Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011
|
|
- Nadzieja Sobolewska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, O cyna Wydawnicza GiS, Wroc aw 2000 M. Gewert. Z. Skoczylas, Równania ró zniczkowe zwyczajne, O cyna Wydawnicz GiS, Wroc aw 2005 Rachunek ró zniczkowy funkcji dwóch zmiennych. Podzbiory p aszczyzny De nicja. Je zeli p = (x ; y ) i p 2 = (x 2 ; y 2 ), to odleg o scia mi edzy p i p 2 nazywamy liczb e q d (p ; p 2 ) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 Twierdzenie.2 Mo zna wykazać, ze dla dowolnych punktów p ; p 2 ; p 3 2 R 2 zachodzi. d (p ; p 2 ) = 0, p = p 2 2. d(p ; p 2 ) = d (p 2 ; p ) 3. d (p ; p 3 ) d (p ; p 2 ) + d (p 2 ; p 3 ) De nicja.3 Kula o srodku w punkcie p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K (p; r) = fq 2 R 2 : d (p; q) < rg (jest to ko o otwarte o srodku w punkcie p i promieniu r). De nicja.4 Mówimy, ze zbiór A R 2 jest ograniczony, je zeli istnieje kula K (p; r) taka, ze A K (p; r). Mówimy, ze A jest nieograniczony, gdy A nie jest ograniczony (tzn. A nie zawiera si e w zadnej kuli). De nicja.5 Mówimy, ze zbiór U R 2 jest otwarty, gdy dla dowolnego p 2 U istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) U: Mo zna wykazać, ze
2 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH zbiór pusty, zbiór R 2 i kule otwarte sa zbiorami otwartymi suma i iloczyn dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym De nicja.6 Otoczeniem punktu p nazywamy dowolny zbiór otwarty U taki, ze p 2 U. Sasiedztwem punktu p nazywamy ka zdy zbiór postaci U n fpg, gdzie U jest otoczeniem p. De nicja.7 Niech A R 2. Punkt p 2 R 2 nazywamy punktem wewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) A punktem zewn etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ze K (p; r) R 2 n A punktem brzegowym A, gdy w dowolnej kuli K (p; r) istnieja punkty nale z ace do A i punkty nale z ace do R 2 n A punktem skupienia zbioru A, je zeli ka zde sasiedztwo punktu p zawiera jakís punkt zbioru A; punkty, które nie sa punktami skupienia zbioru A nazywamy punktami izolowanymi. De nicja.8 Mówimy, ze zbiór C R 2 jest domkni ety, gdy jego dope nienie R 2 n C jest zbiorem otwartym. Mo zna wykazać, ze zbiór pusty, zbiór R 2 oraz kule domkniete K (p; r) = fq 2 R 2 : d (p; q) rg sa zbiorami domkni etymi suma i iloczyn dwóch zbiorów domkni etych jest zbiorem domkni etym Twierdzenie.9 Zbiór jest domkni ety wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. De nicja.0 Wn etrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewn etrznych A. Wn etrze A oznaczamy przez Int A. Domkni eciem zbioru A nazywamy zbiór A w sumie ze wszystkimi punktami skupienia zbioru A. Domkni ecie A oznaczamy przez A. Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A; oznaczamy go (bd A, Fr A). Zachodzi przy = A n Int A: De nicja. Zbiór A R 2 nazywamy zbiorem spójnym, je zeli przy dowolnym rozk adzie A na sum e dwóch roz acznych i niepustych zbiorów U i V, który s z nich zawiera punkty skupienia drugiego zbioru. Przyk ad.2 De nicja.3 Zbiór D nazywamy obszarem, je zeli D jest otwarty i spójny. Powiemy, ze D jest obszarem domkni etym, gdy jest domkni eciem obszaru. 2
3 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH.2 Granica i ci ag ość funkcji dwóch zmiennych De nicja.4 Mówimy, ze ciag punktów p n = (x n ; y n ) 2 R 2 jest zbie zny do punktu p = (x; y), je zeli lim d (p n; p) = 0: n! Twierdzenie.5 Ciag (p n ) jest zbie zny do punktu p wtedy i tylko wtedy, gdy lim x n = x ^ lim y n = y: n! n! De nicja.6 Niech f : D! R, D R 2 i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem skupienia zbioru D. Mówimy, ze g jest granica funkcji f w punkcie p 0 je zeli lim f (p n) = g n! dla ka zdego ciagu (p n ) punktów zbioru D takiego, ze lim p n = p 0. Piszemy wtedy n! lub równowa znie lim f (p) = g p!p 0 lim f (x; y) = g: (x;y)!(x 0;y 0) g nazywamy te z granica podwójna funkcji f w punkcie (x 0 ; y 0 ). W przypadku, gdy g = ( ), to mówimy o granicy niew a sciwej. Uwaga.7 Granica w punkcie p 0 nie istnieje, gdy istnieja ró zne ciagi (p n ) i (q n ) o wyrazach w zbiorze D takie, ze lim p n = p 0 = lim q n, ale n! n! lim f (p n) 6= lim f (q n) : n! n! Niech f : D! R, D R 2 i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem skupienia dziedziny D. Je zeli istnieje granica lim lim f (x; y) ; x!x 0 y!y 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy najpierw y! y 0, a nastepnie x! x 0. Podobnie, gdy istnieje granica lim lim f (x; y) y!y 0 x!x 0 to nazywamy ja granica iterowana gdy x! x 0, a nastepnie y! y 0. Uwaga.8 Istnienie granicy podwójnej jest niezale zne od istnienia granic iterowanych. Co wi ecej, je zeli granice iterowane istnieja, to moga być ró zne. Przyk ad.9. f (x; y) = xy x 2 +y 2 lim lim f (x; y) x!0 y!0 = 0 = lim y!0 lim f (x; y) ; x!0 ale granica podwójna funkcji f w punkcie (0; 0) nie istnieje 3
4 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH 2. f (x; y) = x2 y 2 x 2 +y 2 lim lim x!0 y!0 i granica podwójna nie istnieje 3. f (x; y) = x sin x sin y x 2 y 2 x 2 + y 2 = ; lim lim y!0 x!0 x 2 y 2 x 2 + y 2 = Twierdzenie.20 Je zeli istnieje granica podwója w punkcie (x 0 ; y 0 ) funkcji f i istnieje jedna z granic iterowanych, to sa sobie równe. Wniosek.2 Je zeli istnieja ró zne granice iterowane w punkcie (x 0 ; y 0 ), to nie istnieje granica podwójna w tym punkcie. De nicja.22 Niech f : D! R, gdzie D R 2. Mówimy, ze funkcja f jest ciag a w punkcie (x 0 ; y 0 ) 2 D, je zeli lim f (x; y) = f (x 0; y 0 ) : (x;y)!(x 0;y 0) Je zeli f jest ciag a w ka zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ze jest ciag a Twierdzenie.23 Je zeli f; g : D! R sa ciag e, to. f g 2. f g 3. f g (o ile g 6= 0) sa funkcjami ciag ymi. Twierdzenie.24 (o lokalnym zachowaniu znaku) Je zeli f : D! R jest ciag a w punkcie p 0 i f (p 0 ) > 0 (f (p 0 ) < 0), to istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze f (p) > 0 (f (p) < 0) dla ka zdego p 2 U \ D. Twierdzenie.25 (Weierstrassa) Za ó zmy, ze f : D! R jest funkcja ciag a okre slona na domkni etym i ograniczonym zbiorze D. Wówczas funkcja f jest ograniczona, co wi ecej istnieja takie punkty (x ; y ) i (x 2 ; y 2 ), ze f (x ; y ) = inf f (x; y) = infff (x; y; ) : (x; y) 2 Dg; (x;y)2d f (x 2 ; y 2 ) = sup f (x; y) = supff (x; y; ) : (x; y) 2 Dg: (x;y)2d Twierdzenie.26 (Darboux) Za ó zmy, ze f : D! R jest funkcja ciag a i D jest zbiorem spójnym. Je zeli f (x ; y ) < < f (x 2 ; y 2 ), gdzie (x ; y ) ; (x 2 ; y 2 ) 2 D, to istnieje taki punkt (x; y) 2 D, ze = f (x; y). 4
5 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH.3 Pochodne cz astkowe. Ró zniczkowalność De nicja.27 Niech f : D! R, D R 2 i niech p 0 = (x 0 ; y 0 ) b edzie punktem wewn etrznym zbioru D.Je zeli istnieje skończona granica lim t!0 t (f (x 0 + t; y 0 ) f (x 0 ; y 0 )) ; to nazywamy ja pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p 0 wzgl edem zmiennej x. Oznaczamy (p 0) ( df dx (p 0), fx 0 (p 0 )) :Podobnie, je zeli istnieje skończona granica lim t!0 t (f (x 0; y 0 + t) f (x 0 ; y 0 )) ; to nazywamy ja pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p 0 wzgl edem zmiennej y i (p 0) ( df dy, f y):a (p 0) = lim t!0 t (f (x 0 + t; y 0 ) f (x 0 ; y 0 (p 0) = lim t!0 t (f (x 0; y 0 + t) f (x 0 ; y 0 )) : Uwaga.28 Niech e = [; 0] i e 2 = [0; ], oraz ' (t) = f (p 0 + te ) ; ' 2 (t) = f (p 0 + te 2 ) : Wówczas ' 0 (p 0) oraz ' 0 2 (p 0). W praktyce pochodna czastkow a wzgledem x (y) obliczamy w ten sposób, ze obliczamy zwyk a pochodna wzgledem x (y), traktujac zmienna y (x) jako sta a. Miedzy innymi przy obliczaniu pochodnych czastkowych mo zna korzystać z zasad ró zniczkowania sumy, ró znicy, iloczynu i ilorazu funkcji. De nicja.29 Je zeli h = [h ; h 2 ] jest dowolnym wektorem, to pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie p 0 = (x 0 ; y 0 ) w kierunku wektora h nazywamy liczb e lim t!0 t (f (x 0 + th ; y 0 + th 2 ) f (x 0 ; y 0 )) (o ile ta granica istnieje i jest skończona). Oznaczamy ja przez fh 0 (p 0). Pochodne czastkowe sa wi ec pochodnymi kierunkowymi w kierunku wektorów e i e 2. Interpretacja geometryczna pochodnych czastkowych Je zeli funkcja f ma pochodna czasktow a wzgl edem zmiennej x dla ka zdego punktu p 2 D, : D! R (p) nazywamy pochodna czastkow a funkcji f wzgl edem zmiennej x. Analogicznie, je zeli f ma pochodna czastkow a wzgledem zmiennej y dla ka zdego p 2 D, : D! R nazywamy pochodna czastkow a funkcji f wzgledem zmiennej y. Przyk ad.30 Obliczyć pochodne czastkowe w punkcie (0; 0) funkcji f (x; y) = xy x 2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 0; (x; y) = (0; 0) : 5
6 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Wprost z de nicji i podobnie fx 0 (0; 0) = lim (f (t; 0) t!0 t f (0; 0)) = lim (0 0) = 0 t!0 t f 0 y (0; 0) = 0: Funkcja f ma pochodne czastkowe w punkcie (0; 0), ale nie jest ciag a w tym punkcie. Uwaga.3 Istnienie pochodnych czastkowych w punkcie p nie gwarantuje ciag ości funkcji w tym punkcie. De nicja.32 Mówimy, ze funkcja f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D, je zeli istnieje otoczenie U punktu p 0, na którym istnieja wszystkie pochodne czastkowe funkcji f i sa one ciag e w punkcie p 0. Mówimy, ze funkcja jest ró zniczkowalna (jest klasy C ) na zbiorze otwartym D, gdy ma ciag e pochodne czastkowe na D. Twierdzenie.33 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D, to dla dowolnego wektora h = [h ; h 2 ] 2 R 2 istnieje pochodna kierunkowa f 0 h (p 0), przy czym f 0 h (p 0) (p 0) h 2 : Wniosek.34 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D, to. f 0 h+k (p 0) = f 0 h (p 0) + f 0 k (p 0) 2. f 0 h (p 0) = f 0 h (p 0) dla dowolnych wektorów h; k 2 R 2 i 2 R. De nicja.35 Za ó zmy, ze f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0. Ró zniczka (zupe n a) funkcji f w punkcie p 0 nazywamy odwzorowanie df (p 0 ) : R 2! R okre slone wzorem df (p 0 ) (p 0) (p 0) h 2 : Twierdzenie.36 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 2 Int D, to istnieje funkcja ' okre slona w otoczeniu 0 2 R 2, ciag a w 0, ' (0) = 0 oraz f (p + h) = f (p) + df (p) (h) + ' (h) jhj ( jhj = p h 2 + h2 2 d ugo sć wektora h:). Wniosek.37 Je zeli f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 2 Int D, to. f jest ciag a w p 2. dla ma ych jhj zachodzi przybli zony wzór f (p + h) f (p) + df (p) (h) : 6
7 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH Niech g : D! R, D R 2, f ; f 2 : I! R, I R, przy czym Wówczas jest sens mówić o z o zeniu f (t) = (f (t) ; f 2 (t)) 2 D; t 2 I: (g f) (t) = g (f (t) ; f 2 (t)) : Twierdzenie.38 Je zeli funkcje f i sa ró zniczkowalne w punkcie t 0 2 I (i = ; 2) oraz g jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 = f (t 0 ), to z o zenie g f jest ró zniczkowalna w t 0 ; przy czym (g f) 0 (t 0 (f (t 0)) f 0 (t 0 (f (t 0)) f 0 2 (t 0 ) = dg (f (t 0 )) ([f 0 (t 0 ) ; f 0 2 (t 0 )]) : Przyk ad.39 Je zeli g : R 2 h (t) = g (cos t; sin t) mamy! R jest ró zniczkowalna oraz f (t) = (cos t; sin t), to dla h 0 (t) = g 0 x (cos t; sin t) sin t + g 0 y (cos t; sin t) cos t: De nicja.40 Niech f : D! R i p 0 2 D. Poziomica funkcji f przechodzac a przez punkt p 0 nazywamy zbiór S (p 0 ) = fp 2 D : f (p) = f (p 0 )g: De nicja.4 Za ó zmy, ze funkcja f : D! R jest ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 Int D. Gradientem f w punkcie p 0 nazywamy rf (p 0 ) (p (p 0) : Je zeli rf (p 0 ) = [0; 0], to mówimy, ze p 0 jest punktem stacjonarnym funkcji f. Uwaga.42. Mo zna wykazać, ze gradient funkcji f wskazuje kierunek najszybszego wzrostu wartości tej funkcji. Ponadto rf (p 0 ) jest wektorem prostopad ym do poziomicy funkcji f przechodzacej przez p df (p 0 ) (h) = rf (p 0 ) h ( oznacza iloczyn skalarny wektorów: [h ; h 2 ][k ; k 2 ] = h k +h 2 k 2 = jhj jkj cos \ (h; k))..4 Pochodne cz astkowe rz edu drugiego Niech f : D! R, D R 2 b edzie zbiorem otwartym i za ó zmy, ze istnieje i (p) dla ka zdego p 2 D (przy oznaczeniu x = x i x 2 = y). Je zeli istnieje (p 0 i w punkcie p 0 2 D, to nazywamy ja druga pochodna czastkow a wzgledem i-tej i j-tej zmiennej. Oznaczamy ja 2 f (p 0 ) lub fx ix j (p 0 ) : i 7
8 . RACHUNEK RÓ ZNICZKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH 2 i@x i (p 0 ) oznaczamy 2 2 i (p 0 ) : De nicja.43 Mówimy, ze funkcja f : D! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0, je zeli istnieja pochodne czastkowe rz edu drugiego na pewnym otoczeniu p 0 i sa ciag e w tym punkcie. Mówimy, ze funkcja f jest dwukrotnie ró zniczkowalna (jest klasy C 2 na zbiorze D; f 2 C 2 (D)), je zeli ma ciag e pochodne czastkowe drugiego rz edu na D. Twierdzenie.44 (Schwarza) Je zeli f : D! R jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 D, 2 (p 0) (p 0) : De nicja.45 Za ó zmy, ze f jest dwrukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 D. Druga ró zniczka f w punkcie p nazywamy odwzorowanie okre slone wzorem d 2 f (p 0 ) : R 2 R 2! R d 2 f (p 0 ) (h; k) 2 (p 0) h k (p 0) (h k 2 + h 2 k ) 2 (p 0) h 2 k 2 gdzie h = [h ; h 2 ], k = [k ; k 2 ]. W szczególnym przypdaku je sli h = k, to d 2 f (p 0 ) (h; h) 2 (p 0) h 2 + (p 0) h h 2 2 (p 0) h 2 2; w skrócie b edziemy pisać d 2 f (p 0 ) h 2 :.5 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych De nicja.46 Mówimy, ze funkcja f : D! R, D R 2 ma maksimum [minimum] lokalne w punkcie p 0 2 D, je zeli istnieje otoczenie U punktu p 0 takie, ze 2 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 : p2u\d p2u\d Je zeli w powy zszym warunku spe niona jest nierówno sć ostra, to mówimy o maksimum [minimum] lokalnym w a sciwym. Je zeli 2 3 ^ f (p) f (p 0 ) 4 ^ f (p) f (p 0 ) 5 ; p2d to mówimy, ze funkcja f ma w punkcie p 0 maksimum [minimum] absolutne oznaczamy je przez max f (p) min f (p) : p2d p2d p2d 8
9 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie.47 (warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego) Je zeli funkcja f ma pochodne czastkowe w punkcie p 0 2 Int D i ma w tym punkcie ekstremum (p 0) = (p 0) = 0: Uwaga.48. Funkcja mo ze mieć ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie posiada pochodnych czastkowych, np. f (x; y) = p x 2 + y Je zeli f jest ró zniczkowalna w p 0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to rf (p 0 ) = 0 (tzn. p 0 jest punktem stacjonarnym). 3. Zerowanie sie pochodnych czastkowych nie wystarcza do tego, zeby istnia o ekstremum lokalne, np dla funkcji f (x; y) = x 2 y 2 mamy rf (0; 0) = [0; 0], ale funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (0; 0). Twierdzenie.49 (warunek wystraczajacy na istnienie ekstremum lokalnego ) Za ó zmy, ze f : D! R, D R 2 jest zbiorem otwarym i f jest dwukrotnie ró zniczkowalna w punkcie p 0 2 D. Je zeli. rf (p 0 ) = 0 2. W (p 0 ) = f xx 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fxy 00 (p 0 ) fyy 00 (p 0 ) > 0 to funkcja f ma w punkcie p 0 ekstremum lokalne w a sciwe, przy czym jest to maksimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) < 0 minimum lokalne, gdy f 00 xx (p 0 ) > 0 Je zeli W (p 0 ) < 0, to f nie ma ekstremum w p 0. Je zeli W (p 0 ) = 0, to jest to przypadek watpliwy, tzn. w zale zno sci od funkcji f mo ze, ale nie musi być ekstremum w tym punkcie. 2 Równania ró zniczkowe zwyczajne 2. Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu pierwszego Niech RR R b edzie zbiorem otwartym i F :! R b edzie taka funkcja, ze pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamościowo równa zero. De nicja 2. Równanie F (x; y; y 0 ) = 0; (2.) w którym niewiadoma jest pewna funkcja y zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym I R, nazywamy równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu pierwszego. De nicja 2.2 Rozwiazaniem szczególnym (ca k a szczególna) równania (2.) nazywamy ka zda funkcj e ' : I! R okre slona na przedziale otwartym (ograniczonym lub nie) taka, ze 9
10 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE. ' jest ró zniczkowalna na I; 2. f(x; ' (x) ; ' 0 (x)) : x 2 Ig ; ^ 3. F (x; ' (x) ; ' 0 (x)) = 0: x2i Wykres rozwiazania ' nazywamy krzywa ca kowa tego równania. Przyk ad 2.3 Dane jest równanie y 0 = e x. Wiadomo, ze y (x) = e x, x 2 R jest rozwiazaniem tego równania. Co wi ecej, ka zda funkcja ' (x) = e x + C; C 2 R jest te z jego rozwiazaniem i sa to jedyne rozwiazania. De nicja 2.4 Zbiór wszystkich rozwiazań szczególnym równania (2.) nazywamy rozwiazaniem ogólnym (ca k a ogólna) tego równania. De nicja 2.5 Niech ' : I! R oraz : J! R b ed a rozwiazaniami równania (2.) takimi, ze I J oraz ^ ' (x) = (x). Wówczas nazywamy przed u zeniem rozwiazania ' x2i (' nazywamy zaw e zeniem ). Je zeli I 6= J, to nazywamy przed u zeniem w a sciwym. Rozwiazanie nazywamy globalnym, je zeli nie istnieje jego w a sciwe przed u zenie. De nicja 2.6 Równanie ró zniczkowe zapisane w postaci y 0 = f (x; y) ; (2.2) gdzie f : D! R, D R 2 jest znana funkcja dwóch zmiennych, nazywamy normalnym. Postać (2.2) nazywamy postacia normalna równania ró zniczkowego zwyczajnego rz edu I. Funkcja ' : I! R jest wiec rozwiazaniem równania (2.2), gdy. ' jest ró zniczkowalna na I; 2. f(x; ' (x)) : x 2 Ig D; ^ 3. ' 0 (x) = f (x; ' (x)) : x2i De nicja 2.7 Niech (x 0 ; y 0 ) 2 D. Zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania szczególnego ' równania (2.2) spe niajacego warunek ' (x 0 ) = y 0 nazywamy zagadnieniem poczatkowym lub zagadnieniem Cauchy ego dla równania (2.2). Geometrycznie sprowadza si e do znalezienia krzywej ca kowej równania (2.2) przechodzacej przez z góry zadany punkt (x 0 ; y 0 ). De nicja 2.8 Rozwiazanie szczególne równia (2.) (lub (2.2)) nazywamy regularnym, je zeli przez zaden punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie nie przechodzi zadna inna krzywa ca kowa tego równania osobliwym, je zeli przez ka zdy punkt krzywej ca kowej wyznaczonej przez to rozwiazanie przechodzi co najmniej jedna inna krzywa ca kowa 0
11 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie 2.9 (Peano) Je zeli funkcja f jest ciag a na obszarze D R 2, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y) : Twierdzenie 2.0 (Cauchy ego) Je zeli funkcja f jest ciag a i ma ciag a pochodna fy 0 na obszarze D R 2, to przez ka zdy punkt tego obszaru przechodzi dok adnie jedna krzywa ca kowa równania y 0 = f (x; y). 2.. Równanie o zmiennych rozdzielonych De nicja 2. Równaniem ró zniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci y 0 = f (x) g (y) ; (2.3) gdzie f : (a; b)! R i g : (c; d)! R sa funkcjami ciag ymi. Niech D = (a; b) (c; d) : ^ Przypadek (i) g (y) 6= 0: y2(c;d) Twierdzenie 2.2 Ka zde rozwiazanie ' równania (2.3) w prostokacie D jest okre slone wzorem ' (x) = ( (x) + C) ; x 2 (; ) (a; b) ; (2.4) gdzie odwrotna do jest funkcja pierwotna funkcji g, jest funkcj a pierwotna f. oraz C jest taka sta a, ze ^ x2(;) oznacza funkcj e (x) + C nale zy do dziedziny funkcji. W tym przypadku zagadnienie Cauchy ego y (x 0 ) = y 0 ma dok adnie jedno rozwiazanie: y 0 = ( (x 0 ) + C) i stad Przypadek (ii) ' (x) = ( (x) + (y 0 ) (x 0 )) : Funkcja g posiada miejsca zerowe w przedziale (c; d). Za ó zmy, ze y 2 (c; d) jest miejscem zerowym funkcji g : g (y ) = 0. Niech ' (x) = y (funkcja sta a). atwo widać, ze jest to rozwiazanie szczególne równania (2.3). Je zeli y ; :::; y k sa miejscami zerowymi funkcji g, y i 2 (c; d), i = ; :::; k, to dzielac zbiór D na zbiory (a; b) (c; y ) ; (a; b) (y ; y 2 ) ; :::; (a; b) (y k ; d) mo zemy na ka zdym z nich znaleźć rozwiazanie równania (2.3) wyra zone wzorem (2.4). Ponadto funkcje sta e ' k (x) = y i, i = ; :::; k sa rozwiazaniami szczególnymi równania (2.3). De nicja 2.3 Niech f : (a; b)! R b edzie funkcja ciag a. Równanie ró zniczkowe postaci y y 0 = f (2.5) x nazywamy równaniem jednorodnym wzgl edem x i y.
12 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Niech D = f(x; y) : a < y x < b ^ x > 0g; D 2 = f(x; y) : a < y x < b ^ x < 0g: Poszukujemy krzywych ca kowych równania (2.5) w zbiorze D = D [ D 2. Twierdzenie 2.4 Funkcja ' : (; )! R jest rozwiazaniem równania (2.5) wtedy i tylko wtedy, gdy u (x) = '(x) x jest rozwiazaniem równania o zmiennych rozdzielonych u 0 = f (u) x 2..2 Równanie liniowe pierwszego rz edu i równanie Bernoullego Niech p; q : (a; b)! R b ed a funkcjami ciag ymi. De nicja 2.5 Równaniem liniowym pierwszego rz edu nazywmy równanie postaci u : y 0 + p (x) y = q (x) : (2.6) Równaniem jednorodnym odpowieadajacym równaniu (2.6) nazywamy równanie Równanie (2.6) nazywamy niejednorodnym. y 0 + p (x) y = 0: (2.7) Twierdzenie 2.6 Ca k a ogólna równania liniowego (2.6) jest klasa funkcji postaci ' s + ' 0 ; gdzie jest dowolna ca k a szczególna równania niejednorodnego (2.6) i ' 0 jest ca k a ogólna równania jednorodnego (2.7), przy czym ' 0 (x) = Ce P (x) ; C 2 R i P jest funkcja pierwotna funkcji p. Metody poszukiwania ca ki szczególnej metoda Lagrange a (uzmienniania/wariacji sta ej) Ca k a ogólna równania (2.7) jest klasa funkcji ' 0 (x) = e P (x), gdzie P jest jakakolwiek funkcja pierwotna f-cji p. Poszukujemy ca ki szczególnej w postaci ' s (x) = C (x) e P (x) (2.8) (w miejscu sta ej C pojawi a sie nieznana funkcja zmiennej x). Skoro ' s ma być ca k a szczególna równania niejednorodnego (2.6), to C 0 (x) = q (x) e P (x) i stad Z C (x) = q (x) e P (x) dx: 2
13 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda przewidywań Je zeli fukcja p jest sta a, p (x) = p 2 R, x 2 (a; b), to rozwiazaniem ogólnym równania jednorodnego (2.7) sa funkcje postaci ' 0 (x) = Ce px ; C 2 R. Je zeli dodatkowo funkcja q jest postaci gdzie q (x) = e x (W n (x) cos x + V m (x) sin x) ; W n, V m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m ; pewne sta e, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (2.6) postaci gdzie ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; R l, S l sa wielomianami zmiennej x stopnia l = maxfm; ng 0; + i 6= p k = : ; + i = p Twierdzenie 2.7 Je zeli ' i : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania y 0 + p (x) y = q i (x), P i = ; :::; n, to ' (x) = n ' i (x) jest rozwiazaniem równania i= y 0 + p (x) y = nx q i (x) : 2.2 Równania ró zniczkowe zwyczajne rz edu drugiego De nicja 2.8 Równaniem ró zniczkowym zwyczajnym rz edu drugiego nazywamy równanie postaci F (x; y; y 0 ; y 00 ) = 0; (2.9) gdzie F :! R, R jest zbiorem otwartym i pochodna F wzgl edem ostatniej zmiennej nie jest to zsamo sciowo równa zero oraz y jest niewiadoma funkcja zmiennej x okre slona na pewnym przedziale otwartym. De nicja 2.9 Odwzorowanie ' : I! R nazywamy rozwiazaniem równania (2.9), je zeli i=. ' jest funkcja dwukrotanie ró zniczkowalna na I; V 2. (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) 2 ; 3. x2i V F (x; ' (x) ; ' 0 (x) ; ' 00 (x)) = 0: x2i De nicja 2.20 Postać równania ró zniczkowego nazywamy postacia normalna. y 00 = f (x; y; y 0 ) (2.0) 3
14 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE De nicja 2.2 Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem poczatkowym) nazwyamy zadanie polegajace na znalezieniu rozwiazania ' równania (2.9) lub (2.0) takiego, ze ' (x 0 ) = y 0 ^ ' 0 (x 0 ) = y0: 0 Równania sprowadzalne do równań pierwszego rz edu F (x; y 0 ; y 00 ) = 0 stosujemy podstawienie u (x) = y 0 (x) F (y; y 0 ; y 00 ) = 0 stosujemy podstawienie 2.2. Równanie ró zniczkowe liniowe rz edu II y 0 = u (y) Niech p; q; f : (a; b)! R b eda funkcjami ciag ymi. De nicja 2.22 Równaniem ró zniczkowym liniowym rz edu II nazywamy równanie postaci Równanie y 00 + p (x) y 0 + q (x) y = f (x) : (2.) y 00 + p (x) y 0 + q (x) = 0 (2.2) nazywamy równaniem jednorodnym odpowiadajacym równaniu (2.). De nicja 2.23 Mówimy, ze funkcje ' ; ' 2 : (a; b)! R sa liniowo zale zne, je zeli istnieja sta e C ; C 2 takie, ze C 2 + C2 2 6= 0 oraz C ' + C 2 ' 2 = 0, tzn. ^ C ' (x) + C 2 ' 2 (x) = 0: x2(a;b) Mówimy, ze ' i ' 2 sa liniowo niezale zne, gdy nie sa liniowo zale zne. Twierdzenie 2.24 Za ó zmy, ze ' i ' 2 sa dowolnymi liniowo niezale znymi ca kami szczególnymi równania jednorodnego (2.2). Wówczas funkcje C ' + C 2 ' 2 ; C ; C 2 2 R; sa te z ca kami równania (2.2). Ponadto, je sli ' 0 jest ca k a szczególna równania (2.2), to istnieja jednoznacznie wyznaczone sta e C i C 2, ze ' 0 = C ' + C 2 ' 2 : De nicja 2.25 Liniowo niezale zne rozwiazania ' i ' 2 równania jednorodnego (2.2) nazywamy uk adem podstawowym ca ek (fundamentalnym uk adem rozwiazań). Je zeli ' i ' 2 jest fundamentalnym uk adem rozwiazań, to ca k a ogólna równania jednorodnego jest rodzina funkcji postaci C ' + C 2 ' 2 ; C ; C 2 2 R: 4
15 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE Twierdzenie 2.26 Ca ki ' i ' 2 równania (2.2) sa liniowo niezale zne wtedy i tylko wtedy, gdy ^ W (x) = ' (x) ' 2 (x) ' 0 (x) ' 0 2 (x) 6= 0: x2(a;b) Wyznacznik W (x) nazywamy wrońskianem (wyznacznikiem Wrońskiego). Twierdzenie 2.27 Ca k a ogólna równania (2.) jest zbiór funkcji postaci ' (x) = C ' (x) + C 2 ' 2 (x) + ' s (x) ; gdzie ' i ' 2 jest uk adem podstawowym ca ek równania (2.2), C ; C 2 sa dowolnymi sta ymi oraz ' s jest dowolna ca k a szczególna równania niejednorodnego (2.). Twierdzenie 2.28 Je zeli ' : (a; b)! R jest rozwiazaniem równania jednorodnego (2.2) i ' (x) 6= 0 dla x 2 (a; b), to Z ' 2 (x) = ' (x) ' 2 (x)e P (x) dx; gdzie P (x) jest dowolna funkcja pierwotna funkcji p na (a; b), jest rozwiazaniem równania jednorodnego (2.2), przy czym ' i ' 2 sa liniowo niezale zne. Przyk ad 2.29 Dane jest równanie y x y0 = 0. Funkcja ' (x) =, x > 0 jest rozwiazaniem szczególnym. Z ' 2 (x) = e R Z Z 2 x dx dx = e ln x 2 dx = x 2 dx = x : Mamy przy tym ' (x) ' 0 (x) ' 2 (x) ' 0 2 (x) = x = 6= 0: x2 0 x 2 ' i ' 2 sa liniowo niezale zne, zatem ca k a ogólna tego równania jest Metody poszukiwania ca ki szczególnej ' 0 (x) = C + C 2 x : metoda Lagrange a (uzmienniania sta ych) Za ó zmy, ze ' i ' 2 sa liniowo niezale znymi rozwiazaniami równania jednorodnego (2.2). Poszukujemy rozwiazania szczególnego równania (2.) w postaci ' s (x) = C (x) ' (x) + C 2 (x) ' 2 (x) ; gdzie C i C 2 sa pewnymi funkcjami ró zniczkowalnymi na przedziale (a; b). niewiadome funkcje mo zna wyznaczyć przez rozwiazanie uk adu równań Tych C 0 (x) ' (x) + C 0 2 (x) ' 2 (x) = 0 C 0 (x) ' 0 (x) + C 0 2 (x) ' 0 2 (x) = f (x) : Zauwa zmy, ze wyznacznikiem tego liniowego uk adu równań jest W (x) = ' (x) ' 2 (x) ' 0 (x) ' 0 2 (x) : 5
16 2. RÓWNANIA RÓ ZNICZKOWE ZWYCZAJNE metoda przewidywań Za ó zmy, ze funkcje p i q w równaniu (2.) sa sta e; otrzymujemy wtedy y 00 + py 0 + qy = 0; p; q 2 R: (2.3) Równaniem charakterystycznym odpowiadajacym równaniu (2.3) nazywamy równanie r 2 + pr + q = 0: (2.4) Niech = p 2 4q. Mamy nastepujace przypadki: > 0 wtedy równanie charakterystyczne ma dwa ró zne pierwiastki r, r 2 ; niech ' (x) = e rx ; ' 2 (x) = e r2x ; = 0 wtedy równanie (2.4) ma jeden podwójny pierwiastek r 0 ; niech ' (x) = e r0x ; ' 2 (x) = xe r0x ; < 0 wtedy równanie (2.4) ma dwa pierwiastki zespolone sprze zone r = i, ; 2 R; niech ' (x) = e x cos x; ' 2 (x) = e x sin x: W ka zdym z tych trzech przypadków funkcje ' i ' 2 tworza fundamentalny uk ad rozwiazań równania (2.3). Je zeli w równaniu o sta ych wspó czynnikach funkcja f jest postaci y 00 + py 0 + qy = f (x) (2.5) f (x) = e x (W n (x) cos x + V n (x) sin x) ; gdzie ; 2 R i W n, V m sa wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m, to istnieje rozwiazanie szczególne równania (2.5) postaci ' s (x) = x k e x (R l (x) cos x + S l (x) sin x) ; gdzie R l, S l sa wielomianami stopnia l = maxfm; ng oraz k 2 f0; ; 2g oznacza krotność pierwiastka + i równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0: 6
Funkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna II
Analiza matematyczna II e nicje, twierdzenia 6 maja 03 K. obrowolska, W. yczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz., HELPMATH, ódź 007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRównania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody".
Równania ró znicowe wg A. Ostoja - Ostaszewski "Matematyka w ekonomii. Modele i metody". Przyk ad. Za ó zmy, ze w chwili t = 0 populacja liczy P 0 osób. Roczny wskaźnik urodzeń wynosi b = 00, a roczna
Bardziej szczegółowoPochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie.
Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Pochodne cz ¾astkowe i ich zastosowanie. maj 2013 1 / 18 Zanim przejdziemy do omawiania pochodnych funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych.
Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Wprowadzenie do równań ró znicowych i ró zniczkowych. maj 2013 1 / 11 Przyjmijmy nast ¾epuj ¾ace oznaczenia:
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 2012 r.
Konkurs Matematyczny, KUL, 30 marca 01 r. W pustych kratkach obok liter A) B) C) D) nale zy wpisać s owo TAK lub NIE. Zadanie zostanie uznane za rozwiazane, jeśli wszystkie cztery odpowiedzi sa poprawne.
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoWyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.
Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowo1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów
Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowo1 Rozk ad normalny. Szczególnym przypadkiem jest standardowy rozk ad normalny N (0; 1), wartości
Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki matematycznej Adam Kiersztyn 2 godziny lekcyjne 2011-10-23 8.20-9.50 1 Rozk ad normalny Jednym z najwa
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoII semestr. Jan Kubarski
II semestr Jan Kubarski 0. Funkcje wielu zmiennych, granice De nition 0.. Ka zd a funkcje f : A! R określona na podzbiorze A R n nazywamy funkcja n-zmiennych. Np. Funkcja f (x; y) xy jest funkcja zmiennych,
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Zbiory na p laszczyźnie Przestrzeni a dwuwymiarow a (p laszczyzn a) nazywamy zbiór wszystkich par uporz adkowanych (x, y), gdzie x, y R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem R 2 : R
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wst ¾epne
Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA
ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoWyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe
Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe Adam Kiersztyn Katolicki Uniwersytet Lubelski Jana Paw a II Lublin 013 Adam Kiersztyn (KUL) Wyznaczniki, macierz odwrotna, równania macierzowe marzec
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoOcena ryzyka kredytowego
Marcin Studniarski http://math.uni.lodz.pl/marstud/ marstud@math.uni.lodz.pl Ocena ryzyka kredytowego (semestr letni 2013/14) 1 Informacje wst epne Celem tego rozdzia u jest powtórzenie pewnych wiadomości
Bardziej szczegółowo7. Nierówno Schwarza. 3. Ci gi i szeregi 1. Ci g liczbowy, zbie no, granica ci gu. 2. Tw. o granicach ci gu (sumy itd.). Tw. o zachowaniu relacji w gr
Analiza Matematyczna - Informatyka Lista tematów na egzamin ustny UWAGA: W odpowiedzi nale y poda stosowne definicje i przyk ady, oraz wykaza si zrozumieniem tematu. 1. Logika, teoria mnogo ci, zbiory
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna 2. Ćwiczenia
Analiza Matematyczna. Ćwiczenia Bogdan Balcerzak 4 Spis treści RACHUNEK CA KOWY JEGO ASTOSOWANA. Ca ka oznaczona................................... Geometryczne zastosowania ca ki oznaczonej....................3
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA
ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA Andrzej FRYSZKOWSKI SZCZECIN, 27 MARCA 2014 Andrzej FRYSZKOWSKI () ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA SZCZECIN, 27 MARCA 2014 1 / 25 BROSZURA OMG I (2005/2006) (opracowanie: Joanna
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoZestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1
Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoRys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi
5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoWSTEP ¾ DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ
st ep do analizy matematycznej STEP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Rachunek zdań, funkcja zdaniowa, kwanty katory Zad. Udowodnić nastepujace prawa rachunku zdań (tautologie): a) p _ (s q) b) p, s (s p) c) (
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. 2. CAŁKA PODWÓJNA Całka podwójna po prostokącie
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem..1. Całka podwójna po prostokącie.. CAŁKA POWÓJNA.. Całka podwójna po obszarach normalnych..3. Całka podwójna po obszarach regularnych..4.
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo