7. Nierówno Schwarza. 3. Ci gi i szeregi 1. Ci g liczbowy, zbie no, granica ci gu. 2. Tw. o granicach ci gu (sumy itd.). Tw. o zachowaniu relacji w gr

Transkrypt

1 Analiza Matematyczna - Informatyka Lista tematów na egzamin ustny UWAGA: W odpowiedzi nale y poda stosowne definicje i przyk ady, oraz wykaza si zrozumieniem tematu. 1. Logika, teoria mnogo ci, zbiory liczbowe 1. Rachunek zda : zdania logiczne, funktory zdaniotwórcze, matryca logiczne, tautologia, prawa rachunku zda, warunek konieczny i dostateczny, zdanie odwrotne i przeciwstawne. 2. Prawa de Morgana. 3. Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory, prawa de Morgana dla rachunku kwantyfikatorów. 4. Metody dowodzenia twierdze : wprost, dowód tw. przeciwstawnego, dowód przez sprzeczno. Dowodzenie równowa no ci. 5. Zawieranie, suma, iloczyn, ró nica zbiorów. Dope nienie zbioru, podzbiór, zbiór pusty i pe ny. Diagramy Eulera (lub Venna) dla zbiorów. Moc zbioru. 6. Zbiór pot gowy. Moc zbioru pot gowego. 7. Zasada indukcji matematycznej. 8. Zbiory ograniczone, kres górny i dolny zbioru. Aksjomat ci g o ci. 9. Równoliczno zbiorów, przeliczalno zbioru, ℵ 0, przeliczalno zbioru liczb wymiernych. 2. Relacje, funkcje, przestrzenie metryczne 1. Relacja, w asno ci ró nych relacji (zwrotno, przeciwzwrotno, symetryczno, antysymetryczno, przechodnio ). 2. Relacja równowa no ci. Klasy abstrakcji. 3. Relacja porz dku, relacja porz dku cis ego. 4. Funkcja, dziedzina, przeciwdziedzina, surjekcja, injekcja, bijekcja, parzysto, nieparzysto, okresowo. 5. Funkcja odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Ga funkcji odwrotnej. 6. Metryka, metryka euklidesowa, miejska, dyskretna. Metryka silniejsza, s absza, równowa na. Przestrze metryczna. Kule. 1

2 7. Nierówno Schwarza. 3. Ci gi i szeregi 1. Ci g liczbowy, zbie no, granica ci gu. 2. Tw. o granicach ci gu (sumy itd.). Tw. o zachowaniu relacji w granicy. 3. Ci g monotoniczny. Tw. o ci gu monotonicznym i ograniczonym. 4. Tw. o trzech ci gach. 5. Definicja ci gowa liczby e. 6. Funkcja wyk adnicza i logarytm. 7. Suma cz ciowa ci gu, szereg. Warunek konieczny zbie no ci szeregu, zbie no bezwzgl dna i warunkowa. 8. Szeregi: geometryczny, harmoniczny, anharmoniczny. 9. Kryterium porównawcze zbie no ci szeregu. 10. Kryteria d'alamberta, Cauchy'ego 11. Szereg znakozmienny i kryterium Leibniza. 12. Szereg pot gowy, tw. Abela, promie zbie no ci, tw. Cauchy'ego-Hadamarda. 13. Tw. Riemanna o zmianie kolejno ci sumowania szeru zbie nego warunkowo. 14. Iloczyn Cauchy'ego szeregów. 4. Ci g o funkcji 1. Otoczenie, s siedztwo, punkt skupienia, punkt wewn trzny, punkt izolowany, punkt brzegowy, zbiór otwarty, domkni ty, ograniczony. Wn trze i domkni cie zbioru. 2. Def. Heinego granicy funkcji. Ci g o funkcji w punkcie, funkcja ci g a. 3. Granice jednostronne i niew a ciwe funkcji. 4. Def. Cauchy'ego granicy funkcji. 5. Tw. o przeciwobrazie zbioru otwartego (domkni tego) wzgl dem funkcji ci g ej. 6. Tw. o trzech funkcjach. 7. Asymptoty: pozioma, pionowa, uko na. 8. Tw. Darboux. 9. Ekstrema lokalne i globalne. 2

3 5. Ró niczkowalno 1. Pochodna funkcji w punkcie, funkcja pochodna. Interpretacja geometryczna. Monotonicznos a znak pochodnej. 2. Pochodna iloczynu funkcji. 3. Pochodna funkcji z o onej. 4. Pochodn funkcji odwrotnej. 5. Pochodne wy szych rz dów, wzór Leibniza. 6. Warunek konieczny ekstremum lokalnego funkcji ró niczkowalnej. 7. Tw. Taylora z reszt postaci Lagrange'a. Zastosowania. 8. Szereg Taylora, warunek dostateczny istnienia szeregu Taylora. 9. Szeregi Taylora funkcji wyk adniczej i trygonometrycznych. 10. Funkcje hiperboliczne i ich w asno ci. 11. Warunki dostateczne istnienia ekstremum lokalnego funkcji ró niczkowalnej. 12. Wypuk o i wkl s o funkcji dwukrotnie ró niczkowalnej, punkty przegi cia. 13. Regu a de L'Hospitala. 6. Ca ki jednej zmiennej 1. Ca ka nieoznaczona i jej w asno ci. 2. Ca kowanie przez cz ci. 3. Ca kowanie przez podstawienie. 4. Ca kowanie funkcji wymiernych. 5. Ca kowanie funkcji niewymiernych. 6. Ca ka Riemanna. Podstawowe tw. rachunku ca kowego. 7. Zastosowania ca ki Riemanna. 8. Pole i obj to bry y obrotowej. 9. Ca ki niew a ciwe. 10. Kryterium ca kowe zbie no ci szeregu. 3

4 7. Analiza funkcji wielu zmiennych 1. Przestrze wektorowa. 2. Norma. Przestrze wektorowa unormowana. Iloczyn skalarny. 3. Odwzorowanie liniowe. 4. Pochodna cz stkowa. 5. Pochodna Frécheta. 6. Pochodna kierunkowa. Gradient. 7. Pochodna Frécheta funkcji z o onej. 8. Wzór Taylora dla wielu zmiennych. 9. Warunek konieczny ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych. 10. Warunek dostateczny ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych. 11. Punkt siod owy. 8. Analiza wielowymiarowa c.d. 1. Homeomorfizm, k-wymiarowa powierzchnia. Powierzchnia g adka. 2. Krzywe sto kowe. 3. Krzywizna krzywej p askiej. 4. Ca ka Riemanna wielowymiarowa. 5. Ca ka iterowana. Tw. Fubiniego. 6. Ca ka podowolnym obszarze. 7. Zmiana zmiennych ca kowania. Jakobian. 8. Zastosowania ca ek wielokrotnych. 9. Podstawowe uk ady wspó rz dnych: biegunowy, cylindryczny, sferyczny. 10. P aszczyzna styczna. 11. Orientacja bazy, wektor normalny, powierzchnie orientowalne, orientacja zgodna. 12. Ca ka krzywoliniowa zorientowana i niezorientowana, tw. Greena. 13. Ca ka powierzchniowa niezorientowana, tw. Gaussa. 14. Ca ka powierzchniowa zorientowana, tw. Stokesa. 4

5 9. Równania ró niczkowe zwyczajne 1. Równanie o zmiennych rozdzielonych. 2. Sprowadzanie pewnych równa do postaci o zmiennych rozdzielonych przez podstawienie. 3. Równanie liniowe jednorodne i niejednorodne. Metoda uzmienniania sta ej. 4. Oscylator harmoniczny. 5. Równanie populacji. 10. Elementy analizy fourierowskiej 1. Szereg Fouriera. 2. Transformata Fouriera. 5