WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki"

Transkrypt

1 WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Łódź 2005

2

3 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych Własności funkcji ciągłych Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych efinicja i podstawowe własności pochodnej kierunkowej efinicja i podstawowe własności pochodnych cząstkowych Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych Ekstrema lokalne i globalne funkcji Pochodne cząstkowe funkcji wektorowych i funkcji złożonych Funkcja uwikłana Ekstrema warunkowe Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych efinicja całki podwójnej w sensie Riemanna Własności całki podwójnej Metody obliczania całek podwójnych Metody obliczania całek potrójnych Zastosowania całek wielokrotnych. 22 3

4 1. PRZESTRZENIE METRYCZNE Przestrzenie metryczne. efinicja 1.1. Przestrzenią metryczną nazywamy parę (X, d), gdzie X oraz funkcja d : X X [0, + ) spełnia następujące warunki: (1) x,y X (2) x,y X (3) x,y,z X [d(x, y) = 0 x = y], d(x, y) = d(y, x), d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Elementy zbioru X nazywamy punktami, zas funkcję d metryką na X. Wartość d(x, y) nazywamy odległością punktów x i y w metryce d. Załóżmy dalej, że (X, d) jest dowolną przestrzenią metryczną. efinicja 1.2. Niech A X. Zbiór A nazywamy ograniczonym, gdy jest zawarty w pewnej kuli. Średnicą zbioru A nazywamy liczbę efinicja 1.3. Niech p 0 X oraz A X. δ(a) def = sup{d(x, y) : x, y X}. Kulą (otwartą) o środku w punkcie p 0 i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(p 0, r) def = {p X : d(p, p 0 ) < r}. Punkt p 0 nazywamy punktem wewnętrznym zbioru X, gdy K(p 0, r) X. r>0 Zbiór punktów wewnętrznych zbioru X oznaczamy przez Int(X). Mówimy, że zbiór A jest otwarty, gdy każdy punkt zbioru A jest jego punktem wewnętrznym, tzn. A Int(A). Otoczeniem U(p 0 ) punktu p 0 nazywamy każdy zbiór otwarty zawierający ten punkt. Twierdzenie 1.4. Zbiór A X jest otwarty A = Int(A). Twierdzenie 1.5. Każda kula jest zbiorem otwartym w dowolnej przestrzeni metrycznej. efinicja 1.6. Niech A X. Mówimy, że zbiór A jest domknięty, gdy X \ A jest otwarty. omknięciem zbioru A nazywamy zbiór A = {p 0 X : r>0 K(p 0, r) A }. Twierdzenie 1.7. Zbiór A X jest domknięty A = A.

5 1. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 5 efinicja 1.8. Niech p 0 X oraz A X. Mówimy, że punkt p 0 jest punktem skupienia zbioru A, gdy K(p 0, r) (A \ {p 0 }). r>0 Zbiór punktów skupienia zbioru A oznaczamy przez A d. Punkt p 0 nazywamy punktem izolowanym zbioru A, gdy nie jest punktem skupienia zbioru A. Uwaga 1.9. Można wykazać, że A = A A d. efinicja Brzegiem zbioru A X nazywamy zbiór Fr(A) def = A X \ A. Uwaga Można wykazać, że Fr(A) = A \ Int(A). efinicja Niech p n X dla n N. Ciąg (p n ) n N nazywamy zbieżnym w przestrzeni metrycznej (X, d) do punktu p 0 X, gdy lim d(p n, p 0 ) = 0. n Zapisujemy wówczas: lim p n = p 0 lub p n p 0. n Twierdzenie Każdy ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej jest ograniczony. Twierdzenie Punkt p 0 X jest punktem skupienia zbioru A X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg (p n ) n N taki, że p n A \ {p 0 } lim n N n p n = p 0. Twierdzenie Niech X = R n, n N. Jeśli p k = (x k 1, x k 2,..., x k n) X dla k N {0}, to lim p k = p 0 k n N lim x k n = x 0 k n. efinicja Zbiór A X nazywamy zbiorem spójnym, gdy nie da się przedstawić w postaci sumy (U 1 A) (U 2 A), gdzie U 1, U 2 są zbiorami niepustymi i otwartymi takimi, że U 1 U 2 A =. Uwaga Otwarty zbiór A R n jest spójny, jeśli jego dwa dowolne punkty można połączyć łamaną zawartą w A. Na prostej zbiór A jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy A jest przedziałem. efinicja Niech n N. Zbiór otwarty i spójny w R n nazywamy obszarem.

6 2. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 6 2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych Niech n N. efinicja 2.1. Funkcję f : A R, gdzie A R n, nazywamy funkcją rzeczywistą n zmiennych rzeczywistych. efinicja 2.2. Niech f : R 2 R. Wykresem funkcji f nazywamy zbiór G(f) = {(x, y, z) R 3 : (x, y) f z = f(x, y)}, gdzie f oznacza dziedzinę funkcji f. Poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h R nazywamy zbiór {(x, y) f : f(x, y) = h}. efinicja 2.3 (wg Cauchy ego). Niech A R n i p 0 R n. Załóżmy, że f : A R oraz p 0 jest punktem skupienia zbioru A. Liczbę g nazywamy n-krotną granicą właściwą funkcji f w punkcie p 0, gdy ε>0 Zapisujemy lim p p 0 f(p) = g. δ>0 [d(p, p 0) < δ f(p) g < ε]. p A efinicja 2.4 (wg Heinego). Niech A R n i p 0 R n. Załóżmy, że f : A R oraz p 0 jest punktem skupienia zbioru A. Wówczas lim p p 0 f(p) = g, gdy [(p n A \ {p 0 } lim p n = p 0 ) lim f(p n ) = g]. (p n) n n Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie. Uwaga 2.5. la n-krotnej granicy funkcji zachodzą twierdzenia o arytmetyce granic funkcji, twierdzenie o granicy funkcji złożonej oraz twierdzenie o trzech funkcjach analogicznie jak dla funkcji jednej zmiennej. efinicja 2.6. Niech A R 2 oraz niech (x 0, y 0 ) R 2. Załóżmy, że f : A R, zaś (x 0, y 0 ) jest punktem skupienia zbioru A. Jeśli istnieją granice lim ( lim x x 0 y y0 f(x, y)) oraz y y0 lim ( x x0 lim f(x, y)), to nazywamy je granicami iterowanymi funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ). Uwaga 2.7. Istnienie granicy podwójnej w punkcie (x 0, y 0 ) R 2 jest niezależne od istnienia granic iterowanych. Można jedynie wykazać, że jeśli istnieje granica podwójna i przynajmniej jedna granica iterowana funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ), to granice te są równe.

7 2. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 7 efinicja 2.8. Niech A R n, f : A R i p 0 R n. Funkcja f jest ciągła w punkcie p 0, gdy p 0 / A d (p 0 A d lim p p 0 f(p) = f(p 0 )). Funkcja f jest ciągła na zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Uwaga Każda funkcja n-zmiennych jest ciągła w punktach izolowanych dziedziny. 2. Jeśli funkcja n-zmiennych jest ciągła w punkcie, to jest ciągła ze względu na każdą zmienną oddzielnie. Stwierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe Własności funkcji ciągłych. Twierdzenie Jeśli funkcje f, g są ciągłe w punkcie p 0 R n, to funkcje f ± g, f g oraz (o ile g(p 0) 0) są również ciągłe w tym punkcie. f g Twierdzenie Jeśli funkcje f 1, f 2,..., f n są ciągłe w punkcie p 0 R k, gdzie k N, zaś funkcja g jest ciągła w q 0 = (f 1 (p 0 ), f 2 (p 0 ),..., f n (p 0 )), to funkcja złożona g(f 1 (p), f 2 (p),..., f n (p)) jest ciągła w p 0. Twierdzenie 2.12 (o lokalnym zachowaniu znaku). Niech p 0 f : U(p 0 ) R jest ciągła w punkcie p 0 oraz f(p 0 ) > 0, to S(p 0 ) U(p 0 ) p U(p 0 ) f(p) > 0. R n. Jeśli funkcja Twierdzenie 2.13 (Weierstrassa o osiąganiu najmniejszej i największej wartości). Niech A R n będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A R jest ciągła, to jest ograniczona na zbiorze A, przy czym istnieją punkty p 1, p 2 A takie, że f(p 1) f(p) f(p 2 ). p A Twierdzenie 2.14 (arboux o przyjmowaniu wartości pośrednich). Niech A R n będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym oraz niech m = inf f[a], M = sup f[a]. Jeśli f : A R jest ciągła, to z [m;m] p A z = f(p). Twierdzenie 2.15 (Cantora o ciągłości jednostajnej). Niech A R n będzie zbiorem domkniętym i ograniczonym. Jeśli f : A R jest ciągła, to f jest jednostajnie ciągła na A, tzn. ε>0 δ>0 [d(p 1, p 2 ) < δ f(p 1 ) f(p 2 ) < ε]. p 1, p 2 A Twierdzenie Niech A R n będzie zbiorem spójnym. Jeśli funkcja f : A R jest ciągła, to zbiór f[a] jest spójny w R.

8 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 8 3. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Niech n N oraz niech A będzie otwartym podzbiorem R n efinicja i podstawowe własności pochodnej kierunkowej. efinicja 3.1. Niech p 0 A, h R n oraz f : A R. Rozważmy zbiór otwarty w R oraz funkcję F : U R daną wzorem U = {t R \ {0} : p 0 + th A} F (t) def = f(p 0 + th) f(p 0 ) dla t U. t Jeśli istnieje skończona granica limf (t), to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f t 0 w punkcie p 0 w kierunku wektora h. Zapisujemy f h(p 0 ) def f(p 0 + th) f(p 0 ) = lim. t 0 t efinicja 3.2. Niech h R n oraz f : A R. Niech A będzie zbiorem punktów w których istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w kierunku wektora h. Funkcję p f h(p) nazywamy pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora h. Uwaga 3.3. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla n = 2.) Niech h = [h 1, h 2 ] R 2, p 0 = (x 0, y 0 ) A oraz f : A R. Oznaczmy przez k prostą styczną do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju powierzchni z = f(x, y) płaszczyzną zawierającą punkt (x 0, y 0, 0) oraz równoległą do wektorów [h 1, h 2, 0] i e 3 = [0, 0, 1]. Wówczas f h(x 0, y 0 ) = tg γ, gdzie γ oznacza kąt nachylenia prostej k do płaszczyzny Oxy. Twierdzenie 3.4. Niech p 0 A oraz f : A R. Weźmy h 1, h 2 R n oraz α R. Wówczas a) jeśli w punkcie p 0 istnieje pochodna w kierunku wektora h 1, to w punkcie tym istnieje również pochodna w kierunku wektora αh 1 i zachodzi równość f αh 1 (p 0 ) = α f h 1 (p 0 ); b) jeśli w punkcie p 0 istnieją pochodne w kierunku wektorów h 1, h 2 oraz przynajmniej jedna z nich jest funkcją ciągłą w p 0, to w punkcie tym istnieje również pochodna w kierunku wektora h 1 + h 2 i zachodzi równość f h 1 +h 2 (p 0 ) = f h 1 (p 0 ) + f h 2 (p 0 ). Uwaga 3.5. Bez założenia ciągłości równość w części b) może nie zachodzić.

9 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH efinicja i podstawowe własności pochodnych cząstkowych. la ustalonego i {1,..., n} oznaczmy przez e i wersor i-tej osi. Ponadto niech x i umownie oznacza i-tą zmienną funkcji określonej w przestrzeni R n. efinicja 3.6. Niech p 0 A oraz f : A R. Pochodną kierunkową f e i (p 0 ) (o ile istnieje) nazywamy pochodną cząstkową funkcji f w punkcie p 0 względem i-tej zmiennej. Oznaczamy ją przez f x i (p 0 ) lub f x i (p 0 ). Uwaga 3.7. Istnienie pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie nie zapewnia ciągłości funkcji w tym punkcie. efinicja 3.8. Niech p 0 A oraz f : A R. Gradientem funkcji f w punkcie p 0 nazywamy wektor f(p 0 ) def = [f x 1 (p 0 ),..., f xn (p 0)]. Twierdzenie 3.9. Niech p 0 A oraz f : A R. Jeśli pochodne cząstkowe f x i, i {1,..., n}, są ciągłe w punkcie p 0, to istnieje pochodna kierunkowa funkcji f w p 0 w kierunku dowolnego wektora h R n oraz f h(p 0 ) = f(p 0 ) h. Uwaga Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie. 2. la n = 2 gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt Różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. la ustalonego wektora h = [h 1,..., h n ] R n niech h def = h 2 i. efinicja Niech p 0 A oraz f : A R. Jeśli istnieją pochodne cząstkowe f x i (p 0 ) dla i {1,..., n} oraz f(p 0 + h) f(p 0 ) f(p 0 ) h lim = 0, h 0 h to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie p 0. efinicja Niech p 0 A oraz f : A R. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodną kierunkową f h(p 0 ) w kierunku dowolnego wektora h R n. Różniczką funkcji f w punkcie p 0 nazywamy funkcję df(p 0 ) określoną wzorem df(p 0 )(h) def = f h(p 0 ) dla h R n.

10 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 10 Jeśli f posiada pochodne cząstkowe ciągłe w punkcie p 0, to funkcję df(p 0 ) nazywamy różniczką zupełną i zachodzi równość df(p 0 )(h) = f(p 0 ) h dla h R n. Uwaga (Interpretacja geometryczna funkcji różniczkowalnej w punkcie dla n = 2.) Jeśli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie p 0 = (x 0, y 0 ) A, to istnieje płaszczyzna styczna do wykresu funkcji w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) (płaszczyzna ta jest prostopadła do wektora [f x(x 0, y 0 ), f y(x 0, y 0 ), 1]). Twierdzenie 3.14 (Warunek konieczny różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie p 0 A, to jest ciągła w tym punkcie. Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Twierdzenie 3.16 (Warunek wystarczający różniczkowalności funkcji). Jeśli funkcja f : A R posiada na zbiorze A pochodne cząstkowe f x i, i {1,..., n}, ciągłe w punkcie p 0 A, to f jest różniczkowalna w punkcie p 0. Uwaga Ciągłość pochodnych cząstkowych nie jest jednak warunkiem koniecznym różniczkowalności funkcji Pochodne cząstkowe wyższych rzędów. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych. efinicja Niech p 0 A oraz f : A R. Załóżmy, że na pewnym otoczniu punktu p 0 istnieją pochodne cząstkowe f x i, i {1,..., n}. Wówczas pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie p 0 określamy wzorami: Jeśli i = j, to zamiast f x i x j piszemy f x 2 i W przypadku gdy i j, pochodne f x i x j drugiego rzędu. Uwaga f x i,j {1,...,n} i x j (p 0 ) def = (f x i ) x j (p 0 ).. Pochodne f x i x j oznaczamy też symbolem 2 f x i x j. nazywamy pochodnymi czątkowymi mieszanymi 1. W analogiczny sposób definiujemy pochodne cząstkowe wyższych rzędów. 2. Niech h 1, h 2 R n. Jeśli funkcja f posiada na pewnym otoczniu punktu p 0 pochodną kierunkową f h 1, to pochodną kierunkową drugiego rzędu w kierunku wektorów h 1, h 2 definiujemy następująco: f h 1,h 2 (p 0 ) def = (f h 1 ) h 2 (p 0 ). Twierdzenie 3.20 (Schwarza). Niech i, j {1,..., n}. Jeśli funkcja f : A R posiada w zbiorze A pochodne cząstkowe drugiego rzędu f xi x j i f xj x i ciągłe w punkcie p 0 A, to f x i x j (p 0 ) = f x j x i (p 0 ).

11 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 11 efinicja Niech p 0 A, f : A R oraz k N. Załóżmy, że funkcja f posiada pochodne cząstkowe k-tego rzędu ciągłe w punkcie p 0. Funkcję d (k) f(p 0 ) określoną wzorem d (k) f(p 0 )(h) def = f (k) h,...,h (p 0) dla h R n, nazywamy różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie p 0. la ustalonych p, h R n niech [p, p + h] def = {p + th : t [0, 1]}. Twierdzenie 3.22 (wzór Taylora). Niech p 0 A, f : A R oraz k N. Załóżmy, że funkcja f posiada w A ciągłe pochodne cząstkowe k-tego rzędu. Wówczas dla każdego h R n, dla którego [p 0, p 0 + h] A, istnieje θ [0, 1] takie, że f(p 0 + h) = f(p 0 ) + df(p 0)(h) 1! + + d(k 1) f(p 0 )(h) (k 1)! + f (k) (p + θh)(h). k! 3.5. Ekstrema lokalne i globalne funkcji. efinicja 3.23 (ekstrema lokalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p 0 A maksimum lokalne, gdy minimum lokalne, gdy S(p 0 ) S(p 0 ) f(p) f(p 0); p S(p 0 ) A f(p) f(p 0). p S(p 0 ) A Jeśli w powyższych warunkach nierówności i zastąpić odpowiednio przez < i >, to otrzymamy definicje maksimum i minimum lokalnego właściwego. efinicja 3.24 (ekstrema globalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p 0 A maksimum globalne, gdy minimum globalne, gdy f(p) f(p 0); p A f(p) f(p 0). p A Twierdzenie 3.25 (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego). Niech p 0 A oraz f : A R. Jeśli funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne i istnieje pochodna kierunkowa f h(p 0 ) w kierunku wektora h R n, to f h(p 0 ) = 0. Uwaga Jeśli funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne i istnieją wszystkie pochodne cząstkowe f x i (p 0 ), to f x i {1,...,n} i (p 0 ) = 0.

12 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 12 Twierdzenie Niech A będzie ograniczonym i domkniętym podzbiorem R n. Załóżmy, że funkcja f : A R jest ciągła w A i oznaczmy przez A 1 = {p Int(A) : Wówczas f x i {1,...,n} i (p) = 0}, A 2 = {p Int(A) : f x i {1,...,n} i (p) nie istnieje }. sup{f(p) : p A} = sup{f(p) : p Fr(A) A 1 A 2 }, inf{f(p) : p A} = inf{f(p) : p Fr(A) A 1 A 2 }. Twierdzenie 3.28 (warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego). Załóżmy, że funkcja f : A R posiada na pewnym otoczeniu U(p 0 ) punktu p 0 A ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu oraz f x i {1,...,n} i (p 0 ) = 0. la ustalonego k {1,..., n} oznaczmy przez w k (p 0 ) def = det[f x i x j (p 0 )] i,j k. Wówczas a) jeśli w k (p 0 ) > 0 dla wszystkich k {1,..., n}, to f ma w p 0 minimum lokalne właściwe; b) jeśli ( 1) k w k (p 0 ) > 0 dla wszystkich k {1,..., n}, to f ma w p 0 maksimum lokalne właściwe; c) jeśli w k0 (p 0 ) < 0 dla pewnego parzystego k 0 {1,..., n}, to f nie posiada w p 0 ekstremum lokalnego. Uwaga W pozostałych przypadkach twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremów lokalnych.

13 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Pochodne cząstkowe funkcji wektorowych i funkcji złożonych. Niech n, k N oraz niech A R n będzie zbiorem otwartym. efinicja Funkcję F : A R k nazywamy funkcją wektorową. Uwaga Każdą funkcję wektorową F : A R k można zapisać w postaci F (p) = [f 1 (p), f 2 (p),..., f k (p)], p A, gdzie f 1, f 2,..., f k : A R. Ponadto dla dowolnego p 0 A d oraz dla dowolnego p 0 A i h R n lim F (p) = [ lim f 1 (p), lim f 2 (p),..., lim f k (p)], p p 0 p p 0 p p 0 p p 0 F h(p 0 ) = [(f 1 ) h(p 0 ), (f 2 ) h(p 0 ),..., (f k ) h(p 0 )]. efinicja Niech F : A R k oraz F = [f 1, f 2,..., f k ]. Jeśli funkcje f i, gdzie i {1,..., k}, posiadają w punkcie p 0 A pochodne cząstkowe (f i ) x j (p 0 ) dla j {1,..., n}, to macierz [(f i ) x j (p 0 )] i k, nazywamy macierzą Jacobiego funkcji F w punkcie p 0. j n W przypadku gdy n = k wyznacznik tej macierzy nazywamy jakobianem funkcji F w punkcie p 0 i oznaczamy przez J F (p 0 ) def = det[(f i ) x j (p 0 )] i k,. Twierdzenie 3.33 (o pochodnej funkcji złożonej). Niech R k będzie zbiorem otwartym. Załóżmy, że g : R, [f 1, f 2,..., f k ] = F : (a, b) R k oraz F [(a, b)]. Jeśli funkcja g posiada w ciągłe pochodne cząstkowe g x i dla i {1,..., k}, zaś funkcje f i, gdzie i {1,..., k}, są różniczkowalne na (a, b), to funkcja złożona g F jest różniczkowalna na (a, b), przy czym j n x (a,b) k (g F ) (x) = g x i (F (x))f i (x). i=1 Twierdzenie 3.34 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej). Niech A R n oraz R k będą zbiorami otwartymi. Załóżmy, że g : R, [f 1, f 2,..., f n ] = F : A R k oraz F [A]. Jeśli funkcja g posiada w ciągłe pochodne cząstkowe g x i dla i {1,..., k}, zaś funkcje f i, gdzie i {1,..., k}, mają w A ciągłe pochodne cząstkowe (f i ) x j dla j {1,..., n}, to funkcja złożona g F ma w A pochodne cząstkowe, przy czym p A j {1,...,n} k (g F ) x j (p) = g x i (F (p))(f i ) x j (p). i=1

14 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Funkcja uwikłana. Niech A R 2 będzie zbiorem otwartym. efinicja Niech F : A R będzie funkcją ciągłą na A. Każdą funkcję ciągłą f : (a, b) R taką, że dla każdego x (a, b) równanie ( ) F (x, y) = 0, ma rozwiązanie y = f(x) nazywamy funkcją uwikłaną (względem x) wyznaczoną przez równanie ( ). Analogicznie definiujemy funkcję uwikłaną względem y. Twierdzenie 3.36 (o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej). Załóżmy, że funkcja F : A R posiada ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na pewnym otoczeniu V punktu p 0 = (x 0, y 0 ) takiego, że (1) F (p 0 ) = 0, (2) F y(p 0 ) 0. Wówczas na pewnym otoczeniu U(x 0 ) istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana f (względem x) spełniająca warunki: a) F (x, f(x)) = 0, x U(x 0 ) b) f(x 0 ) = y 0, c) f (x) = F x(x, f(x)) F y(x, f(x)). x U(x 0 ) Uwaga Jeśli ponadto funkcja F posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na otoczeniu V, to funkcja uwikłana f jest dwukrotnie różniczkowalna na U(x 0 ) oraz x U(x 0 ) f (x) = F xx(p)(f y) 2 (p) 2F xy(p)f x(p)f y(p) + F yy(p)(f x) 2 (p), gdzie p =(x, f(x)). (F y) 3 (p) Twierdzenie 3.38 (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej). Załóżmy, że funkcja F : A R posiada ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu na pewnym otoczeniu V punktu p 0 = (x 0, y 0 ) oraz (1) F (p 0 ) = 0, F y(p 0 ) 0, (2) F x(p 0 ) = 0, (3) I(p 0 ) = F xx(p 0 ) F y(p 0 ) 0. Wówczas funkcja uwikłana f wyznaczona przez równanie ( ) posiada w punkcie x 0 ekstremum lokalne o wartości y 0, przy czym jest to minimum lokalne, gdy I(p 0 ) > 0 oraz maksimum lokalne, gdy I(p 0 ) < 0. Uwaga Analogiczne twierdzenia zachodzą dla funkcji uwikłanej względem y.

15 3. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Ekstrema warunkowe. Niech A R 2 będzie zbiorem otwartym. efinicja 3.40 (ekstrema warunkowe lokalne). Mówimy, że funkcja f : A R ma w punkcie p 0 A maksimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy [g(p) = 0 f(p) f(p 0 )], S(p 0 ) A p S(p 0 ) minimum lokalne z warunkiem g(p) = 0, gdy [g(p) = 0 f(p) f(p 0 )]. S(p 0 ) A p S(p 0 ) Jeśli w powyższych warunkach nierówności i zastąpić odpowiednio przez < i >, to otrzymamy definicje ekstremów lokalnych właściwych. Uwaga W podobny sposób definiujemy również ekstrema warunkowe globalne.

16 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 4.1. efinicja całki podwójnej w sensie Riemanna. Niech I = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ), gdzie a 1, b 1, a 2, b 2 R oraz a 1 < b 1 i a 2 < b 2. Oznaczenia stosowane w definicji całki podwójnej: Podziałem prostokąta I nazywamy zbiór prostokątów P n = {R i } i n, n N, taki że oraz n I = R i i=1 Int(R i ) Int(R j ) =. i,j {1,2,...,n}, i j Średnicą podziału P n nazywamy liczbę δ(p n ) def = max{δ(r i ) : i {1, 2,..., n}}. Zbiór punktów pośrednich podziału P n : T n = {t i } i n, gdzie i {1,2,...,n} t i R i. efinicja 4.1. Ciąg podziałów (P n ) prostokąta I nazywamy normalnym, gdy lim n δ(p n ) = 0. efinicja 4.2. Niech f : I R będzie funkcją ograniczoną, zaś P n dowolnym podziałem prostokąta I. Sumą całkową odpowiadającą podziałowi P n i zbiorowi punktów pośrednich T n nazywamy liczbę gdzie R i oznacza pole prostokąta R i. S(f, P n, T n ) def = n f(t i ) R i, i=1 efinicja 4.3. Niech f : I R będzie funkcją ograniczoną. Jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (P n ) prostokąta I oraz dowolnego ciągu zbiorów punktów pośrednich (T n ) istnieje właściwa granica lim S(f, P n, T n ) i granica ta nie zależy od sposobu wyboru tych ciągów, n

17 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 17 to nazywamy ją całką podwójną w sensie Riemanna z funkcji f na prostokącie I. Zapisujemy f(x, y) dxdy def = lim S(f, P n, T n ) n I i mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I. Uwaga 4.4. efinicja 4.5. Niech R 2 będzie zbiorem ograniczonym, zaś I dowolnym prostokątem zawierającym. Niech f : R będzie funkcją ograniczoną. Mówimy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna na zbiorze, jeśli funkcja { f(x, y), (x, y), f (x, y) = 0, (x, y) I \, jest całkowalna w sensie Riemanna na prostokącie I. Uwaga 4.6. Wartość całki f (x, y) dxdy nie zależy od wyboru prostokąta I. Możemy więc przyjąć, że I f(x, y) dxdy def = f (x, y) dxdy. Uwaga 4.7. Niech n N, zaś I n = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a n, b n ), gdzie a i, b i R oraz a i < b i dla każdego i {1, 2,..., n}. Analogicznie definiujemy całkę n-krotną z funkcji ograniczonej określonej na zbiorze I n, a następnie całkę n-krotną z funkcji ograniczonej określonej na dowolnym ograniczonym zbiorze R n. Uwaga 4.8. Rodzinę funkcji całkowalnych w sensie Riemanna na ograniczonym zbiorze R n oznaczamy przez R() Własności całki podwójnej. Niech R 2 będzie zbiorem ograniczonym. Twierdzenie 4.9 (warunek konieczny całkowalności). Jeśli funkcja f : R jest całkowalna na, to jest na tym zbiorze ograniczona. Twierdzenie 4.10 (liniowość całki Riemanna). Jeśli funkcje f, g R(), to a) f + g R() oraz (f(x, y) + g(x, y)) dxdy = f(x, y) dxdy + g(x, y) dxdy; b) kf R() dla dowolnej liczby k R oraz kf(x, y) dxdy = k I f(x, y) dxdy.

18 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 18 Twierdzenie 4.11 (addytywność całki względem obszarów całkowania). Niech = 1 2 oraz Int( 1 ) Int( 2 ) =. Wówczas funkcja f R() wtedy i tylko wtedy, gdy f R( 1 ) R( 2 ), przy czym zachodzi równość f(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy + 1 f(x, y) dxdy. 2 Twierdzenie Jeśli funkcje f, g R() oraz f(x, y) g(x, y), (x,y) to f(x, y) dxdy g(x, y) dxdy. Twierdzenie Jeśli f R(), to f R() oraz f(x, y) dxdy f(x, y) dxdy. Twierdzenie Jeśli f R() oraz istnieją liczby m, M R takie, że m f(x, y) M, (x,y) to m f(x, y) dxdy M. Wniosek Uwaga Analogiczne własności zachodzą dla funkcji n-krotnie całkowalnych określonych na dowolnych ograniczonych zbiorach R n. Twierdzenie Jeśli f R() oraz ograniczona funkcja g różni się od funkcji f tylko na zbiorze będącym sumą skończonej ilości łuków zawartych w i będących wykresami ciągłych funkcji y = y(x) lub x = x(y), to g R() oraz g(x, y) dxdy = f(x, y) dxdy.

19 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 19 efinicja Mówimy, że obszar R 2 jest normalny względem osi Ox, gdy = {(x, y) R 2 : a x b h(x) y g(x)}, gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na [a, b] oraz h(x) < g(x) dla każdego x (a, b); normalny względem osi Oy, gdy = {(x, y) R 2 : c y d p(y) x q(y)}, gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y (c, d); regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych wnętrzach. Twierdzenie 4.19 (warunek wystarczający całkowalności). Jeśli funkcja f : R jest ciągła na regularnym zbiorze, to jest na tym zbiorze całkowalna. Uwaga W powyższym twierdzeniu wystarczy założyć, że f jest ciągła na zbiorze z wyjątkiem skończonej ilości łuków zawartych w i będących wykresami ciągłych funkcji y = y(x) lub x = x(y). Twierdzenie 4.21 (całkowe o wartości średniej). Jeśli funkcja f : R jest ciągła na regularnym zbiorze, to f(x 0, y 0 ) = 1 f(x, y) dxdy. Liczbę (x 0,y 0 ) def fśr = 1 f(x, y) dxdy nazywamy wartością średnią funkcji f na zbiorze Metody obliczania całek podwójnych. Twierdzenie 4.22 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną). Niech f będzie funkcją ciągłą na zbiorze R 2. Wówczas a) jeśli jest zbiorem normalnym względem osi Ox, to b f(x, y) dxdy = a g(x) h(x) f(x, y)dy dx; b) jeśli jest zbiorem normalnym względem osi Oy, to d q(y) f(x, y) dxdy = f(x, y)dx dy. Wniosek c p(y)

20 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 20 Twierdzenie 4.24 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej). Załóżmy, że (1) R 2 jest obszarem regularnym, (2) funkcje Φ, Ψ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U zawierającym, (3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ] : U R 2 jest różnowartościowe na zbiorze Int( ), (4) J T (u, v) 0 dla każdego (u, v) Int( ), (5) = T [ ] jest obszarem regularnym, (6) funkcja f : R jest ciągła. Wówczas zachodzi wzór f(x, y) dxdy = f(φ(u, v), Ψ(u, v)) J T (u, v) dudv. efinicja Niech p R 2. Parę liczb (r, ϕ) [0, + ) [0, 2π), gdzie r oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0), ϕ oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a promieniem wodzącym punktu p, nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu p. Uwaga Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ), to jego współrzędne kartezjańskie określone są wzorami: { x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. efinicja Przekształcenie T B : [0, + ) [0, 2π] R 2 takie, że nazywamy przekształceniem biegunowym. Własności przekształcenia T B : T B (r, ϕ) def = [r cos ϕ, r sin ϕ], Twierdzenie Załóżmy, że (1) R 2 jest obszarem regularnym, (2) = T B [ ], (3) funkcja f : R jest ciągła. Wówczas f(x, y) dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ)r drdϕ.

21 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Metody obliczania całek potrójnych. efinicja Mówimy, ze obszar V R 3 jest normalny względem płaszczyzny Oxy, gdy V = {(x, y, z) R 3 : (x, y) xy h(x, y) z g(x, y)}, gdzie h, g są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze xy R 2 oraz h(x, y) < g(x, y) dla każdego (x, y) xy ; normalny względem płaszczyzny Oyz, gdy V = {(x, y, z) R 3 : (y, z) yz p(y, z) x q(y, z)}, gdzie p, q są funkcjami ciągłymi na regularnym obszarze yz R 2 oraz p(y, z) < q(y, z) dla każdego (y, z) yz ; normalny względem płaszczyzny Oxz, gdy regularny, gdy jest sumą skończonej ilości obszarów normalnych o parami rozłącznych wnętrzach. Twierdzenie Jeśli funkcja f : V R jest ciągła, zaś obszar R 3 jest normalny względem płaszczyzny Oxy i określony podobnie jak w definicji 4.29, to g(x,y) f(x, y, z) dxdydz = f(x, y, z) dz dxdy. V xy Analogiczne twierdzenia zachodzą w przypadku, gdy V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oyz lub Oxz. Wniosek h(x,y) Twierdzenie 4.32 (o zamianie zmiennych w całce potrójnej). Załóżmy, że (1) R 3 jest obszarem regularnym, (2) funkcje Φ, Ψ, Γ posiadają ciągłe pochodne cząstkowe na pewnym zbiorze otwartym U, (3) odwzorowanie T = [Φ, Ψ, Γ] : U R 3 jest różnowartościowe na zbiorze Int( ), (4) J T (u, v, t) 0 dla każdego (u, v, t) Int( ), (5) = T [ ] jest obszarem regularnym, (6) funkcja f : R jest ciągła. Wówczas zachodzi wzór f(x, y, z) dxdydz = f(φ(u, v, t), Ψ(u, v, t), Γ(u, v, t)) J T (u, v, t) dudvdt. V

22 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 22 efinicja Niech p = (z, y, z) R 3. Trójkę liczb (r, ϕ, h) (0, + ) [0, 2π) R, gdzie r oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0, 0), ϕ oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a promieniem wodzącym punktu p, h = z, nazywamy współrzędnymi walcowymi (cylindrycznymi) punktu p. Uwaga Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, h), to jego współrzędne kartezjańskie określone są wzorami: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = h. efinicja Przekształcenie T W : [0, + ) [0, 2π] R R 3 takie, że nazywamy przekształceniem walcowym. Własności przekształcenia T W : T W (r, ϕ, h) def = [r cos ϕ, r sin ϕ, h] efinicja Niech p R 3. Trójkę liczb (r, ϕ, θ) (0, + ) [0, 2π) [ π, π ], gdzie 2 2 r oznacza odległość punktu p od punktu (0, 0, 0), ϕ oznacza miarę kąta między dodatnią półosią Ox a rzutem promienia wodzącego punktu p na płaszczyznę Oxy, θ oznacza miarę kąta między promieniem wodzącym punktu p a płaszczyzną Oxy, nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu p. Uwaga Jeśli punkt p ma współrzędne biegunowe (r, ϕ, θ), to jego współrzędne kartezjańskie określone są wzorami: x = r cos ϕ cos θ, y = r sin ϕc cos θ, z = r sin θ. efinicja Przekształcenie T S : [0, + ) [0, 2π] [ π 2, π 2 ] R3 takie, że nazywamy przekształceniem sferycznym. Własności przekształcenia T S : T S (r, ϕ, h) def = [r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ] 4.5. Zastosowania całek wielokrotnych. Pole obszaru: Jeśli R 2 jest obszarem regularnym, to (P 1) = dxdy.

23 4. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH 23 W szczególności, gdy R 2 jest obszarem normalnym względem osi Ox określonym jak w definicji 4.18, to b g(x) b (P 2) = dy dx = (g(x) h(x)) dx. a h(x) Objętość bryły: Jeśli V R 3 jest obszarem regularnym, to (O1) V = dxdydz. V a W szczególności, gdy V jest obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy określonym jak w definicji 4.29, to g(x,y) (O2) V = dz dxdy = (g(x, y) h(x, y))dxdy. xy (O3) xy h(x,y) Jeśli V jest bryłą obrotową powstałą z obrotu dookoła osi Oz trapezu krzywoliniowego = {(x, z) : a x b 0 z f(x)}, gdzie 0 < a < b oraz f : [a, b] jest funkcją ciągłą, to b V = 2π a xf(x) dx. Pole płata: Niech f : R będzie funkcją posiadającą ciągłe pochodne cząstkowe na obszarze regularnym R 2. Wówczas pole płata S będącego wykresem funkcji f wyraża się wzorem: S = 1 + (f x (x, y)) 2 + (f y(x, y)) 2 dxdy. Masa obszaru: Niech σ : R będzie funkcją ciągłą na obszarze regularnym. Wówczas masa m obszaru R 2 o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem: m = σ(x, y) dxdy. Masa M obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy σ wyraża się wzorem: M = σ(x, y, z) dxdydz. Inne zastosowania fizyczne: wyznaczanie momentów statycznych, współrzędnych środka masy, momentów bezwładności, energii kinetycznej i potencjalnej, itd. (Patrz: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 2. efinicje, twierdzenia, wzory.)

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem

Definicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Określenie całki oznaczonej na półprostej

Określenie całki oznaczonej na półprostej Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch i trzech zmiennych

Funkcje dwóch i trzech zmiennych Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje wielu zmiennych

3. Funkcje wielu zmiennych 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18) ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK205 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Analiza matematyczna Rok akademicki: 2018/2019 Kod: BIT-1-101-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Geologii, Geofizyki i Ochrony Środowiska Kierunek: Informatyka Stosowana Specjalność: Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.NIK203 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Matematyka II

Opis przedmiotu: Matematyka II 24.09.2013 Karta - Matematyka II Opis : Matematyka II Kod Nazwa Wersja TR.NIK203 Matematyka II 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Matematyka 2 Rok akademicki: 2012/2013 Kod: JFM-1-201-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Fizyki i Informatyki Stosowanej Kierunek: Fizyka Medyczna Specjalność: Poziom studiów: Studia I stopnia Forma

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.

Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012. Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; )

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; ) Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl.

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: michal.musielak@utp.edu.pl. Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy II (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44 Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo