Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Transkrypt

1 Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje s siedztwo S(x 0, y 0 ) takie,»e dla dowolnego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówno± f(x, y) > f(x 0, y 0 ). Analogicznie, mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje s siedztwo S(x 0, y 0 ) takie,»e dla dowolnego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówno± f(x, y) < f(x 0, y 0 ). Uwaga 1. Je±li w powy»szej denicji zast pimy ostre nierówno±ci przez sªabe (tzn. f(x, y) f(x 0, y 0 ) lub f(x, y) f(x 0, y 0 )), to mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne lub maksimum lokalne. 2. Maksima i minima lokalne funkcji (wªa±ciwe lub niewªa±ciwe) nazwywamy ekstremami lokalnymi. 1

2 Przykªady Korzystaj c z denicji zbada, czy podane funkcje maj ekstrema lokalne we wskazanych punktach. 1. f(x, y) = 5 x + y + 1 w punkcie (0, 1), 2. f(x, y) = x 2 2y 2 w punkcie (0, 0). Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum) Je±li funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne i istniej pochodne cz stkowe f x (x 0, y 0 ) oraz f y (x 0, y 0 ), to f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. Uwaga 1. Punkty, w których obie pochodne cz stkowe si zeruj nazywamy stacjonarnymi (krytycznymi). 2. W powy»szym twierdzeniu implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Zerowanie si obu pochodnych cz stkowych pierwszego rz du funkcji nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego! Przykªadowo, funkcja f(x, y) = x 3 speªnia warunki f f (0, 0) = 0, (0, 0) = 0, ale nie ma w punkcie x y (0, 0) ekstremum lokalnego. Fakt Funkcja mo»e mie ekstreum lokalne tylko w punkcie stacjonarnym lub w punkcie, w którym przynajmniej jedna pochodna nie istnieje. Twierdzenie (warunek wystarczaj cy istnienia ekstremum) Niech funkcja f ma ci gªe pochodne cz stkowe drugiego rz du na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) oraz niech f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. 2

3 Je±li wyznacznik, zwany hessjanem, H(x 0, y 0 ) = x 2 (x 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) y x (x 0, y 0 ) > 0, y 2 (x 0, y 0 ) to funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne wªa±ciwe. Je±li 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja ma minimum lokalne wªa±ciwe. Je±li 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja ma maksimum lokalne wªa±ciwe. Uwaga Je±li hessjan H(x 0, y 0 ) jest ujemny, to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (x 0, y 0 ). Je±li hessjan H(x 0, y 0 ) = 0, to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x 0, y 0 ) musimy przeprowadzi innymi metodami (np. z denicji). Przykªady Znale¹ wszystkie ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych: 1. f(x, y) = xe y + 1 x + ey, 2. f(x, y) = xy + ln y + x 2, 3. f(x, y) = 8 x + x y + y. Ekstremum warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 to lokalnie najwi ksza lub najmniejsza warto± tej funkcji na zbiorze punktów speªniaj cych ten warunek. Formalnie zapiszemy to nast puj co: Denicja (ekstrema warunkowe) Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne wªa±ciwe z warunkiem g(x, y) = 0, gdy g(x 0, y 0 ) = 0 oraz istnieje s siedztwo S(x 0, y 0 ) takie,»e dla dowolnego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) speªniaj cego warunek g(x, y) = 0 zachodzi nierówno± f(x, y) > f(x 0, y 0 ). Analogicznie, funkcja f ma maksimum warunkowe, gdy zachodzi odwrotna nierówno±, tzn. f(x, y) < f(x 0, y 0 ). 3

4 Ekstremów lokalnych funkcji f dwóch zmiennych z warunkiem g(x, y) = 0 mo»na szuka nast puj co: 1. Krzyw Γ : g(x, y) = 0 dzielimy na ªuki, które s wykresami funkcji postaci y = h(x), gdzie x I lub postaci x = p(y), gdzie y J. 2. Szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej f(x, h(x)) na przedziale I lub funkcji f(p(y), y) na przedziale J. Przykªady Wyznaczy ekstrema podanych funkcji, których argumenty speªniaj podane warunki: 1. f(x, y) = x 2 + y 2, xy = 4, 2. f(x, y) = x 2 2xy, x y 2 = 0, 3. f(x, y) = 2x + 3y, x 2 + y 2 = 1. Do wyznaczenia ekstremum warunkowego mo»na te» u»y metody wspóªczynników (mno»ników) Lagrange'a. Przedstawimy j tutaj dla funkcji dwóch zmiennych. Metoda mno»ników Lagrange'a Deniujemy funkcj F (x, y, λ) = f(x, y) λ g(x, y) i rozwi zujemy ukªad równa«: F x (x, y, λ) = 0 F y (x, y, λ) = 0 g(x, y) = 0 Ka»dy punkt speªniaj cy ten ukªad równa«jest punktem, w którym mo»e, ale nie musi, istnie lokalne ekstremum warunkowe. Sprawdzenie warunku koniecznego polega na obliczeniu w ka»dym punkcie stacjonarnym hessjanu obrze»onego czyli: 0 g x g y H = det g x F xx F xy g y F yx F yy Je±li ten wyznacznik jest dodatni, to w danym punkcie stacjonarnym jest lokalne maksimum warunkowe, a je±li ujemny to lokalne minimum warunkowe. Przykªady Korzystaj c z metody mno»ników Lagrange'a wyznaczy ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 przy warunku 3x + 2y = 6. Przypomnijmy twierdzenie Weierstrassa: Twierdzenie Je±li f : [a, b] R jest funkcj ci gª, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja f osi ga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb c, d [a, b] zachodzi f(c) f(x) f(d) dla ka»dego x [a, b]. Uwaga Równie» w przypadku funkcji dwóch zmiennych twierdzenie Weiestrassa zachodzi i ka»da 4

5 ci gªa funkcja okre±lona na zbiorze domkni tym i ograniczonym w R 2 przyjmuje warto±ci ekstremalne. Denicja Niech A b dzie niepustym podzbiorem dziedziny funkcji f. 1. Mówimy,»e liczba m jest najmniejsz warto±ci funkcji f na zbiorze A, gdy istnieje punkt (x 0, y 0 ) A taki,»e f(x 0, y 0 ) = m (czyli warto± m jest w tym punkcie realizowana) oraz dla ka»dego (x, y) A zachodzi nierówno± f(x, y) m. Piszemy wtedy f min = m. 2. Mówimy,»e liczba M jest najwi ksz warto±ci funkcji f na zbiorze A, gdy istnieje punkt (x 0, y 0 ) A taki,»e f(x 0, y 0 ) = M (czyli warto± M jest w tym punkcie realizowana) oraz dla ka»dego (x, y) A zachodzi nierówno± f(x, y) M. Piszemy wtedy f max = M. Algorytm szukania ekstremów globalnych na obszarze domkni tym: Warto± najmniejsz i najwi ksz funkcji f dwóch zmiennych na ograniczonym obszarze domkni tym znajdujemy, post puj c wedªug algorytmu: 1. Na obszarze otwartym szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie ekstremum lokalne. 2. Na brzegu obszaru szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie ekstremum warunkowe. 3. Porównujemy warto±ci funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f na danym obszarze. Przykªady Znale¹ najmniejsze i najwi ksze warto±ci podanych funkcji na wskazanych obszarach. 1. f(x, y) = x 2 + y 2, D : x + y 2, 2. f(x, y) = xy 2 + 4xy 4x, D : 3 x 3, 3 y 0. Przykªady zagadnie«ekstremalnych w geometrii, zyce i technice: 1. W trójk cie o wierzchoªkach A = ( 1, 5), B = (1, 4), C = (2, 3) znale¹ punkt M = (x 0, y 0 ), dla którego suma kwadratów jego odlegªo±ci od wierzchoªków jest najmniejsza. 2. Jakie powinny by dªugo± a, szeroko± b i wysoko± h prostopadªo±ciennej otwartej wanny o pojemno±ci V, aby ilo± blachy zu»ytej do jej zrobienia byªa najmniejsza? 3. Znale¹ odlegªo± mi dzy prostymi sko±nymi: k : { x + y 1 = 0, z + 1 = 0. oraz l : { x y + 3 = 0, z 2 = Prostopadªo±cienny magazyn ma mie obj to± V = 216 m 3. Do budowy ±cian magazynu u»ywane s pªyty w cenie 30 zª/m 2, do budowy podªogi w cenie 40 zª/m 2, a sutu w cenie 20 zª/m 2. Znale¹ dªugo± a, szeroko± b i wysoko± h magazynu, którego koszt budowy b dzie najmniejszy. 5. Firma produkuje drzwi wewn trzne i zewn trzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zª i 1500 zª za sztuk. Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewn trznych i y sztuk drzwi zewn trznych 5

6 wynosi ( ) 1 K(x, y) = x2 + 2xy + y 2 Ile sztuk drzwi ka»dego rodzaju powinna wyprodukowa rma, aby osi gn jak najwi kszy zysk? [zª]. 6