Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
|
|
|
- Gabriel Jerzy Majewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016
2 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = q(x), (1) gdzie a n 0. Jeśli q(x) 0, to równanie a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0 (2) nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku równanie nazywamy niejednorodnym. Zagadnieniem Cauchy ego dla równania (1) nazywamy problem wyznaczenia takiego rozwiązania y(x), które spełnia warunki początkowe y (x 0 ) = y (1) 0, y (x 0 ) = y (2) 0,..., y (n 1) (x 0 ) = y (n) 0.
3 Sprowadzenie do układu równań Stosując podstawienie u 1 = y, u 2 = y, u 3 = y,..., u n = y (n 1) równanie n-tego rzędu sprowadzamy do układu równań liniowych pierwszego rzędu u 1 = u 2, u 2 = u 3,. u n = 1 a n ( a n 1 u n a 1 u 2 a 0 u 1 + q(x)).
4 Sprowadzenie do układu równań cd Macierz tego układu ma postać A = , a n a 0 1 a n a 1 1 a n a a n a n 1 a jej wielomian charakterystyczny jest równy det (A λi) = ( 1) n ( λ n + 1 a n a n 1 λ n a n a 1 λ + 1 a n a 0 ).
5 Sprowadzenie do układu równań cd Zauważmy, że ) (λ n + 1 a an n 1 λ n a an 1 λ + 1 a an 0 = 0 Definicja Równanie a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0. a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego (1). Równanie charakterystyczne otrzymujemy z równania różniczkowego (1) podstawiając λ k za y (k).
6 Sprowadzenie do układu równań cd Zauważmy, że ) (λ n + 1 a an n 1 λ n a an 1 λ + 1 a an 0 = 0 Definicja Równanie a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0. a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego (1). Równanie charakterystyczne otrzymujemy z równania różniczkowego (1) podstawiając λ k za y (k).
7 Równanie jednorodne postać rozwiązania Twierdzenie Niech a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0, gdzie a n 0, będzie równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Załóżmy, że równanie charakterystyczne ma r pierwiastków rzeczywistych λ j o krotnościach algebraicznych n j (j = 1, 2,..., r) oraz 2s (r + 2s = n) pierwiastków zespolonych λ r+j = α r+j + iβ r+j, λ r+s+j = λ r+j = α r+j iβ r+j o krotnościach algebraicznych n r+s+j = n r+j dla j = 1, 2,..., s.
8 Twierdzenie cd Wprowadzenie Wówczas równanie jednorodne (2) ma rozwiązanie ogólne + y(x) = s e α r+j x j=1 gdzie C (j) m r e λ j x j=1 n r+j 1 m=0 n j 1 m=0 ( C (j) m x m + cos (β r+j x) C (r+j) m x m + sin (β r+j x) C m (r+s+j) x m), dla m = 0, 1,..., n j 1, j = 1, 2,..., r, C (r+j) m, C (r+s+j) dla m = 0, 1,..., n r+j 1, j = 1, 2,..., s, są dowolnymi stałymi rzeczywistymi. m
9 Równanie jednorodne postać rozwiązania cd Z twierdzenia 3 wynika, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego n-tego rzędu można zapisać w postaci y(x) = n C j y j (x), j=1 gdzie C j R, zaś liniowo niezależne funkcje y j (x) są rozwiązaniami szczególnymi tego równania (j = 1, 2,..., n). Definicja Układ n liniowo niezależnych funkcji y j (x) (j = 1, 2,..., n) będących rozwiązaniami równania jednorodnego (2) nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań równania (2).
10 Równanie jednorodne postać rozwiązania cd Z twierdzenia 3 wynika, że rozwiązanie ogólne równania jednorodnego n-tego rzędu można zapisać w postaci y(x) = n C j y j (x), j=1 gdzie C j R, zaś liniowo niezależne funkcje y j (x) są rozwiązaniami szczególnymi tego równania (j = 1, 2,..., n). Definicja Układ n liniowo niezależnych funkcji y j (x) (j = 1, 2,..., n) będących rozwiązaniami równania jednorodnego (2) nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań równania (2).
11 Równanie jednorodne drugiego rzędu W rozważanym przypadku równanie różniczkowe jednorodne o stałych współczynnikach ma postać ay + by + cy = 0, (3) gdzie a 0, a jego równanie charakterystyczne postać aλ 2 + bλ + c = 0. (4)
12 Równanie jednorodne drugiego rzędu cd 1 Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste λ 1, λ 2, to równanie różniczkowe ma rozwiązanie ogólne y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x. 2 Jeśli równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek podwójny λ = λ 1 = λ 2, to równanie różniczkowe ma rozwiązanie ogólne y(x) = e λx (C 1 + C 2 x). 3 Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki zespolone λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ, to równanie różniczkowe ma rozwiązanie ogólne y(x) = e αx (C 1 cos (βx) + C 2 sin (βx)).
13 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego 3y + 5y 2y = 0 i rozwiązanie spełniające warunki początkowe y(0) = 1, y (0) = 1. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 6y + 13y = 0 i rozwiązanie spełniające warunki początkowe y(0) = 1, y (0) = 2.
14 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego 3y + 5y 2y = 0 i rozwiązanie spełniające warunki początkowe y(0) = 1, y (0) = 1. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 6y + 13y = 0 i rozwiązanie spełniające warunki początkowe y(0) = 1, y (0) = 2.
15 Równanie jednorodne trzeciego rzędu Rozpatrujemy równanie ay + by + cy + dy = 0, (5) gdzie a 0, którego równanie charakterystyczne jest postaci aλ 3 + bλ 2 + cλ + d = 0. (6) Równanie (6) ma jeden pierwiastek rzeczywisty λ o krotności algebraicznej 3. Wówczas równanie (5) ma rozwiązanie ogólne y(x) = e λx ( C 1 + C 2 x + C 3 x 2).
16 Równanie jednorodne trzeciego rzędu Rozpatrujemy równanie ay + by + cy + dy = 0, (5) gdzie a 0, którego równanie charakterystyczne jest postaci aλ 3 + bλ 2 + cλ + d = 0. (6) Równanie (6) ma jeden pierwiastek rzeczywisty λ o krotności algebraicznej 3. Wówczas równanie (5) ma rozwiązanie ogólne y(x) = e λx ( C 1 + C 2 x + C 3 x 2).
17 Równanie jednorodne trzeciego rzędu cd Równanie (6) ma pierwiastek rzeczywisty λ 1 o krotności algebraicznej n 1 = 1 i pierwiastek rzeczywisty λ 2 o krotności algebraicznej n 2 = 2. W tym przypadku równanie (5) ma rozwiązanie ogólne y(x) = C 1 e λ 1x + e λ 2x (C 2 + C 3 x). Równanie (6) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste λ 1, λ 2, λ 3. Równanie różniczkowe (5) ma wówczas rozwiązanie ogólne y(x) = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x + C 3 e λ 3x. Równanie (6) ma jeden pierwiastek rzeczywisty λ i dwa sprzężone pierwiastki zespolone µ = α + iβ, µ = α iβ. Równanie różniczkowe (5) ma w tym przypadku rozwiązanie ogólne postaci y(x) = C 1 e λx + e αx (C 2 cos (βx) + C 3 sin (βx)).
18 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 3y 2y = 0 i rozwiązanie spełniające warunek początkowy y(0) = 1, y (0) = 1, y (0) = 1. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y + y 4y + 6y = 0 i rozwiązanie spełniające warunek początkowy y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 1.
19 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y 3y 2y = 0 i rozwiązanie spełniające warunek początkowy y(0) = 1, y (0) = 1, y (0) = 1. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego y + y 4y + 6y = 0 i rozwiązanie spełniające warunek początkowy y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 1.
20 Równanie niejednorodne a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = q(x), gdzie q(x) 0, rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych, a w szczególnych przypadkach metodą przewidywania.
21 Stosując podstawienie u 1 = y, u 2 = y, u 3 = y,..., u n = y (n 1) sprowadziliśmy równanie n-tego rzędu do układu równań liniowych [ T u = Au + q(x), gdzie q(x) = q(x)]. Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego możemy zapisać w postaci u(x) = n C j y j (x), j=1 czyli w postaci u 1 (x) y 11 (x) y 12 (x) y 1n (x) u 2 (x). = C y 21 (x) 1. + C y 22 (x) C y 2n (x) n.. u n (x) y n1 (x) y n2 (x) y nn (x)
22 cd Przy rozwiązywaniu równania niejednorodnego n-tego rzędu metodą uzmienniania stałych C 1, C 2,..., C n, układ równań względem pochodnych stałych ma postać C 1 (x)y 1(x) + C 2 (x)y 2(x) + + C n(x)y n (x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) + + C n(x)y n(x) = 0,. C 1 (n 1) (x)y 1 (x) + C 2 (n 1) (x)y 2 (x) + + C n(x)y n (n 1) (x) = q(x) a n, (7)
23 Równanie niejednorodne drugiego rzędu uzmiennianie stałych Układ równań względem pochodnych uzmiennionych stałych dla równania drugiego rzędu ay + by + cy = q(x), gdzie a 0, { C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2(x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 q(x) (x) = a. Rozwiążemy równanie y y = x. Rozwiążemy równanie y 4y = sin x.
24 Równanie niejednorodne drugiego rzędu uzmiennianie stałych Układ równań względem pochodnych uzmiennionych stałych dla równania drugiego rzędu ay + by + cy = q(x), gdzie a 0, { C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2(x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 q(x) (x) = a. Rozwiążemy równanie y y = x. Rozwiążemy równanie y 4y = sin x.
25 Równanie niejednorodne drugiego rzędu uzmiennianie stałych Układ równań względem pochodnych uzmiennionych stałych dla równania drugiego rzędu ay + by + cy = q(x), gdzie a 0, { C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2(x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 q(x) (x) = a. Rozwiążemy równanie y y = x. Rozwiążemy równanie y 4y = sin x.
26 Równanie niejednorodne trzeciego rzędu uzmiennianie stałych Układ równań względem pochodnych uzmiennionych stałych dla równania trzeciego rzędu ay + by + cy + dy = q(x), gdzie a 0, C 1 (x)y 1(x) + C 2 (x)y 2(x) + C 3 (x)y 3(x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) + C 3 (x)y 3 (x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) + C 3 (x)y q(x) 3 (x) = a. Rozwiążemy równanie y 2y y + 2y = x.
27 Równanie niejednorodne trzeciego rzędu uzmiennianie stałych Układ równań względem pochodnych uzmiennionych stałych dla równania trzeciego rzędu ay + by + cy + dy = q(x), gdzie a 0, C 1 (x)y 1(x) + C 2 (x)y 2(x) + C 3 (x)y 3(x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) + C 3 (x)y 3 (x) = 0, C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) + C 3 (x)y q(x) 3 (x) = a. Rozwiążemy równanie y 2y y + 2y = x.
28 postaci rozwiązania szczególnego równania liniowego niejednorodnego n-tego rzędu a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = q(x), gdzie n > 1, jest uogólnieniem metody przewidywania postaci rozwiązania równania niejednorodnego pierwszego rzędu. Analogicznie jak w przypadku układów równań różniczkowych korzystamy z twierdzenia o postaci rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego. Twierdzenie Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
29 postaci rozwiązania szczególnego równania liniowego niejednorodnego n-tego rzędu a n y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = q(x), gdzie n > 1, jest uogólnieniem metody przewidywania postaci rozwiązania równania niejednorodnego pierwszego rzędu. Analogicznie jak w przypadku układów równań różniczkowych korzystamy z twierdzenia o postaci rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego. Twierdzenie Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.
30 cd Funkcja q(x) jest wielomianem stopnia m. 1 Jeśli 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to jednym z rozwiązań szczególnych równania niejednorodnego jest wielomian w m (x) stopnia m. 2 Jeśli 0 jest pierwiastkiem krotności k wielomianu charakterystycznego, to jednym z rozwiązań szczególnych równania niejednorodnego jest wielomian w m+k (x) = x k w m (x) stopnia m + k Oczywiście przyjmując k = 0 otrzymujemy przypadek rozważany w punkcie
31 y Wprowadzenie Rozwiążemy równanie niejednorodne y 4y = 2x z warunkami początkowymi y (0) = 0, y (0) = 1. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y + y 2y = x (8) Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y y = x.
32 y Wprowadzenie Rozwiążemy równanie niejednorodne y 4y = 2x z warunkami początkowymi y (0) = 0, y (0) = 1. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y + y 2y = x (8) Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y y = x.
33 y Wprowadzenie Rozwiążemy równanie niejednorodne y 4y = 2x z warunkami początkowymi y (0) = 0, y (0) = 1. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y + y 2y = x (8) Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y y = x.
34 cd Funkcja q(x) jest kombinacją liniową funkcji sin (ωx) i cos (ωx), gdzie ω R. 1 Jeśli iω nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to rozwiązaniem szczególnym jest funkcja postaci a sin (ωx) + b cos (ωx). 2 Jeśli iω jest pierwiastkiem krotności k wielomianu charakterystycznego, rozwiązaniem szczególnym jest funkcja postaci ax k sin (ωx) + bx k cos (ωx).
35 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y 4y = sin x + 2 cos x. Rozwiążemy równanie y + 2y + y = 2 cos x + sin x.
36 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y 4y = sin x + 2 cos x. Rozwiążemy równanie y + 2y + y = 2 cos x + sin x.
37 cd Funkcja q(x) jest postaci αe ωx. 1 Jeśli ω nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to jednym z rozwiązań szczególnych jest funkcja g(x) = ae ωx. 2 Jeśli ω jest pierwiastkiem krotności k wielomianu charakterystycznego, to jednym z rozwiązań szczególnych jest funkcja g(x) = ax k e ωx. 2 2 Przyjmując k = 0 otrzymujemy przypadek rozważany w punkcie 1.
38 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y 4y + 3y = 4e 2x. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania y + 2y 4y 8y = e 2x.
39 y Wprowadzenie Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego y 4y + 3y = 4e 2x. Wyznaczymy rozwiązanie ogólne równania y + 2y 4y 8y = e 2x.
40 cd Jeśli funkcja q(x) jest sumą lub iloczynem omówionych powyżej funkcji, to rozwiązania szczególnego poszukujemy również w postaci sumy lub iloczynu odpowiednich funkcji.
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Wykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Równania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Równania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk
Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza
Równanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Matematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Analiza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Równania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Równania różniczkowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Równania różniczkowe 11.05.018 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi
Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
GAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0
MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,
Wielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Równania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Lista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.
Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić
FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
O geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji
Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego
Wykład z modelowania matematycznego.
Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Załóżmy, że równanie różniczkowe x (t) = f (t, x) (1) ma rozwiązanie ogólne x(t) = ϕ(t, c). (2) Rodzina funkcji
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Kolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek