Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej"

Transkrypt

1 Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz dla każdego zbioru liniowo niezależnego Y V takiego, że X Y jest X = Y. Definicja 7.1. Każdy maksymalny liniowo niezależny podzbiór X wektorów przestrzeni liniowej V nazywamy baza tej przestrzeni. Twierdzenie 7.2. Każdy liniowo niezależny zbiór wektorów X 0 przestrzeni liniowej V można rozszerzyć do bazy X X 0 tej przestrzeni. Dowód. Niech A bedzie rodzina wszystkich podzbiorów liniowo niezależnych przestrzeni V zawierajacych zbiór X 0. Wtedy A =, bo X 0 A. Ponadto zbiór A jest cześciowo uporzadkowany przez inkluzje zbiorów. Jeżeli B jest lańcuchem w A, tzn. dla dowolnych Y, Z B jest Y Z lub Z Y, to Y 0 = Y B Y też jest zbiorem liniowo niezależnym, gdyż dla dowolnych α 1,..., α n Y 0 istnieja Y 1,..., Y n B takie, że α i Y i dla i = 1,..., n. Wtedy istnieje k n takie, że Y i Y k dla każdego i = 1,..., n, skad α 1,..., α n Y k. Ale zbiór Y k jest liniowo niezależny, wiec zbiór {α 1,..., α n } też jest liniowo niezależny. Zatem w A każdy lańcuch ma ograniczenie górne, wiec z lematu Kuratowskiego-Zorna istnieje w A element maksymalny X, który jest szukana baza przestrzeni V zawierajac a X 0. Ponieważ zbiór pusty jest liniowo niezależny, wiec z twierdzenia 7.2 mamy natychmiast nastepuj ace Twierdzenie 7.3. Każda przestrzeń liniowa posiada baz e. Twierdzenie 7.4. Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Zbiór X V jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy X jest zbiorem liniowo niezależnym oraz V = lin(x) (tzn. X generuje V ). Dowód. Za lóżmy, że X jest baza przestrzeni V. Wówczas X jest zbiorem liniowo niezależnym. Weźmy dowolne α V i za lóżmy, że α lin(x). Wtedy z twierdzenia 6.30 wynika, że α X oraz zbiór X {α} jest liniowo niezależny. Zatem X nie jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym i mamy sprzeczność. Na odwrót, za lóżmy, że zbiór X jest liniowo niezależny oraz V = lin(x). Weźmy dowolny liniowo niezależny zbiór Y V taki, że X Y. Gdyby X Y, to dla pewnego α Y by loby, że α X i zbiór X {α} Y jest liniowo niezależny. Zatem z twierdzenia 6.30 mielibyśmy, że α lin(x) = V, co prowadzi do sprzeczności. Zatem X = Y i zbiór X jest baza przestrzeni V. Przyk lad 7.5. Ponieważ zbiór {1, x, x 2,... } generuje przestrzeń R[x] i jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia 7.4 jest on baza tej przestrzeni. 1

2 Przyk lad 7.6. Niech n N. Wówczas z twierdzenia 7.4 oraz z przyk ladów 6.16 i 6.23 wynika od razu, że zbiór {ε 1,..., ε n } jest baza przestrzeni R n. Nazywamy ja baza kanoniczna. Z twierdzeń 6.17, 7.11 i 7.16 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie 7.7. Niech α 1,..., α n bed a parami różnymi wektorami i niech β 1,..., β n bed a parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Za lóżmy, że uk lad wektorów (β 1,..., β n ) powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych. Wówczas zbiór {β 1,..., β n } jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {α 1,..., α n } jest baza tej przestrzeni. Twierdzenie 7.8. Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas każdy maksymalny (wzgledem liczby elementów) podzbiór liniowo niezależny A {α 1,..., α n } jest baza podprzestrzeni lin(α 1,..., α n ). Dowód. Niech A {α 1,..., α n } bedzie maksymalnym (wzgledem liczby elementów) podzbiorem liniowo niezależnym. Wówczas oczywiście lin(a) lin(α 1,..., α n ) = W. Niech i = 1,..., n. Jeśli α i A, to α i lin(a); jeśli zaś α i A, to z maksymalności A wynika, że zbiór A {α i } jest liniowo zależny. Zatem z twierdzenia 6.30 α i lin(a). Stad {α 1,..., α n } lin(a), czyli W lin(a) i ostatecznie lin(a) = W. Zatem z twierdzenia 7.4 zbiór A jest baza podprzestrzeni W. Twierdzenie 7.9. Niech α 1,..., α n bed a parami różnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor α V można jednoznacznie zapisać w postaci α = a 1 α a n α n dla pewnych a 1,..., a n R. Dowód. Za lóżmy, że zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V. Wówczas z twierdzenia 7.4 mamy, że V = lin(α 1,..., α n ) oraz zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem dla dowolnego α V istnieja a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Jeśli b 1,..., b n R sa takie, że α = b 1 α b n α n, to a 1 α a n α n = b 1 α b n α n, czyli (a 1 b 1 ) α (a n b n ) α n = θ, wiec z liniowej niezależności zbioru {α 1,..., α n } mamy, że a i b i = 0, czyli a i = b i dla i = 1,..., n. Na odwrót, jeżeli a 1,..., a n R sa takie, że a 1 α a n α n = θ, to a 1 α a n α n = 0 α α n, skad z jednoznaczności zapisu wektora a i = 0 dla i = 1,..., n, czyli zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Ponadto z za lożenia V = lin(α 1,..., α n ), wiec z twierdzenia 7.4 zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V. Definicja Niech {α 1,..., α n } bedzie baza przestrzeni liniowej V. Wówczas ciag (α 1,..., α n ) nazywamy baza uporzadkowan a przestrzeni V. Niech α V. Wtedy na mocy twierdzenia 7.9 istnieje dok ladnie jeden ciag (a 1,..., a n ) R n taki, że α = a 1 α a n α n. Ciag (a 1,..., a n ) nazywamy ciagiem wspó lrzednych wektora α w bazie (α 1,..., α n ), a element a i, dla każdego i = 1,..., n, nazywa sie i-ta wspó lrz edn a wektora α w tej bazie. 2

3 Wniosek Niech V bedzie przestrzenia liniowa i niech, dla pewnej liczby naturalnej n, (α 1,..., α n ) bedzie baza uporzadkowan a tej przestrzeni. Przyporzadkujmy każdemu wektorowi α V, ciag jego wspó lrzednych w bazie (α 1,..., α n ). Otrzymane w ten sposób odwzorowanie φ jest bijekcja zbioru V na zbiór R n. Przy tym φ(α i ) = ε i dla i = 1,..., n. Definicja Odwzorowanie φ określone w powyższym wniosku nazywamy uk ladem wspó lrz ednych wyznaczonym przez baze (α 1,..., α n ). 2 Wymiar przestrzeni liniowej Lemat Niech wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni V i niech α = a 1 α a n α n, przy czym a j 0. Wówczas wektory α 1,..., α j 1, α, α j+1,..., α n (1) też tworza baze przestrzeni V. Dowód. Zauważmy, że wektory (1) powstaja z wektorów α 1,..., α n przez kolejne wykonanie nastepuj acych operacji elementarnych: a j w j, w j + a 1 w 1,..., w j + a j 1 w j 1, w j + a j+1 w j+1,..., w j + a n w n. Zatem na mocy twierdzenia 7.18, wektory (1) tworza baze przestrzeni V. Twierdzenie 7.14 (Steinitza o wymianie). Jeśli wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni liniowej V, a wektory β 1,..., β s sa liniowo niezależne, to (i) s n oraz (ii) spośród wektorów α 1,..., α n można wybrać n s wektorów, które l acznie z wektorami β 1,..., β s tworza baze przestrzeni V. Dowód. Zastosujemy indukcje wzgledem s. Dla s = 0 teza jest oczywista. Za lóżmy, że teza zachodzi dla liczb mniejszych od pewnej liczby naturalnej s i rozpatrzmy s wektorów liniowo niezależnych β 1,..., β s. Wektory β 1,..., β s 1 sa liniowo niezależne, a wiec z za lożenia indukcyjnego s 1 n i istnieje n s+1 = n (s 1) wektorów spośród wektorów α 1,..., α n, które l acznie z β 1,..., β s 1 tworza baze przestrzeni V. Dla uproszczenia znakowania przyjmiemy, że tymi wektorami sa α 1,..., α n s+1. Wykażemy najpierw, że s 1 < n. W przeciwnym razie by loby n = s 1 (bo s 1 n), a zatem już wektory β 1,..., β s 1 tworzy lyby baze przestrzeni V, a stad wynika loby, że β s lin(β 1,..., β s 1 ), co na mocy twierdzenia 6.30 prowadzi do sprzeczności (gdyż wektory β 1,..., β s sa liniowo niezależne). Wobec tego s 1 < n, a stad s n. To dowodzi (i). Ponieważ wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s+1 tworza baze przestrzeni V, wiec β s jest ich kombinacja liniowa. Wobec liniowej niezależności wektorów β 1,..., β s i twierdzenia 6.30, w kombinacji liniowej przedstawiajacej β s, co najmniej jeden z wektorów α 1,..., α n s+1 wystepuje ze wspó lczynnikiem różnym od zera. Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy przyjać, że a n s+1 0. Wtedy z lematu 7.13 wektory β 1,..., β s 1, α 1,..., α n s, β s tworza baze przestrzeni V, czyli wektory β 1,..., β s, α 1,..., α n s tworza baze przestrzeni V, co kończy dowód twierdzenia. 3

4 Wniosek Jeśli n-elementowy zbiór jest baza przestrzeni liniowej V, to każda baza tej przestrzeni sk lada sie z dok ladnie n wektorów. Dowód. Niech wektory α 1,..., α n tworza baze przestrzeni liniowej V. Niech X bedzie inna baza tej przestrzeni. Gdyby zbiór X mia l wiecej niż n elementów, to by lyby one liniowo niezależne i otrzymalibyśmy sprzeczność z twierdzeniem Steinitza o wymianie. Zatem X n. Ale wektory α 1,..., α n sa liniowo niezależne i zbiór skończony X jest baza przestrzeni V, wiec znowu z twierdzenia Steinitza o wymianie n X, czyli ostatecznie X = n. Definicja Liczb e elementów dowolnej skończonej bazy przestrzeni liniowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy przez dim V. W ten sposób wymiar jest określony dla wszystkich takich przestrzeni, które maja skończona baze. Jeśli dana przestrzeń liniowa V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jej wymiar jest nieskończony i piszemy dim V =. Można udowodnić, że wszystkie bazy dowolnej przestrzeni liniowej V maja te sama moc. Wobec tego można określić wymiar dowolnej przestrzeni liniowej V jako moc dowolnej bazy przestrzeni V. Przyk lad Ponieważ przestrzeń R n posiada baze n-elementowa (np. baze kanoniczna), wiec dim R n = n. Przyk lad Ponieważ zbiór pusty jest baza przestrzeni zerowej {θ}, wiec dim{θ} = 0. Przyk lad Ponieważ zbiór {1, x, x 2,... } jest baza przestrzeni R[x], wiec dim R[x] =. Przyk lad W przestrzeni liniowej R wektory ɛ 1 = [1, 0, 0,... ], ɛ 2 = [0, 1, 0,... ],... a liniowo niezależne. Zatem z twierdzenia Steinitza o wymianie dim R =. s Twierdzenie Jeśli przestrzeń liniowa V ma wymiar n, to każda jej podprzestrzeń W ma wymiar nie wiekszy niż n. Dowód. Niech X bedzie baza podprzestrzeni W. Wtedy zbiór X jest liniowo niezależny, wiec na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie X n. Twierdzenie Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni liniowej V wymiaru skończonego równoważne sa warunki: (i) dim W = dim V, (ii) W = V. Dowód. (ii) (i). Oczywiste. (i) (ii). Oznaczmy n = dim V. Wtedy istnieje baza {α 1,..., α n } przestrzeni V. Ale dim W = n, wiec istnieje baza {β 1,..., β n } podprzestrzeni W. Zatem wektory β 1,..., β n sa liniowo niezależne i na mocy twierdzenia Steinitza o wymianie można je uzupe lnić do bazy przestrzeni V, n n = 0 wektorami wybranymi spośród wektorów α 1,..., α n. Zatem wektory β 1,..., β n tworza baze przestrzeni V, skad V = lin(β 1,..., β n ) = W. Z twierdzenia 7.8 wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V. Wówczas 4

5 dim lin(α 1,..., α n ) n. Ponadto dim lin(α 1,..., α n ) = n wtedy i tylko wtedy, gdy wektory α 1,..., α n sa liniowo niezależne. Twierdzenie Niech α 1,..., α n bed a wektorami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wówczas równoważne sa warunki: (i) zbiór {α 1,..., α n } jest baza przestrzeni V, (ii) zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny, (iii) zbiór {α 1,..., α n } generuje przestrzeń V. Dowód. (i) (ii). Oczywiste. (ii) (iii). Wynika od razu z twierdzenia Steinitza o wymianie. (iii) (i). Z za lożenia wynika, że V = lin(α 1,..., α n ). Zatem dim lin(α 1,..., α n ) = n i na mocy twierdzenia 7.23 zbiór {α 1,..., α n } jest liniowo niezależny. Zatem ostatecznie ten zbiór jest baza przestrzeni V. Twierdzenie Niech V 1 i V 2 bed a skończenie wymiarowymi podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wówczas podprzestrzenie V 1 V 2 i V 1 +V 2 sa również skończenie wymiarowe i zachodzi wzór: dim(v 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ). (2) Dowód. Ponieważ V 1 V 2 jest podprzestrzenia przestrzeni skończenie wymiarowej V 1, wiec z twierdzenia 7.21 przestrzeń V 1 V 2 jest skończenie wymiarowa. Niech {α 1,..., α k } bedzie baza przestrzeni V 1 V 2. Wtedy z twierdzenia Steinitza o wymianie ten zbiór można uzupe lnić do bazy {α 1,..., α n, β 1,..., β s } przestrzeni V 1 i można go też uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, γ 1,..., γ r } przestrzeni V 2. Wtedy dim(v 1 V 2 ) = k, dim V 1 = k+s i dim V 2 = k+r, wiec pozostaje wykazać, że dim(v 1 +V 2 ) = k+s+r. Ale V 1 +V 2 = lin(α 1,..., α k, β 1,..., β s )+lin(α 1,..., α k, γ 1,..., γ r ) = lin(α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r ), wiec wystarczy wykazać, że wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r sa liniowo niezależne. W tym celu weźmy dowolne skalary a 1,..., a k, b 1,..., b s, c 1,..., c r R takie, że a 1 α a k α k + b 1 β b s β s + c 1 γ c r γ r = θ. Oznaczmy: α = a 1 α a k α k, β = b 1 β b s β s, γ = c 1 γ c r γ r. Wtedy γ = (α + β) V 1 V 2. Zatem istnieja d 1,..., d k R takie, że γ = d 1 α d k α k, skad c 1 γ c r γ r + ( d 1 ) α ( d k ) α k = θ. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, γ 1,..., γ r mamy, że c 1 =... = c r = d 1 =... = d k = 0, czyli γ = θ oraz θ = α + γ. Zatem z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α k, β 1,..., β s otrzymamy, że a 1 =... = a k = b 1 =... = b s = 0 i ostatecznie wektory α 1,..., α k, β 1,..., β s, γ 1,..., γ r sa liniowo niezależne. Wniosek Niech V 1, V 2 bed a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V wymiaru n. Wtedy dim(v 1 V 2 ) dim V 1 + dim V 2 n. Dowód. Ponieważ dim(v 1 + V 2 ) n, wiec z twierdzenia 7.25 uzyskujemy, że dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ) n, skad mamy teze. 5

6 3 Suma prosta podprzestrzeni Lemat Niech V 1 i V 2 bed a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Nastepuj ace warunki sa równoważne: (i) V i V 2 = {θ}; (ii) Dla dowolnych α 1, β 1 V 1, α 2, β 2 V 2 z tego, że α 1 + α 2 = β 1 + β 2 wynika, że α 1 = β 1 i α 2 = β 2. Dowód. (i) (ii). Weźmy dowolne α i, β i V i dla i = 1, 2 takie, że α 1 + α 2 = β 1 + β 2. Wtedy α 1 β 1 = α 2 β 2 V 1 V 2. Ale V 1 V 2 = {θ}, wiec α 1 β 1 = α 2 β 2 = θ, skad α 1 = β 1 i α 2 = β 2. (ii) (i). Weźmy dowolne α V 1 V 2. Ponieważ α + θ = θ + α oraz α, θ V 1 i θ, α V 2, wiec α = θ i θ = α, skad V 1 V 2 = {θ}. Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa V jest suma prosta swoich podprzestrzeni V 1 i V 2, gdy V = V 1 +V 2 oraz spe lniony jest którykolwiek warunek (a wiec oba warunki) powyższego lematu. Piszemy wtedy V = V 1 V 2. Mówimy też, że podprzestrzeń V 2 jest dope lnieniem liniowym podprzestrzeni V 1 (w przestrzeni V ). Twierdzenie Dla dowolnej podprzestrzeni V 1 przestrzeni liniowej V istnieje podprzestrzeń W V taka, że V = V 1 W. Dowód. Z twierdzenia 7.3 podprzestrzeń V 1 posiada baze X. Zatem z twierdzenia 7.2 istnieje podzbiór Y V roz l aczny z X i taki, że zbiór X Y jest baza przestrzeni V. Ponadto V 1 = lin(x) oraz V = lin(x Y ). Niech W = lin(y ). Wtedy z twierdzenia 6.9 mamy, że lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ), czyli V = V 1 + W. Niech α V 1 W. Wtedy istnieja α 1,..., α n X, β 1,..., β k Y, a 1,..., a n, b 1,..., b k R takie, że α = a 1 α a n α n = b 1 β b k β k, skad a 1 α a n α n + ( b 1 ) β ( b k ) β k = θ. Zatem z liniowej niezależności zbioru X Y mamy, że a 1 =... = a n = b 1 =... = b k = 0, czyli α = θ i V 1 W = {θ}. Zatem V = V 1 W. 4 Hiperp laszczyzny liniowe Definicja Niech V bedzie n-wymiarowa przestrzenia liniowa. Hiperp laszczyzna liniowa przestrzeni V nazywamy każda podprzestrzeń przestrzeni V o wymiarze n 1. Twierdzenie Niech V bedzie przestrzenia liniowa wymiaru n i niech V 1 bedzie podprzestrzenia wymiaru k. Wówczas V 1 jest cześci a wspólna n k hiperp laszczyzn liniowych przestrzeni V. Dowód. Niech {α 1,..., α k } bedzie baza podprzestrzeni V 1. Z twierdzenia Steinitza o wymianie możemy ja uzupe lnić do bazy {α 1,..., α k, α k+1,..., α n } przestrzeni V. Niech W i = lin(α 1,..., α k,..., α k+i 1, α k+i+1,..., α n ) dla i = 1,..., n k. Wówczas W 1,..., W n k sa hiperp laszczyznami zawierajacymi V 1, skad V 1 W 1... W n k. Niech α W 1... W n k. Wtedy istnieja a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Dla liczb naturalnych i n k mamy, że α W i, wiec wektor α można przedstawić w postaci α = a i1 α

7 a i k+i 1 α k+i 1 +a i k+i+1 α k+i a in α n. Z jednoznaczności przedstawienia wektora α w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy (α 1,..., α n ) wynika, że a k+i = 0 dla wszystkich i = 1,..., n k. Wobec tego α = a 1 α a k α k V 1. Zatem W 1... W n k V 1 i ostatecznie V 1 = W 1... W n k. Twierdzenie Niech l bedzie liczba naturalna. Niech V 1,..., V l bed a hiperp laszczyznami n-wymiarowej przestrzeni liniowej V. Wówczas dim(v 1... V l ) n l. Dowód. Dla l = 1 teza jest oczywiście prawdziwa. Za lóżmy, że teza zachodzi dla pewnego naturalnego l = k i niech V 1,..., V k+1 bed a hiperp laszczyznami przestrzeni V. Z za lożenia indukcyjnego wynika, że dim(v 1... V k ) n k, a z wniosku 7.26 otrzymujemy dim(v 1... V k V k+1 ) dim(v 1... V k ) + n 1 n. Zatem dim(v 1... V k V k+1 ) n k + n 1 n = n (k + 1). Z zasady indukcji wynika zatem, że nasze twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej l. Z twierdzeń 7.32 i 7.33 wynika od razu nastepuj acy Wniosek Każda k-wymiarowa podprzestrzeń W n-wymiarowej przestrzeni liniowej V daje si e przedstawić jako przeci ecie n k, ale nie mniejszej liczby hiperp laszczyzn liniowych. 5 Podprzestrzenie przestrzeni wspó lrz ednych Twierdzenie Podprzestrzeń W przestrzeni R n wyznaczona przez równanie a 1 x a n x n = 0, gdzie a 1,..., a n R i co najmniej jeden ze wspó lczynników a 1,..., a n jest różny od zera, jest hiperp laszczyzna liniowa. Dowód. Za lóżmy, że wspó lczynnik a i 0 dla pewnego i = 1,..., n. Podprzestrzeń W jest różna od R n, gdyż wektor ε i nie jest rozwiazaniem rozpatrywanego równania, a stad dim W n 1. Dla dowodu równości dim W = n 1 wystarczy wiec wskazać n 1 liniowo niezależnych rozwiazań równania a 1 x a n x n = 0. Latwo sprawdzić, że wektory ε 1 a 1 a i ε i,..., ε i 1 a i 1 a i ε i, ε i+1 a i+1 a i ε i,..., ε n an a i ε i czynia zadość temu żadaniu. Z twierdzeń 7.26 i 7.35 wynika od razu nastepuj acy Wniosek Podprzestrzeń przestrzeni R n wyznaczona przez uk lad m równań jednorodnych liniowych ma wymiar nie mniejszy niż n m. Twierdzenie Każda hiperp laszczyzna liniowa W przestrzeni liniowej R n jest wyznaczona przez pewne równanie a 1 x a n x n = 0, gdzie a 1,..., a n K. Dowód. Niech wektory α i = [a i1,..., a in ] dla i = 1,..., n 1 tworza baze hiperp laszczyzny W i niech V bedzie podprzestrzenia opisana przez uk lad równań a 11 x a 1n x n = 0 a 21 x a 2n x n = 0.. (3) a n 1 1 x a n 1 n x n = 0 7

8 Z wniosku 7.36 wynika, że dim V n (n 1) = 1, a wiec podprzestrzeń V zawiera niezerowy wektor. Niech [b 1,..., b n ] bedzie niezerowym wektorem podprzestrzeni V. Przestrzeń V 1 wyznaczona przez równanie b 1 x b n x n = 0 jest na mocy twierdzenia 7.35 hiperp laszczyzna liniowa. Ponadto z określenia wektora [b 1,..., b n ] wynika, że wektory α j dla j = 1,..., n 1 należa do hiperp laszczyzny V 1, a zatem W = lin(α 1,..., α n 1 ) V 1. Ponieważ dim W = dim V 1 = n 1, wiec z twierdzenia 7.22, W = V 1. Z twierdzenia 7.37 i z wniosku 7.34 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek Każda k-wymiarowa podprzestrzeń przestrzeni liniowej R n jest wyznaczona przez uk lad z lożony z n k, ale nie mniej, równań liniowych jednorodnych. 8

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe w zadaniach

Przestrzenie liniowe w zadaniach Przestrzenie linioe zadaniach Zadanie 1. Cz ektor [3, 4, 4 jest kombinacja linioa ektoró [1, 1, 1, [1, 0, 1, [1, 3, 5 przestrzeni R 3? Roziazanie. Szukam x,, z R takich, że [3, 4, 4 x [1, 1, 1 + [1, 0,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie

Seria zadań z Algebry IIR nr kwietnia 2017 r. i V 2 = B 2, B 4 R, gdzie Seria zadań z Algebry IIR nr 29 kwietnia 207 r Notacja: We wszystkich poniższych zadaniach K jest ciałem, V wektorow a nad K zaś jest przestrzeni a Zadanie Niechaj V = K 4 [t] Określmy podprzestrzenie

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat

Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat Rozdzia l 1. Podstawowe elementy teorii krat 1. Zbiory czȩściowo uporz adkowane Definicja. Relacjȩ binarn a określon a na zbiorze A nazywamy relacj a czȩściowo porz adkuj ac a, gdy jest zwrotna, antysymetryczna

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium

Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej.

Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Optymalizacja Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przyk ladów zadań optymalizacji liniowej. Zagadnienie diety. Jak wymieszać wymieszać pszenice, soje i maczk e rybna by uzyskać najtańsza

Bardziej szczegółowo

Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2

Zadania z GAL-u. 1 Rozwia. Listopad x + 3y = 1 3x + y = x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 1.2 Zadania z GAL-u Listopad 2004 1 Rozwia zać uk lady równań: 11 12 13 14 15 { 2x + 3y = 1 3x + y = 0 x + y = 1 x + 2y 3z = 3 2x + 4y + z = 1 3x + y + z = 1 x + 2z = 6 3y + 2z = 0 2x + 3y + 2z = 1 3x + 4y

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Literatura: Oznaczenia:

Literatura: Oznaczenia: Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu 5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1

Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Procesy Stochastyczne - Zestaw 1 Zadanie 1 Niech ξ i η bed a niezależnymi zmiennymi losowymi o rozk ladach N (0, 1). Niech X = ξ +η i Y = ξ η. Znaleźć rozk lad (X, Y ) i rozk lad warunkowy L X ( Y ). Zadanie

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo