3. Funkcje wielu zmiennych
|
|
- Sylwia Górska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w zbiorze X nazywamy funkcję d: X X [0, ), spełniajac a dla dowolnych x, y, z X warunki: 1 d(x, y) = 0 x = y, 2 d(x, y) = d(x, y), 3 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Parę (X, d), gdzie d jest metryka na X, nazywamy przestrzenia metryczna W przestrzeni metrycznej możemy zdefiniować zbieżność punktów: mówimy, że ciag (x n ) n N punktów przestrzeni X jest zbieżny do x X, jeśli ciag odległości d(x, x n ) zmierza do zera: lim x n = x lim n n d(x, x n ) = 0 Metryki W przestrzeni R n najczęściej posługujemy się metryka euklidesowa: d(x, y) = n (x i y i ) 2 dla x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) Metryka euklidesowa pochodzi od normy euklidesowej: d(x, y) = x y 2, i=1 gdzie funkcja 2 : R n R dana jest wzorem: x 2 = n x 2 i Możemy posługiwać się także innymi (równoważnymi) metrykami, na przykład: taksówkowa (Manhattan, l 1 ): i=1 n d(x, y) = x i y i, i=1 pochodzac a od normy x 1 = n i=1 x i, maksimum (supremum, l ): d(x, y) = max{ x i y i : i = 1,, n} pochodzac a od normy x = max{ x i : i = 1,, n} Istnieja także metryki nie pochodzace od norm Zbiory otwarte Niech (X, d) będzie przestrzenia metryczna Zbiór punktów odległych od ustalonego punktu x o mniej niż dany promień r nazywamy kula otwarta (o środku w x i promieniu r): B(x, r) = {y X : d(x, y) < r} 1
2 Zbiór U X nazywamy otwartym, jeśli każdy należacy do niego punkt, zawiera się w tym zbiorze wraz z pewna kula otwarta: B(x, r) U x U r>0 Otoczeniem punktu nazywamy dowolny zbiór otwarty do którego ten punkt należy Ciagłość W dalszej części stale zakładamy, że U R n jest zbiorem niepustym i otwartym oraz f : U R Mówimy, że funkcja f jest ciagła w p 0 U, jeśli dla dowolnego ε > 0 istnieje taka liczba δ > 0, że dla dowolnego punktu p U, odległego od p 0 nie więcej niż δ spełniony jest warunek f(p) f(p 0 ) < ε: (d(p, p 0 ) < δ f(p) f(p 0 ) < ε) ε>0 δ>0 p U Można pokazać, że definicja ta jest równoważna następujacej własności wypowiedzianej w języku ciagów: dla dowolnego ciagu (p n ) n N punktów zbioru U zbieżnego do p 0, wartości f(p n ) zbiegaja do f(p 0 ): lim p n = p 0 lim f(p n ) = f(p 0 ) n n Przykład (Funkcja nieciagła) Rozważmy funkcję f : R 2 R dana wzorem: xy, dla (x, y) R 2 \ {(0, 0)}, x f(x, y) = 2 +y 2 0, dla (x, y) = (0, 0) Łatwo pokazać ciagłość dla (x, y) (0, 0) W punkcie (x, y) = (0, 0) mamy zaś lim f( 1 n n, 1 n ) = lim n ( 1 n 1 1 n n ) 2 + ( 1 n) 2 = = f(0, 0) 32 Różniczkowanie Różniczka w sensie Frécheta Mówimy, że odwzorowanie f : U R m jest różniczkowalne (w sensie Frécheta) w punkcie p 0 U, jeśli istnieje takie odwzorowanie liniowe D p0 f : R n R m, że f(p) f(p 0 ) D p0 f(p p 0 ) lim p p 0 p p 0 = 0 Odwzorowanie D p0 f nazywamy wówczas różniczka f w punkcie p 0 Odwzorowanie różniczkowalne w punkcie p jest w tym punkcie ciagłe Pochodne kierunkowe Pochodna kierunkowa odwzorowania f : U R w punkcie p U w kierunku wektora α R n \ {0} nazywamy granicę (o ile istnieje) f α(p) f(p + αt) f(p) = lim t 0+ t 2
3 Jeśli odwzorowanie f : U R jest różniczkowalne w punkcie p, to istnieje pochodna odwzorowania f w każdym kierunku Ponadto dla dowolnego wektora α R n \ {0} zachodzi równość: f α(p) = D p f(α) Przykład Rozważmy funkcję f : R 2 R dana wzorem x 3 y, dla (x, y) (0, 0), x f(x, y) = 6 +y 2 0, dla (x, y) = (0, 0) Niech p = (0, 0) oraz ustalmy a = (a 1, a 2 ) R 2 \ {(0, 0)} Mamy f(p + ta) f(p) lim t 0+ t 1 = lim t 0+ t f(ta 1, ta 2 ) f(0, 0) = lim t 0+ t ta 3 1a 2 (ta 1 ) 3 ta 2 (ta 1 ) 6 + (ta 2 ) 2 = lim t 0+ t 4 a a 2 2 = = 0, zatem f ma w punkcie p pochodna kierunkowa w każdym kierunku (równa 0) Jednakże dla y = αx 3, α R \ {0}, mamy lim f(x, x 3 αx 3 x 0 αx3 ) = lim x 0 x 6 + α 2 x = 6 α 1 + α 2, co oznacza, że lim (x,y) (0,0) f(x, y) nie istnieje Funkcja, która ma pochodne kierunkowe w każdym kierunku, nie musi być ciagła! Pochodne czastkowe Niech f : U R, p = (x 1,, x n ) U Granicę f(x 1,, x i 1, x i + h, x i+1,, x n ) f(x 1,, x n ) (p) = lim, h 0 h jeśli istnieje, nazywamy pochodna czastkow a funkcji f w punkcie p względem zmiennej x i Zachodzi wzór (p) = f e i (p), gdzie e i = (0,, 0, 1, 0,, 0) jest wektorem bazy kanonicznej w R n Oznacza to, że pochodne czastkowe sa pochodnymi kierunkowymi w kierunku wektorów bazy kanonicznej Pochodna czastkow a względem danej zmiennej liczymy tak jak pochodna funkcji jednej zmiennej względem dane zmiennej, pozostałe zmienne traktujac jako stałe Stosowane oznaczenia to np f x, f x, /x Na przykład dla funkcji 3 zmiennych: x, y, z, pochodne czastkowe względem kolejnych zmiennych oznaczamy także przez f x, f y, f z Gradient Wszystkie pochodne czastkowe funkcji f : U R w punkcie p U tworza wektor zwany gradientem funkcji f w punkcie p: (grad f)(p) = [ (p),, ] (p) 3
4 Dla funkcji f : U R, różniczkowalnej w punkcie p 0, jej wykres, czyli hiperpowierzchnia z = f(p) ma punkcie p 0 hiperpłaszczyznę styczna dana wzorem y = f(p 0 ) + (grad f)(p 0 ) T (p p 0 ) Gradient wyznacza kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w danym punkcie Gradient funkcji f w punkcie p 0 jest prostopadły do stycznej do krzywej f(p) = f(p 0 ) w punkcie p 0 Pochodna odwzorowania Jeśli funkcja f : U R m, f = (f 1,, f m ), ma w punkcie p U wszystkie pochodne czastkowe wszystkich składowych, to macierz 1 (p) 1 (p) 1 (p) 2 f (p) 2 (p) 2 (p) (p) = m (p) m (p) m (p) nazywamy pochodna odwzorowania f Pochodna złożenia funkcji spełnia równość (macierzowa): (f g) (p) = f (g(p))g (p) Pochodna a różniczka Jeśli odwzorowanie f : U R m, f = (f 1, f m ), jest różniczkowalne w punkcie x = (x 1,, x n ) U, to dla dowolnego h = (h 1,, h n ) R n zachodzi wzór 1 2 D x f(h) = m W zapisie macierzowym: m m D x f(h) = f h h 1 h 2 h n Jeśli odwzorowanie f : U R m ma w x U ciagłe pochodne czastkowe, to ma różniczkę w x i zachodzi powyższy wzór Lokalna odwracalność odwzorowań Jeśli m = n, to wyznacznik J = det f nazywamy jakobianem odwzorowania f w punkcie x Załóżmy, że f : U R n ma w pewnym otoczeniu punktu x U ciagłe pochodne czastkowe oraz J 0 Wówczas: 1 istnieja takie otoczenia U x U i V f punktów x i f, że f odwzorowuje U x na V f różnowartościowo, 2 odwzorowanie f 1 : V f U x ma ciagłe pochodne czastkowe, 4
5 3 (f 1 ) (f) = [f ] 1 Pochodne czastkowe wyższych rzędów Ponieważ pochodne czastkowe sa funkcjami tych samych zmiennych, możemy dla nich również liczyć pochodne czastkowe względem tych samych zmiennych Pochodna czast- kowa funkcji x względem zmiennej x oznaczamy przez x lub f 2 xx i nazywamy pochodna czastkow a rzędu drugiego funkcji f względem x Podobnie, pochodna czastkow a funkcji względem zmiennej y oznaczamy x przez yx lub f yx Pochodne czastkowe względem różnych zmiennych nazywamy pochodnymi mieszanymi Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, na przykład: 3 f y = ( ( )) x x y Przykład Dla funkcji mamy f(x, y, z) = x 2 ln(y) sin(z), f x (x, y, z) = 2x ln(y) sin(z), f y (x, y, z) = x2 y sin(z), f