Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Transkrypt

1 Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 ) 0 nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie 0 o przyroście = 0. Definicja. Jeżeli istnieje granica właściwa ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie 0 to mówimy że funkcja ( f jest ) różniczkowalna w punkcie 0. Wartość tej granicy oznaczamy przez f ( 0 ) lub df d ( 0) i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie 0 : f f() f( 0 ) ( 0 ) = lim = lim f( 0 + ) f( 0 ). Definicja 3. Mówimy że f jest różniczkowalna jeśli jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny. Zadanie 1. Korzystając z definicji pochodnej funkcji obliczyć: a) f () gdzie f() = + 3 b) f () gdzie f() = + 5 c) f () gdzie f() = sin() d) f (0) gdzie f() = sin( ) e) f (4) gdzie f() = log() { sin 1 g) f (0) gdzie f() = 0 0 = 0 h) f (0) gdzie f() = i) f (0) gdzie f() = { ( sin 1 ) 0 0 = 0 { sin () 0 0 = 0 f) f (0) gdzie f() = sin () j) f (0) gdzie f() = 1 Q (). Zadanie. Wyznaczyć wartości parametrów a b c d tak aby funkcja f była różniczkowalna na całym zbiorze liczb rzeczywistych: a) f() = { a + b < b) f() = a + b 1 a + c 1 < d +1 > 1

2 4 0 c) f() = a + b + c 0 < < d) f() = a + b 0 c + d 0 < > 1 Twierdzenie 1 (pochodna funkcji złożonej). Jeśli f ma pochodną w punkcie 0 oraz g ma pochodną w punkcie f( 0 ) to (g f) ( 0 ) = g (f( 0 ))f ( 0 ). Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej). Jeśli f jest ciągła w otoczeniu O( 0 ) jest malejąca albo rosnąca w otoczeniu O( 0 ) ma pochodną f ( 0 ) 0 to f 1 (y 0 ) = 1 f ( 0 ) gdzie y 0 = f( 0 ). Zadanie 3. Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej obliczyć pochodną funkcji: a) f() = (0 ) b) f() = 3 0 c) f() = arcsin() ( 1 1) d) f() = arctg() R e) f() = R f) f() = e R. Twierdzenie 3. Załóżmy że funkcje f g : (a.b) R są różniczkowalne w punkci (a b). Wówczas funkcje f + g fg oraz f/g o ile g() 0 dla (a b) są różniczkowalne w punkcie oraz (f ± g) () = f () ± g () (fg) () = f ()g() + f()g () f () = f ()g() f()g () g [g()] Definicja 4. Mówimy że funkcja f jest n - krotnie różniczkowalna w punkcie 0 jeśli pochodna f (n 1) jest różniczkowalna w punkcie 0. n-tą pochodną funkcji f w punkcie 0 nazywamy liczbę f (n) ( 0 ) := (f (n 1) ) ( 0 ). Twierdzenie 4. Jeśli funkcja jest różniczkowalna to jest ciągła.

3 Definicja 5 (Funkcje klasy C n / C ). Niech f : (a b) R. Mówimy że f jest funkcją klasy C n (co zapisujemy f C n ) gdzie n N jeśli jest ona n- krotnie różniczkowalna a jej n-ta pochodna jest funkcją ciągłą. Mówimy też że funkcja f jest klasy C jeżeli jest klasy C n dla dowolnego n N. Zadanie 4. Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne podanych funkcji: a) f() = n) f() = b) f() = 3 3 c) f() = ( ln(3) ) 4 d) f() = e) f() = +5 3 f) f() = g) f() = 3 7 h) f() = 6 i) f() = ln() j) f() = ( + 3)e 3 k) f() = 015 ln() l) f() = ln(ln(ln())) +1 o) f() = log +3 (5) p) f() = log (ln()) q) f() = r) f() = e e s) f() = t) f() = sin() sin( ) u) f() = sin () sin( ) v) f() = sin() ln() w) f() = tg() ) f() = (tg()) y) f() = tg () 1 cos() z) f() = sin () cos 3 () z ) f() = sin(e +5 4 ) z 3 ) f() = sin()cos() tg() z 4 ) f() = e (sin() + cos()) z 5 ) f() = sin() + z 6 ) f() = sin() + z 7 ) f() = sin ( ) + 3tg(4) z 8 ) f() = sin() arctg() z 9 ) f() = arcsin(sin()) z 10 ) f() = arctg() arcctg ( 1 z 11 ) f() = arctg 1+ 1 ( z 1 ) f() = ln arctg ( 1+ 1 )) ) m) f() = (ln()) 4+ z 1 ) f() = sin (cos(3)) z 13 ) f() = (arctg()). Dodatkowo: obliczyć też f () f () oraz f (1) - tam gdzie to możliwe. Uwaga 1 (Interpretacja geometryczna). Iloraz różnicowy f( 0 + ) f( 0 ) jest równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej wykresu funkcji f przechodzącej przez punkty ( 0 f( 0 )) oraz ( 0 + f( 0 + )) czyli tangensowi kąta jaki sieczna ta tworzy z dodatnią częścią osi OX. Prosta styczna do wykresu funkcji f w punkcie ( 0 f( 0 )) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy istnieje pochodna f ( 0 ). Wówczas prosta ta ma postać y = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) tzn. f ( 0 ) jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi odciętych. 3

4 Zadanie 5. Napisać równanie stycznej i normalnej do krzywej y w punkcie 0 : a) y = = 1 b) y = = c) y = = 1 d) y = 1 0 = 0 e) y = 0 = f) y = w punkcie o odciętej = 1. Zadanie 6. Napisać równanie stycznych do krzywej y = 3 3 i równoległych do prostej y = 1. Definicja 6. Niech f ma pochodną właściwą w punkcie 0. Różniczką funkcji f w 0 nazywamy funkcję df( ) := f ( 0 ) gdzie = 0. Uwaga. Jeżeli f ma pochodną właściwą w punkcie 0 to zachodzi oszacowanie f( 0 + ) f( 0 ) + f ( 0 ) gdzie przyrost funkcji f zastępujemy jej różniczką df. Zadanie 7. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości wyrażeń: a) 0 99 ln(0 99) b) c) log1 001 d) e 001 e) arctg(1 0) f) 0 98 ln0 98 g) e 0999 h) 8 (1) i) arsin(0 53) + (0 53) j) 97 sin ( 97). Definicja 7. Jeżeli funkcja y zmiennej jest określona równaniami parametrycznymi = (t) y = y(t) to pochodna y względem wyraża się wzorem dy Zadanie 8. Obliczyć pochodną dy d d = dy dt d dt. funkcji określonej równaniami parametrycznymi: a) = a cos(t) y = b sin(t) b) = a sin (t) y = a cos (t) c) = a sin 3 (t) y = a cos 3 (t) d) = sin(t) + cos(t) y = cos(t) e) = asin(t)+sin(at) y = acos(t)+cos(at) f) = t + 1 y = t 1 t +1 g) = cos3 (t) y = sin3 (t) cos(t) cos(t) h) = at 1+t 3 y = at 1+t 3 i) = aln(t) y = a t + 1 t t > 0. 4

5 Twierdzenie 5 (reguła de l Hospitala dla nieoznaczoności ). Jeżeli funkcje f g spełniają warunki lim 0 f() = lim 0 g() = istnieje granica lim 0 f () g () to zachodzi równość f() lim 0 g() = lim f () 0 g (). Uwaga 3. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych dla granic w ± oraz przy nieoznaczoności typu Zadanie 9. Obliczyć podane granice: a) lim 0 e e sin() cos() b) lim e 0 + sin() c) lim 0 + ln() d) lim 0 + e 1 e) lim 0 +(sin()) f) lim (tg())cos() π g) lim 0 ln(cos()) ln(cos(3)) 1 h) lim 1 ln() i) lim π (π )tg 1 sin() j) lim 0 + k) lim 0 + esin() l) lim sin() ln() 0 + arcctg(3) m) lim arcctg() + sin() n) lim sin() e o) lim p) lim q) lim 1 + ( ) r) lim e s) lim 0 +(1 e )ctg() + ln() t) lim + 1 u) lim 0 π arccos(). Uwaga: nie zawsze można używać reguły de l Hospitala! Twierdzenie 6. Jeżeli dla każdego z przedziału I funkcja f spełnia warunek: f () = 0 to jest stała na I; f () > 0 to jest rosnąca na I f () < 0 to jest malejąca na I (f () 0 to jest niemalejąca na I); (f () 0 to jest nierosnąca na I). Definicja 8. Funkcja f ma w punkcie 0 ekstremum tzn.: minimum lokalne jeżeli r>0 S(0 r) f() f( 0 ); maksimum lokalne jeżeli r>0 S(0 r) f() f( 0 ). 5

6 Twierdzenie 7 (warunek konieczny istnienia ekstremum). Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w 0 oraz istnieje pochodna f ( 0 ) to f ( 0 ) = 0. Twierdzenie 8 (I warunek wystarczający istnienia ekstremum). Jeżeli f ( 0 ) = 0 oraz ) r>0 ( S( 0 r) f () > 0 S( + 0 r) f () < 0 to funkcja f ma w punkcie 0 maksimum lokalne właściwe; r>0 ( S( 0 r) f () < 0 S( + minimum lokalne właściwe. ) 0 r) f () > 0 to funkcja f ma w punkcie 0 Twierdzenie 9 (II warunek wystarczający istnienia ekstremum). Jeżeli f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0 gdzie n jest parzyste oraz f (n) ( 0 ) < 0 to funkcja f ma w punkcie 0 maksimum lokalne właściwe; f (n) ( 0 ) > 0 to funkcja f ma w punkcie 0 minimum lokalne właściwe. Zadanie 10. Znaleźć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne podanych funkcji: a) f() = e) f() = + sin() j) f() = 1 n) f() = e b) f() = ln() c) f() = ( 3) 3 f) f() = 3 3 g) f() = e cos() h) f() = k) f() = (+) 1 l) f() = (+3)3 (+1) o) f() = ln() p) f() = d) f() = 3 i) f() = e 3 m) f() = e 1 q) f() = e sin(). Zadanie 11. Znaleźć wartości najmniejsze i najwieksze podanych funkcji na wskazanych przedziałach: a) f() = A = [ 3 6] b) f() = A = [0 5] c) f() = sin() + sin() A = [0 3π ] d) f() = ( 3) e A = [ 1 4] e) f() = 16 A = [ 3 ] f) f() = 3 5 A = [ 1 ] g) f() = + 5 A = [1 5] h) f() = A = [0 1]. Definicja 9. Mówimy że funkcja f jest wypukła na przedziale (a b) gdzie a < b jeżeli 1 (ab) λ (01) f(λ 1 + (1 λ) ) λf( 1 ) + (1 λ)f( ). Uwaga 4. W przypadku nierówności funkcję nazywamy wklęsłą na tym przedziale. 6

