Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. WPROWADZENIE 2. STABILNOŚĆ ASYMPTOTYCZNA UKŁADÓW CIĄGŁYCH

Transkrypt

1 Akdem Mork w dyn tedr Automtyk Okrętowej Teor terown Bdne tlnośc kryterum Routh Mrołw Tomer. WPROWADZENIE Z nlzy rozwązń lnowych równń różnczkowych o tłych wpółczynnkch dl ukłdów o jednym wejścu jednym wyjścu SISO wynk, że rozwązn opujące odpowedź przejścową ukłdu zleżą od perwtków równn chrkterytycznego. Projekt ukłdów terown lnowego może yć prowdzony do rozwązn prolemu polegjącego n tkm rozmezczenu zer egunów trnmtncj, że ukłd ędze pełnł złożone wymgn projektowe. Spośród welu rodzjów wymgń nkłdnych n projekt, njwżnejzym jet, y ukłd ył tlny. Ukłd netlny nleży trktowć jko neużyteczny. dyy rozwżć wzytke typy ukłdów lnowe, nelnowe, tcjonrne netcjonrne defncj tlnośc może yć określon n wele różnych pooów. Tutj rozwżn ędą dotyczyły tylko ukłdów lnowych, tcjonrnych o jednym wejścu jednym wyjścu. Dl celów nlzy projektown rozróżn ę dw pojęc tlnośc: ezwzględną olutną względną. Stlność ezwzględn odno ę do wrunków przy których ukłd jet tlny lu ne. dy już zotne zpewnon tlność ukłdu to wówcz ntereuje n w jkm topnu dny ukłd jet tlny to włśne określ tlność względn.. STABILNOŚĆ ASYMPTOTYCZNA UŁADÓW CIĄŁYCH Stlność ymptotyczn określn jet dl ukłdów z zerowym wymuzenem, w których odpowedź yt zleży tylko od wrunków początkowych. Wówcz odpowedź yt, korzytjąc z cłk plotu, możn wyrzć ntępująco y t g d Borąc wrtość ezwzględną z oydwu tron równn, odpowedź wyjścow yt jet ogrnczon z oydwu tron, jeśl tneje tk lcz dodtn Q, przy której pełnone jet ntępujące wyrżene y t g d Q Wrunek ozncz, że ozr pod g w funkcj mu yć kończony. Funkcj g jet odpowedzą mpulową trnmtncj, której chrkter zleży od położeń perwtków równn chrkterytycznego. Perwtk równn chrkterytycznego mogą yć wyrżone jko j, =,,, n. Jeśl m z n perwtków jet jednokrotnych ntomt pozotłe perwtk ą welokrotne, to wówcz odpowedź ukłdu może yć wyrżon w ntępującej potc Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

2 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh m y t e L t e t n m gdze orz L ą tłym wpółczynnkm. Czynnk ekpotencjlne e w równnu decydują o odpowedz yt gdy t. Ay pełnony ył wrunek, częśc rzeczywte muzą yć ujemne. Innym łowy perwtk równn chrkterytycznego muzą ę znjdowć w lewej półpłzczyźne. W ten proty oto poó przez znlezene rozkłdu egunów trnmtncj możn określć czy ukłd jet tlny czy też ne. Brdzo częto potyk ę ytucje w których pojedyncze perwtk równn chrkterytycznego znjdują ę n o lcz urojonych, wówcz mów ę o tkm ukłdze, że znjduje ę n grncy tlnośc. Ponewż perwtk równn chrkterytycznego ą tke me jk wrtośc włne mcerzy A uzyknej z równń tnu, to w tym przypdku wrunk tlnośc dl wrtośc włnych ą tke me. Możlwe wrunk tlnośc ukłdu zerne ą w tel z uwzględnenem do równn chrkterytycznego. t t Przykłd Ponżzy przykłd lutruje wrunk tlnośc ukłdu w odneenu do egunów trnmtncj, które ą równeż perwtkm równn chrkterytycznego. Ukłd tlny Ukłd netlny z powodu egun = Ukłd n grncy tlnośc z powodu egunów w j Ukłd netlny z powodu egunów welokrotnych w j Ukłd netlny z powodu egunów w j Tel. Wrunk tlnośc ukłdów lnowych cągłych tcjonrnych Wrunk tlnośc Wrtośc perwtków Aymptotyczne tlny dl wzytkch, =,,, n. Wzytke perwtk znjdują ę w lewej półpłzczyźne N grncy tlnośc dl pewnych pojedynczych perwtków orz rk dl =,,, n. Przynjmnej jeden pojedynczy perwtek orz rk perwtków welokrotnych n o j ; rk perwtków w prwej półpłzczyźne Netlny dl pewnych perwtków, lu dl pewnych perwtków welokrotnych. =,,, n. Przynjmnej jeden pojedynczy perwtek w prwej półpłzczyźne lu przynjmnej jeden perwtek welokrotny n o j. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

3 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh. METODY OREŚLANIA STABILNOŚCI edy znne ą wzytke prmetry ukłdu to wówcz perwtk równn chrkterytycznego mogą zotć znlezone przez użyce odpowednego oprogrmown, dl przykłdu w MATLABe perwtk welomnu chrkterytycznego M znjduje ę przy użycu funkcj root, ntomt wrtośc włne mcerzy A przy użycu funkcj eg. Dl celów projektown, kedy ne wzytke prmetry równn chrkterytycznego ą znne, ne jet możlwe ztoowne progrmów komputerowych znjdujących perwtk. Metody wymenone ponżej ą dorze znne toowne do określn tlnośc lnowych ukłdów cągłych, ez znjdown perwtków.. ryter Routh Hurwtz. ryter te ą metodm lgercznym dotrczjącym nformcj o tlnośc olutnej lnowych ukłdów cągłych, tcjonrnych mjących równn chrkterytyczne ze tłym wpółczynnkm. ryter te prwdzją czy ą perwtk równn chrkterytycznego, które znjdują ę w prwej półpłzczyźne. Przy użycu kryterum Routh możlwe jet równeż określene lczy perwtków znjdujących ę n o lcz urojonych w prwej półpłzczyźne.. ryterum Nyqut. ryterum to jet metodą wykreślną djącą nformcję o różncy pomędzy lczą egunów zer trnmtncj ukłdu zmknętego które ą w prwej półpłzczyźne przez oerwcję zchown wykreu Nyqut trnmtncj pętl.. Chrkterytyk logrytmczne Bodego. Wykrey mpltudy trnmtncj pętl j H j w decyelch fzy j H j w topnch, oe w funkcj pulcj. Stlność ukłdu zmknętego może zotć określon przez oerwcję zchown tych wykreów. Projektnt dokonuje włścwego wyoru njlepzego nrzędz nltycznego w dnej ytucj. Ponżej zmezczony zotł zczegółowy op kryterum tlnośc Routh Hurwtz.. RYTERIUM ROUTHA I HURWITZA ryter Routh Hurwtz ą metodm określn położeń zer welomnu ze tłym wpółczynnkm rzeczywtym z uwzględnenem do prwej lu lewej półpłzczyzny, ez dokłdnego wyznczn ch położeń. Progrmy komputerowe mogą łtwo wyznczyć zer welomnów, kryter Routh Hurwtz pozwlją n rozwązywne równń z neznnym prmetrm. Równne chrkterytyczne ukłdu lnowego tcjonrnego z pojedynczym wejścem pojedynczym wyjścem n ntępującą potć n n n n n M gdze wzytke wpółczynnk ą rzeczywte. Ay równne ne mło perwtków z częścą rzeczywtą dodtną koneczne jet y pełnone yły ntępujące wrunk:. Wzytke wpółczynnk równn muzą meć ten m znk.. Żdnego ze wpółczynnków ne może rkowć Te dw wrunk mogą yć rdzo łtwo prwdzone zyko możn udzelć odpowedz, czy w prwej półpłzczyźne znjdują ę perwtk. Są to jednk wrunk newytrczjące, możlwe jet że wzytke wpółczynnk wytępują ą tego mego znku, mmo to ą perwtk w prwej półpłzczyźne... RYTERIUM HURWITZA ryterum Routh oper ę n kryterum Hurwtz, które rzm ntępująco: Wrunkem konecznym wytrczjącym n to, y wzytke perwtk równn znjdowły ę w lewej półpłzczyźne jet, y wzytke wyzncznk Hurwtz D k, >, k =,,, n. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

4 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh Wyzncznk Hurwtz D k ą wyznczne z ntępujących wzorów: D =, D n D n D Ztoowne wyzncznków Hurwtz jet rdzo kłopotlwe dl równń wyżzych rzędów, gdyż wzrt nkłd prcy potrzeny do olczen wzytkch wyzncznków w równnu. N zczęśce Edwrd John Routh w 87 roku uproścł ten proce przez wprowdzene metody tlcowej w mejce wyzncznków Hurwtz... TABLICA ROUTHA Perwzym krokem w uprozczenu kryterum Hurwtz, nzywnym kryterum Routh, jet umezczene wpółczynnków równn w dwóch werzch. Perwzy werz kłd ę z neprzytych wpółczynnków, ntomt drug werz z przytych wpółczynnków lcząc od njwyżzej potęg welomnu chrkterytycznego. Dl równn perwze dw werze tlcy ą ntępujące: 7 Ntępnym krokem jet wypełnene ntępnych werzy tlcy Routh w ntępujący poó: gdze c n n n n 7 c c c h c tk dlej. olumn z lewej trony tlcy Routh jet kolumną odneen łuży do dentyfkcj olczeń. Ottn werz tlcy Routh m zwze w tej kolumne element. Po kompletownu tlcy Routh ottnm krokem jet określene znków wpółczynnków perwzej kolumny tlcy, któr zwer nformcje o perwtkch równn. Przyjęte zotło ntępujące złożene: 7 Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

5 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh Wzytke perwtk równn chrkterytycznego znjdują ę w lewej półpłzczyźne jeśl wzytke elementy perwzej kolumny tlcy Routh mją ten m znk. Lcz zmn znków w elementch perwzej kolumny równ jet lcze perwtków w prwej półpłzczyźne. Przykłd Rozwżmy równne M = =. w którym ne rkuje elementów wzytke wpółczynnk ą tego mego znku. Spełnony jet wrunek koneczny dotyczący wpółczynnków, jednk wrunek dotteczny mu zotć jezcze prwdzony. Perwzą czynnoścą jet zncjowne tlcy, w kolumne z lewej trony znjdują ę potęg, ntomt wpółczynnk welomnu rozdzel ę pomędzy perwzy drug werz w poó pokzny ponżej. W perwzym werzu znjdują ę w kolejnośc wpółczynnk neprzyte, ntomt w drugm przyte Drug werz możn podzelć przez Tlc kompletown jet poczynjąc od góry werz po werzu, olczjąc elementy ntępnego werz. żdy olczny element wyprowdzny jet n podtwe czterech elementów znjdujących ę w dwóch wyżzych werzch, dw z nch ą w lewej kolumne dw w kolumne znjdującej ę n prwo od olcznego elementu. W kżdym przypdku, olczny element m ujemny wyzncznk z czterech znjdujących ę wyżej elementów, podzelony jet przez lewy dolny element wyzncznk. Dl przykłdu, perwzy element werz drug element werz perwzy element werz tk dlej. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

6 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh Skompletown tlc Routh pokzn jet ponżej. Lcz perwtków welomnu M znjdując ę w prwej półpłzczyźne jet równ lcze zmn znków lewej kolumny tlcy, przeuwjąc ę z góry n dół. W tym przykłdze ą dwe zmny znków w lewej kolumne co ozncz, że welomn M m dw perwtk w prwej półpłzczyźne. Rozwązując równne. otrzymuje ę cztery perwtk.878. orz Rzeczywśce dw ottne, j, j perwtk znjdują ę w prwej półpłzczyźne, co powoduje że ukłd jet netlny. Zuwż, że wpółczynnk w drugm werzu możn podzelć przez pewną dodtną lczę w celu uprozczen olczeń. Sprwdź, czy uzykz tke me wrtośc wyzncznych wpółczynnków po podzelenu wpółczynnków drugego werz przez... PRZYPADI SZCZEÓLNE TABLICY ROUTHA W przykłdze olczne kolejnych wpółczynnków przeegło ez komplkcj. Zleżne od rodzjów wpółczynnków welomnu mogą ę pojwć pewne trudnośc w olcznu kolejnych elementów tlcy Routh.. Perwzy element w pewnym werzu tlcy Routh jet zerowy, lecz ne wzytke wpółczynnk ą równe zero.. Wzytke elementy pewnego werz tlcy Routh ą zerowe. Zero w perwzej kolumne tlcy Routh W perwzym przypdku, jeśl zero pojw ę w perwzym elemence werz, wówcz wzytke elementy w ntępnym werzu mją wrtośc równe nekończonośc dlze wypełnne tlcy ne jet możlwe. Ay pordzć oe z tą ytucją ztępuje ę perwzy element w perwzej kolumne przez rdzo mł lczę dodtną kontynuuje ę olczne pozotłych elementów. Przypdek ten zotne zlutrowny przez ntępujący przykłd. Przykłd Rozwżmy ntępujące równne chrkterytyczne ukłdu lnowego M. Ne wzytke wpółczynnk mją ten m znk, czyl n pewno wytępują perwtk w prwej półpłzczyźne. Sprwdźmy przy użycu kryterum Routh le perwtków znjduje ę w prwej półpłzczyźne. Przy kompletownu tlcy Routh dw perwze werze uzykuje ę ezpośredno ze wpółczynnków welomnu. Brkujące wpółczynnk uzupełn ę zerm. Wpółczynnk drugego werz możn podzelć przez, co pozwol n uprozczene olczeń. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

7 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh Tlc t ne może yć dlej kompletown w zwykły poó, ponewż ne możn dzelć przez zero. W perwzej kolumne pojwło ę zero, przy czym ne cły werz jet zerowy. Sytucj z zerem w perwzej kolumne rozwązywn jet w ten poó, że zmt zer wprowdz ę rdzo młą lczę dodtną. Dl powyżzego welomnu ztępując zero w perwzej kolumne przez po wyznczenu kolejnych elementów tlcy w zleżnośc od otrzymuje ę + Dl wzytkch wyrżeń w perwzej kolumne zwerjących wyzncz ę grncę, przy złożenu dodtnej wrtośc, n przykłd dl lm lm Uzykne znk elementów perwzej kolumny tlcy Routh + W tym przypdku ą trzy zmny znku w perwzej kolumne, węc dny welomn m trzy perwtk w prwej półpłzczyźne. Rozwązując równne. otrzymuje ę cztery perwtk. 8,.98. 9,.. 7 orz. 88, j, j trzy ottne perwtk znjdują ę w prwej półpłzczyźne. Zerowy werz w tlcy Routh W drugm przypdku zczególnym, kedy wzytke elementy w pewnym werzu tlcy Routh ą zerowe dlze wyznczne elementów jet przerywne, ozncz to, że tneje jeden z ntępujących przypdków:. Równne m przynjmnej jedną prę perwtków o przecwnych znkch ry... Równne m jedną lu węcej pr perwtków przężonych n o urojonych ry.. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer 7

8 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh. Równne m pry perwtków tworzących ymetre wokół początku ukłdu ry c. Powyżze trzy przypdk zotły zlutrowne n ryunku. W ytucj gdy pojw ę cły werz zerowy w tlcy Routh, tworzy ę równne pomocncze p =, które formuje ę ze wpółczynnków werz znjdującego ę powyżej werz zerowego w tlcy Routh. Im Im Im - - Re Re Re - - c Ry.. Możlwe położen perwtków welomnu w przypdku, gdy w tlcy Routh pojw ę werz zerowy. Rozwązując równne pomocncze otrzymuje ę równeż perwtk równn orygnlnego. Ay dlej wypełnć tlcę Routh wykonuje ę ntępujące krok:. Tworzy ę równne pomocncze p = przez użyce wpółczynnków z werz znjdującego ę powyżej werz zerowego.. Wyzncz ę pochodną równn pomocnczego względem ; dje to dp / d.. Ztępuje ę werz zerowy wpółczynnkm welomnu dp / d.. ontynuuje ę wypełnne tlcy Routh z użycem nowo utworzonego werz wpółczynnkm ztępującym werz zerowy.. Interpretuje ę zmnę znków wpółczynnków w perwzej kolumne tlcy Routh w zwykły poó. Przykłd Rozwżmy ntępujące równne chrkterytyczne ukłdu lnowego M 8. z dn wpółczynnków wdć, że w welomne wytępują perwtk z prwej półpłzczyzny. Tlc Routh zczyn ę ntępująco: 8 8 wpółczynnk werz możn podzelć przez po podzelenu przez Pojwł ę werz zerowy. Wprowdzmy równne pomocncze ze wpółczynnków znjdujących ę nd werzem zerowym w werzu p. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer 8

9 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh Różnczkując welomn p względem otrzymuje ę dp d d d. Otrzymnym wpółczynnkm orz ztępujemy werz zerowy. Wpółczynnk równn dp/d Wpółczynnk uzyknego werz możn podzelć przez. Pozotł część tlcy Routh jet ntępując Uprozczone wrtośc wpółczynnków równn dp/d 9 Welomn pomocnczy jet czwrtego rzędu, czyl w równnu. wytępują dwe pry perwtków. Z dn perwzej kolumny tlcy Routh uzyknej dl równn. wdć, że wytępuje jedn zmn znku, czyl jedn pr perwtków jet o przecwnych znkch ry., Dw pozotłe perwtk muzą znjdowć ę n o urojonej ry.. Z nlzy tlcy Routh dl tego przykłdowego welomnu wyznczylśmy ntępujące typy perwtków: Lew półpłzczyzn LP = Prw półpłzczyzn PP = Oś urojon IA = Przy użycu kryterum Routh tke nformcje mogą yć uzykne dl kżdego welomnu. Rozwązując równne pomocncze. znjdujemy cztery ntępujące perwtk,,, j., które ą równeż perwtkm równn.. Perwtk połączone w pry mją w tlcy Routh werz zerowy. Ponewż w tym przypdku równne pomocncze yło czwrtego rzędu, węc wytępowły dwe pry perwtków połączonych: jedn o przecwnych znkch, drug przężon.. UŁADY ZE STROJONYMI PARAMETRAMI Brdzo częto potrzen jet wedz o zkree lu zkrech przetrjlnego prmetru dl których ukłd jet tlny. Ponżze przykłdy lutrują prktyczne wykorzytne kryterum Routh w protych prolemch projektowych. Przykłd Rozwżony zotne proty ukłd z jednotkowym przężenem zwrotnym. Nleży znleźć zkre wzmocnen przy którym ukłd ten ędze tlny orz jeśl to możlwe, wyznczyć wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze pod eguny przężone n o urojonej orz okre tych ocylcj. R Y Dl powyżzego ukłdu trnmtncj ztępcz ukłdu zmknętego jet ntępując: Ottn ktulzcj: -- M. Tomer 9

10 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh Y R 8. równne chrkterytyczne: Tlc Routh dl równn.: M N podtwe powyżzej tlcy uzykuje ę dw wrunk tlnośc: z werz, otrzymnym wrunkem tlnośc jet >, z werz wrunek + / >, ntomt dl wrunek >. <.79 < <.79 > Z rozwżen tych dwóch wrunków otrzymny zkre tlnośc dl prmetru < <.79. Ukłd znjdze ę n grncy tlnośc jeśl w tlcy Routh w werzu pojwą ę me zer, ntomt wpółczynnk w werzu ędze wękzy od zer. Dl ukłdu opnego równnem chrkterytycznym. uzykuje ę wówcz wrunek =, czyl kr =.79. Czętotlwość ocylcj wyzncz ę z werz przy, w tym przypdku welomn pomocnczy uzykny z werz przy kr kr Podtwjąc do równn. wrunek przy którym ukłd jet n grncy tlnośc. czyl kr =.79 uzykuje ę z rozwązn dw perwtk przężone umejcowone n o urojonej punktch, j j.9. W ukłdze pojwą ę ocylcje o tłej mpltudze, gdy wzmocnene ędze wynoło =.79, ntomt okre tych ocylcj T oc.9 [ ].9. Przykłd Rozwżony zotne ukłd opny przy użycu równń tnu, nleży tk jk w przykłdze znleźć zkre wzmocnen przy którym ukłd ten ędze tlny orz jeśl to możlwe, wyznczyć wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze orz okre tych ocylcj. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

11 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh d dt u t. y t [ ]. Dl ukłdu opnego równnm. orz., równne chrkterytyczne jet ntępujące: I A. Tlc Routh dl równn.: + N podtwe powyżzej tlcy uzykuje ę dw wrunk tlnośc: z werz, otrzymnym wrunkem tlnośc jet >, ntomt z werz wrunek >. Po rozwżenu tych dwóch wrunków otrzymny zkre dl prmetru przy którym ukłd opny równnm. orz. ędze tlny < <. Ukłd znjdze ę n grncy tlnośc jeśl w tlcy Routh w werzu pojwą ę me zer, ntomt wpółczynnk w werzu ędze wękzy od zer. Dl ukłdu opnego równnem chrkterytycznym. uzykuje ę wówcz wrunek =, czyl =. Czętotlwość ocylcj wyzncz ę z werz przy, w tym przypdku welomn pomocnczy uzykny z werz przy. Podtwjąc do równn. wrunek przy którym ukłd jet n grncy tlnośc. czyl = uzykuje ę z rozwązn dw perwtk przężone umejcowone n o urojonej punktch j. W ukłdze pojwą ę ocylcje o tłej mpltudze, gdy, j wzmocnene ędze wynoło =, ntomt okre tych ocylcj T oc.9 [ ] Trze zznczyć, że kryterum Routh dje poprwne wynk jeśl wpółczynnk welomnu chrkterytycznego ą lczm rzeczywtym. Jeśl wytąpą wpółczynnk zepolone lu uzykne równne ne jet lgerczne, gdyż zwer funkcje ekpotencjlne lu wykłdncze wówcz kryterum Routh ne może yć toowne. Innym ogrnczenem tego kryterum jet to, że określene perwtków równn chrkterytycznego uzykujemy z dokłdnoścą do półpłzczyzny. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

12 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh ZAADNIENIA ONTROLNE. Czy kryterum Routh może yć ztoowne do nlzy tlnośc ntępujących ukłdów? M e M. Dw perwze werze tlcy Routh ukłdu trzecego rzędu ą ntępujące: Wyerz poprwną odpowedź z ntępującej lty Równne m jeden perwtek w prwej półpłzczyźne PP. Równne m dw perwtk n o urojonych IA w punktch = j orz = j. Trzec perwtek znjduje ę w lewej półpłzczyźne LP. c Równne m dw perwtk n o urojonych IA w punktch = j orz = j. Trzec perwtek znjduje ę w lewej półpłzczyźne LP. d Równne m dw perwtk n o urojonych IA w punktch = j orz = j. Trzec perwtek znjduje ę w prwej półpłzczyźne PP.. Jeśl w perwzej kolumne tlcy Routh wzytke znk ą ujemne, wówcz równne dl którego utworzon zotł t tlc m przynjmnej jeden perwtek znjdujący ę w prwej półpłzczyźne PP. Tk Ne. Perwtk równn pomocnczego, p =, uzykne z tlcy Routh muzą yć równeż perwtkm równn chrkterytycznego. Tk Ne. Ponżze równne chrkterytyczne opuje ukłd netlny, gdyż zwer wpółczynnk ujemne. Tk Ne M. Ponżze równne chrkterytyczne opuje ukłd netlny, gdyż pod wpółczynnk zerowy. Tk Ne M 7. Jeśl w tlcy Routh znjduje ę werz zerowy, ozncz to, że równne m perwtk n o urojonych IA zmennej zepolonej. Tk Ne ĆWICZENIA C.. Bez korzytn z kryterum Routh zklyfkuj ukłdy o ponżzych trnmtncjch do jednej z trzech kl: tlny, n grncy tlnośc, netlny. c d e 9 Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

13 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh Ottn ktulzcj: -- M. Tomer C.. orzytjąc z kryterum Routh, określ le perwtków ponżzego welomnu znjduje ę: w prwej półpłzczyźne PP: n o urojonej IA: w lewej półpłzczyźne LP: c d e f 8 g h 8 j k l C.. Dl oektów opnych ponżzym trnmtncjm opertorowym ojętym jednotkowym ujemnym przężenem zwrotnym R R przy użycu kryterum Routh, określ le perwtków równn chrkterytycznego znjduje ę: w prwej półpłzczyźne PP: n o urojonej IA: w lewej półpłzczyźne LP: N podtwe tych rozwżń, twerdź czy rozwżny ukłd jet tlny ymptotyczne? 7 9 c 7 d e f g 7 h j k l C.. Znjdź zkre przetrjlnego prmetru dl którego ukłdy opne ponżzym równnm chrkterytycznym ą tlne. Jeśl to możlwe, wyzncz wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze orz okre tych ocylcj. 8 c d e f g h j k

