IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,"

Transkrypt

1 IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy funkcją n zmiennych. Przykład 1. f(x, y) = arc sin x y - funkcja dwóch zmiennych, f(x, y, z) = 1 e x+y z 1 - funkcja trzech zmiennych. Wyznaczymy dziedziny D f i D g funkcji f i g. Definicja 1.2. Niech f : D R, gdzie D R 2. Zbiór {(x, y, z) R 3 : (x, y) D f, z = f(x, y)} nazywamy wykresem funkcji f, zaś zbiór {(x, y) D f : f(x, y) = h} nazywamy poziomicą funkcji f odpowiadającą poziomowi h R. Przykład 2. Wyznaczymy poziomice funkcji f(x, y) = x 2 + y 2. Przykład 3. Wykresem funkcji z = f(x, y) = ± R 2 (x 2 + y 2 ) jest górna (+) lub dolna (-) półsfera o środku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu R. 1

2 Definicja 1.3. Niech (x 0, y 0 ) R 2 i niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0, y 0 ). Funkcja f jest ciągła w (x 0, y 0 ) wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x, y) = f(x 0, y 0 ). (x,y) (x 0,y 0 ) Funkcja jest ciągła na zbiorze D R 2, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie (x, y) D. 2. Pochodne cząstkowe funkcji. Definicja 2.1. (pochodne cząstkowe 1-go rzędu) Niech f : D R, gdzie D R 2. Pochodną cząstkową 1-go rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) oznaczamy przez i definiujemy następująco (2.1) Podobnie definiujemy (2.2) x (x 0, y 0 ) lub f x (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) := lim x 0 y (x 0, y 0 ) := lim y 0 f(x 0 + x, y 0 ) f(x 0, y 0 ). x f(x 0, y 0 + y) f(x 0, y 0 ). y Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych. Rozważmy funkcję z = f(x, y) i weźmy punkt (x 0, y 0, z 0 ) leżący na wykresie tej funkcji, tj. z 0 = f(x 0, y 0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) ma postać (2.3) z z 0 = x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + y (x 0, y 0 ) (y y 0 ). 2

3 Przykład 4. Napiszemy równanie płaszczyzny π stycznej do powierzchni z = y ln(2 + x 2 y y 2 ) w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) = (2, 1, z 0 ). Uwaga. Przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe zmienne traktujemy jako stałe. Przykład 5. Obliczymy pochodne cząstkowe funkcji f(x, y) = f(x, y) = x y. ex ln(x+y), Definicja 2.2. (pochodne cząstkowe 2-go rzędu) 2 f x = ( ) = f 2 xx x x 2 f x y = ( ) = f yx x y 2 ( ) f = f xy y x = y 2 f y 2 = y x ) = f yy ( y Twierdzenie 2.3. (Schwarza) Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane są w pewnym obszarze ciągłe, to są one w tym obszarze równe. 3

4 Uwaga. Z twierdzenia Schwarza wynika, że również pochodne cząstkowe mieszane wyższych rzędów są równe, jeśli są ciągłe i każda z nich była liczona tyle samo razy ze względu na każdą zmienną. Funkcję, która ma wszystkie pochodne cząstkowe ciągłe do rzędu n włącznie będziemy określać funkcją klasy C n. Przykład 6. Dla funkcji f(x, y, z) = x 2 y 3 z 4 obliczyć 4 f x 2 y z, Dla funkcji f(x, y) = sin x sin y obliczyć 3 f y 2 x, f xyz. 3 f y x y. 4

5 3. Różniczka funkcji. Definicja 3.1. Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) zawierającym punkt (x 0 + h, y 0 + k). Przyrostem funkcji f nazywamy wyrażenie f = f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ). Definicja 3.2. Funkcję f nazywamy różniczkowalną w punkcie (x 0, y 0 ), jeżeli istnieją takie stałe A i B, że f = A h + B k + o(ρ), gdzie ρ = h 2 + k 2, czyli innymi słowy f A h B k lim = 0. (h,k) (0,0) h2 + k 2 Twierdzenia 3.3. (warunki konieczne, dostateczne różniczkowalności funkcji) (i) f różniczkowalna w (x 0, y 0 ) f ciągła w (x 0, y 0 ). (ii) f różniczkowalna w (x 0, y 0 ) f ma w (x 0, y 0 ) pochodne cząstkowe. (iii) f ma w (x 0, y 0 ) ciągłe pochodne cząstkowe f różniczkowalna w (x 0, y 0 ). Uwaga. Geometrycznie różniczkowalność funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) oznacza istnienie płaszczyzny stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). 5

6 Uwaga. Równanie płaszczyzny stycznej w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) do powierzchni opisanej przez warunek F (x, y, z) = 0 ma postać F x (x 0, y 0, z 0 ) (x x 0 ) + F y (x 0, y 0, z 0 ) (y y 0 ) + F z (x 0, y 0, z 0 ) (z z 0 ) = 0, o ile F x, F y, F z są ciągłe w (x 0, y 0, z 0 ) i nie zerują się w tym punkcie jednocześnie. Przykład 7. Napiszemy równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni x 2 + y 2 + z 2 = 9 w punkcie P 0 = ( 2, 3, 2). Twierdzenia 3.4. (różniczka funkcji) Załóżmy, że funkcja f ma pochodne f x i f y w punkcie (x 0, y 0 ). Wyrażenie (x 0, y 0 ) x h + (x 0, y 0 ) y nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy przez d f(x 0, y 0 ). Piszemy także h = x = dx oraz k = y = dy. Zatem d f(x 0, y 0 ) = (x 0, y 0 ) x k dx + (x 0, y 0 ) y Jeżeli f jest różniczkowalna w pewnym obszarze, to w obszarze tym określona jest nowa funkcja d f = dx + x y dy. dy. Przykład 8. Napiszemy wzór różniczki funkcji z = x 2 + y 2. 6

7 Twierdzenia 3.5. (zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych wartości wyrażeń) Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne f x i f y w punkcie (x 0, y 0 ). Wówczas (3.1) f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0 ) + d f(x 0, y 0 ), przy czym błąd δ( x, y) powyższego przybliżenia, tj. różnica f d f dąży szybciej do 0 niż wyrażenie ρ = ( x) 2 + ( y) 2, tzn. f d f = o(ρ). Przykład 9. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia arc tg Twierdzenia 3.6. (zastosowanie różniczki funkcji do szacowania błędów pomiarów) Niech wielkości fizyczne x, y, z będą związane zależnością z = f(x, y). Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe f x i f y. Jeśli x i y są błędami bezwględnymi pomiaru wielkości x i y, to błąd bezwględny z obliczeń wielkości z wyraża się wzorem przybliżonym (3.2) z x x + y y. Przykład 10. Przy pomocy odpowiednich przyrządów pomiarowych można zmierzyć objętość ciała z dokładnością V = 0.1 cm 3, a przy pomocy wagi sprężynowej można ustalić jego masę z dokładnością M = 1 g. Objętość zmierzona tym sposobem wynosi V = 25 cm 3, a masa M = 200 g. Z jaką w przybliżeniu dokładnością można obliczyć gęstość ρ tego ciała. Wiemy, że gęstość jednorodnego ciała o masie M i objętości V wyraża się wzorem ρ = M V. Zatem niech f(m, V ) = M V. 7

8 Wtedy M = 1 V, V = M V 2, M (200, 25) = 1 25, 200 (200, 25) = V (25) 2. Zatem wobec wzoru (3.2) otrzymujemy ρ 1 25 M (25) 2 V = Twierdzenia 3.7. (różniczki wyższych rzędów) Różniczką rzędu 2-go nazywamy różniczkę z różniczki rzędu 1-go. Różniczką rzędu n nazywamy różniczkę z różniczki rzędu n 1-go. Załóżmy, że f jest klasy C n w pewnym obszarze D. d 2 f = d(d f) = d(f x dx + f y dy) = (f xx dx + f yx dy) dx + (f xy dx + f yy dy) dy = d n f = n f x n (dx)n + co symbolicznie można zapisać = f xx (dx) 2 + 2f xy dx dy + f yy (dy) 2. ( n1 ) d n f = n f x n 1 y (dx)n 1 dy n f y n (dy)n, ( ) (n) dx + x y dy. Przykład 11. Obliczymy d 3 f. = 3 f x 3 (dx)3 + 3 d 3 f = ( ) (3) dx + x y dy = 3 f x 2 y (dx)2 dy f x y dx 2 (dy)2 + 3 f y 3 (dy)3. 8