7 Twierdzenie 10 (warunek wystarczający wypukłości). Jeżeli f ( 0 ) > 0 dla każdego (a b) to funkcja f jest ściśle wypukła na (a b). Analogiczne gdy f ( 0 ) < 0 dla każdego (a b) to funkcja f jest ściśle wklęsła na (a b). Definicja 10. Niech f będzie określona na O( 0 R) R > 0 oraz posiada tam pochodną. Punkt ( 0 f( 0 )) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy istnieje 0 < r R takie że f jest ściśle wypukła na S( 0 r) i ściśle wklęsła na S(+ 0 r) lub odwrotnie. Twierdzenie 11 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia). Jeżeli ( 0 f( 0 ) jest punktem przegięcia funkcji f oraz istnieje pochodna f ( 0 ) to f ( 0 ) = 0. Twierdzenie 1 (I warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia). ) Jeżeli f ma pochodną w 0 oraz r>0 ( S( 0 r) f () > 0 S( + 0 r) f () < 0 to punkt ( 0 f( 0 )) jest punktem przegięcia jej wykresu. Dla odwrotnych nierówności dla drugiej pochodnej twierdzenie również jest prawdziwe. Twierdzenie 13 (II warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia). Jeżeli f ( 0 ) = f ( 0 ) =... = f (n 1) ( 0 ) = 0 gdzie n 3 jest nieparzyste oraz f (n) ( 0 ) 0 to punkt ( 0 f( 0 )) jest punktem przegięcia jej wykresu. Zadanie 1. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia podanych funkcji: a) f() = ln() b) f() = arctg() c) f() = e arctg() d) f() = 1 1 e) f() = cos() f) f() = tg() g) f() = e arctg() h) f() = (ln() 3) i) f() = Twierdzenie 14 (Rolle a). Jeżeli funkcja f spełnia warunki: jest ciągła na [a b] ma pochodną na (a b) f(a) = f(b) wtedy c (ab) f (c) = 0. 7

8 Zadanie 13. Znaleźć stałą c jeżeli funkcja f spełnia założenia tw. Rolle a: a) f() = [0 ] b) f() = 1 [0 ]. Twierdzenie 15 (Lagrange a). Jeżeli funkcja f spełnia warunki: jest ciągła na [a b] ma pochodną na (a b) wtedy c (ab) f (c) = f(b) f(a). b a Zadanie 14. Znaleźć stałą c jeżeli funkcja f() = ln() spełnia założenia tw. Lagrange a na przedziale [1 e]. Zadanie 15. Korzystając z twierdzenia Lagrange a wykazać nierówności: a) +1 < ln(1 + ) < > 0 c) b a b < ln b a < b a a 0 < a < b b) arcsin() 1 0 < < 1 d) e > + 1 > 0. Twierdzenie 16 (wzór Taylora z resztą Lagrange a). Jeżeli funkcja f ma: ciągłą pochodną rzędu n 1 na przedziale [ 0 ] pochodną właściwą rzędu n na przedziale ( 0 ) wtedy istnieje punkt c ( 0 ) taki że f() = f( 0 ) + f ( 0 ) 1! ( 0 ) + f ( 0 )! ( 0 ) f (n 1) ( 0 ) ( 0 ) n 1 Dla 0 = 0 równość tę nazywamy wzorem Maclaurina. (n 1)! + f (n) (c) (n)! ( 0 ) n. Zadanie 16. Napisać wzór Taylora dla funkcji f w punkcie 0 z resztą rzędu n: a) f() = = n = 3 b) f() = 3 ln() 0 = 1 n = 3 c) f() = = 1 n = d) f() = 0 = 4 n = 3. Zadanie 17. Wielomian W () przedstawić jako sumę potęg dwumianu D(): a) W () = D() = b) W () = D() = + 5 c) W () = D() = 4 d) W () = D() = + 1. Bibliografia: 1. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław 00.. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania GiS Wrocław W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach część 1 PWN Warszawa W. Kryszewski Wykład analizy matematycznej cz. 1 - Funkcje jednej zmiennej UMK Toruń