WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
|
|
- Łucja Kasprzak
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Łódź 2006
2
3 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny GRANICE FUNKCJI Podstawowe definicje Twierdzenia o granicach funkcji Asymptoty funkcji CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Własności funkcji ciągłych Funkcje jednostajnie ciągłe SZEREGI LICZBOWE Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych. 19 3
4 1. CIĄGI LICZBOWE 4 1. CIĄGI LICZBOWE Definicja 1.1. Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy Ciąg o wyrazach a n zapisujemy symbolem a n f(n), n N. (a n ) lub a 1, a 2,..., zaś zbiór wartości ciągu oznaczamy przez {a n } n N. Ciągi, których wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wyrazy są funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność. Definicja 1.2. a) Ciąg (a n ) jest rosnący def n N b) Ciąg (a n ) jest niemalejący def c) Ciąg (a n ) jest malejący def d) Ciąg (a n ) jest nierosnący def n N a n+1 > a n. n N n N a n+1 a n. a n+1 < a n. Twierdzenie 1.3. Jeśli a n > 0 dla n N, to a n+1 a n. ciąg (a n ) jest rosnący n N a n+1 a n > 1. Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego. Definicja 1.5. a) Ciąg (a n ) jest ograniczony z dołu def m R n N a n m. b) Ciąg (a n ) jest ograniczony z góry def M R n N a n M. c) Ciąg (a n ) jest ograniczony def (a n ) jest ograniczony z dołu i z góry.
5 Ćwiczenie 1.6. Zbadać własności ciągów o wyrazach ogólnych: a) a n = n; b) a n = ( 3) n ; c) a n = ( 1)n ; d) a n 1 n = 1 n Definicja 1.7. Ciąg liczbowy (a n ) jest zbieżny do a R, gdy a n a < ε, czyli K N 1. CIĄGI LICZBOWE 5 K N n K n K a ε < a n < a + ε. Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a n ) i zapisujemy 1 Przykład 1.8. Wykazać, że n lim n = 0. Definicja 1.9. a) Ciąg (a n ) jest rozbieżny do +, gdy lim a n = a lub a n a. n K N b) Ciąg (a n ) jest rozbieżny do, gdy Zapisujemy odpowiednio: K N n K n K lim a n = + lub n a n > ε. a n < ε. lim a n =. n Jeśli ciąg (a n ) nie posiada granicy (właściwej lub niewłaściwej), to mówimy, że jest rozbieżny. Przykład Wykazać, że lim n n 2 = +. Twierdzenie Każdy ciąg posiada conajwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą). Definicja Podciągiem ciągu (a n ) nazywamy każdy ciąg (a kn ), gdzie (k n ) jest dowolnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Np. Podciągami ciągu (a n ) są ciągi: a 1, a 3, a 5,... a 2, a 4, a 6,... a 3, a 4, a 5,... (a 2n 1 ) (a 2n ) n N (a n ) n 3 Twierdzenie Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg. Przykład Wykazać, że nie istnieją granice: a) lim n ( 1) n, Ćwiczenie Wykazać, że: b) lim n cos nπ 2.
6 1. CIĄGI LICZBOWE 6 a) lim n a n = ± 1 lim = 0; n a n b) lim n a n = 0 { 1 ± = 0} { 1 +, gdy an > 0 dla prawie wszystkich n N, lim = n a n, gdy a n < 0 dla prawie wszystkich n N. { = + } { 1 0 = } Ćwiczenie Wykazać, że a) lim n q n = b) lim n n α = nie istnieje dla q 1, 0 dla q ( 1; 1), 1 dla q = 1, + dla q > 1. 0 dla α < 0, 1 dla α = 0, + dla α > Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych. Twierdzenie Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony. Uwaga Twierdzenie odwrotne do Tw.1.17 nie jest prawdziwe. Twierdzenie 1.19 (Bolzano-Weierstrassa). Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do lub +. Twierdzenie Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny. Lemat Jeśli ciągi (a n ), (b n ) są zbieżne oraz a n b n, to lim n a n lim n b n. K N n K Twierdzenie 1.22 (o trzech ciągach). Załóżmy,że ( ) a n b n c n, K N n K a) Jeśli lim n a n = lim n c n = a, to istnieje granica ciągu (b n ), przy czym lim n b n = a.
7 b) Jeśli lim n a n = +, to lim n b n = +. c) Jeśli lim n c n =, to lim n b n =. Twierdzenie Jeśli n lim a n = a oraz c 0, to { c a, gdy a R, lim c a n= n ±, gdy a = ±. W szczególności dla c > 0 1. CIĄGI LICZBOWE 7 {c (+ ) = + } oraz {c ( ) = } Twierdzenie Jeśli lim n a n = a oraz lim b n = b, to n Twierdzenie Jeśli lim a n = a, lim b n = b oraz b n 0 dla n N, to n n Twierdzenie Jeśli n lim a n = a, n lim b n = b oraz b n 0 dla n N, to
8 1. CIĄGI LICZBOWE 8 Symbole nieoznaczone: Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e. Twierdzenie a) lim n n n = 1. b) lim n n a = 1. c) Jeśli a n 0 dla każdego n N oraz lim n a n = a > 0, to lim n n a n = 1. Uwaga Tw c) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +. Twierdzenie Ciąg a n = (1 + 1 n )n dla n N jest ograniczony i monotoniczny. Definicja Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 + 1 n )n, n N. Twierdzenie n a) 1 lim n k=0k! = e. b) Liczba e jest liczbą niewymierną. e = 2, Twierdzenie Jeśli a n 0 dla każdego n N oraz lim n a n = ±, to lim n (1 + 1 a n ) an = e. Definicja Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln. ln x def = log a x dla x > 0
9 1. CIĄGI LICZBOWE Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny. Definicja Niech E R, E. a) Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy M R x E x M. Lczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E. b) Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy m R x E x m. Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E. c) Zbiór E jest ograniczony, gdy zbiór E jest ograniczony z góry i z dołu. Definicja Niech E R, E. a) Liczbę M 0 E taką, że x E x M 0 nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E. b) Liczbę m 0 E taką, że x E x m 0 nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E. Definicja Niech E R, E. a) Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to liczbę M R taką, że (1) x E x M, (2) M 1 <M x E x > M 1 nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E. (Liczba sup E jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E.) W przypadku gdy E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +. b) Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, liczbę m R taką, że (1) x E x m, (2) m 1 >m x E x < m 1 nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy przez inf E.
10 1. CIĄGI LICZBOWE 10 (Liczba inf E jest największym ograniczeniem dolnym zbioru E.) W przypadku gdy E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E =. Twierdzenie Każdy niepusty zbiór E R posiada kresy górny i dolny, które należą do zbioru R. Twierdzenie a) Jeśli ciąg (a n ) jest niemalejący, to sup{a n : n N} = lim n a n, inf{a n : n N} = a 1. b) Jeśli ciąg (a n ) jest nierosnący, to sup{a n : n N} = a 1, inf{a n : n N} = lim n a n.
11 2. GRANICE FUNKCJI GRANICE FUNKCJI 2.1. Podstawowe definicje. Niech X R, X. Definicja 2.1. Niech x 0 R. Sąsiedztwem punktu x 0 nazywamy każdy zbiór gdzie a, b R, a < x 0 < b. Zbiory S(x 0 ) = (a, x 0 ) (x 0, b), S (x 0 ) = (a, x 0 ), S + (x 0 ) = (x 0, b), nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x 0. Otoczeniem punktu x 0 nazywamy zbiór Zbiory U(x 0 ) = S(x 0 ) {x 0 }. U (x 0 ) = S (x 0 ) {x 0 }, U + (x 0 ) = S + (x 0 ) {x 0 }. nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym otoczeniem punktu x 0. Sąsiedztwem nazywamy zbiór S( ) = (, b), gdzie b R. Sąsiedztwem + nazywamy zbiór S(+ ) = (a, + ), gdzie a R. Definicja 2.2. Punkt x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x n ) taki, że {x n } X \ {x 0 } oraz lim n x n = x 0. Jeśli x n < x 0 dla n N (x n > x 0 dla n N), to x 0 nazywamy lewostronnym (prawostronnym) punktem skupienia zbioru X. Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi. Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X oznaczamy przez X d (X d, X d+ ).
12 Definicja 2.3 (Heinego granicy funkcji w + ). Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X 2. GRANICE FUNKCJI 12 [ lim n x n = + lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g x + b) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X [ lim n x n = + lim n f(x n ) = + ]. lim f(x) = + x + Analogicznie definiujemy lim f(x) =, lim x + f(x) = g oraz lim x Definicja 2.4 (Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x 0 X d. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X\{x 0 } f(x) = ±. x [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g x x 0 b) Funkcja f posiada w x 0 granicę niewłaściwą +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X\{x 0 } [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = + ]. lim f(x) = + x x 0 Analogicznie definiujemy lim x x0 f(x) =. Definicja 2.5. Niech f : X R. a) Niech x 0 X d. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X (,x 0 ) [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g].
13 2. GRANICE FUNKCJI 13 lim f(x) = g lub f(x x x 0 ) = g 0 b) Niech x 0 X d+. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X (x 0,+ ) [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g lub f(x + x x + 0 ) = g 0 Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie. Definicja 2.6 (Cauchy ego granicy funkcji w + ). Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) g < ε]. b) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą +, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) > ε]. c) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) < ε]. Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w +. Definicja 2.7 (Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x 0 X d. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) g < ε]. b) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą +, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) > ε]. c) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) < ε]. Twierdzenie 2.8. Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy ego granic funkcji są równoważne. Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy). Jeśli x 0 X d X d+, to lim f(x) = g lim f(x) = lim f(x) = g. x x 0 x x 0 x x + 0
14 2. GRANICE FUNKCJI Twierdzenia o granicach funkcji. Twierdzenie 2.10 (o arytmetyce granic właściwych funkcji). Jeśli f, g : X R, lim x x0 f(x) = a oraz lim x x0 a) lim x x0 (c f(x)) = c a dla dowolnego c R; b) lim x x0 (f(x) ± g(x) = a ± b; g(x) = b, to c) lim x x0 (f(x) g(x)) = a b; d) lim x x0 f(x) = a, o ile b 0; g(x) b e) lim x x0 (g(x)) f(x) = b a, o ile b > 0 i a 0. Twierdzenie 2.11 (o arytmetyce granic niewłaściwych funkcji). a + = + dla < a + a (+ ) = + dla < a + a = 0 dla < a < + a = + dla 0 < a b = 0 dla 0 + b < 1, b = + dla 1 < b + a = 0 dla a < 0, a = + dla 0 < a + Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej). Niech f : X Y R, g : Y R. Jeśli (1) lim x x0 f(x) = a, (2) f(x) a dla każdego x S(x 0 ), to lim x x0 g(f(x)) = b. (3) lim x a g(x) = b,
15 2. GRANICE FUNKCJI 15 Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach). Jeśli funkcje f, g, h : X R spełniają warunki to lim x x0 g(x) = a. (1) x S(x 0 ) f(x) g(x) h(x), (2) lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = a, Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach). Niech f, g : X R oraz x S(x 0 ) Jeśli lim x x0 f(x) = +, to lim x x0 g(x) = +. Jeśli lim x x0 g(x) =, to lim x x0 f(x) =. f(x) g(x). Powyższe twierdzenia o granicach funkcji zachodzą zarówno dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w ±. Twierdzenie Twierdzenie sin x lim = 1. x 0 x lim(1 + x) 1 x = e. x Asymptoty funkcji. Definicja Niech f : X R, x 0 X d. a) Prosta x = x 0 jest lewostronną (prawostronną) asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli lim f(x) = ± x x 0 ( lim f(x) = ± ). x x + 0 b) Prosta x = x 0 jest obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową. Definicja Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w, gdy lim [f(x) (ax + b)] = 0. x Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną w +. Przykład Wykazać, że prosta y = x 1 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f(x) = x 2 x+1. Twierdzenie a) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w a = f(x) lim x x oraz b = lim (f(x) ax). x b) Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w + A = f(x) lim x + x oraz B = lim (f(x) Ax). x +
16 Niech X R, X. 3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Definicja 3.1. Niech f : X R, x 0 X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d lub lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d lub lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d+ lub lim f(x) = f(x 0 ). x x + 0 Zbiór punktów ciągłości funkcji f (punktów lewostronnej, prawostronnej ciągłości) oznaczamy przez C f (C f, C+ f ). Twierdzenie 3.2. Niech f : X R, x 0 X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x 0. f jest Definicja 3.3. Niech f : X R, A X. Funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Przykład 3.4. Zbadać ciągłość funkcji sin x dla x < 0, x 1 dla x = 0, a) f(x) = 2 dla x (0, 1), x 2 x dla x [1, 2] {3}. { 1 dla x Q, b) f(x) = 0 dla x / Q. Definicja 3.5 (rodzaje nieciągłości). Niech f : X R, x 0 X \ C f. x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne lim f(x) oraz lim f(x) istnieją i są skończone. x x 0 x x + 0 x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona. Twierdzenie 3.6. Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje f, f + g, f g oraz f g (o ile g(x) 0 dla x X). Twierdzenie 3.7. Jeśli funkcje f : X Y, g : Y R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g f.
17 3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 17 Twierdzenie 3.8. Jeśli funkcja f : X R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f 1 jest ciągła. Twierdzenie 3.9. Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach Własności funkcji ciągłych. Niech a, b R, a < b. Twierdzenie 3.10 (o lokalnym zachowaniu znaku). Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła oraz f(x 0 ) > 0 dla pewnego x 0 [a; b], to U(x 0 ) x U(x 0 ) f(x) > 0. Twierdzenie 3.11 (Weierstrassa o osiąganiu najmniejszej i największej wartości). Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a; b], przy czym istnieją punkty c 1, c 2 [a; b] takie, że x [a;b] f(c 1 ) f(x) f(c 2 ). Twierdzenie 3.12 (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich). Niech m = inf f[[a; b]] oraz M = sup f[[a; b]]. Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to Wniosek y [m;m] x [a;b] y = f(x). Przykład Wykazać, że równanie posiada rozwiązanie w przedziale [0; 2]. x 3 = 2 x 3.2. Funkcje jednostajnie ciągłe Definicja Niech f : X R oraz A X. Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze A, gdy δ>0 x 1,x 2 A [ x 1 x 2 < δ f(x 1 ) f(x 2 ) < ε ]. Twierdzenie Jeśli funkcja f jest jednostajnie ciągła w A X, to jest ciągła w tym zbiorze. Uwaga Twierdzenie Niech a, b R, a < b oraz [a; b] X. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a; b] to jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.
18 4. SZEREGI LICZBOWE SZEREGI LICZBOWE Definicja 4.1. Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych. Liczbę S n, gdzie S n def = a 1 + a a n, nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (a n ). Ciąg (S n ) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a n. Definicja 4.2. Jeśli istnieje skończona granica S = n lim S n, to mówimy, że dany szereg jest zbieżny. Liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem a n. Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny. Uwaga 4.3. Symbolem a n (lub krótko a n ) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o wyrazie a n, jak i jego sumę. Przykład 4.4. Zbadać zbieżność szeregu a) n, b) ( 1) n, c) 1. n(n+1) Definicja 4.5. Szereg postaci q n, gdzie q R, nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q. Twierdzenie 4.6. Szereg geometryczny jest zbieżny q < 1. Twierdzenie 4.7. Niech n 0 N. Wówczas szereg a n jest zbieżny szereg n=n 0 a n jest zbieżny. Twierdzenie 4.8. Jeśli szeregi a n i b n są zbieżne, to
19 a) szereg b) szereg 4. SZEREGI LICZBOWE 19 (a n + b n ) jest zbieżny oraz (a n + b n ) = a n + b n, ca n, gdzie c R, jest zbieżny oraz ca n = c a n. Twierdzenie 4.9 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeśli szereg a n jest zbieżny, to n lim a n = 0. Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Wniosek Twierdzenie Szereg a n jest zbieżny spełnia warunek Cauchy ego, tzn. K N m,n N [m > n K a n+1 + a n a m < ε]. Twierdzenie 4.13 (o zagęszczaniu). Załóżmy, że (a n ) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas szereg a n jest zbieżny szereg 2 n a 2 n jest zbieżny. Definicja Szereg postaci 1, gdzie α R, n α nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α. Twierdzenie Szereg harmoniczny jest zbieżny α > 1. Definicja Niech a n będzie szeregiem zbieżnym. Mówimy, że szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg a n. Mówimy, że szereg a n jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.
20 4. SZEREGI LICZBOWE 20 Twierdzenie Jeśli szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Twierdzenie Każdy szereg a n bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej permutacji (k n ) liczb naturalnych szereg a kn jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg. Twierdzenie 4.20 (Riemanna). Jeśli szereg a n jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego S R istnieje permutacja (k n ) liczb naturalnych taka, że S = a kn Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych. Twierdzenie 4.21 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych). Załóżmy, że 0 a n b n. n N a) Jeśli b n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny. b) Jeśli a n jest rozbieżny, to szereg b n jest rozbieżny. Wniosek 4.22 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli a n b n n N oraz szereg b n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzględnie. Twierdzenie 4.23 (kryterium ilorazowe). Niech a n, b n 0 dla n N oraz Wówczas lim n a n b n = c (0; + ). szereg a n jest zbieżny szereg b n jest zbieżny. Przykład Zbadać zbieżność szeregu
21 a) 2n 2 1 ; n 3 n+2 4. SZEREGI LICZBOWE 21 b) sin(2n) n 2. Twierdzenie 4.25 (kryterium Cauchy ego). n Niech g = lim a n n. Wówczas a) jeśli g < 1, to szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, b) jeśli 1 < g, to szereg a n jest rozbieżny. Twierdzenie 4.26 (kryterium d Alamberta). Załóżmy, że a n 0 dla n N oraz g = lim a n+1 n a n. Wówczas a) jeśli g < 1, to szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, b) jeśli 1 < g, to szereg a n jest rozbieżny. Uwaga Twierdzenie 4.28 (kryterium Raabego). Załóżmy, że a n > 0 dla n N oraz g = an lim n( n a n+1 1). Wówczas a) jeśli g > 1, to szereg a n jest zbieżny, b) jeśli g < 1, to szereg a n jest rozbieżny. Przykład Zbadać zbieżność szeregu n! (x + 1)(x + 2)... (x + n) Twierdzenie 4.30 (kryterium Dirichleta). Jeśli (1) ciąg (a n ) jest monotonicznie zbieżny do 0, (2) ciąg (S n ) sum częściowych szeregu b n jest ograniczony, to szereg a n b n jest zbieżny. Wniosek 4.31 (kryterium Leibniza). dla x > 0.
22 Twierdzenie 4.32 (kryterium Abela). Jeśli (1) ciąg (a n ) jest monotoniczny i ograniczony, (2) szereg b n jest zbieżny, to szereg a n b n jest zbieżny. Przykład Zbadać zbieżność szeregów: 4. SZEREGI LICZBOWE 22 a) ( 1) n n ; d) sin n n ; b) c) ( 1) n arc tg n n ; ( 1) n n 2 ln n ; Przykład Wiedząc, że ( 1) n+1 π = 4 2n 1 wyznaczyć π z dokładnością do ε = 0, 5 (ε = 0, 001). e) ( 1) n ( n n 1 )n2.
Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowo1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoMatematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoWykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k
Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy
Bardziej szczegółowoKrzysztof Rykaczewski. Szeregi
Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.
Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa kowalska@yahoo.com,
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 16 grudnia Wykład 5
Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym
Bardziej szczegółowoEgzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość
Bardziej szczegółowoTO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI
TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowo1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji
27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowo6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski
ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoLista 0 wstęp do matematyki
dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]
Bardziej szczegółowoFunkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Bardziej szczegółowoSpis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...
Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoWykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31
Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoOPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 1 2 Kod modułu 04-A-MAT1-60-1Z 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoII. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.
II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoVIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.
VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I
Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.
Bardziej szczegółowoCi agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39
Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoE-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu
E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna
Bardziej szczegółowo1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.
Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowoCiagi liczbowe wykład 4
Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)
Załącznik nr do Uchwały Senatu nr 30/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2019 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Rachunek różniczkowy i całkowy
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Na dzisiejszym wykładzie (oraz trzech
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe i funkcje wykład 1
Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 dr Mariusz Grządziel 6 października 2008 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 5
Granica funkcji wykład 5 dr Mariusz Grządziel 4 listopada 200 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoSYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia
SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów
Bardziej szczegółowoFunkcje. Granica i ciągłość.
Ćwiczenia 10.1.01: zad. 344-380 Kolokwium nr 9, 11.1.01: materiał z zad. 1-380 Ćwiczenia 17.1.01: zad. 381-400 Kolokwium nr 10, 18.1.01: materiał z zad. 1-400 Konw. 10,17.1.01: zad. 401-44 Funkcje. Granica
Bardziej szczegółowoRachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowo