Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
|
|
- Iwona Zawadzka
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe 7 V Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych 9 VI Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych VII Ekstrema funkcji dwóch zmiennych VIII Ogólne własności całek podwójnych 3 IX Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych 5 X Ogólne własności całek potrójnych 6
2 XI Współrzędne walcowe 7 XII Współrzędne sferyczne 7 XIII Przekształcenie Laplace a 8 XIV Przekształcenie Fouriera 9 XV Powtórzenie 9 XVI Egzaminy Zestaw A Zestaw B 3 Zestaw C 5 Zestaw D 6 Zestaw E 8 Zestaw F 3 Zestaw G 3 Zestaw H 34 Część I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju. Korzystając z kryterium porównawczego, zbadaj zbieżność całki (a) + cos x x 3 x arc tg x + x 7 dx, dx,
3 (c) (d) dx, x3 + arc tg x cos x x + sin x dx.. Korzystając z kryterium ilorazowego, zbadaj zbieżność całki (a) (c) (d) (e) sin 4 8 x dx, sin x 3 x dx, 5x 8 9x + 3 x 7 x + x ( x dx + ) ln ( ) + x dx. x 3. Zbadaj zbieżność całki (a) x sin x dx, e x x dx. dx. 4. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki (a) (c) 3 cos(4x) sin ( x 6) x x + x 5 arc tg x x5 + cos x + dx, sin x x dx. dx, 3
4 5. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje: (a) (c) (d) + x dx, e x dx, x sin x dx, x cos x dx.. (a) Zbieżna, zbieżna, (c) zbieżna, (d) rozbieżna do.. (a) Rozbieżna do, rozbieżna do, (c) zbieżna, (d) zbieżna, (e) zbieżna. 3. (a) Rozbieżna do, zbieżna. 4. (a) Zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna), całka jest rozbieżna do i nie jest zbieżna bezwzględnie, (c) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna). 5. (a) całka jest równa, zatem tyle samo wynosi wartość główna, całka jest równa, zatem tyle samo wynosi wartość główna, (c) ani całka, ani wartość główna całki nie istnieją, (d) całka nie istnieje, wartość główna całki wynosi. 4
5 Część II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju. Dwoma sposobami, za pomocą kryterium porównawczego oraz ilorazowego, zbadaj zbieżność całki (a) (c) cos x dx, sin (x 4 ) dx, sin x dx.. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną całki (a) x sin x dx, cos x x arc tg x dx. 3. Oblicz całkę i jej wartość główną, o ile któraś z tych wielkości istnieje: (a) (c) x dx, x dx, 3 x dx.. Dla kryterium porównawczego można wykorzystaj nierówności x < sin x < x, zachodzące dla < x <. (a) rozbieżna do, 5
6 rozbieżna do, (c) zbieżna.. (a) zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna), zbieżna bezwzględnie (więc zbieżna). 3. (a) całka rozbieżna (nie istnieje), wartość główna wynosi, całka i wartość główna nie istnieją, (c) całka wynosi 6, zatem wartość główna tyle samo. Część III Szeregi liczbowe. Wykorzystując warunek konieczny zbieżności, wykazać rozbieżność szeregu (a) arc tg n arc cos, n ( ) n n. n n= n=. Korzystając z kryterium d Alemberta, zbadaj zbieżność szeregu (a) (c) ( ) n n= n= n sin 3 n, ( ) n n= (n)! 6 n (n!), n n. 3. Korzystając z kryterium Cauchy ego, zbadaj zbieżność szeregu (a) n= n= ( ) n (arctg( n + )) n, 3 n + 7 n n + 3 n + 4 n + 5 n + 6 n. 4. Zbadaj zbieżność i ewentualnie określ jej rodzaj, dla szeregu (a) n ( ) n n, n= 6
7 (c) (d) (e) cos(n) tg n, n= n= n= n= ( ) (n n ) n, n + n! ( ) n n, 5 n ( n + n ) (n ).. (a) lim a n = n, lim a n = e. n. (a) Zbieżny bezwzględnie, zbieżny bezwzględnie, (c) zbieżny bezwzględnie. 3. (a) Zbieżny bezwzględnie, rozbieżny do. 4. (a) Zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do pokazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i nierówność < n, zbieżny warunkowo. Wskazówka: do pokazania zbieżności zastosować kryterium Leibniza, a do pokazania rozbieżności szeregu modułów wykorzystaj rozbieżność szeregu harmonicznego i oszacowanie x < tg x dla < x <, (c) zbieżny bezwzględnie, (d) rozbieżny, (e) rozbieżny do. Część IV Szeregi potęgowe. Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego: (x + ) n (a) n, n= 7
8 (c) (d) (e) n= n= n= n 6 n xn, (6 x) n n +, ( 4x 8) n n 8 n, n( 4x) n. n=. Dla zadanej funkcji f wyznacz szereg Maclaurina, przedział jego zbieżności oraz wzór na n-ty współczynnik w tym rozwinięciu, jeśli: (a) f(x) = 4x x 4, f(x) = x 6 + x 4, (c) f(x) = x 3 ln ( 4 ) x, (d) f(x) = x e 5x3. 3. Korzystając z rozwinięć Maclaurina funkcji elementarnych, oblicz pochodną: (a) f (4) () dla f(x) = x cos(x), f () () dla f(x) = x sin(3x), (c) f (5) () dla f(x) = x3 + 4x. 4. Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu szeregu potęgowego, oblicz sumy szeregów: (a) (c) (d) n= n= n= n= 3n n, n n 3 n, ( ) n (n + )5 n, n(n + 3) n. 8
9 . (a) ( 4, ), ( 6, 6), (c) ( 5, 7 ], (d) ( 4, ], (e) ( 4, 3 4).. (a) n= 4 n x n, ( 4, 4), c n = ( ) k k= x 4k+, (, ), c 8 6 k n = { dla n =, 4 { n dla n N +, ( ) n 4 dla n = 4k +, k N, n+ dla pozostałych n N, (c) { k= x k+3, (, ), c k4 k n = (n 3) dla n = k + 3, k N n 4 +, dla pozostałych n N, (d) ( 5) k k= k! x 3k+, R, c n = 3. (a) 48,, (c) (a) 33 4, 7, (c) 5 5 ln 6 5, (d) ln. { ( 5) n 3 n dla n = 3k +, k N, 3! dla pozostałych n N. Część V Podstawowe własności funkcji dwóch i trzech zmiennych. Niech x, y, z oznaczają liczby rzeczywiste. Wyznacz dziedzinę D naturalną funkcji f, opisać zadaną poziomicę oraz określ kształt pozostałych poziomic, jeśli (a) f(x, y) = e //(x +y 3), poziomica f(x, y) = e, f(x, y, z) = x + y + z x + y + z, poziomica f(x, y, z) =., 5 9
10 . Zbadaj istnienie i ewentualnie oblicz lim P P f(p ), jeśli P = (x, y, z), P = (,, ) R 3, f(x, y, z) = 4 x y z x + y + z. 3. Wyznacz zbiór A punktów ciągłości funkcji f : R n R, określonej wzorami { xy, gdy y x (a) f(x, y) =, x 3, gdy x < y, { arc tg(xy), gdy xy <, f(x, y) = x, gdy xy, { cos(x y), gdy x y < (c) f(x, y) = 4, y, gdy 4 x y, (d) f(x, y, z) = { z 7 x +y +z 5, gdy x + y + z 5,, gdy x + y + z = 5.. (a) D = {(x, y) R : x + y 3} (płaszczyzna bez okręgu); szukaną poziomicą jest okrąg o środku w (, ) i promieniu, pozostałymi poziomicami są okręgi o środku w (, ) i promieniach ϱ [, 3) ( 3, ),. 4. D = {(x, y, z) R 3 : x + y + z } (przestrzeń R3 bez sfery); szukaną poziomicą jest sfera o środku w (,, ) i promieniu, pozostałymi poziomicami są sfery o środku w (,, ) i promieniach [ ϱ, ) (, ). 3. (a) A = {(x, y) R : y x } {(, )} (funkcja jest ciągła poza parabolą y = x i dodatkowo jest ciągła w punkcie (, )), A = {(x, y) R : xy } {( 4, ) ( 4, 4, )} 4 (funkcja jest ciągła ( poza hiperbolami y = x, y = x i dodatkowo jest ciągła w punktach 4, ) ( 4, 4, ) 4 ), (c) A = { } {( (x, y) R : y = y x 4 4 +, ) (, 4 +, )} (funkcja jest ciągła poza ( prostymi y = x 4, y = x + 4 i dodatkowo jest ciągła w punktach 4 +, ) (, 4 +, ) ), (d) A = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 5} (funkcja jest ciągła poza sferą x + y + z = 5).
11 Część VI Podstawy rachunku różniczkowego funkcji dwóch i trzech zmiennych. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f(x, y) = sin(xy 3 ) + x y w punkcie (, ).. Dla funkcji f(x, y, z) = x ln(y + z) oblicz 4 f x (7,, ). z y 3. Sprawdź, czy spełniony jest warunek wystarczający dla istnienia płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P = (x, y, z ), a następnie wyznacz równanie tej płaszczyzny, jeśli: (a) f(x, y) = tg (x + y ), (x, y ) = (, f(x, y) = ln(x + y ), (x, y ) = (, e), (c) f(x, y) = ln y ( arc cos x, (x, y ) =, ) e, (d) f(x, y) = 3 y 4x, (x, y ) = (, 4), (e) f(x, y) = 4 arc tg ( xy ), (x, y ) = ), ( 4, ). 4. Wyznacz kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P, jeśli ( ) (a) f(x, y) = x y, P = ln 4,, ln f(x, y, z) = sin (x ( y) + arc tg z, P = 4, 6 ) 9,. 5. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P i w kierunku wektora v, jeśli (a) f(x, y) = x sin (y + x 3 ), P = ( 3, ) ( ), v =,, f(x, y, z) = x sin(y + z), P = (, 4, ), v = 4 (,, 6. Za pomocą różniczki funkcji dwóch zmiennych podaj przybliżoną wartość wyrażenia: (a),, 999 4, ).
12 , +, 7 arc tg, Oszacuj, o ile mogliśmy się pomylić obliczając pole powierzchni całkowitej ścian prostopadłościanu, jeśli krawędzie mierzyliśmy z dokładnością, mm i otrzymaliśmy wyniki mm, mm, 3 mm.. f x (, ) =, f y (, ) = 4, f x y (, ) = f y x (, ) = f x z y (7,, ) = (a) z = 4x + 4 ( y z = e x + e (y e), (c) z 3 = ( 3 3 x ), ) + 3 e (y e), (d) z = 4 ln 3(x ) + ln 3(y 4), (e) z = 8 ( x 4) + (y ). ( ) ln 4. (a) gradf (P ) = e, ln e, gradf (P ) = ( 3, 3 64, ). 5. (a) f v (P ) = 3, f v (P ) =. 6. (a), 997,,. Wskazówka: rozważyć funkcję f(x, y) = arc tg x+y xy. 7. f 4 mm. Część VII Ekstrema funkcji dwóch zmiennych. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji (a) f(x, y) = 4x 3 3xy + xy, f(x, y) = (x + y ) e y, (c) f(x, y) = ( x y 3 + 3y ) e x,
13 (d) f(x, y) = x n + y n nxy, gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną.. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f na zbiorze D, jeśli: (a) f(x, y) = y x + yx + x x, D = [, ] [, ], f(x, y) = (x + y ) e x, D = [ 3, ] [, ], (c) f(x, y) = x x + y + 4, D = {(x, y) R : x + y }. (d) f(x, y) = 3(x )y, D = {(x, y) R : x 4x + y }. 3. Wyznacz ekstrema lokalne funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) =, jeśli (a) f(x, y) = x y, g(x, y) = x y, f(x, y) = x ln ( x 4 y ), g(x, y) = xy.. (a) f(, ) = 8 maksimum lokalne właściwe, f(, ) = 8 minimum lokalne właściwe, f(, ) = minimum lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji), (c) f(, ) = minimum lokalne właściwe. Wskazówka: dla punktu P = (, ) zauważyć, że f x (P ) =, f 3 x (P 3 ), (d) f(, ) = n minimum lokalne właściwe. dla dla n parzystych przyjmowane także w punkcie (, ).. (a) M =, m = 9 4, M =, m = e, (c) M = 9 4, m = 9 8, (d) M = 3, m = (a) Minimum lokalne (i jednocześnie najmniejsza wartość) m = w punkcie (, ), minima lokalne właściwe (i najmniejsza wartość funkcji) równe w punktach (, ) i (, ). Część VIII Ogólne własności całek podwójnych. Zmień kolejność całkowania w całkach iterowanych: 3
14 (a) y dy f(x, y) dx, y dx x x Sporządź rysunek. f(x, y) dy.. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach (a) y = 5x, y = x, y =, y = 4x, xy =, (c) xy =, x + y + 7 =, (d) y = e x, y = x, x =, (e) y = sin x, y = x, (f) y = 3 x, y = x +, (g) y = e x, y = (e )x +. Sporządź rysunek. 3. Oblicz masę obszaru D o gęstości powierzchniowej σ, jeśli (a) D = {(x, y) R : } 3 x 4, sin x y, σ(x, y) = x, D jest ograniczony przez krzywe xy = 3, x + y 4 =, a σ(x, y) = y. Na płaszczyźnie zaznaczyć obszar D. 4. (a) dx f(x, y) dy + x dx x f(x, y) dy, dy y f(x, y) dx + dy y f(x, y) dx.. (a) 5 6, ln 7, (c) ln 5 + ln, (d) e ln, 4
15 (e) 4, (f) ln 3, (g) 3 e. 3. (a) , 4 3. Część IX Współrzędne biegunowe w całkach podwójnych. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz: 3 (a) y dxdy, jeśli D = {(x, y) R : y 3 x, x + y 9}, (c) D D D 3 x +y dx dy, jeśli D = { (x, y) R : x, y, x + y 4 }, ( x + y ) { dxdy, jeśli D = (x, y) R : } 3 x y, x + y 4. Obszar D zaznaczyć na płaszczyźnie.. Wprowadzając współrzędne biegunowe, oblicz masę obszaru D R o gęstości powierzchniowej σ(x, y), jeśli D jest ograniczony krzywymi: (a) y =, y = 3 x, x = y, x = 9 y, a σ(x, y) = x + y, 3 x =, y = 3 x, y = 4 x, y = 6 y, a σ(x, y) = x + y, (c) x =, y = 3 x, y = 4 x, a σ(x, y) = x. Obszar D zaznaczyć na płaszczyźnie.. (a) 9 3, ln 3, (c) (a) 6 9, 5
16 , ( ) (c) Część X Ogólne własności całek potrójnych. Zmień kolejność całkowania na dzdydx oraz dzdxdy w całce: (a) (c) (d) 4 dx +x dx dy +x 4 4y dy 4 y dy dy dz dz 4 x+y 3+ 3 x 3 y y 4 z f(x, y, z) dz, f(x, y, z) dz, f(x, y, z) dx, + 4 y+ 4 z f(x, y, z) dx. Sporządź rysunek obszaru całkowania.. Oblicz objętość obszaru w przestrzeni, ograniczonego przez powierzchnie: (a) z =, z = 8, x = 5 y, x = 3 + y, x =, y =, y = x, x + y + z =, x + y z =. Sporządź rysunek.. (a) (c) 4 dz dy + z 3 dz 4 dz 3 z 4 z +y z 4 f(x, y, z) dx, dz z 3 dy f(x, y, z) dx, dz dx +y+ 3 z + 3 z dy y 4 z 4 f(x, y, z) dx, dz 4 z dx f(x, y, z) dy, +x+ z dx +x 3 z x 4 z f(x, y, z) dy, f(x, y, z) dx, 6
17 (d) 4 dz. (a) 8, 3. 4 z 4 dy f(x, y, z) dx, dz dx + 4 y+ 4 z + 4 z Część XI Współrzędne walcowe 4+4x z f(x, y, z) dy.. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość obszaru U R 3, ograniczonego powierzchniami: (a) x + y z =, x + y z + =, x + y + z =, x + y z 6 =. Sporządź rysunek.. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, o gęstości objętościowej masy σ, jeśli: (a) σ(x, y, z) = x + y, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach 5 x + y + z =, z + 5 =, σ(x, y, z) = x + y, a obszar U jest wyznaczony przez powierzchnie o równaniach x + y z + =, x + y z =. Sporządź rysunek.. (a) 6 3, (a) 5 6, 6. Część XII Współrzędne sferyczne. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość obszaru U R 3, ograniczonego powierzchniami: (a) 3 z x + y =, z 9 x y =, 7
18 x + y z =, 9 x y z =, 4 x y z =. Naszkicować obszar całkowania.. Wprowadzając { współrzędne sferyczne, oblicz masę kuli K = (x, y, z) R 3 : x + y + z }, 4 o gęstości objętościowej masy σ(x, y, z) = z Oblicz masę obszaru U R 3, wyciętego z pierścienia kulistego P = {(x,, y, z) R 3 : x + y + z 4} przez stożek S = {(x,, y, z) R 3 : z = 3 x + y }, jeśli gęstość objętościowa masy σ(x, y, z) = 5(x + y + z ).. (a) 9,.. 9( ) ( 3). Część XIII Przekształcenie Laplace a. Niech a >. Wyznacz wzór na transformatę Laplace a funkcji { dla t < a (a) f(t) = dla a t, { t dla t < a f(t) = dla a t, t dla t < a (c) f(t) = t + a dla a t < a dla a t.. Za pomocą transformacji Laplace a rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y + 5y = t, y() = 5, y + 7y = 4t, y() = 7, (c) y + y y = 4e t, y() =, y () =, 8
19 (d) { x = 3x + y, y = x + y, { x() =, y() =. Uwaga: warto/sć transformacji (czyli transformata) Laplace a L ( t n e αt) n! (s) = (s α) n+, w tym L ( e αt) (s) = s α, L (tn ) (s) = n! s n+, L()(s) = s.. (a) F (s) = e as, s F (s) = e as s ae as, s (c) F (s) = e as + e as s.. (a) y(t) = 5 t, y(t) = 7 t, (c) y(t) = e t e t, { x(t) = te (d) t, y(t) = e t + te t. Część XIV Przekształcenie Fouriera. Wyprowadź z definicji wzór na transformatę Fouriera funkcji { dla t (a) f(t) = dla pozostałych t R, { gdy t f(t) = dla pozostałych t R.. (a) ˆf(s) = e si dla s R \ {}, si ˆf(s) = sin s dla s R \ {}. s 9
20 Część XV Powtórzenie. Korzystając między innymi z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu 3 n n szeregu potęgowego, oblicz a = 7 n. n=. Korzystając między innymi z twierdzenia o różniczkowaniu lub całkowaniu n n szeregu potęgowego, oblicz a = n 5 n+. n= 3. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = x sin ( x 3 + 4y ), w punkcie (x, y ) = ( 3, ) ( ) i w kierunku wersora v =,. 4. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu ( ) funkcji f(x, y) = tg (3x + y ) w punkcie (x, y ) =,. 5. Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f(x, y) = xy + xy + x x na kwadracie D = [, 4] [, ]. 6. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 5 + y 5 5xy. 7. Oblicz masę ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach xy = 6, x + y 8 =, jeśli gęstość powierzchniowa σ(x, y) = y. Naszkicować obszar D. 8. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach y =, x =, y = 3x, y + z =, y + z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x. 9. Wprowadzając współrzędne walcowe, oblicz objętość ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach x +y 4z =, x + y 4z + =. Naszkicować obszar U.. Wprowadzając współrzędne sferyczne, oblicz objętość ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach 3 z x + y =, z 9 x y =. Sporządź rysunek obszaru U.. Wyznacz { wzór na transformatę Laplace a funkcji t dla t < f(t) = dla t.
21 . Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y + y = 4e t, y() = 4. Uwaga: warto/sć transformacji (czyli transformata) Laplace a L ( t n e αt) n! (s) = (s α) n+, w tym L (eαt ) (s) = s α, L (t n ) (s) = n! s n+, L()(s) = s.. a = a = ln 5 ln 3 5 f 3. v (x, y ) = z = 4 (. y ) + x. 5. Zbiór możliwych ekstremów globalnych Z = { 9,,, 4}, największa wartość M = max Z =, najmniejsza m = min Z = Minimum lokalne właściwe f(, ) = M = M = U = U = 9.. F (s) = e s + e s s.. y(t) = 4e t. Część XVI Egzaminy Zestaw A. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego 7 n (3x + ) n. n=
22 . Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu ( funkcji f(x, y) = sin(x y) w punkcie (x, y, z ) =, ) 3, f (x, y ). 3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x 4 + y 4 + 4x 3y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. 4. Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. dy ln y f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach x + y z =, z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. 6. Wyprowadzić z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji dla t < f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = dla pozostałych t.. x = //3, R = //.. f x = cos(x y), f y = cos(x y), 3 f(, //3) =, f x (, //3) =, f y (, //3) =, 5, 3 z + = x ( y ) f x = 4x 3 + 4, f y = 4y 3 3, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = x y, W (, ) >, więc jest ekstremum, f xx (, ) >, więc minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 4. I = ln dx e x f(x, y) dy.
23 5. M = dϕ ( 4 = 4 dϱ 6 6 ϱ // ϱ 3 dz ) = F (s) = Zestaw B ( ) e st dt = (e s e s )//s = es se s.. Zbadaj zbieżność szeregu n= n + n + n Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = tg( x + y) ( w punkcie (x, y ) = 6, ) ( ) i w kierunku wersora v = 6,. 3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x 3 + x + y na trójkącie D R, wyznaczonym przez proste o równaniach x =, y =, y = x Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. dy arc sin y f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = 4 x y, z = x + y, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. 6. Wyprowadzić z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji e f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = t dla t < 3 dla pozostałych t.. n + n + n 4 +, szereg zbieżny (bezwzględnie). n 3
24 . f x = cos ( x + y), f y = cos ( x + y), f x (//6, //6) = 4//3, f y (//6, //6) = 8//3, f v (//6, //6) =. 3. brak punktów krytycznych, przy x = : f (y) = y, max =, min =, przy y = : f (x) = x 3 + x, max =, min =, przy y = x + : f 3 (x) = x 3 +, max =, min =. razem max =, min =. 4. I = // dx sin x f(x, y) dy. 5. M = = ( dϕ // //4 ) dψ 5 5 r 4 cos ψdr ( = 3 5 ( ) ). 6. F (s) = 3 e ( s)t dt = e3( s) e s. s 4
25 Zestaw C. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego (4x + ) n 8 n. n=. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu ( funkcji ) f(x, y) = cos(x 3y) w punkcie (x, y, z ) = 4,, f (x, y ). 3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x 3 + 3x xy + 5y 4y 3 przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. 4. Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. e dy ln( y) f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x + y, z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. 6. Wyprowadzić z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji dla t < 3 f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = dla pozostałych t.. x = //, R =.. f x = sin(x 3y), f y = 3 sin(x 3y), f(//4, ) =, f x (//4, ) =, f y(//4, ) = 3, ( z + = x ) 3 (y ) f x = 3x + 6x y, f y = x + y y,, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = 6x + 6 4y, W (, ) = 56 >, więc jest ekstremum, f xx (, ) >, więc minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 5
26 4. I = dx e x e f(x, y) dy. 5. M = = 3 dϕ dϱ ϱ ϱ dz (ϱ ϱ 3 )dϱ = (6//3 4) = F (s) = 3 e st dt = (e 3s e s )//s = es se 3s. Zestaw D. Zbadaj zbieżność szeregu n= n 4 + n + n Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg( x ( + y) ) w punkcie (x, y ) = (, ) i w kierunku wersora v =,. 3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji 6
27 f(x, y) = y 3 + x + y na trójkącie D R, wyznaczonym przez proste o równaniach x =, y =, y = x Zmień kolejność całkowania w całce I = Sporządź rysunek obszaru całkowania. dy arc cos y f(x, y) dx. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x y, z = 3 (x + y ), jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. 6. Wyprowadzić z definicji wzór na transformatę { Laplace a funkcji e f : [, ) R, określonej wzorami f(t) = t dla t < 4 dla pozostałych t.. a n, szereg rozbieżny. n. f x = + ( x + y) ), f y = + ( x + y) ), f x (, ) = //, f y (, ) = //, f (, ) = v. 3. brak punktów krytycznych, przy y = : f (x) = x, max =, min =, przy x = : f (y) = y 3 + y, max =, min =, przy y = x + : f 3 (y) = y 3 + y, max =, min =, razem max =, min =. 4. I = // dx cos x f(x, y) dy. 7
28 5. M = = ( dϕ // //3 ) 3 dψ 4 = r 3 cos ψdr ( ) F (s) = 4 Zestaw E e ( s)t dt = e4( s) e s. s. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Na podstawie środka x i promienia R wypisać ( ) n x + 8 n= wszystkie możliwe postacie przedziału I zbieżności tego szeregu.. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = ln(5x 4y) w punkcie (x, y, z ) = (e, e, f (x, y )). 3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x 8 + y 6 8x 6y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = 5x, y = x. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = 3x + 3y, z =, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y 5y =, y() =. Uwaga: jeśłi α R, to transformata Laplace a [ L ( e αt )] (s) = s α. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y(). 8
29 . x = 4, R = 5, (,5 p.) I to przedział o końcach -9 oraz (cztery możliwości). 5. f x = 5x 4y, f y = 4 5x 4y, f(e, e) =, (,5 p.) f x (e, e) = 5 e, f y(e, e) = 4 e z = 5 e (x e) 4 (y e). e 3. f x = 8x 7 8, f y = 6y 5 6, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = 56x6 3y 4, W (, ) >, więc jest ekstremum lokalne właściwe f x,x (, ) >, więc minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 4. P = = dy 5 y y dx 5. M = = dϕ dϱ 3ϱ ϱ dz (ϱ 3ϱ 4 )dϱ = ( ) = 7 5 9
30 6. sf 5F =, F = s 5, y = e 5t. Zestaw F. Zbadaj zbieżność szeregu n= cos n n + n 3.. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, y) = arc tg( x + 4y) w punkcie (x, y ) = (, ) i w kierunku wersora v = ( ) 3,. 3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = x 5 + x + y na trójkącie D R (liczonym razem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach x =, y =, y = x. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = e x, x =, y = x +. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x y, z = 3 x + y, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y y =, y() =. Uwaga: jeśłi n N = {,,, 3,...}, to transformata Laplace a [L()] (s) = s. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y().. a n n 3//, zbieżny (bezwzględnie). 3
31 . f x = + ( x + 4y), f 4 y = + ( x + 4y), f x (, ) =, f y (, ) = 4 f 3 v =. 3. brak punktów krytycznych przy y = : f (x) = x 5 + x +, max = 4, min = przy x = : f (y) = y, max =, min = przy y = x: f 3 (x) = x 5 + 3x, max = 4, min = razem max = 4, min = 4. P = dx e x x+ dy = + e + = e 3 5. M = dϕ 6 dψ r 4 cos ψdz = (, 5) 5 = 5 3
32 6. sf F = s, F = s, y =. Zestaw G. Wyznacz środek x oraz promień R przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Na podstawie środka x i promienia R wypisać ( ) n x 4 5 n= wszystkie możliwe postacie przedziału I zbieżności tego szeregu.. Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = e x+3y w punkcie (x, y, z ) = (ln, ln, f (x, y )). 3. Sprawdź, czy funkcja f(x, y) = x 6 + y 4 6x + 4y przyjmuje ekstremum lokalne w punkcie (x, y ) = (, ); w przypadku odpowiedzi pozytywnej, określ rodzaj ekstremum. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach x = y, y = x. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = 4x + 4y, z = 4, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne walcowe. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y + y =, y() =. Uwaga: jeśłi α R, to transformata Laplace a [ L ( e αt )] (s) = s α. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y().. x = 7, R =, 5, I to przedział o końcach 4,5 oraz 9,5 (cztery możliwości). 3
33 . f x = e x+3y, f y = 3e x+3y, f(ln, ln ) =, f x (ln, ln ) = 4, f y (ln, ln ) = 6 z = 4(x ln ) + 6(y ln ). 3. f x = 6x 5 6, f y = 4y 3 + 4, f x (, ) = f y (, ) =, więc warunek konieczny spełniony, W (x, y) = 3x4 y, W (, ) >, więc jest ekstremum lokalne właściwe f x,x (, ) >, minimum lokalne właściwe (równe f(, )). 4. P = dy y dx y = 3 = 6 5. M = = dϕ dϱ 4 4ϱ ϱ 3 dz (4ϱ 3 4ϱ 5 )dϱ = ( 4 ) = sf + F =, F = s +, 33
34 y = e t. Zestaw H. Zbadaj zbieżność szeregu n= 4 cos ( n ) n.. Wyznacz pochodną kierunkową funkcji f(x, ( y) = arc tg(4x y) w punkcie (x, y ) = (, ) i w kierunku wersora v = ) 3,. 3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f(x, y) = y 5 + y + x na trójkącie D R (liczonym razem z wnętrzem), wyznaczonym przez proste o równaniach y =, x =, y = x. 4. Oblicz pole ograniczonego obszaru D na płaszczyźnie, wyznaczonego przez krzywe o równaniach y = e x, x =, y = x +. Sporządź rysunek. 5. Oblicz masę ograniczonego obszaru U R 3, wyznaczonego przez powierzchnie o równaniach z = x y, z = 3 x + y, jeśli gęstość objętościowa σ(x, y, z) = x + y + z. Wskazówka: wykorzystaj współrzędne sferyczne. 6. Za pomocą przekształcenia Laplace a, rozwiąż zagadnienie początkowe y + y = 4, y() = 4. Uwaga: jeśłi n N = {,,, 3,...}, to transformata Laplace a [L()] (s) = s. Ponadto, [L(y )] (s) = s [L(y)] (s) y().. a n 3 n, rozbieżny (do ).. f y = + ( y + 4x), f 4 x = + ( y + 4x), f y (, ) =, f x (, ) = 4 ( p.) f 3 v =. 3. brak punktów krytycznych przy x = : f (y) = y 5 + y +, max = 4, min = przy y = : f (x) = x, max =, min = przy y = x: f 3 (y) = y 5 + 3y, max = 4, min = 34
35 razem max = 4, min = 4. P = = e 3 dx ex x+ dy 5. M = dϕ 3 dψ r 3 cos ψdz ( ) 3 = 4 = sf 4 + F = 4 s, F = 4 s, y = 4. 35
ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)
ANALIZA MATEMATYCZNA.B (7/8) ANALIZA MATEMATYCZNA.A,.A LISTA. (na ćwiczenia) Całki niewłaściwe Część A. Zadania do samodzielnego rozwiązania, czyli to, co należy umieć z poprzedniego semestru... Podać
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Lista zadań 3/4 Opracowanie: dr Marian Gewert, dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie. Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych całek niewłaściwych pierwszego rodzaju:
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowo(8) Oblicz wyznacznik dowolnie wybranej macierzy stopnia czwartego. (9) Rozwi aż podany układ równań stosuj ac wzory Cramera:
Zadania przygotowuj ace do kolokwium (budownictwo, studia niestacjonarne, drugi semestr, 209) [7III] () Podaj przykład dowolnej macierzy A drugiego stopnia Oblicz A A T + A T A (2) Podaj przykład dowolnej
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =
Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch i trzech zmiennych
Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R 2 = {(x, y) : x, y R} oznacza płaszczyznę, R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} przestrzeń. Odległość punktów będziemy określali następująco: P 1 P 0 = P 1 P 0 = (x 1
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoOkreślenie całki oznaczonej na półprostej
Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ) R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ) określamy wzorem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich
Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoSpis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.
Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu. Karta przedmiotu - Matematyka II Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej
Kod przedmiotu TR.NIK203 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowoMatematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK205 Nazwa przedmiotu Matematyka II Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 3. CAŁKA POTRÓJNA
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem 1 Całka potrójna po prostopadłościanie CAŁKA POTRÓJNA 2 Całka potrójna po obszarach normalnych Współrzędne walcowe 4 Współrzędne sferyczne
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU
9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu: Matematyka II
24.09.2013 Karta - Matematyka II Opis : Matematyka II Kod Nazwa Wersja TR.NIK203 Matematyka II 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoSpis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44
Księgarnia PWN: Ryszard Rudnicki, Wykłady z analizy matematycznej Spis treści Rozdział I. Wstęp do matematyki... 13 1.1. Elementy logiki i teorii zbiorów... 13 1.1.1. Rachunek zdań... 13 1.1.2. Reguły
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA
CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Analiza Matematyczna II dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 05/6 Pochodne i całki funkcji jednej zmiennej Zadanie Oblicz pierwszą i drugą pochodną następujących funkcji. f(x)
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowox y = 2z, + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,), Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia, 8, 5, Zad. 3. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y f(x, y) = ln(x3y ) y x
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zad.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, 4) (,). Zad.. Wykazać, że każda funkcja z(x, y) = x f ( ) y x, gdzie f jest funkcją różniczkowalną jednej zmiennej,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie ZETAW II Całka podwójna.. Obliczyć całki iterowane (a 4 4 2 ( (x + y ( 2 4 ( y x y dy dx y 3 x 2 + y 2 dx dy. 2. Zmienić kolejność całkowania (a (d 2 e ( 2x x
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
Bardziej szczegółowoLista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza
Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoZAKRESY NATERIAŁU Z-1:
Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla modułu zajęć
Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 Lista zadań
Analiza matematyczna Lista zadań Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Lista Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych pierwszego rodzaju: + ; (b) + ; (c) sin; (d) arcctg;
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowo