13. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,1998)

Transkrypt

1 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) 3. DWA MODELE POTOKU RUCHU (TEORIOKOLEJKOWE)(wg Wocha,998) 3.. Model Hagha Isneje wele prac z la powojennych, w kórych wysępują próby modelowana kolejek ruchowych za pomocą narzędz eor kolejek. Jednak przełomowe znaczene mała u ksążka Hagha (963), na kórej oparo podsawową noację. Noacja a ewoluowała aż do ermnolog arykułu Hedemanna (996), sanowącego główny punk odnesena proponowanego przez auora kolejkowego modelu pooku ruchu. Osan arykuł Hedemanna Wegmanna (997) sosuje poprawoną wersję noacj eorokolejkowej w eor pooków ruchu. W nnejszym arykule wprowadzono odpowedne zmany na wzór arykułu Hedemanna Wegmanna (997). Hagh (963) zakłada, że rozparywane pojazdy pooku ruchu dzelą sę na dwe grupy: pojazdy ypu A pojazdy ypu B. Jeżel względna lczba pojazdów ypu A wynos p, a odpowedna względna lczba pojazdów ypu B wynos q p, o cały odsęp ma geomeryczny rozkład prawdopodobeńswa kolejk składającej sę z n pojazdów: n ( p) p n,,... (3.) O le w przypadku nezależnych odsępów mędzy kolejnym pojazdam rozkład długośc kolejk okazuje sę geomerycznym, o dla dowolnego nnego rozkładu odsępów, jeżel ne jes rozkładem geomerycznym, o oznacza, że odsępy mędzy kolejnym pojazdam ne są wzajemne nezależne. Model kolejkowy dla pooku wyjścowego Hagh proponuje zbudować poprzez ujęce wyjśca wyobrażonej kolejk jako ruchomego pasa. W akm przypadku najrozsądnej jes wybrać model wyobrażonej kolejk ypu M/D/ z parameram λ. Długość kolejk będze mała rozkład Borela. Chocaż wyobrażony model kolejkowy daje wygodny sposób opsu rozkładu pojazdów, o ne można go przyjąć do opsu przemeszczana ruchu - swerdza kaegoryczne Hagh. Drew (968) w dencj ruchomej kolejk równeż zakłada nezależność odsępów w kolejce dochodz równeż do rozkładu geomerycznego długośc kolejk. Z maemaycznego punku wdzena ujęce Drew jes podobne do ujęca Hagha. 3.. Model Hedemanna Hedemann (996) wysąpł z dyskusyjnym ujęcem modelu podsawowego za pomocą narzędz eor kolejek. Hedemann rozważa drogę z neprzerwanym jednokerunkowym pookem ruchu. Na drodze ne ma skrzyżowań lub urządzeń przeszkadzających ak, że problemy mogą być ylko powodowane samym pookem. Zakłada sę, że urzymane są warunk sacjonarnośc, a węc że pook jes w sochasycznej równowadze. Będze sę używać nasępujących oznaczeń: - k jes gęsoścą ( zwykle merzona w poj/km ), - v jes prędkoścą ndywdualną lub oczekwaną prędkoścą ( zwykle merzona w km/h ), - k jam jes korkową lub maksymalną gęsoścą ( j. najmnejszą gęsoścą, dla kórej pook zarzymuje sę ), TPR3-89

2 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) - v jes prędkoścą swobodną, - q jes naężenem ( zwykle merzony w poj/h ). To co doychczas Hedemann (996) opsał jes modelem kolejkowym M dyscyplną według kolejnośc zgłoszeń FIFO, gdze: - ρ λ µ k k jam jes nensywnoścą ruchu, / G / z - σ odchylene sandardowe czasu obsług, kóry jes czasem przejazdu dysansu k jam przez ndywdualnych kerowców z zamerzonym prędkoścam. Łącząc wzór Lle a ze wzorem Pollaczka - Chnczyna oraz podsawając λ kv µ k v jam Hedemann (996) orzymuje w końcu v v( k) v ( k jam k) v ( ρ) k + k( β ) + ρ( β ) jam v( ρ ), (3.) gdze β σv k jam (3.3) jes wskaźnkem zmennośc czasu obsług, będącego czasem podróży odległośc k jam z prędkoścą swobodną. Najważnejszym aspekem jes zdanem Hedemanna ak, że wzór (3.) może być rakowany jako rzeczywsa oczekwana prędkość dla gęsośc k, poneważ kcyjny model z v v dla każdej gęsośc k okazuje sę nerealsyczny. Z uwag na o, że prędkość v ne może być urzymana, ak węc mus być zredukowana do prędkośc v ze wzoru (3.). Hedemann rozważa dwa specjalne przypadk: - dla β model kolejkowy M / G / redukuje sę do modelu M / D /, gdze czas obsług a sąd pooku płynnego prędkość są sałe dla wszyskch pojazdów, - dla nerealsycznego modelu M / M /, kóry uzyskuje sę dla β, zależność prędkość - k gęsość upraszcza sę do zależnośc lnowej: v v ( ). k jam Ujęce Hedemanna ma e same wady co model M / D /, zdyskwalkowany przez Hagha, jednak ma pewen walor poznawczy, poneważ zosało zwerykowane przez obserwacje rzeczywsego ruchu na drogach nemeckch. Można mędzy nnym dowedzeć sę, że wskaźnk zmennośc β zdenowany w modelu Hedemanna, gdze warość β odpowada ruchow o równych odsępach, naomas β - wykładnczemu rozkładow prawdopodobeńswa odsępu mędzy pojazdam, przyjmuje bardzo małe warośc. Na drogach nemeckch wskaźnk en kszałuje sę na pozome β., co jeszcze raz dowodz znanej własnośc pooków ruchu: małej warancj odsępu mędzy pojazdam. Ne można zaem przyjmować modelu M / G / jako modelu pojedynczego pooku ruchu. Naomas mnejsze zasrzeżena można meć u do modelowana welopasmowej drog za pomocą M / G /. Z drugej srony jednak wydaje sę, że mnmalny dysans ne może być denowany arbralne. Każda prędkość swobodna v usalonego pozomu nasycena drog daje jakś oczekwany mnmalny dysans. Dopero granca ych oczekwanych mnmalnych dysansów, przy wzrasającym nasycenu, daje dysans mnmalny. W en sposób można u ucec od arbralnego rozsrzygnęca, ak jak proponuje sę w rozdzale 4. TPR3-9

3 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) Arykuł Hedemanna (996) sanowł główny punk odnesena w dalszych rozważanach, a węc będze dalej welokrone cyowany, w mejscach gdze porównuje sę proponowany model z modelem Hedemanna (996) Właścwa dencja kolejk ruchowej Przybyca pojedynczego srumena mogą być opsane (parz, na przykład Hedemann Wegmann, 997):. przez proces Possona z paramerem µ (parz, na przykład, Daganzo, 976; Pöschl, 983; Hedemann, 99); lub ogólnej. przez sekwencję G, G,... nezależnych odsępów o ym samym rozkładze G( x ) (parz, na przykład, Segloch, 973; Plank Cachpole, 984, 986a); lub ogólnej 3. przez sekwencję nezależnych losowych par ( G B) ( G B ) ym samym łącznym rozkładze ( G B)( x y),,,,... odsępów bloków o,, (parz, na przykład, Tanner 96; Yeo Weesakul, 964; Hawkes, 968; Cowan, 987; Wegmann, 99). W leraurze najczęścej sosowane rozkłady odsępu są:. Rozkład wykładnczy x P( G > x) e µ, x, kóra dobrze opsuje rzeczywsość ylko dla małego naężena ruchu;. Przesunęy rozkład wykładnczy e P( G > x) µ ( x ) kóry gwaranuje odsęp o długośc co najmnej. 3. Pakeowy rozkład wykładnczy dla x dla x <, ( x ) α e dla x P( G > x) µ dla x <. 4. Inne rozkłady ake jak Erlanga hyper- Erlanga rozkłady lub rozkłady log normalne. Rozkłady e ne są sosowane w modelach kolejkowych lecz ylko do model symulacyjnych (parz, na przykład, Grossmann, 99). Hedemann Wegmann (997) podają klasykację co raz o bardzej złożonych model pojedynczego srumena: - model A jes procesem Possona, - model A jes procesem odnowy z przesunęym (losowo) rozkładem wykładnczym odsępu, - model A3 jes procesem odnowy z pakeowym rozkładem wykładnczym, - model A4 jes procesem przybyć Tannera, gdze blok B jes okresem zajęośc kolejk M / G / (parz Gross Harrs, 974, s. 49). W dalszym cągu model srumena jes równoważny modelow A z powyższej lsy, a naężene oznacza sę q (poj/s). TPR3-9

4 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) Dobrym modelem opóźnena jes ruchomy buor b, znajdujący sę przed każdym pojazdem, zależny od jego prędkośc v. Jeżel buor en jes wększy od dysansu do wodącego pojazdu s - co jes równoważne wększej prędkośc v + od prędkośc wodącego pojazdu v, jes o syuacja konlkowa nasępnego pojazdu +: b > s v + > v Opóźnene na dysanse b równe jes różncy czasu czekana p b v a czasu przejazdu płynnego p b v : + p b p b w, < v v+ p,,,... (3.4) gdze kolzyjna część buora p b x x jes równa częśc p buora od momenu dopędzena w mejscu x do momenu w mejscu x rozwązana syuacj kolzyjnej, jak na Rys. 3. w dwóch ujęcach: w ruchomym buorze b oraz sałym odcnku X x x, równym emu buorow: X b. Lczba sałych odcnków równa jes j 4 3 oczekwanej gęsośc maksymalnej płynnego pooku k : j j k x dysans x 4 x v v + b p b + v X j b x x 3 v + czas Rys. 3. Kolzyjna część buora p b w ruchomym buorze b oraz w równym, sałym odcnku X j z denycznym opóźnenem w. W długm okrese, kedy, w kórym ruch osąga równowagę sochasyczną prędkość pooku płynnego v + zmerza do (oczekwanej) prędkośc swobodnej v : v + v, prędkość możlwa v zmerza do oczekwanej prędkośc v: v v, naomas dysans kolzyjny p b zmerza do reszowego buora pb : pb pb, gdze b k jes oczekwanym buorem maksymalnym płynnego pooku. Oczekwane opóźnene na dysanse b - E( W q ) - jes różncą oczekwanego czasu czekana pb v a oczekwanego czasu przejazdu płynnego pb v : ( q ) pb pb, < p, (3.5) v v TPR3-9

5 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) gdze p p( ρ ) jes prawdopodobeńswem opóźnena zależnym od nensywnośc ruchu ρ, jak unkcja rosnąca wypukła. Sałe odcnk X j są sobe równe: X j X, dla wszyskch k odcnków. Powyższe ujęce (3.5) upodabna zjawsko opóźnena do opóźnena w modelach eorokolejkowych, dla ruchu w równowadze. Podobne modelowane są opóźnena przez Hedemanna (996), gdze podzelono drogę na sałe dysanse. Dla warunków płynnego pooku opóźnena są małe mogą być modelowane jak w jednokanałowym modelu eorokolejkowym. Dla drog jednorodnej łączne opóźnene jes sumą opóźneń proporcjonalnych do odległośc b lub X. Oczekwane opóźnene E( W q ) zwększa czas przejazdu drog. Tak węc ruchomy buor jes jednocześne ruchomym urządzenem obsług oraz poczekalną pochłanającą opóźnene. Wydaje sę, że jes o podobna dea, jak Hagha ruchomy pas (963). Zamas modelowana ruchomego oczekwanego buora maksymalnego b można podzelć drogę na k sałych odcnków o równej długośc X oraz równych oczekwanych opóźnenach, akch jak oczekwane opóźnene w b. Długość ych odcnków, równa długośc oczekwanego buora maksymalnego b, co zapewna w długm okrese równe oczekwane opóźnena (Rys. 3.): X b k. (3.7) Poneważ opóźnena wydłużają począkowe odsępy mędzy pojazdam h o czas w można na ej podsawe swerdzć, że rzeczywsy odsęp mędzy pojazdam h jes zwększony o opóźnene w określone przez (3.4), a węc: h h + w. (3.8) Powyższy wzór wyjaśna równeż dlaczego w marę wzrasana opóźneń ruchu kolejne odsępy mędzy pojazdam przesają być nezależne, gdy wydłużane są o opóźnena zależne od poprzednego odsępu. Dla dużych gęsośc, poneważ mnmalne odsępy dążą do nowych sałych: ( ) mn h D, a czasy czekana dążą do nowych rozkładów wykładnczych w M, rozkład nowego odsępu h dąży do nowego przesunęego rozkładu wykładnczego: h D + M. (3.9) W akch dealnych przypadkach pojawa sę nowa nezależność odsępów pooku ruchu. Najnowszym powerdzenem małej warancj odsępów pooku ruchu jes arykuł Hedemanna (996), w kórym przedsawono wynk badań pooków ruchu na drogach nemeckch, z kórych orzymano zw. wskaźnk zmennośc β.. Obrazowo ujmując, jes o równoważne syuacj odsępu, w kórej mnmalna warość sanow.8 warośc oczekwanej. Jes o najnowsze powerdzene saysyczne małej warancj odsępów pooków ruchu. Czas obsług przez ruchomy buor b lub sały odcnek X jes czasem przejazdu przez buor b (lub X). Oczekwany czas czekana Z E( W q ) + jes równe czasow płynnego przejazdu pojazdu Z (będącego oczekwanym czasem obsług) powększonemu o oczekwane TPR3-93

6 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) opóźnene E( W q ). Czas obsług ma podobny rozkład jak odsępy (3.9). Dla ne zagęszczonych pooków węc można założyć, że rozkład czasu obsług jes przesunęym rozkładem wykładnczym, podobnym do rozkładu odsępu. Oczekwany czas obsług Z: b X Z, (3.) v v jes czasem przejazdu maksymalnego buora b lub sałego odcnka X z oczekwaną prędkoścą swobodną v. Proces przybyć do ruchomego buora jes procesem wyjścowym z poprzednego kanału obsług o oczekwanym dysanse k, a węc naężene przybyć do ruchomego kanału obsług λ kv. Naężene przybyć do ruchomego kanału obsług λ jes ogranczone najkrószym czasem przejazdu poprzednego odcnka k, a węc przejazdu z prędkoścą swobodną v. Tak węc, proces przybyć do buora k jes procesem obsług poprzednego kanału z andemu kanałów obsług ( k k ),, jak na Rys. 3.. Naężene obsług µ przez ruchomy buor wynka z najkrószego czasu przejazdu odcnka k z prędkoścą swobodną v, a węc µ k v. Schema modelu kolejkowego ruchomego buora przedsawa Rys. 3.. kcyjna lna sopu oraz lna przybyć buora k λ kv q kv nasępny pojazd oczekwany odsęp λ kv pojazd w kolejce lub obsłudze oczekwany czas czekana µ + E( W q ) zacenone: droga k k µ k v Rys. 3.. Schema jednokanałowego modelu kolejkowego ruchomego buora k ze srumenem przybyć równoważnym obsłudze przez ruchomy andem kanałów obsług: ( k k ),. TPR3-94

7 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) Jeżel spełnony jes warunek płynnego pooku, o zamas modelu ruchomego buora, można podzelć drogę na k odcnków o długośc X, kóre mogą być rakowane jako sekwencje kanałów obsług o paramerach model jednokanałowych model kolejkowych o paramerach ruchomego buora z Rys. 3.. Według powyższych rozważań w obydwóch ujęcach będze denyczne sumaryczne opóźnene, a węc są o równoważne ujęca modelowe. Opóźnena, kóre powsają w pooku ruchu, są bardzo małe, co lusruje dea zleponych kolejek przedsawona przez Wocha (983) w poprawonej wersj przedsawona w dalszym cągu. TPR3-95

8 3.4. Zlepone procesy kolejek 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) Każdy pojazd pooku ruchu jes obsługwany przez ruchomy ragmen drog nazywany dysansem buorowym. Czas przejazdu dysansu buorowego z płynnego pooku prędkoścą jes czasem obsług pojazdu przez drogę. Ruchomy buor jes węc sysemem kolejkowym, o znaczy może być rakowany jak dynamczny sysem kolejkowy, poprzedzający każdy pojazd. W rozdzale 4 zosane przedsawony dokładne ak model. Tak węc, każdy pojazd ma swój własny jednokanałowy sysem kolejkowy. W dalszym cągu rozważa sę sysem kolejkowy GI / D / - p. np. D.Gross C.Harrs (974). O przybycach do sysemu zakłada sę, że jes o srumeń odnowy, o znaczy, że odsępy mędzy przybycam są nezależne mają en sam przesunęy rozkład dowolny z przesunęcem, naomas czas obsług (dla chwlowego uproszczena) jes sały wynos Z. Przybyca do sysemu wyraża naężene przybyć λ : gdze: λ λ + - oczekwany odsęp, λ + λ + λ - odsęp mnmalny, - warość oczekwana częśc losowej odsępu. λ, (3.) Relacje mędzy ym charakerysykam można wyrazć nasępująco: < < Z < λ. (3.) Dla akego sysemu kolejkowego można określć proces kolejek ( ) Q jako lczbę pojazdów w syseme w chwl, o znaczy pojazdów znajdujących sę w obsłudze lub w kolejce do obsług. Sysem proces przybyć nazywa sę orygnalnym w celu ch odróżnena od nnego sysemu zwązanych z nm procesów opsanych dalej. Rozważmy sysem kolejkowy równeż o srukurze GI / D /, jednak o rochę nnych założenach. Przybyca do obsług w ym syseme są procesem odnowy o rozkładze odsępu denycznym z rozkładem częśc losowej ej odsępu opsanej poprzedno, o znaczy - orygnalnego sysemu. O czase obsług w ym syseme zakłada sę, że jes sały wynos Z Z. Jeżel część losowa odsępu mędzy przybycam w orygnalnym procese przybyć ma rozkład wykładnczy, o mamy do czynena z sysemem M / D /. Ten sysem w ogólnym przypadku nazywać sę będze sysemem zleponym, a proces przybyć, proces kolejek wszyske ch charakerysyk określać sę będze jako zlepone. Przez, oznacza sę momeny - ego przybyca w procese orygnalnym zleponym, a τ, τ - odpowedne momeny zakończena obsług. Rys. 3.3 pokazuje przykładową realzację procesu orygnalnego Q odpowedną realzację procesu zleponego Q. TPR3-96

9 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) Q Orgnalny proces kolejkowy Z τ τ τ τ 3 τ 4 τ 5 6 τ 6 Q Zlepony proces kolejkowy Z... 4 τ τ 5 τ τ 3 τ 4 τ 5 6 τ 6 Rys Przykładowe realzacje procesów orygnalnego Q zleponego Q. We wszyskch rozważanach zakłada sę, że sysem orygnalny znajduje sę w równowadze sochasycznej, o znaczy, nensywność ruchu: ρ λz <. (3.3) Sysem orygnalny znajduje sę w równowadze sochasycznej wedy ylko wedy, gdy sysem zlepony znajduje sę w równowadze sochasycznej. Wykorzysując w warunku (3.3) zależność (3.) dochodz sę do nasępującej nerównośc, równoważnej (3.3): λ ( Z ) <. (3.4) Lewa srona (3.4) jes nensywnoścą ruchu ρ λ B sysemu zleponego. Nech u, u,... oznaczają odsępy w przybycach do uogólnonego sysemu orygnalnego ypu GI/G/, z, z,... odpowedne warośc czasu obsług (dla sysemu GI / D / z Z ), a w, w,... czasy czekana dla kolejnych jednosek. Opóźnene pojazdu + jes określone nasępującą zależnoścą rekurencyjną, prawdzwą dla dowolnych sysemów GI / G / - Gross Harrs (974): w max(, w + z u ). (3.5) + + Należy zauważyć, że operacja zlepana ne zmena łańcucha opóźneń, bowem gdy określć nowy sysem o odsępach u u, czasach obsług z z oraz opóźnenach w, o na podsawe (3.5) można napsać: w w. (3.6) TPR3-97

10 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) Oznacza o, że łańcuchy opóźneń w obu sysemach są denyczne. Z każdą waroścą w łańcuchu opóźneń jes zwązany czas bezczynnośc sysemu. W procese orygnalnym ( Q ) przedzały czasu, w kórych Q wysępują wówczas, gdy W akch przypadkach czas bezczynnośc sysemu wynos u + w + z. (3.7) u+ w z. (3.8) Podobne jak dla łańcuchów opóźneń uaj na podsawe (3.8) można swerdzć, że łańcuchy czasu bezczynnośc sysemów orygnalnego zleponego są denyczne. Z prakycznego punku wdzena neresujące są zależnośc mędzy grancznym charakerysykam procesów ( Q ) ( Q ), akm jak sacjonarne prawdopodobeńswa sanu procesów : p, p, albo oczekwane opóźnene. Poneważ łańcuchy opóźneń w procese orygnalnym zleponym są denyczne, o znaczy, że sacjonarne prawdopodobeńswo sysemu pusego wynos p p λ λ p ( λ ) p λz λ. (3.9) λ Łańcuchy opóźneń procesów orygnalnego zleponego są denyczne, jak równeż denyczne są łańcuchy czasów bezczynnośc, dlaego oczekwane opóźnene w syseme orygnalnym ( ) q jes równe oczekwanemu opóźnenu w syseme zleponym E( W q ) : ( q ) E( Wq ). (3.) Gdy sysem zlepony jes M / D /, o oczekwane opóźnene wynos: ( q ) λ Z ( λ Z ). (3.) Dla odpowednego sysemu orygnalnego orzymuje sę: ( ) q ( Z ) ( ) λ µ ( λz). (3.) Powyższe rozważana można uogólnć na nne sysemy jednokanałowe, w kórych wysępuje możlwość zlepana. Dla oznaczena sysemu kolejkowego, kórego proces kolejek może być zlepony, zmodykujmy symbolkę Kendalla poprzez dodane do oznaczena ypu rozkładów prawdopodobeńswa dolnego wskaźnka +. Powyższy sysem orygnalny w rozszerzonej symbolce jes ypu M / D /, naomas M / M / będze TPR3-98

11 3. Dwa modele pooku ruchu (eorokolejkowe) nerpreowane jako sysem orygnalny, kóry po zlepenu procesu kolejek o, daje sysem zlepony ypu M / M /. Gdy sysem zlepony jes M / M /, o oczekwane opóźnene wynos: ( q ) λ Z λ Z, (3.3) a odpowedn wzór dla sysemu orygnalnego M / M / jes nasępujący: + + ( ) q ( Z ) ( ) λ µ λz. (3.4) Powyższe wzory zosały zmenone w sosunku do odpowednch wzorów na oczekwane opóźnene zameszczonych w perwonej wersj - Woch (983). W lcznku doszedł czynnk µ. ( ) Na podsawe model zleponych kolejek można wyjaśnć, dlaczego opóźnena są na ogół małe. Mała warancja odsępów pooków ruchu wynka z dużego udzału mnmalnego odsępu w oczekwanym odsępe. Zależność oczekwanego opóźnena od naężena ruchu oraz dla różnych welkośc warancj odsępów pooku ruchu, lusruje Rys E( W q ) Duża warancja odsępu ( µ.) Średna warancja odsępu ( µ.5) Mała warancja odsępu ( µ.8) ρ Rys Zależność oczekwanego opóźnena ( ) q od nensywnośc ruchu ρ dla różnych pozomów warancj odsępu pooku ruchu według model zleponych kolejek. TPR3-99