Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Transkrypt

1 Zjazd 2

2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (warunek trójkata). Zamiast pierwszego warunku, można założyć 1 "(1 )"d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y.

3 Przykłady Przestrzenie metryczne Liczby rzeczywiste R, d(x, y) = y x. Przestrzeń n-wymiarowa R n z metryka euklidesową, n d e (x, y) = i=1 (y i x i ) 2. Przestrzeń n-wymiarowa R n z metryka maksimum, d m (x, y) = max i=1,...,n { y i x i }. Przestrzeń n-wymiarowa R n z metryka taksówkowa, d t (x, y) = n i=1 y i x i.

4 Przykłady Przestrzenie metryczne Niech X będzie dowolnym zbiorem. Metryka dyskretna na X nazywamy funkcję: { 1 gdy x y, d(x, y) = 0 gdy x = y. Funkcje ciagłe na odcinku [a, b], d(f, g) = sup{ g(x) f(x) : x [a, b]}.

5 Przekształcenie f : X Y nazywamy ciagłym jeśli spełnia następujacy warunek: dla każdego x 0 X oraz dla każdego ǫ > 0 istnieje δ > 0 taka, że dla dowolnego x X d(x 0, x) < δ = d(f(x 0 ), f(x)) < ǫ Niech (X, d) będzie przestrzenia metryczna. Mówimy, że ciag {x n } n=1 jest zbieżny do punktu p X jeśli ǫ > 0 N N takie, że [n N = d(x n, p) < ǫ].

6 Punkt p X nazywamy punktem granicznym zbioru A jesli istnieje ciag {x n } n=1 zawarty w A którego granica jest p. Oczywiście, punkt graniczny zbioru A nie musi neleżeć do A. Na przykład, jeśli X = R, zaś A = (0, 1), to 0 i 1 sa punktami granicznymi zbioru A, które nie należa do A. Podzbiór A przestrzeni metrycznej X nazywamy domkniętym jeśli zawiera wszystkie swoje punkty graniczne.

7 Niech x 0 X będzie ustalonym punktem, zaś r > 0 liczba rzeczywista. Kula otwarta o środku w punkcie x 0 i promieniu r: B(x 0, r) = {x X d(x, x 0 ) < r} Kula domknięta o środku w punkcie x 0 i promieniu r: B(x 0, r) = {x X d(x, x 0 ) r} Sfera o środku w punkcie x 0 i promieniu r: S(x 0, r) = {x X d(x, x 0 ) = r}

8 Na płaszczyźnie, zbiory te wygladaj a w sposób następujacy:

9 Podzbiór E X nazywamy otwartym, jeśli dla każdego x E istnieje r > 0 takie, że B(x, r) E.

10 Twierdzenie Zbiór pusty i cała przestrzeń sa zbiorami otwartymi. Ponadto suma dowolnej liczby i przecięcie skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Twierdzenie Funkcja jest ciagła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest zbiorem otwartym.

11 Uwaga: Zbiór (0, 1] zawarty w R nie jest ani otwarty ani domknięty. Zwiazek otwartości i domkniętości: Twierdzenie Podzbiór A przestrzeni metrycznej X jest domknięty, wtedy i tylko wtedy gdy jego dopełnienie jest otwarte.

12 Domknięciem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów granicznych zbioru A. Domknięcie zbioru A oznaczamy przez A. Ponieważ każdy punkt p A jest punktem granicznym zbioru A (jako granica ciagu stałego, którego każdy wyraz równa się p), mamy A A.

13 Wnętrzem zbioru A nazywamy zbiór {x A ǫ > 0 takie, że B(x,ǫ) A} Zbiór ten oznaczamy przez int A. Na płaszczyźnie z metryka euklidesowa, wnętrzem kuli domkniętej jest kula otwarta zas domknięciem kuli otwartej jest kula domknięta.

14 Podzbiór A przestrzeni metrycznej X nazywamy gęstym, jeśli A = X. Przykład: iczby wymierne Q zawarte w R. Twierdzenie (twierdzenie Weierstrassa) W przestrzeni funkcji ciagłych na odcinku [0,1] z metryka supremum, zbiór funkcji wielomianowych jest gęsty.

15 Brzegiem A nazywamy zbiór: bd A = A X \ A Uwaga: brzeg zależy od otaczajacej przestrzeni: brzegiem odcinka (0, 1] jako podzbioru R jest zbiór {0, 1}. brzegiem zbioru (0, 1] {0} w R 2 jest zbiór [0, 1] {0}.

16 Niech A będzie podzbiorem przestrzeni metrycznej X. Średnica zbioru A (oznaczenie diam A) nazywamy liczbę diam A = sup d(x, y) x,y A o ile A, zaś liczbę 0 w przeciwnym przypadku. Zatem diam [0, 1] = diam(0, 1) = 1, zaś diam R =.

17 Podzbiór K przestrzeni metrycznej X nazywamy zwartym, jeśli każdy ciag punktów przestrzeni K posiada podciag zbieżny do pewnego puntku p K. Przestrzeń dyskretna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona. Odcinek (0, 1) nie jest zwarty. Z ciagu a n = 1 n nie da się wybrać podciagu zbieżnego w tej przestrzeni.

18 Twierdzenie Odcinek I = [0, 1] jest zwarty. Dowód Niech będzie dany dowolny ciag nieskonczony a n. Dzielimy odcinek I na dwie równe części: [0, 1 2 ] oraz [1 2, 1]. Przynajmniej w jednej z tych części leży nieskończenie wiele wyrazów tego ciagu. Wybierzmy ja (lub jedna z nich jeśli obie spełniaja ten warunek) i oznaczmy przez I 1. Otrzymany odcinek dzielimy na dwie części i powtarzamy procedurę otrzymujac I 2.

19 Mamy więc I I 1 I 2..., I n = 1 2 n Następnie wybieramy podciag ciagu a n który oznaczamy przez b n, taki, że b 1 I 1, b 2 I 2,... Z konstrukcji wynika, że jest to ciag Cauchy: dla n, m N mamy b n b m sup x,y I N x y = I N = 1 2 N, skoro I n, I m I N. Zatem ciag {b n } jest zbieżny w R. Jednocześnie z konstrukcji wynika, że jego granica należy do I.

20 Twierdzenie Zwarta przestrzeń metryczna X jest ograniczona. Dowód Nie wprost. Załóżmy, że X nie jest ograniczona. Niech x 0 X. Dla każdego n 1 możemy wybrać x n X, taki, że d(x n, x 0 ) n. Taki ciag nie ma podciagu zbieżnego: Załóżmy, że lim k x nk = p. Wtedy dla nieskończenie wielu wyrazów ciagu x n mielibyśmy d(x 0, x n ) d(x 0, p) + 1, co jest sprzeczne z wyborem ciagu x n. W ostatniej nierówności zastosowaliśmy nierówność trójkata do punktów x 0, x n i p dla n = n k i odpowiednio dużych k.

21 Twierdzenie Każdy zwarty podzbiór przestrzeni metrycznej jest domknięty. Twierdzenie Domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty. Twierdzenie Niech X i Y będa przestrzeniami metrycznymi, zaś f przekształceniem ciagłym. Wtedy, jeśli A jest zwarta podprzestrzenia X, to f(a) jest zwarta podprzestrzenia Y.

22 Twierdzenie Jeśli (X, d X ) oraz (Y, d Y ) sa zwartymi przestrzeniami metrycznymi, zaś w iloczynie kartezjańskim wprowadzimy metrykę d((x 1, y 1 ),(x 2, y 2 )) = [d X (x 1, x 2 )] 2 + [d Y (y 1, y 2 )] 2, to X Y jest przestrzenia zwarta.

23 Twierdzenie (Twierdzenie Heinego-Borela) Podzbiór X przestrzeni R n jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony. Dowód Załóżmy, że podprzestrzeń X jest zwarta. Z rezultatów powyżej wynika, że X jest zbiorem ograniczonym i domkniętym. Załóżmy teraz, że X jest zbiorem ograniczonym i domkniętym. Skoro X jest ograniczony, więc leży w pewnej kostce [ M, M] n gdzie M jest odpowiednio duża liczba rzeczywista. Kostka jest zbiorem zwartym na mocy powyższego twierdzenia, a więc X, jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest przestrzenia zwarta.