Układy równań i równania wyższych rzędów

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Układy równań i równania wyższych rzędów"

Transkrypt

1 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem była funkcja jednej zmiennej y = y(x) o wartościach rzeczywistych Obecnie zajmiemy się układami równań różniczkowych zwyczajnych Definicja Układem równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu rozwikłanym względem y, y 2,, y n nazywamy układ równań postaci y = f (x, y, y 2,, y n ), y 2 = f 2 (x, y, y 2,, y n ), y n = f n (x, y, y 2,, y n ), gdzie f, f 2,, f n są funkcjami n + zmiennych Rozwiązaniem układu nazywamy n funkcji (jednej zmiennej) y = y (x), y 2 = y 2 (x),, y n = y n (x) spełniających ten układ dla x (a, b) Zagadnieniem Cauchy ego nazywamy problem wyznaczenia takiego rozwiązania układu, które spełnia warunek początkowy y (0) = y (x 0 ), y (0) 2 = y 2 (x 0 ),, y n (0) = y n (x 0 ) Wprowadzając oznaczenia y y (x) y (x) f (x, y) y 2 y =, y(x) = y 2 (x), y 2(x) f 2 (x, y) y (x) =, F (x, y) = y n (x) y n(x) f n (x, y) y n układ równań możemy zapisać w postaci wektorowej y (x) = F (x, y) (lewą stronę często zapisuje się również w postaci dy dx ), gdzie F : X Rn, X R R n

2 2 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Twierdzenie 2 Jeśli odwzorowanie F : a, b V V, gdzie V jest otwartym podzbiorem przestrzeni R n, jest ciągłe i spełnia warunek F (x, y () ) F (x, y (2) ) L y () y (2) L>0 x a,b y (),y (2) V (warunek Lipschitza względem drugiego argumentu), to układ równań różniczkowych y (x) = F (x, y) z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu punktu x 0 Dowód Szkic Równanie y (x) = F (x, y(x)) możemy przekształcić do postaci ˆ x x 0 y (t)dt = ˆ x x 0 F (t, y(t))dt y(x) y(x 0 ) = ˆ x = F (t, y(t))dt y(x) = y (0) + F (t, y(t))dt, x 0 x 0 x y (x) y 2 (x) gdzie dla y(x) = mamy 0 y (t)dt x x x 0 y x (t)dt = 0 y 2 (t)dt Niech T będzie odwzorowaniem określonym wzorem (T (y)) (x) = y (0) + x x y n (x) x 0 y n (t)dt x 0 F (t, y(t))dt Z założeń twierdzenia wynika, że istnieje taki przedział x 0 ε, x 0 + ε, że ˆ x T : C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ) C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ), T (y)(x) = y (0) + ˆ x x 0 F (t, y(t))dt jest odwzorowaniem zwężającym Punkt stały tego odwzorowania jest rozwiązaniem równania różniczkowego spełniającego warunek początkowy Wniosek 3 Jeśli odwzorowanie F o składowych f, f 2,, f n i pochodne cząstkowe f j y i odwzorowania F są ciągłe w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y (0) ) R n+, to zagadnienie Cauchy ego ma dokładnie jedno rozwiązanie określone w pewnym otoczeniu punktu x 0 2 Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Zajmiemy się szczególnym przypadkiem układu, gdy odwzorowanie F jest określone wzorem F (x, y) = Ay + b(x) (tzn F jest liniowe względem y), gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia n, b : (a, b) R n, tzn b = [ b b 2 b n ] T, gdzie bi : (a, b) R Definicja 4 Układ y = Ay + b(x) nazywamy układem równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Jeśli b(x) 0, to układ nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku układ nazywamy niejednorodnym C ( x 0 ε, x 0 + ε, R n ) oznacza zbiór funkcji ciągłych f : x 0 ε, x 0 + ε R n

3 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 3 2 Układy jednorodne Zajmiemy się najpierw rozwiązywaniem układu jednorodnego y = Ay W przestrzeni M n n (R) mamy normę określoną wzorem A = sup y = Ay, gdzie y = y 2 + y 2 n Twierdzenie 5 (własności normy macierzy) Jeśli A = sup y = Ay, to: a) Ay A y dla każdego y R n, A M n n, b) AB A B dla każdego A, B M n n Odwzorowanie F : a, b R n R n określone wzorem F (x, y) = Ay spełnia warunek Lipschitza ze stałą L = A Dowód Z własności normy wynika, że dla każdego y, y 2 R n F (x, y ) F (x, y ) = Ay Ay 2 = A (y y 2 ) A y y 2 Zauważmy, że przestrzeń M n n (R) jest przestrzenią skończenie wymiarową, a więc jako przestrzeń unormowana jest przestrzenią zupełną Twierdzenie 6 Szereg S(A) = k=0 k! Ak jest zbieżny Dowód Wykażemy, że ciąg sum częściowych S n (A) = n k=0 k! Ak jest ciągiem Cauchy ego, tzn pokażemy, że spełniony jest warunek S n+m (A) S n (A) ε ε>0 N ε n>n ε m N Z własności normy wynika, że n+m S n+m (A) S n (A) = k! Ak k=0 k=0 n+m n+m = k=n+ k! Ak k! Ak k=n+ = n+m A k k! k! Ak k=n+ n+m k=n+ k! A k Szereg liczbowy k=0 k! A k jest zbieżny (do e A ), zatem jest ciągiem Cauchy ego Wynika stąd, że ciąg S n (A) jest ciągiem Cauchy ego, w konsekwencji szereg S(A) = k=0 k! Ak jest zbieżny Definicja 7 Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n Funkcją wykładniczą macierzy A nazywamy macierz e A = k! Ak, gdzie A 0 = I, A k = A } A {{ A} k razy k=0

4 4 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Z podanej definicji wynika, że dla dowolnej liczby x R mamy e xa = x k k=0 k! Ak Twierdzenie 8 Jednorodny układ n równań różniczkowych liniowych y = Ay z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma dokładnie jedno rozwiązanie określone dla wszystkich x R y(x) = e (x x 0)A y (0) Wzór podany w twierdzeniu 8 można uprościć korzystając z wartości własnych macierzy A Twierdzenie 9 Niech λ, λ 2,, λ k będą wartościami własnymi macierzy kwadratowej A stopnia n o krotnościach algebraicznych odpowiednio równych n, n 2,, n k, gdzie n + n n k = n, Z j = {z Z n : (A λ j I) n j z = 0} dla j =, 2, k Wówczas równanie różniczkowe y = Ay z warunkiem początkowym y(x 0 ) = y (0) ma rozwiązanie postaci y(x) = k j= n j e λ j(x x 0 ) m=0 (x x 0 ) m (A λ j I) m y (0,j), m! gdzie y (0,j) Z j dla j =, 2,, k, y (0) = y (0,) + y (0,2) + + y (0,k) Uwagi Równanie det (A λi) = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego y = Ay 2 Podprzestrzenie liniowe Z j = {z Z n : (A λ j I) n j z = 0} nazywamy podprzestrzeniami własnymi macierzy A 3 Jeśli wszystkie wartości własne są liczbami rzeczywistymi, to możemy przyjąć Z j = {z R n : (A λ j I) n j z = 0}, czyli Z j jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R n 4 Rozkład y (0) = y (0,) + y (0,2) + + y (0,k), gdzie y (0,j) Z j dla j =, 2,, k, jest wyznaczony jednoznacznie 5 Nawet jeśli macierz A ma nierzeczywiste wartości własne, to rozwiązanie układu jest rzeczywiste 6 Rozwiązanie ogólne układu y = Ay (bez podanych warunków początkowych) można zapisać w postaci y(x) = k j= n j e λ x jx m m! (A λ ji) m C (j), m=0 gdzie C (j) Z j

5 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 5 Przykład 0 2 Wyznaczymy rozwiązanie układu równań dy dx = y + y 2 + 2y 3, dy 2 dx = y 2 + y 3, dy 3 dx = 2y 3, z warunkiem początkowym y (0) =, y 2 (0) = 2, y 3 (0) = 2 Rozwiązanie Macierz układu ma postać A = 0 Jej wartościami własnymi są pierwiastki wielomianu charakterystycznego w A (λ) = det(a λi) macierzy A Rozwiązując równanie w A (λ) = 0, otrzymujemy λ = o krotności algebraicznej, n = 2 i λ 2 = 2 o krotności algebraicznej n 2 = Wyznaczamy podprzestrzenie niezmiennicze Z, Z 2 R 3, macierzy A Dla λ = mamy (A I) 2 = = Stąd otrzymujemy (A I) 2 z = 0 z = α, z 2 = β,z 3 = 0, gdzie α, β R Dla λ 2 = 2 mamy A 2I = = 0, a więc (A 2I) z = 0 z = 3γ, z 2 = γα, z 3 = γ, gdzie γ R Rozkładając warunek α początkowy na wektory z podprzestrzeni niezmienniczych, otrzymujemy 2 = β + 0 3γ 2 3 γ α = 2, β =, γ =, czyli y (0,) =, y (0,2) = Rozwiązanie układu γ 0 ma zatem postać y(x) = e x + x e 2x, czyli postać 2 3 y(x) = e x + x 0 + e 2x Przykład z książki K Maurin, Analiza, cz I, elementy, PWN 99

6 6 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Składowe rozwiązania są odpowiednio równe y (x) = (x 2)e x + 3e 2x, y 2 (x) = e x + e 2x, y 3 (x) = e 2x c 2 { dy dx Przykład Wyznaczymy rozwiązanie ogólne układu równań różniczkowych = y y 2, dy 2 = y dx + y 2 Rozwiązanie Wartościami własnymi macierzy A są liczby zespolone λ = + i, λ 2 = i[ o ] krotnościach [ ] algebraicznych n = n 2 = i wektorach własnych odpowiednio i równych, Rozwiązanie ogólne ma zatem postać y(x) = e i (+i)x C () +e ( i)x C (2), gdzie wektory [ C ] (), C (2) [ spełniają ] warunki [ ] (A[ ] λ I) C () = 0, (A λ 2 I) C (2) = 0, czyli C () c i = = C, C (2) c2 = = C 2, dla C i, C 2 Z Składowe rozwiązania możemy zatem zapisać w postaci c 22 y (x) = C ie (+i)x + C 2 e ( i)x, y 2 (x) = C e (+i)x + Ci 2 e ( i)x Dla warunków początkowych y (0) =, y 2 (0) =, otrzymujemy układ równań liniowych { C i + C 2 = C + C 2 i = C = 2 2 i, C 2 = i Wstawiając wyznaczone wartości do wzorów na rozwiązanie ogólne i korzystając ze wzorów Eulera, otrzymujemy y (x) = C ie (+i)x + C 2 e ( i)x = 2 ex (( i) i(cos x + i sin x) + ( + i) (cos x i sin x)) = = 2 ex ( i(cos x + i sin x) ii(cos x + i sin x) + (cos x i sin x) + i(cos x i sin x)) = = 2 ex ( i cos x + sin x + cos x + i sin x + cos x i sin x + i cos x + sin x) = = e x (cos x + sin x) Podobnie można wykazać, że y 2 (x) = e x (sin x cos x) W przypadku układu dwóch równań różniczkowych można rozwiązanie ogólne wyznaczać korzystając z poniższego twierdzenia Twierdzenie 2 Niech det (A λi) = 0, gdzie A jest macierzą kwadratową stopnia 2, będzie równaniem charakterystycznym równania y = Ay a) Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste λ, λ 2, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci y (x) = [ y (x) y 2 (x) ] = e λ x [ c c 2 ] [ + e λ 2x c2 c 22 ]

7 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 7 b) Jeśli równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek podwójny λ = λ = λ 2, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci [ ] ( [ ] [ ]) y (x) y (x) = = e λx c c2 x + y 2 (x) c) Jeśli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki zespolone λ = α+iβ, λ 2 = α iβ, to równanie y = Ay ma rozwiązanie ogólne postaci [ ] ( [ ] [ ]) y (x) y (x) = = e αx c c2 cos (βx) + sin (βx) y 2 (x) Uwaga Stałe c, c 2, c 2, c 22 wyznaczamy korzystając z wyjściowego układu równań i z podanych warunków początkowych y (x 0 ) = y (0), y (x 0 ) = y (0) 2 Przykład 3 Wyznaczymy rozwiązanie układu równań { dy dx = 2y + y 2, dy 2 dx = y + 2y 2, spełniające warunek początkowy y (0) = 2, y 2 (0) = 4 Rozwiązanie Macierz współczynników układu jest równa A = równanie charakterystyczne ma postać 2 λ 2 λ = 0 λ2 4λ + 3 = 0 c 2 c 2 c 22 c 22 [ 2 2 ], a więc Pierwiastkami równania kwadratowego są liczby λ =, λ 2 = 3 Rozwiązaniem ogólnym są zatem funkcje y (x) = c e x +c 2 e 3x, y 2 (x) = c 2 e x +c 22 e 3x Wyznaczymy stałe c, c 2, c 2, c 22 Zauważmy, że dy = c dx e x + 3c 2 e 3x, dy 2 = c dx 2e x + 3c 22 e 3x Stąd mamy { c e x + 3c 2 e 3x = 2 (c e x + c 2 e 3x ) + c 2 e x + c 22 e 3x, c 2 e x + 3c 22 e 3x = c e x + c 2 e 3x + 2 (c 2 e x + c 22 e 3x ), Porównując stałe przy funkcjach e x i e 3x, otrzymujemy c = 2c + c 2, 3c 2 = 2c 2 + c 22, c 2 = c + 2c 2, 3c 22 = c 2 + 2c 22, czyli { c + c 2 = 0, c 2 c 22 = 0 Uwzględniając warunki początkowe mamy x (0) = c +c 2 = 2, x 2 (0) = c 2 +c 22 = 4, c + c 2 = 0 c a więc stałe wyznaczamy z układu 2 c 22 = 0, otrzymując c c + c 2 = 2 =, c 2 =, c 2 + c 22 = 4 c 2 = 3, c 22 = 3 Rozwiązaniem układu spełniającym zadany warunek początkowy są więc funkcje

8 8 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów y (x) = e x + 3e 3x, y 2 (x) = e x + 3e 3x 22 Układy niejednorodne Zajmiemy się obecnie rozwiązywniem układów niejednorodnych y = Ay + b(x), gdzie b(x) 0 Rozwiązanie bedziemy wyznaczali metodą uzmienniania stałych Twierdzenie 4 Rozwiązanie ogólne układu y = Ay + b(x) jest sumą rozwiązania ogólnego układu jednorodnego y = Ay i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego y = Ay + b(x) Twierdzenie 5 Jeśli funkcje y (x), y 2 (x),,y n (x) są rozwiązaniem układu y = Ay, to dla dowolnych stałych C, C 2,, C n funkcja y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) jest rozwiązaniem układu y = Ay Ponadto, jeśli dla pewnego x 0 R wektory y (x 0 ), y 2 (x 0 ),,y n (x 0 ) są liniowo niezależne, to: a) dla każdego x R wektory y (x), y 2 (x),,y n (x) są liniowo niezależne, b) funkcja y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + + C n y n (x) jest rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego Rozwiązania układu niejednorodnego y = Ay + b(x) będziemy szukali w postaci y(x) = n j= C j(x)y j (x), gdzie funkcje y (x), y 2 (x),,y n (x) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu jednorodnego, tzn y j = Ay j dla j =, 2,, n Obliczając pochodną funkcji y(x), otrzymujemy y (x) = C j(x)y j (x) + C j (x)y j(x) = C j(x)y j (x) + C j (x)ay j (x) = = j= j= C j(x)y j (x) + A j= j= C j (x)y j (x) = j= j= C j(x)y j (x) + Ay(x) Wstawiając do równania niejednorodnego mamy równość n j= C j(x)y j (x) = b(x) y j (x) Zauważmy, że y j : R R n y 2j (x), zatem y j (x) =, gdzie y ij : R R Układ y nj (x) n j= C j(x)y j (x) = b(x) ma zatem postać C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = b (x), C (x)y 2 (x) + C 2(x)y 22 (x) + + C n(x)y 2n (x) = b 2 (x), C (x)y n (x) + C 2(x)y n2 (x) + + C n(x)y nn (x) = b n (x) Wyznacznik tego układu (nazywany wyznacznikiem Wrońskiego) jest w każdym punkcie x różny od zera Z układu tego wyznaczamy zatem jednoznacznie funkcje C j(x) i po scałkowaniu otrzymujemy funkcje C j (x) j=

9 Układy równań różniczkowych zwyczajnych 9 Przykład 6 Wyznaczymy rozwiązanie układu { y = 2y + 2y 2 + x, y 2 = 2y y 2 + x [ ] 2 2 Rozwiązanie Macierz układu A = ma wartości własne λ 2 = 2, λ 2 = 3 [ ] [ ] 2 i wektory własne odpowiednio z =, z 2 2 = Rozwiązanie ogólne układu jednorodnego ma zatem postać y(x) = C e 2x + C [ ] [ ] [ ] 2 e 2 2 e 3x 2x, tzn y (x) = 2e 2x, [ ] 2e 3x y 2 (x) = Przyjmując y(x) = C (x)y (x) + C 2 (x)y 2 (x) otrzymujemy układ e 3x równań względem pochodnych C (x), C 2(x) postaci { C (x)e 2x + 2C 2(x)e 3x = x, 2C (x)e 2x + C 2(x)e 3x = x Stosując wzory Cramera, otrzymujemy C (x) = 5 xe2x, C 2(x) = 3 5 xe 3x, a stąd C (x) = ( xe2x) dx = 5 0 xe2x + 20 e2x + D, C 2 (x) = 3 5 xe 3x dx = 5 xe 3x 5 e 3x + D 2 Ostatecznie mamy y(x) = ( ) [ ] 0 xe2x + e 20 e2x + D 2x 2e 2x + ( ) [ ] 5 xe 3x 2e 5 e 3x + D 3x 2 e 3x = [ = x + D ] 2 2 e 2x + 2D 2 e 3x 2D 6 e 2x + D 2 e 3x { y Przykład 7 Wyznaczymy rozwiązanie układu = 3y y 2 +, y 2 spełniającego = 2y + x, warunek początkowy y (0) =, y 2 (0) = Rozwiązanie Rozwiążemy równanie jednorodne nie wyznaczają [ explicite ] baz podprzestrzeni niezmienniczych Wartościami własnymi macierzy A = są liczby λ =, λ 2 = 2 Rozwiązanie równania jednorodnego możemy zatem zapisać w postaci y (x) = c e x + c 2 e 2x, y 2 (x) = c 2 e x + c 22 e 2x Obliczając pochodne tych funkcji i wstawiając do równania jednorodnego, otrzymujemy zwiazki między stałymi c 2 = 2c oraz c 2 = c 22 Przyjmując C = c oraz C 2 = c 2 rozwiązanie układu jednorodnego zapisujemy w postaci y (x) = C e x +C 2 e 2x, y 2 (x) = 2C e x +C 2 e 2x Uzmienniamy teraz stałe przyjmując y (x) = C (x)e x + C 2 (x)e 2x, y 2 (x) = 2C (x)e x + C 2 (x)e 2x Po zróżniczkowaniu, wstawieniu do równania niejednorodnego i redukcji, otrzymujemy układ równań względem niewiadomych C (x), C 2(x) postaci { C (x)e x + C 2(x)e 2x =, 2C (x)e x + C 2(x)e 2x = x

10 0 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Kontynuując rozwiązanie i uwzględniając warunek początkowy, otrzymujemy rozwiązanie y (x) = 2e x e2x x 3, y (x) = 5 4 e2x 4e x 3 3 x, które możemy 4 2 zapisać również w postaci wektorowej [ 2e y(x) = x e2x x ] e2x 4e x 3 3x Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynikach wyższych rzędów Definicja 8 Równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x), gdzie a n 0 Jeśli b(x) 0 równanie nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku równanie nazywamy niejednorodnym Stosując podstawienie y = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n ) równanie n-tego rzędu sprowadzamy do układu równań liniowych pierwszego rzędu postaci y = y 2, y 2 = y 3, Macierz tego układu ma postać y n = a n ( a n y n a y 2 a 0 y + b(x)) A = a n a 0 a n a a n a 2 a n a n a jej wielomian charakterystyczny jest równy det (A λi) = ( ) n ( λ n + a n a n λ n + + a n a λ + a n a 0 ) Zauważmy, że (λ n + an a n λ n + + an a λ + an a 0 ) = 0 a n λ n +a n λ n + +a λ+a 0 = 0 Definicja 9 Równanie a n λ n + a n λ n + + a λ + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x),

11 2 Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynikach wyższych rzędów Zwróćmy uwagę, że równanie charakterystyczne otrzymujemy z równania różniczkowego podstawiając λ k za y (k) Równania liniowe wyższych rzędów możemy rozwiązywać korzystając z metod przedstawionych w porzednich paragrafach o układach równań różniczkowych liniowych Jednoznaczne rozwiązanie otrzymamy przyjmując warunki początkowe postaci y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y () 0,, y (n ) (x 0 ) = y (n ) 0 Przykład 20 Rozwiążemy równanie y + y 2y = 0 z warunkami początkowymi y(0) =, y (0) =, y (0) = 2 Równanie charakterystyczne λ 3 + λ 2 2λ = 0 ma pierwiastki λ = 2, λ 2 = 0, λ 3 = Rozwiązanie ogólne ma zatem postać y = C e 2x + C 2 e 0x + C 3 e x = C e 2x + C 2 + C 3 e x Uwzględniając warunki początkowe, otrzymujemy y (x) = e 2x Równanie różniczkowe niejednorodne a n y (n) + a n y (n ) + + a y + a 0 y = b(x) rozwiazujemy metodą uzmienniania stałych Stosując podstawienie y = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n ) sprowadzamy równanie n-tego rzędu do układu równań liniowych y = Ay + b(x), gdzie b(x) = [ 0 0 b(x) ] T Przypomnijmy, że rozwiązanie ogólne układu jednorodnego możemy zapisać w postaci y(x) = C j (x)y j (x), czyli w postaci y y (x) y 2 (x) y n (x) y 2 = C y 2 (x) + C y 22 (x) C y 2n (x) n y n (x) y n2 (x) y nn (x) y n j= Korzystając z równości y = y, y 2 = y, y 3 = y =,, y n = y (n ), otrzymujemy y y (x) y 2 (x) y n (x) y y (x) y 2(x) y n(x) y (n ) = C y (n ) (x) + C 2 y (n ) 2 (x) + + C n y (n ) n (x) Zatem w przypadku rozwiązywania równania niejednorodnego n-tego rzędu metodą uzmienniania stałych C, C 2,, C n, układ równań C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = b (x), C (x)y 2 (x) + C 2(x)y 22 (x) + + C n(x)y 2n (x) = b 2 (x), C (x)y n (x) + C 2(x)y n2 (x) + + C n(x)y nn (x) = b n (x)

12 2 Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów względem pochodnych stałych ma w rozważanym przypadku postać C (x)y (x) + C 2(x)y 2 (x) + + C n(x)y n (x) = 0, C (x)y (x) + C 2(x)y 2(x) + + C n(x)y n(x) = 0, C (x)y (n ) (x) + C 2(x)y (n ) 2 (x) + + C n(x)y (n ) n (x) = b(x) a n, (numer wiersza w tych funkcjach możemy pominąć) Przykład 2 Rozwiążemy równanie y 2y y + 2y = x Rozwiązanie Równanie charakterystyczne λ 3 2λ 2 λ + 2 = 0 ma pierwiastki λ =, λ 2 =, λ 3 = 2 Rozwiążanie ogólne równania jednorodnego jest postaci y(x) = C e x +C 2 e x +C 3 e 2x, czyli y (x) = e x, y 2 (x) = e x, y 3 (x) = e 2x Uzmienniając stałe otrzymujemy uklad równań względem C (x) C 2(x),C 3(x), C (x)e x + C 2(x)e x + C 3(x)e 2x = 0, C (x)e x + C 2(x)e x + 2C 3(x)e 2x = 0, C (x)e x + C 2(x)e x + 4C 3(x)e 2x = x Stąd C (x) = 6 xex, C 2(x) = 2 xe x, C 3(x) = 3 xe 2x, a więc C (x) = 6 xex 6 ex + D, C 2 (x) = 2 xe x + 2 e x D 2, C 3 (x) = 6 xe 2x 2 e 2x + D 3 Stąd otrzymujemy y(x) = x + + D 2 4 e x + D 2 e x + D 3 e 2x

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego

Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Funkcje i tabele. Paweł Bednarz 29 marca Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa...

Funkcje i tabele. Paweł Bednarz 29 marca Funkcje Funckja liniowa Własności funkcji liniowej Funkcja kwadratowa... Funkcje i tabele Paweł Bednarz 29 marca 2015 Spis treści 1 Funkcje 2 1.1 Funckja liniowa............................ 2 1.1.1 Własności funkcji liniowej.................. 2 1.2 Funkcja kwadratowa.........................

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo