Algorytm projektowania dolnoprzepustowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i Czebyszewa

Transkrypt

1 Zadanie: Algorytm projektowania dolnopreputowych cyfrowych filtrów Buttlewortha i Cebyewa Zaprojektować cyfrowe filtry Buttlewortha i Cebyewa o natępujących parametrach: A p = 1,0 db makymalne tłumienie w paśmie cętotliwości (0 f p ), A r = 8,0 db minimalne tłumienie w paśmie aporowym, f p = 500 H erokość pama cętotliwości w którym tłumienie jet mnieje niż A p, f r = 9900 H pamo aporowe, f d = H cętotliwość próbkowania. Filtr cyfrowy otanie aprojektowany na podtawie filtru analogowego o odpowiadających mu parametrach. Dlatego należy prelicyć cętotliwości cyfrowe prediału 0 f d / na cętotliwości analogowe prediału 0 +. W tym celu touje ię natępujące prektałcenie a = fd tg f fd π ω, (1) w którym ω a onaca pulację analogową odpowiadającą cętotliwości cyfrowej f. Podtawiając do woru (1) dane otrymuje ię pulacje ω pa i ω ra : 1. Filtr Buttlewortha π f p π 500 rad ω pa = fd tg = tg = f, d π f rad f tg r π 9900 ω ra = d = tg = 7670 f. d W celu oblicenia rędu filtra Buttlewortha należy wynacyć jego wpółcynnik dykryminacji d ora elektywność k. d = 0,1 Ap 10 0,1 Ar 10 () ω pa k = ωra () Po podtawieniu danych do worów () i () otrymuje ię: d = 0,0076 i k = 0, Rąd filtra Buttlewortha N oblica ię e woru logd N logk. (4) Po podtawieniu wartości licbowych N,56, cyli N =.

2 Tranmitancja operatorowa prototypowego dolnopreputowego filtra o pulacji granicnej równej 1 rad/ jet dana ogólnym worem H p pk N () = ( ) k = 1, (5) N ( pk ) k = 1 w którym p k jet k tym pierwiatkiem mianownika tranmitancji. W prypadku filtra Buttlewortha pierwiatki te położone ą na okręgu o promieniu równym 1 na płacyźnie miennej epolonej i można je oblicyć e woru N pry cym k = 1,,, N. j φ k =, (6) p k e N + k k = π N φ, (7) W prypadku, gdy N = pierwiatki pryjmują natępujące wartości: j π 1 p1 = e = + j j π, p = e =, 4 j π 1 p = e = j, więc po podtawieniu do woru (5) tranmitancja prototypowego filtra Buttlewortha jet równa H pb () =. (8) Aby wynacyć otatecną tranmitancję operatorową filtru Buttlewortha należy oblicyć jego pulację granicną ω pa (pry tłumieniu db) ω pa ω = (9) ga 10 0,1 A p 1 1 N ω ω ra ga = (10) 1 0,1 Ar ( 10 ) N W obu prypadkach po podtawieniu wartości licbowych otrymuje ię ω ga = 1985 rad/. Otatecną tranmitancję operatorową filtru analogowego otrymuje ię, atępując we wore (8) mienną epoloną mienną /ω ga. Po takim podtawieniu tranmitancja analogowego filtra Buttlewortha jet opiana a pomocą woru H B ga () =. (11) ω + ωga + ωga + ωga Charakterytyki amplitudową i faową filtru pokaano na ry. 1

3 Ry. 1. Charakterytyki amplitudowa i faowa aprojektowanego filtru Buttlewortha. Filtr Cebyewa pierwego rodaju Podobnie jak w prypadku filtru Buttlewortha, pierwym etapem projektowania jet prelicenie kali cętotliwości cyfrowych na kalę cętotliwości analogowych a pomocą woru (1). Wartość tłumienia A p jet miarą afalowań ε charakterytyki amplitudowej filtru w paśmie prenoenia wyrażoną w decybelach, a więc 10 0, 1 Ap ε =. (1) Selektywność k i dykryminację d filtra Cebyewa oblica ię a pomocą worów () i () aś jego rąd N a pomocą woru 1 1 ln d d N. (1) 1 1 ln k k Po podtawieniu wartości licbowych do woru (1) otrymuje ię N =,061, cyli N =. Tranmitancja operatorowa prototypowego filtra Cebyewa jet opiana a pomocą woru (5), ale na płacyźnie miennej epolonej pierwiatki p k jej mianownika ą położone na obwodie elipy o półoi poiomej a ora pionowej b, pry cym: a b = inh( D), (14) = coh( D), (15)

4 inh D = N ( ε ). (16) Po podtawieniu wartości licbowych otrymuje ię : D = 0,476, a = 0,494, b =1,1154. Pierwiatki mianownika tranmitancji oblica ię e woru pk = a coφk + j b inφk. (17) Otrymuje ię: p 1 = j, p = , p = j. Po podtawieniu do woru (5) tranmitancja operatorowa prototypowego filtra Cebyewa pryjmuje potać: H pc () =. (18) + 0,988 0, ,84 + 0,491 Charakterytyki amplitudową i faową filtra pokaano na ry.. Ry.. Charakterytyki amplitudowa i faowa prototypowego filtru Cebyewa 1 typu Podca projektowania filtra Cebyewa 1 rodaju nie uwględnia ię pulacji granicnej pry tłumieniu db. Filtr prelica ię na pulację ω pa, a więc we wore (18) mienną epoloną atępuje ię mienną /ω pa. Otatecnie tranmitancja operatorowa analogowego filtra Cebyewa pryjmuje potać H pc pa () =, (19) + 0,988 ω pa 0,491 ω + 1,84 ω pa + 0,491 ω pa

5 a jego charakterytyki cętotliwościowe pokaano na ry.. Ry.. Charakterytyki amplitudowa i faowa analogowego filtru Cebyewa 1 typu. _Projektowanie dolnopreputowych filtrów cyfrowych. Tranmitancję dykretną filtra cyfrowego oblica ię, toując tranformację bilingową, cyli podtawiając w tranmitancji operatorowej filtra analogowego = fd. (0) + 1 Po uporądkowaniu wpółcynników i podieleniu licnika i mianownika tranmitancji pre otrymuje ię tranmitancje dykretne cyfrowych filtrów Buttlewortha i Cebyewa. 1+ H B ( ) = (1) 170,5047 7, , ,9741 H C ( ) = () 54,405 41, ,75 Ich charakterytyki cętotliwościowe pokaano na ryunkach 4 i 5. 9,7405

6 Ry. 4. Charakterytyki amplitudowa i faowa cyfrowego dolnopreputowego filtru Buttlewortha Ry. 5. Charakterytyki amplitudowa i faowa cyfrowego dolnopreputowego filtru Cebyewa

7 4. Projekt filtru środkowopreputowego Zadanie: Na podtawie aprojektowanych poprednio filtrów oblicyć tranmitancje środkowopreputowych filtrów Buttlewortha i Cebyewa, których pamo prenoenia jet awarte w prediale cętotliwości: f 1 = kh i f = 6 kh. Oblicenie tranmitancji dykretnej filtra środkowopreputowego polega na podtawieniu w tranmitancji filtra dolnopreputowego w miejce miennej epolonej -1 wyrażenia δ δ γ δ δ + 1, () δ γ δ 1 + δ + 1 δ + 1 w którym: f0 tg π fd δ =, (4) f f tg 1 π fd f 1 + f co π fd γ =. (5) f f 1 in π fd Po podtawieniu wartości licbowych otrymuje ię: δ = 4,754 i γ = 0,8. Z podtawienia () wynika, że rąd filtra środkowopreputowego jet dwukrotnie więky, niż prototypowego filtru dolnopreputowego. Po atoowaniu podtawienia () i uporądkowaniu wpółcynników otrymuje ię tranmitancje dykretne poukiwanych filtrów pamowych Buttlewortha i Cebyewa: 0,0498 0, ,1719 0,0498 H pb ( ) = (6) H pc ( ) = ,0498 0, , , Charakterytyki cętotliwościowe obu filtrów predtawiono na ry. 6 i (7)

8 Ry. 6. Charakterytyki środkowopreputowego filtru Buttlewortha Ry. 7. Charakterytyki środkowopreputowego filtru Cebyewa