14 Teor terown Bdne tlnośc - kryterum Routh l C.. Znjdź zkre tłej, dl której ponżzy ukłd jet tlny. Jeśl to możlwe, wyzncz wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze orz okre tych ocylcj. R Y C.. Znjdź zkre tłej, dl której ponżzy ukłd jet tlny. Jeśl to możlwe, wyzncz wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze orz okre tych ocylcj. R Y C.7. Dl ukłdów o ponżzych trnmtncjch ojętych pętlą jednotkowego przężen zwrotnego, R Y znjdź zkre tłej, dl której ponżzy ukłd jet tlny. Jeśl to możlwe, wyzncz wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze orz okre tych ocylcj. c d e f g h j k l C.8. Dl ponżzego ukłdu znjdź wrtość tłej przy ukłd ten jet tlny. Wyzncz wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze orz okre tych ocylcj. Jk wówcz ędze okre ocylcj o tłej mpltudze. R + Y C.9. Dl ukłdu opnego z pomocą równń tnu, znjdź zkre tłej, dl której ponżzy ukłd jet tlny. Jeśl to możlwe, wyzncz wrtość wzmocnen przy którym ukłd generuje drgn o tłej mpltudze orz okre tych ocylcj. d dt y t 8 [ ] 8 u t Ottn ktulzcj: -- M. Tomer

15 ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ C. tlny. netlny. c n grncy tlnośc d tlny. e netlny. C. PP = ; IA =, LP =, PP = ; IA =, LP =, c PP = ; IA =, LP =, d PP = ; IA =, LP =, e PP = ; IA =, LP =, f PP = ; IA =, LP =, g PP = ; IA =, LP =, h PP = ; IA =, LP =, PP = ; IA =, LP =, j PP = ; IA =, LP =, k PP = ; IA =, LP =, l PP = ; IA =, LP =, C. PP = ; IA =, LP =, Tk PP = ; IA =, LP =, Ne c PP = ; IA =, LP =, Ne d PP = ; IA =, LP =, Ne e PP = ; IA =, LP =, Ne f PP = ; IA =, LP =, Ne g PP = ; IA =, LP =, Ne h PP = ; IA =, LP =, Ne PP = ; IA =, LP =, Ne j PP = ; IA =, LP =, Ne k PP = ; IA =, LP =, Ne l PP = ; IA =, LP =, Ne C. >.7; kr =.7, T oc =. [] ; kr =, T oc =. [] kr =, T oc =.8 [] c Ukłd netlny dl kżdej wrtośc d Ukłd netlny dl kżdej wrtośc e >.8; kr =.8, T oc =.9 [] f ukłd netlny dl kżdego g > h < < ; kr =, T oc =.8 [] Ukłd netlny dl kżdej wrtośc j > k < < ; kr =, T oc =.9 [] l > C. < <.; kr C. < <.; kr C7. < < ; kr < < 8; kr c.< <.; kr d.<<.; =., T oc =. [] =., T oc =.8 [] =, T oc =.9 [] = 8, T oc =.9 [] =., T oc =.[] kr =., T oc =.9 e >.; kr f < <.78; kr =.78, T oc = 8.7 [] g >8; kr =8, T oc =.79 [] h.79 < <.788; kr =.79, T oc =.89 [] kr =.788, T oc =.9 [] < <7.; kr j.8 < < ; kr =.8, T oc = 7. [] k < < ; kr =rk, T oc = rk l. < < ; kr =., T oc =. [] C8. < < ; kr C9.. < < ; kr =., T oc =.7 [] =7., T oc =.89[] =, T oc =. [] =, T oc =. [] LITERATURA. Hotetter.H., C.J. Svnt, R.T. Stefn, Degn of Feedck Control Sytem, Sunder College Pulhng, uo B. C. Automtc Control of Dynmc Sytem, 7th ed, Addon-Weley & Son Inc., 99. Ottn ktulzcj: -- M. Tomer