Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
|
|
- Emilia Szewczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz dla każdego zbioru liniowo niezależnego Y V takiego, że X Y jest X = Y. Definicja 7.1. Każdy maksymalny liniowo niezależny podzbiór X wektorów przestrzeni liniowej V nazywamy baza tej przestrzeni. Twierdzenie 7.2. Każdy liniowo niezależny zbiór wektorów X 0 przestrzeni liniowej V można rozszerzyć do bazy X X 0 tej przestrzeni. Dowód. Niech A bedzie rodzina wszystkich podzbiorów liniowo niezależnych przestrzeni V zawierajacych zbiór X 0. Wtedy A =, bo X 0 A. Ponadto zbiór A jest cześciowo uporzadkowany przez inkluzje zbiorów. Jeżeli B jest lańcuchem w A, tzn. dla dowolnych Y, Z B jest Y Z lub Z Y, to Y 0 = Y B Y też jest zbiorem liniowo niezależnym, gdyż dla dowolnych α 1,..., α n Y 0 istnieja Y 1,..., Y n B takie, że α i Y i dla i = 1,..., n. Wtedy istnieje k n takie, że Y i Y k dla każdego i = 1,..., n, skad α 1,..., α n Y k. Ale zbiór Y k jest liniowo niezależny, wiec zbiór {α 1,..., α n } też jest liniowo niezależny. Zatem w A każdy lańcuch ma ograniczenie górne, wiec z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje w A element maksymalny X, który jest szukana baza przestrzeni V zawierajac a X 0. Ponieważ zbiór pusty jest liniowo niezależny, wiec z twierdzenia 7.2 mamy natychmiast nastepuj ace Twierdzenie 7.3. Każda przestrzeń liniowa posiada baz e. Twierdzenie 7.4. Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Zbiór X V jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz V = lin(x) (tzn. X generuje V ). Dowód. Za lóżmy, że X jest baza przestrzeni V. Wówczas X jest zbiorem liniowo niezależnym. Weźmy dowolne α V i za lóżmy, że α lin(x). Wtedy z twierdzenia 6.30 wynika, że α X oraz zbiór X {α} jest liniowo niezależny. Zatem X nie jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym i mamy sprzeczność. Na odwrót, za lóżmy, że zbiór X jest liniowo niezależny oraz V = lin(x). Weźmy dowolny liniowo niezależny zbiór Y V taki, że X Y. Gdyby X Y, to dla pewnego α Y by loby, że α X i zbiór X {α} Y jest liniowo niezależny. Zatem z twierdzenia 6.30 mielibyśmy, że α lin(x) = V, co prowadzi do sprzeczności. Zatem X = Y i zbiór X jest baza przestrzeni V. Przyk lad 7.5. Ponieważ zbiór {1, x, x 2,... } generuje przestrzeń R[x] i jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia 7.4 jest on baza tej przestrzeni. 1
2 Przyk lad 7.6. Niech n N. Wówczas z twierdzenia 7.4 oraz z przyk ladów 6.16 i 6.23 wynika od razu, że zbiór {ε 1,..., ε n } jest baza przestrzeni R n. Nazywamy ja baza kanoniczna. Z twierdzeń 6.17, 7.11 i 7.16 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie 7.7. Niech α 1,..., α n bed a parami różnymi wektorami i niech β 1,..., β n bed a parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Za lóżmy, że uk lad wektorów (β 1,..., β n ) powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych. Wówczas zbiór {β 1,..., β n } jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {α 1,..., α n } jest baza tej przestrzeni. Twierdzenie 7.8. Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas każdy maksymalny (wzgledem liczby elementów) podzbiór liniowo niezależny A {α 1,..., α n } jest baza podprzestrzeni lin(α 1,..., α n ). Dowód. Niech A {α 1,..., α n } bedzie maksymalnym (wzgledem liczby elementów) podzbiorem liniowo niezależnym. Wówczas oczywiście lin(a) lin(α 1,..., α n ) = W. Niech i = 1,..., n. Jeśli α i A, to α i lin(a); jeśli zaś α i A, to z maksymalności A wynika, że zbiór A {α i } jest liniowo zależny. Zatem z twierdzenia 6.30 α i lin(a). Stad {α 1,..., α n } lin(a), czyli W lin(a) i ostatecznie lin(a) = W. Zatem z twierdzenia 7.4 zbiór A jest baza podprzestrzeni W. Twierdzenie 7.9. Niech α 1,..., α n bed a parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor α V można jednoznacznie zapisać w postaci α = a 1 α a n α n dla pewnych a 1,..., a n R. Dowód. Za lóżmy, że zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V. Wówczas z twierdzenia 7.4 mamy, że V = lin(α 1,..., α n ) oraz zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem dla dowolnego α V istnieja a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Jeśli b 1,..., b n R sa takie, że α = b 1 α b n α n, to a 1 α a n α n = b 1 α b n α n, czyli (a 1 b 1 ) α (a n b n ) α n = θ, wiec z liniowej niezależności zbioru {α 1,..., α n } mamy, że a i b i = 0, czyli a i = b i dla i = 1,..., n. Na odwrót, jeżeli a 1,..., a n R sa takie, że a 1 α a n α n = θ, to a 1 α a n α n = 0 α α n, skad z jednoznaczności zapisu wektora a i = 0 dla i = 1,..., n, czyli zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Ponadto z za lożenia V = lin(α 1,..., α n ), wiec z twierdzenia 7.4 zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V. Definicja Niech {α 1,..., α n } bedzie baza przestrzeni liniowej V. Wówczas ciag (α 1,..., α n ) nazywamy baza uporzadkowan a przestrzeni V. Niech α V. Wtedy na mocy twierdzenia 7.9 istnieje dok ladnie jeden ciag (a 1,..., a n ) R n taki, że α = a 1 α a n α n. Ciag (a 1,..., a n ) nazywamy ciagiem wspó lrzednych wektora α w bazie (α 1,..., α n ), a element a i, dla każdego i = 1,..., n, nazywa sie i-ta wspó lrz edn a wektora α w tej bazie. 2
3 Wniosek Niech V bedzie przestrzenia liniowa i niech, dla pewnej liczby naturalnej n, (α 1,..., α n ) bedzie baza uporzadkowan a tej przestrzeni. Przyporzadkujmy każdemu wektorowi α V, ciag jego wspó lrzednych w bazie (α 1,..., α n ). Otrzymane w ten sposób odwzorowanie φ jest bijekcja zbioru V na zbiór R n. Przy tym φ(α i ) = ε i dla i = 1,..., n. Definicja Odwzorowanie φ określone w powyższym wniosku nazywamy uk ladem wspó lrz ednych wyznaczonym przez baze (α 1,..., α n ). 2 Wymiar przestrzeni liniowej Lemat Niech wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni V i niech α = a 1 α a n α n, przy czym a j 0. Wówczas wektory α 1,..., α j 1, α, α j+1,..., α n (1) też tworza baze przestrzeni V. Dowód. Zauważmy, że wektory (1) powstaja z wektorów α 1,..., α n przez kolejne wykonanie nastepuj acych operacji elementarnych: a j w j, w j + a 1 w 1,..., w j + a j 1 w j 1, w j + a j+1 w j+1,..., w j + a n w n. Zatem na mocy twierdzenia 7.18, wektory (1) tworza baze przestrzeni V. Twierdzenie 7.14 (Steinitza o wymianie). Jeśli wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni liniowej V, a wektory β 1,..., β s sa liniowo niezależne, to (i) s n oraz (ii) spośród wektorów α 1,..., α n można wybrać n s wektorów, które l acznie z wektorami β 1,..., β s tworza baze przestrzeni V. Dowód. Zastosujemy indukcje wzgledem s. Dla s = 0 teza jest oczywista. Za lóżmy, że teza zachodzi dla liczb mniejszych od pewnej liczby naturalnej s i rozpatrzmy s wektorów liniowo niezależnych β 1,..., β s. Wektory β 1,..., β s 1 sa liniowo niezależne, a wiec z za lożenia indukcyjnego s 1 n i istnieje n s+1 = n (s 1) wektorów spośród wektorów α 1,..., α n, które l acznie z β 1,..., β s 1 tworza baze przestrzeni V. Dla uproszczenia znakowania przyjmiemy, że tymi wektorami sa α 1,..., α n s+1. Wykażemy najpierw, że s 1 < n. W przeciwnym razie by loby n = s 1 (bo s 1 n), a zatem już wektory β 1,..., β s 1 tworzy lyby baze przestrzeni V, a stad wynika loby, że β s lin(β 1,..., β s 1 ), co na mocy twierdzenia 6.30 prowadzi do sprzeczności (gdyż wektory β 1,..., β s sa liniowo niezależne). Wobec tego s 1 < n, a stad s n. To dowodzi (i). Ponieważ wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s+1 tworza baze przestrzeni V, wiec β s jest ich kombinacja liniowa. Wobec liniowej niezależności wektorów β 1,..., β s i twierdzenia 6.30, w kombinacji liniowej przedstawiajacej β s, co najmniej jeden z wektorów α 1,..., α n s+1 wystepuje ze wspó lczynnikiem różnym od zera. Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy przyjać, że a n s+1 0. Wtedy z lematu 7.13 wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s, β s tworza baze przestrzeni V, czyli wektory β 1,..., β s, α 1,..., α n s tworza baze przestrzeni V, co kończy dowód twierdzenia. 3
4 Wniosek Jeśli n-elementowy zbiór jest baza przestrzeni liniowej V, to każda baza tej przestrzeni sk lada sie z dok ladnie n wektorów. Dowód. Niech wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni liniowej V. Niech X bedzie inna baza tej przestrzeni. Gdyby zbiór X mia l wiecej niż n elementów, to by lyby one liniowo niezależne i otrzymalibyśmy sprzeczność z twierdzeniem Steinitza o wymianie. Zatem X n. Ale wektory α 1,..., α n sa liniowo niezależne i zbiór skończony X jest baza przestrzeni V, wiec znowu z twierdzenia Steinitza o wymianie n X, czyli ostatecznie X = n. Definicja Liczb e elementów dowolnej skończonej bazy przestrzeni liniowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dim V. W ten sposób wymiar jest określony dla wszystkich takich przestrzeni, które maja skończona baze. Jeśli dana przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jej wymiar jest nieskończony i piszemy dim V =. Można udowodnić, że wszystkie bazy dowolnej przestrzeni liniowej V maja te sama moc. Wobec tego można określić wymiar dowolnej przestrzeni liniowej V jako moc dowolnej bazy przestrzeni V. Przyk lad Ponieważ przestrzeń R n posiada baze n-elementowa (np. baze kanoniczna), wiec dim R n = n. Przyk lad Ponieważ zbiór pusty jest baza przestrzeni zerowej {θ}, wiec dim{θ} = 0. Przyk lad Ponieważ zbiór {1, x, x 2,... } jest baza przestrzeni R[x], wiec dim R[x] =. Przyk lad W przestrzeni liniowej R wektory ɛ 1 = [1, 0, 0,... ], ɛ 2 = [0, 1, 0,... ],... a liniowo niezależne. Zatem z twierdzenia Steinitza o wymianie dim R =. s Twierdzenie Jeśli przestrzeń liniowa V ma wymiar n, to każda jej podprzestrzeń W ma wymiar nie wiekszy niż n. Dowód. Niech X bedzie baza podprzestrzeni W. Wtedy zbiór X jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie X n. Twierdzenie Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V wymiaru skończonego równoważne sa warunki: (i) dim W = dim V, (ii) W = V. Dowód. (ii) (i). Oczywiste. (i) (ii). Oznaczmy n = dim V. Wtedy istnieje baza {α 1,..., α n } przestrzeni V. Ale dim W = n, wiec istnieje baza {β 1,..., β n } podprzestrzeni W. Zatem wektory β 1,..., β n sa liniowo niezależne i na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie można je uzupe lnić do bazy przestrzeni V, n n = 0 wektorami wybranymi spośród wektorów α 1,..., α n. Zatem wektory β 1,..., β n tworza baze przestrzeni V, skad V = lin(β 1,..., β n ) = W. Z twierdzenia 7.8 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas 4
5 dim lin(α 1,..., α n ) n. Ponadto dim lin(α 1,..., α n ) = n wtedy i tylko wtedy, gdy wektory α 1,..., α n sa liniowo niezależne. Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wówczas równoważne sa warunki: (i) zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V, (ii) zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny, (iii) zbiór {α 1,..., α n } generuje przestrzeń V. Dowód. (i) (ii). Oczywiste. (ii) (iii). Wynika od razu z twierdzenia Steinitza o wymianie. (iii) (i). Z za lożenia wynika, że V = lin(α 1,..., α n ). Zatem dim lin(α 1,..., α n ) = n i na mocy twierdzenia 7.23 zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem ostatecznie ten zbiór jest baza przestrzeni V. Twierdzenie Niech V 1 i V 2 bed a skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wówczas podprzestrzenie V 1 V 2 i V 1 +V 2 sa również skończenie wymiarowe i zachodzi wzór: dim(v 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ). (2) Dowód. Ponieważ V 1 V 2 jest podprzestrzenia przestrzeni skończenie wymiarowej V 1, wiec z twierdzenia 7.21 przestrzeń V 1 V 2 jest skończenie wymiarowa. Niech {α 1,..., α k } bedzie baza przestrzeni V 1 V 2. Wtedy z twierdzenia Steinitza o wymianie ten zbiór można uzupe lnić do bazy {α 1,..., α n, β 1,..., β s } przestrzeni V 1 i można go też uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, γ 1,..., γ r } przestrzeni V 2. Wtedy dim(v 1 V 2 ) = k, dim V 1 = k+s i dim V 2 = k+r, wiec pozostaje wykazać, że dim(v 1 +V 2 ) = k+s+r. Ale V 1 +V 2 = lin(α 1,..., α k, β 1,..., β s )+lin(α 1,..., α k, γ 1,..., γ r ) = lin(α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r ), wiec wystarczy wykazać, że wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r sa liniowo niezależne. W tym celu weźmy dowolne skalary a 1,..., a k, b 1,..., b s, c 1,..., c r R takie, że a 1 α a k α k + b 1 β b s β s + c 1 γ c r γ r = θ. Oznaczmy: α = a 1 α a k α k, β = b 1 β b s β s, γ = c 1 γ c r γ r. Wtedy γ = (α + β) V 1 V 2. Zatem istnieja d 1,..., d k R takie, że γ = d 1 α d k α k, skad c 1 γ c r γ r + ( d 1 ) α ( d k ) α k = θ. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, γ 1,..., γ r mamy, że c 1 =... = c r = d 1 =... = d k = 0, czyli γ = θ oraz θ = α + γ. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, β 1,..., β s otrzymamy, że a 1 =... = a k = b 1 =... = b s = 0 i ostatecznie wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r sa liniowo niezależne. Wniosek Niech V 1, V 2 bed a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wtedy dim(v 1 V 2 ) dim V 1 + dim V 2 n. Dowód. Ponieważ dim(v 1 + V 2 ) n, wiec z twierdzenia 7.25 uzyskujemy, że dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ) n, skad mamy teze. 5
6 3 Suma prosta podprzestrzeni Lemat Niech V 1 i V 2 bed a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Nastepuj ace warunki sa równoważne: (i) V i V 2 = {θ}; (ii) Dla dowolnych α 1, β 1 V 1, α 2, β 2 V 2 z tego, że α 1 + α 2 = β 1 + β 2 wynika, że α 1 = β 1 i α 2 = β 2. Dowód. (i) (ii). Weźmy dowolne α i, β i V i dla i = 1, 2 takie, że α 1 + α 2 = β 1 + β 2. Wtedy α 1 β 1 = α 2 β 2 V 1 V 2. Ale V 1 V 2 = {θ}, wiec α 1 β 1 = α 2 β 2 = θ, skad α 1 = β 1 i α 2 = β 2. (ii) (i). Weźmy dowolne α V 1 V 2. Ponieważ α + θ = θ + α oraz α, θ V 1 i θ, α V 2, wiec α = θ i θ = α, skad V 1 V 2 = {θ}. Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest suma prosta swoich podprzestrzeni V 1 i V 2, gdy V = V 1 +V 2 oraz spe lniony jest którykolwiek warunek (a wiec oba warunki) powyższego lematu. Piszemy wtedy V = V 1 V 2. Mówimy też, że podprzestrzeń V 2 jest dope lnieniem liniowym podprzestrzeni V 1 (w przestrzeni V ). Twierdzenie Dla dowolnej podprzestrzeni V 1 przestrzeni liniowej V istnieje podprzestrzeń W V taka, że V = V 1 W. Dowód. Z twierdzenia 7.3 podprzestrzeń V 1 posiada baze X. Zatem z twierdzenia 7.2 istnieje podzbiór Y V roz l aczny z X i taki, że zbiór X Y jest baza przestrzeni V. Ponadto V 1 = lin(x) oraz V = lin(x Y ). Niech W = lin(y ). Wtedy z twierdzenia 6.9 mamy, że lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ), czyli V = V 1 + W. Niech α V 1 W. Wtedy istnieja α 1,..., α n X, β 1,..., β k Y, a 1,..., a n, b 1,..., b k R takie, że α = a 1 α a n α n = b 1 β b k β k, skad a 1 α a n α n + ( b 1 ) β ( b k ) β k = θ. Zatem z liniowej niezależności zbioru X Y mamy, że a 1 =... = a n = b 1 =... = b k = 0, czyli α = θ i V 1 W = {θ}. Zatem V = V 1 W. 4 Hiperp laszczyzny liniowe Definicja Niech V bedzie n-wymiarowa przestrzenia liniowa. Hiperp laszczyzna liniowa przestrzeni V nazywamy każda podprzestrzeń przestrzeni V o wymiarze n 1. Twierdzenie Niech V bedzie przestrzenia liniowa wymiaru n i niech V 1 bedzie podprzestrzenia wymiaru k. Wówczas V 1 jest cześci a wspólna n k hiperp laszczyzn liniowych przestrzeni V. Dowód. Niech {α 1,..., α k } bedzie baza podprzestrzeni V 1. Z twierdzenia Steinitza o wymianie możemy ja uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, α k+1,..., α n } przestrzeni V. Niech W i = lin(α 1,..., α k,..., α k+i 1, α k+i+1,..., α n ) dla i = 1,..., n k. Wówczas W 1,..., W n k sa hiperp laszczyznami zawierajacymi V 1, skad V 1 W 1... W n k. Niech α W 1... W n k. Wtedy istnieja a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Dla liczb naturalnych i n k mamy, że α W i, wiec wektor α można przedstawić w postaci α = a i1 α
7 a i k+i 1 α k+i 1 +a i k+i+1 α k+i a in α n. Z jednoznaczności przedstawienia wektora α w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy (α 1,..., α n ) wynika, że a k+i = 0 dla wszystkich i = 1,..., n k. Wobec tego α = a 1 α a k α k V 1. Zatem W 1... W n k V 1 i ostatecznie V 1 = W 1... W n k. Twierdzenie Niech l bedzie liczba naturalna. Niech V 1,..., V l bed a hiperp laszczyznami n-wymiarowej przestrzeni liniowej V. Wówczas dim(v 1... V l ) n l. Dowód. Dla l = 1 teza jest oczywiście prawdziwa. Za lóżmy, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego l = k i niech V 1,..., V k+1 bed a hiperp laszczyznami przestrzeni V. Z za lożenia indukcyjnego wynika, że dim(v 1... V k ) n k, a z wniosku 7.26 otrzymujemy dim(v 1... V k V k+1 ) dim(v 1... V k ) + n 1 n. Zatem dim(v 1... V k V k+1 ) n k + n 1 n = n (k + 1). Z zasady indukcji wynika zatem, że nasze twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej l. Z twierdzeń 7.32 i 7.33 wynika od razu nastepuj acy Wniosek Każda k-wymiarowa podprzestrzeń W n-wymiarowej przestrzeni liniowej V daje si e przedstawić jako przeci ecie n k, ale nie mniejszej liczby hiperp laszczyzn liniowych. 5 Podprzestrzenie przestrzeni wspó lrz ednych Twierdzenie Podprzestrzeń W przestrzeni R n wyznaczona przez równanie a 1 x a n x n = 0, gdzie a 1,..., a n R i co najmniej jeden ze wspó lczynników a 1,..., a n jest różny od zera, jest hiperp laszczyzna liniowa. Dowód. Za lóżmy, że wspó lczynnik a i 0 dla pewnego i = 1,..., n. Podprzestrzeń W jest różna od R n, gdyż wektor ε i nie jest rozwiazaniem rozpatrywanego równania, a stad dim W n 1. Dla dowodu równości dim W = n 1 wystarczy wiec wskazać n 1 liniowo niezależnych rozwiazań równania a 1 x a n x n = 0. Latwo sprawdzić, że wektory ε 1 a 1 a i ε i,..., ε i 1 a i 1 a i ε i, ε i+1 a i+1 a i ε i,..., ε n an a i ε i czynia zadość temu żadaniu. Z twierdzeń 7.26 i 7.35 wynika od razu nastepuj acy Wniosek Podprzestrzeń przestrzeni R n wyznaczona przez uk lad m równań jednorodnych liniowych ma wymiar nie mniejszy niż n m. Twierdzenie Każda hiperp laszczyzna liniowa W przestrzeni liniowej R n jest wyznaczona przez pewne równanie a 1 x a n x n = 0, gdzie a 1,..., a n K. Dowód. Niech wektory α i = [a i1,..., a in ] dla i = 1,..., n 1 tworza baze hiperp laszczyzny W i niech V bedzie podprzestrzenia opisana przez uk lad równań a 11 x a 1n x n = 0 a 21 x a 2n x n = 0.. (3) a n 1 1 x a n 1 n x n = 0 7
8 Z wniosku 7.36 wynika, że dim V n (n 1) = 1, a wiec podprzestrzeń V zawiera niezerowy wektor. Niech [b 1,..., b n ] bedzie niezerowym wektorem podprzestrzeni V. Przestrzeń V 1 wyznaczona przez równanie b 1 x b n x n = 0 jest na mocy twierdzenia 7.35 hiperp laszczyzna liniowa. Ponadto z określenia wektora [b 1,..., b n ] wynika, że wektory α j dla j = 1,..., n 1 należa do hiperp laszczyzny V 1, a zatem W = lin(α 1,..., α n 1 ) V 1. Ponieważ dim W = dim V 1 = n 1, wiec z twierdzenia 7.22, W = V 1. Z twierdzenia 7.37 i z wniosku 7.34 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek Każda k-wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni liniowej R n jest wyznaczona przez uk lad z lożony z n k, ale nie mniej, równań liniowych jednorodnych. 8
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoR k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoGrzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoEgzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania ćwiczenia
Algebra i jej zastosowania ćwiczenia 13 stycznia 013 1 Reprezentacje liniowe grup skończonych 1. Pokazać, że zbiór wszystkich pierwiastków stopnia n z jedności jest grupa abelowa wzgle dem mnożenia.. Pokazać,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe w zadaniach
Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0,
Bardziej szczegółowoRozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowo1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoPierścienie grupowe wyk lad 3. lewych podmodu lów prostych. Ogólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume. prosta
Pierścienie rupowe wyk lad 3 Już wiemy, że alebre rupowa CG skończonej rupy G można roz lożyć na sume lewych podmodu lów prostych Oólniej, aby roz lożyć dany pierścień na sume prosta jeo dwóch podmodu
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoR n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoTomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowo25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1. P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Logika Hoare a
25 lutego 2013, godzina 23: 57 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Logika Hoare a Rozważamy najprostszy model imperatywnego jezyka programowania z jednym typem danych. Wartości tego
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoA. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1
A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f
Bardziej szczegółowo1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoSeria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie
Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie
Bardziej szczegółowoRozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
Bardziej szczegółowo