1 Równania różniczkowe zwyczajne
|
|
- Feliks Sadowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i jej pochodnych. Rząd równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych. Równania różniczkowe zwyczajne jeżeli niewiadoma funkcja zależy tylko od jednego argumentu, np. y + x y = sin x. cząstkowe jeżeli niewiadoma funkcja zależy od kilku argumentów. 1 Równania różniczkowe zwyczajne Definicja 1.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę n nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0, (1) w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna rzę n tej funkcji wraz z pochodnymi niższych rzędów, tzn. y = dx, y = d2 y dx 2,..., y(n) = dn y dx n. Przykład 1.2. y + 3x y 2 = 8 < równanie różniczkowe rzę pierwszego y + 3x y x 3 y 2 = 0 < równanie różniczkowe rzę drugiego d 3 s dt 3 t s2 ds = 5 < równanie różniczkowe rzę trzeciego dt d 5 y dt 5 t y3 = sin t < równanie różniczkowe rzę piątego y (4) y = 5xy < równanie różniczkowe rzę czwartego 1
2 2 Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego zwyczajnego ( Definicja 2.1. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F x, y, y, y,..., y (n)) = 0 w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodne do rzę n włącznie i spełnia równanie F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 dla x (a, b). Przykład 2.2. Funkcja y = 2x jest całką równania x 2 y 2xy + 2y = 0, gż y = 2 i y = 0 oraz x 2 0 2x x =0. Przykład. Funkcja x 2 + y 2 = 4 jest całką równania x + yy = 0, gż 2xdx + 2y = 0 i po podzieleniu przez 2dx otrzymujemy równanie x + y dx = 0. Definicja 2.3. Wykres całki y = y(x) równania różniczkowego F krzywą całkową tego równania. Przykład 2.4. Krzywe całkowe równania y = y: y ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0 nazywamy x ( Definicja 2.5. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F x, y, y, y,..., y (n)) = 0 w ( obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F x, y, y, y,...,y (n)) =0 zależne od n dowolnych stałych C 1, C 2,... C n wyrażone w postaci jawnej y = y(x, C 1, C 2,..., C n ) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C 1, C 2,..., C n ) = 0, i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1, C 2,... C n otrzymamy wszystkie znajjące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Definicja 2.6. Podstawiając za C 1, C 2,... C n konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną ( lub rozwiązanie szczególne równania F x, y, y, y,..., y (n)) = 0. 2 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
3 Przykład 2.7. Funkcja y = C 1 x + C 2 jest całką ogólną równania xy + 2y = 0, zaś funkcje to całki szczególne równania xy + 2y = 0. y = 1 x, y = 3 x + 5, y = 1, Geometrycznie każdej całce szczególnej odpowiada pewna linia płaska (wykres całki), a całce ogólnej odpowiada zbiór (rodzina) wszystkich krzywych całkowych. Definicja 2.8. Rozwiązanie osobliwe (lub całka osobliwa) jest to rozwiązanie równania F ( x, y, y, y,..., y (n)) = 0, którego NIE można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za C 1, C 2,... C n dowolnych wartości. Przykład 2.9. Funkcja y = 0 jest rozwiązaniem osobliwym równania y = 2 y. Całką ogólną tego równania jest y = t + C, gdzie t + C Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe) ( Definicja Zagadnieniem Cauchy ego dla równania F x, y, y, y,..., y (n)) = 0 nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej jednocześnie warunki początkowe: y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,,... y (n 1) (x 0 ) = y n 1 gdzie x 0, y 0, y 1,... y n 1 nazywamy wartościami początkowymi. Przykład Wyznaczmy rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego dla równania y = 6x i warunków początkowych: y(0) = 2 y (0) = 3. Otrzymujemy y(0) = 2 C 2 = 2 y (0) = 3 C 1 = 3 y = 6x y = 3x 2 + C 1 y = x 3 + C 1 x + C 2 } { y = x 3 + 3x + 2 jest całką szczególną równania y = 6x będącą rozwiązaniem podanego zagadnienia Cauchy ego. 3 Równania różniczkowe zwyczajne rzę pierwszego Definicja 3.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę pierwszego nazywamy równanie postaci gdzie y = y(x) jest funkcją niewiadomą zmiennej x. F ( x, y, y ) = 0, (2) 3 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
4 Definicja 3.2. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania (2) w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zależną od dowolnej stałej C i wyrażoną w postaci jawnej y = y(x, C) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C) = 0, która ma pochodną rzę pierwszego i spełnia równanie (2) dla x (a, b). Wówczas podstawiając dowolne wartości za C otrzymamy wszystkie znajjące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Definicja 3.3. Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania (2) nazywamy każdą funkcję wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodną rzę pierwszego i spełnia równanie F (x, y, y ) = 0 dla x (a, b). Uwaga 1. Jeżeli z równania (2), można wyznaczyć y, to równanie to przyjmuje postać y = f(x, y). Będziemy posługiwali się również tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci: P (x, y)dx + Q(x, y) = Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe) Mając daną całkę ogólną y = y(x, C) równania (2) można rozwiązać zagadnienie Cauchy ego dla tego równania, które polega na wyznaczeniu całki szczególnej równania (2) spełniającej warunek początkowy y(x 0 ) = y 0. Wówczas z równania y 0 = y(x 0, C) wyznaczamy stałą C = C(x 0, y 0 ). Następnie po podstawieniu otrzymanej stałej C do rozwiązania ogólnego otrzymujemy szukaną całkę szczególną Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy ego y W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy ego polega na wybraniu z rodziny krzywych całkowych jednej krzywej, która przechodzi przez z góry zadany punkt (x 0, y 0 ). Na przykład całką ogólną równania y = 2xy y 0 jest x 0 x a funkcja y = Ce x2, y = y 0 e x2 +x 2 0 jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego odpowiadającego warunkowi początkowemu y(x 0 ) = y 0. 4 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
5 3.2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Niech f : (a, b) R, h : (c, d) R będą funkcjami ciągłymi, gdzie (a, b), (c, d) - są to skończone lub nieskończone przedziały oraz h(y) 0 dla wszystkich y (c, d). Definicja 3.4. Równanie różniczkowe dx = f(x) h(y), (3) o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Równanie (3) można zapisać równoważnie w formie różniczkowej następująco: h(y) = f(x)dx. Stwierdzenie 3.5. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f w (a, b), zaś H funkcją pierwotna funkcji h w (c, d). Wte zbiór rozwiązań równania (3) jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania H(y(x)) = F (x) + C, gdzie C R; C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F, H, y. Uwaga 2. Równanie H(y(x)) = F (x) + C, zapisujemy w następujący sposób: h(y) = f(x)dx + C. Twierdzenie 3.6. Jeżeli f : (a, b) R i h : (c, d) R są funkcjami ciągłymi i h(y) 0 dla wszystkich y (c, d), to wzór h(y) = f(x)dx + C przedstawia całkę ogólną równania (3), przez każ punkt (x 0, y 0 ), gdzie x 0 (a, b) i y 0 (c, d), przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (3). Krzywa ta jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego y = f(x) h(y), y(x 0) = y 0. Przykład 3.7. Rozpatrzmy następujące równanie = 2xdx i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy rów- Rozdzielamy zmienne y nanie): y = 2xy. (4) y = 2 Stąd dla C 0 funkcja y = Ce x2 xdx ln y = x 2 + ln C, gdzie C 0 jest rozwiązaniem równania. G C = 0, to y = 0 y = 0. Zatem równanie (4) jest spełnione dla y = 0, czyli y = 0 jest krzywą całkową równania (4). Stąd rodzina y = Ce x2, dla C R jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania (4). 5 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
6 3.3 Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Rozpatrzmy równanie y = f(x), gdzie f jest ciągła na przedziale (a, b) R. Wówczas całkując obie strony względem zmiennej x otrzymujemy: y = f(x)dx y = F (x) + C, gdzie F (x) = f(x), dla x (a, b). Rozpatrzmy równanie y = g(y), gdzie g ma ciągłą pochodną na przedziale (c, d) R. Wówczas g(y) = dx G(y) = x + C, gdzie G (y) = 1, dla y (c, g). g(y) 3.4 Równania różniczkowe rzę pierwszego sprowadzalne do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych Równanie jednorodne Niech f będzie funkcją ciągła na przedziale (a, b) oraz f(u) u. Równanie różniczkowe ( ) y dx = f, (5) x o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym. Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmi- Wte y = ux dx = dx x + u ennych rozdzielonych Rozwiązanie równania f(u) u = dx x u(x) = y x, dx x + u = f(u) f(u) u = dx x wiąże ze sobą zmienne u i x. Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u = y x. Przykład 3.8. Rozważmy równanie y = x + y x. (6) Wówczas y = 1 + y x. Stosując podstawienie u(x) = y x, otrzymujemy x u = 1 = dx x dx = x u = ln x + C y = x ln x + Cx. 6 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
7 3.4.2 Równanie różniczkowe postaci y = f(ax + by + c) Niech a, b, c R i b 0 oraz f będzie funkcją ciągłą. Równanie = f (ax + by + c) dx rozwiązujemy przez podst.: u = ax + by + c, gdzie u = u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennej x. Wte dx = a + b dx dx = 1 ( ) b dx a i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych: dx = b f(u) + a a + bf(u) = dx a + bf(u) = dx Rozwiązanie {}}{ równania wiąże ze sobą zmienne u i x. Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u = ax + by + c. Przykład 3.9. Rozważmy równanie y = cos (x y). (7) Stosując podstawienie u(x) = x y, otrzymujemy Ponieważ 1 cos u = 2 sin 2 u 2, więc u = 1 cos u 1 cos u = dx. 2 sin 2 u 2 = dx ctg u 2 = x + C. Zatem ctg x y 2 = x + C, dla C R i y x 2kπ. Ponadto, jeśli y = x 2kπ, to y = 1 i cos(x y)=cos 2kπ = 1. Zatem y = x 2kπ jest również całką równania (7). Otrzymaliśmy y = x 2kπ ctg x y 2 = x + C, dla C R k Z. 7 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
8 4 Równania różniczkowe liniowe rzę pierwszego Definicja 4.1. Równaniem różniczkowym liniowym rzę pierwszego nazywamy równanie postaci: gdzie p, q są danymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale (a, b). + p(x)y = q(x), (8) dx Jeśli q 0, to równanie (8) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli q 0, to to równanie (8) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN 4.1 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego I-szego rzę Aby wyznaczyć rozwiązanie RN postaci (8) szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: + p(x)y = 0 (9) dx funkcja y 0 jest rozwiązaniem RJ (równania (9)) jeśli y 0, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych Rozdzielając zmienne y = p(x)dx, dx = p(x)y całkując y = p(x)dx ln y = p(x)dx + ln C, gdzie C 0, i przekształcając otrzymujemy kolejno y C = p(x)dx e y = C e p(x)dx y = C e p(x)dx, C 0 Jednakże, jeśli C = 0, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie y = 0. Zatem Całką Ogólną Równania Jednorodnego (ozn. CORJ) jest rodzina krzywych y = C e p(x)dx, dla C R. Twierdzenie 4.2. Jeśli p jest funkcją ciągła na przedziale (a, b) R, to y = C e p(x)dx, dla C R. jest całką ogólną RJ (9), ponadto przez każ punkt obszaru D = {(x, y): x (a, b) y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (9). Uwaga 3. Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ. 8 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
9 Aby wyznaczyć stosujemy jedną z dwóch metod. CORN (Całkę Ogólną Równania Niejednorodnego) postaci (8) 1 Metoda I Metoda II CORJ 2 CORN Metoda I: Metoda uzmienniania stałej Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby funkcja y = C(x) e p(x)dx (10) była CORN. Wte stąd Zatem i dx = C (x) e p(x)dx + C(x) e p(x)dx ( p(x)) y {}} { C (x) e p(x)dx C(x) y { p(x) e p(x)dx }} { +p(x) C(x) e p(x)dx = q(x) Po podstawieniu C(x) do (10) otrzymujemy: C (x) = q(x) e p(x)dx C(x) = q(x) e p(x)dx dx + C 1, gdzie C 1 R. ( CORN y(x) = ) q(x) e p(x)dx dx + C 1 e p(x)dx ( CORN y(x) = C 1 e p(x)dx + e p(x)dx ) q(x) e p(x)dx dx. Twierdzenie 4.3. Jeśli p, q są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b) R, to ( y(x) = C 1 e p(x)dx + e p(x)dx ) q(x) e p(x)dx dx, dla C 1 R, jest CORN, ponadto przez każ punkt obszaru D = {(x, y) : x (a, b) y R} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (8). Twierdzenie 4.4. Niech y(x) CORJ, Wte tzn. y s (x) CSRN = Całka Szczególna RN. CORN = CORJ + CSRN, CORN = y(x) + y s (x). 9 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
10 Przykład 4.5. Rozważmy równanie y + 2xy = x e x2. (11) Szukamy rozwiązań RJ: y + 2xy = 0 dx = 2xy rozdzielamy zmienne y = 2xdx, całkujemy y = 2xdx ln y = x 2 + ln C, gdzie C 0, i otrzymujemy kolejno ln y = ln e x2 + ln C y = C e x2 y = C e x2, dla C 0 Ponieważ y = 0 jest całką szczególną równania y + 2xy = 0 i jeżeli C = 0, to otrzymujemy y = 0, więc CORJ ma postać: y = C e x2, dla C R Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby y = C(x) e x2 ( ) było CORN. Wte y = C (x) e x2 + C(x) e x2 ( 2x) Ponieważ więc Zatem y = C (x) e x2 2xC(x) e x2, y {}} { C (x) e x2 2x C(x) e x2 y {}} { +2x C(x) e x2 = x e x2 C (x) e x2 = x e x2 C (x) = x i C(x) = xdx + C 1 = 1 2 x2 + C 1, gdzie C 1 R. Podstawiając C(x) = 1 2 x2 + C 1 do y = C(x) e x2 otrzymujemy: CORN ( ) 1 y(x) = 2 x2 + C 1 e x2 y(x) = C 1 e x x2 e x2. = y(x) = C 1 e x2 + 1 }{{} 2 x2 e x2. }{{} CORJ CSRN 10 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
11 Metoda II: Metoda przewiwania Metoda przewiwania polega na odgadnięciu CSRN, g dana jest CORJ, i wte na podstawie twierdzenia otrzymujemy Metodę stosujemy, g CORN = CORJ + CSRN. p(x) = const wielomian stopnia n q(x) = a sin ωx + b cos ωx ae λx, lub q(x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok. Przewiwanie postaci całki szczególnej y s (x) równania RN postaci y + py = q(x), p R Postać q(x) Postać przewiwana y s (x) P n (x) = p 0 A n x n A 1 x + A 0 = a n x n a 1 x + a 0 p=0 x(a n x n A 1 x + A 0 ) a e λx λ p Ae λx λ = p Axe λx P n (x) e λx λ p (A n x n A 0 )e λx λ= p x(a n x n A 0 )e λx a cos ωx + b sin ωx A cos ωx + B sin ωx P n (x) cos ωx + Q m (x) sin ωx, n m W n (x) cos ωx + M n (x) sin ωx P n (x)e λx cos ωx + Q m (x)e λx sin ωx, n m W n (x)e λx cos ωx + M n (x)e λx sin ωx gdzie W n (x) = A n x n A 0 i M n (x) = B n x n B 0 Przykład 4.6. y + 3y = x = y s (x) = Ax 2 + Bx + C y + 3y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y + 3y = x e 3x = y s (x) = x (Ax + B) e 3x y 3 5 y = sin x = y s(x) = A sin x + B cos x y 3 5 y =e 3 5 x sin x y s (x)=ae 3 5 x sin x+be 3 5 x cos x y 2y = e 2x = y s (x) = Axe 2x 11 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
12 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzę drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzę tej funkcji, tzn. y = dx, y = d2 y dx Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego rzę Definicja 5.2. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F (x, y, y, y ) = 0 w przedziale (a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej y = y(x) lub w postaci uwikłanej h(x, y) = 0, która ma pochodne do rzę n włącznie i spełnia równanie F (x, y, y, y ) = 0 dla x (a, b). Definicja 5.3. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F (x, y, y, y ) = 0 w obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F (x, y, y, y ) = 0 zależne od dwóch dowolnych stałych C 1, C 2 wyrażone w postaci jawnej y = y(x, C 1, C 2 ) lub w postaci uwikłanej h(x, y, C 1, C 2 ) = 0, i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1, C 2 otrzymamy wszystkie znajjące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe. Podstawiając za C 1, C 2 konkretne wartości otrzymamy tzw. równania F (x, y, y, y ) = 0. całkę szczególną lub rozwiązanie szczególne 5.2 Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie początkowe) Zagadnienie Cauchy ego dla równania F (x, y, y, y ) = 0 polega na znalezieniu całki szczególnej tego równania, spełniającej warunki początkowe: (W ) y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 gdzie wartość początkowa x 0 (a, b), zaś wartości początkowe y 0 i y 1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami. 5.3 Równania różniczkowe rzę drugiego sprowadzalne do równań różniczkowych rzę pierwszego Równanie postaci F (x, y, y ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzę pierwszego przez podstawienie y = u Wówczas y = u i otrzymujemy równanie różniczkowe rzę pierwszego postaci: F ( x, u, u ) = Opracowała: Małgorzata Wyrwas
13 Równanie postaci F (y, y, y ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzę pierwszego przez podstawienie Wówczas y = v(y) y = dx = dv dx = dv dx = v y = v v i otrzymujemy równanie różniczkowe rzę pierwszego postaci: F (y, v, v v) = 0. Przykład 5.4. Rozważmy równanie y ( x ) = 2xy. Stosując podstawienie u = y, otrzymujemy u ( x ) = 2xu u = 2x x dx u = 2x x dx ( ) ( ) ln u = ln x ln C 1 u = C 1 x Ponieważ u = y, więc otrzymujemy ( ) y = C 1 x ( ) 1 y = C 1 3 x3 + x + C 2. Rozważmy zagadnienie Cauchy ego y ( x ) = 2xy, y(0) = 1, y (0) = 3, Wówczas C 2 = 1 i C 1 = 3. Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy ego jest całka y = x 3 + 3x + 1. Przykład 5.5. Rozważmy równanie y y = (y ) 2. Stosując podstawienie y = v(y) y = v v, otrzymujemy yv v = v 2 v = v y dv v = y dv v = y Ponieważ v = y, więc otrzymujemy ln v = ln y + ln C 1 v = C 1 y. y = C 1 y y = C 1 dx ln y = C 1 x + ln C 2 y = C 2 e C 1x. 13 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
14 5.4 Równania różniczkowe liniowe rzę drugiego Definicja 5.6. Równaniem różniczkowym liniowym rzę drugiego nazywamy równanie postaci: gdzie a 1, a 2 i f są danymi funkcjami ciągłymi na (a, b). y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = f(x), (13) Jeśli f 0, to równanie (13) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 0, to to równanie (13) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.5 Układ fundamentalny całek (rozwiązań) Definicja 5.7. Rozwiązania y 1, y 2 są liniowo niezależne na przedziale (a, b) dla każdego x (a, b) spełniony jest warunek y 1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) 0 (14) Wyznacznik występujący w (14) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn. symbolem W [y 1, y 2 ](x). Definicja 5.8. Układem fundamentalnym całek (rozwiązań) nazywamy układ liniowo niezależnych rozwiązań. 5.6 Całka ogólna (rozwiązanie ogólne) liniowego równania niejednorodnego Niech całki y 1, y 2 będą fundamentalnym układem rozwiązań równania RJ y + a 1 (x)y + a 2 (x)y = 0, wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn. Twierdzenie 5.9. Niech y = C 1 y 1 + C 2 y 2. y 1, y 2,..., y n liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale (a, b) R y s całka szczególna RN. Wte całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y s, czyli CORN = CORJ + CSRN. 14 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
15 5.7 Równania różniczkowe liniowe rzę drugiego o stałych współczynnikach Definicja Równaniem różniczkowym liniowym rzę drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci: y + py + qy = f(x), (15) gdzie p, q R zaś f jest daną funkcją ciągłą na (a, b). Jeśli f 0, to równanie (15) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ. Jeśli f 0, to to równanie (15) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN. 5.8 Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego II-ego rzę o stałych współczynnikach Aby wyznaczyć rozwiązanie RN y + py + qy = f(x), szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ: RJ y + py + qy = 0 Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej: y = e rx Wte y = e rx y = re rx y = r 2 e rx i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie r 2 + pr + q = 0 zwane równaniem charakterystycznym. Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0 ( ) Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań). Pierwiastki ( ) Całki szczególne RJ Całka ogólna RJ > 0 r 1 r 2 y 1 = e r1x, y 2 = e r 2x y = C 1 e r1x + C 2 e r 2x = 0 r 0 y 1 = e r0x, y 2 = xe r 0x y = C 1 e r0x + C 2 xe r 0x < 0 r 1,2 = α ± βi y 1 = e αx sin βx y = C 1 e αx sin βx + C 2 e αx cos βx y 2 = e αx cos βx 15 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
16 W celu znalezienia rozwiązania liniowego równania różniczkowego niejednorodnego rzę drugiego postaci stosujemy na przykład y + py + qy = f(x), p, q R Metodę wpółczynników nieoznaczonych (metoda przewiwania) która polega na odgadnięciu CSRN, g dana jest CORJ, i wte na podstawie twierdzenia: Metodę stosujemy, g CORN = CORJ + CSRN. równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p, q R) wielomian stopnia n f(x) = a sin ωx + b cos ωx lub f(x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok. ae λx, Przewiwane postacie całki szczególnej y s (x) równania RN y + py + qy = f(x),, p, q R Niech λ + ωi, λ, ω R, będzie k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0. Wówczas Postać f(x) Postać przewiwana y s (x) P n (x) = a n x n a 1 x + a 0 x k (A n x n A 1 x + A 0 ) a e λx Ax k e λx P n (x) e λx x k (A n x n A 0 )e λx a cos ωx + b sin ωx x k (A cos ωx + B sin ωx) P n (x) cos ωx + Q m (x) sin ωx, n m x k W n (x) cos ωx + x k M n (x) sin ωx P n (x)e λx cos ωx + Q m (x)e λx sin ωx, n m x k W n (x)e λx cos ωx + x k M n (x)e λx sin ωx gdzie W n (x) = A n x n A 0 i M n (x) = B n x n B 0 Przykład y 5 y + 6y = x = y s (x) = Ax 2 + Bx + C y 5 y + 6y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y 5 y +6y = x e 3x = y s (x) = x (Ax + B) e 3x y 4 y + 4y = x e x = y s (x) = (Ax + B) e x y 4 y + 4y = x e 2x y s (x)=x 2 (Ax + B) e 2x y + 9y = sin 3x = y s (x) = Ax sin 3x + Bx cos 3x 16 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
17 Innym sposobem wyznaczenia całki równania postaci jest y + py + qy = f(x), p, q R Metoda uzmienniania stałych Jeżeli funkcje y 1 (x), y 2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ y + py + qy = 0, p, q R, to całka ogólna równania RN y + py + qy = f(x), p, q R, ma postać y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x), gdzie C 1 (x), C 2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem ukła [ ] y1 (x) y 2 (x) y 1 (x) y 2 (x) Przykład Rozważmy równanie y y = [ ] [ ] C 1 (x) 0 C 2 (x) =. (16) f(x) 8 e 2x + 1. Równanie jednorodne y y = 0 ma następujące równanie charakterystyczne r 2 1 = 0, którego pierwiastkami są r 1 = 1 i r 2 = 1. Zatem CORJ ma postać y = C 1 e x + C 2 e x, CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn. y = C 1 (x)e x + C 2 (x)e x, W celu wyznaczenia funkcji C 1 (x), C 2 (x) rozwiązujemy układ: e x C 1 (x) + e x C 2 (x) = 0 e x C 1 (x) e x C 2 (x) = 8 e 2x e x C 1 (x) = e 2x + 1 C 2 (x) = 4ex e 2x + 1 Wte C 1 (x) = 4e x 4 arc tg e x + C 1 C 2 (x) = 4 arc tg e x + C 2 y(x) = C 1 e x + C 2 e x 4 4e x arc tg e x 4e x arc tg e x 17 Opracowała: Małgorzata Wyrwas
18 6 Ukła równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach Definicja 6.1. Układ równań postaci y 1 = a 11(x)y 1 + a 12 (x)y 2 + h 1 (x) y 2 = a 21(x)y 1 + a 22 (x)y 2 + h 2 (x), (17) nazywamy układem dwóch równań różniczkowych liniowych rzę pierwszego. Funkcje a ij, gdzie i, j = 1, 2 nazywamy współczynnikami, funkcje h 1 i h 2 wyrazami wolnymi tego ukła. Jeśli h 1 0 i h 2 0, to układ (17) nazywamy jednorodnym i oznaczamy UJ. Jeśli h 1 0 i h 2 0, to to układ (17) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy UN Jeżeli a ij (x) a ij = const, gdzie i, j = 1, 2, to układ (17) nazywamy układem równań różniczkowych liniowych rzę pierwszego o stałych współczynnikach. Definicja 6.2. Rozwiązaniem ukła równań różniczkowych liniowych rzę pierwszego na przedziale (a, b) nazywamy funkcje y 1 (x), y 2 (x), które podstawione do ukła (17) dają tożsamość dla wszystkich wartości x (a, b). Uwaga 4. W celu rozwiązania ukła (17) można zastosować metodę eliminacji, która sprowadza układ (17) do równania różniczkowego liniowego drugiego rzę z jedną tylko funkcją niewiadomą. Przykład 6.3. Dwa stulitrowe zbiorniki Y 1 i Y 2, z których pierwszy zawiera 10% wodny roztwór soli, a drugi czysta wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającymi przepływ cieczy między nimi. Przy czym pierwszą rurą roztwór przepływa w jedną stronę, a drugą odwrotnie. Przepływy te odbywają się z prędkością 2 litrów na minutę. Określić ilość soli y 1 (t) i y 2 (t) odpowiednio w zbiornikach Y 1 i Y 2. Przyjąć, że proces rozpuszczania soli w zbiornikach jest natychmiastowy. Y 1 Y 2 10% soli y 1 (t) - ilość soli w zbiorniku Y 1 w litrach w chwili t; y 2 (t) - ilość soli w zbiorniku Y 2 w litrach w chwili t. y 1 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 1; y 2 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 2. W chwili t do zbiornika Y 1 wpływa 0,02y 2 (t) l min oraz wypływa 0,02y 1(t) l min soli. Ponadto w chwili t do zbiornika Y 2 wpływa 0,02y 1 (t) l min oraz wypływa 0,02y 2(t) l min soli. Zatem przebieg procesu w danych zbiornikach można opisać: y 1 = 0,02y 1 + 0,02y 2 y 2 = 0,02y 1 0,02y 2 z warunkami początkowymi y 1 (0) = 10 i y 2 (0) = Opracowała: Małgorzata Wyrwas
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Automatyka i robotyka studia stacjonarne sem. I, rok ak. 2009/2010 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowo1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk
Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Równania różniczkowe 11.05.018 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd
Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowo26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU
6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe skierowane
Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Jeszcze o równaniach liniowych Rozważmy skalarne, jednorodne równanie
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja
Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...
Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowox y = 2z. + 2y, z 2y df
. Funkcje wielu zmiennych i funkcje uwikłane Zadanie.. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (, ) (,). Korzystamy z przybliżenia f, y) f, y ) + x x, y ) + y y, y ), gdzie x = x x a y = y y. Przybliżenie
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 3 o rozdzielonych zmiennych 4 Zadania.. 5 jednorodne 6 Zadania.. 7 liniowe 7 Zadania.. 8 Bernoulliego
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowo