Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
|
|
- Seweryna Stankiewicz
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda z funkcji odwzorowuje R m R Przykład Niech f : R 2 R 3 będzie dana wzorem f (x, y) = (x y, 2x 3 xy, y + 3), wtedy f 1 (x, y) = x y, f 2 (x, y) = 2x 3 xy, f 3 (x, y) = y + 3
2 Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda z funkcji odwzorowuje R m R Przykład Niech f : R 2 R 3 będzie dana wzorem f (x, y) = (x y, 2x 3 xy, y + 3), wtedy f 1 (x, y) = x y, f 2 (x, y) = 2x 3 xy, f 3 (x, y) = y + 3
3 Odwzorowania liniowe Odwzorowanie (L 1, L 2,, L n ) = L: R m R n nazywamy liniowym, gdy każde z odwzorowań L i, i = 1, 2,, n, jest następujacej postaci To oznacza, że L i (x 1, x 2,, x m ) = a i1 x 1 + a i2 x a im x m L(x 1, x 2,, x m ) = a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m a n1 x 1 + a n2 x a nm x m
4 Odwzorowania liniowe Odwzorowanie (L 1, L 2,, L n ) = L: R m R n nazywamy liniowym, gdy każde z odwzorowań L i, i = 1, 2,, n, jest następujacej postaci To oznacza, że L i (x 1, x 2,, x m ) = a i1 x 1 + a i2 x a im x m L(x 1, x 2,, x m ) = a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m a n1 x 1 + a n2 x a nm x m
5 Odwzorowania liniowe Cd Możemy to krócej zapisać: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m L(x 1, x 2,, x m ) = a n1 a n2 a nm x 1 x 2 x m Macierz a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm nazywamy macierza odwzorowania liniowego L Najkrótszy zapis: L(x) = Ax
6 Odwzorowania liniowe Cd Możemy to krócej zapisać: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m L(x 1, x 2,, x m ) = a n1 a n2 a nm x 1 x 2 x m Macierz a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm nazywamy macierza odwzorowania liniowego L Najkrótszy zapis: L(x) = Ax
7 różniczka odwzorowania Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f jest różniczkowalne w punkcie p 0, gdy istnieje odwzorowanie liniowe d p0 f : R m R n takie, że f (p) f (p 0 ) d p0 f (p p 0 ) lim = 0 p p 0 p p 0 Różniczka (jako odwzorowanie ) jest postaci d p0 f (h) = A h, dla pewnej macierzy A R nm (o n wierszach i m kolumnach)
8 różniczka odwzorowania Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f jest różniczkowalne w punkcie p 0, gdy istnieje odwzorowanie liniowe d p0 f : R m R n takie, że f (p) f (p 0 ) d p0 f (p p 0 ) lim = 0 p p 0 p p 0 Różniczka (jako odwzorowanie ) jest postaci d p0 f (h) = A h, dla pewnej macierzy A R nm (o n wierszach i m kolumnach)
9 pochodna kierunkowa Dany jest zbiór otwarty U R m, punkt p 0 U i odwzorowanie f : U R n Mówimy, że odwzorowanie f ma w punkcie p 0 pochodna kierunkowa w kierunku wektora a R m \ {0}, gdy istnieje granica : lim t 0 f (p 0 + at) f (p 0 ) t Granicę tę oznaczamy symbolem f a(p 0 ) i nazywamy pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p 0 w kierunku wektora a
10 Pochodne czastkowe Niech f = (f 1, f 2,, f n ): U R n, pochodna kierunkowa funkcji f i w kierunku wektora (0, 0,, 0, 1, 0,, 0)(1 na k-tym miejscu; taki wektor oznaczać będziemy e k ) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f i względem k-tej zmiennej i oznaczamy f i x k Tak więc, dla p = (x 1, x 2,, x m ), f i f i (x 1, x 2,, x k + t,, x n ) f i (x 1, x 2,, x n ) (p) = lim x k t 0 t Mamy też, gdy istnieje f e k (p), to zachodzi wzór f e k (p) = ( f1 x k (p), f 2 x k (p),, f n x k (p) W szczególności, gdy n = 1 (f : R m R), to mamy f e k (p) = f x k (p) )
11 Pochodne czastkowe Niech f = (f 1, f 2,, f n ): U R n, pochodna kierunkowa funkcji f i w kierunku wektora (0, 0,, 0, 1, 0,, 0)(1 na k-tym miejscu; taki wektor oznaczać będziemy e k ) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f i względem k-tej zmiennej i oznaczamy f i x k Tak więc, dla p = (x 1, x 2,, x m ), f i f i (x 1, x 2,, x k + t,, x n ) f i (x 1, x 2,, x n ) (p) = lim x k t 0 t Mamy też, gdy istnieje f e k (p), to zachodzi wzór f e k (p) = ( f1 x k (p), f 2 x k (p),, f n x k (p) W szczególności, gdy n = 1 (f : R m R), to mamy f e k (p) = f x k (p) )
12 Pochodne czastkowe Niech f = (f 1, f 2,, f n ): U R n, pochodna kierunkowa funkcji f i w kierunku wektora (0, 0,, 0, 1, 0,, 0)(1 na k-tym miejscu; taki wektor oznaczać będziemy e k ) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f i względem k-tej zmiennej i oznaczamy f i x k Tak więc, dla p = (x 1, x 2,, x m ), f i f i (x 1, x 2,, x k + t,, x n ) f i (x 1, x 2,, x n ) (p) = lim x k t 0 t Mamy też, gdy istnieje f e k (p), to zachodzi wzór f e k (p) = ( f1 x k (p), f 2 x k (p),, f n x k (p) W szczególności, gdy n = 1 (f : R m R), to mamy f e k (p) = f x k (p) )
13 Postać różniczki-macierz pochodnych czastkowych Jeśli odwzorowanie f = (f 1, f 2,, f n ): U R n jest różniczkowalne w punkcie p U R m, to dla dowolnego h = (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi wzór f 1 x 1 (p) f 2 d p f (h) = x 1 (p) f n x 1 (p) f 1 f 1 x 2 (p) x m (p) f 2 f x 2 (p) 2 x m (p) f n f x 2 (p) n x m (p) h 1 h 2 h m Macierz ta oznaczmy f (p) Jeżeli n = 1 (czyli f : R m U R), to ta macierz jest wektorem Nazywamy ja (go) gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy (gradf )(p) Tak więc: (gradf )(p) = ( f x 1 (p), f f x 2 (p),, x m (p) )
14 Postać różniczki-macierz pochodnych czastkowych Jeśli odwzorowanie f = (f 1, f 2,, f n ): U R n jest różniczkowalne w punkcie p U R m, to dla dowolnego h = (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi wzór f 1 x 1 (p) f 2 d p f (h) = x 1 (p) f n x 1 (p) f 1 f 1 x 2 (p) x m (p) f 2 f x 2 (p) 2 x m (p) f n f x 2 (p) n x m (p) h 1 h 2 h m Macierz ta oznaczmy f (p) Jeżeli n = 1 (czyli f : R m U R), to ta macierz jest wektorem Nazywamy ja (go) gradientem funkcji f w punkcie p i oznaczamy (gradf )(p) Tak więc: (gradf )(p) = ( f x 1 (p), f f x 2 (p),, x m (p) )
15 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Rozważmy funkcję f : R 3 R dana wzorem f (x, y, z) = xy 2 z 3 Wówczas f x (x, y, z) = y 2 z 3, f y (x, y, z) = 2xyz3, f z (x, y, z) = 3xy 2 z 2 Z funkcji tych możemy znowu obliczać pochodne czastkowe otrzymujac: (x, y, z) = 0, x 2 2 f y x (x, y, z) = 2yz3, x y (x, y, z) = 2yz3, 2 f y 2 (x, y, z) = 2xz3, x z (x, y, z) = 3y 2 z 2, I dalej, np 3 f y z x (x, y, z) = 6yz2, z x (x, y, z) = 3y 2 z 2, z y (x, y, z) = 6xyz2, y z (x, y, z) = 6xyz2, 2 f z 2 (x, y, z) = 6xy 2 z 3 f y 2 z (x, y, z) = 6xz2
16 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Rozważmy funkcję f : R 3 R dana wzorem f (x, y, z) = xy 2 z 3 Wówczas f x (x, y, z) = y 2 z 3, f y (x, y, z) = 2xyz3, f z (x, y, z) = 3xy 2 z 2 Z funkcji tych możemy znowu obliczać pochodne czastkowe otrzymujac: (x, y, z) = 0, x 2 2 f y x (x, y, z) = 2yz3, x y (x, y, z) = 2yz3, 2 f y 2 (x, y, z) = 2xz3, x z (x, y, z) = 3y 2 z 2, I dalej, np 3 f y z x (x, y, z) = 6yz2, z x (x, y, z) = 3y 2 z 2, z y (x, y, z) = 6xyz2, y z (x, y, z) = 6xyz2, 2 f z 2 (x, y, z) = 6xy 2 z 3 f y 2 z (x, y, z) = 6xz2
17 Ekstrema funkcji wielu zmiennych Niech U R m będzie zbiorem otwartym, f : U R Funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne, gdy f (p) f (p 0 ) dla p z pewnego otoczenia punktu p 0 (maksimum lokalne), lub f (p) f (p 0 ) dla p z pewnego otoczenia punktu p 0 (minimum lokalne)
18 Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego Jeżeli f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne i jest w tym punkcie różniczkowalna, to dla każdego i = 1, 2,, m f x i (p 0 ) = 0
19 Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2,, m Jeśli dla dowolnych niezerowych wektorów (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi nierówność: m (p 0 )h i h j > 0 x i x j i,j=1 to ma w punkcie p 0 minimum lokalne; jeśli dla dowolnych niezerowych wektorów (h 1, h 2,, h m ) R m zachodzi nierówność: m i,j=1 x i x j (p 0 )h i h j < 0 to ma w punkcie p 0 maksimum lokalne;
20 cd jesli natomiast istnieja niezerowe wektory h = (h 1, h 2,, h m ) i k = (k 1, k 2,, k m ) takie, że p 0 + h, p 0 + k U i m i,j=1 m i,j=1 x i x j (p 0 )h i h j < 0, x i x j (p 0 )k i k j > 0 to f nie ma ekstremum w punkcie p 0
21 wyznacznik macierzy kwadratowej Wyznacznik macierzy kwadratowej definiujemy rekurencyjnie w następujacy sposób: det[a] = a, a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m det = a n1 a n2 a nm a 12 a 13 a 1m a 22 a 23 a 2m n = ( 1) k+1 a k1 det a k 1 2 a k 1 3 a k 1 m k=1 a k+1 2 a k+1 3 a k+1 m a n2 a n3 a nm
22 wyznacznik macierzy kwadratowej Wyznacznik macierzy kwadratowej definiujemy rekurencyjnie w następujacy sposób: det[a] = a, a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m det = a n1 a n2 a nm a 12 a 13 a 1m a 22 a 23 a 2m n = ( 1) k+1 a k1 det a k 1 2 a k 1 3 a k 1 m k=1 a k+1 2 a k+1 3 a k+1 m a n2 a n3 a nm
23 cd w szczególności: det a b c d e f g h i ( a b det c d ) = ad bc = aei + dhc + gbf gec hfa idb
24 cd w szczególności: det a b c d e f g h i ( a b det c d ) = ad bc = aei + dhc + gbf gec hfa idb
25 inny warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Wprowadźmy następujace oznaczenia: W (p 0 ) = det x1 2 (p 0 ) x 1 x 2 (p 0 ) x 1 x m (p 0 ) x 2 x 1 (p 0 ) x m x 1 (p 0 ) i (p 0 ) = det (p x2 2 0 ) 2 f x 2 x m (p 0 ) x m x 2 (p 0 ) 2 f (p xm 2 0 ) (p x1 2 0 ) 2 f x 1 x i (p 0 ) x i x 1 (p 0 ) 2 f xi 2 (p 0 ),,
26 inny warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Wprowadźmy następujace oznaczenia: W (p 0 ) = det x1 2 (p 0 ) x 1 x 2 (p 0 ) x 1 x m (p 0 ) x 2 x 1 (p 0 ) x m x 1 (p 0 ) i (p 0 ) = det (p x2 2 0 ) 2 f x 2 x m (p 0 ) x m x 2 (p 0 ) 2 f (p xm 2 0 ) (p x1 2 0 ) 2 f x 1 x i (p 0 ) x i x 1 (p 0 ) 2 f xi 2 (p 0 ),,
27 cd Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2,, m Jeżeli dla każdego i = 1, 2, m mamy i (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 minimum lokalne; jeśli ( 1) i i (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne
28 To kryterium dla m = 2 Załóżmy, że f ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne rzędu drugiego, f x i (p 0 ) = 0, dla i = 1, 2 Jeżeli mamy W (p 0 ) = 2 (p 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne; jeśli 2 f (p x1 2 0 ) > 0 to f ma w punkcie p 0 minimum lokalne a jeśli 2 f (p x1 2 0 ) < 0 to f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne
29 Twierdzenie o funkcji uwikłanej Niech U R 2 będzie zbiorem otwartym, a F : U R funkcja o ciagłych pochodnych czastkowych w zbiorze U Jeśli w pewnym punkcie (x 0, y 0 ) U mamy F(x 0, y 0 ) = 0, oraz F y (x 0, y 0 ) 0, to istniej taka δ > 0 i istnieje dokładnie jedna taka funkcja y : (x 0 δ, x 0 + δ) R różniczkowalna, o ciagłej pochodnej, że y(x 0 ) = y 0 oraz F(x, y(x)) = 0 dla wszelkich x (x 0 δ, x 0 + δ) Ponadto y (x) = F x F y (x, y(x)) (x, y(x)), x (x 0 δ, x 0 + δ)
30 Całka oznaczona Riemanna w przestrzeni R n Definiujac całkę oznaczona Riemanna w przestrzeni R n postępujemy podobnie, jak przy definicji całki Riemanna w R Wprowadzamy kolejno pojęcia: -przedziału w R n ([a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ]) - podziału i podpodziału przedziału P, -sumy aproksymacyjnej dolnej i górnej, - całki górnej i dolnej, i wreszcie, gdy obie całki były równe -całki Riemanna z funkcji ograniczonej określonej na przedziale w R n Również określonej na pewnym podzbiorze przedziału, (dookreślamy wtedy funkcję f na cały przedział P, zadajac 0, tam, gdzie nie była zdefiniowana)
31 Sumy aproksymacyjne górna i dolna Niech f : P R będzie funkcja ograniczona Niech Π = {P 1, P 2,, P m } będzie podziałem przedziału P Oznaczmy M k = sup f (P k ), m k = inf f (P k ) Liczbę: s(f, P, Π) = m m k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna dolna, a liczbę S(f, P, Π) = m M k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna górna funkcji f na przedziale P dla podziału Π
32 Sumy aproksymacyjne górna i dolna Niech f : P R będzie funkcja ograniczona Niech Π = {P 1, P 2,, P m } będzie podziałem przedziału P Oznaczmy M k = sup f (P k ), m k = inf f (P k ) Liczbę: s(f, P, Π) = m m k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna dolna, a liczbę S(f, P, Π) = m M k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna górna funkcji f na przedziale P dla podziału Π
33 Sumy aproksymacyjne górna i dolna Niech f : P R będzie funkcja ograniczona Niech Π = {P 1, P 2,, P m } będzie podziałem przedziału P Oznaczmy M k = sup f (P k ), m k = inf f (P k ) Liczbę: s(f, P, Π) = m m k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna dolna, a liczbę S(f, P, Π) = m M k objętośćp k k=1 nazywamy suma aproksymacyjna górna funkcji f na przedziale P dla podziału Π
34 Całka górna i dolna Uwaga s(f, P, Π) S(f, P, Π) Jeśli Σ jest podpodziałem podziału Π to, s(f, P, Π) s(f, P, Σ) S(f, P, Σ) S(f, P, Π) Całka górna i dolna z funkcji f Liczbę I(f, P) = sup s(f, P, Π) nazywamy całka dolna funkcji f na przedziale P, a liczbę I(f, P) = inf S(f, P, Π) nazywamy całka górna funkcji f na przedziale P, supremum, i infimum brane jest po wszystkich podziałach przedziału P
35 Całka górna i dolna Uwaga s(f, P, Π) S(f, P, Π) Jeśli Σ jest podpodziałem podziału Π to, s(f, P, Π) s(f, P, Σ) S(f, P, Σ) S(f, P, Π) Całka górna i dolna z funkcji f Liczbę I(f, P) = sup s(f, P, Π) nazywamy całka dolna funkcji f na przedziale P, a liczbę I(f, P) = inf S(f, P, Π) nazywamy całka górna funkcji f na przedziale P, supremum, i infimum brane jest po wszystkich podziałach przedziału P
36 Całka Riemanna funkcji f na przedziale P Jezeli I(f, P) = I(f, P), to, ta wspólna wartość nazywamy całka Riemanna funkcji f na przedziale P i zapisujemy f (x) dx, lub f (x 1, x 2, x n ) dx 1 dx 2 dx n, P mówimy wtedy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna Uwaga Funkcje ciagłe sa całkowalne
37 Całka Riemanna funkcji f na przedziale P Jezeli I(f, P) = I(f, P), to, ta wspólna wartość nazywamy całka Riemanna funkcji f na przedziale P i zapisujemy f (x) dx, lub f (x 1, x 2, x n ) dx 1 dx 2 dx n, P mówimy wtedy, że f jest całkowalna w sensie Riemanna Uwaga Funkcje ciagłe sa całkowalne
38 Zamiana na całkę iterowana Niech P R 2 będzie prostokatem postaci P = {(x, y) : a x b, c y d}, a f : P R funkcja ograniczona Jeśli istnieja całki: f (x, y)dxdy, d c b a P f (x, y)dy, f (x, y)dx, x [a, b], y [c, d], to istnieja całki iterowane i sa równe całce z funkcji f na przedziale P, tzn ( b ) d ( d ) b f (x, y)dy dx = f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy a c P c a
39 Obszar normalny Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [a, b] R, φ(x) < ψ(x), x [a, b], że D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)} Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OY, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [c, d] R, φ(y) < ψ(y), y [c, d], że D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}
40 Obszar normalny Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OX, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [a, b] R, φ(x) < ψ(x), x [a, b], że D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)} Zbiór D R 2 nazywamy obszarem normalnym względem osi OY, jeśli istnieja takie funkcje ciagłe φ, ψ : [c, d] R, φ(y) < ψ(y), y [c, d], że D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}
41 zamiana całki po obszarze normalnym na całkę iterowana Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OX, D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D b a ( ) ψ(x) f (x, y)dy dx φ(x) Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OY, D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D d c ( ) ψ(y) f (x, y)dx dy φ(y)
42 zamiana całki po obszarze normalnym na całkę iterowana Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OX, D = {(x, y) : a x b, φ(x) y ψ(x)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D b a ( ) ψ(x) f (x, y)dy dx φ(x) Jeśli D jest obszarem normalnym względem osi OY, D = {(x, y) : c y d, φ(y) x ψ(y)}, a funkcja f jest ciagła, to f (x, y)dxdy = D d c ( ) ψ(y) f (x, y)dx dy φ(y)
43 Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej Załóżmy, że G R 2 jest zbiorem otwartym, a G oraz D R 2 sa oszarami normalnymi Załóżmy dalej, że odwzorowanie F : G R 2 dane wzorem F (u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v)), spełnia następujace założenia: F( ) = D, funkcje φ, ψ maja ciagłe pochodne czastkowe w każdym punkcie obszaru, odwzorowanie F jest różnowartościowe na wnętrzu obszaru jakobian odwzorowania F, to jest funkcja J(u, v) := det ( φ u ψ u jest różny od zera we wnętrzu φ (u, v) ψ (u, v) v v ) (u, v) (u, v)
44 cd Jeśli funkcja f : D R jest ciagła, to zachodzi równość: f (x, y)dxdy = f (φ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) dudv D
45 Zamiana zmiennych na współrzędne biegunowe = [0, r] [0, 2π] D = K (0, r) φ(u, v) = u cos v, ψ(u, v) = u sin v, czyli F (u, v) = u cos v, u sin v A więc K (0,r) J(u, v) := det ( φ u ψ u φ (u, v) ψ (u, v) v ( cos v u sin v = det sin v u cos v f (x, y)dxdy = [0,r] [0,2π] v ) (u, v) = (u, v) ) = u f (u cos v, u sin v)u dudv
Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoWykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,
Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoOkreślenie całki oznaczonej na półprostej
Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoNiektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch i trzech zmiennych
Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych (wykład 14; )
Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II
Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Całki podwójne Całki podwójne po prostokacie. Całki podwójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach podwójnych. Zastosowania całek podwójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoWykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych
Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowo3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej
eria. Obliczyć całki (A) 2 x 2 dx (z definicji); 2 xe x dx; e 2xe x2 dx. 2. Obliczyć pole obszaru (A) {(x, y) : < x < 3, < y < x 2 +}; {(x, y) : 6x x 2 < y < x 2 6x+}. 3. Znaleźć długość krzywej l = {y
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowo(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.
1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoMatematyka Mathematics. Inżynieria bezpieczeństwa I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólnoakademicki / praktyczny)
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Matematyka Mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Poziom kształcenia
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011
Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016
Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoopracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe
opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,
Bardziej szczegółowoJacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej
Jacek Cichoń Katedra Informatyki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej MAP1156: Analiza Matematyczna II Wykład przeznaczony jest dla studentów I roku I stopnia Inżynierii Biomedycznej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo