Stabilność liniowych układów dyskretnych

Transkrypt

1 Akademia Morka w Gdyni atedra Automatyki Okrętowej Teoria terowania Miroław Tomera. WPROWADZENIE Definicja tabilności BIBO (Boundary Input Boundary Output) i tabilność zerowo-wejściowa może zotać łatwo rozzerzona na liniowe tacjonarne układy terowania dykretnego. Problem badania tabilności układów dykretnych jet w itocie problemem prawdzania czy wzytkie pierwiatki równania charakterytycznego znajdują ię wewnątrz okręgu jednotkowego z na płazczyźnie z. ryterium Nyquita, linie pierwiatkowe, wykrey Bodego, które wyprowadzone zotały dla układów ciągłych mogą również zotać rozzerzone do przypadków badania tabilności układów dykretnych. Pewnym wyjątkiem jet tutaj kryterium Routha, które w wojej oryginalnej potaci jet ograniczone tylko do oi liczb urojonych na płazczyźnie jako granicy tabilności, a więc może być toowane tylko do układów ciągłych. W celu zatoowania kryterium Routha dla układów dykretnych wymagane jet przekztałcenie, które dokona tranformacji okręgu jednotkowego z płazczyzny z na oś liczb urojonych na innej płazczyźnie zmiennej zepolonej.. STABILNOŚĆ TYPU BIBO Zakładając, że u(kt) jet ygnałem wejściowym, y(kt) ygnałem wyjściowym oraz g(kt) jet dykretną odpowiedzią impulową liniowego tacjonarnego układu dykretnego SISO. Mówi ię, że układ z zerowymi warunkami początkowymi jet tabilny w enie BIBO, lub po protu tabilny, jeśli jego wyjściowy ygnał dykretny y(kt) jet ograniczony na ograniczone wejście u(kt) czyli dla ukłądu tabilnego w enie BIBO mui być pełniony warunek k g ( kt) (). STABILNOŚĆ ZEROWO WEJŚCIOWA Dla tabilności zerowo-wejściowej, dykretny ygnał wyjściowy układu mui pełniać natępujace warunki:. y ( kt) M (). lim y( kt) k () Stabilność zerowo-wejściową określa ię jako tabilność aymptotyczną. Można wykazać, że zarówno tabilność BIBO jaki i tabilność zerowo wejściowa układów dykretnych wymaga aby pierwiatki równania charakterytycznego znajdowały ię wewnątrz okręgu jednotkowego z na płazczyźnie z. Nie ma w tym nic dziwnego, gdyż oś j z płazczyzny jet przekztałcana na Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera

2 płazczyznę z na okrąg jednotkowy. Obzary tabilności i nietabilności układów dykretnych na płazczyźnie z pokazane ą na ryunku. jim z Płazczyzna z Nietabilny Stabilny Nietabilny Okrąg jednotkowy Stabilny Re z Nietabilny Nietabilny Ry.. Obzary tabilności i nietabilności dla biegunów układu dykretnego znajdujących ię na płazczyźnie z. Zakładając, że z i, (i =,,..., n) ą pierwiatkami równania charakterytycznego liniowego tacjonarnego układu dykretnego SISO, wówcza możliwe warunki tabilności układu zebrane zotały w tabeli. Tabela. Warunki tabilności dykretnych układów liniowych tacjonarnych. Warunki tabilności Wartości pierwiatków Stabilny aymptotycznie z i dla wzytkich i, i =,,..., n. (Wzytkie pierwiatki znajdują ię wewnątrz okręgu jednotkowego) Na granicy tabilności z i dla pewnych pojedynczych pierwiatków oraz brak jet pierwiatków dla których z i dla i =,,..., n. (Żadnego pierwiatka wielokrotnego na okręgu jednotkowym i brak pierwiatków na zewnątrz okręgu jednotkowego) Nietabilny z i dla pewnych pierwiatków i, lub z i dla pewnych pierwiatków wielokrotnych. i =,,..., n. (Przynajmniej jeden pojedynczy pierwiatek na zewnątrz okręgu jednotkowego i przynajmniej jeden pierwiatek wielokrotny na okręgu jednotkowym. Poniżzy przykład ilutruje zależności pomiędzy biegunami tranmitancji układu zamkniętego, które ą pierwiatkami równania charakterytycznego Przykład Poniżzy przykład ilutruje warunki tabilności układu w odnieieniu do biegunów tranmitancji, które ą również pierwiatkami równania charakterytycznego, a warunkami tabilności układu. z ( z.4)( z.6)( z.8) Układ tabilny Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera

3 ( z ( z.5)( z ).8z.8) Układ nietabilny z powodu bieguna z =.5 ( z ) z( z )( z.4) Układ na granicy tabilności z powodu bieguna w z z( z ) ( z.5) Układ nietabilny z powodu bieguna wielokrotnego w z 5( z.5) z( z.5)( z z ) Układ nietabilny z powodu biegunów w z j 4. RYTERIUM ROUTHA ryterium Routha będzie mogło być toowane dla układów dykretnych jeśli znajdzie ię przekztałcenie, które dokona tranformacji okręgu jednotkowego z płazczyzny z na oś liczb urojonych na innej płazczyźnie zepolonej. Nie można zatoować zależności z = exp(t) gdyż przekztałca równanie algebraiczne w funkcji z na niealgebraiczne równanie w funkcji i kryterium Routha w dalzym ciągu nie będzie mogło być toowane, ale poniżej znajdują. Jednakże jet wiele tranformacji biliniowych o potaci ar b z (4) cr d gdzie a, b, c, d ą tałymi rzeczywitymi, natomiat r jet zmienną zepoloną. Przekztałcenie opiane równaniem (4) będzie przekztałcać okręgi z płazczyzny z na linie prote na płazczyźnie r. Pewna taka tranformacja, która przekztałca obzar wnętrza okręgu jednotkowego z płazczyzny z na lewą półpłazczyznę na płazczyźnie z ma potać z r r i określana jet mianem tranformacji r. Po przekztałceniu równania charakterytycznego określonego na płazczyźnie z przy użyciu zależności (5) uzykuje ię równanie względem r, które może być badane przy użyciu kryterium Routha. Tranformacja r opiana wzorem (5) prawdopodobnie jet najprotzą potacią, która może być użyta do ręcznego przekztałcania równania M(z) na równanie w funkcji zmiennej zepolonej r. Poniżze przykłady ilutrują zatoowanie tranformacji r do równania charakterytycznego określonego na płazczyźnie z po to aby można było badać te równania przy użyciu kryterium Routha. (5) Przykład Przy użyciu kryterium Routha zbadaj tabilność układu dykretnego opianego poniżzym równaniem charakterytycznym z 5.94z 7.7z.68 (.) Rozwiązanie: Podtawiając równanie (5) do równania (.) i uprazczając je otrzymuje ię.8r.74r.44r 4.7 (.) Tablica Routha dla równania (.) Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera

4 W pierwzej kolumnie tablicy Routha wytępują dwie zmiany znaku czyli równanie charakterytyczne (.) ma dwa pierwiatki znajdujące ię na zewnątrz okręgu jednotkowego na płazczyźnie z. Wyniki te mogą być prawdzone zarówno na płazczyźnie z jak i r. Dla równania (.) pierwiatki maja natępujące wartości z =., z =.984, z =.46. Trzy pierwiatki na płazczyźnie r mają natępujące wartości r =., r =.67, z =.97. Przykład Przy projektowaniu układu dykretnego uzykane zotało natępujące równanie charakterytyczne z z z (.) gdzie jet tałą rzeczywitą. Problem polega na znalezieniu zakreu dla którego układ ten będzie układem tabilnym. Rozwiązanie: Po pierwze trzeba przekztałcić M(z) na równanie względem r przy użyciu tranformacji biliniowej (5). W efekcie tego uzykuje ię ( ) r ( ) r ( ) r (.) Tablica Routha dla równania (.) ( ) 8 ) Dla układu tabilnego wzytkie elementy w pierwzej kolumnie tablicy Routha muzą być dodatnie. Otrzymuje ię natępujące warunki > > Prowadzi to do warunku tabilności 8 ) > > (.) < < (.4) 5. METODY BEZPOŚREDNIE BADANIA STABILNOŚCI W literaturze można również znaleźć metody badania tabilności, które mogą zotać zatoowane bezpośrednio do równania charakterytycznego zdefiniowanego w funkcji z w odnieieniu do okręgu jednotkowego na płazczyźnie z. Jednakże metody te ą bardzo kłopotliwe dla równań rzędu wyżzego od drugiego, zczególnie dla równań z nieznanymi parametrami. Nie ma powodu wykorzytywania tych metod jeśli wzytkie wpółczynniki równania charakterytycznego ą znane, gdyż w tym przypadku można korzytać z programu komputerowego i wyznaczyć dokładne wartości pierwiatków. Jednakże warto wprowadzić warunki konieczne tabilności, które pozwalają na wtępna ocenę na podtawie wpółczynników równania charakterytycznego przy użyciu metody badania tabilności metodą Jury ego. Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera 4

5 Równanie charakterytyczne liniowego tacjonarnego układu dykretnego ma potać n n n an z an z an z... az a (6) gdzie wzytkie wpółczynniki ą rzeczywite. Pośród wzytkich warunków wprowadzonych przez Jury ego, poniżze warunki konieczne muzą być pełnione przez równanie M(z) aby nie miało pierwiatków ani na okręgu, ani na zewnątrz okręgu jednotkowego. M () M ( ) dla n parzytego (7) M ( ) dla n nieparzytego a a n Jeśli równanie o potaci (6) nie pełnia wzytkich powyżzych warunków to wówcza nie wzytkie pierwiatki znajdują ię wewnątrz okręgu jednotkowego i układ na pewno nie będzie tabilny. Poniżze przykłady ilutrują zatoowanie warunków (7). Przykład 4 Sprawdź poniżze równanie przy wykorzytaniu warunków (7). z z.5z.5 (4.) Rozwiązanie: Warunki (7) po zatoowaniu do równania (4.) przyjmują wartości M ().75 (4.) M ( ).75 ; dla n = (nieparzyte) (4.) a.5 (4.4) a Wzytkie warunki (7) ą pełnione i dlatego też nic nie da ię powiedzieć o tabilności układu. Przykład 5 Sprawdź poniżze równanie przy wykorzytaniu warunków (7). z z.5z.5 (5.) Rozwiązanie: Warunki (7) po zatoowaniu do równania (5.) przyjmują wartości M ().75 (5.) M ( ).75 ; dla n = (nieparzyte) (5.) a.5 powinno być mniejze od a (5.4) Ponieważ warunki (5.) oraz (5.4) według zaady (7) dla równania (5.) nie ą pełnione dlatego też przynajmniej jeden pierwiatek znajduje ię na zewnątrz okręgu jednotkowego. 5.. Układy drugiego rzędu Warunki (7) ą konieczne i wytarczające kiedy układ jet drugiego rzędu. Dlatego też warunki konieczne i wytarczające tabilności dla równania drugiego rzędu Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera 5

6 ( a M z) a z a z (8) po to aby nie miało pierwiatków na zewnątrz koła jednotkowego ą natępujące M (z ) M (z ) (9) a a Przykład 6 Sprawdź poniżze równanie przy wykorzytaniu warunków (9). z z.5 (6.) Warunki (7.5) po zatoowaniu do równania (7.6.) przyjmują wartości M ().75 (6.) M ( ).5 (6.) a.5 (6.4) a Wzytkie warunki (9) ą pełnione i dlatego też pierwiatki równania (7.6.) znajdują ię wewnątrz okręgu jednotkowego i układ jet tabilny. Przykład 7 Schemat blokowy układu terowania dykretnego pokazany jet na ryunku 7.. Dla T = [], znajdź wartości dla których układ ten jet tabilny aymptotycznie w chwilach próbkowania. r(t) r(t) T r * (t) ZOH (+.5) y(t) Ry. 7.. Schemat blokowy układu dykretnego. Rozwiązanie: W pierwzej kolejności należy przekztałcić układ z ryunku 7. do potaci dykretnej. W tym celu należy wyznaczyć zatępczą tranmitancję dykretną połączenia kakadowego ektrapolatora zerowego rzędu i tranmitancji operatorowej obiektu. (z) = ( z ) Z G p =.4 z z. z.965). (7.) Na podtawie równania (7.) uzykuje ię natępujące równanie charakterytyczne układu z ryunku 7. z (.4.) z (.965.) = (7.) Ponieważ uzykane równanie (7.) jet drugiego rzędu, dlatego też najłatwiej wyznaczyć zakre dopuzczalnych wartości dla parametru korzytając z metody bezpośredniej, dla której warunki opiane ą wzorem (9). W tym przypadku uzykuje ię natępujące warunki: M( z ). 579 > (7.) Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera 6

7 M ( z ) > (7.4).965. < (7.5) Wyznaczając wpólny zakre parametru pełniający warunki (7.), (7.4) oraz (7.5) uzykuje ię zakre tabilności dla trojonego parametru < <.95 (7.6) Ten am zakre tabilności można uzykać toując kryterium Routha po przekztałceniu równania charakterytycznego (7.) przy użyciu tranformacji biliniowej (5), w tym przypadku uzykuje ię natępujące równanie charakterytyczne M ( r) ( ) r (.9.557) z. 579 = (7.7) W tym przypadku tablica Routha zawiera natępujące wpółczynniki Układ opiany równaniem (7.7) będzie tabilny aymptotycznie jeśli wzytkie elementy w pierwzej kolumnie tablicy Routha będą więkze od zera. Uzykuje ię w ten poób natępujące warunki > (7.8) > (7.9).579 > (7.) Wpólny zakre pełniający powyżze warunki jet identyczny z tym uzykanym metodą bezpośrednią i opiany zależnością (7.6). Wyniki uzykane metodą polegającą na zatoowaniu kryterium Routha zotały uzykane przy użyciu natępującego kodu programu Matlaba. clear % Parametry tranmitancji operatorowej obiektu numc = ; denc = conv([ ],[.5]) yc = tf( numc, denc) %iotool( yc) Tp = ; % Okre próbkowania yd = cd( yc, Tp, 'zoh'); % konwerja do potaci dykretnej [numd, dend] = tfdata( yd, 'v') bd = numd(); bd = numd(); bd = numd(); ad = dend(); ad = dend(); ad = dend(); % Wyznaczenie wpółczynników równania charakterytycznego M(z) az = [bd ad] az = [bd ad] az = [bd ad] % Wyznaczenie wpółczynników równania charakterytycznego M(r) ar = az - az +az ar = *(az - az) ar = az + az +az % Wyznaczenie granicznych wartości parametrów dla pozczególnych % warunków tabilności ak = ar(); bk = ar(); gr = -bk/ak ak = ar(); bk = ar(); gr = -bk/ak ak = ar(); bk = ar(); gr = -bk/ak Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera 7

8 Zagadnienia kontrolne. Poniżze równanie charakterytyczne układu dykretnego opiuje układ nietabilny, gdyż zawiera wpółczynniki ujemne. (Tak) (Nie) z z.z.5. Poniżze równanie charakterytyczne układu dykretnego opiuje układ nietabilny, gdyż jeden ze wpółczynników jet równy zero. (Tak) (Nie) z.5. Bez prowadzenia zczegółowej analizy, łatwo jet prawdzić, że poniżze równanie charakterytyczne poiada przynajmniej jeden pierwiatek na zewnątrz okręgu jednotkowego. (Tak) (Nie) z.5 Zadania M.. Zatouj tranformację r do poniżzych równań charakterytycznych układów terowania dykretnego i określ warunki tabilności (aymptotycznie tabilny, na granicy tabilności, nietabilny) dla tych układów przy użyciu kryterium Routha. a) z z.5z b) z z z. c) z.z z d) z z z.5 z e) z z..5 f) z z z.5 g) z z z z h) z z i) z z z. j) z.5z z.5 k) z.5z.5 l) z.6z z.4 M.. Dla poniżzych przypadków znajdź wartości parametru dla których układ pokazany na ryunku M.. jet tabilny. Okre próbkowania T =.5 []. r(t) r(t) T r * (t) ZOH () y(t) Ry. M.. Schemat blokowy układu dykretnego. a) b) ( )( )( ( ) ) e) f) 5) ( )( ) 6) ( )( ) c) ( )( ) g) 8) ( 5)( 6) d) ( ) ( ) h) ( ) )( 4) Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera 8

9 i) ) ( ) l) ( )( ) ) j) ( )( ) ) k) ( )( ) 4) ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ M. a) M. a) LITERATURA. Franklin G.F, Powell J.D., Emami-Naeini A.: Digital Control of Dynamic Sytem, rd ed. Addion-Weley Publihing Company, uo B. C.: Automatic Control of Dynamic Sytem, 7th ed, Addion-Weley & Son Inc., 995. Otatnia aktualizacja: --6 M. Tomera 9