WYKORZYSTANIE PODEJŚCIA QUASI-HIERARCHICZNEGO W WIELOKRYTERIALNYM DRZEWIE DECYZYJNYM*

Transkrypt

1 Unwersye Ekonomczny w Kaowcach Wydzał Informayk Komunkacj Kaedra Badań Oeracyjnych macej.nowak@ue.kaowce.l WYKORZYSTANIE PODEJŚCIA QUASI-HIERARCHICZNEGO W WIELOKRYTERIALNYM DRZEWIE DECYZYJNYM* Sreszczene: Drzewo decyzyjne jes efekywnym narzędzem osu dynamcznych rocesów decyzyjnych w warunkach ryzyka. Korzysając z nego dąży sę zwykle do wyznaczena rozwązana oymalzującego warość oczekwaną rozważanego kryerum decyzyjnego. Sosunkowo rzadko narzędze o jes wykorzysywane do rozwązywana roblemu welokryeralnego, w kórym decyden jes zaneresowany realzacją klku wzajemne konflkowych celów. W racy rzedsawono meodę ozwalającą na rozwązane roblemu osanego welokryeralnym drzewem decyzyjnym za omocą odejśca quas-herarchcznego. Zakładamy, że decyden jes w sane określć herarchę kryerów oraz określć, w jakm sonu można ogorszyć oymalną warość kryerum o wyższym roryece w celu orawy warośc kryerum o nższej wadze. Sosób dzałana meody zlusrowano rzykładem oarym na danych umownych. Słowa kluczowe: odejmowane decyzj w warunkach ryzyka, drzewo decyzyjne, analza welokryeralna, odejśce quas-herarchczne. Wrowadzene Decyzja zwykle rozumana jes jako koneczność dokonana wyboru jednego z welu możlwych sosobów osęowana. W warunkach rzeczywsych, zwłaszcza gdy waga roblemu jes duża, jes ona wynkem weloeaowego rocesu, w rakce kórego wyracowywane są fragmeny decyzj [Roy, 990]. Co węcej, wele roblemów decyzyjnych z samej swej naury ma charaker * Projek zosał sfnansowany ze środków Narodowego Cenrum Nauk rzyznanych na odsawe decyzj numer DEC-203//B/HS4/047.

2 60 dynamczny. W ch wyadku decyzja ne jes odejmowana jednorazowo, lecz welokrone. Cząskowe wybory są ze sobą wzajemne owązane, gdyż wcześnejsze decyzje wływają na o, jake warany będą mogły być rozważane w kolejnych fazach rocesu. Konsekwencje decyzj ujawnają sę w blższej lub dalszej rzyszłośc, kóra z samej swej naury jes neewna. Precyzyjne oszacowane skuków dokonywanych wyborów zwykle ne jes możlwe. O wele częścej nformacje, kórym dysonuje decyden, są neełne, fragmenaryczne. W akej syuacj ownen on, na le o możlwe, osarać sę oszerzyć swoją wedzę na ema analzowanego roblemu. O le uzyskane danych ozwalających na zasosowane modelu deermnsycznego zazwyczaj ne jes możlwe, o yle wysłk e mogą zaowocować uzyskanem częścowej wedzy ozwalającej na oszacowane rozkładów rawdoodobeńswa rerezenujących oceny rozważanych kryerów ze względu na analzowane kryera. Mamy wówczas do czynena z roblemem określanym w leraurze jako zagadnene odejmowana decyzj w warunkach ryzyka. Wygodnym narzędzem modelowana rozwązywana dynamcznych roblemów odejmowana decyzj w warunkach ryzyka jes drzewo decyzyjne. Dzęk grafcznemu zlusrowanu roblemu nawe skomlkowane zagadnene może być w rzedsawone w czyelny sosób. W klasycznym ujęcu zadane olega na wyznaczenu rozwązana, dla kórego warość oczekwana analzowanego kryerum jes oymalna. Sosunkowo rzadko jes ono naomas wykorzysywane w roblemach welokryeralnych. Jako erws emaykę ę odjęl Hames, L Tulsan [990], kórzy zaroonowal algorym wyznaczana rozwązań srawnych. Welokryeralne drzewo decyzyjne analzował równeż Loosma [997], kóry rzedsawł sosób rozwązana roblemu rzy wykorzysanu dwóch meod welokryeralnych: AHP oraz SMART. Z kole Frn, Guoun Marel [202] rzedsawl algorym, kóry ne wymaga wyznaczana rozwązań srawnych. Zgodne z ch roozycją, w celu wyznaczena rozwązana końcowego należy w każdym węźle decyzyjnym wykorzysać jedną z welokryeralnych meod wsomagana decyzj. W nnejszej racy rzedsawono meodę oarą na odejścu quas- -herarchcznym. Zakłada sę, że decyden jes w sane zdefnować herarchę kryerów oraz określć, w jakm sonu można ogorszyć oymalną warość kryerum o wyższym roryece w celu orawy warośc kryerów o roryece nższym. Poszukując rozwązana końcowego roblemu zaczynamy od wyznaczena rozwązań, dla kórych kryera rzyjmują warośc ne nższe nż warośc rogowe określone rzez decydena. Nasęne wykorzysujemy herarchę kryerów do wyznaczena oymalnego rozwązana roblemu.

3 Wykorzysane odejśca quas-herarchcznego Welokryeralne drzewo decyzyjne Rozważamy roces decyzyjny składający sę z T eaów. W drzewe decyzyjnym wykorzysujemy dwa yy węzłów: decyzyjne (rerezenowane rzez kwadray) oraz losowe (rzedsawane w forme kółek). Krawędze wychodzące z węzłów decyzyjnych rerezenują warany decyzyjne, zaś krawędze zaczynające sę w węzłach losowych odowadają sanom naury, czyl akm waranom rozwoju syuacj, kóre ozosają oza konrolą decydena, a kóre oddzałują na rzebeg rocesu. Zakładamy, że znany jes rozkład rawdoodobeńswa zajśca oszczególnych sanów naury. Każda śceżka w drzewe, zakończona określonym węzłem końcowym, rerezenuje jedną z możlwych realzacj rocesu, na kóry składa sę cąg decyzj odejmowanych rzez decydena oraz sanów naury, kóre zrealzowały sę w kolejnych węzłach losowych. Przyjmjmy nasęujące oznaczena: T lczba eaów, z kórych składa sę analzowany roces decyzyjny, Y zbór węzłów decyzyjnych, w kórych roces może sę znaleźć w eae : T + Y zbór węzłów końcowych: ( y ) Y = { y, K, y }, T + T + T + Y = { y, K, y }, X zbór decyzj, kóre mogą być odjęe w węźle decyzyjnym ( x ) n n T + ( y ) = { x, K, x } X m, Ξ j zbór sanów naury, kóre mogą zajść, gdy w węźle y zosała odjęa decyzja x, j ( ) {, x = ξ K, ξ } Ξ j j j M, P ξ ) rawdoodobeńswo zajśca sanu naury ξ ( j k ( y x ξ ) j j k j j j k ξ =, T,, n j, m j k, M k = y :, rzy czym: Ω,, funkcja rzejśca określająca węzeł decyzyjny lub końcowy, w kórym znajdze sę roces, jeżel w węźle zajdze san naury ξ, j k y zosane odjęa decyzja x j

4 62 Sraegą xˆ nazywamy wekor, kórego składowe określają decyzje, jake ownny być odjęe w oszczególnych węzłach decyzyjnych: 2 2 T x ˆ = [ xˆ, xˆ,..., xˆ, K, xˆ ]. n2 Z unku wdzena decydena sone będą składowe odowadające ym węzłom decyzyjnym, kóre mogą być osągnęe w wynku zasosowana rozważanej sraeg. Podjęce decyzj w eae owoduje bowem, że rzejśce do nekórych węzłów z eau + oraz eaów nasęnych ne jes możlwe. Mogłoby sę zaem wydawać, że nformacja na ema decyzj rzysanych do akch węzłów jes zbędna. Wykorzysamy ją jednak do wyznaczena kolejnych rozwązań rozważanego roblemu. Przez u oznaczymy wekor określający, kóre z węzłów decyzyjnych są osągalne w wynku zasosowana sraeg xˆ : nt 2 2 T u = [ u, u,..., u, K, u ]. n2 Przyjmujemy, że u (erwszy węzeł decyzyjny jes zawsze osągalny). = Warośc ozosałych elemenów wekora u wyznaczamy korzysając z nasęującej formuły: u nt gdy τ τ = τ, y τ ξ j k Ξ ˆ 0 w ozosałych wyadkach τ τ τ τ ( ) y Ω ( ˆ l y x, ξ j k ) x Y l =. Rozwązane roblemu ownno określać decyzje dla ych węzłów, kóre są osągalne w wynku zasosowana rozważanej sraeg. Jes ono zaem defnowane rzez e składowe wekora xˆ, dla kórych odowedna składowa wekora u rzyjmuje warość. Oznacza o, że dwe różne sraege xˆ oraz xˆ q mogą generować o samo rozwązane roblemu. Będze ak wówczas, gdy jednocześne będą sełnone nasęujące warunk:, T, n u = u q oraz u = x T n = x,, q. ˆ ˆ W racy rozważamy roblem welokryeralny. Zakładamy zaem, że rozwązana ocenane są ze względu na K kryerów, rzy czym oceny e są dokonywane na odsawe warośc oczekwanej. Ponado rzyjmujemy, że decyden

5 Wykorzysane odejśca quas-herarchcznego kryera, gdy roces zakończy sę w ym węźle. Przez ( ) referuje wyższe warośc kryerów w sosunku do warośc nższych oraz, że dla każdego węzła końcowego określono warośc, jake uzyskają oszczególne T + f oznaczymy war- T + ość kryerum k uzyskwaną w węźle końcowym y. Chcąc wyznaczyć warość oczekwaną kryerum k dla sraeg xˆ należy oblczyć warośc oczekwane ego kryerum dla każdego węzła decyzyjnego o- G y oznacza warość oczekwa- czynając od węzłów z osanego eau. Nech ( ) ną kryerum k uzyskwaną w węźle k k y y, gdy sosowana jes sraega xˆ. Dla wę- T + T + złów końcowych rzyjmować będzemy, że G k ( y ) = fk ( y ) warośc ( ) k y τ Gk ( y ) = P( ξ j k ) Gk ( yl ),. Do wylczena G dla węzłów decyzyjnych wykorzysamy nasęującą formułę: =. Jako warość kryerum k dla sraeg xˆ rzyj- τ gdze: yl Ω ( y, xˆ, ξ j k ) mujemy ( ) j k ξ Ξ ( xˆ ) G k y. Rozwązane roblemu olega na określenu decyzj, kóre ownny być odjęe w ych węzłach decyzyjnych, w kórych roces może sę znaleźć w kolejnych eaach. W rzyadku jednokryeralnym jego wyznaczene rozoczyna sę od usalena decyzj, jake ownny być odejmowane w węzłach decyzyjnych z osanego eau. Nasęne cofamy sę o jeden ea wsecz dla każdego węzła decyzyjnego z rzedosanego eau określamy decyzje, kóre ozwolą na uzyskane warośc oymalnej, uwzględnając decyzje odejmowane w osanm eae. Procedurę konynuujemy do momenu wyznaczena decyzj oymalnej dla węzła decyzyjnego z eau erwszego. W en sosób orzymujemy sraegę oymalną, kóra dla każdego węzła decyzyjnego określa decyzję oymalną. Rozwązane oymalne określa decyzje oymalne dla ych węzłów decyzyjnych, kóre mogą być osągnęe w rezulace zasosowana sraeg oymalnej. Osany wyżej schema osęowana, określany w leraurze angelskojęzycznej manem foldng-backand-averagng-ou rocedure, może być wykorzysany, gdy kryerum sełna warunk searowalnośc oraz monooncznośc [Trzaskalk, 990]. Gdy rozwązana ocenane są ze względu na wele kryerów, ylko wyjąkowo mamy do czynena z rozwązanam domnującym, czyl akm, kóre oymalzują warośc wszyskch kryerów. W yowym robleme welokryeralnym musmy sę zmerzyć z konflkem kryerów. Częso roonuje sę, by rozwązane roblemu rozocząć od wyznaczena zboru rozwązań srawnych,

6 64 za kóre uznaje sę ake, dla kórych ne jes możlwa orawa warośc kóregokolwek kryerum bez ogorszena warośc rzynajmnej jednego z ozosałych. Algorym wyznaczana rozwązań srawnych dla welokryeralnego drzewa decyzyjnego, w kórym wszyske kryera ocenane są za omocą warośc oczekwanej rzedsawl Hames, L Tulsan [990]. Meoda ozwalająca na wyznaczene rozwązań srawnych, gdy kryera defnowane są ne ylko jako warość oczekwana, ale równeż rawdoodobeńswo zajśca określonego zdarzena lub warunkowa warość oczekwana zosała zaroonowana rzez auora nnejszej racy [Nowak, 203]. Gdy lczba rozwązań srawnych jes newelka, decyden ne ownen meć wększych roblemów z wyborem jednego z nch. W welu wyadkach jednak zbór rozwązań srawnych jes na yle lczny, że dla usalena rozwązana końcowego roblemu koneczne jes skorzysane z określonej rocedury oblczenowej. Jednym z częso sosowanych sosobów rozwązana roblemu welokryeralnego jes meoda quas-herarchczna. Może ona być wykorzysana, gdy decyden jes w sane uorządkować kryera zgodne z ch malejącą wagą, a akże określć, w jakm sonu warość kryerum umeszczonego na wyższym ozome herarch może być ogorszona w celu orawy warośc kryerum o nższym roryece. Podejśce ake wykorzysujemy w nnejszej racy. 2. Wyznaczane rozwązań rawe oymalnych Aby skorzysane z odejśca quas-herarchcznego było możlwe, dla każdego kryerum koneczne jes wyznaczene ne ylko rozwązana oymalnego, ale akże nnych rozwązań sełnających mnmalne wymagana sformułowane rzez decydena, kóre w dalszej częśc racy nazywać będzemy rozwązanam rawe oymalnym. Gdy rozmary roblemu są newelke, wyselekcjonowane akch rozwązań ne srawa wększego roblemu. Jednak gdy rozważamy bardzej skomlkowane zagadnene, analza wszyskch możlwych rozwązań może być kłoolwa. W rzyadku roblemu rzedsawonego w forme drzewa decyzyjnego, ego yu roblem ne był jak doąd szerzej rozważany. Z ego względu onżej rzedsawamy algorym ozwalający na zdenyfkowane rozwązań rawe oymalnych roblemu osanego drzewem decyzyjnym. Przyjmjmy, że decyden określł mnmalny ozom Z k, jak ownna rzyjąć warość oczekwana kryerum k. Zakładamy, że Z k ma warość nższą nż warość uzyskwana dla sraeg oymalnej. Aby wyznaczyć wszyske sraege, dla kórych warość oczekwana jes ne nższa nż Z k, w erwszej kolejnośc należy wy-

7 Wykorzysane odejśca quas-herarchcznego znaczyć sraegę oymalną algorymu:. Dla każdego węzła końcowego xˆ. W ym celu skorzysać można z nasęującego k 2. Przyjmj: = T. 3. Dla każdego węzła decyzyjnego x X y Y rzyjmj: T + T + T + T + ( y ) = f ( y ) G. y Y y oblcz: k wykonaj krok: a) dla każdej decyzj ( j ) τ Fk ( x j ) = P( j k ) Gk ( yl ) τ gdze: y Ω ( y, x, ξ ) b) rzyjmj: l =, j G k j k ( y ) j k ξ Ξ ξ, ( x ) j ( ) = max Fk x j, x X ( y ) j c) Jako F k x j osąga warość maksymalną. 4. Jeżel >, o rzyjmj = rzejdź do kroku (2). 5. Konec rocedury. xˆ rzyjmj decyzję, dla kórej ( ) Dysonując nformacją na ema sraeg oymalnej możemy rzysąć do wyznaczena sraeg rawe oymalnych. Algorym, kóry rzedsawamy onżej, oary jes na dość rosej obserwacj. Zauważmy, że omjając rzyadek rozwązań alernaywnych, modyfkacja sraeg oymalnej orzez zmanę decyzj w kórymkolwek z węzłów decyzyjnych osągalnych rowadz do ogorszena warośc oczekwanej analzowanego kryerum. Aby zaem wyznaczyć sraegę, kóra jes gorsza jedyne od oymalnej, wysarczy rzeanalzować ylko e sraege, kóre różną sę od sraeg oymalnej decyzją rzysaną do jednego z ych węzłów decyzyjnych, kóre są osągalne w wynku jej zasosowana. W rzedsawonym nżej algoryme wykorzysujemy nasęujące zbory: LS lsa sraeg rawe oymalnych, LSB lsa sraeg do rzebadana, czyl akch, kóre mogą być modyfkowane w celu wyznaczena kolejnych sraeg rawe oymalnych. Zbór sraeg rawe oymalnych wyznaczamy w nasęujących krokach:. Przyjmj: LS :=, LSB :=. 2. Wyznacz sraegę xˆ, dla kórej analzowane kryerum osąga warość oymalną.

8 66 3. Zasz sraegę xˆ do zborów LS oraz LSB: = LS { ˆ }, LSB : LSB { ˆ } LS : x =. 4. Jeżel LSB =, o rzejdź do kroku (7). 5. Wyberz dowolną sraegę xˆ ze zboru LSB; usuń ą sraegę ze zboru LSB: { ˆ } LSB := LSB \. 6. Wyznacz wszyske sraege, kóre różną sę od sraeg xˆ decyzją odejmowaną w jednym węźle decyzyjnym, kóry jes osągalny rzy zasosowanu sraeg xˆ. Dla każdej nowej sraeg xˆ srawdź, czy generuje ona rozwązane różne od rozwązań generowanych rzez sraege ze zboru LS. Jeżel ak, o oblcz warość oczekwaną analzowanego kryerum uzyskwaną dzęk zasosowanu sraeg xˆ. Jeżel warość a ne jes nższa nż Z k, o zasz sraegę q x xˆ q do zborów LS oraz LSB: q x = LS { ˆ }, LSB : LSB { ˆ } LS : x q =. Przejdź do kroku (4). 7. Konec rocedury. Powyższy algorym modyfkuje sraege zasane w zborze LSB orzez zmanę decyzj w ylko jednym węźle decyzyjnym o akm, kóry jes osągalny w wynku zasosowana sraeg odlegającej modyfkacj. Zauważmy, że zbór węzłów, kóre są osągalne, gdy sosowana jes zmodyfkowana sraega, może sę różnć od zboru węzłów, kóre są osągalne, gdy sosowana jes sraega odlegająca modyfkacj. Ne ocąga o jednak za sobą żadnych negaywnych konsekwencj, gdyż zgodne z rzyjęą rzez nas konwencją sraega określa decyzje, jake ownny być odejmowane we wszyskch węzłach, czyl równeż ych, kóre ne mogą być osągnęe w rzyadku jej zasosowana. Dla każdej nowej sraeg srawdzamy, czy generuje ona rozwązane odmenne od ych, kóre wcześnej zosały już wyznaczone. Jeżel ak, o wylczamy warość oczekwaną analzowanego kryerum srawdzamy, czy sełna ona warunek sformułowany rzez decydena. Jeżel ak ne jes, o sraega aka ne mus być dalej analzowana, gdyż dalsza jej modyfkacja ne może rowadzć do orawy warośc kryerum. Procedurę kończymy, gdy zbór LSB jes zborem usym. Sosób dzałana algorymu zlusrowano onższym rzykładem. Przykład Rozważamy dwueaowy roblem decyzyjny osany drzewem decyzyjnym rzedsawonym na rys.. x q

9 Wykorzysane odejśca quas-herarchcznego Rys.. Drzewo decyzyjne roblemu rozważanego w rzykładze Należy wyznaczyć wszyske sraege, dla kórych warość oczekwana analzowanego kryerum jes równa co najmnej 6,5. Dla czyelnośc osu, odkreślenem ogrubenem zaznaczać będzemy decyzje rzysane do ych węzłów, kóre mogą być osągnęe w wynku zasosowana rozważanej sraeg. Wyznaczene sraeg rawe oymalnych rzebega nasęująco:. Przyjmujemy: LS :=, LSB :=. 2. Wyznaczamy sraegę oymalną, kóra jes nasęująca: x ˆ = [A, C, F, H, I]. Zgodne z ną w węźle należy odjąć decyzję A, o czym, w zależnośc od rozwoju syuacj decyzję C (w węźle 2) lub F (w węźle 3). Warość oczekwana analzowanego kryerum wynos 8,50. Dla węzłów 4 oraz 5, kóre ne mogą być osągnęe w wynku zasosowana sraeg ˆx jako decyzje oymalne wyznaczono odowedno decyzje H oraz I. 3. Sraegę ˆx zasujemy do zborów LS oraz LSB: LS = LS { }, LSB = LSB { }. ˆx 4. Poneważ zbór LSB ne jes zborem usym, rzechodzmy do kroku (5). 5. Ze zboru LSB oberamy sraegę ˆx : = { ˆ } = LSB : LSB \ x. ˆx

10 68 6. Wyznaczamy wszyske sraege, kóre różną sę od sraeg ˆx decyzją w jednym z węzłów, 2 lub 3: x ˆ 2 = [A, C, E, H, I] warość oczekwana kryerum: 8,2, x ˆ 3 = [A, D, F, H, I] warość oczekwana kryerum: 6,02, x ˆ 4 = [B, C, F, H, I] warość oczekwana kryerum: 7,0. Zbory węzłów decyzyjnych, kóre mogą być osągnęe w wynku zasosowana sraeg ˆx 2 oraz ˆx 3 są ake same jak zbór węzłów osągalnych w wynku zasosowana sraeg ˆx. Naomas zasosowane sraeg ˆx 4 oznacza, że roces może osągnąć węzły, 4 oraz 5. Wszyske rzy sraege generują rozwązana różne od rozwązana generowanego rzez sraegę ˆx. Sraege ˆx 2 oraz ˆx, kóre sełnają warunek sformułowany rzez decydena, zosają zasane 4 do zborów LS oraz LSB: = LS { xˆ, xˆ } = { xˆ, xˆ, }, LSB : LSB { xˆ, xˆ } = { xˆ, x } LS : x ˆ 4 =. ˆ Przechodzmy do kroku (4). 4. Poneważ zbór LSB ne jes zborem usym, rzechodzmy do kroku (5). 5. Ze zboru LSB oberamy sraegę ˆx 2: { xˆ } { } LSB : = LSB \ = x. ˆ Wyznaczamy wszyske sraege, kóre różną sę od sraeg ˆx 2 decyzją w jednym z węzłów, 2 lub 3: x ˆ 5 = [A, C, F, H, I] warość oczekwana kryerum: 8,50, x ˆ 6 = [A, D, E, H, I] warość oczekwana kryerum: 5,60, x ˆ 7 = [B, C, E, H, I] warość oczekwana kryerum: 7,0. Sraega ˆx 5 jes denyczna jak sraega ˆx, naomas sraega ˆx 7 chocaż jes różna od sraeg ˆx 4, o jednak generuje o samo rozwązane (różnca wysęuje jedyne dla węzła 3, kóry ne może być osągnęy dzęk zasosowanu ej sraeg). Sośród rzech nowych sraeg jedyne sraega ˆx 6 generuje nowe rozwązane. Poneważ jednak warość oczekwana analzowanego kryerum uzyskwana rzy ej sraeg ne sełna warunku określonego rzez decydena, równeż ona ne jes brana od uwagę w dalszych oblczenach. Wobec owyższego zbory LB oraz LBS ozosają bez zman. Przechodzmy do kroku (4). 4. Poneważ zbór LSB ne jes zborem usym, rzechodzmy do kroku (5). 5. Ze zboru LSB oberamy sraegę ˆx 4:

11 Wykorzysane odejśca quas-herarchcznego = 4 { ˆ } = LSB : LSB \ x. 6. Wyznaczamy wszyske sraege, kóre różną sę od sraeg ˆx 4 decyzją w jednym z węzłów, 4 lub 5. Są o nasęujące sraege: x ˆ 8 = [B, C, F, H, J] warość oczekwana kryerum: 6,32, x ˆ 9 = [B, C, F, G, I] warość oczekwana kryerum: 6,74, x ˆ0 = [A, C, F, H, I] warość oczekwana kryerum: 8,50. Sraega ˆx 0 jes denyczna jak sraega ˆx, naomas sraege ˆx 8 oraz ˆx 9 generują rozwązana, kóre ne są generowane rzez żadną ze sraeg ze zboru LS. Sośród nch jedyne sraega ˆx 9 sełna warunek sformułowany rzez decydena. Sraegę ę zasujemy do zborów LB oraz LBS: = LS { xˆ } = { xˆ, xˆ, xˆ, }, LSB : LSB { x } = { x } LS : x ˆ 9 = ˆ ˆ 9 9. Przechodzmy do kroku (4). 4. Poneważ zbór LSB ne jes zborem usym, rzechodzmy do kroku (5). 5. Ze zboru LSB oberamy sraegę ˆx 9: = LSB \ 9 { ˆ } = LSB : x. 6. Wyznaczamy wszyske sraege, kóre różną sę od sraeg ˆx 9 decyzją w jednym z węzłów, 4 lub 5. Są o nasęujące sraege: x ˆ = [B, C, F, G, J] warość oczekwana kryerum: 5,96, x ˆ2 = [B, C, F, H, I] warość oczekwana kryerum: 7,0, x ˆ3 = [A, C, F, G, I] warość oczekwana kryerum: 8,50. Sraega ˆx 2 jes denyczna jak sraega ˆx 4, naomas sraega ˆx 3 chocaż jes różna od sraeg ˆx, o jednak generuje o samo rozwązane (różnca wysęuje jedyne dla węzła 4, kóry ne może być osągnęy dzęk zasosowanu ej sraeg). Sośród rzech nowych sraeg jedyne sraega ˆx generuje nowe rozwązane. Poneważ jednak warość oczekwana analzowanego kryerum uzyskwana rzy ej sraeg ne sełna warunku określonego rzez decydena, równeż ona ne jes brana od uwagę w dalszych oblczenach. Wobec owyższego zbory LB oraz LBS ozosają bez zman. Przechodzmy do kroku (4). 4. Poneważ zbór LSB jes zborem usym, rzechodzmy do kroku (7). 7. Kończymy rocedurę. W wynku rocedury wyznaczylśmy czery sraege sełnające warunek sformułowany rzez decydena. Są one nasęujące:

12 70 x ˆ = [A, C, F, H, I] warość oczekwana kryerum: 8,50, x ˆ 2 = [A, C, E, H, I] warość oczekwana kryerum: 8,2, x ˆ 4 = [B, C, F, H, I] warość oczekwana kryerum: 7,0, x ˆ 9 = [B, C, F, G, I] warość oczekwana kryerum: 6, Zasosowane odejśca quas-herarchcznego do rozwązana roblemu welokryeralnego Przyjmjmy, że rozwązana roblemu osanego drzewem decyzyjnym ocenane są ze względu na K kryerów. Ocena każdego waranu ze względu na każde kryerum jes dokonywana na odsawe warośc oczekwanej. Zakładamy, że decyden uorządkował kryera, oczynając od ego, kóre uznaje za najważnejsze. Uznajemy zaem, że w erwszej kolejnośc jes on zaneresowany oymalzacją kryerum nr, nasęne kryerum nr 2, d. Wyznaczene rozwązana za omocą odejśca quas-herarchcznego rzebega według nasęującego scenarusza:. Wyznacz rozwązana oymalne roblemu ze względu na każde z kryerów. 2. Przedsaw decydenow warośc oymalne oszczególnych kryerów. 3. Poroś decydena o określene rogów asracj Z k : warośc, kóre ownny rzyjąć oszczególne kryera w rozwązanu końcowym. 4. Dla każdego kryerum wyznacz zbór rozwązań sełnających wymog określone rzez decydena: LS k. 5. Przyjmj J = K. 6. Wyznacz zbór LS będący częścą wsólną zborów LS k: LS : = I LSk. k, J 7. Jeżel LS, o rzejdź do unku (9). 8. Przyjmj J : = J. Przejdź do unku Sośród rozwązań należących do zboru LS wyberz ake, dla kórego erwsze kryerum rzyjmuje warość najwyższą. Jeżel akch rozwązań jes węcej nż jedno, o rzy wyborze weź od uwagę warośc nasęnych kryerów w kolejnośc zgodnej z herarchą sformułowaną rzez decydena. W rakce rocedury wyznaczamy zbór waranów, kóre sełnają wszyske wymagana określone rzez decydena. W welu wyadkach może sę jednak okazać, że rozwązana ake ne sneją. W akm wyadku saramy sę wyznaczyć rozwązana sełnające wymagana sformułowane dla ych kryerów, kóre decyden uznaje za najważnejsze. Sonowo omjamy zaem wymog sformułowane dla kryerów o najnższej wadze do momenu, gdy zbór

13 Wykorzysane odejśca quas-herarchcznego... 7 LS zawerający rozwązana sełnające wymagana decydena rzesaje być zborem usym. Sośród rozwązań zawarych w ym zborze wyberamy o, dla kórego erwsze kryerum rzyjmuje warość najwyższą. Jeżel rozwązań akch jes węcej nż jedno, o rzy wyborze uwzględnamy warośc kolejnych kryerów zgodne z ch ozycją w herarch zdefnowanej rzez decydena. Sosób wykorzysana roonowanej rocedury lusruje onższy rzykład. Przykład 2 Rozważamy onowne roblem decyzyjny rzedsawony w rzykładze. Tym razem uwzględnamy rzy kryera. Warośc kryerów dla kolejnych węzłów końcowych rzedsawa ab.. Tabela. Warośc kryerów w węzłach końcowych Nr węzła Kryerum Nr węzła Kryerum końcowego 2 3 końcowego W erwszej kolejnośc wyznaczamy sraege oymalne ze względu na każde z kryerów z osobna. Dla erwszego kryerum jes o sraega [A, C, F, H, I], dla kórej warość oczekwana erwszego kryerum wynos 8,50. Sraegą oymalną ze względu na druge kryerum jes sraega [B, D, E, G, J]. Warość oczekwana drugego kryerum dla ej sraeg jes równa 83,20. Ze względu na kryerum rzece oymalna jes sraega [A, D, F, G, I], dla kórej warość oczekwana ego kryerum wynos 56,2. Przyuśćmy, że o zaoznanu sę z owyższym nformacjam decyden określł, że jes zaneresowany akm rozwązanam, dla kórych warośc oczekwane kolejnych kryerów są ne nższe nż: kryerum : 6,50, kryerum 2: 65,00, kryerum 3: 42,00. W ab. 2 rzedsawono sraege sełnające owyższe warunk. Dla rzejrzysośc zasu w ose sraeg rezenowane są decyzje jedyne dla ych węzłów, kóre mogą być osągnęe w wynku ch zasosowana.

14 72 Tabela 2. Sraege sełnające warunk określone rzez decydena Sraege sełnające warunek nałożony na warość oczekwaną kryerum warość sraega kryerum Sraege sełnające warunek nałożony na warość oczekwaną kryerum 2 warość sraega kryerum 2 Sraege sełnające warunek nałożony na warość oczekwaną kryerum 3 warość sraega kryerum 3 [A, C, F, _, _] 8,50 [B, _, _, G, J] 83,20 [A, D, F, _, _] 56,2 [A, C, E, _, _] 8,2 [B, _, _, H, J] 79,60 [A, D, E, _, _] 55,58 [B, _, _, H, I] 7,0 [B, _, _, G, I] 72,40 [A, C, F, _, _] 42,82 [B, _, _, G, I] 6,74 [B, _, _, H, I] 68,80 [A, C, E, _, _] 42,28 [A, D, E, _, _] 67,50 Jak ławo zauważyć, żadna sraega ne sełna wszyskch warunków sformułowanych rzez decydena. Dwe sraege sełnają naomas warunk sformułowane dla kryerów erwszego oraz drugego: [B, _, _, H, I] oraz [B, _, _, G, I]. Poneważ wyższą warość erwszego kryerum uzyskujemy dla erwszej z nch, rzedsawamy ją decydenow do oceny. Warośc oczekwane kryerów, jake są uzyskwane dla ej sraeg, są nasęujące: 7,0; 79,60 oraz 39,28. Jeżel wynk uzyskany dla kryerum 3 zosałby rzez decydena ocenony jako nesaysfakcjonujący, o ownen on zmodyfkować swoje wymagana, a rocedurę wyznaczena rozwązana należałoby owórzyć. Podsumowane Drzewo decyzyjne jes oularnym narzędzem analzy dynamcznych roblemów odejmowana decyzj w warunkach ryzyka. Zwykle jes ono wykorzysywane do denyfkacj rozwązana oymalzującego warość oczekwaną analzowanego kryerum. W racy rzedsawono, w jak sosób może ono być wykorzysane do rozwązana roblemu welokryeralnego. Przyjęo, że decyden jes w sane uorządkować kryera od najbardzej do najmnej ważnego, a akże, że dysonując nformacją na ema rozwązań oymalnych ze względu na oszczególne kryera oraf sformułować warunk, kóre ownny sełnać sraege, by mogły być brane od uwagę, gdy wyznaczane jes rozwązane końcowe roblemu. W racy zakładalśmy, że ocena jakośc oszczególnych rozwązań ze względu na każde z rozważanych kryerów jes dokonywana na odsawe warośc oczekwanej. Ne jes o jedyny możlwy sosób analzy. Do oceny rozwązań można wykorzysać równeż mary oare na rawdoodobeńswe zajśca określonego zdarzena, a akże warunkową warość oczekwaną. W ym drugm wyadku jednak wykorzysane klasycznej meody wyznaczana rozwązana oymalnego jednokryeralnego drzewa decyzyjnego ne jes możlwe. W dalszych racach auor zamerza zaroonować meodę quas-herarchczną uwzględnającą ego yu kryera.

15 Wykorzysane odejśca quas-herarchcznego Leraura Frn A., Guoun A., Marel J.-M. (202), A general decomoson aroach for mul-crera decson rees, Euroean Journal of Oeraonal Research, Vol. 220, s Hames Y., L D., Tulsan V. (990), Mulobjecve decson ree mehod, Rsk Analyss, Vol. 0, s Loosma F.A. (997), Mulcrera decson analyss n a decson ree, Euroean Journal of Oeraonal Research, Vol. 0, s Nowak M. (203), An neracve rocedure for mulle crera decson ree [w:] A.M. Skulmowsk, Lookng no he fuure of creavy and decson suor sysems. Proceedngs of he 8 h Inernaonal Conference on Knowledge, Informaon and Creavy Suor Sysems, Wydawncwo Naukowe Fundacj Progress & Busness, Kraków, s Roy B. (990), Welokryeralne odejmowane decyzj, Wydawncwa Naukowo-Technczne, Warszawa. Trzaskalk T. (990), Welokryeralne dyskrene rogramowane dynamczne; eora zasosowana w rakyce gosodarczej, Wydawncwo Akadem Ekonomcznej, Kaowce. AN APPLICATION OF QUASI-HIERARCHICAL APPROACH IN MULTIPLE CRITERIA DECISION TREE Summary: Decson ree s an effecve ool for descrbng dynamc decson makng rocesses under rsk. I s usually used o denfy he soluon omzng he execed value of he analyzed creron. However, s relavely rarely used when mulle conflcng crera are consdered. In he aer a quas-herarchcal aroach s used o solve a roblem reresened by a mulle crera decson ree. I s assumed ha he decson maker s able o defne a herarchy of he crera and secfy how much he omal value of a more moran creron can be decreased n order o mrove he value of a less moran creron. A numercal examle s resened o show he alcably of he rocedure. Keywords: decson makng under rsk, decson ree, mulle crera analyss, quas- -herarchcal aroach.