9 4. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej. Załóżmy, że z = f(u, v) jest funkcją określoną w obszarze D oraz u = u(x, y) i v = v(x, y) są funkcjami określonymi w obszarze E i przyjmującymi wartości (brane jednocześnie) w obszarze E określona jest funkcja złożona z = F (x, y) = f(u(x, y), v(x, y)). Twierdzenie 4.1. Zakładamy, że funkcja f jest klasy C 1 w D oraz funkcje u i v mają pochodne cząstkowe w E. Wtedy funkcja złożona F posiada w E pochodne cząstkowe, które wyrażające się wzorami: (4.1) (4.2) z x = F x = u z y = F y = u u x + v u y + v v x v y. W szczególnym przypadku : jeśli z = f(x(t), y(t)) mamy (4.3) z t = x d x d t + y d y d t, a jeśli z = f(x, y(x)) (4.4) z x = x + y d y d x. Przykład 12. Obliczymy pochodne funkcji z = f(u, v) = u2 v, gdzie u(x, y) = x sin y, v(x, y) = x cos y, z = f(u, v) = u 2 + v 2 2uv 2, gdzie u(t) = ln t, v(t) = e 2t, z = arc sin x y, gdzie y = x2. 9

10 5. Pochodna kierunkowa funkcji. Definicja 5.1. (pochodnej kierunkowej) Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) i niech v = [v 1, v 2 ] będzie danym wersorem, tj. wektorem o długości 1. Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) w kierunku wektora v oznaczamy (x 0,y 0 ) i definiujemy następująco v (x 0, y 0 ) (:= lim v t 0 + f(x 0 + tv 1, y 0 + tv 2 ) f(x 0, y 0 ). t Uwaga. Pochodne cząstkowe x i y są pochodnymi kierunkowymi odpowiednio w kierunku osi Ox i osi 0y, tzn. Pochodna kierunkowa kierunku wektora v. v x = i, y = j. określa szybkość zmiany wartości funkcji f w Przykład 13. Obliczymy (x 0,y 0 ) v dla f(x, y) = xy, (x 0, y 0 ) = (1, 2), v = [ 1 2, 3 2 ]. Definicja 5.2. (gradientu funkcji) Gradientem funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy wektor [ (x0, y 0 ) grad f(x 0, y 0 ) :=, (x ] 0, y 0 ) ). x y Używamy także oznaczenia grad f = f. Uwaga. Gradient funkcji w danym punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punkcie i jest wektorem prostopadłym do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. 10

11 Przykład 14. Temperatura w zbiorze V = {(x, y, z) : 0 x, y, z π} określona jest wzorem θ(x, y, z) = 10 cos(x y) + 20 sin(x + z). Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu temperatury θ w punkcie ( π 2, π 2, π 2). Twierdzenie 5.3. Załóżmy, że funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe f x i f y w punkcie (x 0, y 0 ) i v jest dowolnym wersorem na płaszczyźnie. Wówczas (x 0, y 0 ) v = f(x 0, y 0 ) v. Przykład 15. Obliczymy (x 0,y 0 ) v dla f(x, y) = e x+y, (x 0, y 0 ) = (1, 1), v = [ 2 2, 2 2 ]. Uwaga. Powyższe definicje i fakty przenoszą się na funkcje trzech i większej ilości zmiennych. 11

12 6. Wzór Taylora. Ekstrema funkcji Wzór Taylora dla funkcji k zmiennych k 2. Twierdzenie 6.1. Załóżmy, że funkcja k zmiennych jest klasy C n w otoczeniu punktu P 0 = (x 0 1, x 0 2,..., x 0 k ) zawierającym punkt P = (x 1, x 2,..., x k ). Wówczas (6.1) f(p ) = f(p 0 ) + d f 1! + d2 f 2! dn 1 f (n 1)! + R n, R n = dn f n!, przy czym pochodne do rzędu n 1 włącznie są obliczane w punkcie P 0, a pochodne rzędu n (występujące w wyrażeniu R n ) są obliczane w punkcie leżącym na odcinku łączącym punkty P 0 i P, ponadto w definicji różniczek kładziemy d x i := x i x 0 i, i = 1, 2,..., k. Przykład 16. Wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych f(x, y) i n = 2 ma postać gdzie R 2 = 1 2 f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 ) x (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) y 2 f(x c, y c ) (x x x 2 0 ) f(x c, y c ) (x x 0 )(y y 0 )+ 1 x y 2 (y y 0 ) + R 2, gdzie (x c, y c ) jest punktem leżącym na odcinku łączącym punkty (x 0, y 0 ) i (x, y). 2 f(x c, y c ) y 2 (y y 0 ) 2, 12

13 6.2. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Niech O(x 0, y 0 ) i S(x 0, y 0 ) oznaczają odpowiednio otoczenie i sąsiedztwo punktu (x 0, y 0 ). Definicja 6.2. (i) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie O(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) O(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) f(x 0, y 0 ). (ii) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) > f(x 0, y 0 ). (iii) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie O(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) O(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) f(x 0, y 0 ). (iv) Mówimy, że funkcja f(x, y) ma w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne właściwe, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S(x 0, y 0 ) tego punktu, że dla każdego punktu (x, y) S(x 0, y 0 ) zachodzi nierówność f(x, y) < f(x 0, y 0 ). 13

14 Twierdzenie 6.3. (warunek konieczny istnienia ektremum) Jeżeli w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja ma ektremum lokalne oraz istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe f x i f y, to (x 0, y 0 ) x = 0 i (x 0, y 0 ) y = 0. Definicja 6.4. Hesjanem funkcji f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy macierz drugich pochodnych cząstkowych, tj. macierz H(x 0, y 0 ) postaci [ ] fxx (x H(x 0, y 0 ) = 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ). f yx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) Definiujemy W (x 0, y 0 ) := det H(x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) f xy (x 0, y 0 ) f yx (x 0, y 0 ). Twierdzenie 6.5. (warunek wystarczający istnienia ektremum) Załóżmy, że funkcja f(x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu 2-go włącznie, tzn. jest klasy C 2 w otoczeniu O(x 0, y 0 ) punktu (x 0, y 0 ) oraz spełnia warunki: (i) f x (x 0, y 0 ) = 0 i f y (x 0, y 0 ) = 0, (ii) W (x 0, y 0 ) = f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) [f xy (x 0, y 0 )] 2 > 0. Wówczas w punkcie (x 0, y 0 ) funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe, przy czym będzie to minimum jeśli f xx (x 0, y 0 ) > 0, zaś maksimum, jeśli f xx (x 0, y 0 ) < 0. Uwaga. Jeżeli w założeniu (ii) twierdzenia 6.5 pojawi się warunek W (x 0, y 0 ) < 0, to funkcja f nie ma w punkcie (x 0, y 0 ) ekstremum lokalnego. W przypadku W (x 0, y 0 ) = 0 należy badanie istnienia ektremum lokalnego funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) przeprowadzić inną metodą, np. korzystając z definicji. 14

15 Przykład 17. Znajdziemy ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. Przykład 18. Pokażemy, że funkcja f(x, y) = x 8 y 6 nie ma ekstremum lokalnego. Zauważmy, że f ma ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu. Obliczamy f x = 8x 7, f y = 6y 5. Łatwo sprawdzić, że jedynym punktem, w którym zerują się obie pochodne czastkowe f x i f y jest punkt (0, 0), skąd wynika, że punkt ten jest jedynym punktem, w którym f może mieć ekstremum lokalne. Wobec twierdzenia 6.5 obliczamy W (x, y) = 56x y 5, czyli W (0, 0) = 0, co oznacza, że nie możemy skorzystać z warunku wystarczającego, aby rozstrzygnąć, czy w (0, 0) funkcja f ma ekstremum. Pokażemy, że funkcja f w punkcie (0, 0) nie ma ekstremum lokalnego. W tym celu wykażemy, że w każdym otoczeniu punktu (0, 0) można znaleźć punkty, w których funkcja f ma wartość mniejszą od f(0, 0) = 0 oraz punkty, w których ma ona wartość większą od f(0, 0) = 0. Istotnie, zauważmy, że w każdym dowolnie małym otoczeniu punktu (0, 0) leżą punkty (0, 1 n ) i ( 1 n, 0) dla dostatecznie dużego n N. Ponadto f(0, 1 n ) = 1 n < 0 = f(0, 0), f( 1 6 n, 0) = 1 > 0 = f(0, 0). n8 15

16 6.3. Najmniejsza i największa wartość funkcji dwóch zmiennych. Definicja 6.6. (najmniejszej i największej wartości funkcji) (i) Liczba m R jest najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli (x 0, y 0 ) A f(x 0, y 0 ) = m (x, y) A f(x, y) m. (ii) Liczba M R jest największą wartością funkcji f na zbiorze A D f, jeżeli (x 0, y 0 ) A f(x 0, y 0 ) = M (x, y) A f(x, y) M. Algorytm szukania najmniejszej i największej wartości funkcji na ograniczonym zbiorze domkniętym A D f. 1. Wyznaczamy punkty wewnątrz obszaru A, w których funkcja f może mieć ekstrema lokalne. 2. Na brzegu obszaru A wyznaczamy punkty, w których f może mieć ekstrema warunkowe. 3. Obliczamy wartości funkcji w znalezionych punktach i wybieramy wartość najmniejszą i największą. Będą to odpowiednio wartość najmniejsza m = f min i największa M = f max funkcji f na zbiorze A. 16

17 Przykład 19. Znajdziemy najmniejszą f min i największą f max wartość funkcji f(x, y) = x 2 + 2xy 4x + 8y w obszarze A = {(x, y) R 2 : x [0, 1] y [0, 2]}. 1. Szukamy wewnątrz zbioru A punktów, w których f może mieć ekstrema lokalne, tzn. szukamy rozwiązań układu równań { fx (x, y) = 0 f y (x, y) = 0, czyli { 2x + 2y 4 = 0 2x + 8 = 0, skąd x = 4 i y = 6. Punkt ( 4, 6) nie należy jednak do zbioru A. 2. Badamy funkcję f na brzegu zbioru A: Dla x = 0 i y [0, 2] mamy f(0, y) = 8y := v(y). Funkcja v = v(y) jako liniowa osiąga wartości ektremalne na końcach przedziału [0, 2]. Stąd pod uwagę bierzemy punkty (0, 0) i (0, 2). Dla x = 1 i y [0, 2] mamy f(1, y) = 1+2y 4+8y = 10y 3 := v(y). Funkcja v = v(y) jako liniowa osiąga wartości ektremalne na końcach przedziału [0, 2]. Stąd pod uwagę bierzemy punkty (1, 0) i (1, 2). Dla y = 0 i x [0, 1] mamy f(x, 0) = x 2 4x := u(x). Mamy u (x) = 2x 4, czyli rozwiązaniem równania u (x) = 0 jest x = 2 / [0, 1]. Stąd pod uwagę bierzemy punkty (0, 0) i (1, 0). Dla y = 2 i x [0, 1] mamy f(x, 2) = x 2 + 4x 4x + 16 = x := u(x). Mamy u (x) = 2x, czyli rozwiązaniem równania u (x) = 0 jest x = 0. Stąd znów dostajemy punkty (0, 2) i (1, 2). 3. Obliczamy wartości funkcji f w wyznaczonych punktach, które są wierzchołkami prostokąta A: f(0, 0) = 0, f(0, 2) = 16, f(1, 0) = 3, f(1, 2) = 17. Zatem najmniejsza wartość funkcji f na zbiorze A wynosi 3 = f(1, 0), zaś największa 17 = f(1, 2). 17

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych

Wykład z analizy. Tydzień 10 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Wykład z analizy Tydzień 1 i 11. Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych 1.1 Niech f(x, y) będzie funkcją dwóch zmiennych, i niech druga współrzędna będzie ustalona y = y. Rozważana funkcja zależy tylko

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x Iloraz różnicowy Niech x 0 R i niech funkcja y = fx) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Niech x oznacza przyrost argumentu x może być ujemny!). Wtedy przyrost wartości funkcji wynosi: y =

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; )

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; ) Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Pochodne czastkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Bardziej szczegółowo

Zastosowania pochodnych

Zastosowania pochodnych Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5) 1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej

Całka oznaczona zastosowania (wykład 9; ) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Całka oznaczona zastosowania (wykład 9;26.11.7) Definicja całki oznaczonej dla funkcji ciagłej Definicja 1 Załózmy, że funkcja f jest ciagła na przedziale [a, b]. Całkę oznaczona z funkcji ci b a f(x)dx

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange'a

Metoda mnożników Lagrange'a Metoda mnożników Lagrange'a Przemysław Ryś 1. Motywacja i założenia W analizie mikroekonomicznej spotykamy się często z problemem znalezienia miejsca, gdzie zadana funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

KADD Minimalizacja funkcji

KADD Minimalizacja funkcji Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja (minimalizacja) funkcji. Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. 2. Metody bezgradientowe

Optymalizacja (minimalizacja) funkcji. Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. 2. Metody bezgradientowe Optymalizacja (minimalizacja) funkcji Plan wykładu: 1. Sformułowanie problemu, funkcja celu. Metody bezgradientowe a) metoda złotego podziału b) metoda sympleks c) metoda interpolacji Powell'a 3. Metody

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016

Metody optymalizacji. notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Metody optymalizacji notatki dla studentów matematyki semestr zimowy 2015/2016 Aktualizacja: 11 stycznia 2016 Spis treści Spis treści 2 1 Wprowadzenie do optymalizacji 1 11 Podstawowe definicje i własności

Bardziej szczegółowo

AB = x a + yb y a + zb z a 1

AB = x a + yb y a + zb z a 1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji

Oznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.

Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np. Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.

Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie rozszerzonym dla uczniów technikum część III Granica ciągu liczbowego 1 Pojęcie granicy ciągu i ciągi zbieżne do zera sporządzać

Bardziej szczegółowo

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć Nazwa modułu: Analiza matematyczna 2 Rok akademicki: 2014/2015 Kod: EME-1-202-s Punkty ECTS: 5 Wydział: Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Kierunek: Mikroelektronika w technice

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe

opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe opracował Maciej Grzesiak Całki krzywoliniowe 1. Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej Rozważmy następujący problem. Dany jest przewód elektryczny na którym rozmieszczone są ładunki. Przypuśćmy,

Bardziej szczegółowo

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Pochodne. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Pochodne Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 MOTYWACJA Rozpatrzmy gładką funkcję np. y x = x 2 w okolicach punktu (1,1) x 0 = 1, y 0 = f x 0 = 1 powiększmy wykres wokół (x 0, f(x 0

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6

Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 Pochodna funkcji: definicja, podstawowe własności wykład 6 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu r. akad. 2016/2017 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 7 Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x.

x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. x a 1 = x a 2 ( a 1) = x 1 = 1 x. Zestaw. Funkcja potęgowa, wykładnicza i logarytmiczna. Elementarne równania i nierówności. Przykład 1. Wykonać działanie x a x a 1, podając założenia, przy jakich jest ono wykonywalne. Rozwiązanie. Niech

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo