Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych."

Transkrypt

1 Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje s siedztwo S(x 0, y 0 ) takie,»e dla dowolnego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówno± f(x, y) > f(x 0, y 0 ). Analogicznie, mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje s siedztwo S(x 0, y 0 ) takie,»e dla dowolnego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówno± f(x, y) < f(x 0, y 0 ). Uwaga 1. Je±li w powy»szej denicji zast pimy ostre nierówno±ci przez sªabe (tzn. f(x, y) f(x 0, y 0 ) lub f(x, y) f(x 0, y 0 )), to mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne lub maksimum lokalne. 2. Maksima i minima lokalne funkcji (wªa±ciwe lub niewªa±ciwe) nazwywamy ekstremami lokalnymi. 1

2 Przykªady Korzystaj c z denicji zbada, czy podane funkcje maj ekstrema lokalne we wskazanych punktach. 1. f(x, y) = 5 x + y + 1 w punkcie (0, 1), 2. f(x, y) = x 2 2y 2 w punkcie (0, 0). Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum) Je±li funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne i istniej pochodne cz stkowe f x (x 0, y 0 ) oraz f y (x 0, y 0 ), to f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. Uwaga 1. Punkty, w których obie pochodne cz stkowe si zeruj nazywamy stacjonarnymi (krytycznymi). 2. W powy»szym twierdzeniu implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Zerowanie si obu pochodnych cz stkowych pierwszego rz du funkcji nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego! Przykªadowo, funkcja f(x, y) = x 3 speªnia warunki f f (0, 0) = 0, (0, 0) = 0, ale nie ma w punkcie x y (0, 0) ekstremum lokalnego. Fakt Funkcja mo»e mie ekstreum lokalne tylko w punkcie stacjonarnym lub w punkcie, w którym przynajmniej jedna pochodna nie istnieje. Twierdzenie (warunek wystarczaj cy istnienia ekstremum) Niech funkcja f ma ci gªe pochodne cz stkowe drugiego rz du na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) oraz niech f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. 2

3 Je±li wyznacznik, zwany hessjanem, H(x 0, y 0 ) = x 2 (x 0, y 0 ) x y (x 0, y 0 ) y x (x 0, y 0 ) > 0, y 2 (x 0, y 0 ) to funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalne wªa±ciwe. Je±li 2 f x 2 (x 0, y 0 ) > 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja ma minimum lokalne wªa±ciwe. Je±li 2 f x 2 (x 0, y 0 ) < 0, to w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja ma maksimum lokalne wªa±ciwe. Uwaga Je±li hessjan H(x 0, y 0 ) jest ujemny, to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (x 0, y 0 ). Je±li hessjan H(x 0, y 0 ) = 0, to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x 0, y 0 ) musimy przeprowadzi innymi metodami (np. z denicji). Przykªady Znale¹ wszystkie ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych: 1. f(x, y) = xe y + 1 x + ey, 2. f(x, y) = xy + ln y + x 2, 3. f(x, y) = 8 x + x y + y. Ekstremum warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 to lokalnie najwi ksza lub najmniejsza warto± tej funkcji na zbiorze punktów speªniaj cych ten warunek. Formalnie zapiszemy to nast puj co: Denicja (ekstrema warunkowe) Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne wªa±ciwe z warunkiem g(x, y) = 0, gdy g(x 0, y 0 ) = 0 oraz istnieje s siedztwo S(x 0, y 0 ) takie,»e dla dowolnego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) speªniaj cego warunek g(x, y) = 0 zachodzi nierówno± f(x, y) > f(x 0, y 0 ). Analogicznie, funkcja f ma maksimum warunkowe, gdy zachodzi odwrotna nierówno±, tzn. f(x, y) < f(x 0, y 0 ). 3

4 Ekstremów lokalnych funkcji f dwóch zmiennych z warunkiem g(x, y) = 0 mo»na szuka nast puj co: 1. Krzyw Γ : g(x, y) = 0 dzielimy na ªuki, które s wykresami funkcji postaci y = h(x), gdzie x I lub postaci x = p(y), gdzie y J. 2. Szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej f(x, h(x)) na przedziale I lub funkcji f(p(y), y) na przedziale J. Przykªady Wyznaczy ekstrema podanych funkcji, których argumenty speªniaj podane warunki: 1. f(x, y) = x 2 + y 2, xy = 4, 2. f(x, y) = x 2 2xy, x y 2 = 0, 3. f(x, y) = 2x + 3y, x 2 + y 2 = 1. Do wyznaczenia ekstremum warunkowego mo»na te» u»y metody wspóªczynników (mno»ników) Lagrange'a. Przedstawimy j tutaj dla funkcji dwóch zmiennych. Metoda mno»ników Lagrange'a Deniujemy funkcj F (x, y, λ) = f(x, y) λ g(x, y) i rozwi zujemy ukªad równa«: F x (x, y, λ) = 0 F y (x, y, λ) = 0 g(x, y) = 0 Ka»dy punkt speªniaj cy ten ukªad równa«jest punktem, w którym mo»e, ale nie musi, istnie lokalne ekstremum warunkowe. Sprawdzenie warunku koniecznego polega na obliczeniu w ka»dym punkcie stacjonarnym hessjanu obrze»onego czyli: 0 g x g y H = det g x F xx F xy g y F yx F yy Je±li ten wyznacznik jest dodatni, to w danym punkcie stacjonarnym jest lokalne maksimum warunkowe, a je±li ujemny to lokalne minimum warunkowe. Przykªady Korzystaj c z metody mno»ników Lagrange'a wyznaczy ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 przy warunku 3x + 2y = 6. Przypomnijmy twierdzenie Weierstrassa: Twierdzenie Je±li f : [a, b] R jest funkcj ci gª, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja f osi ga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb c, d [a, b] zachodzi f(c) f(x) f(d) dla ka»dego x [a, b]. Uwaga Równie» w przypadku funkcji dwóch zmiennych twierdzenie Weiestrassa zachodzi i ka»da 4

5 ci gªa funkcja okre±lona na zbiorze domkni tym i ograniczonym w R 2 przyjmuje warto±ci ekstremalne. Denicja Niech A b dzie niepustym podzbiorem dziedziny funkcji f. 1. Mówimy,»e liczba m jest najmniejsz warto±ci funkcji f na zbiorze A, gdy istnieje punkt (x 0, y 0 ) A taki,»e f(x 0, y 0 ) = m (czyli warto± m jest w tym punkcie realizowana) oraz dla ka»dego (x, y) A zachodzi nierówno± f(x, y) m. Piszemy wtedy f min = m. 2. Mówimy,»e liczba M jest najwi ksz warto±ci funkcji f na zbiorze A, gdy istnieje punkt (x 0, y 0 ) A taki,»e f(x 0, y 0 ) = M (czyli warto± M jest w tym punkcie realizowana) oraz dla ka»dego (x, y) A zachodzi nierówno± f(x, y) M. Piszemy wtedy f max = M. Algorytm szukania ekstremów globalnych na obszarze domkni tym: Warto± najmniejsz i najwi ksz funkcji f dwóch zmiennych na ograniczonym obszarze domkni tym znajdujemy, post puj c wedªug algorytmu: 1. Na obszarze otwartym szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie ekstremum lokalne. 2. Na brzegu obszaru szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie ekstremum warunkowe. 3. Porównujemy warto±ci funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy najmniejsz i najwi ksz warto± funkcji f na danym obszarze. Przykªady Znale¹ najmniejsze i najwi ksze warto±ci podanych funkcji na wskazanych obszarach. 1. f(x, y) = x 2 + y 2, D : x + y 2, 2. f(x, y) = xy 2 + 4xy 4x, D : 3 x 3, 3 y 0. Przykªady zagadnie«ekstremalnych w geometrii, zyce i technice: 1. W trójk cie o wierzchoªkach A = ( 1, 5), B = (1, 4), C = (2, 3) znale¹ punkt M = (x 0, y 0 ), dla którego suma kwadratów jego odlegªo±ci od wierzchoªków jest najmniejsza. 2. Jakie powinny by dªugo± a, szeroko± b i wysoko± h prostopadªo±ciennej otwartej wanny o pojemno±ci V, aby ilo± blachy zu»ytej do jej zrobienia byªa najmniejsza? 3. Znale¹ odlegªo± mi dzy prostymi sko±nymi: k : { x + y 1 = 0, z + 1 = 0. oraz l : { x y + 3 = 0, z 2 = Prostopadªo±cienny magazyn ma mie obj to± V = 216 m 3. Do budowy ±cian magazynu u»ywane s pªyty w cenie 30 zª/m 2, do budowy podªogi w cenie 40 zª/m 2, a sutu w cenie 20 zª/m 2. Znale¹ dªugo± a, szeroko± b i wysoko± h magazynu, którego koszt budowy b dzie najmniejszy. 5. Firma produkuje drzwi wewn trzne i zewn trzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zª i 1500 zª za sztuk. Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewn trznych i y sztuk drzwi zewn trznych 5

6 wynosi ( ) 1 K(x, y) = x2 + 2xy + y 2 Ile sztuk drzwi ka»dego rodzaju powinna wyprodukowa rma, aby osi gn jak najwi kszy zysk? [zª]. 6

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAT1317

Analiza Matematyczna MAT1317 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)

Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu) Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 (Wydziaª Architektury) Lista 1: Funkcje dwóch zmiennych

Matematyka 2 (Wydziaª Architektury) Lista 1: Funkcje dwóch zmiennych Matematka 2 (Wdziaª Architektur) Lista : Funkcje dwóch zmiennch I Wznacz i narsowa dziedzin funkcji:. z = 3 2 5 2. z = sin(2 + 2 ) 2 + 2 3. z = arcsin(2 + 2 ) 2 + 2 4. z = 5. z = ln 2 2 + 2 4 2 ( ) 2 +

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

. 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n GAL II 2013-2014 A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna 1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów

Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema

1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych

Bardziej szczegółowo

1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych

1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 1 Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 1.1 Wzór Taylora Niech O R N zbiór otwarty. Niech f : O R funkcja klasy C r (tzn. ró»niczkowalna r razy i r te pochodne s ci gªe). Niech x, x 0 O, h = x x 0,

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb

( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie fajne równania

Ekstremalnie fajne równania Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych

Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej

Bardziej szczegółowo

Indeksowane rodziny zbiorów

Indeksowane rodziny zbiorów Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Zadania. 4 grudnia k=1

Zadania. 4 grudnia k=1 Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Przeksztaªcenia liniowe

Przeksztaªcenia liniowe Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)

Bardziej szczegółowo

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f. GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o

Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 7 Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Ekstremalnie maªe zbiory

Ekstremalnie maªe zbiory Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012

Podstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012 Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Rozważ funkcję f(x, y) = (x + y)(x + 6)( y 3) określoną na zbiorze R 2.

Zadanie 1. Rozważ funkcję f(x, y) = (x + y)(x + 6)( y 3) określoną na zbiorze R 2. Zadanie 1. Rozważ funkcję f(x, y) = (x + y)(x + 6)( y 3) określoną (ii) (3pt) Zbadaj, czy w punktach A = ( 3, 0), B = (1, 2), C = ( 6, 3) funkcja f ma maksimum lokalne. (iii) (2pt) Zbadaj, czy w punktach

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0 1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi

Róniczka. f x. V Vx. Zadanie 4. Znale maksymalny błd bezwzgldny i wzgldny powstały przy obliczaniu objtoci stoka, jeli promie podstawy wynosi Róniczka Wraenie d nazwa si róniczk pierwszego rzdu czci liniow przrostu wartoci unkcji Zastosowanie róniczki do oblicze przblionch: Zadanie Za pomoc róniczki oblicz przblion warto liczb Wkorzstam wzór

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów

*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów *** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki

Liczby zespolone Pochodna Caªka nieoznaczona i oznaczona Podstawowe wielko±ci zyczne. Repetytorium z matematyki Repetytorium z matematyki Denicja liczb zespolonych Wyra»enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi a i speªnia zale»no± i 2 = 1, nazywamy liczb zespolon. Liczb i nazywamy jednostk urojon, a iloczyn

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo