUR RMcFadde = (3 l Lˆ R gdze ll ˆ R jest wartoścą maksymalą logarytmu fukcj warygodośc dla modelu zawerającego jedye wyraz woly, ll ˆ UR - wartość maksymala logarytmu fukcj warygodośc dla pełego modelu. Te współczyk jest w tym sese odpowedkem klasyczego współczyka determacj, Ŝe przyjmuje wartość 0 jeśl b = b =...b k =0 oraz wartość w przypadku dealego dopasowaa, gdy pˆ = y dla kaŝdego =,,..., [Greee 000, Gujarat 003]. Do określea zgodośc modelu z daym wykorzystuje sę takŝe merk dokładośc progoz [Judge. 985]. Welu praktyków uwaŝa bowem, Ŝe o jakośc modelu decyduje trafość progoz uzyskwaych a jego podstawe. Najczęścej wykorzystuje sę tu marę podaą przez Maddalę azywaą przez Gruszczyńskego zlczeowym R : 00 + Zlczeowy R = (4 gdze 00 - lczba obserwacj, dla których yˆ = y = 0, - lczba obserwacj, dla których yˆ = y =. Zlczeowy R określa zatem udzał poprawe progozowaych przypadków w łączej lczbe przypadków. Wszystke podae tu mary zgodośc przyjmują wartośc z przedzału [0, ]. Wartośc 0 odpowada brak dopasowaa. Im blŝsze jest R, tym wększa zgodość modelu z daym empryczym. WYNIKI Oszacoway model ma postać: Pˆ = (5 + exp[ ( 57,34, 06x + 0, 7x +, 77x3 + 6,6 x4 ] W tabel przedstawoo wyk badaa statystyczej stotośc parametrów. Tabela. Wyk testu lorazu warygodośc Parametr Wartość LR Stope swobody Wartość krytycza testu χ dla pozomu stotośc 0,05 β 4,6 3,84 β 6,339 3,84 β 3 4,3656 3,84 β 4 8,574 3,84 Łącze β, β, β 3, β 4 43, ,779 Źródło: Oblczea włase wykoae przy pomocy programu Statgraphcs

9 89 Na podstawe testu lorazu warygodośc moŝa sądzć, Ŝe parametry β, β, β 3, β 4 są statystycze stote. NaleŜy jedak wyk uzyskae a podstawe tego testu przyjąć z ostroŝoścą z powodu ewelkej lczebośc próby. Dla oszacowaego modelu określoo wartośc mar zgodośc z daym empryczym. PoewaŜ współczyk korelacj mędzy wartoścam zmeej Y a wartoścam prawdopodobeństwa wyzaczoym z modelu wyósł 0,96, to ˆ R = [ r( y, P] =0,838. ZblŜoe wartośc otrzymao a podstawe mar R = 0,8349 oraz Efro R = 0,858. PoewaŜ a 39 badaych osób 3 zdały McFadde 3 egzam, to wartość odcającą ustaloo a pozome p * = = 0,5897. Progozy 39 wyzaczao zatem w astępujący sposób: gdy pˆ > 0,5897 yˆ = (6 0 gdy pˆ 0,5897 Na tej podstawe oblczoo lczbę poprawe progozowaych przypadków. Tabela 3. Klasyfkacja przypadków Lczba obserwacj, dla których: y ˆ = y ˆ = 0 Razem y = 3 y = Razem Źródło: oblczea włase Zlczeowy R = = = 0,9487, stąd emal w 95% klasyfkacja 39 przypadków okazała sę prawdłowa. Weryfkacja statystycza modelu polegająca a określeu stopa dopasowaa modelu do daych oraz a badau statystyczej stotośc parametrów przebegła pozytywe, moŝa zatem przejść do etapu terpretacj modelu. Na podstawe zaku ocey parametru stojącego przy zmeej X j moŝa określć keruek wpływu zmeej objaśającej a prawdopodobeństwo zdaa egzamu. Zatem poewaŝ b <0, to zwększee lczby opuszczoych zajęć zmejszało prawdopodobeństwo uzyskaa ocey pozytywej, b >0, węc wzrost czasu auk dywdualej powodowało zwększae szasy zdaa egzamu, Dotyczy to zwłaszcza parametrów β β 3.

10 90 b 3 >0, to poprawa ocey z zalczea ćwczeń ozaczała wzrost prawdopodobeństwa zdaa egzamu, b 4 >0, węc pośwęcee węcej czasu a se w ostatej dobe przed egzamem poprawało szasę otrzymaa ocey pozytywej, ceters parbus. Iterpretując lorazy szas dla poszczególych zmeych (zakładając, Ŝe pozostałe zmee uwzględoe w modelu pozostawały bez zma uzyskuje sę formację: zwększee absecj a zajęcach o godzę powodowało spadek lorazu szas o 65,45%, wzrost czasu auk dywdualej zwększało te loraz o 30,59%, poprawa ocey z zalczea ćwczeń o stopeń łączyła sę z 6-to krotym wzrostem lorazu szas, wydłuŝee su w ostatej dobe przed egzamem o godzę powększało 477 razy loraz szas. Zdumewać moŝe tak duŝy wpływ su a wyk egzamu. Być moŝe osoby, które pozwolły sobe a dług se, to studec bardzo uzdole, e obawający sę o wyk egzamu. Zmea ukryta odosząca sę do zdolośc byłaby wtedy reprezetowaa przez zmeą określającą lczbę godz su w ostatej dobe przed egzamem. Zjawsko to daje sę takŝe wytłumaczyć moŝlwą erzeteloścą udzelaych przez studetów formacj, a podstawe których oszacowao parametry modelu. PoewaŜ margaly przyrost prawdopodobeństwa zaleŝy od wartośc zmeych objaśających, poŝej podao przykładowo wartośc tych przyrostów dla wybraego studeta. Osoba ta opuścła 3 jedostk lekcyje zajęć, pośwęcła 0 godz a przygotowae sę do egzamu, z ćwczeń a zalczee uzyskała oceę 3 oraz ostatej doby przed egzamem pośwęcła 7 godz a se. Tabela 4. Wartośc przyrostów margalych prawdopodobeństwa dla wybraych wartośc zmeych objaśających. Wartośc X X X 3 X 4 Zmeych objaśających Przyrostów margalych -0,008 0,0004 0,0046 0,000 prawdopodobeństwa Źródło: oblczea włase Opuszczee jedostk lekcyjej węcej zajęć spowodowałoby zmejszee sę prawdopodobeństwa zdaa egzamu o 0,008, ceters parbus. Pośwęcee o godzę węcej a aukę dywdualą poprawłoby prawdopodobeństwo uzyskaa ocey pozytywej z egzamu o 0,0004, przy załoŝeu, Ŝe pozostałe zmee pozostawałyby bez zma. Uzyskae o stopeń wyŝszej ocey a zalczee zwększyłoby prawdopodobeństwo zdaa egzamu o 0,0046, ceters parbus.

11 9 Zwększee długośc su o godzę poprawłoby prawdopodobeństwo uzyskaa ocey pozytywej z egzamu o 0,000, zakładając, Ŝe pozostałe zmee pozostawałyby bez zma. NaleŜy w tym mejscu podkreślć, Ŝe rozwaŝaa osoba otrzymała oceę 3.0 z zalczea ćwczeń oraz przygotowywała sę do egzamu przez jedye 0 godz, stąd ewelke wartośc przyrostów margalych prawdopodobeństw. Dla studeta słabego lewego jedostkowe zwększee daej zmeej objaśającej, ceters parbus, e przyczya sę w zaczący sposób do zmay prawdopodobeństwa zdaa egzamu. PoŜej przedstawoo dwe przykładowe progozy uzyskae a podstawe oszacowaego modelu logtowego. Tabela 5. Progozy zdaa egzamu Numer progozy X X X 3 X , ,5 6 0,607 0 Źródło: oblczea włase Na podstawe formacj przedstawoych w tabel 5 moŝa sądzć, Ŝe osoba, która opuścłaby 5 jedostek lekcyjych zajęć, przezaczyłaby 0 godz a przygotowae sę do egzamu, z ćwczeń a zalczee uzyskałaby oceę 4 oraz w ostatej dobe przed egzamem pośwęcła 8 godz a se, zdałaby egzam. Natomast studet z oceą 3,5 zalczającą ćwczea, który e był obecy a jedej godze lekcyjej, uczący sę do egzamu 40 godz śpący jedye 6 godz w cągu doby bezpośredo przed egzamem e uzyskałby ocey pozytywej z egzamu. PODSUMOWANIE W pracy wykorzystao dae pozyskae a podstawe przeprowadzoej wśród studetów aomowej akety teretowej. Z powodu braku formacj a temat rzetelośc udzelaych odpowedz, trudo jest oceć warygodość otrzymaych tu wyków. Zakładając jedak, Ŝe studec udzelal prawdzwych formacj, podjęto próbę wyjaśea przyczy wysokego udzału oce egatywych uzyskaych z egzamu z ekoometr a Mędzywydzałowym Studum Iformatyk Ekoometr SGGW. W celu określea welkośc wpływu czyków objaśających rezultat egzamu wykorzystao wyk otrzymae a podstawe oszacowaego modelu logtowego. Iterpretacja oce parametrów modelu prowadz do wosku, Ŝe systematycza auka w cągu całego semestru (mała lczba opuszczoych zajęć wysoka ocea a zalczee ćwczeń zwększała prawdopodobeństwo zdaa egzamu. Bezpośredo przed egzamem aleŝało powtórzyć materał, Pˆ ŷ

12 9 ewetuale uzupełć luk w wedzy dobrze wyspać sę. Zdumewająco duŝy wpływ a wyk egzamu mała długość su studetów. WyraŜoo przypuszczee, Ŝe osoby które pozwolły sobe a dług se mogły być bardzo uzdoloym studetam, e obawającym sę o wyk egzamu. LITERATURA Greee W.H. (000 Ecoometrc Aalyss. Pretce Hall Ic., Upper Saddle Rver, New Jersey. Gruszczyńsk M. (00 Modele progozy zmeych jakoścowych w fasach bakowośc. Ofcya Wydawcza SGH. Warszawa. Gujarat D. N. (003 Basc Ecoometrcs. McGraw Hll. Judge G. G., Hll C., Grffths W. E., Lütkepohl H., Lee T. (985 The Theory ad Practce of Ecoometrcs, Joh Wley&Sos. New York. Maddala C. S. (00 Itroducto to Ecoometrcs. Joh Wley&Sos. New York. Applcato of Logt Model to Aalyss of Examato Results Summary: The am of ths paper s applcato of logt model to explaato of examato results ecoometrcs o Iterfaculty Studes Computer Sceces ad Ecoometrcs. Logt model s the type of the bary choce models, where explaed varable s dummy. Methods of estmato ad measuremet of goodess of ft are preseted the paper. Moreover terpretato of the estmated logt model s descrbed. O the bass of estmated model t s foud that systematc learg durg semester ad good rest mmedately before wrtg examato paper creased probablty of passg the examato. Key words: logt model, dummy varable, result of examato.