ANALIZA MATEMATYCZNA

Transkrypt

1 ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej 5 6.) Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych 5 7.) Najmniejsza i największa wartość funkcji 6 8.) Ekstrema funkcji uwikłanej 7 9.) Współrzędne biegunowe 7 10.) Całki podwójne 8 11.) Figury trójwymiarowe 9 12.) Całki potrójne (współrzędne walcowe) ) Równania różniczkowe pierwszego rzędu 12 1

2 Pochodne wzory : = = = = = = = = = = = = 1 = = = = Reguły znajdowania pochodnych: Pochodna funkcji złożonej: =h =h Pochodna iloczynu funkcji: =h =h + h Pochodna ilorazu funkcji: = =! "!! "! # 2

3 Całki wzory : $ %= & + '% 1 +1 $ 1 %=ln + ' $ %= +' $ %=+' $ %= + ' $ %= 1 + ' 1 $ + %= 1,-.+ ' 1 $ %=,-.+ '% < $ %= ' Reguły całkowania: Całka sumy: %= 4%+ 4% Całka różnicy: 45 6 %= 4% 4% Całka iloczynu stałej i funkcji: 45 6 %= 4% Całkowanie przez części: 4 %= 4 % Całkowanie przez podstawienie: 4 %= 4 %,%8 = 3

4 Kryteria zbieżności szeregów: Warunek konieczny: Jeżeli a n nie dąży do 0 to jest rozbieżny! 1.) Kryterium całkowe: : Jeśli a n = f(x) [zamiana n na x] malejący (f (x)<0) i 4 %<+ to a n jest zbieżny. 2.) Kryterium porównawcze: a n b n jeśli: a n jest rozbieżny to b n też, a jeśli b n jest zbieżny to a n też. 3.) Ilorazowe kryterium porównawcze: Dany a n, dobrać b n [najwyższe potęgi z a n ]. lim : = >? > >0 to oba są zbieżne/rozbieżne [zależy od b n]. 4.) Kryterium D Alemberta: [dla szeregów dodatnich; kiedy występuje silnia] Dla,=lim : = >BC = > r<1 zbieżny; r>1 rozbieżny; r=1 nierozstrzygnięte. 5.) Kryterium Cauchy ego: [dla szeregów dodatnich; kiedy występują dziwne potęgi ] > Dla,=lim : 2 r<1 zbieżny; r>1 rozbieżny; r=1 nierozstrzygnięte. 6.) Kryterium Leibnitza: [dla szeregów naprzemiennych] Zbieżny jeśli a n malejący (a n+1 -a n <0) i dążący do 0 (lim : =0) Szereg Dirichleta (harmoniczny): Przedział i promień zbieżności: : F E x 1 rozbieżny; x>1 zbieżny. λ=lim : H = >BC H, I= = > J -=, =0., [sprawdzić na końcach: podstawienie x=r i x=-r] K : Suma szeregu potęgowego: L= = C dla q <1 [po podstawieniu q otrzymuje się promień zbieżności] M Rozwijanie w szeregi: - Maclaurina dla q <1 [gdzie q wynosi coś razy x][po podstawieniu q otrzymuje się promień zbieżności] M - Taylora M dla q <1 [gdzie q wynosi coś razy (x-xo)][po podstawieniu q otrzymuje się promień zbieżności] Dla rozwinięcia wielu szeregów na raz, obliczyć promienie osobno i uwzględnić tylko najmniejszy. 4

5 Przybliżona wartość wyrażenia: f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) + f (x 0, y 0 ) x + f (x 0, y 0 ) y [Wybrać wartości x 0 i y 0; obliczyć x i y; napisać f(x,y); obliczyć f(x 0,y 0); znaleźć f x i f y; obliczyć f x (x 0,y 0) i f y (x 0,y 0) i podstawić] Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej: Wektor normalny: [obliczyć F x, F y i F z w danym punkcie] NOP=QR K,S K,8 K, R T K,S K,8 K,R U K,S K,8 K V=5,, 3 6 Płaszczyzna styczna: [podstawić do niego i przekształcić] n 1 (x-x 0 ) + n 2 (y-y 0 ) + n 3 (z-z 0 ) = 0 Prosta normalna: [podstawić wartości] = WS= 8= 3 lub X C = TT X # = UU X Y Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych: [Znaleźć f x i f y, przyrównać do 0. Rozwiązania (x,y) to punkty podejrzane o ekstremum] [Znaleźć f xx, f yy, f xy, f yx (f xy = f yx) i obliczyć ich wartości w punktach podejrzanych o ekstremum] Obliczyć wyznacznik: Z =[ T T TT [ W< 0 nie ma ekstremum, W > 0 jest ekstremum. Badanie ekstremum: f xx > 0 minimum lokalne, f xx < 0 maksimum lokalne [odp. wartość funkcji f w punktach gdzie jest ekstremum] 5

6 Najmniejsza i największa wartość funkcji: W trójkącie i prostokącie: - We wnętrzu: Obliczyć f x i f x i przyrównać do 0 [rozwiązać i podstawić do funkcji f] - Na bokach: Sprowadzić do funkcji jednej zmiennej, obliczyć pochodną i przyrównać do 0 [rozwiązać i podstawić do funkcji f] - W wierzchołkach: Podstawić wartość x i y dla wierzchołków do funkcji f. [Odp. Wartość najmniejsza i największa] W kole: - We wnętrzu: Obliczyć f x i f x i przyrównać do 0 [rozwiązać i podstawić do funkcji f] - Wzdłuż brzegu: Równanie brzegu podzielić na 2 łuki (+ i - ), sprowadzić do funkcji jednej zmiennej, obliczyć pochodną i przyrównać do 0. [rozwiązać i podstawić do funkcji f] Podstawić wartości x i y do funkcji f. [Odp. Wartość najmniejsza i największa] - W punktach, gdzie sklejają się łuki: 6

7 Ekstrema funkcji uwikłanej: y(x) = y i F(x,y) = 0 Pierwsza pochodna: S = ]" E =0 ] "^ [rozwiązanie da punkty podejrzane o ekstremum; najpierw obliczyć F x, F xx i F y] Druga pochodna: S ] EE ] ^ [podstawić wartości x i y z punktów podejrzanych o ekstremum] y > 0 minimum lokalne, y < 0 maksimum lokalne. [Odp. y(x)=y, podstawiając wartości x i y punktów, gdzie są ekstrema lokalne] Współrzędne biegunowe: _ T` S,,, _ x 2 + y 2 = r 2 Jakobian: J = r, S % %S b, _,, _ c %, %_ b 7

8 Całki podwójne: Zastosowania całek podwójnych: 1.) Pole powierzchni: d = 1 % %S b 2.) Objętość figury, której podstawa jest kołem, leżącym na płaszczyźnie x-y: Gdzie z = f(x, y) e,s% %S b 3.) Pole płata powierzchniowego: L f18 8 T % %S b 8

9 Figury trójwymiarowe: 1.) Sfera (x 0,y 0,z 0 ) to współrzędne środka sfery, a wartość r to promień. 8=2, S górna połowa sfery 8= 2, S dolna połowa sfery 2.) Stożek 8 = +S 8=2 +S górna połowa stożka 8= 2 +S dolna połowa stożka 9

10 3.) Paraboloida 8= +S paraboloida zwrócona do góry 8= S paraboloida zwrócona do dołu 4.) Walec +S =, 10

11 Całki potrójne (współrzędne walcowe): Objętość: e = % %S %8 h Sposób obliczania całki potrójnej przejście do współrzędnych walcowych. Współrzędne walcowe:, _ is, _ 88 x 2 + y 2 = r 2 Jakobian: J = r, S, 8% %S%8,_,,_, 8, %,%_%8 h h 11

12 Równania różniczkowe pierwszego rzędu: - o zmiennych rozdzielonych: S = S jt j = S jt!t =% 4 jt = 4 % [rozwiązać i przekształcić do formy y = ]!T - równania liniowe: S +ks= Krok 1: Równanie liniowe jednorodne S +ks=0 S = ks [równanie o zmiennych rozdzielonych, obliczyć jak powyżej] -> S= Krok 2: Uzmiennienie stałej S= S = + [obliczenie pochodnej iloczynu] [Następnie: podstawić w oryginalnym równaniu za y i y oraz przekształcić do formy c (x)= Potem obliczyć c(x) za pomocą całki i podstawić za uzmiennioną stałą. Odpowiedź to y= ] Całka ogólna występuje stała c. Cała szczególna nie ma stałej c, bo podany jest warunek początkowy za pomocą którego oblicza się wartość stałej c. 12