Funkcje dwóch zmiennych
|
|
- Dominik Rosiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy funkcja dwóch zmiennych i zapisujemy w postaci z = f x; y). Zbiór punktów x; y; z) z przestrzeni R takich, ze x; y) 2 D oraz z = f x; y) nazywamy wykresem funkcji f. Mówimy, ze ciag punktów P n ) n2n o wspó rzednych x n ; y n ) da zy do punktu P 0 o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) jeśli lim x n = x 0 i jednocześnie lim y n = n! n! y 0 czyli odleg ość q d P n ; P 0 ) = x n x 0 ) 2 + y n y 0 ) 2 da zy do zera przy n!. Mówimy, ze funkcja f x; y) określona na pewnym sasiedztwie S punktu P 0 o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) ma w tym punkcie granice g, jeśli dla dowolnego ciagu punktów P n ) n2n o wspó rzednych x n ; y n ), zbie znego do punktu P 0, lim f x n; y n ) = g. n! Funkcje f x; y) określona na pewnym obszarze D nazywamy ciag a w punkcie P 0 2 D, jeśli posiada w tym punkcie granice równa f x 0 ; y 0 ), czyli dla dowolnego ciagu punktów P n ) n2n o wspó rzednych x n ; y n ), da z acego do P 0, lim f x n; y n ) = f x 0 ; y 0 ). n! Funkcja f x; y) jest ciag a w obszarze D gdy jest ciag a w ka zdym punkcie tego obszaru.
2 Pochodne czastkowe funkcji dwóch zmiennych Za ó zmy, ze f x; y) jest funkcja dwóch zmiennych, G R 2 zbiorem otwartym oraz p = p ; p 2 ), Pochodna czastkow a w punkcie p funkcji f : G! R wzgl edem i-tej osi nazywamy pochodna w punkcie 0 funkcji jednej zmiennej) ' t) = f p + t! e i ). Mo zemy mówić o dwóch pochodnych czastkowych oznaczanych symbolami f 0 x p) i f 0 y p), przy czym oraz f 0 x p) = lim f p + t; p 2 ) f p ; p 2 ) t f 0 y p) = lim f p ; p 2 + t) f p ; p 2 ) t Pierwsza pochodna czastkow a wzgledem x funkcji dwóch zmiennych f x; y) jest funkcja dwóch zmiennych, która ka zdemu punktowi p 2 G o wspó rz ednych x; y) przyporzadkowuje liczb e f 0 x x; y) = f 0 x p). Przyk ady:. Pochodnymi czastkowymi funkcji f x; y) = x 2 +y w punkcie p = 0; 0) sa liczby oraz f 0 x 0; 0) = lim t 2 t = 0 f 0 t y 0; 0) = lim t =. Pierwsza pochodna czastkow a funkcji f x; y) = x 2 + y jest funkcja zaś druga - funkcja f 0 x x; y) = lim x + t) 2 + y x 2 y t f 0 y x; y) = lim x 2 + y + t x 2 y t = 2x =. 2. Pochodna czastkow a funkcji f x; y) = x cos y wzgledem zmiennej x jest funkcja f 0 x x; y) = x 2 cos y zaś wzgledem zmiennej y - funkcja f 0 y x; y) = x sin y 2
3 . Rozwa zmy funkcje f x; y) = ln xy 2 ) określona na zbiorze G = fx; y) 2 R 2 : x > 0; y > 0g. Wówczas, dla dowolnego x; y) 2 G oraz f 0 x x; y) = xy 2 y2 = x f 0 y x; y) = xy 2 2xy = 2 y. Pochodne czastkowe pochodnych czastkowych funkcji wielu zmiennych nazywamy pochodnymi czastkowymi drugiego rz edu tej funkcji. Funkcja dwóch zmiennych f x; y) mo ze wiec mieć w danym punkcie p cztery pochodne czastkowe drugiego rz edu oznaczane symbolami xx p) xy p) yx p) yy p) Przyk ad: 4. Pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji f x; y) = x cos y znajdujemy obliczajac obie pochodne czastkowe funkcji f 0 x x; y) oraz obie pochodne czastkowe funkcji f 0 y x; y). Zatem xx x; y) = f 0 x) 0 x x; y) = x2 cos y = 6x cos y 0x xy x; y) = f 0 x) 0 y x; y) = x2 cos y 0 yx x; y) = f 0 y yy x; y) = f 0 y 0 x x; y) = x sin y 0 y = x = 0 y x; y) = x sin y 0 y = x2 sin y x2 sin y x cos y Twierdzenie Schwartza). Je zeli funkcja f x; y) określona na pewnym obszarze otwartym ma w tym obszarze obie pochodne mieszane xy i yx i pochodne te sa ciag e w pewnym punkcie P 0, to xy P 0 ) = yx P 0 )
4 Ekstrema funkcji dwóch zmiennych Mówimy, ze funkcja dwóch zmiennych f, określona na obszarze D, ma w punkcie P 0 2 D o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) minimum lokalne, jeśli istnieje otczenie D 0 D punktu P 0 takie, ze dla dowolnego punktu x; y) 2 D 0 f x; y) > f x 0 ; y 0 ). Analogicznie - funkcja f ma w x 0 ; y 0 ) maksimum lokalne, jeśli f x; y) 6 f x 0 ; y 0 ) dla dowolnego punktu x; y) pewnego otoczenia D 0 punktu x 0 ; y 0 ). Jeśli w powy zszych nierównościach wyst epuj a nierówności ostre, to mówimy o minimum maksimum) w aściwym. Twierdzenie. warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli funkcja dwóch zmiennych f ma w punkcie x 0 ; y 0 ) obie pochodne czastkowe i ekstremum lokalne, to f 0 x x 0 ; y 0 ) = 0 oraz f 0 y x 0 ; y 0 ) = 0. atwo zauwa zyć, ze funkcja f x; y) = xy ma w punkcie 0; 0) obie pochodne czastkowe równe zero, ale nie ma w tym punkcie ekstremum lokalnego. Rzeczywiście f 0; 0) = 0 i w ka zdym otoczeniu punktu 0; 0) znajduja sie punkty, dla których wartość funkcji jest dodatnia obie wspó rz edne tego samego znaku) oraz punkty, w których wartość funkcji jest ujemna wspó rz edne ró znych znaków) Twierdzenie 2. warunek wystarczajacy istnienia ekstremum) Jeśli funkcja dwóch zmiennych f x; y) ma ciag e pochodne czastkowe pierwszego i drugiego rzedu w otoczeniu punktu P 0 o wspó rzednych x 0 ; y 0 ) oraz spe nione sa warunki: ) f 0 x x 0 ; y 0 ) = 0 i f 0 y x 0 ; y 0 ) = 0 2) W x 0 ; y 0 ) = xx x 0 ; y 0 ) xy x 0 ; y 0 ) yx x 0 ; y 0 ) yy x 0 ; y 0 ) > 0, to funkcja f ma w punkcie P 0 ekstremum w aściwe. Jeśli xx x 0 ; y 0 ) < 0, to funkcja ma w P 0 maksimum w aściwe, jeśli zaś xx x 0 ; y 0 ) > 0 - minimum w aściwe. Jeśli W x 0 ; y 0 ) < 0, to funkcja f nie ma w P 0 ekstremum. Jeśli W x 0 ; y 0 ) = 0 - twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ekstremum. 4
5 Przyk ady : 5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji fx; y) = x y + xy: Dziedzina funkcji f jest zbiór R 2 : Niech x; y) 2 R 2. Obliczamy pochodne czastkowe pierwszego rz edu funkcji f : fxx; 0 y) = x 2 + y; fyx; 0 y) = y 2 + x: Badamy warunek konieczny istnienia ekstremum: fxx; 0 y) = 0 fyx; 0 y) = 0 ) x 2 + y = 0 y 2 + x = 0 ) x 2 + y = 0 y 2 + x = 0: Z drugiego równania otrzymujemy x = y 2 : Podstawiajac ten warunek do pierwszego równania, otrzymujemy y 4 + y = 0, czyli yy + ) = 0: Zatem y = 0 lub y = ; a stad odpowiednio x = 0 lub x = : Punktami stacjonarnymi funkcji f sa wiec punkty 0; 0) oraz ; ): Badamy warunek wystarczajacy istnienia ekstremum. pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji f : Wyznaczamy Badamy wartość wyró znika xxx; y) = 6x; xyx; y) = ; yyx; y) = 6y: W x; y) = xxx; y) yyx; y) xyx; y)) 2 w wyznaczonych punktach stacjonarnych: W 0; 0) = 9 < 0; zatem w punkcie 0; 0) funkcja f nie ma ekstremum. W ; ) = 27; zatem w punkcie ; ) funkcja f ma ekstremum. Poniewa z fxx; 00 ) = 6 > 0; wi ec w punkcie tym jest minimum lokalne, które wynosi f min ; ) = : 5
6 6. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji gx; y) = 2x y 2 )e 2x : Rozwiazanie: Dziedzina funkcji g jest zbiór R 2 : Niech x; y) 2 R 2. Obliczamy pochodne czastkowe pierwszego rz edu funkcji g : g 0 xx; y) = 2e 2x + 2x y 2 ) 2e 2x ) = e 2x 2 4x + 2y 2 ); g 0 yx; y) = 2ye 2x : Badamy warunek konieczny istnienia ekstremum: gxx; 0 y) = 0 gyx; 0 y) = 0 ) e 2x 2 4x + 2y 2 ) = 0 2ye 2x = 0: Poniewa z dla ka zdej liczby rzeczywistej x spe niona jest nierówność e 2x > 0; wiec uk ad przyjmuje postać 2 4x + 2y 2 = 0 y = 0: Podstawiaj ac drugi warunek do pierwszego równania, otrzymujemy 2 4x = 0; a stad x = : Zatem punktem stacjonarnym funkcji g jest 2 ; 0. 2 Badamy warunek wystarczajacy istnienia ekstremum. pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji g : g 00 xxx; y) = 2e 2x 2 4x + 2y 2 ) + e 2x 4) = = e 2x 8 + 8x 4y 2 ); g 00 xyx; y) = 4ye 2x ; g 00 yyx; y) = 2e 2x : Badamy wartość wyró znika W x; y) = g 00 xxx; y) g 00 yyx; y) g 00 xyx; y)) 2 w wyznaczonym punkcie stacjonarnym: Wyznaczamy W ; 0 = 8e 2 ; zatem w punkcie ; 0 funkcja g ma ekstremum. 2 2 Poniewa z gxx 00 ; 0 = 4e < 0; wiec w punkcie tym jest maksimum 2 lokalne, które wynosi g max ; 0 = : 2 e 6
7 7. Zadanie: Znaleźć odleg ość punktu P o wspó rz ednych 2; 0; 0) od powierzchni S opisanej równaniem x 2 + y 2 = z 2, a tak ze wspó rzedne punktu tej powierzchni le z acego najbli zej punktu P. Rozwiazanie: Odleg ość punktu M o wspó rz ednych x; y; z) od punktu P wynosi d MP = q x 2) 2 + y 2 + z 2. Jeśli punkt M le zy na powierzchni S, to x 2 + y 2 = z 2, wiec q d MP = x 2) 2 + y 2 + x 2 + y 2 = p 2x 2 + 2y 2 4x + 4: Dla u atwienia rachunków, znajdziemy ekstremum funkcji określajacej kwadrat takiej odleg ości, czyli funkcji f x; y) = 2x 2 + 2y 2 4x + 4. Pochodne czastkowe pierwszego rz edu funkcji f wynosza f 0 x = 4x 4 oraz f 0 y = 4y, zatem ekstremum mo ze znajdować si e w punkcie ; 0). Poniewa z xx = 4, yy = 4 oraz xy = 0, wi ec w punkcie tym funkcja f ma minimum równe 2. Szukana odleg ość wynosi zatem p p 2, zaś wspó rzedne punktów powierzchni S le z acych w odleg ości 2 od punktu P : x =, y = 0 i z = lub. Najmniejsza i najwieksza wartość funkcji w zbiorze Podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, wartość funkcji wielu zmiennych osiagana w punktach stacjonarnych mo ze nie być najmniejsza ani najwi eksz a wartości a tej funkcji w jej dziedzinie. Co wi ecej, funkcja taka mo ze w ogóle nie osiagać wartości najmniejszej i najwi ekszej. Jednak - podobnie jak w przypadku funkcji jednej zmiennej - prawdziwe jest nast epujace twierdzenie: 7
8 Twierdzenie. Funkcja ciag a wielu zmiennych, określona na ograniczonym zbiorze domkni etym, jest ograniczona oraz osiaga wartość najmniejsza i najwieksz a. Aby znaleźć najwi eksz a i najmniejsza wartość funkcji f posiadajacej pochodne czastkowe drugiego rz edu w ograniczonym i domkni etym zbiorze D post epujemy nast epuj aco: a) znajdujemy punkty le z ace we wnetrzu zbioru D, w których pierwsze pochodne czastkowe funkcji f przyjmuja wartość zero i obliczamy wartość funkcji f w tych punktach; b) wyznaczamy najmniejsza i najwieksz a wartość funkcji f na brzegu zbioru D oraz c) porównujemy te wartości. Przyk ad: 8. funkcji Zadanie: Wyznaczyć najmniejsza i najwieksz a wartość f x; y) = 2x + 4x 2 + y 2 2xy w obszarze domknietym ograniczonym liniami y = x 2 i y = 4. Rozwiazanie: a) Znajdujemy punkty stacjonarne funkcji f. Pierwsze pochodne czastkowe wynosza: f 0 x x; y) = 6x 2 + 8x 2y oraz f 0 y x; y) = 2y 2x. Obie pochodne zeruja sie w punktach 0; 0) i ; ). Zaden z tych punktów nie le zy we wnetrzu obszaru D. b) Szukamy najmniejszej i najwi ekszej wartości funkcji f na odcinku y = 4, x 2 [ 2; 2]. Badamy wiec funkcje jednej zmiennej Poniewa z g x) = f x; 4) = 2x + 4x 2 8x + 6. g 0 x) = 6x 2 + 8x 8, funkcja g mo ze mieć ekstremum w punkcie x = 2 lub x 2 = 2. Musimy te z zbadać wartości funkcji f na uku y = x 2 dla x 2 [ 2; 2]. Tym razem badamy funkcj e h x) = f x; x 2 = x 4 + 4x 2. 8
9 Funkcja ma miejsce zerowe w punkcie x = 0. h 0 x) = 4x + 8x c) Aby znaleźć najwieksz a i najmniejsza wartość funkcji f x; y) w danym zbiorze, musimy porównać wartości f 2; 4) ; f 2; 4), f 2; 4 oraz f 0; 0). Ostatecznie f min = 0 = f 0; 0) oraz f max = 2 = f 2; 4) = f 2; 4). 9. Zadanie: W trójkacie o wierzcho kach 0; 0), 0; ) i ; 0) znaleźć punkt o tej w asności, ze suma kwadratów odleg ości od tego punktu do wierzcho ków trójkata jest najmniejsza. Rozwiazanie: Suma kwadratów odleg ości od punktu o wspó rz ednych x; y) do wierzcho ków trójkata jest równa f x; y) = x 2 + y 2 + x 2 + y ) 2 + x ) 2 + y 2 = x 2 + y 2 2y 2x + 2. a) Szukamy punktów stacjonarnych funkcji f x; y) we wnetrzu trójkata. Pochodne czastkowe pierwszego rz edu badanej funkcji wynosza f 0 x x; y) = 6x 2 i f 0 y x; y) = 6y 2 zeruja sie zatem w punkcie o wspó rzednych ;. Wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4. b) Na odcinku y = 0 dla x 2 [0; ] nasza funkcja przyjmuje postać g x) = x 2 2x + 2. Pochodna funkcji g zeruje sie w punkcie x = oraz g = f ; 0 = 5. Ponadto g 0) = f 0; 0) = 2 oraz g ) = f ; 0) =. Na odcinku x = 0 dla y 2 [0; ] nasza funkcja przyjmuje postać h y) = f 0; y) = y 2 2y + 2. Poniewa z wzór na funkcje h jest analogiczny do wzoru na funkcje g, wnioskujemy, ze na tym odcinku funkcja ma wartość najmniejsza 5 a najwieksz a. Wreszcie na odcinku y = x dla x 2 [0; ] nasza funkcja przyjmuje postać k x) = f x; x) = 6x 2 6x + i ma minimum w punkcie oraz k 2 2 = f ; 2 2 =. 2 c) Ostatecznie f min = f ; = 4. 9
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowo1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoRównania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".
Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoZestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
Bardziej szczegółowoMatematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011
Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna
Bardziej szczegółowoWyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.
Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2. Ćwiczenia
Analiza Matematyczna. Ćwiczenia Bogdan Balcerzak 4 Spis treści RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA. Ca ka oznaczona................................... Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej....................3
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP
Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoWykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34
Wykład 13 Informatyka Stosowana 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 13 14.01.2019, M.A-B 1 / 34 Pochodne z funkcji elementarnych c = 0 (x n ) = nx n 1 (a x ) = a x ln a,
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoPOCHODNA KIERUNKOWA. DEFINICJA Jeśli istnieje granica lim. to granica ta nazywa siȩ pochodn a kierunkow a funkcji f(m) w kierunku osi l i oznaczamy
POCHODNA KIERUNKOWA Pochodne cz astkowe funkcji f(m) = f(x, y, z) wzglȩdem x, wzglȩdem y i wzglȩdem z wyrażaj a prȩdkość zmiany funkcji w kierunku osi wspó lrzȩdnych; np. f x jest prȩdkości a zmiany funkcji
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowoII semestr. Jan Kubarski
II semestr Jan Kubarski 0. Funkcje wielu zmiennych, granice De nition 0.. Ka zd a funkcje f : A! R określona na podzbiorze A R n nazywamy funkcja n-zmiennych. Np. Funkcja f (x; y) xy jest funkcja zmiennych,
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoBadanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +
Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowof (x)=mx 2 +(2m 2)x+m+1 ma co najmniej jedno
Zadanie 1 x 2 2mx+4m 3=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ; 1) (3 ; ) Zadanie 2 mx 2 +(2m 2) x+m+1=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ;0) (0; 1 3 ) Zadanie 3 ma jeden pierwiastek? Odp: m = -2, m =
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ
WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ Dana jest populacja generalna, w której dwuwymiarowa cecha (zmienna losowa) (X, Y ) ma pewien dwuwymiarowy rozk lad. Miara korelacji liniowej dla zmiennych (X, Y
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA
ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA Andrzej FRYSZKOWSKI SZCZECIN, 27 MARCA 2014 Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA 2014 1 / 25 BROSZURA OMG I (2005/2006) (opracowanie: Joanna
Bardziej szczegółowoWykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym
Wykład 6. Matematyka 2, semestr letni 2010/2011 Brak fragmentu dotyczącego twierdzenia o odwzorowaniu odwrotnym Niechf: R n RbędziefunkcjąróżniczkowalnąnapewnymobszarzeO R 2.Przyjrzyjmy się zbiorowi f
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II. Narz ¾edzia matematyczne. f 0 (x) = 0. f (x) = 5. f 0 (x) = ax a 1 = ax a 1. f (x) = p x = x 1 2. d (bf(x)) dx.
Mikroekonomia II Narz edzia matematczne Pochodne. Funkcja sta a f () = b f 0 () = 0 f () = 5 f 0 () = 0 2. Funkcja wk adnicza f () = a f 0 () = a a = a a f () = p = 2 f 0 () = 2 2 = 2 2. Funkcja logartmiczna
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 4 MARCA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Ile jest liczb x należacych
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowo1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach
1 Rekodowanie w podgrupach i obliczanie wartości w podgrupach Czasami chcemy rekodować jedynie cz ¾eść danych zawartych w pewnym zbiorze. W takim przypadku stosujemy rekodowanie z zastosowaniem warunku
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoTest numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 2001 ROKU. Czas trwania egzaminu: 180 min.
Test numer xxx EGZAMIN PISEMNY Z MATEMATYKI DLA KANDYDATÓW NA KIERUNEK MATEMATYKA 5 LIPCA 001 ROKU Czas trwania egzaminu: 180 min Liczba zadań: 30 Każde zadanie sk lada sie z trzech cześci Odpowiedź do
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 7 Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka kredytowego
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
Analiza Matematyczna MAEW MAP67 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 4 Funkcje wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania 4.: Wyznaczyć
Bardziej szczegółowo