Kurs z matematyki - zadania

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kurs z matematyki - zadania"

Transkrypt

1 Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie Miary kątów wyrażone w radianach zapisać w stopniach: a) π, b) π, c) π, d) π, e) π, f) 7π, g) π, h) π π, i) π, j), k) 7π, l) 7π, m) π 0 Funkcje trygonometryczne Zadanie Wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α wiedząc, że: a) kąt α jest ostry i sin α =, b) kąt α jest rozwarty i cos α = Zadanie Naszkicować wykresy funkcji trygonometrycznych i omówić ich własności Zadanie Naszkicować wykresy następujących funkcji: ( a) f(x) = sin x +, b) f(x) = sin x π ) (, c) f(x) = cos x + π ), d) f(x) = tg ( x), e) f(x) = ctg x, f) f(x) = cos x, g) f(x) = tg x, h) f(x) = sin x, i) f(x) = cos x Zadanie Określić zbiór wartości funkcji: a) y = sin x, b) y = cos x, c) y = tg x ctg x Zadanie Obliczyć: a) ( sin π ) π cos : tg π (, b) sin π ( cos ) π ) π : tg, c) sin π cos π + tg π, d) sin π, e) cos 7π, f) ctg π, g) sin 7π, h) tg π, i) cos π π, j) sin (, k) sin π ) (, l) cos π )

2 Zadanie Wyznaczyć kąt α, gdy a) sin α = i cos α =, b) sin α = i cos α =, c) sin α = i cos α =, d) sin α = i cos α =, e) sin α = i cos α = 0, f) sin α = 0 i cos α = Zadanie 7 Rozwiązać równania: a) sin x =, b) cos x =, c) ctg x =, d) tg x f) sin x =, g ) sin x + sin x = 0, h ) sin x cos x = =, e) cos x =, Zadanie 8 Rozwiązać nierówności: a) sin x, b) cos x <, c) tg x >, d) ctg x, e) sin x Zadanie 9 Uzasadnić tożsamości trygonometryczne: a) (sin x + cos x) + (sin x cos x) =, b) ctg x + sin x + cos x = sin x, sin(x + y) + sin(x y) c) cos(x + y) + cos(x y) = tg x, d) sin x + + sin x = cos x Wektory Zadanie Mając dane współrzędne punktów A(, ), B(, ), C(, ) obliczyć współrzędne i długości wektorów: a) AB AC, b) AB + BC + CA Zadanie Oblicz współrzędne punktu C mając dane: a) D(, ) i CD = [, ], b) D(, ) i DC = [, ] Zadanie Dane są wektory: a = [, ], b = [0, ], c = [, ] Znaleźć długość wektora x, gdy: a) x = a b + c, b) x = a + b c

3 Zadanie Dany jest równoległobok rozpięty na wektorach a = [, ] i b = [, ] Obliczyć długości jego przekątnych Zadanie Wyznaczyć cosinusy kierunkowe wektora u = [, ] Jaką długość ma wektor [cos α, cos β]? Zadanie Punkt S(7, ) jest środkiem odcinka AB Wyznaczyć współrzędne punktu B mając dane współrzędne punktu A(, ) Zadanie 7 Obliczyć współrzędne punktów, które dzielą odcinek AB na trzy równe części, jeśli A(8, ), B(, ) Zadanie 8 Zbadać, która z podanych par wektorów jest parą wektorów równoległych: a) u = [, ], v = [, 0]; b) u = [ 8, ], v = [, ] Zadanie 9 Dane są wektory a = [, ], b = [, ] i c = [, 8] Dla jakiej wartości k 0 wektory k c i a + b są równoległe? Zadanie 0 Punkty A(, ), B(, ), C(x, 0) są współliniowe Wyznaczyć x Zadanie Mając dane u = 8, v = oraz ( u, v ) = π, obliczyć ( u v ) u Zadanie Mając dane u =, v = oraz ( u, v ) = π, obliczyć długość wektora: a) u v, b) u v Zadanie Dane są wektory: u = [, ], v = [, ] Obliczyć a) u v, b) u, c) v, d) ( u + v ), e) ( u + v ) ( u v ) Zadanie Dane są punkty P (, ), R(, 0), S(, ), T (, ) Obliczyć ( P R + RS ) ( ST RP ) Zadanie Obliczyć miarę kąta między wektorami u = [, ], v = [0, ] Zadanie Zbadać, która z podanych par wektorów u i v jest parą wektorów prostopadłych: a) u = [, 0], v = [, [; b) u = [, ], v = [, ] Zadanie 7 Znaleźć współrzędne wektora jednostkowego prostopadłego do wektora a = [, 8]

4 Równanie prostej na płaszczyźnie Zadanie Dane są punkty A(, ) i B(, ) Podać równania: a) ogólne, b) kierunkowe, c ) parametryczne, d ) odcinkowe prostej, do której należą te dwa punkty Zadanie Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt P (, ) oraz a) prostopadłej do prostej x y = 0, b) równoległej do prostej x y + 7 = 0, c) równoległej do osi Ox, d) tworzącej z osią Ox kąt π Zadanie Mając dane równanie prostej w postaci kierunkowej y = x +, napisać równanie tej prostej w postaci ogólnej, w której wszystkie współczynniki są liczbami całkowitymi i współczynnik przy zmiennej x jest liczbą dodatnią Podać przykład niezerowego wektora n prostopadłego do tej prostej Zadanie Mając dane równanie prostej w postaci ogólnej x y + = 0, napisać równanie tej prostej w postaci kierunkowej Podać miarę kąta nachylenia tej prostej do osi Ox Zadanie Napisać równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (, ) i a) równoległej, b) prostopadłej do prostej { x = + t, l : t R y = t, Zadanie Dane są trzy wierzchołki trójkąta A(, ), B(, 0) i C(, ) Znaleźć równania: a) boków tego trójkąta, b) symetralnych jego boków, c) środkowych, d) wysokości Zadanie 7 Znaleźć punkt symetryczny do punktu P (, ) względem prostej x + y + = 0 Równanie okręgu Zadanie Znaleźć współrzędne środka i promień okręgu o równaniu a) x + x + y y = 0, b) x + y x = 0, c) x + x + y y = 0, d) x + x + y + y = 0 Zadanie Naszkicować zbiory punktów (x, y) na płaszczyźnie spełniających warunki: a) x + x + y y, b) x + y < Zadanie Napisać równanie okręgu przechodzącego przez punkty: a) A(, ), B(, 0) i C(, ); b) A(7, 7), B(0, 8) i C(, ) Zadanie Napisać równanie okręgu o środku w punkcie S(, ) i przechodzącego przez punkt A(, ) Zadanie Napisać równanie okręgu współśrodkowego z okręgiem x + x + y y = 0 i przechodzącego przez punkt A(, )

5 Wielomiany Zadanie Podać przykład trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkami są liczby + i Zadanie Naszkicować wykres i omówić własności funkcji y = x Obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem podanej funkcji kwadratowej f, zapisać wzór tej funkcji w postaci kanonicznej oraz narysować tę parabolę: a) f(x) = x x +, b) f(x) = x x Zadanie Rozwiązać równania i nierówności: a) x = 0, b) x + 7x = 0, c) x x + = 0, d) x x + 9 = 0, e) x x + = 0, f) x 0, g) x x + > 0, h) x + 9 > 0, i) x(x + ) Zadanie Obliczyć sumę współczynników wielomianu W (x) = (9x x ) 000 (x 7x + x) Zadanie Podać przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego jednym z pierwiastków jest liczba x 0 = + Zadanie Dla jakich wartości k, l, m wielomiany x + mx (k + l)x + lx + oraz x ( m)x (k + m)x + (k m)x + są równe? Zadanie 7 Obliczyć iloraz wielomianów: a) (x + x + x ) : (x + ), b) (x 7x x + x ) : (x ) Zadanie 8 Obliczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu: a) x x + x x + 8 przez x, b) x x + x x + przez x x + Zadanie 9 Rozwiązać równania: a) x x x + = 0, b) x x 0x 8x + 0 = 0, c) x + x x = 0, d) x x + x x + = 0 Zadanie 0 Rozwiązać nierówności: a) (x )(x )(x ) 0, b) ( x)(x + ) ( x) 0, c) x >, d) x x + 9x + x 0, e) (x x )(x + x ) 0, f) x x + 0x 8x 0, g) x + x x < 0, h) x x + x > 0

6 7 Funkcje wymierne Zadanie 7 Wyznaczyć i narysować zbiory A B, A B, A \ B, B \ A, A, gdy { a) A = x R: x + x x } { x }, B = x R: x + x x + 0 ; { } b) A = {x R: x > 0}, B = x R: x + x + Zadanie 7 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f(x) = 0 x + x, b) g(x) = x x x +, c) h(x) = x x + x x + Zadanie 7 Naszkicować wykresy funkcji: f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x Zadanie 7 Rozwiązać równania: a) x + x + = x, b) x x + = x, c) x x x x + = x x + x Zadanie 7 Rozwiązać nierówności: a) x x, b) 7 x x + 8, c) x + x 8 Funkcje wykładnicze Zadanie 8 Obliczyć wartości podanych wyrażeń: ( a) 8, b) 7, c) ), d) 7 8, e) 0,,, 0,, f) 0, 0, 0, 0,,, g) 0, ( ) 0,7 0,7 Zadanie 8 Narysować wykresy funkcji i omówić ich własności: ( ) x a) f(x) = x, b) f(x) = Zadanie 8 Korzystając z wykresu funkcji y = x naszkicować wykresy funkcji: a) y = x +, b) y = x+, c) y = x, d) y = x, e) y = x, f) y = x

7 Zadanie 8 Rozwiązać równania: a) x+ x = 9, b) x x+ =, c) x x+ + = x, ( ) x d) = 9 x, e ) x x = x + x Zadanie 8 Rozwiązać nierówności: a) ( 8 8x 9) 9 ( 9 8) 9x 8, b) ( x ) +x > ( ) x +x 8, c ) x+ x < 7 x x, d ) x+ x x, e) 7 < ( ) x 9 Funkcje logarytmiczne Zadanie 9 Obliczyć wartości podanych wyrażeń: a) log 7, b) log 7, c) log, d) log 8, e) log, f) log, g) log 7, h) log, i) 0+ log 7, j) log, k ) log 9 log 7, l) log log log 7 log 9 Zadanie 9 Obliczyć log 8, jeżeli log = a i log = b Zadanie 9 Korzystając z wykresu funkcji y = x naszkicować wykresy funkcji (w przykładach a), b) omówić również ich własności): a) f(x) = log x, b) f(x) = log x, c) y = log (x ), d) y = log ( x), e) y = + log (x + ), f) y = log x Zadanie 9 Narysować wykresy funkcji: a) f(x) = log x, b) f(x) = log x, c) f(x) = log x, d) f(x) = sgn(log x) Zadanie 9 Rozwiązać równania: a) x =, b) log (x + ) log (x ) =, c) log (x ) =, d) log x [log (log x)] = 0, e) log ( x) + log x = 0, f) (log x) + x log x =, g) (log x) = log x 7

8 Zadanie 9 Rozwiązać nierówności: a) log 7 x <, b) log x >, c) log ( x) >, d) log (x ) log (x ) > log, e) log (log x) 0, f) log (x x ) <, g) 8 log x x x, h) log x + log x > 0, i) log ( x+ x ) Zadanie 97 Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a) f(x) = log [log (x + ) + ], b) f(x) = log (x + ), c) f(x) = log (x+) ( x), d) f(x) = log (x + ) + + x x Odpowiedzi a) π, b) π, c) π, d) π, e) π, f) π, g) π, h) π, i) π, j) π, k) π π π, l), m) π, n), 9 l) π a) 8 90, b) 0, c) 0, d) 0, e) 0, f) 0, g), h) 9, i) 080, j) 90, k), l) 0, m) a) cos α =, tg α =, ctg α =, b) sin α =, tg α =, ctg α = a) y [0; ], b) y [; ], c) y {} a), b), c), d), e), f), 8 9 g), h) 0, i), j), k), l) a) α = π, b) α = π, c) α = π, d) α = 7π, e) α = π, f) α = π 7 a) x = π + kπ lub x = π + kπ, gdzie k Z; b) x = ± π + kπ, gdzie k Z; c) x = π +kπ, gdzie k Z; d) x = π +kπ, gdzie k Z; e) x = π +kπ lub x = π + kπ, gdzie k Z; f) x = π π + kπ lub x = + kπ, gdzie k Z; g ) x = π + kπ, gdzie k Z; h ) x = π + kπ lub x = π + kπ, gdzie k Z 8 a) x [ kπ; π + kπ] [ π + kπ; (k + )π], gdzie k Z; b) x ( π + kπ; 7π + kπ), gdzie k Z; c) x ( π + kπ; π + kπ), gdzie k Z; d) x ( kπ; π + kπ], gdzie k Z; e) x ( π + kπ; π + kπ), gdzie k Z a) [, ], 7, b) [0, 0], 0 a) C(, ), b) C(0, ) a) x = 9, b) x =, [cos α, cos β] = [, ] = B(, 7) 7 P (, ), Q(0, ) 8 a) tak, b) nie 9 k R 0 x = 88 a), b) a), b), c), d) 9, e) 9 π a) nie, b) tak 7 [, ] { x = + t, a) x y = 0, b) y = x, c ) t R; d y = + t, ) x + y = a) x + y = 0, b) x y = 0, c) y + = 0, d) x y = 0 x + y 0 = 0, n = [, ] y = x +, α = π { { x = + t, x = + t, a) t R; b) t R a) x + y = 0, y = t, y = + t, x + y 9 = 0, x + y = 0, b) x y = 0, x y + 7 = 0, x y + 8 = 0, 8

9 c) x + y = 0, x = 0, x + y = 0, d) x y + 7 = 0, x y + = 0, x y = 0 7 (, ) a) S(, ), r =, b) S(, 0), r =, c) S(, ), r =, d) S(, ), r = a) (x ) + (y + ) = 0, b) (x ) + (y ) = (x ) + (y + ) = 8 (x + ) + (y ) = x x + a) (, ( ), b), ) 9 a) x {, }, b) x { 7, 0}, c) x {, }, d) x =, e) x {,,, }, f) x ( ; ] [; ), g) x ( ; ) (; ), h) x R, i) x [, ] x 0x + k =, l =, m = 7 a) x +x, b) x +x x+ 8 a) iloraz x x +x, reszta ; b) iloraz x +x+, reszta x 9 a) x =, b) x {,, +, }, c) x {,, }, d) x = 0 a) x [; ] [; ), b) x [; ] { }, c) x ( ; ) (; ), d) x ( ; ] {} [; ), e) x [ ; ] {}, f) x [0; ], g) x ( ; ) ( ; ), h) x (; ) 7 a) A = ( ; ] (; ), B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ), A \ B = ( ; ] (; ], B \ A = ( ; ] (; ], A = ( ; ] ( ; ]; b) A = ( ; ) (; ), B = ( ; ) [0; ], A B = = ( ; ) [0; ), A B = ( ; ), A \ B = (; ), B \ A = [0; ], A = [ ; ] 7 a) D f = R \ {, 0}, b) D g = R \ {}, c) D h = ( ] [ ; + ; ) 7 a) x =, b) x { ( ) ( )}, +, c) x = 7 a) x ( ; ), b) x ( ; ) [ ; ), c) x ( ; ] 8 a), b), c), d), e), f),, g) 8 a) x =, b) x =, c) x {0, }, d) x =, e ) x = 8 a) x [ ; ], b) x ( ; ), c ) x (; ), d ) x ( ; ], e) x [ 0; ) 9 a), b), c) 8, d), e), f), g), h), i) 900, j), k ), l) 9 a+ b+ a 9 a) x = log, b) x =, c) x = ±, d) x = 9, e) x =, f) x {, 9 9}, g) x {, } 9 a) x (0; 9), b) x ( ; 7) \ {}, c) x ( ; 0), d) x (; ), e) x (; ], f) x ( ; ) (; ), g) x (0; ] [; ), h) x (; ), i) x ( ; 0] [log ; ) 97 a) D f = ( ; ), b) D f = [; ), c) D f = ( ; ) ( ; ), d) D f = ( ; 0] [; 7] x x + a) (, ( ), b), ) 9 a) x {, }, b) x { 7, 0}, c) x {, }, d) x =, e) x {,,, }, f) x ( ; ] [; ), g) x ( ; ) (; ), h) x R, i) x [, ] x 0x + k =, l =, m = 7 a) x +x, b) x +x x+ 8 a) iloraz x x +x, reszta ; b) iloraz x +x+, reszta x 9 a) x =, b) x {,, +, }, c) x {,, }, d) x = 0 a) x [; ] [; ), b) x [; ] { }, c) x ( ; ) (; ), d) x ( ; ] {} [; ), e) x [ ; ] {}, f) x [0; ], g) x ( ; ) ( ; ), h) x (; ) 7 a) A = ( ; ] (; ), B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ] (; ), A B = ( ; ] (; ), A \ B = ( ; ] (; ], B \ A = ( ; ] (; ], A = ( ; ] ( ; ]; b) A = ( ; ) (; ), B = ( ; ) [0; ], A B = 9

10 = ( ; ) [0; ), A B = ( ; ), A \ B = (; ), B \ A = [0; ], A = [ ; ] 7 a) D f = R \ {, 0}, b) D g = R \ {}, c) D h = ( ] [ ; + ; ) 7 a) x =, b) x { ( ) ( )}, +, c) x = 7 a) x ( ; ), b) x ( ; ) [ ; ), c) x ( ] ;?? a) +, b) +, c) + x+, x x+ x x+ x+ x x+ d) + 7, e) +, f) +, g) + +, h) x + x (x ) x x + x + x + x x+ x + x +x+ (x +x+) 8 a), b), c), d), e), f),, g) 8 a) x =, b) x =, c) x {0, }, d) x =, e ) x = 8 a) x [ ; ], b) x ( ; ), c ) x (; ), d ) x ( ; ], e) x [ 0; ) 9 a), b), c) 8, d), e), f), g), h), i) 900, j), k ), l) 9 a+ b+ a 9 a) x = log, b) x =, c) x = ±, d) x = 9, e) x =, f) x {, 9 9}, g) x {, } 9 a) x (0; 9), b) x ( ; 7) \ {}, c) x ( ; 0), d) x (; ), e) x (; ], f) x ( ; ) (; ), g) x (0; ] [; ), h) x (; ), i) x ( ; 0] [log ; ) 97 a) D f = ( ; ), b) D f = [; ), c) D f = ( ; ) ( ; ), d) D f = ( ; 0] [; 7] ϕ 0 π cos ϕ sin ϕ 0 π π π π π 0 π 7π π π π π π 0 7π π 0 tg x = sin x cos x, cos x ctg x =, sin (x + kπ) = sin x, cos (x + kπ) = cos x, sin x tg (x + kπ) = tg x, ctg (x + kπ) = ctg x, gdzie k jest liczbą całkowitą 0

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 2014 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Próbna Nowa Matura z WSiP Październik 0 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY II

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY II 1 ZAŁOśENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II (zakres podstawowy z rozszerzeniem) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony.

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony. MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony I Liczby, zbiory, wartość bezwzględna b Porównaj liczby a oraz Rozw: b a b a [MRI009/pkt] 8 a, b 7 9 a b, gdzie 69, : cos0 5 6 Uzasadnij, że 6 8 [MR/pkt]

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów A i B.

jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów A i B. Zadanie PP-GA-1. W trójkącie równoramiennym prostokątnym punkt C = ( 3, 1) jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAT1317

Analiza Matematyczna MAT1317 Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr

Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr Zagadnienia do egzaminu ustnego z matematyki dla Uzupełniającego Liceum Ogólnokształcącego dla Dorosłych - III semestr I. Wyrażenia wymierne: funkcja wymierna - Dziedzina wyrażenia wymiernego. - Skarcenie

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział Zadanie. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów.

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Zadania z parametrem

Zadania z parametrem Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015

WYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymaga egzaminacyjnych Zdaj cy posiada umiej tno ci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka 7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM Matematyka z plusem dla gimnazjum WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (dp.) P - podstawowy ocena dostateczna (dst.)

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne Wielokąty i okręgi zna twierdzenie Pitagorasa rozumie potrzebę stosowania twierdzenia Pitagorasa umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2013 WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES I. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie notacji wykładniczej. 2. Zna sposób

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy LANIMETRIA oziom podstawowy Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 6 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki kl.i

Przedmiotowy system oceniania z matematyki kl.i I Matematyka klasa I - wymagania programowe DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej (K) rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne (K) umie porównywać

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje notację

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014 WMG DUKCJ Z MTMTK W KLS TRZCJ GMZJUM WG PROGRMU MTMTK Z PLUSM w roku szkolnym 2013/2014 L C Z B OC DOPUSZCZJĄC DOSTTCZ DOBR BRDZO DOBR CLUJĄC zna pojęcie liczby naturalnej, zna pojęcie notacji wykładniczej

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1- poziom podstawowy

PRACA KONTROLNA nr 1- poziom podstawowy XXXIX KORESPONDENCYJNY KURS październik 2009 r. Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1- poziom podstawowy 1.Właścicielhurtownisprzedał 1 3 partiibananówpozałożonejprzezsiebiecenie.okazało się,żeowocezbytszybkodojrzewają,więcobniżyłcenęo30%iwówczassprzedał60%

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń:

DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń: DZIAŁ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) TEMAT ZAJĘĆ CELE PODSTAWOWE CELE PONADPODSTAWOWE 1. Lekcja organizacyjna. Uczeń: Uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo