Równania różniczkowe wyższych rzędów

Transkrypt

1 Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp Istnienie rozwiązań Rozwiązanie ogólne Obniżanie rzędu równania Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego Rozwiązywanie równań niejednorodnych Metoda uzmienniania stałych Metoda Cauchy ego Zadania Zadania na Zadania na Zadania na Wstęp 1.1 Istnienie rozwiązań Sprowadzenie do układu równań pierwszego rzędu. Każde jawne równanie różniczkowe rzędu n y n) = f x, y, y,..., y n 1)) można przez wprowadzenie nowych zmiennych: y 1 = y y 2 = y... y n 1 = y n 1) przekształcić do układu n równań różniczkowych pierwszego rzędu: dy dx = y 1 1

2 dy 1 dx = y 2... dy n 1 dx = f x, y, y 1,..., y n 1 ) W porównaniu z powyższym bardziej ogólny układ n równań różniczkowych pierwszego rzędu: dy i dx = f i x, y 1, y 2,..., y n ) dla i = 1, 2,..., n 1) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe określone i ciągłe w przedziale i spełniające warunek początkowy: jeśli tylko funkcje y i = y i x) dla i = 1, 2,..., n x 0 h x x 0 + h y i x 0 ) = y i0 dla i = 1, 2,..., n f i x, y 1, y 2,..., y n ) są ciągłe względem wszystkich zmiennych i spełniają warunek Lipschitza. 1.2 Rozwiązanie ogólne Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego zawiera n niezależnych stałych: y = y x, C 1, C 2,..., C n ) Aby całka szczególna spełniała warunki początkowe, wartości C 1, C 2,..., C n muszą zostać wyznaczone z równań: y x 0, C 1,..., C n ) = y 0 [ ] d dx y x, C 1,..., C n ) = y 0 x=x 0... [ ] d n 1 dx n 1 y x, C 1,..., C n ) = y n 1) 0 x=x 0 Rozwiązanie ogólne układu 1) również zawiera n stałych dowolnych. Rozwiązanie to możemy przedstawić na dwa sposoby, w postaci rozwiązanej albo względem niewiadomych funkcji: y 1 = F 1 x, C 1,..., C n ) y 2 = F 2 x, C 1,..., C n ) 2

3 albo względem stałych dowolnych:... y n = F n x, C 1,..., C n ) φ 1 x, y 1, y 2,..., y n ) = C 1 φ 2 x, y 1, y 2,..., y n ) = C 2... φ n x, y 1, y 2,..., y n ) = C n Dla drugiego przypadku, każdą relację postaci φ i x, y 1, y 2,..., y n ) = C i nazywamy całką pierwszą układu 1). Jeśli dana jest jakakolwiek całka szczególna powyższej postaci to funkcja φ i x, y 1, y 2,..., y n ) musi spełniać następujące równanie różniczkowe cząstkowe: φ i x + f 1 x, y 1,..., y n ) φ i y f n x, y 1,..., y n ) φ i y n = 0 i odwrotnie, każde rozwiązanie φ i x, y 1,..., y n ) powyższego równania różniczkowego jest całką pierwszą układu 1). Rozwiązanie ogólne układu 1) można złożyć z n całek pierwszych tego układu, takich, że odpowiednie funkcje φ i x, y 1,..., y n ) pozostają liniowo niezależne. 1.3 Obniżanie rzędu równania Jedną z najważniejszych metod całkowania równań różniczkowych n-tego rzędu f x, y, y,..., y n)) = 0 jest podstawienie nowych zmiennych. Rozwiązywanie równań szczególnych typów: 1. Równanie bez jawnie występującego y: f x, y,..., y n)) = 0 Dokonujemy podstawienia: y = p. Jeśli pierwszych k pochodnych nie występuje w równaniu wyjściowym, to stosujemy podstawienie postaci: y k+1) = p 3

4 Przykład: Po podstawieniu y = p: y xy + y 3 = 0 p x dp ) dp 3 dx + = 0 dx Otrzymujemy równanie pierwszego rzędu. Rozwiązanie: Po podstawieniu i scałkowaniu: Po ponownym całkowaniu: p = C 1 x C 3 1 y = 1/2C 1 x 2 C 3 1x + C 2 y = 1/6C 1 x 3 C 3 1x 2 /2 + C 2 x + C 3 Równanie na wolframalpha.com, 27%27-xy%27%27%27%2By%27%27%27^3+%3D Równanie bez jawnie występującego x: f y, y,..., y n)) = 0 Celem jest takie podstawienie aby otrzymać równanie różniczkowe rzędu n 1 z nową zmienną zależną p i zmienną niezależną y. Dokonujemy podstawienia: y = d2 p dx 2 = dp dp dy dx y = p 2) y = dp dx = dy dp dx dy = pdp dy = dp dp dx dy + pddp dy dx = pdp dy i redukujemy równanie do równania rzędu n 1. Przykład: yy y 2 = 0 yp dp dy p2 = 0 / : p p 0 y dp dy p = 0 / : py y 0 1 p dp 1 y dy = 0 ln p ln y = lne C 4 dp dy + p dy d dp dy dx dy = pdp dp dy dy + p2 d2 p dy 2 3)

5 p y = ec p = C 1 y C 1 0 dy dx = C 1y ln y = C 1 x + C 2 ln y = lne C 1x + lne C 2 y = C 3 e C 1x C 3 0 Gdy p = 0, to otrzymujemy funkcję stałą, która spełnia równanie, więc dołączamy C 1 = 0 i C 3 = 0. Gdy y = 0, jest to też stała, która już była rozpatrywana C 3 = 0). Więc ostatecznie y = C 3 e C 1x Równanie na wolframalpha.com, 27%27-y%27^2+%3D+0. Przykład Po zamianie zmiennych otrzymujemy y y = 0 4) p dp dp dy dy + p2 d2 p dy 2 p = 0 5) Możemy wyłączyć p przed nawias: ) dp dp p dy dy + p pd2 dy 2 1 = 0 6) Równanie jest spełnione gdy p = 0, czyli y = C oraz gdy spełnione jest drugie równanie. Następnie ponownie obniżamy rząd drugiego równania: gdzie t 2 + pt dt dp 1 = 0 7) p = t 8) Jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, także Bernoulliego, http: // Rozwiązanie c1 + p t p) = ± 2 9) p 5

6 Następnie powracamy do zmiennej p podstawiając 8) p = ± c1 + p 2 p 10) pp = ± c 1 + p 2 11) p 2 p 2 = c 1 + p 2 12) Równanie na wolframalpha.com 29^2p%27^2+%3D+c1+%2B+p^2. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych. Wynik p = ± ±2c 2 y + c 2 2 c 1 + y 2 13) Następnie powracamy do zmiennej y podstawiając 2) y = ± ±2c 2 y + c 2 2 c 1 + y 2 14) y 2 = ±2c 2 y + c 2 2 c 1 + y 2 15) Równanie 28x%29+%2B+c_2^2+-+c_1+%2B+y%28x%29^2 oraz input/?i=y%27%28x%29^2+%3d+-2c_2y%28x%29+%2b+c_2^2+-+c_1+%2b+y%28x%29^2. Równanie to można rozwiązać za pomocą zmiennych rozdzielonych. Rozwiązania y = 1 2 c 1 e c 3 x + e c 3+x 2c 2 ) 16) y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x ) 2c 2 2 y = 1 ) c 1 e c3 x + e c3+x + 2c 2 2 y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x ) + 2c 2 2 Możemy te rozwiązania połączyć ze sobą: y = 1 2 ) c 1 e c3 x + e c3+x + 2c 2 y = 1 c1 e x c 3 + e c3 x + 2c 2 2) 17) 18) 19) 20) 21) gdzie c 2 = ±c 2. Równanie wyjściowe 27%3D0. 6

7 3. Funkcja f jest funkcją jednorodną zmiennych y, y,..., y n). Dokonujemy podstawienia: z = y y y 0 Przykład: Funkcja f jest jednorodna ponieważ: dz dx = y y y 2 y 2 yy y 2 = 0 λx 1 λx 2 λ 2 x 2 3 = λ 2 x 1 x 2 x 2 3 ) Po podstawieniu otrzymujemy: y 2 dz dx = 0 y = 0 z = C y y = C ln y = Cx + C 1 y = C 2 e Cx C 2 0 Po połączeniu z drugim rozwiązaniem y = 0 otrzymujemy y = C 3 e Cx gdzie C 3 R. Alternatywnie można zauważyć ogólnie, że y = e zdx y = ze zdx y = z e zdx + z 2 e zdx oraz dodatkowo musimy sprawdzić rozwiązanie y = 0. Po podstawieniu w przykładzie otrzymujemy ) e zdx z e ) 2 zdx + z 2 e zdx z e 2 zdx = 0 z = 0 z = C i dalej podobnie. Równanie na wolframalpha.com, com/input/?i=yy%27%27-y%27^2%3d0. 7

8 4. f jest postaci: y n) = f x) Rozwiązanie ogólne otrzymujemy przez n-krotne całkowanie: y = C 1 + C 2 x + C 3 x C n x n 1 + ψ x) gdzie ψ x) =... f x) dx) n = 1 x f t) x t) n 1 dt n 1)! x Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu Równanie różniczkowe postaci: y n) + a 1 x) y n 1) + a 2 x) y n 2) a n 1 x) y + a n x) y = F x) 22) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu. Zakładamy, że funkcje F i a i zmiennej x są ciągłe w pewnym ustalonym przedziale. W przypadku, gdy a 1, a 2,..., a n są stałymi, równanie nazywamy równaniem różniczkowym o stałych współczynnikach, gdy F 0 równaniem różniczkowym jednorodnym nie mylić z funkcjami jednorodnymi) i dla F 0 równaniem różniczkowym niejednorodnym. Układ n rozwiązań y 1, y 2,..., y n pewnego liniowego równania różniczkowego określamy jako podstawowy fundamentalny), jeśli funkcje te w rozpatrywanym przedziale są liniowo niezależne, innymi słowy kombinacja liniowa: C 1 y 1 + C 2 y C n y n nie może znikać tożsamościowo dla jakichkolwiek wartości C 1, C 2,..., C n z wyjątkiem: C 1 = C 2 =... = C n = 0 Rozwiązania jednorodnego liniowego równania różniczkowego y 1, y 2,..., y n tworzą układ podstawowy, wtedy i tylko wtedy, gdy ich wyznacznik Wrońskiego wrońskian) y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n W x) = y n 1) 1 y n 1) 2... y n n 1) jest różny od zera. Dla każdego układu rozwiązań rozważanego równania zachodzi wzór Liouville a: W x) = W x 0 ) e x a x 1 x)dx 0 Dla tego równania n rozwiązań y 1, y 2,..., y n są liniowo zależne wtw, gdy wrońskian przyjmuje wartość zero chociażby tylko w jednym punkcie x 0 rozpatrywanego przedziału. Jeśli natomiast rozwiązania y 1, y 2,..., y n tworzą układ podstawowy, to rozwiązanie ogólne równania różniczkowego liniowego jednorodnego możemy zapisać w postaci: y = C 1 y 1 + C 2 y C n y n 8

9 Przykład: y y = 0 Można łatwo sprawdzić, że powyższe równanie ma dwa rozwiązania szczególne: y 1 = e x y 2 = e x Aby zbadać czy są one liniowo zależne, czy też niezależne, tworzymy wrońskian: e W [y 1, y 2 ] = x e x = 2 0 e x e x Dlatego oba rozwiązania szczególne tworzą układ fundamentalny i rozwiązaniem ogólnym jest: y = C 1 e x + C 2 e x Równanie na wolframalpha.com, y%3d0. Przykład 2: Znajdziemy rozwiązanie równania różniczkowego przy pomocy wzoru Liouville a. y + p 1 y + p 2 y = 0 które ma rozwiązanie szczególne y 1. Ze wzoru Liouville a otrzymujemy: y 1 y y 1 y = Ce p 1 dx Po przekształceniu: Po scałkowaniu: y 1 y y 1y = Ce p 1 dx / : y 2 1 y 1 0 y = y 1 Ce p 1 dx dx + C 2 y Obniżanie rzędu równania liniowego jednorodnego Jeśli znamy pewne rozwiązanie szczególne y 1 równania jednorodnego, to pozostałe rozwiązania możemy wyznaczyć przez podstawienie: y = y 1 x) u x) z otrzymanego w ten sposób liniowego równania jednorodnego rzędu n 1 na funkcję u x) podstawienie u x) = vx)). Przykład: y + x 1 x y 1 1 x y = 0, x 1 9

10 Rozwiązaniem szczególnym jest: ponieważ: e x + Postulujemy rozwiązanie postaci: Podstawiamy: Po podstawieniu otrzymujemy: e x u x) + 2e x u x) + e x u x) + Podstawiamy następnie φ 1 = e x x 1 x ex 1 1 x ex = x 1 x 1 1 x = x 1 1 x = 0 φ 2 = e x u x) y = e x u x) y = e x u x) + e x u x) y = e x u x) + 2e x u x) + e x u x) u x) + 2u x) + u x) + Rozwiązaniem tego równania jest: x e x u x) + e x u x) ) 1 1 x 1 x ex u x)) = 0 xu x) 1 x + xu x) 1 x u x) 1 x = 0 u x) + u x) 1 x + 2u x) xu x) u x) 1 x 1 x = 0 u x) + 2u x) xu x) 1 x u x) + u x) 2 x = 0 1 x = 0 ) = 0 u x) + u x) x u x) = v x) v x) + v x) ) = 0 1 x v x) = C 1 x) e x 10

11 Przyjmujemy C = 1. Skąd otrzymujemy: u x) = v x) dx = 1 x) e x dx = e x xe x dx + C = = e x + xe x Wybieramy C = 0, i otrzymujemy: e x dx + C = xe x + C φ 2 = e x u x) = x A więc rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać: y x) = C 1 e x + C 2 x Sprawdzić za pomocą Wrońskianu, że rozwiązania szczególne są liniowo niezależne. Równanie na wolframalpha.com, x%2f%281-x%29y%27+-+1%2f%281-x%29y%3d Rozwiązywanie równań niejednorodnych Jeśli znaleziony został podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego, to możemy zastosować następujące dwie metody Metoda uzmienniania stałych Po angielsku variation of parameters. Poszukiwane rozwiązanie postulujemy w postaci: y = C 1 y 1 + C 2 y C n y n 23) gdzie C 1, C 2,..., C n nie są w tym przypadku stałymi, ale funkcjami zmiennej x, a y i to rozwiązania szczególne równania różniczkowego jednorodnego niezależne od siebie. Żądamy przy tym, aby spełnione były poniższe równania: Możemy zapisać te równania jako C 1y 1 + C 2y C ny n = 0 24) C 1y 1 + C 2y C ny n = 0 25)... C 1y n 2) 1 + C 2y n 2) C ny n 2) n = 0 C iy j) i = 0 dla j = 0, 1,..., n 2. Ostatnie równanie będzie następujące C 1y n 1) 1 + C 2y n 1) C ny n n 1) = F 11

12 Zapisane inaczej C iy n 1) i = F. 26) Z powyższych równań wyznaczamy C 1, C 2,..., C n, z których przez scałkowanie otrzymujemy funkcje C 1, C 2,..., C n. Dowód. Wyprowadzenie równania 26). Zauważmy, że różniczkując 23) otrzymujemy y = C 1y 1 + C 1 y 1 + C 2y 2 + C 2 y C ny n + C n y n Możemy podstawić do powyższego 24) i otrzymamy y = C 1 y 1 + C 2 y C n y n Różniczkując kolejny raz powyższe otrzymujemy y = C 1y 1 + C 1 y 1 + C 2y 2 + C 2 y C ny n + C n y n Po podstawieniu 25) otrzymujemy y = C 1 y 1 + C 2 y C n y n Ogólnie różniczkując j-krotnie otrzymujemy y j) = dla j = 0,..., n 1. A dla j = n otrzymujemy y n) = C iy n 1) i + C i y j) i 27) C i y n) i 28) ponieważ tego pierwszego składnika nie możemy już uprościć. Następnie podstawiamy wszystkie 27) oraz 28) do 22) i otrzymujemy: C iy n 1) i + C iy n 1) i + C i y n) i + a 1 x) C i y n 1) i a n x) C i y i = F x) C i y n) i + a 1 x) y n 1) ) i a n x) y i = F x) Ponieważ y i są rozwiązaniami równania jednorodnego, a więc drugi składnik sumy znika i otrzymujemy 26). 12

13 Równania od 1 do n 1 zostały dobrane w sposób arbitralny, aby były możliwie proste. A ostatnie równanie tak aby było spełnione równanie wyjściowe. Przykład: y + x 1 x y 1 1 x y = x 1 Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne: y + x 1 x y 1 1 x y = 0 Równanie to zostało już wcześniej rozwiązane, rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać: y x) = C 1 e x + C 2 x Uzmiennianie stałych daje: Rozwiązaniem jest: Po scałkowaniu: y x) = u 1 x) e x + u 2 x) x 29) u 1 x) e x + u 2 x) x = 0 u 1 x) e x + u 2 x) = x 1 u 1 x) = xe x u 2 x) = 1 u 1 x) = 1 + x) e x + C 3 u 2 x) = x + C 4 Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest więc: y x) = 1 + x) + C 3 e x x 2 + C 4 x = 1 + x 2) + C 3 e x + C 5 x. Drugi sposób wykorzystuje następujące twierdzenie. Twierdzenie 1.1. Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego odpowiadającego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Dla poprzedniego przykładu, bierzemy przykładowe u 1 x) i u 2 x) po scałkowaniu, i konstruujemy rozwiązanie szczególne, przykładowo bierzemy u 1 x) = 1 + x)e x i u 2 x) = x i rozwiązanie szczególne równania to po podstawieniu do 29) jest równe 1 + x) e x e x xx = 1 + x) x 2 30) Rozwiązanie ogólne konstruujemy jako sumę rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. Otrzymujemy C 1 e x + C 2 x 1 x x 2 = C 1 e x + C 3 x 1 x 2. 31) Równanie w wolframalpha.com, 2Bx%2F%281-x%29y%27+-+1%2F%281-x%29y+%3D+x-1. 13

14 1.6.2 Metoda Cauchy ego Po angielsku method of undetermined coefficients. jednorodnego odpowiadającego równaniu 22) W rozwiązaniu ogólnym równania y = C 1 y 1 + C 2 y C n y n stałym przypisujemy takie wartości, aby dla dowolnego parametru α po podstawieniu x = α spełnione były równania: y α) = 0 y α) = 0... y n 2) α) = 0 y n 1) α) = F α) Jeśli otrzymane w ten sposób rozwiązanie szczególne równania jednorodnego oznaczymy przez φ x, α) to: y = x x 0 φ x, α) dα jest rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego, przy czym w punkcie x = x 0 funkcja ta wraz ze swoimi pochodnymi aż do rzędu n 1) włącznie przyjmuje wartość zero. Przykład: dla poprzedniego przykładu mamy rozwiązanie równania jednorodnego: dostajemy równania: Z tego otrzymujemy: x y x) = C 1 e x + C 2 x y α) = C 1 e α + C 2 α = 0 y α) = C 1 e α + C 2 = α 1 C 1 = αe α C 2 = 1 φ x, α) = αe α e x x y x) = αe α e x x ) dα = x 0 + 1) e x x 0 + x 0 1) x x 2 1 x 0 Jest to rozwiązanie szczególne, wybierzmy dowolne x 0, np. x 0 = 1, wtedy otrzymujemy y x) = 2x x 2 1 Rozwiązanie ogólne jest sumą rozwiązania równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego, a więc y x) = C 1 e x + C 2 x 2x x 2 1 = C 1 e x + C 3 x x 2 1 Ponadto dla równań liniowych zachodzi prawo superpozycji. 14

15 Twierdzenie 1.2. Prawo superpozycji. Jeśli mamy dwa rozwiązania szczególne równania różniczkowego liniowego niejednorodnego y 1 i y 2 dla prawych stron F 1 i F 2, wtedy suma tych rozwiązań y = y 1 + y 2 jest rozwiązaniem szczególnym tego samego równania o prawej stronie F = F 1 + F 2. Przykład: Mamy równanie y 4y = 2x 2 8x + 3 Możemy rozwiązać 3 równania niejednorodne y 4y = 2x 2 Rozwiązaniem szczególnym jest Następne równanie Rozwiązaniem szczególnym jest Następne równanie Rozwiązaniem szczególnym jest y = x y 4y = 8x y = 2x y 4y = 3 y = 3 4 A więc rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego jest Rozwiązaniem równania jednorodnego jest A więc ostatecznym rozwiązaniem jest x x 3 4 = x x 1 C 1 e 2x + C 2 e 2x C 1 e 2x + C 2 e 2x x x 1 Równanie na wolframalpha.com, 4y+%3D+2x^2+-+8x+%2B+3. 15

16 2 Zadania 2.1 Zadania na 3.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi Odp.: Odp.: Odp.: y = y 2 y y > 0 y = C 2 e C 1x y y 2 = xy y = C 1 x x C 1 ) + C 2, y = x3 3 + C xy + y = 1 + x y = x x2 2 + C 1x ln x + C 2 x + C 3 x 2 yy = y xy ) 2 xy y = x Zadania na 4.0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 16

17 1. z wartościami początkowymi: d 3 y dx 3 = ln x x 0 = 1, y 0, y 0, y 0 dowolne Znaleźć całkę ogólną tego równania. Odpowiedź: y = y 0 + x 1) y 0 + Rozwiązanie ogólne: 2.3 Zadania na 5.0 x 1)2 y x3 ln x x x2 1 4 x y = 1 6 x3 ln x x3 + C 2 x 2 + C 1 x + C 0 Wszystkie zadania proszę rozwiązać symbolicznie za pomocą wolframalpha.com oraz Matlaba. Wyświetlić pole kierunkowe do każdego równania. W rozwiązaniu powinien znaleźć się skrypt rozwiązujący dane równanie w Matlabie oraz wyświetlający pole kierunkowe wraz z przykładowymi rozwiązaniami, jak również link do strony wolframalpha.com z rozwiązaniem równania. Powinien również znaleźć się komentarz odnośnie zgodności rozwiązań z Matlaba, wolframalpha.com oraz poniższych odpowiedzi. 1. Linia pościgu. Po osi Ox porusza się w kierunku dodatnim ze stałą prędkością a punkt P. Po płaszczyźnie Oxy porusza się punkt M ze stałą prędkością v tak, że wektor prędkości jest w każdej chwili skierowany do punktu P. Znaleźć równanie różniczkowe. Znaleźć tor punktu M. Odpowiedź: Literatura y 0 x = a ) v ) y 1+ a v y 0 y0 2 1 a ) v y y 0 ) 1 a v 1 ) + C 1 [1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompendium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, [2] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydawnictwa AGH,