Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Transkrypt

1 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć czwarty wyraz rozwinięcia dwumianu: a) ( ) ( ) n n = 0 c) = n d) 4 n ( x ) 5 b) x 4. Udowodnić metodą indukcji: n(n + ) a) n = b) (n ) = n c) n + n jest podzielne przez d) 0 n 4 jest podzielne przez 6 e) n + n f) + 3 n n + 3 ( ) n = n 3 ( ) x 7 + x ( ) n n 4 Zajęcia nr i 3 (4h) Trygonometria 5. Podane miary stopniowe kątów wyrazić w radianach: a) 360 b) 90 c) 8 d) 5 6. Określić znak każdej z liczb: sin x, cos x, tg x, ctg x, wiedząc że a) x (π, 3 π) b) x (, 3) c) x (5, 6) 7. Obliczyć cos x i tg x, jeśli sin x = 4 5 i x ( π, π) 8. Obliczyć sin x i cos x, jeśli tg x = i x ( π, 0) 9. Obliczyć sin x i cos x, jeśli sin x = 3 i x ( π, π) 0. Sprawdzić czy podana równość jest tożsamością trygonometryczną: a) cos 4 x sin 4 x = cos x sin sin x x b) + cos x + + cos x = sin x sin x. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = sin x + b) f(x) = cos(x π 4 ) c) f(x) = sin x cos x sin x d) f(x) = tg x e) f(x) = f) f(x) = sin x + sin x cos x. Uprościć wyrażenie: a) tg(3π α) b) ctg( π + α) c) cos(π α) d) sin(α 5 π) 3. Uprościć wyrażenie: a) sin x( + ctg x) + cos x( + tg x) b) sin x ctg x cos x jeśli x (π, π) 4. Rozwiązać równania: a) cos x = + cos x b) cos 3x = cos x c) 3 sin x = cos x d) sin x cos x = 0 e) tg x + ctg x = 4 sin x f) tg x = cos x g) tg x sin x = tg x sin x h) ctg x cos x = sin x i) tg x + tg x = tg 3x sin x

2 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 5. Rozwiązać nierówności: cos x a) cos x+tg x < +sin x w przedziale (0, π) b) < w przedziale (0, π) cos x cos x + cos x c) > w przedziale (0, π) d) sin x ( cos x) w przedziale (π, π) cos x 6. Sprawdzić tożsamości: a) tg x + ctg x = sin x d) b) 4 ctg x = 4 4 cos x cos x c) cos x cos 3x sin 3x sin x = tg x sin x + sin x + cos x + cos x = tg x e) cos x( + tg x tg x) = f) tg( π 4 + x) tg( π 4 x) = tg x Zajęcia nr 4 (h) Potęgi o wykladniku rzeczywistym. Równania i nierówności kwadratowe, wzory Viete a. Dzielenie wielomianów. 7. Daną liczbę zapisać jako potęgę liczby : ( a) (6 3 4) 5 b) 8 4 d) 3 e) ) c) f) 4 8. Sprowadzić do najprostszej postaci wyrażenia: a) (x8 x 3 ) 4 x 7 x 9 x 0 b) ( y 3 y) y > 0 c) 4 y 8 y 6 ( x ( x) ) 8 x 0 9. Nie obliczając pierwiastków równania x 5x 6 = 0 obliczyć: a) iloczyn pierwiastków tego równania b) sumę odwrotności pierwiastków tego równania c) sumę kwadratów pierwiastków tego równania d) sumę odwrotności kwadratów pierwiastków tego równania 0. Rozłożyć na czynniki wielomian W (x), wiedząc że liczba p jest jego pierwiastkiem a) W (x) = x 3 + x 7x 3; p = 3 b) W (x) = 9x 4 x 3 x x; p =. Sprawdzić, czy liczba jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 4 x 3 3x + 3x 0. Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia a) wielomianu x 6 + x 5 + 3x + 4 przez wielomian x b) wielomianu x 5 + x 4 + 3x + przez wielomian (x + )(x ) 3. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu 3x 3 +mx 4x+ przez x otrzymujemy resztę równą 6? 4. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x jest równa, a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x jest równa 4. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x 3x + 5. Rozwiązać równania: a) x + 3 x = 4 x x + b) 4 + x x = x c) 9 5x = 3 x x

3 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 3 6. Rozwiązać nierówności: a) x 3 + 6x + x + 6 > 0 b) x 3 + 3x 9x c) 3x 3 + 8x 9x < 0 d) 4x 4 + 4x 3 + 3x x 0 e) (x3 )(x )(x ) x(x + ) 0 f) 4 x 5x + 6 < 0 x 3 Zajęcia nr 5 (h) Równania i nierówności kwadratowe z parametrem. Wartość bezwzględna. Równania i nierówności wymierne. 7. Wyznaczyć takie wartości parametru m, aby równanie a) (m )x + 6x + = 0 miało dokładnie jedno rozwiązanie b) (m + )x 4x + = 0 miało dwa różne rozwiązania 8. Wyznaczyć te wartości parametru m, dla którego równanie (m )x 4 (m + 3)x + m + = 0 ma cztery róźne pierwiastki rzeczywiste. 9. Dla jakich wartości parametru k równanie (k + )x + x + = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków. 30. Dla jakich wartości parametru m równanie x + mx + m a) ujemne b) nieujemne = 0 ma dwa różne pierwiastki 3. Rozwiązać równania i nierówności: a) x 9 + x 4 = 5 b) x 5x + 4 x 4 c) x < x d) x 4x = 6 x e) x 3 = 3x 7 f) x 5x + 3 = 3 Zajęcia nr 6 (h) Własności funkcji. 3. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji: x + a) f(x) = x b) f(x) = cos x c) f(x) = tg x + ctg x x 33. Dane są funkcje: f(x) = x 9 i g(x) = x. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji: a) f(x) g(x) b) f(x) c) (f g)(x) d) (g f)(x) g(x) 34. Zbadać parzystość i nieparzystość funkcji: a) f(x) = sin x tg x b) f(x) = 4 + 3x + x + 4 3x + x 35. Wykazać, że funkcja f(x) = x + jest rosnąca w R 36. Wykazać, że funkcja f(x) = { x dla x 0 x dla x > 0 jest malejąca w R 37. Zbadać różnowartościowość funkcji: a) f(x) = 3x b) f(x) = x x c) f(x) = x + { x dla x x 3 dla x >

4 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze Znaleźć okres podstawowy funkcji: a) f(x) = sin(x + ) b) f(x) = tg x c) f(x) = sin π x + cos π x 39. Znaleźć funkcję odwrotną do funkcji: a) f(x) = 3x + b) f(x) = (x ) 3 c) f(x) = x + x 40. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = sin(x + π ) b) f(x) = (x 3) + 4 c) f(x) = cos(x π) d) f(x) = x 4 e) f(x) = x + + x f) f(x) = { x x + x x + x x < 0 g) f(x) = cos x h) f(x) = x 4 x i) f(x) = x + x x 0 Zajęcia nr 7 (h) Funkcja liniowa i kwadratowa. 4. Znaleźć wzór funkcji liniowej f, wiedząc że: a) jej wykres przecina oś Oy w punkcie o rzędnej, a miejscem zerowym funkcji f jest 4. b) jej wykres przechodzi przez punkt A(, 8) i jest równoległy do wykresu funkcji g(x) = 3x + 7 c) jej wykres jest nachylony do osi Ox pod kątem 60 i przechodzi przez punkt (, 3) 4. { Wyznaczyć funkcję liniową, taką aby dla każdego x R spełnione były warunki: f(3x) = 3f(x) a) b) f(x) = f(x) + f(x + 3) = f(x) Wyznaczyć funkcję liniową będącą funkcją nieparzystą i taką, dla której f() = Wyznaczyć funkcję liniową będącą funkcją parzystą i taką, dla której f() = Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = (m )x + 3 jest a) stała b) rosnąca c) malejąca 46. Wyznaczyć funkcję kwadratową, o której wiemy że: a) f() = f(3) = 0 i funkcja ta osiąga wartość najmniejszą równą b) f(0) = f() = 3 i funkcja ta osiąga wartość największą równą 0 c) parabola, będąca jej wykresem, przechodzi przez punkt A(, 0), a jej wierzchołek ma współrzędne (, 4) d) parabola, będąca jej wykresem, przechodzi przez punkt A(, 8) i jest styczna do osi Ox w punkcie B(4,0) 47. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji, osiąganą w przedziale, 4 a)f(x) = x 6x + 5 b)f(x) = x + 8x Znaleźć parzystą funkcję kwadratową, spełniającą warunki: f(0) = i f() = 3. Czy istnieje nieparzysta funkcja kwadratowa, spaełniająca te warunki? 49. Rozwiązać układ równań: { y = x 4 y = x + x Zajęcia nr 8 (h) Funkcja homograficzna i jej własności 50. Dana jest funkcja f(x) = 5x 6 x 3 a) Znaleźć punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych b) Naszkicować wykres tej funkcji c) Znaleźć ten argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 3

5 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 5 5. Naszkicować wykres funkcji: a) f(x) = x + x b) f(x) = x + x d) f(x) = x 3x x 4 x e) f(x) = 9 (x + 3) x 4 x + x c) f(x) = x x + x + f) f(x) = x + x 5. Określić dziedzinę naturalną funkcji f(x) = x 4x + 4 x. Naszkicować jej wykres i podać zbiory, w 4 których jest monotoniczna. x + x Wyznaczyć dziedzinę i narysować wykres funkcji f(x) = x. Rozwiązać algebraicznie i graficznie nierówność f(x) > Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f(x) = x + 3 x 3 w przedziale:, Zajęcia nr 9 (3h) Funkcja wykładnicza i logarytmiczna. 55. Zaznaczyć w układzie ( ) współrzędnych zbiór punktów (x, y), których współrzędne spełniają: x { y a) nierówność y b) układ nierówności: x + y < 3 3 x 56. Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x 57. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = x + b) f(x) = 3 x + c) f(x) = x+ x ( ) x d) f(x) = e) f(x) = x f) f(x) = x x 58. Rozwiązać równania: a) 5 x = ( ) x b) 3 x = 9 4 x c) = 8 x+7 ( ) 5 x d) 7 = 49 e) 3 x = f) 4 x x = 59. Dana jest funkcja f(x) = 3 x + 3 x. a) Sprawdzić, że f(x) jest parzysta b) Zbadać jej monotoniczność na przedziale 0, + ) c) Wyznaczyć najmniejszą wartość tej funkcji. 60. Rozwiązać równanie: 6 x+ 4 x+ 4x 3 3 = 0 6. Dana jest funkcja f(x) = 9 x 0 3 x + 9. Wyznaczyć: a) zbiór wartości tej funkcji b) jej miejsca zerowe. 6. Rozwiązać nierówność: 4 9 x < 4 6 x x 63. Rozwiązać równanie: 3 3x+ 3 3 x x = 3

6 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze Obliczyć: a) log b) log c) log 9 tg π 6 d) log 3 log 3 4 e) log 3 5 log 5 7 f) log log Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji: a) f(x) = log (3 x) b) f(x) = log [ log (x 5x+6)] c) f(x) = log x (3 x) 66. Naszkicować wykresy funkcji: a) f(x) = log x + b) f(x) = log ( x) c) f(x) = log 3 (x ) d) f(x) = log 3 x e) f(x) = log x f) f(x) = log ( x) 67. Rozwiązać równania: a) log (9 x ) = 3 x b) log 3(x ) = 9 c) log 3 x = 6 log3 x d) x log 0 x = 00x Zajęcia nr 0 (h) Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Ciągi monotoniczne i ograniczone. 68. Zbadać czy podany ciąg jest ograniczony: a) a n = n n + b) a n = n c) a n = n Zbadać monotoniczność ciągów: a) a n = n + n n b) a n = n!(n)! (3n)! c) a n = n + 3 n Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7 i jest dwa razy mniejszy od wyrazu szóstego. Wyznaczyć wyraz ogólny tego ciągu. 7. Pierwszy wyraz skończonego ciągu arytmetycznego jest równy 4, a różnica wynosi. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu wynosi 89. Obliczyć liczbę wyrazów tego ciąagu. 7. Pierwszy wyraz malejącego ciągu arytmetycznego jest równy 3, a iloczyn wyrazów czwartego i piątego jest równy 5. Obliczyć różnicę ciągu i sumę pierwszych 4 jego wyrazów. 73. Dla jakich x poniższe liczby tworzą (w podanej kolejności) ciąg geometryczny? a), x, 8 b) x, x, 5x 3 4x c) x+ + 9, x +, 74. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 6, a iloraz wyrazów dziesiątego i szóstego wynosi 6. Wiedząc, że ciąg ten nie jest monotoniczny wyznaczyć wzór na wyraz ogólny. 75. Iloraz ciągu geometrycznego jest równy 3, a suma jego pięciu początkowych wyrazów wynosi 605. Znaleźć pierwszy wyraz tego ciągu i określić monotoniczność ciągu. 76. Rozwiązać równanie albo nierówność (lewa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego): a) + x + 4x +... = b) sin x + sin x + sin 3 x +... = tg x c) + x + x + x d) + log x + log x +... < e) 3 x + 3 x + 3 x +... = 3 x+ f) cos x + cos 3 x + cos 4 x... = cos x Podać wzór na n ty wyraz ciągu a n, jeżeli a) a = 5, a n+ = a n + dla n b) a = 5, a n+ = a n dla n Z +

7 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 7 Zajęcia nr (h) Twierdzenie o trzech ciągach. Granica ciągu. 78. Dla jakich wartości parametru p ciąg 4n a n = (p )n + 5 a) ma granicę równą b) dąży do Podać wzory takich ciągów a n i b n, które są zbieżne do zera, natomiast ciąg c n = a n b n a) ma granicę równą 5 b) ma granicę równą 0 c) dąży do Znaleźć granice (przy n ) ciągów o wyrazie ogólnym a n a) a n = 6n7 n 4 + n 3 n 5 + d) a n = n4 n + + 8n 6 e) a n = g) a n = 4n 5 n 7 b) a n = n5 3n + 3n 5 c) a n = n4 + 3n n 4 n 5 4n + 5n 7 n f) a n = n + n n n h) a n = n + 6 n + n i) a n = n + 3 n 3 n + + n 8. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach policzyć granice: a) a n = n 5 n + 3 n + n b) a n = n + + n n + n c) a n = n 3 n + n 5 n + 4 n 8. Zbadać istnienie granicy ciągów: a) a n = + ( )n b) a n = n n + 3 sin πn c) a n = n + ( ) n Zajęcia nr (h) Rachunek wektorowy. 83. Dane są punkty: A(, 3), B(3, 7) i C(, 4). a) Obliczyć współrzędne wektorów AB i BA b) Obliczyć długość wektora AB c) Znaleźć taki punkt D, aby AB = CD d) Obliczyć współrzędne środka odcinka AB 84. Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku. Zapisać wektory AB i AD za pomocą wektorów AC i BD 85. Znaleźć współrzędne końca B wektora AB = [, 5], A(, 3). jeżeli jego początek znajduje się w punkcie 86. Dany jest wektor u = [ 3, 4]. Znaleźć wersor (wektor jednostkowy) równoległy do u o zwrocie przeciwnym do u. 87. Dane są wektory: u = [, ], v = [, ], i w = [6, 4]. Przedstawić wektor w jako kombinację liniową wektorów u i v. 88. W ABC dany jest wierzchołek A(0, 3) i środek S(3, ) boku AB oraz wektor BC = [ 7, 5]. Wyznaczyć współrzędne wektora AC. 89. Dane są wektory a = [3, ], b = [, 4]. Obliczyć a) ( a) b b) ( a b) a 90. Znaleźć A trójkąta ABC o wierzchołkach A(, ), B(3, ) i C(, ).

8 Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze 8 9. Dane są wierzchołki czworokąta A(6, ), B(5, ), C(.), i D(, 4). Wykazać, że jego przekątne AC i BD są prostopadłe. 9. Dane są wektory a = [5, 4], b = [k, k + 3]. Dla jakich k wektory te są a) równoległe b) prostopadle? 93. Znaleźć długość wektora a = 3 p q, wiedząc że p =, q =, ( p, q) = π Obliczyć kąt między wektorami a i b, jeśli wektory 3 a + b i b a są prostopadłe oraz a =, b =. 95. Wektory a i b tworzą kąt π 6. Obliczyć kąt między wektorami p i q, jeżeli p = a + b, q = a b, a = 3, b =. 96. Zbadać wzajemne położenie par prostych: Zajęcia nr 3 i 4 (4h) Geometria analityczna R. a) { x = t l : y = + t { b) x = + t l : y = 3t { x = + t l : y = t { c) x = + t l : y = + t { x = + t l : y = 3 + t { x = + t l : y = + t 97. Dla jakich wartości parametru k proste 3kx y + 3 = 0 i x + 4y 3 = 0 są prostopadłe? Znaleźć równania dwusiecznych kątów między tymi prostymi. 98. Znaleźć punkt symetryczny do A(, 9) względem prostej x 3y + 8 = W trójkącie ABC dane są współrzędne wierzchołka B(0, 5) i wektory boków AB = [4, ], CB = [ 8, 7]. Znaleźć równanie wysokości opuszczonej z punktu C na bok AB. 00. Ramiona trójkąta równoramiennego mają równania 7x+y +5 = 0 i x y 3 = 0. Znaleźć równanie podstawy, przechodzącej przez punkt P (0, ). 0. Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt P (, 4) i przecinającej proste 3x + y = 0 oraz x y + 4 = 0 w punktach M i N w taki sposób, że P jest środkiem odcinka MN. 0. Narysować w układzie współrzędnych zbiór: a) A = { (x, y) : x + y + x > 0 } b) A = { (x, y) : 3x + 6x + 3y + y + 4 } c) A = { (x, y) : x + y > 4 } d) A = {(x, y) : xy y + x 0} e) A = { (x, y) : 4x y } f) A = {(x, y) : xy } 03. Znaleźć równanie stycznej do okręgu x + y = 5 a) w punkcie A(, ) b) przechodzącej przez punkt B(0, 5) c) równoległej do prostej x y = 0 d) prostopadłej do prostej x y = Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: A(, 5), B(8, ) i C(9, ). 05. Dwie wysokości trójkąta ABC, gdzie A(, 3), zawarte są w prostych o równaniach x = 0 i x + 3y = 0. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta.