Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Transkrypt

1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą formą równania różniczkowego pierwszego rzędu jest równanie postaci F (x, y, y ) = 0. Jak widać wiąże ono zmienną niezależną x, zmienną zależną y i jej pierwszą pochodną y. Funkcję y(x) nazywamy rozwiązaniem na przedziale (a, b) równania różniczkowego (R), jeżeli na tym przedziale jest różniczkowalna i zamienia równanie w tożsamość y (x) = f(x, y(x)). Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową. Równanie różniczkowe (R) oraz warunek (W ) y(x 0 ) = y 0 nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy ego. Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali w postaci (RW ) y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Liczby x 0 i y 0 nazywamy wartościami początkowymi. Funkcję y(x) nazywamy rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW ), jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na pewnym przedziale zawierającym punkt x 0 i spełnia warunek (W ).

2 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 2 W interpretacji geometrycznej, rozwiązanie zagadnienia początkowego polega na wskazaniu wśród krzywych całkowych równania (R) tej, która przechodzi przez punkt (x 0, y 0 ). Zagadnienie początkowe niekoniecznie musi mieć tylko jedno rozwiązanie. Twierdzenie Jeżeli funkcja f(x, y) oraz jej pochodna cząstkowa f y (x, y) są ciągłe na obszarze D R2 oraz (x 0, y 0 ) D, to zagadnienie początkowe (RW ) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

3 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 3 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci (S) y = g(x)h(y), nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych. Jeżeli funkcje g(x) i h(y) są ciągłe, przy czym h(y) 0 dla każdego y, to całka równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (S) dana jest wzorem gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą. dy h(y) = g(x)dx + C, Czyli równanie o zmiennych rozdzielonych rozwiązujemy całkując obustronnie jego formę różniczkową. Twierdzenie (istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (S)) Jeżeli funkcje g(x) i h(y) są ciągłe odpowiednio na przedziałach (a, b) i (c, d), przy czym h(y) 0 dla y (c, d) oraz jeżeli x 0 (a, b), y 0 (c, d), to zagadnienie początkowe y = g(x)h(y), y(x 0 ) = y 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie. Czyli przez każdy punkt (x 0, y 0 ) prostokąta (a, b) (c, d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania y = g(x)h(y).

4 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 4 Równania różniczkowe jednorodne Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci ( ) y (J) y = g, x nazywamy równaniem jednorodnym. Równanie jednorodne (J) przez zamianę zmiennych y = ux sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych postaci xu = g(u) u. Twierdzenie (istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (J)) Jeżeli funkcja g(u) jest ciągła na przedziale (a, b) i spełnia tam warunek g(u) u, to zagadnienie początkowe gdzie a < y 0 x 0 ( ) y y = g, y(x 0 ) = y 0, x < b, ma dokładnie jedno rozwiązanie.

5 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 5 Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci (L) y + p(x)y = q(x), nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeżeli q(x) 0, to równanie nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. Schemat poszukiwania rozwiązania Szukamy rozwiązania ogólnego y o (x) rówania jednorodnego Szukamy rozwiązania szczególnego y s (x) równania niejednorodnego Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest y(x) = y o (x) + y s (x) Korzystamy z warunków początkowych, o ile są dane w treści zadania Twierdzenie (istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (L)) Jeżeli funkcje p(x) i q(x) są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x 0 (a, b), y o R, to zagadnienie początkowe y + p(x)y = q(x), y(x 0 ) = y 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a, b). Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (x 0, y 0 ) pasa (a, b) R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego liniowego. Metoda uzmienniania stałej Sposoby rozwiązywania Istotą metody uzmienniania stałej jest założenie, że rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego można przedstawić w postaci y s (x) = c(x)exp( p(x)dx),

6 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 6 gdzie c(x) jest odpowiednio dobraną funkcją różniczkowalną. Metoda przewidywań Metodę tę stosujemy w przypadku równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach, czyli (Ls) y + py = q(x). o odpowiedniej postaci funkcji q(x), tzn. gdy q(x) = e ax P n (x), to przewidywane rozwiązanie szczególne ma postać e ax Q n (x) y s (x) = xe ax Q n (x) p a p = a gdzie P n (x) jest wielomianem stopnia n, a Q n (x) jest postacią ogólną tego wielomianu; q(x) = (k 1 cos bx + k 2 sin bx)e ax, to przewidywane rozwiązanie szczególne ma postać, y s (x) = (m 1 cos bx + m 2 sin bx)e ax, gdzie k 1, k 2 są stałymi, a m 1, m 2 są stałymi w postaci ogólnej.

7 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 7 Równanie Bernoulliego Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci (B) y + p(x)y = h(x)y r, gdzie r R \ {0, 1}, nazywamy równaniem Bernoulliego. Równanie różniczkowe (B) sprowadza się do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego przez zamianę zmiennych: z = y 1 r.

8 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 8 Równanie zupełne, Czynnik całkujący Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci y = f(x, y) można zapisać w postaci dy = f(x, y)dx, gdzie dy = y dx oznacza różniczkę funkcji y = y(x). Równanie to jest szczególnym przypadkiem równania postaci P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, w którym P i Q oznaczają funkcje określone w pewnym obszarze Ω R 2. Jeżeli forma P (x, y)dx + Q(x, y)dy, zwana formą Pfaffa, jest różniczką pewnej funkcji dwu zmiennych, to równanie P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym. Twierdzenie Jeżeli funkcje P i Q mają pochodne cząstkowe ciągłe w jednospójnym obszarze Ω, to warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by równanie P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 było równaniem zupełnym jest warunek Twierdzenie P y = Q x. Jeżeli forma P (x, y)dx + Q(x, y)dy jest w pewnym obszarze Ω różniczką zupełną funkcji f, to rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zupełnego P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 jest jednoparametrowa rodzina funkcji uwikłanych, określona za pomocą równania f(x, y) = c, gdzie c jest dowolną stałą. Jeżeli istnieje tak funkcja µ określona w obszarze Ω, że równanie µ(x, y)p (x, y)dx + µ(x, y)q(x, y)dy = 0

9 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 9 jest równaniem zupełnym, to funkcję µ nazywamy czynnikiem całkującym równania różniczkowego P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, tzn. Będziemy rozpatrywali dwa przypadki. (µp ) y = (µq) x Funkcje P i Q mają pochodne cząstkowe ciągłe w jednospójnym obszarze Ω. ( 1 P Niech Q(x, y) 0 oraz Q y Q ) jest funkcją zmiennej x, to istnieje czynnik x całkujący określony równością µ(x) = exp { ( 1 Q Niech P (x, y) 0 oraz P x P ) y całkujący określony równością µ(y) = exp { 1 Q 1 P. ( P y Q ) dx}. x jest funkcją zmiennej y, to istnieje czynnik ( Q x P ) dy}. y

10 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 10 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu nazywamy równanie postaci (RR) y = f(x, y, y ). Najogólniejszą formą równania różniczkowego drugiego rzędu jest równanie postaci F (x, y, y, y ) = 0. Jak widać wiąże ono zmienną niezależną x, zmienną zależną y i jej dwoma pochodnymi y, y. Funkcję y(x) nazywamy rozwiązaniem na przedziale (a, b) równania różniczkowego (RR), jeżeli na tym przedziale jest ona dwukrotnie różniczkowalna i zamienia równanie w tożsamość y (x) = f(x, y(x), y (x)). Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową. Równanie różniczkowe (RR) oraz warunki (W ) y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy ego. Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali w postaci (RW ) y = f(x, y, y ), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1. Liczby x 0, y 0 i y 1 nazywamy wartościami początkowymi. Funkcję y(x) nazywamy rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW ), jeżeli jest rozwiązaniem równania (RR) na pewnym przedziale zawierającym punkt x 0 i spełnia warunek (W ).

11 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 11 Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci (L) y + p(x)y + h(x)y = q(x), nazywamy równaniem liniowym drugiego rzędu. Funkcje p(x), h(x) nazywamy współczynnikami, a funkcję q(x) wyrazem wolnym tego równania. Jeżeli q(x) 0, to równanie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem liniowym jednorodnym. Twierdzenie (istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (L)) Jeżeli funkcje p(x), h(x) i q(x) są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x 0 (a, b), y 0, y 1 R, to zagadnienie początkowe y + p(x)y + h(x)y = q(x), y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a, b). Inaczej mówiąc, przez każdy punkt pasa (a, b) R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego liniowego (L) o podanym współczynniku kierunkowym stycznej. Jeżeli funkcje ϕ(x) i ψ(x) są rozwiązaniami równania liniowego jednorodnego y + p(x)y + h(x)y = 0, to dla dowolnych liczb rzeczywistych α, β funkcja y(x) = αϕ(x) + βψ(x) jest także rozwiązaniem tego równania. Parę rozwiązań (y 1 (x), y 2 (x)) równania liniowego jednorodnego y +p(x)y +h(x)y = 0, określoną na przedziale (a, b), nazywamy układem fundamantalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla każdego x 0 (a, b) spełniony jest warunek y 1 (x) y 2 (x) W (y 1 (x), y 2 (x)) = = y y 1(x) y 2(x) 1 (x)y 2(x) y 2 (x)y 1(x) 0.

12 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 12 Wyznacznik W (y 1 (x), y 2 (x)) nazywamy wrońskianem pary funkcji (y 1 (x), y 2 (x)). Niech (y 1 (x), y 2 (x)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego y + p(x)y + h(x)y = 0. Wtedy dla każdego rozwiązania y(x) tego równania istnieją jednoznacznie określone stałe rzeczywiste C 1, C 2 takie, że y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x). Czyli znając układ fundamentalny równania jednorodnego możemy podać wszystkie jego rozwiązania, a także przez dobór stałych C 1, C 2, znaleźć rozwiązanie tego równania z dowolnymi warunkami początkowymi.

13 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 13 Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci (LS) y + p 1 y + p 2 y = q(x), gdzie p 1, p 2 R nazywamy równaniem różniczkowym liniowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Jeżeli q(x) 0, to równanie nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. Równanie jednorodne Rozważmy równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci y + p 1 y + p 2 y = 0. Równanie postaci r 2 + p 1 r + p 2 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach. Natomiast wielomian w(r) = r 2 + p 1 r + p 2 nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania. Definiujemy go tylko dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach. W zależności od rozwiązania wielomianu charakterystycznego możemy wyróżnić trzy przypadki: jeżeli r 1, r 2 są rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego, to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje y 1 (x) = e r1x, y 2 (x) = e r2x, a rozwiązanie ogólne ma postać y(x) = C 1 e r1x + C 2 e r2x,

14 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 14 gdzie C 1, C 2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste; jeżeli r jest rzeczywistym podwójnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje y 1 (x) = e rx, y 2 (x) = xe rx, a rozwiązanie ogólne ma postać y(x) = C 1 e rx + C 2 xe rx, gdzie C 1, C 2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste; jeżeli r 1 = α + iβ, r 2 = α iβ, gdzie β > 0 są zespolonymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego, to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje y 1 (x) = e αx cos βx, y 2 (x) = e αx sin βx, a rozwiązanie ogólne ma postać y(x) = C 1 e αx cos βx + C 2 e αx sin βx, inaczej y(x) = (C 1 cos βx + C 2 sin βx)e αx, gdzie C 1, C 2 oznaczają dowolne stałe rzeczywiste. Równanie niejednorodne Rozważmy równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci y + p 1 y + p 2 y = q(x). Schemat poszukiwania rozwiązania Szukamy rozwiązania ogólnego y o (x) rówania jednorodnego Szukamy rozwiązania szczególnego y s (x) równania niejednorodnego (metodą uzmienniania stałych lub, o ile pozwala na to postać równania, matodą przewidywań) Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest y(x) = y o (x) + y s (x)

15 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 15 Korzystamy z warunków początkowych, o ile są dane w treści zadania Metoda uzmienniania stałych Jeżeli para (y 1 (x), y 2 (x)) będzie układem fundamentalnym równania jednorodnego, to funkcja y(x) = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x), gdzie (C 1 (x), C 2 (x)) jest dowolnym rozwiązaniem układu równań y 1(x) y 1(x) y 2 (x) C 1(x) y 2(x) C 2(x) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego. = 0 q(x) Układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest różny od zera. Należy zatem wyznaczyć rozwiązanie (y 1 (x), y 2 (x)) układu C 1(x)y 1 (x) + C 2(x)y 2 (x) = 0 C 1(x)y 1(x) + C 2(x)y 2(x) = q(x) Układ ten ma jednoznaczne rozwiązanie, gdyż jego wyznacznik jest różny od zera.,. Metoda przewidywań Możemy stosować tę metodę, gdy jest odpowiednia postać funkcji q(x), tzn. gdy q(x) = e ax P n (x), to przewidywane rozwiązanie szczególne ma postać y s (x) = x p e ax Q n (x), gdzie P n (x) jest wielomianem stopnia n, a Q n (x) jest postacią ogólną tego wielomianu, a p jest krotnością pierwiastka a równania charakterystycznego; q(x) = (P n (x) cos bx+p m (x) sin bx)e ax, to przewidywane rozwiązanie szczególne ma postać y s (x) = x p (Q1 t (x) cos bx + Q2 t (x) sin bx)e ax, gdzie P n jest wielomianem stopnia n, P m jest wielomianem stopnia m, a Q1 t, Q2 t są wielomianami stopnia t = max{n, m} w postaci ogólnej, natomiast p jest krotnością pierwiastka a + ib równania charakterystycznego.