WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki"

Transkrypt

1 WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki Łódź 2006

2

3 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny GRANICE FUNKCJI Podstawowe definicje Twierdzenia o granicach funkcji Asymptoty funkcji CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Własności funkcji ciągłych Funkcje jednostajnie ciągłe SZEREGI LICZBOWE Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych. 19 3

4 1. CIĄGI LICZBOWE 4 1. CIĄGI LICZBOWE Definicja 1.1. Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy Ciąg o wyrazach a n zapisujemy symbolem a n f(n), n N. (a n ) lub a 1, a 2,..., zaś zbiór wartości ciągu oznaczamy przez {a n } n N. Ciągi, których wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wyrazy są funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność. Definicja 1.2. a) Ciąg (a n ) jest rosnący def n N b) Ciąg (a n ) jest niemalejący def c) Ciąg (a n ) jest malejący def d) Ciąg (a n ) jest nierosnący def n N a n+1 > a n. n N n N a n+1 a n. a n+1 < a n. Twierdzenie 1.3. Jeśli a n > 0 dla n N, to a n+1 a n. ciąg (a n ) jest rosnący n N a n+1 a n > 1. Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego. Definicja 1.5. a) Ciąg (a n ) jest ograniczony z dołu def m R n N a n m. b) Ciąg (a n ) jest ograniczony z góry def M R n N a n M. c) Ciąg (a n ) jest ograniczony def (a n ) jest ograniczony z dołu i z góry.

5 Ćwiczenie 1.6. Zbadać własności ciągów o wyrazach ogólnych: a) a n = n; b) a n = ( 3) n ; c) a n = ( 1)n ; d) a n 1 n = 1 n Definicja 1.7. Ciąg liczbowy (a n ) jest zbieżny do a R, gdy a n a < ε, czyli K N 1. CIĄGI LICZBOWE 5 K N n K n K a ε < a n < a + ε. Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a n ) i zapisujemy 1 Przykład 1.8. Wykazać, że n lim n = 0. Definicja 1.9. a) Ciąg (a n ) jest rozbieżny do +, gdy lim a n = a lub a n a. n K N b) Ciąg (a n ) jest rozbieżny do, gdy Zapisujemy odpowiednio: K N n K n K lim a n = + lub n a n > ε. a n < ε. lim a n =. n Jeśli ciąg (a n ) nie posiada granicy (właściwej lub niewłaściwej), to mówimy, że jest rozbieżny. Przykład Wykazać, że lim n n 2 = +. Twierdzenie Każdy ciąg posiada conajwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą). Definicja Podciągiem ciągu (a n ) nazywamy każdy ciąg (a kn ), gdzie (k n ) jest dowolnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Np. Podciągami ciągu (a n ) są ciągi: a 1, a 3, a 5,... a 2, a 4, a 6,... a 3, a 4, a 5,... (a 2n 1 ) (a 2n ) n N (a n ) n 3 Twierdzenie Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg. Przykład Wykazać, że nie istnieją granice: a) lim n ( 1) n, Ćwiczenie Wykazać, że: b) lim n cos nπ 2.

6 1. CIĄGI LICZBOWE 6 a) lim n a n = ± 1 lim = 0; n a n b) lim n a n = 0 { 1 ± = 0} { 1 +, gdy an > 0 dla prawie wszystkich n N, lim = n a n, gdy a n < 0 dla prawie wszystkich n N. { = + } { 1 0 = } Ćwiczenie Wykazać, że a) lim n q n = b) lim n n α = nie istnieje dla q 1, 0 dla q ( 1; 1), 1 dla q = 1, + dla q > 1. 0 dla α < 0, 1 dla α = 0, + dla α > Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych. Twierdzenie Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony. Uwaga Twierdzenie odwrotne do Tw.1.17 nie jest prawdziwe. Twierdzenie 1.19 (Bolzano-Weierstrassa). Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do lub +. Twierdzenie Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny. Lemat Jeśli ciągi (a n ), (b n ) są zbieżne oraz a n b n, to lim n a n lim n b n. K N n K Twierdzenie 1.22 (o trzech ciągach). Załóżmy,że ( ) a n b n c n, K N n K a) Jeśli lim n a n = lim n c n = a, to istnieje granica ciągu (b n ), przy czym lim n b n = a.

7 b) Jeśli lim n a n = +, to lim n b n = +. c) Jeśli lim n c n =, to lim n b n =. Twierdzenie Jeśli n lim a n = a oraz c 0, to { c a, gdy a R, lim c a n= n ±, gdy a = ±. W szczególności dla c > 0 1. CIĄGI LICZBOWE 7 {c (+ ) = + } oraz {c ( ) = } Twierdzenie Jeśli lim n a n = a oraz lim b n = b, to n Twierdzenie Jeśli lim a n = a, lim b n = b oraz b n 0 dla n N, to n n Twierdzenie Jeśli n lim a n = a, n lim b n = b oraz b n 0 dla n N, to

8 1. CIĄGI LICZBOWE 8 Symbole nieoznaczone: Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e. Twierdzenie a) lim n n n = 1. b) lim n n a = 1. c) Jeśli a n 0 dla każdego n N oraz lim n a n = a > 0, to lim n n a n = 1. Uwaga Tw c) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +. Twierdzenie Ciąg a n = (1 + 1 n )n dla n N jest ograniczony i monotoniczny. Definicja Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 + 1 n )n, n N. Twierdzenie n a) 1 lim n k=0k! = e. b) Liczba e jest liczbą niewymierną. e = 2, Twierdzenie Jeśli a n 0 dla każdego n N oraz lim n a n = ±, to lim n (1 + 1 a n ) an = e. Definicja Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln. ln x def = log a x dla x > 0

9 1. CIĄGI LICZBOWE Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny. Definicja Niech E R, E. a) Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy M R x E x M. Lczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E. b) Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy m R x E x m. Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E. c) Zbiór E jest ograniczony, gdy zbiór E jest ograniczony z góry i z dołu. Definicja Niech E R, E. a) Liczbę M 0 E taką, że x E x M 0 nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E. b) Liczbę m 0 E taką, że x E x m 0 nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E. Definicja Niech E R, E. a) Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to liczbę M R taką, że (1) x E x M, (2) M 1 <M x E x > M 1 nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E. (Liczba sup E jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E.) W przypadku gdy E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +. b) Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, liczbę m R taką, że (1) x E x m, (2) m 1 >m x E x < m 1 nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy przez inf E.

10 1. CIĄGI LICZBOWE 10 (Liczba inf E jest największym ograniczeniem dolnym zbioru E.) W przypadku gdy E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E =. Twierdzenie Każdy niepusty zbiór E R posiada kresy górny i dolny, które należą do zbioru R. Twierdzenie a) Jeśli ciąg (a n ) jest niemalejący, to sup{a n : n N} = lim n a n, inf{a n : n N} = a 1. b) Jeśli ciąg (a n ) jest nierosnący, to sup{a n : n N} = a 1, inf{a n : n N} = lim n a n.

11 2. GRANICE FUNKCJI GRANICE FUNKCJI 2.1. Podstawowe definicje. Niech X R, X. Definicja 2.1. Niech x 0 R. Sąsiedztwem punktu x 0 nazywamy każdy zbiór gdzie a, b R, a < x 0 < b. Zbiory S(x 0 ) = (a, x 0 ) (x 0, b), S (x 0 ) = (a, x 0 ), S + (x 0 ) = (x 0, b), nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x 0. Otoczeniem punktu x 0 nazywamy zbiór Zbiory U(x 0 ) = S(x 0 ) {x 0 }. U (x 0 ) = S (x 0 ) {x 0 }, U + (x 0 ) = S + (x 0 ) {x 0 }. nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym otoczeniem punktu x 0. Sąsiedztwem nazywamy zbiór S( ) = (, b), gdzie b R. Sąsiedztwem + nazywamy zbiór S(+ ) = (a, + ), gdzie a R. Definicja 2.2. Punkt x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x n ) taki, że {x n } X \ {x 0 } oraz lim n x n = x 0. Jeśli x n < x 0 dla n N (x n > x 0 dla n N), to x 0 nazywamy lewostronnym (prawostronnym) punktem skupienia zbioru X. Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi. Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X oznaczamy przez X d (X d, X d+ ).

12 Definicja 2.3 (Heinego granicy funkcji w + ). Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X 2. GRANICE FUNKCJI 12 [ lim n x n = + lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g x + b) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X [ lim n x n = + lim n f(x n ) = + ]. lim f(x) = + x + Analogicznie definiujemy lim f(x) =, lim x + f(x) = g oraz lim x Definicja 2.4 (Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x 0 X d. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X\{x 0 } f(x) = ±. x [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g x x 0 b) Funkcja f posiada w x 0 granicę niewłaściwą +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X\{x 0 } [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = + ]. lim f(x) = + x x 0 Analogicznie definiujemy lim x x0 f(x) =. Definicja 2.5. Niech f : X R. a) Niech x 0 X d. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X (,x 0 ) [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g].

13 2. GRANICE FUNKCJI 13 lim f(x) = g lub f(x x x 0 ) = g 0 b) Niech x 0 X d+. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X (x 0,+ ) [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g lub f(x + x x + 0 ) = g 0 Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie. Definicja 2.6 (Cauchy ego granicy funkcji w + ). Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) g < ε]. b) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą +, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) > ε]. c) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) < ε]. Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w +. Definicja 2.7 (Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x 0 X d. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) g < ε]. b) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą +, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) > ε]. c) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) < ε]. Twierdzenie 2.8. Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy ego granic funkcji są równoważne. Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy). Jeśli x 0 X d X d+, to lim f(x) = g lim f(x) = lim f(x) = g. x x 0 x x 0 x x + 0

14 2. GRANICE FUNKCJI Twierdzenia o granicach funkcji. Twierdzenie 2.10 (o arytmetyce granic właściwych funkcji). Jeśli f, g : X R, lim x x0 f(x) = a oraz lim x x0 a) lim x x0 (c f(x)) = c a dla dowolnego c R; b) lim x x0 (f(x) ± g(x) = a ± b; g(x) = b, to c) lim x x0 (f(x) g(x)) = a b; d) lim x x0 f(x) = a, o ile b 0; g(x) b e) lim x x0 (g(x)) f(x) = b a, o ile b > 0 i a 0. Twierdzenie 2.11 (o arytmetyce granic niewłaściwych funkcji). a + = + dla < a + a (+ ) = + dla < a + a = 0 dla < a < + a = + dla 0 < a b = 0 dla 0 + b < 1, b = + dla 1 < b + a = 0 dla a < 0, a = + dla 0 < a + Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej). Niech f : X Y R, g : Y R. Jeśli (1) lim x x0 f(x) = a, (2) f(x) a dla każdego x S(x 0 ), to lim x x0 g(f(x)) = b. (3) lim x a g(x) = b,

15 2. GRANICE FUNKCJI 15 Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach). Jeśli funkcje f, g, h : X R spełniają warunki to lim x x0 g(x) = a. (1) x S(x 0 ) f(x) g(x) h(x), (2) lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = a, Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach). Niech f, g : X R oraz x S(x 0 ) Jeśli lim x x0 f(x) = +, to lim x x0 g(x) = +. Jeśli lim x x0 g(x) =, to lim x x0 f(x) =. f(x) g(x). Powyższe twierdzenia o granicach funkcji zachodzą zarówno dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w ±. Twierdzenie Twierdzenie sin x lim = 1. x 0 x lim(1 + x) 1 x = e. x Asymptoty funkcji. Definicja Niech f : X R, x 0 X d. a) Prosta x = x 0 jest lewostronną (prawostronną) asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli lim f(x) = ± x x 0 ( lim f(x) = ± ). x x + 0 b) Prosta x = x 0 jest obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową. Definicja Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w, gdy lim [f(x) (ax + b)] = 0. x Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną w +. Przykład Wykazać, że prosta y = x 1 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f(x) = x 2 x+1. Twierdzenie a) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w a = f(x) lim x x oraz b = lim (f(x) ax). x b) Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w + A = f(x) lim x + x oraz B = lim (f(x) Ax). x +

16 Niech X R, X. 3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Definicja 3.1. Niech f : X R, x 0 X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d lub lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d lub lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d+ lub lim f(x) = f(x 0 ). x x + 0 Zbiór punktów ciągłości funkcji f (punktów lewostronnej, prawostronnej ciągłości) oznaczamy przez C f (C f, C+ f ). Twierdzenie 3.2. Niech f : X R, x 0 X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x 0. f jest Definicja 3.3. Niech f : X R, A X. Funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Przykład 3.4. Zbadać ciągłość funkcji sin x dla x < 0, x 1 dla x = 0, a) f(x) = 2 dla x (0, 1), x 2 x dla x [1, 2] {3}. { 1 dla x Q, b) f(x) = 0 dla x / Q. Definicja 3.5 (rodzaje nieciągłości). Niech f : X R, x 0 X \ C f. x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne lim f(x) oraz lim f(x) istnieją i są skończone. x x 0 x x + 0 x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona. Twierdzenie 3.6. Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje f, f + g, f g oraz f g (o ile g(x) 0 dla x X). Twierdzenie 3.7. Jeśli funkcje f : X Y, g : Y R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g f.

17 3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 17 Twierdzenie 3.8. Jeśli funkcja f : X R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f 1 jest ciągła. Twierdzenie 3.9. Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach Własności funkcji ciągłych. Niech a, b R, a < b. Twierdzenie 3.10 (o lokalnym zachowaniu znaku). Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła oraz f(x 0 ) > 0 dla pewnego x 0 [a; b], to U(x 0 ) x U(x 0 ) f(x) > 0. Twierdzenie 3.11 (Weierstrassa o osiąganiu najmniejszej i największej wartości). Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a; b], przy czym istnieją punkty c 1, c 2 [a; b] takie, że x [a;b] f(c 1 ) f(x) f(c 2 ). Twierdzenie 3.12 (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich). Niech m = inf f[[a; b]] oraz M = sup f[[a; b]]. Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to Wniosek y [m;m] x [a;b] y = f(x). Przykład Wykazać, że równanie posiada rozwiązanie w przedziale [0; 2]. x 3 = 2 x 3.2. Funkcje jednostajnie ciągłe Definicja Niech f : X R oraz A X. Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze A, gdy δ>0 x 1,x 2 A [ x 1 x 2 < δ f(x 1 ) f(x 2 ) < ε ]. Twierdzenie Jeśli funkcja f jest jednostajnie ciągła w A X, to jest ciągła w tym zbiorze. Uwaga Twierdzenie Niech a, b R, a < b oraz [a; b] X. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a; b] to jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.

18 4. SZEREGI LICZBOWE SZEREGI LICZBOWE Definicja 4.1. Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych. Liczbę S n, gdzie S n def = a 1 + a a n, nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (a n ). Ciąg (S n ) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a n. Definicja 4.2. Jeśli istnieje skończona granica S = n lim S n, to mówimy, że dany szereg jest zbieżny. Liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem a n. Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny. Uwaga 4.3. Symbolem a n (lub krótko a n ) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o wyrazie a n, jak i jego sumę. Przykład 4.4. Zbadać zbieżność szeregu a) n, b) ( 1) n, c) 1. n(n+1) Definicja 4.5. Szereg postaci q n, gdzie q R, nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q. Twierdzenie 4.6. Szereg geometryczny jest zbieżny q < 1. Twierdzenie 4.7. Niech n 0 N. Wówczas szereg a n jest zbieżny szereg n=n 0 a n jest zbieżny. Twierdzenie 4.8. Jeśli szeregi a n i b n są zbieżne, to

19 a) szereg b) szereg 4. SZEREGI LICZBOWE 19 (a n + b n ) jest zbieżny oraz (a n + b n ) = a n + b n, ca n, gdzie c R, jest zbieżny oraz ca n = c a n. Twierdzenie 4.9 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeśli szereg a n jest zbieżny, to n lim a n = 0. Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Wniosek Twierdzenie Szereg a n jest zbieżny spełnia warunek Cauchy ego, tzn. K N m,n N [m > n K a n+1 + a n a m < ε]. Twierdzenie 4.13 (o zagęszczaniu). Załóżmy, że (a n ) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas szereg a n jest zbieżny szereg 2 n a 2 n jest zbieżny. Definicja Szereg postaci 1, gdzie α R, n α nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α. Twierdzenie Szereg harmoniczny jest zbieżny α > 1. Definicja Niech a n będzie szeregiem zbieżnym. Mówimy, że szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg a n. Mówimy, że szereg a n jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

20 4. SZEREGI LICZBOWE 20 Twierdzenie Jeśli szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Uwaga Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Twierdzenie Każdy szereg a n bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej permutacji (k n ) liczb naturalnych szereg a kn jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg. Twierdzenie 4.20 (Riemanna). Jeśli szereg a n jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego S R istnieje permutacja (k n ) liczb naturalnych taka, że S = a kn Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych. Twierdzenie 4.21 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych). Załóżmy, że 0 a n b n. n N a) Jeśli b n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny. b) Jeśli a n jest rozbieżny, to szereg b n jest rozbieżny. Wniosek 4.22 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli a n b n n N oraz szereg b n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzględnie. Twierdzenie 4.23 (kryterium ilorazowe). Niech a n, b n 0 dla n N oraz Wówczas lim n a n b n = c (0; + ). szereg a n jest zbieżny szereg b n jest zbieżny. Przykład Zbadać zbieżność szeregu

21 a) 2n 2 1 ; n 3 n+2 4. SZEREGI LICZBOWE 21 b) sin(2n) n 2. Twierdzenie 4.25 (kryterium Cauchy ego). n Niech g = lim a n n. Wówczas a) jeśli g < 1, to szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, b) jeśli 1 < g, to szereg a n jest rozbieżny. Twierdzenie 4.26 (kryterium d Alamberta). Załóżmy, że a n 0 dla n N oraz g = lim a n+1 n a n. Wówczas a) jeśli g < 1, to szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, b) jeśli 1 < g, to szereg a n jest rozbieżny. Uwaga Twierdzenie 4.28 (kryterium Raabego). Załóżmy, że a n > 0 dla n N oraz g = an lim n( n a n+1 1). Wówczas a) jeśli g > 1, to szereg a n jest zbieżny, b) jeśli g < 1, to szereg a n jest rozbieżny. Przykład Zbadać zbieżność szeregu n! (x + 1)(x + 2)... (x + n) Twierdzenie 4.30 (kryterium Dirichleta). Jeśli (1) ciąg (a n ) jest monotonicznie zbieżny do 0, (2) ciąg (S n ) sum częściowych szeregu b n jest ograniczony, to szereg a n b n jest zbieżny. Wniosek 4.31 (kryterium Leibniza). dla x > 0.

22 Twierdzenie 4.32 (kryterium Abela). Jeśli (1) ciąg (a n ) jest monotoniczny i ograniczony, (2) szereg b n jest zbieżny, to szereg a n b n jest zbieżny. Przykład Zbadać zbieżność szeregów: 4. SZEREGI LICZBOWE 22 a) ( 1) n n ; d) sin n n ; b) c) ( 1) n arc tg n n ; ( 1) n n 2 ln n ; Przykład Wiedząc, że ( 1) n+1 π = 4 2n 1 wyznaczyć π z dokładnością do ε = 0, 5 (ε = 0, 001). e) ( 1) n ( n n 1 )n2.

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Analiza matematyczna. 1. Ciągi Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. Definicja 1. Niech (a n ) - ustalony ciąg liczbowy. Określamy nowy ciąg: S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. S n =. Ciąg sum częściowych (S n ) nazywamy

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.

Matematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa kowalska@yahoo.com,

Bardziej szczegółowo

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N

granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N 14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE

SZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna Ćwiczenia Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5

Granica funkcji. 16 grudnia Wykład 5 Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I

Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4

Granica funkcji. 8 listopada Wykład 4 Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel 3 kwietnia 203 Definicja (ciągu liczbowego). Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję odwzorowuja- ca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych. Wartość

Bardziej szczegółowo

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji

Granica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji 27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy

Bardziej szczegółowo

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.

6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1. Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 3 Ciągi liczbowe Definicja Dowolną funkcję a: N R nazywamy ciągiem liczbowym. Uwaga Ze względu na tradycję tym

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Ciągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :

Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. : Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski

ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski ANALIZA MATEMATYCZNA 2005/06, semestr 1. Tadeusz Rzeżuchowski 1 Spis treści 1 Zbiory liczbowe 5 1.1 Krótka informacja o zbiorach liczb naturalnych, całkowitych i wymiernych 5 1.1.1 Liczby naturalne.........................

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Lista 0 wstęp do matematyki

Lista 0 wstęp do matematyki dr Karol Selwat Matematyka dla studentów kierunku Ochrona Środowiska, 2-2 Lista wstęp do matematyki.. Sprawdź, czy następujące zdania logiczne są tautologiami: p q) p q) p q) p q) p q) q p) d)[p q) p]

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...

Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy... Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna......................................

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31 Wykład 8 Informatyka Stosowana 26 listopada 208 Magdalena Alama-Bućko Informatyka Stosowana Wykład 8 26..208, M.A-B / 3 Definicja Ciagiem liczbowym {a n }, n N nazywamy funkcję odwzorowujac a zbiór liczb

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS) I. Informacje ogólne: 1 Nazwa modułu Matematyka 1 2 Kod modułu 04-A-MAT1-60-1Z 3 Rodzaj modułu obowiązkowy 4 Kierunek studiów astronomia 5 Poziom studiów I stopień 6 Rok

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji . Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi liczbowe. Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe Szeregi liczbowe i ich kryteria zbieżności Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi liczbowe str. 1/25 Szereg liczbowy Niech(a n ) będzie

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I

Analiza Matematyczna I Analiza Matematyczna I Informatyka, WPPT, Politechnika Wrocławska Wprowadzenie (2 godziny ćwiczeń) Pokaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą nierówności:. a b = a b, 2. a + b a + b, 3.

Bardziej szczegółowo

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji

Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji 2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Funkcje elementarne. Matematyka 1 Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Ciagi liczbowe wykład 4

Ciagi liczbowe wykład 4 Ciagi liczbowe wykład 4 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, r. akad. 2016/2017 Definicja (ciagu liczbowego) Ciagiem liczbowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) Załącznik nr do Uchwały Senatu nr 30/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2019 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Rachunek różniczkowy i całkowy

Bardziej szczegółowo

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka

AM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Funkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej

Rozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ

WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 8: GRANICE I CIAGŁOŚĆ KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Na dzisiejszym wykładzie (oraz trzech

Bardziej szczegółowo

Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1

Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 Zbiory liczbowe i funkcje wykład 1 dr Mariusz Grządziel 6 października 2008 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 5

Granica funkcji wykład 5 Granica funkcji wykład 5 dr Mariusz Grządziel 4 listopada 200 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1 WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia

SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Granica i ciągłość.

Funkcje. Granica i ciągłość. Ćwiczenia 10.1.01: zad. 344-380 Kolokwium nr 9, 11.1.01: materiał z zad. 1-380 Ćwiczenia 17.1.01: zad. 381-400 Kolokwium nr 10, 18.1.01: materiał z zad. 1-400 Konw. 10,17.1.01: zad. 401-44 Funkcje. Granica

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n

EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje

FUNKCJE. 1. Podstawowe definicje FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element

Bardziej szczegółowo

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych

Roksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie

Bardziej szczegółowo