Układy równań i równania wyższych rzędów

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Układy równań i równania wyższych rzędów"

Transkrypt

1 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem była funkcja jednej zmiennej y = y(x) o wartościach rzeczywistych Obecnie zajmiemy się układami równań różniczkowych zwyczajnych Definicja Układem równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu rozwikłanym względem y, y 2,, y n nazywamy układ równań postaci y = f (x, y, y 2,, y n ), y 2 = f 2 (x, y, y 2,, y n ), y n = f n (x, y, y 2,, y n ), gdzie f, f 2,, f n są funkcjami n + zmiennych Rozwiązaniem układu nazywamy n funkcji (jednej zmiennej) y = y (x), y 2 = y 2 (x),, y n = y n (x) spełniających ten układ dla x (a, b) Zagadnieniem Cauchy ego nazywamy problem wyznaczenia takiego rozwiązania układu, które spełnia warunek początkowy y (0) = y (x 0 ), y (0) 2 = y 2 (x 0 ),, y n (0) = y n (x 0 ) Wprowadzając oznaczenia y y (x) y (x) f (x, y) y 2 y =, y(x) = y 2 (x), y 2(x) f 2 (x, y) y (x) =, F (x, y) = y n (x) y n(x) f n (x, y) y n układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej y (x) = F (x, y) (lewą stronę często zapisuje się również w postaci dy dx ), gdzie F : X Rn, X R R n

2 2 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Twierdzenie 2 Jeśli odwzorowanie F : a, b V V, gdzie V jest otwartym podzbiorem przestrzeni R n, jest ciągłe i spełnia warunek F (x, y () ) F (x, y (2) ) L y () y (2) L>0 x a,b y (),y (2) V (warunek Lipschitza względem drugiego argumentu), to układ równań różniczkowych y (x) = F (x, y) z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu punktu x 0 Dowód Szkic Równanie y (x) = F (x, y(x)) możemy przekształcić do postaci ˆ x x 0 y (t)dt = ˆ x x 0 F (t, y(t))dt y(x) y(x 0 ) = ˆ x = F (t, y(t))dt y(x) = y (0) + F (t, y(t))dt, x 0 x 0 x y (x) y 2 (x) gdzie dla y(x) = mamy 0 y (t)dt x x x 0 y x (t)dt = 0 y 2 (t)dt Niech T będzie odwzorowaniem określonym wzorem (T (y)) (x) = y (0) + x x y n (x) x 0 y n (t)dt x 0 F (t, y(t))dt Z założeń twierdzenia wynika, że istnieje taki przedział x 0 ε, x 0 + ε, że ˆ x T : C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ) C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ), T (y)(x) = y (0) + ˆ x x 0 F (t, y(t))dt jest odwzorowaniem zwężającym Punkt stały tego odwzorowania jest rozwiązaniem równania różniczkowego spełniającego warunek początkowy Wniosek 3 Jeśli odwzorowanie F o składowych f, f 2,, f n i pochodne cząstkowe f j y i odwzorowania F są ciągłe w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y (0) ) R n+, to zagadnienie Cauchy ego ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu punktu x 0 2 Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Zajmiemy się szczególnym przypadkiem układu, gdy odwzorowanie F jest określone wzorem F (x, y) = Ay + b(x) (tzn F jest liniowe względem y), gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia n, b : (a, b) R n, tzn b = [ b b 2 b n ] T, gdzie bi : (a, b) R Definicja 4 Układ y = Ay + b(x) nazywamy układem równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Jeśli b(x) 0, to układ nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku układ nazywamy niejednorodnym C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ) oznacza zbiór funkcji ciągłych f : x 0 ε, x 0 + ε R n

3 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 3 2 Układy jednorodne Zajmiemy się najpierw rozwiązywaniem układu jednorodnego y = Ay W przestrzeni M n n (R) mamy normę określoną wzorem A = sup y = Ay, gdzie y = y 2 + y 2 n Twierdzenie 5 (własności normy macierzy) Jeśli A = sup y = Ay, to: a) Ay A y dla każdego y R n, A M n n, b) AB A B dla każdego A, B M n n Odwzorowanie F : a, b R n R n określone wzorem F (x, y) = Ay spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = A Dowód Z własności normy wynika, że dla każdego y, y 2 R n F (x, y ) F (x, y ) = Ay Ay 2 = A (y y 2 ) A y y 2 Zauważmy, że przestrzeń M n n (R) jest przestrzenią skończenie wymiarową, a więc jako przestrzeń unormowana jest przestrzenią zupełną Twierdzenie 6 Szereg S(A) = k=0 k! Ak jest zbieżny Dowód Wykażemy, że ciąg sum częściowych S n (A) = n k=0 k! Ak jest ciągiem Cauchy ego, tzn pokażemy, że spełniony jest warunek S n+m (A) S n (A) ε ε>0 N ε n>n ε m N Z własności normy wynika, że n+m S n+m (A) S n (A) = k! Ak k=0 k=0 n+m n+m = k=n+ k! Ak k! Ak k=n+ = n+m A k k! k! Ak k=n+ n+m k=n+ k! A k Szereg liczbowy k=0 k! A k jest zbieżny (do e A ), zatem jest ciągiem Cauchy ego Wynika stąd, że ciąg S n (A) jest ciągiem Cauchy ego, w konsekwencji szereg S(A) = k=0 k! Ak jest zbieżny Definicja 7 Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n Funkcją wykładniczą macierzy A nazywamy macierz e A = k! Ak, gdzie A 0 = I, A k = A } A {{ A} k razy k=0

4 4 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Z podanej definicji wynika, że dla dowolnej liczby x R mamy e xa = x k k=0 k! Ak Twierdzenie 8 Jednorodny układ n równań różniczkowych liniowych y = Ay z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone dla wszystkich x R y(x) = e (x x 0)A y (0) Wzór podany w twierdzeniu 8 można uprościć korzystając z wartości własnych macierzy A Twierdzenie 9 Niech λ, λ 2,, λ k będą wartościami własnymi macierzy kwadratowej A stopnia n o krotnościach algebraicznych odpowiednio równych n, n 2,, n k, gdzie n + n n k = n, Z j = {z Z n : (A λ j I) n j z = 0} dla j =, 2, k Wówczas równanie różniczkowe y = Ay z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma rozwiązanie postaci y(x) = k j= n j e λ j(x x 0 ) m=0 (x x 0 ) m (A λ j I) m y (0,j), m! gdzie y (0,j) Z j dla j =, 2,, k, y (0) = y (0,) + y (0,2) + + y (0,k) Uwagi Równanie det (A λi) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego y = Ay 2 Podprzestrzenie liniowe Z j = {z Z n : (A λ j I) n j z = 0} nazywamy podprzestrzeniami własnymi macierzy A 3 Jeśli wszystkie wartości własne są liczbami rzeczywistymi, to możemy przyjąć Z j = {z R n : (A λ j I) n j z = 0}, czyli Z j jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R n 4 Rozkład y (0) = y (0,) + y (0,2) + + y (0,k), gdzie y (0,j) Z j dla j =, 2,, k, jest wyznaczony jednoznacznie 5 Nawet jeśli macierz A ma nierzeczywiste wartości własne, to rozwiązanie układu jest rzeczywiste 6 Rozwiązanie ogólne układu y = Ay (bez podanych warunków początkowych) można zapisać w postaci y(x) = k j= n j e λ x jx m m! (A λ ji) m C (j), m=0 gdzie C (j) Z j

5 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 5 Przykład 0 2 Wyznaczymy rozwiązanie układu równań dy dx = y + y 2 + 2y 3, dy 2 dx = y 2 + y 3, dy 3 dx = 2y 3, z warunkiem początkowym y (0) =, y 2 (0) = 2, y 3 (0) = 2 Rozwiązanie Macierz układu ma postać A = 0 Jej wartościami własnymi są pierwiastki wielomianu charakterystycznego w A (λ) = det(a λi) macierzy A Rozwiązując równanie w A (λ) = 0, otrzymujemy λ = o krotności algebraicznej, n = 2 i λ 2 = 2 o krotności algebraicznej n 2 = Wyznaczamy podprzestrzenie niezmiennicze Z, Z 2 R 3, macierzy A Dla λ = mamy (A I) 2 = = Stąd otrzymujemy (A I) 2 z = 0 z = α, z 2 = β,z 3 = 0, gdzie α, β R Dla λ 2 = 2 mamy A 2I = = 0, a więc (A 2I) z = 0 z = 3γ, z 2 = γα, z 3 = γ, gdzie γ R Rozkładając warunek α początkowy na wektory z podprzestrzeni niezmienniczych, otrzymujemy 2 = β + 0 3γ 2 3 γ α = 2, β =, γ =, czyli y (0,) =, y (0,2) = Rozwiązanie układu γ 0 ma zatem postać y(x) = e x + x e 2x, czyli postać 2 3 y(x) = e x + x 0 + e 2x Przykład z książki K Maurin, Analiza, cz I, elementy, PWN 99

6 6 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Składowe rozwiązania są odpowiednio równe y (x) = (x 2)e x + 3e 2x, y 2 (x) = e x + e 2x, y 3 (x) = e 2x c 2 { dy dx Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych = y y 2, dy 2 = y dx + y 2 Rozwiązanie Wartościami własnymi macierzy A są liczby zespolone λ = + i, λ 2 = i[ o ] krotnościach [ ] algebraicznych n = n 2 = i wektorach własnych odpowiednio i równych, Rozwiązanie ogólne ma zatem postać y(x) = e i (+i)x C () +e ( i)x C (2), gdzie wektory [ C ] (), C (2) [ spełniają ] warunki [ ] (A[ ] λ I) C () = 0, (A λ 2 I) C (2) = 0, czyli C () c i = = C, C (2) c2 = = C 2, dla C i, C 2 Z Składowe rozwiązania możemy zatem zapisać w postaci c 22 y (x) = C ie (+i)x + C 2 e ( i)x, y 2 (x) = C e (+i)x + Ci 2 e ( i)x Dla warunków początkowych y (0) =, y 2 (0) =, otrzymujemy układ równań liniowych { C i + C 2 = C + C 2 i = C = 2 2 i, C 2 = i Wstawiając wyznaczone wartości do wzorów na rozwiązanie ogólne i korzystając ze wzorów Eulera, otrzymujemy y (x) = C ie (+i)x + C 2 e ( i)x = 2 ex (( i) i(cos x + i sin x) + ( + i) (cos x i sin x)) = = 2 ex ( i(cos x + i sin x) ii(cos x + i sin x) + (cos x i sin x) + i(cos x i sin x)) = = 2 ex ( i cos x + sin x + cos x + i sin x + cos x i sin x + i cos x + sin x) = = e x (cos x + sin x) Podobnie można wykazać, że y 2 (x) = e x (sin x cos x) W przypadku układu dwóch równań różniczkowych można rozwiązanie ogólne wyznaczać korzystając z poniższego twierdzenia Twierdzenie 2 Niech det (A λi) = 0, gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia 2, będzie równaniem charakterystycznym równania y = Ay a) Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste λ, λ 2, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci y (x) = [ y (x) y 2 (x) ] = e λ x [ c c 2 ] [ + e λ 2x c2 c 22 ]

7 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 7 b) Jeśli równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek podwójny λ = λ = λ 2, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci [ ] ( [ ] [ ]) y (x) y (x) = = e λx c c2 x + y 2 (x) c) Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki zespolone λ = α+iβ, λ 2 = α iβ, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci [ ] ( [ ] [ ]) y (x) y (x) = = e αx c c2 cos (βx) + sin (βx) y 2 (x) Uwaga Stałe c, c 2, c 2, c 22 wyznaczamy korzystając z wyjściowego układu równań i z podanych warunków początkowych y (x 0 ) = y (0), y (x 0 ) = y (0) 2 Przykład 3 Wyznaczymy rozwiązanie układu równań { dy dx = 2y + y 2, dy 2 dx = y + 2y 2, spełniające warunek początkowy y (0) = 2, y 2 (0) = 4 Rozwiązanie Macierz współczynników układu jest równa A = równanie charakterystyczne ma postać 2 λ 2 λ = 0 λ2 4λ + 3 = 0 c 2 c 2 c 22 c 22 [ 2 2 ], a więc Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby λ =, λ 2 = 3 Rozwiązaniem ogólnym są zatem funkcje y (x) = c e x +c 2 e 3x, y 2 (x) = c 2 e x +c 22 e 3x Wyznaczymy stałe c, c 2, c 2, c 22 Zauważmy, że dy = c dx e x + 3c 2 e 3x, dy 2 = c dx 2e x + 3c 22 e 3x Stąd mamy { c e x + 3c 2 e 3x = 2 (c e x + c 2 e 3x ) + c 2 e x + c 22 e 3x, c 2 e x + 3c 22 e 3x = c e x + c 2 e 3x + 2 (c 2 e x + c 22 e 3x ), Porównując stałe przy funkcjach e x i e 3x, otrzymujemy c = 2c + c 2, 3c 2 = 2c 2 + c 22, c 2 = c + 2c 2, 3c 22 = c 2 + 2c 22, czyli { c + c 2 = 0, c 2 c 22 = 0 Uwzględniając warunki początkowe mamy x (0) = c +c 2 = 2, x 2 (0) = c 2 +c 22 = 4, c + c 2 = 0 c a więc stałe wyznaczamy z układu 2 c 22 = 0, otrzymując c c + c 2 = 2 =, c 2 =, c 2 + c 22 = 4 c 2 = 3, c 22 = 3 Rozwiązaniem układu spełniającym zadany warunek początkowy są więc funkcje

8 8 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów y (x) = e x + 3e 3x, y 2 (x) = e x + 3e 3x 22 Układy niejednorodne Zajmiemy się obecnie rozwiązywniem układów niejednorodnych y = Ay + b(x), gdzie b(x) 0 Rozwiązanie bedziemy wyznaczali metodą uzmienniania stałych Twierdzenie 4 Rozwiązanie ogólne układu y = Ay + b(x) jest sumą rozwiązania ogólnego układu jednorodnego y = Ay i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego y = Ay + b(x) Twierdzenie 5 Jeśli funkcje y (x), y 2 (x),,y n (x) są rozwiązaniem układu y = Ay, to dla dowolnych stałych C, C 2,, C n funkcja y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) jest rozwiązaniem układu y = Ay Ponadto, jeśli dla pewnego x 0 R wektory y (x 0 ), y 2 (x 0 ),,y n (x 0 ) są liniowo niezależne, to: a) dla każdego x R wektory y (x), y 2 (x),,y n (x) są liniowo niezależne, b) funkcja y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) jest rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego Rozwiązania układu niejednorodnego y = Ay + b(x) będziemy szukali w postaci y(x) = n j= C j(x)y j (x), gdzie funkcje y (x), y 2 (x),,y n (x) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu jednorodnego, tzn y j = Ay j dla j =, 2,, n Obliczając pochodną funkcji y(x), otrzymujemy y (x) = C j(x)y j (x) + C j (x)y j(x) = C j(x)y j (x) + C j (x)ay j (x) = = j= j= C j(x)y j (x) + A j= j= C j (x)y j (x) = j= j= C j(x)y j (x) + Ay(x) Wstawiając do równania niejednorodnego mamy równość n j= C j(x)y j (x) = b(x) y j (x) Zauważmy, że y j : R R n y 2j (x), zatem y j (x) =, gdzie y ij : R R Układ y nj (x) n j= C j(x)y j (x) = b(x) ma zatem postać C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = b (x), C (x)y 2 (x) + C 2(x)y 22 (x) + + C n(x)y 2n (x) = b 2 (x), C (x)y n (x) + C 2(x)y n2 (x) + + C n(x)y nn (x) = b n (x) Wyznacznik tego układu (nazywany wyznacznikiem Wrońskiego) jest w każdym punkcie x różny od zera Z układu tego wyznaczamy zatem jednoznacznie funkcje C j(x) i po scałkowaniu otrzymujemy funkcje C j (x) j=

9 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 9 Przykład 6 Wyznaczymy rozwiązanie układu { y = 2y + 2y 2 + x, y 2 = 2y y 2 + x [ ] 2 2 Rozwiązanie Macierz układu A = ma wartości własne λ 2 = 2, λ 2 = 3 [ ] [ ] 2 i wektory własne odpowiednio z =, z 2 2 = Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego ma zatem postać y(x) = C e 2x + C [ ] [ ] [ ] 2 e 2 2 e 3x 2x, tzn y (x) = 2e 2x, [ ] 2e 3x y 2 (x) = Przyjmując y(x) = C (x)y (x) + C 2 (x)y 2 (x) otrzymujemy układ e 3x równań względem pochodnych C (x), C 2(x) postaci { C (x)e 2x + 2C 2(x)e 3x = x, 2C (x)e 2x + C 2(x)e 3x = x Stosując wzory Cramera, otrzymujemy C (x) = 5 xe2x, C 2(x) = 3 5 xe 3x, a stąd C (x) = ( xe2x) dx = 5 0 xe2x + 20 e2x + D, C 2 (x) = 3 5 xe 3x dx = 5 xe 3x 5 e 3x + D 2 Ostatecznie mamy y(x) = ( ) [ ] 0 xe2x + e 20 e2x + D 2x 2e 2x + ( ) [ ] 5 xe 3x 2e 5 e 3x + D 3x 2 e 3x = [ = x + D ] 2 2 e 2x + 2D 2 e 3x 2D 6 e 2x + D 2 e 3x { y Przykład 7 Wyznaczymy rozwiązanie układu = 3y y 2 +, y 2 spełniającego = 2y + x, warunek początkowy y (0) =, y 2 (0) = Rozwiązanie Rozwiążemy równanie jednorodne nie wyznaczają [ explicite ] baz podprzestrzeni niezmienniczych Wartościami własnymi macierzy A = są liczby λ =, λ 2 = 2 Rozwiązanie równania jednorodnego możemy zatem zapisać w postaci y (x) = c e x + c 2 e 2x, y 2 (x) = c 2 e x + c 22 e 2x Obliczając pochodne tych funkcji i wstawiając do równania jednorodnego, otrzymujemy zwiazki między stałymi c 2 = 2c oraz c 2 = c 22 Przyjmując C = c oraz C 2 = c 2 rozwiązanie układu jednorodnego zapisujemy w postaci y (x) = C e x +C 2 e 2x, y 2 (x) = 2C e x +C 2 e 2x Uzmienniamy teraz stałe przyjmując y (x) = C (x)e x + C 2 (x)e 2x, y 2 (x) = 2C (x)e x + C 2 (x)e 2x Po zróżniczkowaniu, wstawieniu do równania niejednorodnego i redukcji, otrzymujemy układ równań względem niewiadomych C (x), C 2(x) postaci { C (x)e x + C 2(x)e 2x =, 2C (x)e x + C 2(x)e 2x = x

10 0 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Kontynuując rozwiązanie i uwzględniając warunek początkowy, otrzymujemy rozwiązanie y (x) = 2e x e2x x 3, y (x) = 5 4 e2x 4e x 3 3 x, które możemy 4 2 zapisać również w postaci wektorowej [ 2e y(x) = x e2x x ] e2x 4e x 3 3x Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynikach wyższych rzędów Definicja 8 Równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x), gdzie a n 0 Jeśli b(x) 0 równanie nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku równanie nazywamy niejednorodnym Stosując podstawienie y = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n ) równanie n-tego rzędu sprowadzamy do układu równań liniowych pierwszego rzędu postaci y = y 2, y 2 = y 3, Macierz tego układu ma postać y n = a n ( a n y n a y 2 a 0 y + b(x)) A = a n a 0 a n a a n a 2 a n a n a jej wielomian charakterystyczny jest równy det (A λi) = ( ) n ( λ n + a n a n λ n + + a n a λ + a n a 0 ) Zauważmy, że (λ n + an a n λ n + + an a λ + an a 0 ) = 0 a n λ n +a n λ n + +a λ+a 0 = 0 Definicja 9 Równanie a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x),

11 2 Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynikach wyższych rzędów Zwróćmy uwagę, że równanie charakterystyczne otrzymujemy z równania różniczkowego podstawiając λ k za y (k) Równania liniowe wyższych rzędów możemy rozwiązywać korzystając z metod przedstawionych w porzednich paragrafach o układach równań różniczkowych liniowych Jednoznaczne rozwiązanie otrzymamy przyjmując warunki początkowe postaci y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y () 0,, y (n ) (x 0 ) = y (n ) 0 Przykład 20 Rozwiążemy równanie y + y 2y = 0 z warunkami początkowymi y(0) =, y (0) =, y (0) = 2 Równanie charakterystyczne λ 3 + λ 2 2λ = 0 ma pierwiastki λ = 2, λ 2 = 0, λ 3 = Rozwiązanie ogólne ma zatem postać y = C e 2x + C 2 e 0x + C 3 e x = C e 2x + C 2 + C 3 e x Uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy y (x) = e 2x Równanie różniczkowe niejednorodne a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x) rozwiazujemy metodą uzmienniania stałych Stosując podstawienie y = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n ) sprowadzamy równanie n-tego rzędu do układu równań liniowych y = Ay + b(x), gdzie b(x) = [ 0 0 b(x) ] T Przypomnijmy, że rozwiązanie ogólne układu jednorodnego możemy zapisać w postaci y(x) = C j (x)y j (x), czyli w postaci y y (x) y 2 (x) y n (x) y 2 = C y 2 (x) + C y 22 (x) C y 2n (x) n y n (x) y n2 (x) y nn (x) y n j= Korzystając z równości y = y, y 2 = y, y 3 = y =,, y n = y (n ), otrzymujemy y y (x) y 2 (x) y n (x) y y (x) y 2(x) y n(x) y (n ) = C y (n ) (x) + C 2 y (n ) 2 (x) + + C n y (n ) n (x) Zatem w przypadku rozwiązywania równania niejednorodnego n-tego rzędu metodą uzmienniania stałych C, C 2,, C n, układ równań C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = b (x), C (x)y 2 (x) + C 2(x)y 22 (x) + + C n(x)y 2n (x) = b 2 (x), C (x)y n (x) + C 2(x)y n2 (x) + + C n(x)y nn (x) = b n (x)

12 2 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów względem pochodnych stałych ma w rozważanym przypadku postać C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = 0, C (x)y (x) + C 2(x)y 2(x) + + C n(x)y n(x) = 0, C (x)y (n ) (x) + C 2(x)y (n ) 2 (x) + + C n(x)y (n ) n (x) = b(x) a n, (numer wiersza w tych funkcjach możemy pominąć) Przykład 2 Rozwiążemy równanie y 2y y + 2y = x Rozwiązanie Równanie charakterystyczne λ 3 2λ 2 λ + 2 = 0 ma pierwiastki λ =, λ 2 =, λ 3 = 2 Rozwiążanie ogólne równania jednorodnego jest postaci y(x) = C e x +C 2 e x +C 3 e 2x, czyli y (x) = e x, y 2 (x) = e x, y 3 (x) = e 2x Uzmienniając stałe otrzymujemy uklad równań względem C (x) C 2(x),C 3(x), C (x)e x + C 2(x)e x + C 3(x)e 2x = 0, C (x)e x + C 2(x)e x + 2C 3(x)e 2x = 0, C (x)e x + C 2(x)e x + 4C 3(x)e 2x = x Stąd C (x) = 6 xex, C 2(x) = 2 xe x, C 3(x) = 3 xe 2x, a więc C (x) = 6 xex 6 ex + D, C 2 (x) = 2 xe x + 2 e x D 2, C 3 (x) = 6 xe 2x 2 e 2x + D 3 Stąd otrzymujemy y(x) = x + + D 2 4 e x + D 2 e x + D 3 e 2x

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Równania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu

Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra

Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk

Równania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A

Funkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo