Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie"

Jacek Skrzypczak
6 lat temu
Przeglądów:

1 Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc poostłch równń. () wentuln min kolejności równń (dl nleieni kolejnego nieerowego współcnnik głównego) Metod elimincji mnożenie mcier głównej ukłdu równń lewostronnie pre odpowiednio dorną mcier d. ) Od wiers j, mcier, odejmujem wiers i pomnożon pre licę c, nie mienijąc żdnego wiers o numerch różnch od j, (kłdm, że j i ) gdie c wiers j mcier = = wiers j mcier c wiers i mcier

2 Mtemtk I Wr e kl mcier jest postci: k l e kl c k j, l i wpp. wierse,,...,(j-) mcier wierją jeden wr = (dl k- tego wiers n k-tej pocji), tem mnożąc kolumn mcier kolejno pre te wierse, chowujem wierse e min w mcier, mnożąc kolumn mcier pre wiers j mcier mnożm pre ( c) wiers i mcier i pre wiers j mcier dodjąc wniki: w reultcie odejmujem od wrów wiers j, odpowidjące im wr wiers i pomnożone pre c. Definicj Mciere o strukture tn.: wsstkie wr e kl gdie nwm mciermi dolnie trójkątnmi Włsności mcier dolnie trójkątnch Twierdenie k l są równe Ilocn ' " dwu mcier dolnie trójkątnch jest mcierą dolnie trójkątną Dl mcier istnieje mcier dolnie trójkątn d o włsności I ostć mcier jest nlogicn do postci mcier tą jednie różnicą, że ( c) stąpim pre c Twierdenie Dl ukłdu równń o nieerowch współcnnikch głównch: istnieją mciere dolnie trójkątnie B,,, n, n o tej włsności że: mcier L n, n jest mcierą dolnie trójkątną, L U, gdie U = U jest mcierą górnie trójkątną, tn. u gd i j /9

3 Mtemtk I mcier L jest mcierą dolnie trójkątną, której wr i, j gdie i j są równe współcnnikom pre które mnożliśm wierse w procesie elimincji Uwg N prekątnej głównej mcier U njdują się wr nieerowe; współcnniki główne ukłdu równń Rokłd L U jest jednoncn Zmin miejscmi wiers i or j mcier Sukm mcier tkiej, że w mcier wierse i or j mcier są mienione miejscmi Twierdenie kl p kl k l, k i, j k i, l j k j, l i wpp. Ztem m wr równe: n głównej prekątnej, opróc p p ii jj p p ji rkłd - w poostłch prpdkch Mcier o wmire m postć: /9

4 Mtemtk I Uwg /9

5 Mtemtk I 5/9 Ogóln postć procesu elimincji Krok. Znjdujem mcier tką, że mcier wier te sme wierse co mcier, le w kolejności djącej kolejne nieerowe współcnniki główne Krok. Znjdujem mcier dolnie trójkątną L o tej włsności, że U L gdie U jest mcierą górnie trójkątną mjącą n głównej prekątnej kolejne współcnniki główne ukłdu B Krok. Rowżm ukłd L L tj. ukłd L U Krok. Rowiąujem ukłd U metodą cofni się pocnjąc od wnceni n osttniego równni ukłdu. rkłd Rowiąć metodą elimincji mcierowej ukłd równń 8 Zpis w postci mcierowej: 8 Krok. Mnożm pierwse równń pre / i odejmujem od równni drugiego /

6 Mtemtk I /9 / / / Mnożm pierwse równń pre / i odejmujem od równni treciego / / / / / / / / Krok. Mnożm drugie równń pre / i odejmujem od równni treciego /

7 Mtemtk I 7/9 / / / / / / / Osttecnie 8 / / / 5 Rowiąnie ukłdu równń:,, 5 rpdek ogóln Ukłd n równń o m niewidomch mcier o wmire nm: nm Stosujem metodę elimincji permutując odpowiednio wierse or kolumn wkonm kolejno elimincje współcnników r onc njwięksą licę nturlną o tej włsności, że dl pewnej permutcji wiers proces elimincji końc się po r krokch, tn.: wsstkie wierse mcier od (r+) pocnjąc, n n końcąc są erowe. ostć mcier r Lic r rąd mcier

8 Mtemtk I odmcier mcier det ' r ' r tn.: w mcier istnieje podmcier o wmire rr tk, której det '. Twierdenie Jeżeli rąd =r, to r jest njwięksą lic nturlnch o tej włsności, że istnieje podmcier mcier o wmire rr i det '. Twierdenie Jeżeli r jest njwięksą lic nturlnch o tej włsności, że istnieje podmcier o wmire rr i det ', to r = rąd Dowód ermutując wierse i kolumn, możem prjąć, że podmcier o wmire rr i det ' jest w nstępując sposó ustuown w oniewż det ', więc metod elimincji wiersowej dl prowdi do nstępującej mcier: 8/9

9 Mtemtk I 9/9 r procesu elimincji nie możem kontnuowć, poniewż gd ło to możliwe to otrmliśm w kroku (r+) mcier r le wted: det r r, co on

Podobne dokumenty

14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe

14. Krzywe stożkowe i formy kwadratowe . Krwe stożkowe i form kwdrtowe.. Kwdrki Powierchnią stopni drugiego, lub krótko kwdrką, nwm biór punktów P(,,), którch współrędne spełniją równnie: 33 3 3 kwdrt wr miesne 3 wr liniowe wr woln gdie. 33