Zestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1

Transkrypt

1 Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log a ) = ln a f) (a ) = a ln a g) (sin ) = cos h) (cos ) = sin i) (tg ) = cos j) (ctg ) = sin k) (arctg ) = l) (arcctg ) = + m) (arcsin ) = p n) (arccos ) = Podstawowe wzor rachunku ca kowego + p a) R f () g () d = f () g () R f () g () d ca kowanie przez cz e sci b) R f (g ()) g () d = R f (t) dt jt=g() ca kowanie przez podstawienie oraz c) R n d = n+ n+ dla n 6= d) R d = ln + C e) R d = tg + C f) R d = ctg + C cos sin g) R f () sin f () d = cos f () + C h) R f () cos f () d = sin f () + C i) R f () ln f () d = f () (ln f () ) + C j) R f () e f() d = e f() + C k) R f () f n () d = f n+ () + C dla n 6= l) R f () d = ln jf ()j + C n+ f() m) R f () d = arctg f () + C n) R f () d = arcsin f () + C +(f()) p (f()) o) R d = ln a+b + C p) R d = (a+b)(c+d) ad bc c+d a p +b+c 4 arctg a+b p 4 + C 4< q) R p + a d = p + a + a ln p + + a + C r) R p d = ln + p a + C a s) R p a d = p a a ln p + a + C t) R p d = ln a + p + a + C +a u) R p a d = p R a + a arcsin a + C w) d = ln sin a a tg a + C

2 Zadanie. Znaleźć pochodne nast epuj acch funkcji q a) f() = 3 p 4p 3 b) f() = c) f() = 4 3 d) f() = 5p e) f() = 3 3p 4p f) f(t) = ln t q g) f() = 3p h) f() = 3+ i) f() = j) f() = 3 ( )( 3 ) k) f() = a p a l) f() = 3 3 m) f() = a sin a o) f() = arcctg sin p) f() = cos p r) f() = arctg 3 s) f() = arcsin p t) f() = e 3 u) f() = 5e cos 3 w) f() = ln + p + ) f() = e a) f() = (sin ) cos b) f() = (arctg ) c) f() = p d) f() = log a e) f() = log ln f) f() = 5 sin 3. Zadanie. Wznaczć ca ki podanch funkcji a) R ( ) 3 d b) R ( + 3p ) 3 d c) R 3p +4 4p p d d) R e 4 e d e) R p u 3 + p u+ du f) R (e + ) 3 d g) R cos cos sin d h) R d (+ )(+arctg ) i) R d ( )(+) j) R 4 d k) R d l) R + 3p ++ d m) R ( + ) e + d n) R d p o) R arctg d p) R ln d r) R log ( + ) d s) R ln 3 d t) R ln ( + ) d u) R sin 7 d w) R sin cos 3d oraz sprawdzić poprawność odpowiedzi przez ró zniczkowanie.

3 Zestaw. Równania o zmiennch rozdzielonch Zadanie. Rozwiazać podane równania ró zniczkowe o zmiennch rozdzielonch a) = (t + ) b) = ( + t + + t) c) = p d) = t + e) ( + e ) = e t f) sin t = ln g) (e + ) = t h) + 4 = (e t + 4) i) = sin sin t j) + sin t = 3 (t) k) = e +t+ l) d dt = e t. Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) sin t = ln, ( ) = e b) t ( + ) =, (e) = c) = ( + t ), () = d) e ( ) =, () = e) t p dt + p t d =, () = f) p + d = d, () = e g) ( ) + =, () = h) ctg + =, 3 = 4. 3

4 Zestaw. Równania ró zniczkowe jednorodne Zadanie. Rozwiazać podane równania ró zniczkowe jednorodne a) t = t + b) = t + t c) dt + t d = td d) t = 3 t p t t e) t = t f) (t) t 4 = (t) 4 g) t = t h) = t t + i) t d = ( t + t ) dt j) t d dt k) t = tg dt l) = e t d = (ln ln t) t t. Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) (t ) dt + td =, ( ) = b) t = + te t, () = c) t = p t +, () = d) =, () = t+ e) = t t, () = f) (t + t + 3 )dt + (t + t)d =, () =. 4

5 Zestaw 3. Równania ró zniczkowe zupe ne Zadanie. Rozwiazać podane równania ró zniczkowe metoda ró zniczki zupe nej a) ( ) d + ( ) d = b) (3 ) d + (3 ) d = c) ( ) d d = d) e ( e ) = e) e ( + e ) + e ( + e ) d d = f) + = d d g) d d d d = h) d + d + = + + i) (ln ) d + d = j) + e = + e = d d =. Zadanie. Rozwiazać podane równania ró zniczkowe zupe ne metoda cznnika ca kuj acego a) ( ) + ( ) d d = b) + = c) (e ) d d = d) sin + + ( cos + ln ) d d = e) sin + e + cos d d = f) + ( ) d d = g) ( + 3 sin ) d = ctg d h) tg + ( sin ) d d =. 5

6 Zestaw 4. Równania ró zniczkowe liniowe Zadanie. Wznaczć ca ki podanch równań ró zniczkowch liniowch a) + tg = cos b) = 4 c) ( + e ) d d = d) ( + ) d = d e) ( + ) d = d f) ( + ) d = d + 4 ln d g) t + t + t = h) cos t sin t = i) + t = cos t t j) = t + + t + k) (t + 4) + 3t = l) + tg t = cos t. Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) = + e t t, () = =4 b) t + = cos t, (=) = c) t + = t p t, () = d) = t + 3t e t, () = e) t = + te t, () = f) = + e t sin t cos t, () =. 6

7 Zestaw 5. Równania ró zniczkowe Bernoulliego Zadanie. Wznaczć ca ki podanch równań ró zniczkowch Bernoulliego a) + = b) t = t c) ( + t ) t = 4 p ( + t ) arctg t d) d = ( e t ) dt e) t 3 t = 3 f) t = (t + 6 ) g) + t = h) z = z ( ) z i) = j) = 4 k) t ( + ) = l) d dt + t = t. Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) t ( + ) =, () = b) + =, () = c) cos t = cos t, () = d) t + 3 =, () = e) + 4t t =, () = f) ( ) (t + ) =, ( ) =. 7

8 Zestaw 6. Równania ró zniczkowe Riccatiego Zadanie. Wznaczć ca ki podanch równań ró zniczkowch Riccatiego a) = (4t + ) + 4t + t + b) = t + t c) = 4 t t + d) = + e) t + (t ) = f) + e t = e t + e t g) + = t h) t + = 5 t i) = + + t j) = + + k) + + = 4 l) t + = 5 t. Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) ( + ) + =, () = b) + = 6 t, () = c) + =, () =.

9 Zestaw 7. Równania ró zniczkowe liniowe rz edu n o sta ch wspó cznnikach Zadanie. Wznaczć ca ki podanch równań ró zniczkowch liniowch a) = e b) V + = c) = d) = e e) + + = e + f) + = cos + e g) = e t h) + 4 = i) + = j) = k) + = tg t l) = et +e t. Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) =, () = 7, () = 6 b) + 3 =, () = 4, () = c) 4 =, () =, () = d) =, () =, () = e) + =, () =, () = f) = sin e t, () = sin, () = cos. 9

10 Zestaw. Uk ad równań ró zniczkowch liniowch o sta ch wspó cznnikach Zadanie. Rozwiazać podane uk ad równań _ = + a) _ = < _ = + z b) _ = + _z = < _ = + z < c) e) < g) = i) _ = + z _z = z _ = z _ = 3 3z _z = z + = d) f) < z _ = z _ = + _z = 3 + z _ = 3 z _ = 3 4 3z _z = h) = 3 _z A Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) =, () = 3 4 b) = _z 3 A () = z () () z () A e e A z A. d) _ = + _ =, () = () =.

11 Zestaw 9. Uk ad równań ró zniczkowch liniowch o sta ch wspó cznnikach Zadanie. Rozwiazać podane uk ad równań a) _ = _ = e3t e t + _ = 4 + b) e t 3 _ = e t c) e) _ = + t _ = 3 + e t d) _ = + + sin 3t _ = g) = i) 5 4t + f) = _ = + te t _ = te t j) _ = + t _ = t 5 3 h) _z A + e t + Zadanie. Rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe e a) t 5 = + e t, () = 5 b) = + sin t cos t, () = sin t cos t z A t t + A. c) _ = + + sin 3t _ =, () = () = Zadanie 3. Dla podanch macierz wznaczć e A a) A = 3 3, b) A =, c) A =

12 Zestaw. Asmptotczna stabilność rozwiazań Zadanie. Zbadać lokalna asmptotczn a stabilność rozwiazań zerowch równań ró zniczkowch z Zestawu 5. Zadanie. Zbadać lokalna asmptotczn a stabilność rozwiazań zerowch uk adów równań ró zniczkowch z Zestawu 6. Zadanie 3. Wznaczć wszstkie wartości parametrów R, dla którch rozwiazania zerowe podanch uk adów sa lokalnie asmptotcznie stabilne < _ = + < _ = + < _ = a) _ = + z b) _ = z c) _ = + _z = z _z = z _z = + z. Zadanie 4. Wznaczć wszstkie wartości parametrów R, dla którch rozwiazania zerowe podanch równań ró zniczkowch sa lokalnie asmptotcznie stabilne a) = b) IV = c) IV = d) IV = e) IV = f) IV =.

13 Zestaw. Transformata Laplace a Zadanie. Stosujac metod e transformat Laplace a rozwiazać podane zagadnienia poczatkowe a) = sin t () = () = b) d dt 3 = e t () = c) + = t () = () = d) + = e t () = = e) + = t () = () = f) = te t () = () = g) + = () = = () = h) = () = = () = i) = + + e t () = = + e t () = < < j) = + = + z z = z () = () = z () =. 3