Analiza matematyczna II
|
|
- Sabina Chrzanowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza matematyczna II e nicje, twierdzenia 6 maja 03 K. obrowolska, W. yczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz., HELPMATH, ódź 007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, O cyna Wydawnicza GiS, Wroc aw 000 M. Gewert. Z. Skoczylas, Równania ró zniczkowe zwyczajne, O cyna Wydawnicz GiS, Wroc aw 005 W. Zakowski, W. Ko odziej, Matematyka II, WNT, Warszawa 984 W. Zakowski, W. Leksiński, Matematyka I, WNT, Warszawa 984 F. Leja, Rachunek ró zniczkowy i ca kowy, PWN, Warszawa 963 W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 976 Rachunek ró zniczkowy i ca kowy funkcji wielu zmiennych. Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorów w przestrzeniach metrycznych e nicja. Niech X b edzie niepustym zbiorem. owolna funkcj e d : X X! R taka, ze. d (p ; p ) = 0, p = p. 3. p ;p X p ;p X p ;p ;p 3X d(p ; p ) = d (p ; p ) (symetria) d (p ; p 3 ) d (p ; p ) + d (p ; p 3 ) (nierówno sć trójkata) nazywamy metryka w zbiorze X. Zbiór X wraz z ustalona metryka d nazywamy przestrzenia metryczna. Mo zna wykazać, ze nast epujace funkcje sa metrykami w zbiorze R n : v ux d e (p; q) = t n (x i y i ) (metryka euklidesowa) i=
2 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH d t (p; q) = nx jx i y i j (metryka miejska/taksówkowa) i= d m (p; q) = gdzie p = (x ; :::; x n ) i q = (y ; :::; y n ). max jx i y i j (metryka maksimum) i=;:::;n W dalszym ciagu przez przestrzeń (metryczna) R n b edziemy rozumieć zbiór R n wraz z metryka euklidesowa. Niech d b edzie ustalona metryka w zbiorze X. e nicja. Kula (otwarta) o srodku w punkcie p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K (p; r) = fq X : d (p; q) < rg: Przyk ad.3 Kule o środku (0; 0) i promieniu w R w metryce euklidesowej (a), miejskiej (b) i maksimum (c): y y y x x x (a) (b) (c) e nicja.4 Mówimy, ze zbiór A X jest ograniczony, je zeli istnieje p X i r > 0 takie, ze A K (p; r) (tzn. A zawiera si e w pewnej kuli). Mówimy, ze A jest nieograniczony, gdy A nie jest ograniczony (tzn. A nie zawiera si e w zadnej kuli). e nicja.5 Mówimy, ze zbiór U X jest otwarty (w X), gdy dla dowolnego p U istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) U: Twierdzenie.6 Niech X b edzie przestrzenia metryczna.. ;, X i kule otwarte sa zbiorami otwartymi w X. Je zeli U i sa otwarte w X, to U \ jest zbiorem otwartym w X 3. Je zeli fu g I jest rodzina zbiorów otwartych w X, to suma S U jest zbiorem otwartym w I X e nicja.7 Otoczeniem punktu p X nazywamy dowolny zbiór otwarty U X taki, ze p U. Sasiedztwem punktu p nazywamy ka zdy zbiór postaci U n fpg, gdzie U jest otoczeniem p.
3 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH e nicja.8 Niech A X. Punkt p X nazywamy punktem wewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) A punktem zewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) XnA punktem brzegowym A, gdy w dowolnej kuli K (p; r) istnieja punkty nale z ace do A i punkty nale z ace do XnA punktem skupienia zbioru A, je zeli ka zde sasiedztwo punktu p zawiera jakís punkt zbioru A; punkty nale z ace do zbioru A, które nie sa jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi Przyk ad.9 p punkt wewn etrzny; q punkt zewn etrzny; r; u punkty brzegowe zbioru A. e nicja.0 Mówimy, ze zbiór C X jest domkni ety (w X), gdy jego dope nienie XnC jest zbiorem otwartym. Je zeli p X i r > 0, to kula domkni eta o srodku p i promieniu r nazywamy zbiór K (p; r) = fq X : d (p; q) rg: Twierdzenie. Niech X b edzie przestrzenia metryczna.. ;, X i kule domkni ete sa domkni etymi podzbiorami X:. Je zeli C i sa zbiorami domkni etymi w X, to C [ jest zbiorem domkni etym w X. 3. Je zeli fc g I jest rodzina zbiorów domkni etych w X, to iloczyn T C jest zbiorem I domkni etym w X. Twierdzenie. Zbiór jest domkni ety wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. e nicja.3 Wn etrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewn etrznych A. Wn etrze A oznaczamy przez Int A. omkni eciem zbioru A nazywamy zbiór A w sumie ze wszystkimi punktami skupienia zbioru A. omkni ecie A oznaczamy przez A. Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A; oznaczamy go (bd A, Fr A). Zachodzi przy = A n Int A: e nicja.4 Niech A X. Mówimy, ze zbiór A jest spójny, je zeli przy dowolnym rozk adzie A na sum e dwóch roz acznych i niepustych zbiorów U i, który s z nich zawiera punkty skupienia drugiego zbioru. Krzywa ciag a w przestrzeni R n nazywamy dowolne odwzorowanie ciag e : [0; ]! R n, tzn. (t) = (x (t) ; x (t) ; :::; x n (t)) ; t [0; ] ; gdzie funkcje x i : [0; ]! R sa ciag e. Punkt p = (0) nazywamy poczatkiem krzywej, zaś q = () końcem krzywej. Mówimy wtedy, ze jest krzywa aczac a punkty p i q. 3
4 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Przyk ad.5 Odcinek [p; q] o poczatku p i końcu q, gdzie p; q R n (t) = p + t (q p) ; t [0; ] : Mo zna wykazać, ze A R n jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów p; q A istnieje krzywa ciag a o poczatku p i końcu q taka, ze (t) A dla ka zdego t [0; ]. Przyk ad.6 Wyznaczyć wn etrzne, domkni ecie i brzeg zbioru. Określić, czy zbiór jest spójny.. A = f(x; y) R : y < ^ x > 0g. B = f(x; y) R : < jxj ^ 0 y < g 3. C = f(x; y) R : x = + n ; n Ng e nicja.7 Zbiór nazywamy obszarem, je zeli jest otwarty i spójny. Powiemy, ze jest obszarem domkni etym, gdy jest domkni eciem obszaru.. Powierzchnie stopnia II w R 3 Powierzchnia stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów (x; y; z) R 3 spe niajacych równanie Ax + By + Cz + axy + bxz + cyz + x + y + z + = 0; przy czym A + B + C + a + b + c > 0:. Walce x (a) walec eliptyczny a + y b = ; z R; a; b > 0; a 6= b (b) walec ko owy x + y = r ; z R; r > 0 x (c) walec hiperboliczny y a b = ; z R (d) walec paraboliczny y = x ; z R. Sfera (x x 0 ) + (y y 0 ) + (z z 0 ) = r 3. Elipsoida 4. Paraboloidy (x x 0) (y y0) (z z0) a + b + c = x (a) paraboloida eliptyczna a + y b = z (b) paraboloida obrotowa x + y = z x (c) paraboloida hiperboliczna y a b = z 5. Hiperboloidy x (a) h. jednopow okowa a + y b = + z c x (b) h. dwupow okowa a + y b = + z c x 6. Sto zek a + y b = z 4
5 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.3 Granica i ci ag ość funkcji wielu zmiennych Mówimy, ze ciag punktów p k = x k ; x k ; :::; xn k R n jest zbie zny do punktu p = (x ; x ; :::; x n ), je zeli lim d (p k; p) = 0 k! (gdzie zgodnie z przyjet a umowa d oznacza metryke euklidesowa). Twierdzenie.8 Ciag (p k ) punktów p k = x k ; x k ; :::; xn k jest zbie zny do p = (x ; x ; :::; x n ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim k! xk i = x i ; i = ; ; :::; n: e nicja.9 (Heinego) Niech f :! R, R n i niech p 0 = x 0 ; x 0 ; :::; xn 0 b edzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, ze g jest granica funkcji f w punkcie p 0 je zeli lim f (p k) = g k! dla ka zdego ciagu (p k ) punktów zbioru takiego, ze lim p k = p 0. Piszemy wtedy k! lim f (p) = g p!p 0 W przypadku, gdy g = ( ), to mówimy o granicy niew a sciwej. g nazywamy te z granica n-krotna funkcji f w punkcie p 0. Je zeli n =, to mówimy o granicy podwójnej w punkcie p 0 i je sli p 0 = (x 0 ; y 0 ), to oznaczamy ja przez lim f (x; y) : (x;y)!(x 0;y 0) Uwaga.0 Granica w punkcie p 0 nie istnieje, gdy istnieja ró zne ciagi (p k ) i (q k ) o wyrazach w zbiorze takie, ze lim p k = p 0 = lim q k, ale k! k! lim f (p k) 6= lim f (q k) : k! k! e nicja. (Cauchy ego) Niech f :! R, R n i niech p 0 b edzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, ze g jest granica (w a sciwa) funkcji f w punkcie p 0, je zeli ^ _ ^ (0 < d (p; p 0 ) < ) jf (p) gj < ") : ">0 >0 p Zadanie Podać de nicj e Cauchy ego granicy niew aściwej. Twierdzenie. e nicje granicy w sensie Heinego i Cauchy ego sa sobie równowa zne. Niech f :! R, R i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem skupienia dziedziny. Je zeli istnieje granica lim lim f (x; y) ; x!x 0 y!y 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy najpierw y! y 0, a nastepnie x! x 0. Podobnie, gdy istnieje granica lim lim f (x; y) y!y 0 x!x 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy x! x 0, a nastepnie y! y 0. 5
6 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Uwaga.3 Istnienie granicy podwójnej jest niezale zne od istnienia granic iterowanych. Co wi ecej, je zeli granice iterowane istnieja, to moga być ró zne. Przyk ad.4. f (x; y) = xy x +y lim lim f (x; y) = 0 = lim x!0 y!0 y!0 lim f (x; y) ; x!0 ale lim f (x; y) nie istnieje. (x;y)!(0;0). f (x; y) = x y x +y lim lim x!0 y!0 i granica podwójna nie istnieje. x y x + y = ; lim lim y!0 x!0 3. f (x; y) = x sin x sin y lim lim x sin y!0 x!0 x sin = 0 y ale lim lim x sin x!0 y!0 x sin y nie istnieje; lim x sin (x;y)!(0;0) x sin y = 0: x y x + y = Twierdzenie.5 Je zeli istnieje granica podwója w punkcie (x 0 ; y 0 ) funkcji f i istnieje jedna z granic iterowanych, to sa sobie równe. Wniosek.6 Je zeli istnieja ró zne granice iterowane w punkcie (x 0 ; y 0 ), to nie istnieje granica podwójna w tym punkcie. e nicja.7 Niech f :! R, gdzie R n i niech p 0 b edzie punktem skupienia zbioru. Mówimy, ze funkcja f jest ciag a w punkcie p 0, je zeli lim f (p) = f (p 0 ) : p!p 0 Je zeli f jest ciag a w ka zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ze jest ciag a Twierdzenie.8 Je zeli f; g :! R sa ciag e, to. f g. f g 3. f g (o ile g 6= 0) sa funkcjami ciag ymi. 6
7 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Twierdzenie.9 (o lokalnym zachowywaniu znaku) Je zeli f :! R jest ciag a w p 0 i f (p 0 ) > 0 (f (p 0 ) < 0), to istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze f (p) > 0 (f (p) < 0) dla ka zdego p U \. Twierdzenie.30 (Weierstrassa) Za ó zmy, ze f :! R jest funkcja ciag a okre slona na domkni etym i ograniczonym zbiorze. Wówczas funkcja f jest ograniczona, co wi ecej istnieja takie punkty p 0,p 00, ze f (p 0 ) = inf f (p) = infff (p) : p g; p f (p 00 ) = sup f (p) = supff (p) : p g: p Twierdzenie.3 (arboux) Za ó zmy, ze f :! R jest funkcja ciag a i jest zbiorem spójnym. Je zeli f (p 0 ) < < f (p 00 ), gdzie p 0 ; p, to istnieje taki punkt q, ze = f (q). Twierdzenie.3 (Cantora) Je zeli f :! R jest funkcja ciag a okre slona na domkni etym i ograniczonym zbiorze, to f jest jednostajnie ciag a tzn. ^ _ ^ (d (p; q) < ) d (f (p) ; f (q)) < ") : ">0 >0 p;q.4 Pochodne kierunkowe i cz astkowe. Ró zniczkowalność Niech f :! R, R n i niech p b edzie punktem wewnetrznym zbioru. e nicja.33 Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h R n nazywamy liczb e fh 0 f (p + th) f (p) (p) = lim ; t!0 t o ile powy zsza granica istnieje i jest skończona. Uwaga.34 Pochodna w kierunku wektora h jest równa pochodnej funkcji w punkcie t = 0. ' (t) = f (p + th) e nicja.35 Pochodna kierunkowa w kierunku wektora e i = [0; :::; i ; :::; 0] nazywamy pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p wzgl edem zmiennej x i. Oznaczamy ja (p) ; a (p) = f 0 f (p + te i ) f (p) e (p) = lim : i t!0 t 7
8 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH W szczególnym przypadku, gdy n = i funkcja f jest funkcja zmiennych x i y, pochodne czastkowe oznaczamy ( df dx, f x) ( df dy, f y). 0 Jeśli p = (x 0 ; y 0 (x 0; y 0 ) = lim t!0 t (f (x 0 + h; y 0 ) f (x 0 ; y 0 (x 0; y 0 ) = lim t!0 t (f (x 0; y 0 + t) f (x 0 ; y 0 )) : e nicja.36 Je zeli funkcja f ma pochodna czastkow a wzgl edem zmiennej x i dla ka zdego punktu p, to funkcj :! R p (p) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f wzgl edem zmiennej x i. Uwaga.37 Je zeli ' i (t) = f (p + te i ), (p) = ' 0 i (0) : W praktyce oznacza to, ze obliczanie pochodnej czastkowej wzgledem zmiennej x i to obliczanie zwyk ej pochodnej wzgledem x i, traktujac pozosta e zmienne jak sta e. Uwaga.38 Istnienie pochodnych czastkowych w punkcie p, a nawet istnienie wszystkich pochodnych kierunkowych w punkcie p nie gwarantuje ciag ości funkcji w tym punkcie. Twierdzenie.39 Je zeli f; g :! R, R n i istnieja pochodne (p) dla pewnego punktu p, (f g) (p) (f g) (p) (p) g (p) + f 3. f g (p) = f 0 x (p)g(p) f(p)g 0 i x (p) i ; g (p) 6= 0 (g(p)) e nicja.40 Mówimy, ze funkcja f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, je zeli istnieje otoczenie U punktu p, na którym istnieja wszystkie pochodne czastkowe funkcji f i sa one ciag e w punkcie p. Mówimy, ze funkcja jest ró zniczkowalna (jest klasy C ) na zbiorze otwartym, gdy ma ciag e pochodne czastkowe na. Twierdzenie.4 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to dla dowolnego wektora h R n istnieje pochodna kierunkowa fh 0 (p), przy czym gdzie h = [h ; :::; h n ]. f 0 h (p) = nx (p) h i ; Wniosek.4 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to 8
9 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH. f 0 h+k (p) = f 0 h (p) + f 0 k (p). f 0 h (p) = f 0 h (p) dla dowolnych wektorów h; k R n i R. Przyk ad.43 Obliczyć f 0 h (p), gdzie f (x; y) = x y, p = (; ) i h = [a; b] jest dowolnym wektorem. e nicja.44 Za ó zmy, ze f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p. Ró zniczka (zupe n a) funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe df (p) : R n! R okre slone wzorem df (p) (h) = (p) h i : i= Twierdzenie.45 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to istnieje funkcja ' okre slona w otoczeniu 0 R n, ciag a w 0, ' (0) = 0 oraz (jhj oznacza d ugo sć wektora h:). f (p + h) = f (p) + df (p) (h) + ' (h) jhj Wniosek.46 Je zeli f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p Int, to. f jest ciag a w p. dla ma ych jhj zachodzi przybli zony wzór f (p + h) f (p) + df (p) (h) : Niech g :! R, R n, f ; :::; f n :! R, R, przy czym Wówczas jest sens mówić o z o zeniu f (t) = (f (t) ; f (t) ; :::; f n (t)) ; t : (g f) (t) = g (f (t) ; :::; f n (t)) : Twierdzenie.47 Je zeli funkcje f i sa ró zniczkowalne w punkcie t 0 (i = ; :::; n) oraz g jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 = f (t 0 ), to z o zenie g f jest ró zniczkowalna w t 0 ; przy czym (g f) 0 (t 0 ) = nx (f (t 0 )) f 0 i (t 0 ) = dg (f (t 0 )) ([f 0 (t 0 ) ; :::; f 0 n (t 0 )]) : Twierdzenie.48 Za ó zmy, ze funkcje f i :! R (i = ; :::; n), R m maja pochodne i (t 0 j 9
10 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH dla pewnego t 0 oraz ustalonego j ( j m). Wówczas przy za o zeniu, ze g :! R, R n, f (t) = (f (t) ; :::; f n (t)) ; t i ró zniczkowalno sci funkcji g w punkcie f (t 0 ) istnieje j (g f) (t 0 ) przy (g f) (t 0 ) = (f (t 0 i (t 0 ) j i= Twierdzenie.49 (o wartości średniej) Je zeli f :! R, R n jest zbiorem otwartym i f jest ró zniczkowalna na zbiorze, to dla dowolnego punktu p 0 i wektora h R n takiego, ze odcinek [p 0 ; p 0 + h] zawiera si e w, istnieje t (0; ), ze f (p 0 + h) f (p 0 ) = df (p 0 + th) (h) : e nicja.50 Niech f :! R i p 0. Poziomica funkcji f przechodzac a przez punkt p 0 nazywamy zbiór S (p 0 ) = fp : f (p) = f (p 0 )g: e nicja.5 Za ó zmy, ze funkcja f :! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 Int. Gradientem f w punkcie p 0 nazywamy rf (p 0 ) = (p 0 ) ; (p 0 n Je zeli rf (p 0 ) = 0 (wektor zerowy!), to mówimy, ze p 0 jest punktem stacjonarnym funkcji f. Uwaga.5. Mo zna wykazać, ze gradient funkcji f wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości tej funkcji. Ponadto rf (p 0 ) jest wektorem prostopad ym do poziomicy funkcji f przechodzacej przez p 0.. ( oznacza iloczyn skalarny wektorów). df (p 0 ) (h) = rf (p 0 ) h.5 Pochodne cz astkowe rz edu drugiego Niech f :! R, R n b edzie zbiorem otwartym i za ó zmy, ze istnieje pochodna (p) dla ka zdego p. Je zeli istnieje (p 0 j w punkcie p 0, to nazywamy ja druga pochodna czastkow a wzgledem i-tej i j-tej zmiennej. Oznaczamy ja f (p 0 ) lub fx j x j (p 0 ) : i f (p 0 ) oznaczamy i (p 0 ) : 0
11 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH e nicja.53 Mówimy, ze funkcja f :! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, je zeli istnieja pochodne czastkowe rz edu drugiego na pewnym otoczeniu p 0 i sa ciag e w tym punkcie. Mówimy, ze funkcja f jest dwukrotnie ró zniczkowalna (jest klasy C na zbiorze ; f C ()), je zeli ma ciag e pochodne czastkowe drugiego rz edu na. Twierdzenie.54 (Schwarza o symetrii drugiej ró zniczki) Je zeli f :! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, f (p 0 ) f (p 0 ) ; i; j = ; :::; j e nicja.55 Za ó zmy, ze f jest dwrukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0. ruga ró zniczka f w punkcie p nazywamy odwzorowanie okre slone wzorem d f (p 0 ) : R n R n! R d f (p 0 ) (h; k) = gdzie h = [h ; :::; h n ], k = [k ; :::; k n ]. W szczególnym przypdaku dla n = i jeśli h = k, to nx j (p 0 ) h i k j d f (p 0 ) (h; k) (p 0) h k (p 0) (h k + h k ) (p 0) h k d f (p 0 ) (h; h) (p 0) h (p 0) h h (p 0) h ; w skrócie b edziemy pisać d f (p 0 ) h :.6 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych e nicja.56 Mówimy, ze funkcja f :! R, R n ma maksimum [minimum] lokalne w punkcie p 0, je zeli istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 : pu Je zeli w powy zszym warunku spe niona jest nierówno sć ostra, to mówimy o maksimum [minimum] lokalnym w a sciwym. Je zeli 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 ; p to mówimy, ze funkcja f ma w punkcie p 0 maksimum [minimum] absolutne oznaczamy je przez max f (p) min f (p) : p p pu p
12 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Twierdzenie.57 (warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego) Je zeli funkcja f ma pochodne czastkowe w punkcie p 0 Int i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to (p 0 ) = 0; i = ; :::; n:. Funkcja mo ze mieć ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie posiada pochodnych czastkowych, np. f (x; y) = p x + y.. Je zeli f jest ró zniczkowalna w p 0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to rf (p 0 ) = 0 (tzn. p 0 jest punktem stacjonarnym). 3. Zerowanie sie pochodnych czastkowych nie wystarcza do tego, zeby istnia o ekstremum lokalne, np dla funkcji f (x; y) = x y mamy rf (0; 0) = [0; 0], ale funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (0; 0). Twierdzenie.59 (warunek wystraczajacy na istnienie ekstremum lokalnego) Za ó zmy, ze f :! R, R jest zbiorem otwarym i f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0. Je zeli. rf (p 0 ) = 0. W (p 0 ) = f xx 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fyy 00 (p 0 ) > 0 to funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne w a sciwe, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) < 0 minimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) > 0 Je zeli W (p 0 ) < 0, to f nie ma ekstremum w p 0. Je zeli W (p 0 ) = 0, to jest to przypadek watpliwy, tzn. w zale zno sci od funkcji f mo ze, ale nie musi być ekstremum w tym punkcie. e nicja.60 Niech A M n;n (R) b edzie macierza symetryczna (tzn. A T = A). Forma kwadratowa o macierzy A nazywamy odwzorowanie ' : R n! R okre slone wzorem 3 3 a ::: a n h ' (h) = hah T nx = [h ; :::; h n ] = a ij h i h j ; a n ::: a nn h i;j= n 3 a ::: a n 6 7 gdzie A = i h = [h ; :::; h n ]. a n ::: a nn a Przyk ad.6 Gdy n =, A = b a ' (h) = [h ; h ] b, h = [h ; h ] b c b h c h ah + bh = [h ; h ] bh + ch = ah + bh h + bh h + ch = ah + bh h + ch :
13 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH W szczególnym przypadku, gdy f :! R, R jest zbiorem otwartym i f jest klasy C na, to dla dowolnego punktu p otrzymujemy macierz symetryczna f 00 xx (p) fxy 00 (p) fxy 00 (p) fyy 00 : (p) Forma kwadratowa wyznaczona przez te macierz jest ' (h) = d f (p) h = d f (p) (h; h) = f 00 xx (p) h + f 00 xy (p) h h + f 00 yy (p) h : e nicja.6 Mówimy, ze forma kwadratowa ' jest dodatnio [ujemnie] okre slona, je zeli 3 ^ ' (h) > 0 4 ^ ' (h) < 05 : hr n nf0g hr n nf0g Mówimy, ze ' jest forma kwadratowa nieujemna [niedodatnia], je zeli " # ^ ^ ' (h) 0 ' (h) 0 : hr n hr n Przyk ad.63 Forma ' (h ; h ) = h jest forma nieujemna, ale nie jest dodatnio określona. e nicja.64 Mówimy, ze forma kwadratowa ' jest pó okre slona dodatnio, je zeli jest nieujemna, ale nie jest dodatnio okre slona. Mówimy, ze ' jest pó okre slona ujemnie, je zeli jest niedodatnia, ale nie jest ujemnie okre slona. Mówimy, ze forma ' jest nieokre slona, gdy ' przyjmuje warto sci dodatnie i ujemne. Przyk ad.65 Forma ' (h ; h ) = h h jest nieokreślona. e nicja.66 Niech A M n;n (R). Minorem g ównym stopnia k ( k n) macierzy A nazywamy wyznacznik 3 a ::: a k 6 7 k = det : a k ::: a kk Twierdzenie.67 Niech A = [a ij ] b edzie macierza formy kwadratowej ' : R n! R. Forma ' jest dodatnio okre slona wtedy i tylko wtedy, gdy k > 0; ujemnie okre slona wtedy i tylko wtedy,gdy kf;:::;ng kf;:::;ng ( ) k k > 0: Je zeli f :! R, R n jest zbiorem otwartym i f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, to mo zemy określić forme kwadratowa ' (h) = d f (p 0 ) (h; h) = nx i;j= f 00 x ix j (p 0 ) h i h j : 3
14 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Macierza tej formy jest macierz drugich pochodnych f w punkcie p 0 3 fx 00 x (p 0 ) fx 00 x (p 0 ) ::: fx 00 x n (p 0 ) fx 00 x (p 0 ) fx 00 x (p 0 ) ::: fx 00 x n (p 0 ) : fx 00 nx (p 0 ) fx 00 nx (p 0 ) ::: fx 00 nx n (p 0 ) Nazywamy ja macierza Hessego, zaś jej wyznacznik hesjanem. Twierdzenie.68 (warunek wystarczajacy na istnienie ekstremum lokalnego) Za ó zmy, ze f :! R, R n jest zbiorem otwartym, f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 i rf (p 0 ) = 0. Je zeli forma kwadratowa h 7! d f (p 0 ) (h; h) = jest dodatnio okre slona, to f ma minimum lokalne w p 0 ; jest ujemnie okre slona, to f ma maksimum lokalne w p 0 ; jest nieokre slona, to f nie ma ekstremum lokalnego w p 0. n P i;j= Je zeli forma jest pó okre slona dodatnio [ujemnie], jest to przypadek watpliwy..7 Funkcja uwik ana f 00 x ix j (p 0 ) h i h j e nicja.69 Niech f :! R, R. Za ó zmy, ze ' : I! R (I R jest przedzia em) jest taka funkcja ciag a, ze. (x; ' (x)) ;. xi f (x; ' (x)) = 0: xi Wówczas funkcj e ' nazywamy funkcja uwik ana okre slona równaniem (przez równanie) f (x; y) = 0. Oznacza to, ze je sli S = f(x; y) : f (x; y) = 0g, to pewna cz e sć zbioru S jest wykresem funkcji '. Twierdzenie.70 (o istnieniu funkcji uwi anej) Je zeli f :! R jest klasy C na zbiorze otwartym R, (x 0 ; y 0 ) oraz f (x 0 ; y 0 ) = 0 i f 0 y (x 0 ; y 0 ) 6= 0; to istnieje dok adnie jedna funkcja y = ' (x) uwik ana przez równanie f (x; y) = 0 okre slona na pewnym przedziale (x 0 ; x 0 + ) przy czym ' (x 0 ) = y 0, ' jest klasy C oraz ' 0 (x) = f 0 x (x; ' (x)) f 0 y (x; ' (x)) ; x (x 0 ; x 0 + ) : (*) Uwaga.7 Równość (*) otrzymujemy przez zró zniczkowanie stronami równości f (x; ' (x)) = 0 : 0 = f 0 x (x; ' (x)) x 0 + f 0 y (x; ' (x)) ' 0 (x) = f 0 x (x; ' (x)) + f 0 y (x; ' (x)) ' 0 (x) ; 4
15 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH w szczególności bo ' (x 0 ) = y 0. ' 0 (x 0 ) = f 0 x (x 0 ; y 0 ) f 0 y (x 0; y 0 ) ; Uwaga.7 Je zeli f 0 y (x 0 ; y 0 ) = 0, to mo ze sie zdarzyć, ze nie zachodzi teza twierdzenia o istnieniu funkcji uwik anej.. (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) i f (x; y) = x y istnieja dwie ró zne ró zniczkowalne funkcje uwik ane ' (x) = x oraz ' (x) = x;. (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) i f (x; y) = x + y nie istnieje funkcja uwik ana określona na otoczeniu x 0 = 0, bo f(x; y) : f (x; y) = 0g = f(0; 0)g; 3. (x 0 ; y 0 ) = (0; 0) i f (x; y) = 0 w tym przypadku S = f(x; y) : f (x; y) = 0g = R Je zeli funkcja f jest klasy C, to funkcja uwik ana ' jest te z klasy C przy czym na mocy (*) mamy 0 = f 0 x + f 0 y' 0 : Ponownie ró zniczkujac stronami otrzymamy stad ' 00 (x) = W szczególności ' 00 (x 0 ) = i jeśli ' 0 (x 0 ) = 0, to 0 = f 00 xxx 0 + f 00 xy' 0 x + f 00 yxx 0 + f 00 yy' 0 ' 0 + f 0 y' 00 0 = f 00 xx + f 00 xy' 0 + f 00 yy (' 0 ) + f 0 y' 00 fy 0 fxx 00 (x; ' (x)) + fxy 00 (x; ' (x)) ' 0 (x) + fyy 00 (x; ' (x)) ' 0 (x) : (x; ' (x)) f 0 fxx 00 (x 0 ; y 0 ) + fxy 00 (x 0 ; y 0 ) ' 0 (x 0 ) + f 00 (x 0 ; y 0 ) ' 0 (x 0 ) (x 0 ; y 0 ) ' 00 (x 0 ) = f 00 xx (x 0 ; y 0 ) f 0 y (x 0 ; y 0 ) : Twierdzenie.73 (o ekstremach funkcji uwik anej) Niech f :! R b edzie funkcja klasy C na zbiorze otwartym R i niech (x 0 ; y 0 ). Je zeli. f (x 0 ; y 0 ) = 0, f 0 x (x 0 ; y 0 ) = 0 i f 0 y (x 0 ; y 0 ) 6= 0;. f 00 xx (x 0 ; y 0 ) 6= 0; to funkcja uwik ana y = ' (x) ma ekstremum lokalne w punkcie x 0, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy ' 00 (x 0 ) < 0; minimum lokalne, gdy ' 00 (x 0 ) > 0; gdzie ' 00 (x 0 ) = f 00 xx (x 0 ; y 0 ) f 0 y (x 0 ; y 0 ) : (**) 5
16 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.8 Pochodne cz astkowe rz edu >. Wzór Taylora e nicja.74 Niech f :! R, R n jest zbiorem otwartym i p 0. Za ó zmy, ze dla pewnej liczby naturalnej k w ka zdym punkcie p istnieja pochodne czastkowe rz edu k. Pochodnymi czastkowymi rz edu k w punkcie p 0 nazywamy pochodne czastkowe pochodnych czastkowych rz edu k w punkcie p 0. e nicja.75 Mówimy, ze funkcja f jest k-krotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, je zeli istnieja wszystkie pochodne czastkowe w pewnym otoczeniu punktu p 0 i sa ciag e w tym punkcie. Mówimy, ze funkcja f jest klasy C k na zbiorze otwartym, je zeli ma wszystkie pochodne czastkowe rz edu k na i sa one ciag e. e nicja.76 Niech f :! R, gdzie R n jest zbiorem otwartym, b edzie funkcja k-krotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0. Ró zniczka rz edu k funkcji f w punkcie p 0 nazywamy odwzorowanie d k f (p 0 ) : R n ::: R {z n }! R k razy d k f (p 0 ) h ; :::; h k k = h i :::@x ::: h k i k ; ik i ;:::;i k = gdzie h i = h i ; :::; hn i, i = ; :::; k. Przyjmujemy nast epujac a umow e d k f (p 0 ) h (k) = d k f (p 0 ) (h; :::; h) : Twierdzenie.77 (Taylora) Je zeli funkcja f :! R, gdzie R n jest zbiorem otwartym, jest ró zniczkowalna w ka zdym punkcie odcinka [p 0 ; p 0 + h], to istnieje taka liczba (0; ), ze f (p 0 + h) = f (p 0 ) + df (p 0 ) h +! d f (p 0 ) h () + ::: + (k )! dk f (p 0 ) h (k ) + k! dk f (p 0 + h) h (k) : Twierdzenie.78 (o ca ce zale znej od parametru) Za ó zmy, ze funkcja F : [a; b] [; ]! R jest ciag a. Wówczas funkcja f : [; ]! R f (x) = Z b a F (t; x) dt, to wów- jest funkcja ciag a na przedziale [; ]. Je zeli F ma ciag a pochodna czastkow czas f jest ró zniczkowalna i Przyk ad.79 Niech f (x) = R 0 f 0 (x) = Z b (t; x) e x sin t dt. Wówczas f 0 (x) = Z 0 sin te x sin t 6
17 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.9 Ca ka podwójna e nicja.80 Przedzia em -wymiarowym nazywamy zbiór P postaci P = [a ; b ] [a ; b ] ; a i < b i ; i = ; : Obj eto scia -wymiarowa przedzia u P nazywamy liczb e jp j zde niowana jako za s srednica przedzia u P liczb e jp j = (b a ) (b a ) ; diam (P ) = q (b a ) + (b a ) : e nicja.8 Podzia em przedzia u P nazywamy ka zda rodzin e = fp ; :::; P m g (m N) przedzia ów -wymiarowych takich, ze. P = P [ ::: [ P m ;. Int P i \ Int P j = ;, i 6= j: Średnica podzia u nazywamy liczb e () = max diam (P i) : i=;:::;m Zbiór wszystkich podzia ów przedzia u P oznaczamy przez P (P ). e nicja.8 Warto sciowaniem podzia u = fp ; :::; P m g nazywamy zbiór T = fp ; :::; p m g taki, ze p i P i, i = ; :::; m. Zbiór wszystkich warto sciowań podzia u oznaczamy przez T (). e nicja.83 Niech f : P! R, gdzie P jest przedzia em -wymiarowym, = fp ; :::; P m g P (P ), T T (). Suma Riemanna dla funkcji f, podzia u i warto sciowania T nazywamy liczb e mx (f; ; T ) = f (p i ) jp i j : i= e nicja.84 Liczb e (f) nazywamy ca k a Riemanna funkcji f : P! R na przedziale P, je zeli 0 ^ _ () < ) ^ j (f; ; T ) (f)j < " A : ">0 >0 P(P ) P T T () Liczb e (f) b edziemy dalej oznaczać przez (f) = f (x; y) dxdy i nazywać ca k a podwójna z funkcji f na przedziale P. Mówimy, ze funkcja f jest ca kowalna na przedziale P. e nicja.85 Ciag podzia ów ( k ) kn nazywamy normalnym, je zeli lim ( k) = 0. k! 7
18 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Twierdzenie.86 Funkcja f : P! R jest ca kowalna na przedziale P i RR P f jest ca k a Riemanna f na P wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego normalnego ciagu podzia ów ( k ) i ciagu warto sciowań (T k ), T k T ( k ), lim (f; k; P k ) = f: k! Twierdzenie.87 (warunek wystarczajacy ca kowalności) Ka zda funkcja ciag a f : P! R okre slona na przedziale P jest ca kowalna. Interpretacja geometryczna ca ki podwójnej. Je zeli f : P! R jest funkcja nieujemna określona na przedziale P, to ca ka RR f jest równa obj etości obszaru = f(x; y; z) R 3 : (x; y) P ^ 0 z f (x; y)g: Twierdzenie.88 (Fubiniego) Je zeli P = [a; b] [c; d], f : P! R jest ca kowalna oraz dla ka zdego x [a; b] istnieje ca ka oznaczona f (x) = (dla ka zdego y [c; d] istnieje ca ka f (y) = f (x; y) dxdy = f (x; y) dxdy = P Z d c R b a Z b a Z d c P f (x; y) dy f (x; y) dx), to Z d c Z b a f (x; y) dya dx f (x; y) dxa dya : Uwaga.89. Za o zenie ca kowalności funkcji f i istnienie ca ek f (x) (f (y)) sa niezale zne od siebie.. Je zeli f jest funkcja ciag a, to f jest ca kowalna oraz istnieja ca ki f i f za o zenia twierdzenia sa wi ec automatycznie spe nione. 3. Je zeli f (x) = g (x) g (y) i funkcje g, g sa ciag e, to P f (x; y) dxdy = Z b a g (x) dx Z d c g (y) dy e nicja.90 Niech R b edzie zbiorem ograniczonym, f :! R. Mówimy, ze funkcja f jest ca kowalna (w sensie Riemanna) na zbiorze, je zeli istnieje przedzia P taki, ze funkcja f (x) ; x f (x) = 0; x P n P 8
19 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH jest ca kowalna na P. Przyjmujemy wtedy f def = P f: e nicja.9 Niech R, P b edzie takim przedzia em, ze P oraz P (P ). Przyjmijmy Liczb e Z = fq : Q \ 6= ;g W = fq : Q g Z () = inff X Q Z jqj : P (P )g nazywamy zewn etrzna miara Jordana zbioru, za s liczb e W () = supf X jqj : P (P )g Q W wewn etrzna miara Jordana zbioru. Mówimy, ze zbiór jest mierzalny w sensie Jordana, je zeli Z () = W (). Wówczas liczb e jj = Z () = W () nazywamy (-wymiarowa) miara Jordana zbioru. Mo zna wykazać, ze przedzia y -wymiarowe sa mierzalne w sensie Jordana; miara Jordana przedzia u P jest równa jp j (źwyk a"miara P ). e nicja.9 Mówimy, ze zbiór R ma -wymiarowa miar e Jordana równa zero, je zeli Z () = 0. Twierdzenie.93 Je zeli funkcja f : [a; b]! R jest ciag a, to wykres funkcji f ma -wymiarowa miar e Jordana równa zero. f(x; f (x)) : x [a; b]g Twierdzenie.94 Ograniczony podzbiór R jest mierzalny w sensie Jordana, je zeli brzeg zbioru ma -wymiarowa miar e równa zero. e nicja.95 Ograniczony obszar R nazywamy regularnym, je zeli jego brzeg jest suma skończonej ilo sci wykresów funkcji ciag ych. Wniosek.96 Je zeli R jest regularny, to jest mierzalny w sensie Jordana. Twierdzenie.97 (warunek konieczny ca kowalności) Je zeli funkcja f jest ca kowalna na domkni etym regularnym obszarze, to jest ograniczona na. Twierdzenie.98 (warunek wystarczajacy ca kowalności) Je zeli funkcja f jest ciag a na domkni etym obszarze regularnym ; 9
20 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH lub jest ograniczona na domkni etym obszarze regularnym i jest ciag a poza skończona ilo scia wykresów funkcji ciag ych, to jest ca kowalna. Twierdzenie.99 (w asności ca ki podwójnej) Za ó zmy, ze jest domkni etym obszarem regularnym.. Je zeli f; g :! R sa ca kowalne na, to funkcja f + g jest ca kowalna na (; R) oraz (f + g) dxdy =. Je zeli f; g :! R sa ca kowalne na oraz fdxdy + (x;y) fdxdy gdxdy: gdxdy: f (x; y) g (x; y), to 3. Je zeli f :! R jest ca kowalna, to jfj jest te z ca kowalna, przy czym fdxdy jfj dxdy: 4. Je zeli f :! R jest ca kowalna oraz (x;y) m f (x; y) M, to m jj fdxdy M jj : 5. Je zeli f; g :! R ró znia si e na zbiorze miary zero, to f jest ca kowalna wtedy i tylko wtedy, gdy g jest ca kowalna; wówczas fdxdy = gdxdy: 6. Je zeli = [, Int \ Int = ;, zbiory i sa domkni etymi obszarami regularnymi oraz f :! R jest ca kowalna, to f jest ca kowalna na i przy czym fdxdy = fdxdy + fdxdy: 7. Je zeli funkcja f :! R jest ciag a, to istnieje taki punkt (x 0 ; y 0 ), ze fdxdy = f (x 0 ; y 0 ) jj : 0
21 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH.9. Zamiana ca ki podwójnej na ca k e iterowan a e nicja.00 Obszar domkni ety nazywamy normalnym wzgl edem osi OX, je zeli = f(x; y) : a x b ^ g (x) y h (x)g; gdzie g; h : [a; b]! R sa funkcjami ciag ymi takimi, ze g (x) < h (x). Mówimy, ze jest normalny wzgl edem osi OY, je zeli = f(x; y) : y ^ ^ y[;] gdzie '; : [; ]! R sa funkcjami ciag ymi takimi, ze Uwaga.0 Obszary normalne sa regularne. x(a;b) ' (y) x (y)g; y(;) ' (y) < (y) : Twierdzenie.0 (o zamianie ca ki podwójnej na iterowana) Za ó zmy, ze f :! R jest funkcja ciag a. Je zeli jest obszarem normalnym wzgl edem osi OX = f(x; y) : a x b ^ g (x) y h (x)g; to f (x; y) dxdy = Z b a 0 Z h(x) g(x) Je zeli jest obszarem normalnym wzgl edem osi OY C f (x; y) dya dx: = f(x; y) : y ^ ' (y) x (y)g; to f (x; y) dxdy = Z 0 Z (y) '(y) C f (x; y) dxa dy:.9. Zamiana zmiennych w ca ce podwójnej e nicja.03 Za ó zmy, ze dana jest funkcja F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)), gdzie x; y :! R sa klasy C na zbiorze otwartym R. Jakobianem przekszta cenia F w punkcie (u; v) nazywamy J (u; v) (u; (u; (u; v) (u; Przyk ad.04. F (u; v) = (au + bv; cu + dv), gdzie (u; v) R i a; b; c; d sa ustalonymi liczbami rzeczywistymi. J (u; v) = ad bc:. F (u; v) = p u v ; p uv, u; v (; ). Wtedy J (u; v) = v :
22 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 3. F (r; ') = (r cos '; r sin '). Wtedy J (r; ') = r: Twierdzenie.05 (o zamianie zmiennych w ca ce podwójnej) Je zeli. F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)) przekszta ca wzajemnie jednoznacznie wn etrze domkni etego obszaru regularnego R na wn etrze domkni etego obszaru regularnego R ;. funkcje x i y sa klasy C na pewnym zbiorze otwartym U takim, ze U 3. funkcja f :! R jest ciag a 4. jakobian J (u; v) odwzorowania F jest ró zny od zera dla ka zdego (u; v) Int, to f (x; y) dxdy = f (x (u; v) ; y (u; v)) jj (u; v)j dudv: e nicja.06 P atem powierzchniowym nazywamy zbiór S = f(x; y; z) : (x; y) ^ z = f (x; y)g; gdzie R jest obszarem domkni etym i f :! R jest funkcja ciag a. Twierdzenie.07 Je zeli jest domkni etym obszarem regularnym i f jest klasy C na zbiorze (tzn. jest klasy C na pewnym zbiorze otwartym U takim, ze U), to pole powierzchni p ata S jest równe q jsj = + (fx) 0 dxdy: + fy 0 Twierdzenie.08 Je zeli = f(x; y; z) : (x; y) ^ f (x; y) z f (x; y)g; gdzie f ; f :! R sa ciag e na domkni etym obszarze regularnym R oraz f (x; y), to obj eto sć j j zbioru jest równa j j = (f (x; y) f (x; y)) dxdy:.0 Ca ka potrójna Przedzia em 3-wymiarowym nazwyamy zbiór obj etościa P nazywamy liczb e P = [a ; b ] [a ; b ] [a 3 ; b 3 ] ; a i < b i ; i = ; ; 3; jp j = (b a ) (b a ) (b 3 a 3 ) ; (x;y) f (x; y)
23 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY I CA KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH zaś średnica liczb e diam (P ) = q (a b ) + (a b ) + (a 3 b 3 ) : Podobnie jak w pryzpadku -wymiarowym de niujemy poj ecie podzia u przedzia u P, wartościowania podzia u, sumy i ca ki Riemanna dla funkcji f : P! R, ca ki z funkcji f :! P, gdzie jest zbiorem ograniczonym. Ca ke z f :! R, gdzie R 3 jest zbiorem ograniczonym, nazywamy ca k a potrójna z funkcji f na i oznaczamy symbolem Z f (x; y; z) dxdydz: U zywajac poj ecia 3-wymiarowych przedzia ów de niujemy 3-wymiarowa miare Jordana ograniczonego zbioru R 3 ; oznaczamy ja przez j j. e nicja.09 Ograniczony obszar R 3 nazywamy regularnym, je zeli jego brzeg jest suma skończonej ilo sci p atów powierzchniowych. Interpretacja ca ki potrójnej: je zeli jest obszarem regularnym, to RRR dxdydz = j j je zeli (x; y; z) jest gestościa w punkcie (x; y; z), to masa jest równa Z m = (x; y; z) dxdydz: e nicja.0 omkni ety i ograniczony obszar R 3 nazywamy normalnym wzgl edem p aszczyzny OXY, je zeli = f(x; y; z) : (x; y) ^ g (x; y) z h (x; y)g; gdzie R jest domkni etym obszarem regularnym oraz g; h :! R sa funkcjami ciag ymi, przy czym g (x; y) < h (x; y). (x;y)int Twierdzenie. Je zeli funkcja f :! R jest ciag a na domkni etym obszarze normalnym wzgl edem p aszczyzny OXY, to przy powy zszych oznaczeniach 0 Z f (x; y; z) dxdydz = Z h(x;y) g(x;y) C f (x; y; z) dza dxdy: e nicja. Niech F (u; v; w) = (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)), gdzie (u; v; w) i jest zbiorem otwartym. Je zeli funkcje x; y; z sa ró zniczkowalne na, to jakobianem F nazywamy funkcj e x 0 u x 0 v x 0 w J (u; v; w) = yu 0 yv 0 yw 0 zu 0 zv 0 zw 0 : Przyk ad.3 3
24 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE wspó rz edne walcowe 8 < wtedy J (r; '; h) = : x = r cos ' y = r sin ' z = h cos ' r sin ' 0 sin ' r cos ' = r cos ' + r sin ' = r; wspó rz edne sferyczne 8 < wtedy J (r; '; ) = : x = r cos ' cos y = r sin ' cos z = r sin cos ' cos r sin ' cos r cos ' sin sin ' cos r cos ' cos r sin ' sin sin 0 r cos = r cos : Twierdzenie.4 (o zamianie zmiennych w ca ce potrójnej) Je zeli F (u; v; w) = (x (u; v; w; ) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)). przekszta ca wzajemnie jednoznacznie wn etrze domkni etego obszaru regularnego R 3 na wn etrze domkni etego obszaru regularnego R 3. funkcje x; y; z sa klasy C na 3. f jest ciag a na 4. jakobian J (u; v; w) 6= 0 dla ka zdego (u; v; w) Int, to Z f (x; y; z) dxdydz = Z f (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)) jj (u; v; w)j dudvdw Równania ró zniczkowe zwyczajne. Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu pierwszego Niech RR R b edzie zbiorem otwartym i F :! R b edzie taka funkcja, ze pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamościowo równa zero. e nicja. Równanie F (x; y; y 0 ) = 0; (.) w którym niewiadoma jest pewna funkcja y zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym I R, nazywamy równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu pierwszego. 4
25 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE e nicja. Rozwiazaniem szczególnym (ca k a szczególna) równania (.) nazywamy ka zda funkcj e ' : I! R okre slona na przedziale otwartym (ograniczonym lub nie) taka, ze. ' jest ró zniczkowalna na I;. f(x; ' (x) ; ' 0 (x)) : x Ig ; ^ 3. F (x; ' (x) ; ' 0 (x)) = 0: xi Wykres rozwiazania ' nazywamy krzywa ca kowa tego równania. e nicja.3 Zbiór wszystkich rozwiazań szczególnym równania (.) nazywamy rozwiazaniem ogólnym (ca k a ogólna) tego równania. e nicja.4 Niech ' : I! R oraz : J! R b ed a rozwiazaniami równania (.) takimi, ze I J oraz ^ ' (x) = (x). Wówczas nazywamy przed u zeniem rozwiazania ' xi (' nazywamy zaw e zeniem ). Je zeli I 6= J, to nazywamy przed u zeniem w a sciwym. Rozwiazanie nazywamy globalnym, je zeli nie istnieje jego w a sciwe przed u zenie. e nicja.5 Równanie ró zniczkowe zapisane w postaci y 0 = f (x; y) ; (.) gdzie f :! R, R jest znana funkcja dwóch zmiennych, nazywamy normalnym. Postać (.) nazywamy postacia normalna równania ró zniczkowego zwyczajnego rz edu I. Funkcja ' : I! R jest wiec rozwiazaniem równania (.), gdy. ' jest ró zniczkowalna na I;. f(x; ' (x)) : x Ig ; ^ 3. ' 0 (x) = f (x; ' (x)) : xi e nicja.6 Niech (x 0 ; y 0 ). Zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania szczególnego ' równania (.) spe niajacego warunek ' (x 0 ) = y 0 nazywamy zagadnieniem poczatkowym lub zagadnieniem Cauchy ego dla równania (.). Geometrycznie sprowadza si e do znalezienia krzywej ca kowej równania (.) przechodzacej przez z góry zadany punkt (x 0 ; y 0 ). e nicja.7 Rozwiazanie szczególne równia (.) (lub (.)) nazywamy regularnym, je zeli przez zaden punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie nie przechodzi zadna inna krzywa ca kowa tego równania osobliwym, je zeli przez ka zdy punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie przechodzi co najmniej jedna inna krzywa ca kowa 5
26 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie.8 (Peano) Je zeli funkcja f jest ciag a na obszarze R, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y) : Twierdzenie.9 (Cauchy ego) Je zeli funkcja f jest ciag a i ma ciag a pochodna fy 0 na obszarze R, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi dok adnie jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y)... Równanie o zmiennych rozdzielonych e nicja.0 Równaniem ró zniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci y 0 = f (x) g (y) ; (.3) gdzie f : (a; b)! R i g : (c; d)! R sa funkcjami ciag ymi. Niech = (a; b) (c; d) : ^ Przypadek (i) g (y) 6= 0: y(c;d) Twierdzenie. Ka zde rozwiazanie ' równania (.3) w prostokacie jest okre slone wzorem ' (x) = ( (x) + C) ; x (; ) (a; b) ; (.4) gdzie odwrotna do jest funkcja pierwotna funkcji g, jest funkcj a pierwotna f. oraz C jest taka sta a, ze ^ x(;) oznacza funkcj e (x) + C nale zy do dziedziny funkcji. W tym przypadku zagadnienie Cauchy ego y (x 0 ) = y 0 ma dok adnie jedno rozwiazanie: y 0 = ( (x 0 ) + C) i stad Przypadek (ii) ' (x) = ( (x) + (y 0 ) (x 0 )) : Funkcja g posiada miejsca zerowe w przedziale (c; d). Za ó zmy, ze y (c; d) jest miejscem zerowym funkcji g : g (y ) = 0. Niech ' (x) = y (funkcja sta a). atwo widać, ze jest to rozwiazanie szczególne równania (.3). Je zeli y ; :::; y k sa miejscami zerowymi funkcji g, y i (c; d), i = ; :::; k, to dzielac zbiór na zbiory (a; b) (c; y ) ; (a; b) (y ; y ) ; :::; (a; b) (y k ; d) mo zemy na ka zdym z nich znaleźć rozwiazanie równania (.3) wyra zone wzorem (.4). Ponadto funkcje sta e ' k (x) = y i, i = ; :::; k sa rozwiazaniami szczególnymi równania (.3). e nicja. Niech f : (a; b)! R b edzie funkcja ciag a. Równanie ró zniczkowe postaci y y 0 = f (.5) x nazywamy równaniem jednorodnym wzgl edem x i y. 6
27 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Niech = f(x; y) : a < y x < b ^ x > 0g; = f(x; y) : a < y x < b ^ x < 0g: Poszukujemy krzywych ca kowych równania (.5) w zbiorze = [. Twierdzenie.3 Funkcja ' : (; )! R jest rozwiazaniem równania (.5) wtedy i tylko wtedy, gdy u (x) = '(x) x jest rozwiazaniem równania o zmiennych rozdzielonych u 0 = f (u) x.. Równanie liniowe pierwszego rz edu i równanie Bernoullego Niech p; q : (a; b)! R b ed a funkcjami ciag ymi. e nicja.4 Równaniem liniowym pierwszego rz edu nazywmy równanie postaci u : y 0 + p (x) y = q (x) : (.6) Równaniem jednorodnym odpowiadajacym równaniu (.6) nazywamy równanie Równanie (.6) nazywamy niejednorodnym. y 0 + p (x) y = 0: (.7) Twierdzenie.5 Zbiór rozwiazań równania jednorodnego (.7) jest podprzestrznia liniowa o wymiarze jeden przestrzeni C 0 ((a; b)) (zbiór funkcji ciag ych na przedziale (a; b)). Je zeli P : (a; b)! R jest funkcja pierwotna funkcji p, to funkcja jest baza tej przestrzeni. ' (x) = e P (x) ; x (a; b) Wniosek.6 Ca k a ogólna równania jednorodnego (.7) jest zbiór funkcji ' 0 (x) = Ce P (x), gdzie P jest funkcja pierwotna funkcji p i C jest dowolna sta a. Uwaga.7. Je zeli ' i ' sa rozwiazaniami równania niejednorodnego (.6), to ' ' jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.7).. Je zeli ' s jest rozwiazaniem równani niejednorodnego (.6) i ' 0 jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.7), to ' s + ' 0 jest rozwiazniem równania (.6). Wniosek.8 Rozwiazaniem ogólnym równania liniowego (.6) jest klasa funkcji ' s + ' 0 ; gdzie ' s jest ca k a szczególna równania (.6) i ' 0 jest ca k a ogólna równania (.7). Metody poszukiwania ca ki szczególnej 7
28 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda Lagrange a (uzmienniania/wariacji sta ej) Ca k a ogólna równania (.7) jest klasa funkcji ' 0 (x) = e P (x), gdzie P jest jakakolwiek funkcja pierwotna f-cji p. Poszukujemy ca ki szczególnej w postaci ' s (x) = C (x) e P (x) (.8) (w miejscu sta ej C pojawi a sie nieznana funkcja zmiennej x). Skoro ' s ma być ca k a szczególna równania niejednorodnego (.6), to C 0 (x) = q (x) e P (x) i stad Z C (x) = q (x) e P (x) dx: Przyk ad. y 0 + y cos x = e sin x : metoda przewidywań Je zeli fukcja p jest sta a, p (x) = p R, x (a; b), to rozwiazaniem ogólnym równania jednorodnego (.7) sa funkcje postaci ' 0 (x) = Ce px ; C R. Je zeli dodatkowo funkcja q jest postaci gdzie q (x) = e x (W n (x) cos x + m (x) sin x) ; W n, m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m ; pewne sta e, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (.6) postaci gdzie ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; R l, S l sa wielomianami zmiennej x stopnia l = maxfm; ng 0; + i 6= p k = : ; + i = p Twierdzenie.9 Je zeli ' i : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania y 0 + p (x) y = q i (x), P i = ; :::; n, to ' (x) = n ' i (x) jest rozwiazaniem równania i= y 0 + p (x) y = nx q i (x) : e nicja.0 Równaniem ró zniczkowym Bernoullego nazywamy równanie postaci gdzie p; q : (a; b)! R sa funkcjami ciag ymi. i= y 0 + p (x) y = q (x) y r ; r 6= 0 ^ r 6= ; Równanie Bernoullego mo zna sprowadzić do równania liniowego za pomoca podstawienia u (x) = y r (x) : 8
29 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE. Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu drugiego e nicja. Równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu drugiego nazywamy równanie postaci F (x; y; y 0 ; y 00 ) = 0; (.9) gdzie F :! R, R jest zbiorem otwartym i pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamo sciowo równa zero oraz y jest niewiadoma funkcja zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym. e nicja. Odwzorowanie ' : I! R nazywamy rozwiazaniem równania (.9), je zeli. ' jest funkcja dwukrotanie ró zniczkowalna na I;. (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) ; 3. xi F (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) = 0: xi e nicja.3 Postać równania ró zniczkowego nazywamy postacia normalna. y 00 = f (x; y; y 0 ) (.0) e nicja.4 Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem poczatkowym) nazwyamy zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania ' równania (.9) lub (.0) takiego, ze ' (x 0 ) = y 0 ^ ' 0 (x 0 ) = y 0 0: Równania sprowadzalne do równań pierwszego rz edu F (x; y 0 ; y 00 ) = 0 F (y; y 0 ; y 00 ) = 0 stosujemy podstawienie u (x) = y 0 (x) stosujemy podstawienie y 0 = u (y).. Równanie ró zniczkowe liniowe rz edu II Niech p; q; f : (a; b)! R b eda funkcjami ciag ymi. e nicja.5 Równaniem ró zniczkowym liniowym rz edu II nazywamy równanie postaci Równanie y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = f (x) : (.) y 00 + p (x) y 0 + q (x) = 0 (.) nazywamy równaniem jednorodnym odpowiadajacym równaniu (.). Podobnie jak w przypadku równania liniowego rz edu pierwszego wykazuje si e, ze je zeli ' i ' sa rozwiazaniami szczególnymi równania niejednorodnego (.), to ' ' jest rozwiazaniem równania (.); 9
30 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE je zeli ' jest rozwiazaniem szczególnym równania (.) i jest rozwiazaniem równania (.), to ' + jest rozwiazniem równania (.). Wniosek.6 Ca k a ogólna równania (.) jest rodzina funkcji postaci ' 0 + ' s ; gdzie ' 0 oznacza ca k e ogólna równania jednorodnego (.) i ' s ca k e szczególna równania niejednorodnego (.). e nicja.7 Mówimy, ze funkcje ' ; ' : (a; b)! R sa liniowo zale zne, je zeli istnieja sta e C ; C takie, ze C + C 6= 0 oraz C ' + C ' = 0, tzn. ^ C ' (x) + C ' (x) = 0: x(a;b) Mówimy, ze ' i ' sa liniowo niezale zne, gdy nie sa liniowo zale zne. Twierdzenie.8 Zbiór rozwiazań równania jednorodnego (.) jest podprzestrzenia wymiaru przestrzeni C ((a; b)). Ka zda baz e tej przestrzeni nazywamy uk adem podstawowym ca ek (fundamentalnym uk adem rozwiazań). Rozwiazania ' i ' tworza baz e tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy sa liniowo niezale zne. Wtedy ka zde rozwiazanie ' mo zna zapisać w postaci ' = C ' + C ' ; gdzie C i C sa jednoznacznie wyznaczonymi sta ymi. Twierdzenie.9 Ca ki ' i ' równania (.) sa liniowo niezale zne wtedy i tylko wtedy, gdy ^ W (x) = ' (x) ' (x) ' 0 (x) ' 0 (x) 6= 0: x(a;b) Wyznacznik W (x) nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem Wrońskiego). Wniosek.30 Ca k a ogólna równania (.) jest zbiór funkcji postaci ' (x) = C ' (x) + C ' (x) + ' s (x) ; gdzie ' i ' jest uk adem podstawowym ca ek równania (.), C ; C sa dowolnymi sta ymi oraz ' s jest dowolna ca k a szczególna równania niejednorodnego (.). Twierdzenie.3 Je zeli ' : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.) i ' (x) 6= 0 dla x (a; b), to Z ' (x) = ' (x) ' (x)e P (x) dx; gdzie P (x) jest dowolna funkcja pierwotna funkcji p na (a; b), jest rozwiazaniem równania jednorodnego (.), przy czym ' i ' sa liniowo niezale zne. Metody poszukiwania ca ki szczególnej 30
31 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda Lagrange a (uzmienniania sta ych) Za ó zmy, ze ' i ' sa liniowo niezale znymi rozwiazaniami równania jednorodnego (.). Poszukujemy rozwiazania szczególnego równania (.) w postaci ' s (x) = C (x) ' (x) + C (x) ' (x) ; gdzie C i C sa pewnymi funkcjami ró zniczkowalnymi na przedziale (a; b). Te niewiadome funkcje mo zna wyznaczyć przez rozwiazanie uk adu równań C 0 (x) ' (x) + C 0 (x) ' (x) = 0 C 0 (x) ' 0 (x) + C 0 (x) ' 0 : (x) = f (x) Zauwa zmy, ze wyznacznikiem tego liniowego uk adu równań jest W (x) = ' (x) ' (x) ' 0 (x) ' 0 (x) : metoda przewidywań Za ó zmy, ze funkcje p i q w równaniu (.) sa sta e; otrzymujemy wtedy y 00 + py 0 + qy = 0; p; q R: (.3) Równaniem charakterystycznym odpowiadajacym równaniu (.3) nazywamy równanie r + pr + q = 0: (.4) Niech = p 4q. Mamy nastepujace przypadki: > 0 wtedy równanie charakterystyczne ma dwa ró zne pierwiastki r, r ; niech ' (x) = e rx ; ' (x) = e rx ; = 0 wtedy równanie (.4) ma jeden podwójny pierwiastek r 0 ; niech ' (x) = e r0x ; ' (x) = xe r0x ; < 0 wtedy równanie (.4) ma dwa pierwiastki zespolone sprze zone r = i, ; R; niech ' (x) = e x cos x; ' (x) = e x sin x: W ka zdym z tych trzech przypadków funkcje ' i ' tworza fundamentalny uk ad rozwiazań równania (.3). Je zeli w równaniu o sta ych wspó czynnikach funkcja f jest postaci y 00 + py 0 + qy = f (x) (.5) f (x) = e x (W n (x) cos x + n (x) sin x) ; gdzie ; R i W n, m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (.5) postaci ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; gdzie R l, S l sa wielomianami stopnia l = maxfm; ng oraz k f0; ; g oznacza krotność pierwiastka + i równania charakterystycznego r + pr + q = 0: 3
32 . RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE.3 Transformata Laplace a e nicja.3 Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej nazywamy dowolne odwzorowanie f : I! C, gdzie I R jest przedzia em. Niech u (t) = Re (f (t)) ; v (t) = Im (f (t)) : Wówczas u; v sa funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej oraz f (t) = u (t) + iv (t) : Mówimy, ze f jest ciag a (ró zniczkowalna) w punkcie t 0, gdy funkcje u oraz v sa ciag e (ró zniczkowalne) w t 0. e nicja.33 Funkcj e zespolona f zmiennej rzeczywistej nazywamy orygina em, je zeli f spe nia warunki:. f i f 0 sa przedzia ami ciag e dla t [0; ) (tzn. f i f 0 maja skończona ilo sć punktów nieciag o sci pierwszego rodzaju). f (t) = 0 dla t < 0 3. f jest funkcja rz edu wyk adniczego o wska zniku 0, tzn. istnieja sta e M > 0; 0 0 takie, ze ^ jf (t)j < Me 0t : tr e nicja.34 Transformata (przekszta ceniem) Laplace a nazywamy przekszta cenie L, które ka zdemu orygina owi f przyporzadkowuje pewna funkcj e zespolona L [f] zmiennej zespolonej i jest okre slone wzorem L [f] (s) = Z 0 f (t) e st dt; s C Je zeli f jest orygina em o wskaźniku wzrostu 0, to powy zsza ca ka jest bezwzglednie zbie zna w pó p aszczyźnie Re s > 0. Twierdzenie.35 W asno sci transformaty Laplace a.. L [a f + a f ] = a L [f ] + a L [f ], gdzie a ; a C sa dowolnymi sta ymi.. L [f 0 ] (s) = sl [f] (s) f (0 + ), gdzie f (0 + ) = lim t!0 + f (t) : 3. L f (n) (s) = s n L [f] (s) s n f (0 + ) s n f 0 (0 + ) ::: f (n ) (0 + ) : 4. L [ tf (t)] (s) = L [f] 0 (s) : 5. L [f (at)] (s) = a L [f] s a : 6. L [f (t a)] (s) = e as L [f] (s) ; a > 0: 7. L [e t f (t)] (s) = L [f] (s ) : 3
Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011
Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRównania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".
Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna
Bardziej szczegółowoPochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.
Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoWyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoII semestr. Jan Kubarski
II semestr Jan Kubarski 0. Funkcje wielu zmiennych, granice De nition 0.. Ka zd a funkcje f : A! R określona na podzbiorze A R n nazywamy funkcja n-zmiennych. Np. Funkcja f (x; y) xy jest funkcja zmiennych,
Bardziej szczegółowo7. Nierówno Schwarza. 3. Ci gi i szeregi 1. Ci g liczbowy, zbie no, granica ci gu. 2. Tw. o granicach ci gu (sumy itd.). Tw. o zachowaniu relacji w gr
Analiza Matematyczna - Informatyka Lista tematów na egzamin ustny UWAGA: W odpowiedzi nale y poda stosowne definicje i przyk ady, oraz wykaza si zrozumieniem tematu. 1. Logika, teoria mnogo ci, zbiory
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoKurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka kredytowego
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2. Ćwiczenia
Analiza Matematyczna. Ćwiczenia Bogdan Balcerzak 4 Spis treści RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA. Ca ka oznaczona................................... Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej....................3
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowo1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoOpracowa : Zbigniew Skoczylas. Studenci wydzia ów W2, W4 oraz W7 opracowuja ¾ten materia samodzielnie. x 3 y 5 z 3 : 2x : (x 2 y 2 ) ; ; e) : 2+1
Algebra z geometri a analityczn a A - MAP 1140 Algebra z geometri a analityczn a B - MAP 1141 Lista zadań na rok akademicki 009/010 Opracowa Zbigniew Skoczylas Wyra zenia algebraiczne. Indukcja matematyczna
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wst ¾epne
Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II
Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki
Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoZestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1
Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowo