Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n"

Transkrypt

1 Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda z funkcji odwzorowuje R m R Przykład Niech f : R 2 R 3 będzie dana wzorem f (x, y) = (x y, 2x 3 xy, y + 3), wtedy f 1 (x, y) = x y, f 2 (x, y) = 2x 3 xy, f 3 (x, y) = y + 3

2 Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda z funkcji odwzorowuje R m R Przykład Niech f : R 2 R 3 będzie dana wzorem f (x, y) = (x y, 2x 3 xy, y + 3), wtedy f 1 (x, y) = x y, f 2 (x, y) = 2x 3 xy, f 3 (x, y) = y + 3

3 Odwzorowania liniowe Odwzorowanie (L 1, L 2,, L n ) = L: R m R n nazywamy liniowym, gdy każde z odwzorowań L i, i = 1, 2,, n, jest następujacej postaci To oznacza, że L i (x 1, x 2,, x m ) = a i1 x 1 + a i2 x a im x m L(x 1, x 2,, x m ) = a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m a n1 x 1 + a n2 x a nm x m

4 Odwzorowania liniowe Odwzorowanie (L 1, L 2,, L n ) = L: R m R n nazywamy liniowym, gdy każde z odwzorowań L i, i = 1, 2,, n, jest następujacej postaci To oznacza, że L i (x 1, x 2,, x m ) = a i1 x 1 + a i2 x a im x m L(x 1, x 2,, x m ) = a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m a n1 x 1 + a n2 x a nm x m

5 Odwzorowania liniowe Cd Możemy to krócej zapisać: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m L(x 1, x 2,, x m ) = a n1 a n2 a nm x 1 x 2 x m Macierz a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm nazywamy macierza odwzorowania liniowego L Najkrótszy zapis: L(x) = Ax

6 Odwzorowania liniowe Cd Możemy to krócej zapisać: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m L(x 1, x 2,, x m ) = a n1 a n2 a nm x 1 x 2 x m Macierz a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm nazywamy macierza odwzorowania liniowego L Najkrótszy zapis: L(x) = Ax

7 różniczka odwzorowania Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f jest różniczkowalne w punkcie p 0, gdy istnieje odwzorowanie liniowe d p0 f : R m R n takie, że f (p) f (p 0 ) d p0 f (p p 0 ) lim = 0 p p 0 p p 0 Różniczka (jako odwzorowanie ) jest postaci d p0 f (h) = A h, dla pewnej macierzy A R nm (o n wierszach i m kolumnach)

8 różniczka odwzorowania Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f jest różniczkowalne w punkcie p 0, gdy istnieje odwzorowanie liniowe d p0 f : R m R n takie, że f (p) f (p 0 ) d p0 f (p p 0 ) lim = 0 p p 0 p p 0 Różniczka (jako odwzorowanie ) jest postaci d p0 f (h) = A h, dla pewnej macierzy A R nm (o n wierszach i m kolumnach)

9 pochodna kierunkowa Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f ma w punkcie p 0 pochodna kierunkowa w kierunku wektora a R m \ {0}, gdy istnieje granica : lim t 0 f (p 0 + at) f (p 0 ) t Granicę tę oznaczamy symbolem f a(p 0 ) i nazywamy pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p 0 w kierunku wektora a

10 Pochodne czastkowe Niech f = (f 1, f 2,, f n ): U R n, pochodna kierunkowa funkcji f i w kierunku wektora (0, 0,, 0, 1, 0,, 0)(1 na k-tym miejscu; taki wektor oznaczać będziemy e k ) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f i względem k-tej zmiennej i oznaczamy f i x k Tak więc, dla p = (x 1, x 2,, x m ), f i f i (x 1, x 2,, x k + t,, x n ) f i (x 1, x 2,, x n ) (p) = lim x k t 0 t Mamy też, gdy istnieje f e k (p), to zachodzi wzór f e k (p) = ( f1 x k (p), f 2 x k (p),, f n x k (p) W szczególności, gdy n = 1 (f : R m R), to mamy f e k (p) = f x k (p) )

11 Pochodne czastkowe Niech f = (f 1, f 2,, f n ): U R n, pochodna kierunkowa funkcji f i w kierunku wektora (0, 0,, 0, 1, 0,, 0)(1 na k-tym miejscu; taki wektor oznaczać będziemy e k ) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f i względem k-tej zmiennej i oznaczamy f i x k Tak więc, dla p = (x 1, x 2,, x m ), f i f i (x 1, x 2,, x k + t,, x n ) f i (x 1, x 2,, x n ) (p) = lim x k t 0 t Mamy też, gdy istnieje f e k (p), to zachodzi wzór f e k (p) = ( f1 x k (p), f 2 x k (p),, f n x k (p) W szczególności, gdy n = 1 (f : R m R), to mamy f e k (p) = f x k (p) )

12 Pochodne czastkowe Niech f = (f 1, f 2,, f n ): U R n, pochodna kierunkowa funkcji f i w kierunku wektora (0, 0,, 0, 1, 0,, 0)(1 na k-tym miejscu; taki wektor oznaczać będziemy e k ) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f i względem k-tej zmiennej i oznaczamy f i x k Tak więc, dla p = (x 1, x 2,, x m ), f i f i (x 1, x 2,, x k + t,, x n ) f i (x 1, x 2,, x n ) (p) = lim x k t 0 t Mamy też, gdy istnieje f e k (p), to zachodzi wzór f e k (p) = ( f1 x k (p), f 2 x k (p),, f n x k (p) W szczególności, gdy n = 1 (f : R m R), to mamy f e k (p) = f x k (p) )

13 Postać różniczki-macierz pochodnych czastkowych Jeśli odwzorowanie f = (f 1, f 2,, f n ): U R n jest różniczkowalne w punkcie p U R m, to dla dowolnego h = (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi wzór f 1 x 1 (p) f 2 d p f (h) = x 1 (p) f n x 1 (p) f 1 f 1 x 2 (p) x m (p) f 2 f x 2 (p) 2 x m (p) f n f x 2 (p) n x m (p) h 1 h 2 h m Macierz ta oznaczmy f (p) Jeżeli n = 1 (czyli f : R m U R), to ta macierz jest wektorem Nazywamy ja (go) gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy (gradf )(p) Tak więc: (gradf )(p) = ( f x 1 (p), f f x 2 (p),, x m (p) )

14 Postać różniczki-macierz pochodnych czastkowych Jeśli odwzorowanie f = (f 1, f 2,, f n ): U R n jest różniczkowalne w punkcie p U R m, to dla dowolnego h = (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi wzór f 1 x 1 (p) f 2 d p f (h) = x 1 (p) f n x 1 (p) f 1 f 1 x 2 (p) x m (p) f 2 f x 2 (p) 2 x m (p) f n f x 2 (p) n x m (p) h 1 h 2 h m Macierz ta oznaczmy f (p) Jeżeli n = 1 (czyli f : R m U R), to ta macierz jest wektorem Nazywamy ja (go) gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy (gradf )(p) Tak więc: (gradf )(p) = ( f x 1 (p), f f x 2 (p),, x m (p) )

15 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Rozważmy funkcję f : R 3 R dana wzorem f (x, y, z) = xy 2 z 3 Wówczas f x (x, y, z) = y 2 z 3, f y (x, y, z) = 2xyz3, f z (x, y, z) = 3xy 2 z 2 Z funkcji tych możemy znowu obliczać pochodne czastkowe otrzymujac: (x, y, z) = 0, x 2 2 f y x (x, y, z) = 2yz3, x y (x, y, z) = 2yz3, 2 f y 2 (x, y, z) = 2xz3, x z (x, y, z) = 3y 2 z 2, I dalej, np 3 f y z x (x, y, z) = 6yz2, z x (x, y, z) = 3y 2 z 2, z y (x, y, z) = 6xyz2, y z (x, y, z) = 6xyz2, 2 f z 2 (x, y, z) = 6xy 2 z 3 f y 2 z (x, y, z) = 6xz2

16 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Rozważmy funkcję f : R 3 R dana wzorem f (x, y, z) = xy 2 z 3 Wówczas f x (x, y, z) = y 2 z 3, f y (x, y, z) = 2xyz3, f z (x, y, z) = 3xy 2 z 2 Z funkcji tych możemy znowu obliczać pochodne czastkowe otrzymujac: (x, y, z) = 0, x 2 2 f y x (x, y, z) = 2yz3, x y (x, y, z) = 2yz3, 2 f y 2 (x, y, z) = 2xz3, x z (x, y, z) = 3y 2 z 2, I dalej, np 3 f y z x (x, y, z) = 6yz2, z x (x, y, z) = 3y 2 z 2, z y (x, y, z) = 6xyz2, y z (x, y, z) = 6xyz2, 2 f z 2 (x, y, z) = 6xy 2 z 3 f y 2 z (x, y, z) = 6xz2

17 Ekstrema funkcji wielu zmiennych Niech U R m będzie zbiorem otwartym, f : U R Funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne, gdy f (p) f (p 0 ) dla p z pewnego otoczenia punktu p 0 (maksimum lokalne), lub f (p) f (p 0 ) dla p z pewnego otoczenia punktu p 0 (minimum lokalne)

18 Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego Jeżeli f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne i jest w tym punkcie różniczkowalna, to dla każdego i = 1, 2,, m f x i (p 0 ) = 0

19 Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2,, m Jeśli dla dowolnych niezerowych wektorów (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi nierówność: m (p 0 )h i h j > 0 x i x j i,j=1 to ma w punkcie p 0 minimum lokalne; jeśli dla dowolnych niezerowych wektorów (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi nierówność: m i,j=1 x i x j (p 0 )h i h j < 0 to ma w punkcie p 0 maksimum lokalne;

20 cd jesli natomiast istnieja niezerowe wektory h = (h 1, h 2,, h m ) i k = (k 1, k 2,, k m ) takie, że p 0 + h, p 0 + k U i m i,j=1 m i,j=1 x i x j (p 0 )h i h j < 0, x i x j (p 0 )k i k j > 0 to f nie ma ekstremum w punkcie p 0

21 wyznacznik macierzy kwadratowej Wyznacznik macierzy kwadratowej definiujemy rekurencyjnie w następujacy sposób: det[a] = a, a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m det = a n1 a n2 a nm a 12 a 13 a 1m a 22 a 23 a 2m n = ( 1) k+1 a k1 det a k 1 2 a k 1 3 a k 1 m k=1 a k+1 2 a k+1 3 a k+1 m a n2 a n3 a nm

22 wyznacznik macierzy kwadratowej Wyznacznik macierzy kwadratowej definiujemy rekurencyjnie w następujacy sposób: det[a] = a, a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m det = a n1 a n2 a nm a 12 a 13 a 1m a 22 a 23 a 2m n = ( 1) k+1 a k1 det a k 1 2 a k 1 3 a k 1 m k=1 a k+1 2 a k+1 3 a k+1 m a n2 a n3 a nm

23 cd w szczególności: det a b c d e f g h i ( a b det c d ) = ad bc = aei + dhc + gbf gec hfa idb

24 cd w szczególności: det a b c d e f g h i ( a b det c d ) = ad bc = aei + dhc + gbf gec hfa idb

25 inny warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Wprowadźmy następujace oznaczenia: W (p 0 ) = det x1 2 (p 0 ) x 1 x 2 (p 0 ) x 1 x m (p 0 ) x 2 x 1 (p 0 ) x m x 1 (p 0 ) i (p 0 ) = det (p x2 2 0 ) 2 f x 2 x m (p 0 ) x m x 2 (p 0 ) 2 f (p xm 2 0 ) (p x1 2 0 ) 2 f x 1 x i (p 0 ) x i x 1 (p 0 ) 2 f xi 2 (p 0 ),,

26 inny warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Wprowadźmy następujace oznaczenia: W (p 0 ) = det x1 2 (p 0 ) x 1 x 2 (p 0 ) x 1 x m (p 0 ) x 2 x 1 (p 0 ) x m x 1 (p 0 ) i (p 0 ) = det (p x2 2 0 ) 2 f x 2 x m (p 0 ) x m x 2 (p 0 ) 2 f (p xm 2 0 ) (p x1 2 0 ) 2 f x 1 x i (p 0 ) x i x 1 (p 0 ) 2 f xi 2 (p 0 ),,

27 cd Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2,, m Jeżeli dla każdego i = 1, 2, m mamy i (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 minimum lokalne; jeśli ( 1) i i (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne

28 To kryterium dla m = 2 Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2 Jeżeli mamy W (p 0 ) = 2 (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne; jeśli 2 f (p x1 2 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 minimum lokalne a jeśli 2 f (p x1 2 0 ) < 0 to f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne

29 Twierdzenie o funkcji uwikłanej Niech U R 2 będzie zbiorem otwartym, a F : U R funkcja o ciagłych pochodnych czastkowych w zbiorze U Jeśli w pewnym punkcie (x 0, y 0 ) U mamy F(x 0, y 0 ) = 0, oraz F y (x 0, y 0 ) 0, to istniej taka δ > 0 i istnieje dokładnie jedna taka funkcja y : (x 0 δ, x 0 + δ) R różniczkowalna, o ciagłej pochodnej, że y(x 0 ) = y 0 oraz F(x, y(x)) = 0 dla wszelkich x (x 0 δ, x 0 + δ) Ponadto y (x) = F x F y (x, y(x)) (x, y(x)), x (x 0 δ, x 0 + δ)

30 Całka oznaczona Riemanna w przestrzeni R n Definiujac całkę oznaczona Riemanna w przestrzeni R n postępujemy podobnie, jak przy definicji całki Riemanna w R Wprowadzamy kolejno pojęcia: -przedziału w R n ([a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ]) - podziału i podpodziału przedziału P, -sumy aproksymacyjnej dolnej i górnej, - całki górnej i dolnej, i wreszcie, gdy obie całki były równe -całki Riemanna z funkcji ograniczonej określonej na przedziale w R n Również określonej na pewnym podzbiorze przedziału, (dookreślamy wtedy funkcję f na cały przedział P, zadajac 0, tam, gdzie nie była zdefiniowana)

31 Sumy aproksymacyjne górna i dolna Niech f : P R będzie funkcja ograniczona Niech Π = {P 1, P 2,, P m } będzie podziałem przedziału P Oznaczmy M k = sup f (P k ), m k = inf f (P k ) Liczbę: s(f, P, Π) = m m k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna dolna, a liczbę S(f, P, Π) = m M k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna górna funkcji f na przedziale P dla podziału Π

32 Sumy aproksymacyjne górna i dolna Niech f : P R będzie funkcja ograniczona Niech Π = {P 1, P 2,, P m } będzie podziałem przedziału P Oznaczmy M k = sup f (P k ), m k = inf f (P k ) Liczbę: s(f, P, Π) = m m k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna dolna, a liczbę S(f, P, Π) = m M k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna górna funkcji f na przedziale P dla podziału Π

33 Sumy aproksymacyjne górna i dolna Niech f : P R będzie funkcja ograniczona Niech Π = {P 1, P 2,, P m } będzie podziałem przedziału P Oznaczmy M k = sup f (P k ), m k = inf f (P k ) Liczbę: s(f, P, Π) = m m k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna dolna, a liczbę S(f, P, Π) = m M k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna górna funkcji f na przedziale P dla podziału Π

34 Całka górna i dolna Uwaga s(f, P, Π) S(f, P, Π) Jeśli Σ jest podpodziałem podziału Π to, s(f, P, Π) s(f, P, Σ) S(f, P, Σ) S(f, P, Π) Całka górna i dolna z funkcji f Liczbę I(f, P) = sup s(f, P, Π) nazywamy całka dolna funkcji f na przedziale P, a liczbę I(f, P) = inf S(f, P, Π) nazywamy całka górna funkcji f na przedziale P, supremum, i infimum brane jest po wszystkich podziałach przedziału P

35 Całka górna i dolna Uwaga s(f, P, Π) S(f, P, Π) Jeśli Σ jest podpodziałem podziału Π to, s(f, P, Π) s(f, P, Σ) S(f, P, Σ) S(f, P, Π) Całka górna i dolna z funkcji f Liczbę I(f, P) = sup s(f, P, Π) nazywamy całka dolna funkcji f na przedziale P, a liczbę I(f, P) = inf S(f, P, Π) nazywamy całka górna funkcji f na przedziale P, supremum, i infimum brane jest po wszystkich podziałach przedziału P

36 Całka Riemanna funkcji f na przedziale P Jezeli I(f, P) = I(f, P), to, ta wspólna wartość nazywamy całka Riemanna funkcji f na przedziale P i zapisujemy f (x) dx, lub f (x 1, x 2, x n ) dx 1 dx 2 dx n, P mówimy wtedy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna Uwaga Funkcje ciagłe sa całkowalne

37 Całka Riemanna funkcji f na przedziale P Jezeli I(f, P) = I(f, P), to, ta wspólna wartość nazywamy całka Riemanna funkcji f na przedziale P i zapisujemy f (x) dx, lub f (x 1, x 2, x n ) dx 1 dx 2 dx n, P mówimy wtedy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna Uwaga Funkcje ciagłe sa całkowalne

38 Zamiana na całkę iterowana Niech P R 2 będzie prostokatem postaci P = {(x, y) : a x b, c y d}, a f : P R funkcja ograniczona Jeśli istnieja całki: f (x, y)dxdy, d c b a P f (x, y)dy, f (x, y)dx, x [a, b], y [c, d], to istnieja całki iterowane i sa równe całce z funkcji f na przedziale P, tzn ( b ) d ( d ) b f (x, y)dy dx = f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy a c P c a

39 Obszar normalny Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [a, b] R, φ(x) < ψ(x), x [a, b], że D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)} Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OY, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [c, d] R, φ(y) < ψ(y), y [c, d], że D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}

40 Obszar normalny Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [a, b] R, φ(x) < ψ(x), x [a, b], że D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)} Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OY, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [c, d] R, φ(y) < ψ(y), y [c, d], że D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}

41 zamiana całki po obszarze normalnym na całkę iterowana Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OX, D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D b a ( ) ψ(x) f (x, y)dy dx φ(x) Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OY, D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D d c ( ) ψ(y) f (x, y)dx dy φ(y)

42 zamiana całki po obszarze normalnym na całkę iterowana Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OX, D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D b a ( ) ψ(x) f (x, y)dy dx φ(x) Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OY, D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D d c ( ) ψ(y) f (x, y)dx dy φ(y)

43 Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej Załóżmy, że G R 2 jest zbiorem otwartym, a G oraz D R 2 sa oszarami normalnymi Załóżmy dalej, że odwzorowanie F : G R 2 dane wzorem F (u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)), spełnia następujace założenia: F( ) = D, funkcje φ, ψ maja ciagłe pochodne czastkowe w każdym punkcie obszaru, odwzorowanie F jest różnowartościowe na wnętrzu obszaru jakobian odwzorowania F, to jest funkcja J(u, v) := det ( φ u ψ u jest różny od zera we wnętrzu φ (u, v) ψ (u, v) v v ) (u, v) (u, v)

44 cd Jeśli funkcja f : D R jest ciagła, to zachodzi równość: f (x, y)dxdy = f (φ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) dudv D

45 Zamiana zmiennych na współrzędne biegunowe = [0, r] [0, 2π] D = K (0, r) φ(u, v) = u cos v, ψ(u, v) = u sin v, czyli F (u, v) = u cos v, u sin v A więc K (0,r) J(u, v) := det ( φ u ψ u φ (u, v) ψ (u, v) v ( cos v u sin v = det sin v u cos v f (x, y)dxdy = [0,r] [0,2π] v ) (u, v) = (u, v) ) = u f (u cos v, u sin v)u dudv

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Całka podwójna po prostokącie

Całka podwójna po prostokącie Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Określenie całki oznaczonej na półprostej

Określenie całki oznaczonej na półprostej Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t

y(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch i trzech zmiennych

Funkcje dwóch i trzech zmiennych Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie

Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; )

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; ) Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Całki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II

W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1

Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem

Bardziej szczegółowo

3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej

3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.

(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N. 1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

Matematyka Mathematics. Inżynieria bezpieczeństwa I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)

Matematyka Mathematics. Inżynieria bezpieczeństwa I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Matematyka Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Poziom kształcenia

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne

4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011

Wykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011 Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie metryczne

1 Przestrzenie metryczne 1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!

Wykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga! Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne

Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.

Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s. Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,

Bardziej szczegółowo

Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej

Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej MAP1156: Analiza Matematyczna II Wykład przeznaczony jest dla studentów I roku I stopnia Inżynierii Biomedycznej

Bardziej szczegółowo

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania

Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo