UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM KAPITAŁOWYM

Transkrypt

1 MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XV/3, 214, sr PROPOZYCJA MODYFIKACJI KŁADKI NEO W UBEZPIECZENIACH NA ŻYCIE Z FUNDUZEM KAPIAŁOWYM UWZLĘDNIAJĄCA DODAKOWE RYZYKO FINANOWE Magdalena Homa Unwersye Wrocławsk e-mal: homam@rawo.un.wroc.l reszczene: Wycena klasycznych ubezeczeń na życe oara jes na zasadze równoważnośc uwzględna ryzyko śmerc oraz zmanę warośc enądza w czase czyl zw. ryzyko akuaralne. aka wycena akuaralna zakłada sraegę zabezeczającą, kórą rudno jes realzować frmom ubezeczenowym oferującym złożone roduky ubezeczenowe jakm są m.n. ubezeczena z funduszem kaałowym UFK. W ubezeczenach ego yu śwadczena ołączone są z ryzykem fnansowym, kóre ne odlega dywersyfkacj w zwązku z ym wycena ownna uwzględnać en dodakowy asek. Dlaego eż w racy zaroonowano modyfkację sosobu kalkulacj składk neo dla ubezeczeń UFK będącą kombnacją ujęca akuaralnego fnansowego. Zaroonowano aby rzy kalkulacj składk uwzględnć zarówno ryzyko akuaralne jak fnansowe zwązane z konrakem ubezeczenowym łączącym asek ubezeczenowy z nwesycjam. łowa kluczowe: ubezeczene z funduszem kaałowym UFK, wycena rzeływów enężnych, zasada równoważnośc, meoda Mone Carlo UBEZPIECZENIE Z FUNDUZEM KAPIAŁOWYM Koncecja ubezeczena UFK Ubezeczene z funduszem kaałowym UFK o umowa na życe lub dożyce omędzy ubezeczonym a ubezeczycelem, zgodne z kórą ubezeczony ołaca składk, a w zaman frma ubezeczenowa zaewna śwadczene w wysokośc równej wększej z warośc: kwoy gwaranowanej oznaczonej,

2 Modyfkacja składk neo w ubezeczenach na życe 87 sumy wynkającej z warośc orfela referencyjnego zależnej od kszałowana sę ceny funduszu oznaczonej b. ym samym ubezeczene UFK różn sę zasadnczo od klasycznych ubezeczeń na życe dożyce ym, że jes owązane z nwesowanem środków ochodzących ze składek w wydzelone fundusze. W Polsce konraky yu UFK umożlwają ubezeczonemu gromadzene oszczędnośc w ndywdualne uworzonym rzez nego orfelu nwesycyjnym, składającym sę z funduszy rowadzonych rzez nezależne od ubezeczycela zewnęrzne owarzyswa FI. Fundusze nwesycyjne różną sę od względem ryzyka olyk nwesycyjnej, a oneważ ubezeczena UFK mają owarą srukurę są ransarenne dają ubezeczonym możlwość decydowana o składze orfela w okrese rwana ubezeczena. W rzecweńswe do klasycznego ubezeczena na życe, w kórym kosz ubezeczena wyrażony w ołacanej składce jes jednakowy rzez cały okres ubezeczena ne wynka z welkośc ryzyka w danym roku, ale z uśrednonego ryzyka całego okresu ubezeczena, w ubezeczenach UFK kosz en zmena sę w zależnośc od wła obcążena zwązanego ne ylko z ryzykem śmerc, ale równeż z dodakowym ryzykem fnansowym zależnym od ceny jednosek funduszu. Warość orfela referencyjnego a wyłaa z yułu ubezeczena W ubezeczenu UFK, analogczne jak w radycyjnym ubezeczenu, zakład ubezeczeń zgodne z umową zobowązuje sę do wyłay śwadczena w zależnośc od yu konraku: z yułu dożyca końca okresu ubezeczena UD, w rzyadku śmerc w okrese jego rwana UZ. W rzecweńswe do radycyjnych ubezeczeń na życe dożyce losowy jes uaj ne ylko momen wyłay ale równeż jej wysokość zależna od warośc orfela ceny jednosk funduszu w momence wyłay. Przyjmując, że ubezeczony w chwl nwesuje część składk ubezeczenowej w wysokośc w wybrane akywa fundusze oferowane wraz z ubezeczenem UFK z ceną 1 określoną jako zakuuje odowedno jednosek akywów. Buduje w en sosób warość orfela referencyjnego wyrażoną wzorem [chrager n. 24]: mn{ u u> } 1 1 X. 1 u u W ubezeczenu UFK ubezeczycel łącząc charaker ochronny nwesycyjny wyłaca ubezeczonemu w momence zajśca zdarzena objęego umową wyższą z warośc: kwoy gwaranowanej warośc rynkowej orfela. Zaem wyłaa z yułu ubezeczena w chwl jes odowedną funkcją u

3 88 Magdalena Homa zakumulowanej nwesycj zależną od ceny jednosek funduszu jes ona równa [chrager n. 24, Balloa n. 26]: {, X } ma{ X } X b X. 2 ma, Nasęne uwzględnając zmanę warośc enądza w czase wyznaczono zakualzowaną na momen warość wyłay dokonanej w chwl z yułu zdarzena objęego umową jes równa [Bacnello 23]: b, δ V e b X ~, 3 δ e V X, ~ V X, e X. Z owyższego wzoru wynka, że konrak yu UFK może być wycenany jako klasyczne ubezeczene odowedno na życe lub dożyce z sumą ubezeczena erwszy człon wyrażena lus ewenualna nadwyżka gdze δ wynkająca z warośc orfela zależna od średnej ważonej ceny akywów człon drug wyrażena. Przy wycene rzeływów wynkających z klasycznego ubezeczeń na życe uwzględna sę ryzyko soy rocenowej, naomas ryzyko w ubezeczenu UFK jes rozszerzone obejmuje dodakowo ryzyko nwesycj. Warość akuaralna wyłay Warość akuaralna śwadczena lub składk w klasycznych ubezeczenach na życe jes waroścą oczekwaną zakualzowanej welkośc śwadczena lub składk. W ubezeczenu UFK rzy oblczanu warośc oczekwanej srumen łanośc należy uwzględnć hsorę doyczącą rocesu śmerelnośc ceny. ąd warość akuaralna srumena łanośc w ubezeczenu UFK oblczana jes jako warunkowa warość oczekwana zdyskonowanych łanośc, od warunkem całej hsor rocesu określana ogólnym wzorem [Bowers n. 1997]: gdze { } 1 E B B b F, 4 F flracja określająca hsorę rocesu w chwl. W rzyadku klasycznych ubezeczeń flracja oara jes na rocese umeralnośc zn.: F σ Ι,, 1, K, l gdze { } rzyszły czas życa -ego ubezeczonego, l lczba osób w orfelu ubezeczenowym Naomas w rzyadku ubezeczeń z funduszem kaałowym należy uwzględnć dodakowo rynek fnansowy zwązane z nm ryzyko, w zwązku z ym w kalkulacjach należy uwzględnć nasęującą flrację:

4 Modyfkacja składk neo w ubezeczenach na życe 89 { Ι,, 1, K, l } F H σ 5 gdze o flracja zależna od modelu rynku. Zakłada sę, że rynek fnansowy jes dealny wszyscy mają aką samą wedzę o nm, a nformacje orzymywane są wyłączne z obserwacj rocesu cen. Wówczas o σ- cele zakładamy, że jes flracją oarą na rocese ceny. Zaem flracja F określa ełną nformację dosęną w chwl doyczącą zarówno rocesu śmerelnośc kszałowana sę cen. Uwzględnając ę flrację, a ym samym rozszerzone ryzyko akuaralne wyznaczono warość akuaralną wyłay z yułu dożyca końca okresu ubezeczena oraz z yułu śmerc w okrese rwana ubezeczena sanowące odsawę dalszych kalkulacj składk neo. Ze względu na fak, że ryzyko fnansowe ne odlega dywersyfkacj rzeływy enężne zwązane z ubezeczenem UFK wycenono dla jednorodnego orfela ubezeczeń. Warość akuaralna wyłay wyrażonej wzorem 3 z yułu ubezeczena na dożyce rzy założenu nezależnośc rocesu umeralnośc rocesu cen można wyrazć wzorem: l [, F ] E[ e b ] δ E B D 1, 6 gdze o rawdoodobeńswo rzeżyca ubezeczonego w weku okresu. Naomas w rzyadku ubezeczena na życe warość akuaralna wyłay z yułu śmerc zosaje wyłacona każdemu ubezeczonemu z yułu śmerc wyraża sę wzorem: E l [ ] δ BZ, E[ e b ] F µ d, 7 1 gdze µ oznacza nensywność umeralnośc w weku. Z owyższych wzorów wynka, że wyznaczene warośc akuaralnej wyłay z yułu ubezeczena UFK wymaga dodakowych założeń co do modelu rynku fnansowego w zakrese rocesu kszałowana sę cen. KALKULACJA KŁADKI NEO DLA UBEZPIECZENIA UFK Zasada równoważnośc jednorazowa składka neo W klasycznych ubezeczenach na życe dożyce warość składk neo wyznacza sę na odsawe warośc oczekwanej zdyskonowanych rzyszłych rzeływów enężnych czyl ch warośc akuaralnych. Podsawę ych kalkulacj sanow klasyczna zasada równoważnośc zgodne, z kórą warość

5 9 Magdalena Homa akuaralna składek śwadczeń wynkająca z zawarej umowy ubezeczena w całym okrese ubezeczena ownna sę blansować. Dla jednorazowej składk neo łanej w momence zasada ma osać [Bowers n. 1997]: Π F n o b e E δ, 8 gdze n - okres ubezeczena ermnowego. kładka neo wynkająca z owyższej zasady nazywana jes srawedlwą w radycyjnych ubezeczenach wyznacza sę ją uwzględnając soę wolną od ryzyka oraz ryzyko śmerelnośc. W rzyadku gdy frma ubezeczenowa osada duży orfel o zgodne z rawem welkch lczb ryzyko śmerc jes dywersyfkowane. W rzyadku ubezeczeń UFK ubezeczycel onos z yułu gwarancj dodakowo ryzyko fnansowe ne ma możlwośc jego dywersyfkacj. Należy odkreślć, że w Polsce najczęścej oferowane są ubezeczena UFK bez sumy gwaranowanej, a ym samym ubezeczycel ne uwzględna go w kalkulacjach. Zaem składka w ubezeczenu UFK z wyłaą określoną wzorem 2 ownna być wyznaczona rzy uwzględnenu rozszerzonej flracj generowanej rzez orfel ubezeczenowy w zakrese rocesu śmerelnośc fnansowy w zakrese rocesu cen. Wykorzysując wyrowadzone wzory na warość akuaralną 6 7 rzyjmując jednorazowa składka neo UFK zgodne z zasadą równoważnośc 9 wyraża sę ogólnym wzorem: [ ] [ ] µ δ δ d b E e b E e l Π 1. 1 Cena a ryzyko fnansowe UFK Uwzględnając fak, że w ubezeczenu UFK wyłaa zależy od warośc rynkowej orfela referencyjnego o rzekszałcenach orzymuje sę nasęujący wzór jednorazowej składk neo: [ ] [ ] Π µ µ δ δ δ δ d e e d X E e X E e l 1 11

6 Modyfkacja składk neo w ubezeczenach na życe 91 δ Warość oczekwaną E[ e h ] nazywa sę Ceną arbrażową nsrumenu h w chwl <, oewającego na akywa o cene osanej rzez roces { } o ermne zaadalnośc [Jajuga K., Jajuga. 26]. W zwązku z ym rzyjmując oznaczene: E δ [ e X ] C X, wzór 11 na jednorazową składkę neo wyznaczoną według zasady równoważnośc z rozszerzoną na rynek fnansowy flracją rzyjme osać: Π l δ δ e e µ d l I Π Π UZ UD C X,, C X µ d Π II Π X Powyższy wzór jes uogólnenem wzoru na jednorazową składkę neo j.s.n w ubezeczenach życowych. Perwsza część wzoru określa wysokość należnej składk w klasycznych ubezeczenach na życe lub dożyce z sumą ubezeczena. Część druga o dodakowa część składk wynkająca z ryzyka fnansowego orfela referencyjnego ubezeczena UFK. Zaem dokonując kalkulacj składk neo dla ubezeczena UFK należy ołączyć ujęce akuaralne z fnansowym, w zakrese narzędz sosowanych do wyceny ocj euroejskej w rzyadku ubezeczena na życe amerykańskej w ubezeczenu na dożyce. Należy jednak zauważyć, że wyznaczona składka zgodne z zasadą równoważnośc charakerysycznej dla kalkulacj składk w ubezeczenach na życe, ne uwzględna w ełn secyfk ubezeczeń na życe z funduszem kaałowym wynkającej z faku, że w ubezeczenach ego yu welkość wyłay ne jes znana w momence kalkulacj składk. Analogczna syuacja ma mejsce w ubezeczenach neosobowych, dlaego eż roonuje sę w rzyadku ubezeczeń UFK sosować zmodyfkowane zasady określana składek charakerysyczne dla ubezeczeń neosobowych. Zasady e oare są na zasadze równoważnośc, ale uwzględnony jes równeż dodaek na ryzyko [Moller 23]. Dlaego eż należałoby zmodyfkować owyższy wzór w ak sosób aby uwzględnć dodakowe ryzyko obejmujące losowy charaker wyłay. Wówczas wzór na jednorazową składkę rzyjmuje ogólną osać: ΠUZ UD Π Π 13 Π X Var X 12

7 92 Magdalena Homa Perwsze dwa składnk owyższego wzoru o odowedno składka klasycznego ubezeczena na życe dożyce oraz część składk rzeznaczona na okryce ryzyka fnansowego wynkającego z warośc rynkowej orfela referencyjnego, naomas osan człon o część składk rzeznaczona na okryce ryzyka wynkającego z losowego charakeru wyłay odowedna mara zróżncowana. W konekśce ubezeczeń z funduszem kaałowym, w kórych losowa wyłaa zależna jes od warośc orfela referencyjnego w momence wyłay roonuje sę zasosowane zasad oarych na warośc oczekwanej marach zróżncowana. a część składk wyraża sę wówczas wzorem: Π Var X Var e δ Var b [ B, B, { > } ] D Ι δ { > } e b dn { > } Z Do wyznaczena warancj odchylena sandardowego orzebna jes węc znajomość ne ylko warośc oczekwanej ale równeż momenu zwykłego drugego rzędu oraz momenu meszanego oszczególnych srumen łanośc. Posęując analogczne jak rzy wyznaczanu warośc oczekwanej wyznacza sę drug momen rzeływów, naomas do wyznaczena momenu meszanego zasosowane werdzene Fubnego o całce odwójnej z funkcj o rozdzelonych zmennych [Błaszczyszyn B., Rolsk.]. Osaeczne odowedne warośc wyznaczono numeryczne wykorzysano ake Mahemaca. KALKULACJA KŁADKI NEO DLA PRZYKŁADOWEO UBEZPIECZENIA Z FUNDUZEM KAPIAŁOWYM Przykładowy orfel ubezeczena UFK Jako rzykład rzeanalzowano konrak ermnowy UFK na życe lub dożyce zgodne, z kórym jeśl ubezeczony umrze o ubezeczycel wyłac mu gwaranowaną sumę ubezeczena lus nadwyżkę wynkającą z warośc orfela. Ubezeczony orzyma równeż analogczną wyłaę w syuacj dożyca końca okresu ubezeczena. Ponado rzyjęo, że ubezeczony może realzować różne sraege nwesycyjne różncując ym samym zysk wynkające ze zmennej warośc orfela. W analze uwzględnono najlesze fundusze UFK oferowane w Polsce w czerech gruach orfel: PAK orfel akcj, P - orfel sablnego wzrosu, PZR - orfel zrównoważony oraz PPD - orfel aerów dłużnych. W celu rzerowadzena wyceny kalkulacj składk neo dla oszczególnych yów ubezeczena UFK należy rzerowadzć symulację: rocesu cen rzy założonym modelu rynku fnansowego oraz rocesu śmerelnośc rzy rzyjęym modelu śmerelnośc. Jako model rynku fnansowego rzyjęo klasyczny model Blacka-cholesa Blacka-Merona-cholesa z horyzonem. Zakładamy, że

8 Modyfkacja składk neo w ubezeczenach na życe 93 mamy do czynena z rynkem dealnym, na kórym mamy aer ryzykowny jednosk wybranego rzez ubezeczonego funduszu, o cene zadanej wzorem [Jakubowsk 211].: d µ d σ dw gdze W jes rocesem Wenera sandardowy ruch Browna, - rzyszła cena nsrumenu bazowego, - cena rzeczywsa nsrumenu bazowego, µ - średna rocesu, σ - odchylene sandardowe rocesu. Jedynym rozwązanem owyższego równana różnczkowego jes: Proces 1 2 e σ W µ 2 σ 2 2 ma rozkład lognormalny zn. ln ~ N ln µ σ σ., 2 Na rynku ym mamy równeż rachunek ze sałą soą rocenową kaalzację cągłą j. roces warośc jednosk enężnej jes równy: B e δ e ln 1 r Na ak osanym rynku µ odzwercedla sałe endencje zmany cen jednosek funduszu nazywa sę soą arecjacj, odchylene sandardowe σ odzwercedla zmenność cen, naomas soa rocenowa r o soa wolna od ryzyka. Ze względu na rawdłowy os dynamk śmerelnośc w oulacj dla rzedzału wekowego 3-8 la, do wyznaczena rawdoodobeńswa śmerc wykorzysano rawo omerza-makehama zgodne, z kórym naężene zgonów wyraża sę wzorem: µ A Bc Na odsawe Ż dla mężczyzn rzerowadzono aroksymację funkcj orzymano nasęujące esymaory najwększej warygodnośc aramerów: A,4; B,34674; c 1 Na ej odsawe wyznaczono rawdoodobeńswo rzeżyca śmerc wykorzysane w rzykładze.,6 ymulacja wysokośc składk neo dla wybranych UFK Do wyceny konraków yu UFK usalena srawedlwej składk według wzoru 13 sona saje sę kwesa orawnej wyceny nsrumenu fnansowego jakm jes ocja. W racy do wyceny euroejskej ocj kuna zasosowano osać analyczną, naomas w rzyadku amerykańskej ocj kuna, dla kórej ne ma jawnej osac analycznej ceny zasosowano meodę symulacyjną Mone-Carlo

9 94 Magdalena Homa ozwalającą najogólnej oblczać warośc oczekwane ewnych rozkładów rawdoodobeńswa. Przy zasosowanu meody Mone Carlo do wyceny ocj kuna wykorzysywany jes fak, że rozkład warośc nsrumenu bazowego w dnu wygaśnęca ocj jes zdeermnowany rzez usalony roces sochasyczny. Przy zasosowanu osanego modelu ewolucj cen sosując meodę Mone Carlo, orzez welokrone symulacje orzymano rozkład końcowych warośc nsrumenu erwonego, na kóry wysawona jes ocja. Procedurę wyznaczana warośc ocj kończy szacowane warośc oczekwanej. Nasęne z uwzględnenem rzyjęego modelu rocesu śmerc, rzerowadzono kalkulację należnej jednorazowej składk neo 1. Wynk dla ubezeczonego mężczyzny w weku 3 la z gwaranowaną sumą ubezeczena równą 1j. soą wolną od ryzyka 5% nwesującego w orfele referencyjne zameszono w onższych abelach. abela 1 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na dożyce z orfelem PAK ermn Π UD ,52 53,63 21,2 3 27,2 66,44 19, ,69 75,7 17, ,6 7,79 17, ,5 53,71 12,55 Źródło: oracowane własne abela 2 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na dożyce z orfelem PZR ermn Π UD ,52 4,76 19, 3 27,2 54,82 18, ,69 63,11 15, ,6 62,19 14, ,5 47,75 1,74 Źródło: oracowane własne abela 3 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na dożyce z orfelem PW ermn Π UD ,525 16,77 13, ,27 28,4 12, ,69 38,7 11, ,623 41,76 9, ,571 35,5 6,66 Źródło: oracowane własne 1 Do oblczeń numerycznych wykorzysano ake Mahemaca.

10 Modyfkacja składk neo w ubezeczenach na życe 95 abela 4 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na dożyce z orfelem PPD ermn Π UD ,525,28 7, ,27 2,66 6, ,69 9,62 5, ,623 18,32 3, ,571 21,5 1,96 Źródło: oracowane własne abela 5 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na życe z orfelem PAK ermn Π UZ 25 25,58 27,84 4, ,91 5,94 7, ,44 92,74 1, ,85 163,74 14, ,9 268,67 17,79 Źródło: oracowane własne abela 6 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na życe z orfelem PZR ermn Π UZ 25 25,58 21,76 2, ,91 38,51 5, ,44 74,52 9, ,85 12,47 12, ,9 239,21 16,4 Źródło: oracowane własne abela 7 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na życe a z orfelem PW ermn Π UZ 25 25,58 19,51 1,5 3 37,91 36,24 2, ,44 71,57 5, ,85 116,31 8, ,9 21,35 12,12 Źródło: oracowane własne abela 8 Jednorazowa składka neo ubezeczena UFK na życe z orfelem PPD ermn Π UZ 25 25,58 1,76, 3 37,91 17,58, 35 55,44 29,97, ,85 52,84 1, ,9 94,26 5,89 Źródło: oracowane własne

11 96 Magdalena Homa Na odsawe owyższych symulacj można swerdzć, że erwsza część składk wyznaczona w radycyjny sosób zarówno w ubezeczenu UZ jak UD, nezależne od rzyjęej sraeg nwesycyjnej ma aką samą warość, co śwadczy o ym, że wynka ona z uśrednonego ryzyka śmerc. Jes o odejśce charakerysyczne dla ubezeczeń życowych owerdza koneczność orakowana ubezeczeń UFK w sosób szczególny sosując zasady rzysane w ujęcu czyso akuaralnym do ubezeczeń neosobowych. Wynk wskazują, że w ubezeczenach z funduszem kaałowym wysokość składk neo ownna być wyższa uwzględnać dodakowe ryzyko decyzj nwesycyjnych ubezeczonego. Ryzyko wynkające ze sraeg nwesycyjnej ubezeczonego znajduje okryce w dodakowych członach składk, kóre w sosób sony zwększają jej wysokość, zaewnając jednocześne wyłacalność ubezeczycela. Ich kszałowane jako funkcj okresu ubezeczena rzedsawono na onższych wykresach. Rysunek 1 Dodaek na ryzyko orfela część składk w ubezeczenu UZ UD PAK PW PZR PPD Rysunek 2 Dodaek na ryzyko orfela część składk w ubezeczenu UZ UD 2 25 PAK PZR PW 15 PPD Źródło: oracowane własne

12 Modyfkacja składk neo w ubezeczenach na życe 97 Na wykresach rzedsawono dwe częśc składk rzeznaczone na okryce ryzyka fnansowego zwązanego ze zmaną ceny jednosek funduszu ryzyka wynkającego z losowego charakeru wyłay. Jak można było oczekwać w ubezeczenu UFK na życe są one rosnącą, wyukłą funkcją nezależne od rzyjęej sraeg. Naomas w ubezeczenu UFK na dożyce o funkcje wklęsłe rosnąco-malejące. Bez wąena kszał orzymanych funkcj zdeermnowany jes rzez rawdoodobeńswo zajśca zdarzena objęego umową. WNIOKI Na odsawe uzyskanych wynków można swerdzć, że nezależne od rzyjęej rzez ubezeczonego sraeg nwesycyjnej ryzyko fnansowe deermnuje w sosób sony wysokość składk. W zwązku z ym ne ownno być omjane w rzerowadzanych wycenach kalkulacjach. Proonowane rozszerzene flracj określającej ełną nformację dosęną w chwl doyczącą rocesu śmerelnośc kszałowana sę cen, zasosowane meod wyceny ocj euroejskej amerykańskej, jak równeż sojrzene na ubezeczena UFK orzez ryzma ubezeczeń neosobowych wydaje sę być zasadne. ake odejśce wymusza kalkulacje składk będącą kombnacją odejśca akuaralnego fnansowego. BIBLIORAFIA Bacnello A. 23 Far Valuaon of uaraneed Lfe Insurance Parcang Conac Embeddng a urrender Oon, he Journal of Rsk and Insurance, Vol.7, No. 3. Balloa L., Habermann. 26 he far valuaon roblem of guaraneed annuy oons: he sochasc moraly envronmen case, Insurance Mahemacs & Economcs, nr 38. Błaszczyszyn B., Rolsk.: Podsawy maemayk ubezeczeń na życe. Warszawa: Wydawncwo Naukowo-echnczne 24 Bowers N.L., erber H.U.,Hckman J.C, Jones D.A., Nesb C Acuaral mahemacs, he ocey of Acuares, chaumburg. Jajuga K., Jajuga. 26 Inwesycje, PWN Warszawa. Jakubowsk J. 211 Modele maemayczne rynków nsrumenów ochodnych I, Unwersye Warszawsk. Hardy M. 23 Invesmen uaranees. Modelng and Rsk Managemen for Equy- Lnked Lfe Insurance, John Wley & ons Inc. Moller. 23 Indfference rcng of nsurance conracs In a roducs ace model: alcaons, Insurance Mahemacs & Economcs, nr 32. Moller.,effensen M. 27 Marke valuaon mehods n lfe and enson nsurance, Cambrdge Unversy Press, Cambrdge. chrager D., Pelsser A. 24 Prcng Rae of Rerun uaranees n Regular Premum Un Lnked Insurance, Insurance Mahemacs & Economcs, nr 35.

13 98 Magdalena Homa PROPOIION MODIFICAION OF NE PREMIUM FOR LIFE INURANCE WIH EQUIY FUND INCLUDIN FINANCIAL RIK Absrac: Valuaon of radonal lfe nsurance s based on he rncle of equvalence, akng no accoun he rsk of deah and change n me value of money e. acuaral rsk. uch acuaral valuaon nvolves hedgng sraegy, whch s dffcul o mlemen by he nsurance comanes offerng nsurance wh equy fund un-lnked nsurance. In hs ye of nsurance benefs are lnked o fnancal rsk, whch s no subjec o he dversfcaon and, herefore, he valuaon should ake no accoun hs addonal asec. herefore, n hs arcle hrough combnng a fnancal and acuaral aroach, roosed a modfcaon of he mehod of calculaon of he ne remums for he un-lnked nsurance. he value of ne remum are deermned as an arorae condonal eeced value ncludng eended acuaral rsk rsk of deah and also fnancal rsk. Keywords: un-lnked nsurance, he valuaon of cash flows n ULIP, ne remum, he rncle of equvalence, acuaral rsk, he Mone Carlo mehod