1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Transkrypt

1 10 1 Wykazać, że liczba jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych zaznaczyć zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne x, y) spełniają warunek log xy = log x log y 5 Naszkicować wykres funkcji danej wzorem: 1 + x 1 x fx) = x 1 + x + 1 x dla x 0 6 Naszkicować wykres funkcji fx) = x 4x 4 i na podstawie wykresu omówić jej własności Określić liczbę rozwiązań równania fx) = m w zależności od wartości parametru m Naszkicować wykres funkcji, która parametrowi m przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania 7 Naszkicować wykres funkcji fx) = log 1 x + 1 Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję gm) wyrażającą liczbę pierwiastków równania log 1 x + 1 = m w zależności od wartości parametru m R 8 Dane są funkcje fx) = x 1 oraz gx) = x + x + 1 Dla jakich x prawdziwa jest nierówność fx) < gx)? Zbadać parzystość funkcji hx) = fx) + gx) 1 9 Zbadać, czy istnieje taka wartość parametru m, dla której równanie ma dwa różne rozwiązania x + x 1 x x 1 + x x 1 x + x 1 = mx 4 10 Wyznaczyć te wartości rzeczywiste parametru m, dla których nierówność: ) [ ] x x + 4 m 1)x + m + 1)x + m 1 < 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x 11 Dla jakich wartości parametru α 0, π rozwiązaniem układu równań sin α 1)x + y = 1 sin α)x + sin α + 1)y = sin α jest para liczb nieujemnych? 1

2 1 Dla jakich wartości parametru α rozwiązaniem układu równań x sin α y cos α = 1 x cos α + y sin α = 0 jest punkt x, y) należący do krzywej o równaniu y = 1 x? 1 Dla jakich wartości parametru m układ x + y + x = m 1 x + y 4x 8y = m + m 19 ma dokładnie jedno rozwiązanie? 14 Wyznaczyć te wartości rzeczywiste parametru k, dla których okrąg opisany równaniem x + y + x 6y + k = 0 jest styczny do prostej o równaniu 4x + y + 5 = 0 15 Jednym z miejsc zerowych funkcji fx) = x +bx +cx+4 jest 5 Znaleźć pozostałe miejsca zerowe funkcji f wiedząc, że współczynniki b i c są liczbami wymiernymi 16 Rozwiązać równanie: + x ) + x ) = 4 17 Reszty z dzielenia wielomianu W x) przez wielomiany x 1 i x +x są równe odpowiednio x+ oraz x 1 Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W x) przez wielomian P x) = x + x x 18 Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu W x) = x 5 x 4 10x n + 1)x + 1nx + n o współczynnikach całkowitych wiedząc, że jednym z nich jest rozwiązanie równania x + x + x 5 + = 19 Dla jakich wartości parametru m R równanie ) x m)x + m 1 x = 0 ma trzy różne pierwiastki? 0 Suma wszystkich współczynników wielomianu P n x) jest równa lim n n ), a suma współczynników przy nieparzystych potęgach zmiennej równa jest sumie współczynników przy jej parzystych potęgach Wyznaczyć resztę Rx) powstałą z dzielenia wielomianu P n x) przez dwumian x 1 1 Obliczyć wartość wyrażenia: sin 18 + sin 7 ctg tg 00 Dla jakich wartości parametru k R równanie ma rozwiązanie? cos x + cos x = k

3 Rozwiązać równanie: 4 Rozwiązać równanie cos x + cos x 9 + = cos x + sin x = p + 4q + wiedząc, że p jest większym pierwiastkiem równania x + x = 5 1 n, natomiast q = lim n n 5n 5 Wyznaczyć wartość parametru α, dla którego pierwiastki x 1, x równania spełniają równość x 1 + x = 0 x x sin α cos α = 0 6 Kopano studnię Za pierwszy metr głębokości zapłacono 00 zł, a za każdy następny płacono o 0 zł więcej niż za poprzedni Łącznie za kopanie studni zapłacono zł Jaka jest głębokość tej studni? 7 Miary kątów wielokąta tworzą ciąg arytmetyczny, którego różnica równa się 4 Największy kąt ma miarę 17 Ile boków ma ten wielokąt? Ile ma przekątnych? Odpowiedzi uzasadnić a n a n 8 Obliczyć lim n a n + 1 wiedząc, że a n = n + 1 n n 1 n 9 Wykazać, że ciąg, którego n-ta suma częściowa S n wyraża się wzorem S n = 1 n+ jest n 1 ciągiem geometrycznym Zbadać monotoniczność tego ciągu 0 Wiadomo, że dla każdego x należącego do dziedziny funkcji y = fx) zachodzi warunek: 1 + fx) + f x) + = x 1, gdzie lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego Wyznaczyć wzór tej funkcji i jej dziedzinę 1 W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu szóstego do trzeciego wynosi 7, a suma kwadratów wyrazu drugiego i czwartego równa się 40 Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 64? Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny, równa jest pierwiastkowi równania logx 9) + log x 1 = Jeżeli do drugiej liczby dodamy, a pozostałe liczby pozostawimy bez zmiany, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego Znaleźć te liczby Ciąg a n } jest określony rekurencyjnie: a 1 = 8, a n+1 = a n +, n N Podać i uzasadnić wzór ogólny na a n Obliczyć granicę: lim n n + )! n + 1)! n! a 1 + a + + a n )

4 4 Wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego a n } są dodatnimi liczbami całkowitymi Suma pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 4, a ich iloczyn Wyznaczyć największą liczbę naturalną n, dla której wyrazy ciągu a n } spełniają nierówność 5 Obliczyć wartość wyrażenia: 6 Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa pierwiastki różnych znaków? a 1 + a + + a n 50 log log 5 log 5 50 x m 1)x 4 m 1 m ) = 0 7 Rozwiązać równanie: 8 Rozwiązać równanie 9 x 6 x 1 1 = lim n ) n 4n n log x + x + x + = log4x 15) 4 9 Rozwiązać równanie 4 cos x sin x = 0, x 0, π 40 Obliczyć sumę wszystkich liczb naturalnych n podzielnych przez, które spełniają nierówność log n) + log 4 4n) + log 8 8n) < Rozwiązać nierówność: 4 Rozwiązać nierówność log 8 x 6x+9) < log x x 1 [ )] x 1 log log x + 1 < log 1 [ log 1 )] x + 1 x 1 4 Rozwiązać nierówność x x x + log 7 log x 4 log x log + < 0 44 Miejscami zerowymi funkcji fx) = kx x x + l są liczby i Napisać wzór tej funkcji, zbadać jej monotoniczność i obliczyć ekstrema Poprowadzono styczną do wykresu tej funkcji, która odcina na dodatniej półosi OX odcinek dwukrotnie mniejszy niż na dodatniej półosi OY Znaleźć równania wszystkich stycznych o tej własności 45 Dla jakich wartości parametru k R, funkcja fx) = x kx + kx 4 jest rosnąca w R? 46 Do wykresu funkcji fx) = x x + bx + c należy punkt P = 1, ) Styczna do wykresu w punkcie P ma współczynnik kierunkowy równy 1 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale, 4

5 47 Czy istnieje liczba a R, dla której funkcja dana wzorem fx) = jest ciągła w punkcie x =? Odpowiedź uzasadnić x 8 x, gdy x a, gdy x = 48 Dla jakich wartości parametru a funkcja f dana wzorem x +4 fx) = x, gdy x 0 a, gdy x = 0 jest ciągła w punkcie x = 0? 49 Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f, gdy fx) = 1 x4 6x + x 0x Dla jakich wartości parametru a wierzchołek paraboli y = x + ax + 1 jest odległy od stycznej do tej paraboli w punkcie o odciętej x = 0 o 5 5? POWODZENIA!!! 5