Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Transkrypt

1 Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja)

2 Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ), (, a >. Całkę f x dx określa się w następujący sposób: a a f x dx = lim t f x dx. Jeśli ta granica istnieje, to mówimy, że całka f x dx jest zbieżna, a w przeciwnym przypadku mówimy, że całka jest rozbieżna. rzykłady dx = lim t x t dx = lim t x t ln x = lim t ln t = dx = lim t x 2 t dx = lim x t x 2 t = lim t + = t Całka dx jest rozbieżna, a całka dx zbieżna. x x 2 a t

3 Całki niewłaściwe przedział ograniczony Rozpatrujemy funkcje określone na przedziale < a, b >, przy czym w którymś z końców lub w punkcie c (a, b) funkcja jest nieciągła. Skoncentrujemy się na przypadku, gdy zaburzenie ma miejsce w lewym końcu przedziału, tzn. w punkcie a. Całkę b a f x dx a b określa się w następujący sposób: f x dx = lim t a + f x dx. rzykłady x 2 dx = lim t 0 + x 2 dx = lim x t t x dx = lim t 0 + x dx = lim t x 0 t t b t = lim t 0 + t = t = lim t t = 2 Mówimy, że całka 0 dx x 2 jest rozbieżna, a całka 0 x dx zbieżna.

4 łaszczyzny i proste w przestrzeni Równanie Ax + By + Cz + D = 0, gdzie nie wszystkie A, B, C są równe zero nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny w przestrzeni R 3. Niech A = x, y, z, B = x 2, y 2, z 2 i niech punkt C = x, y, z należy do prostej AB. Wtedy wektor AC jest równoległy do wektora AB, tzn. x x, y y, z z = t x 2 x, y 2 y, z 2 z. Stąd otrzymujemy następujące równości: x x = t(x 2 x ) y y = t(y 2 y ) z z = t(z 2 z ) lub inaczej x = t x 2 x + x y = t y 2 y + y z = t z 2 z + z lub jeszcze inaczej (najczęściej spotykana postać) x x = y y = z z, x x x 2 x y 2 y z 2 z A = y y B = z z C Uwaga Jedna (lub dwie) spośród liczb A, B, C może być zerem, dzielenie przez zero jest niedopuszczalne, ale tutaj ma to znaczenie symboliczne. rzykład Znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez A = (,2,3), B = (,0,).

5 Zbieżność ciągów w R 2, R 3 x n, y n x 0, y 0 x n x 0 y n y 0 Na przykład ( n, + n n ) (0, e).

6 Ciągłość funkcji f: D R, D R 2 rzykład (rysunek, wzór funkcji ciągłej, funkcji nieciągłej). Definicja Funkcja f: D R, D R 2 jest ciągła w punkcie x 0, y 0, jeśli dla każdego ciągu x n, y n x 0, y 0, gdzie x n, y n D, zachodzi zbieżność f x n, y n f x 0, y 0.

7 Co to znaczy, że funkcja f: D R, D R 2 ma pochodną w punkcie? Załóżmy, że istnieją pochodne cząstkowe f x, f x w punkcie x 0, y 0. Wówczas funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, y 0 wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: lim ( x, y) (0,0) f x 0 + x, y 0 + y f x 0, y 0 f x x 0, y 0 x f y x 0, y 0 y x 2 + y 2 = 0

8 Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja f: D R posiada w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne (maksimum lokalne), jeśli dla każdego punktu (x, y) z pewnego otoczenia punktu (x 0, y 0 ) spełniona jest nierówność f(x, y) f(x 0, y 0 ) (f(x, y) f(x 0, y 0 )). Uwaga. rzez otoczenie punktu (x 0, y 0 ) rozumiemy zbiór o niepustym wnętrzu zawierający w swoim wnętrzu punktu (x 0, y 0 ). Najczęściej jako otoczenie będziemy rozważać prostokąt lub koło.

9 Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych (cd.) Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli funkcja f spełnia warunki: ma ekstremum lokalne w punkcie x 0, y 0, istnieją pochodne cząstkowe f x x 0, y 0, f y x 0, y 0, to f x x 0, y 0 = 0, f y x 0, y 0 = 0. Twierdzenie (warunek dostateczny istnienia ekstremum) Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu x 0, y 0 oraz niech: f x x 0, y 0 = 0, f y x 0, y 0 = 0, 2 f x 2 (x det 0, y 0 ) 2 f x y(x 0, y 0 ) 2 f x y(x 0, y 0 ) 2 f y 2 > 0 (x 0, y 0 ) Wtedy funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne i jest to minimum, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0 albo maksimum, gdy 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0. Uwaga. Gdy wyznacznik jest ujemny, to funkcja f nie ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalnego. Gdy wyznacznik jest równy zero, to badanie przeprowadzamy w inny sposób.

10 Ekstrema globalne funkcji dwóch zmiennych Dana jest funkcja f: D R, gdzie D R 2. rocedura szukania wartości największej lub najmniejszej funkcji f w zbiorze D jest podobna do procedury dla funkcji jednej zmiennej. Szukamy we wnętrzu zbioru D punktów, w których pochodne cząstkowe zerują się. Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach. Znajdujemy wartości największą i najmniejszą na brzegu zbioru D. Spośród wartości z powyższych punktów wybieramy wartość najmniejszą i wartość największą.

11 Definicja całki podwójnej po prostokącie Dana jest funkcja ciągła f: < a, b > < c, d > R. rostokąt < a, b > < c, d > będziemy nazywać. odziałem prostokąta nazywamy zbiór prostokątów,, n, których suma wynosi i które mają parami rozłączne wnętrza. Średnicą podziału nazywamy długość najdłuższej przekątnej i oznaczamy przez δ( ). W każdym prostokącie i wybieramy punkt pośredni (x i, y i ) i dla podziału tworzymy sumę całkową f(x i, y i ) x i y i, gdzie x i, y i to wymiary n i= prostokąta i. Definicja Niech f będzie funkcją ciągłą określoną na prostokącie. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie definiujemy wzorem f x, y dxdy n = lim δ() 0 f(x i, y i ) x i y i o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od podziału ani od wyboru punktów pośrednich. i=,

12 Wyniki kolokwium poprawkowego Nie zaliczyła jedna osoba. Kolokwium rozbójnik (3 czerwca) piszą:.ł. M.. (nr ), A.S. (nr 2). Egzamin 9 czerwca, godz , s.30

13 Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 ćwiczenia 4 (29 maja)

14 Całki potrójne Oblicz następujące całki potrójne: xdxdydz, gdzie V jest czworościanem V ograniczonym płaszczyzną o równaniu x + y + z = i płaszczyznami układu współrzędnych. (= /24) V xdxdydz (+x+y+z) 3, gdzie V jest czworościanem ograniczonym płaszczyzną o równaniu x + y + z = i płaszczyznami układu współrzędnych. (= /2(ln2 5/8))

15 Całki potrójne obliczanie masy Znajdź masę obszaru V = { x, y, z : (x, y) <,2 > < 2,3 >, x + y z x + y + } jeśli gęstość masy w punkcie (x, y, z) wynosi zy.

16 Zastosowania całek podwójnych geometria ola obszarów płaskich rzykład Obliczymy pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x 2 x, y = x. Objętości brył ograniczonych powierzchniami rzykład Obliczymy objętość bryły ograniczonej powierzchniami x 2 + y 2 =, x + y + z = 3, z = 0. ola powierzchni płatów określonych za pomocą równań i nierówności rawdziwy jest wzór ogólny: ole powierzchni wykresu funkcji f: D R, D R 2 wyraża się wzorem p = + f x D 2 + f y 2 dxdy Oczywiście należy założyć, że funkcja f jest różniczkowalna, rzykład ole powierzchni kuli o promieniu R.

17 Etapy definiowania całki krzywoliniowej I rodzaju i jej własności Interpretacja fizyczna dany pręt (krzywa ) oraz funkcja gęstości f(x, y), która określa gęstość pręta w punkcie (x, y); masę pręta określa całka krzywoliniowa pierwszego rodzaju, którą oznaczamy symbolem f x, y ds. γ n k= f( x k, y k ) s k dąży do granicy, którą oznaczamy f x, y ds. rzypadek : y = g(x), x [a, b], to f x, y ds γ γ b = f(x, g x ) + g (x ) a 2 rzypadek 2: arametryzacja krzywej: x = φ(t), y = y(t), t [a, b], wtedy γ f x, y ds = f(φ t, y t ) (φ t ) 2 +( t ) 2 dt b a dx

18 Etapy definiowania całki krzywoliniowej II rodzaju i jej własności Dx a b Jeśli szereg f x, y dx m γ n k= f( x k, y k ) x k jest zbieżny, to granicę tego szeregu oznaczamy. W podobny sposób można zdefiniować całkę skierowaną f x, y dy γ odstawowe własności całki krzywoliniowej skierowanej Niech AB oznacza krzywą łączącą punkt A z punktem B. Wtedy: x, y dx + Q x, y dy = x, y dx + Q x, y dy AB x, y dx + Q x, y dy = ( x, y dx + AB BA AB dx + Qdy = dx + Qdy AB AC AB Q x, y dx) + (dx + Qdy) CB x, y dx = 0, o ile AB to odcinek prostopadły do osi Ox. AB Q x, y dy = 0, o ile AB to odcinek prostopadły do osi Oy. AB.

19 Niezależność całki krzywoliniowej od drogi całkowania ze szkicem dowodu Twierdzenie Wartość całki krzywoliniowej skierowanej ( x, y dx + Q x, y dy) AB nie zależy od wyboru drogi (krzywej) łączącej punkty A i B wtedy i tylko wtedy, gdy Q x, y = x, y x y dla dowolnego punktu (x, y) należącego do obszaru D, w którym znajduje się krzywa łącząca punkt A z punktem B.

20 Dana jest funkcja ciągła f: < a, b > < c, d > < e, f > R. rostopadłościan < a, b > < c, d > < e, f > dzielimy na rozłączne wewnętrznie prostopadłościany,, n, zbiór tych prostopadłościanów nazywamy podziałem prostopadłościanu < a, b > < c, d > < e, f >. Średnicą podziału nazywamy długość najdłuższej przekątnej i oznaczamy przez δ( ). W każdym prostopadłościanie i wybieramy punkt (x i, y i, z i ) i dla podziału tworzymy sumę całkową n f(x i, y i, z i ) x i y i z i i= gdzie x i, y i, z i to wymiary prostopadłościanu i. Definicja Niech f będzie funkcją ciągłą określoną na prostopadłościanie =< a, b > < c, d > < e, f >. Całkę potrójną z funkcji f po tym prostopadłościanie definiujemy wzorem f x, y, z dxdydz n = lim δ() 0 f(x i, y i z i ) x i y i z i, o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od podziału ani od wyboru punktów pośrednich. i=

21 Uwaga dxdydz jest objętością. Twierdzenia o całce potrójnej po prostopadłościanie Twierdzenie Całka potrójna f x, y, z dxdydz istnieje dla dowolnej funkcji ciągłej f określonej na prostopadłościanie. Twierdzenie2 Jeśli funkcje f oraz g są całkowalne na prostopadłościanie, to f x, y, z + g x, y, z dxdydz f x, y, z g x, y, z dxdydz = f x, y, z dxdydz + g(x, y, z)dxdydz = f x, y, z dxdydz g(x, y, z)dxdydz cf(x, y, z)dxdydz = c f x, y, z dxdydz Twierdzenie 3 Jeśli prostopadłościan podzielimy na dwa prostopadłościany, 2 o rozłącznych wnętrzach, to f x, y, z dxdydz = f x, y, z dxdydz + f x, y, z dxdydz 2 Twierdzenie 4 (o zamianie całki potrójnej na całki iterowane) Jeśli funkcja f jest ciągła na prostopadłościanie =< a, b > < c, d >> < e, f >, to f x, y, z dxdydz f = f(x, y, z) dz a b c d e dy dx.