z (x, y, z) = x 2 ln(y) cos(z), i dalej (dla skrócenia zapisu opuścimy argumenty po lewej stronie) f xx = 2 ln(y) sin(z), f xy = 2x y sin(z), f xz = 2x ln(y) cos(z), f yx = 2x y sin(z), f zx = 2x ln(y) cos(z), f yy = x2 y 2 sin(z), f zy = x2 y cos(z), f yz = x2 y cos(z), f zz = x 2 ln(y) sin(z), Twierdzenie (Schwartza) Jeśli funkcja f : U R ma w zbiorze U pochodne mieszane, i, j {1,, n}, i j, oraz są one ciągłe w punkcie x U, x j to = x j x j Hesjan Macierz drugich pochodnych czastkowych nazywamy hesjanem (macierza Hessego) 1 2 f H f = 2 n 5
6 Z twierdzenia Schwartza wynika, że jeśli pochodne mieszane sa ciagłe, to macierz ta jest symetryczna Druga różniczka Załóżmy, że funkcja f : U R ma ciagłe pochodne czastkowe rzędu drugiego w punkcie x U Wprowadzamy odwzorowanie Dxf 2 : R n R n R: n n Dxf(h 2 1, h 2 ) = h T 1 H f h 2 = h 1i h 2j x j i=1 j=1 Jest to odwzorowanie dwuliniowe i symetryczne, indukowane przez macierz Hessego H f Będziemy je nazywać druga różniczka f w punkcie x Różniczki wyższych rzędów Twierdzenie Taylora Załóżmy, że funkcja f : U R ma ciagłe pochodne czastkowe rzędu k w punkcie x U Możemy wprowadzić k-ta różniczkę: Dxf k : R n R n R, wzorem: }{{} k razy n n Dxf(h k k f 1,, h k ) = h 1,i1 h k,ik i 1 =1 i k =1 1 k Wprowadzamy dodatkowe oznaczenie: D k xf(h) = D k xf(h,, h) Twierdzenie Taylora Załóżmy (dodatkowo do tego co powyżej), że odcinek domknięty o końcach x i x + h zawiera się w U Wtedy istnieje taka liczba θ (0, 1), że f(x + h) = f + D xf(h) 1! + D2 xf(h) 2! 33 Ekstrema funkcji wielu zmiennych + + Dn 1 x f(h) (n 1)! + Dn x+θhf(h) n! Mówimy, że funkcja f : U R ma w punkcie p 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie U 0 U punktu p 0, że dla x U 0 zachodzi f f(p 0 ) Dla definicji minimum lokalnego musimy ostatnia nierówność zastapić przez: f f(p 0 ) Twierdzenie (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeśli f : U R ma w punkcie p 0 U ekstremum lokalne i jest różniczkowalna w p 0, to (p 0 ) = 0, i = 1,, n Przypomnienie: określoność macierzy Symetryczna macierz A stopnia n nazywamy: dodatnio, nieujemnie, niedodatnio, ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednio x T Ax > 0, x T Ax 0, x T Ax 0, x T Ax < 0 dla każdego niezerowego x R n 6
7 Macierz jest określona, gdy jest dodatnio lub ujemnie określona Macierz jest półokreślona, gdy nie jest dodatnio lub ujemnie określona, lecz jest nieujemnie lub niedodatnio określona Macierz jest nieokreślona, gdy nie jest nieujemnie lub niedodatnio określona k-tym wiodacym minorem głównym M k macierzy A nazywamy wyznacznik podmacierzy [a ij ] ij=1,,k : a M 1 = a 11, M 2 = 11 a a 11 a 1k 12 a 21 a 22,, M k = a k1 a kk Twierdzenie (Kryterium Sylvestera) Symetryczna macierz A jest dodatnio (nieujemnie) określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiodące minory główne są dodatnie (nieujemne) Symetryczna macierz A jest ujemnie (niedodatnio), jeśli: wszystkie nieparzyste wiodące minory główne są ujemne (niedodatnie) oraz wszystkie parzyste wiodące minory główne są dodatnie (nieujemne) Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum Załóżmy, że p 0 U, funkcja f : U R ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne czast- kowe rzędu drugiego oraz (p 0 ) = 0 dla i = 1,, n Jeśli macierz Hes- sego H f (p 0 ) funkcji f w punkcie p 0 jest dodatnio określona, to w punkcie p 0 funkcja f ma minimum lokalne, ujemnie określona, to w punkcie p 0 funkcja f ma maksimum lokalne Jeśli macierz H f (p 0 ) jest nieokreślona, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie p 0 Uwaga: powyższe kryterium nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum w sytuacji, gdy macierz H f (p 0 ) jest półokreślona Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum dla n = 2 Załóżmy, że U R 2 jest niepustym zbiorem otwartym, p 0 U, funkcja f : U R ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne czastkowe rzędu drugiego oraz (p x 0) = 0, (p y 0) = 0 Niech W (p 0 ) = (p 0) y 2 (p 0) ( 2 ) 2 f xy (p 0) Jeśli W (p 0 ) > 0 oraz (p 0 ) > 0, to funkcja f ma w punkcie p 0 minimum lokalne, (p 0 ) < 0, to funkcja f ma w punkcie p 0 maksimum lokalne Jeśli W (p 0 ) < 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie p 0 Uwaga: powyższe kryterium nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum w sytuacji, gdy W (p 0 ) = 0; należy tę kwestię rozstrzygnać innymi metodami 7
8 34 Ekstrema warunkowe Niech g : R n R m, g = (g 1,, g m ), m < n, będzie funkcja, którego składowe maja ciagłe pochodne czastkowe, i taka, że zbiór M = {x R n : g = 0} jest niepusty Składowe funkcji g nazywamy warunkami Załóżmy, że U R n jest zbiorem otwartym, M U oraz funkcja f : U R ma ciagłe pochodne czastkowe drugiego rzędu Mówimy, że funkcja f ma w p 0 M lokalne ekstremum warunkowe (zwiazane) przy warunku M, jeśli funkcja f zacieśniona do zbioru M ma lokalne ekstremum w punkcie p 0 Metoda czynnika nieoznaczonego Lagrange a Załóżmy, że dla x M rzad macierzy g jest równy m: g 1 g x rz g 1 1 = rz = m g m g m Jeśli funkcja f ma w punkcie p 0 M lokalne ekstremum warunkowe, to istnieja takie stałe rzeczywiste λ 1,, λ m, że (p 0 ) = m j=1 λ j g j (p 0 ), i = 1,, n (Uwaga: Dla m = 1 powyższy warunek oznacza, że (grad g)(p 0 ) 0) Powyższe twierdzenie sugeruje następujace podejście: 1 Definiujemy funkcjonał Lagrange a: m L = f + λ j g j j=1 2 Liczymy jego pochodne czastkowe: L = + m j=1 λ j g x j, i = 1,, m 3 Punkty, które spełniaja układ równań (n + m równań z n + m niewiadomymi): L = 0, i = 1,, n, g j = 0, j = 1,, m sa podejrzane o bycie lokalnymi ekstremami warunkowymi 8
9 Warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego Aby stwierdzić, czy dany punkt jest lokalnym ekstremum warunkowym możemy posłużyć się tym samym kryterium co w przypadku ekstremów bezwarunkowych: ekstrema bezwarunkowe funkcjonału Lagrange a L będa ekstremami warunkowymi f przy warunkach g Jednakże mamy silniejsze (choć nieco trudniejsze) kryterium Załóżmy, że p 0 U, funkcja f : U R ma w pewnym otoczeniu punktu p 0 ciagłe pochodne czastkowe rzędu drugiego oraz L (p 0 ) = 0 dla i = 1,, n oraz g j = 0, j = 1,, m oraz Przypomnijmy, że dla h = (h 1,, h n ) R n mamy D p0 g j (h) = n i=1 D 2 p 0 L(h) = g j (p 0 )h i, j = 1,, m, n i,j=1 2 L x j (p 0 )h i h j Oznaczmy przez T M p0 zbiór (hiperprzestrzeń styczna do M w p 0 ): T M p0 = {h = (h 1,, h n ) R n : D p0 g j (h) = 0, j = 1,, m} Jeśli dla h T M p0 \ {0} zachodzi nierówność: 1 Dp 2 0 L(h) > 0, to w punkcie p 0 funkcja f ma lokalne minimum warunkowe, 2 Dp 2 0 L(h) < 0, to w punkcie p 0 funkcja f ma lokalne maksimum warunkowe Jeśli istnieja takie wektory h, k T M p0 \{0}, że Dp 2 0 L(h) > 0 oraz Dp 2 0 L(k) < 0, to funkcja f nie ma lokalnego ekstremum warunkowego w punkcie p 0 Uwaga: powyższe kryterium w dalszym ciagu nie rozstrzyga kwestii istnienia ekstremum warunkowego w sytuacji, gdy Dp 2 0 L(h) = 0 dla pewnych h T M p0 \ {0} 9
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowo13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.
13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016
Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II
Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.
Bardziej szczegółowo1 Wartości własne oraz wektory własne macierzy
Rozwiązania zadania umieszczonego na końcu poniższych notatek proszę przynieść na kartkach Proszę o staranne i formalne uzasadnienie odpowiedzi Za zadanie można uzyskać do 6 punktów (jeżeli przyniesione
Bardziej szczegółowoMetoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii
Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem
Bardziej szczegółowoMetoda Karusha-Kuhna-Tuckera
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Poznań, 2015/2016 Plan 1 Sformułowanie problemu 2 3 Warunki ortogonalności 4 Warunki Karusha-Kuhna-Tuckera 5 Twierdzenia Karusha-Kuhna-Tuckera 6 Ograniczenia w
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki
Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMatematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek
Bardziej szczegółowoProgramowanie matematyczne
dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X
Bardziej szczegółowoLokalne ektrema, formy kwadratowe
Lokalne ektrema, formy kwadratowe Ostatnio poprawiłem 6 grudnia 214 r. Wypada raz jeszcze wrócić do ekstremów warunkowych. W przypadku ekstremów funkcji rozpatrywanych na zbiorach otwartych podaliśmy warunek
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowo8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe
8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Równania nieliniowe. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-9.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 7/1/2003 20:18 p.1/64 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoWzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.
Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoPewne własności zbiorów i funkcji wypukłych w przestrzeniach unormowanych
Maciej Grzesiak Pewne własności zbiorów i funkcji wypukłych w przestrzeniach unormowanych 1. Pochodna funkcji o argumencie wektorowym Niech f : W R, gdzie W R n jest zbiorem otwartym. Oznaczenia: x = (x
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowo(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.
1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowo1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg.
Zbiory i funkcje wypukłe, 2005/06 1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg. Oznaczenia, definicje, twierdzonka. Wszystkie rozważania prowadzone są w przestrzeni euklidesowej
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie nazywamy granicę ilorazu różnicowego w punkcie gdy przyrost argumentu dąży do zera: lim
Definicja pochodnej Niech będzie funkcją określoną w pewnym przedziale i niech będzie punktem wewnętrznym tego przedziału. Liczbę dowolną, ale taką, że nazywamy przyrostem argumentu, a różnicę nazywamy
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoAB = x a + yb y a + zb z a 1
1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoWstęp do topologii Ćwiczenia
Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoTeoria popytu. Popyt indywidualny konsumenta
Teoria popytu Popyt indywidualny konsumenta Koszyk towarów Definicja 1 Wektor x=(x 1,x 2,x 3,...,x n ) taki, że x i 0 dla każdego i,w którym i-ta współrzędna oznacza ilość towaru nr i, którą konsument
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowo