II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH"

Transkrypt

1 II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową i oznaczamy ją symbolem R n. Czyli R n def = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Elementy (x 1,..., x n ) R n nazywamy punktami przestrzeni R n, zaś liczby x 1,..., x n nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi (prostokątnymi) tych punktów. Definicja 1.2. Odległość dwóch punktów P 1, P 2 przestrzeni R n oznaczamy symbolem d (P 1, P 2 ) i określamy wzorem d (P 1, P 2 ) def = (y 1 x 1 ) (y n x n ) 2, gdy P 1 = (x 1,..., x n ), P 2 = (y 1,..., y n ). Definicja 1.3. Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P 0 R n nazywamy zbiór O (P 0, r) def = {P R n : d (P 0, P ) < r}. Uwaga 1.1. Otoczeniem punktu P 0 w przestrzeni R 2 (tzn. na płaszczyźnie) jest koło otwarte o środku w punkcie P 0 i promieniu r. Otoczeniem punktu P 0 w przestrzeni R 3 jest kula otwarta o środku w punkcie P 0 i promieniu r. Definicja 1.4. Sąsiedztwem o promieniu r > 0 punktu P 0 R n nazywamy zbiór S (P 0, r) def = O (P 0, r) \ {P 0 }. Uwaga 1.2. Sąsiedztwem punktu P 0 w przestrzeni R 2 (tzn. na płaszczyźnie) jest koło otwarte o środku w punkcie P 0 i promieniu r bez środka. Sąsiedztwem punktu P 0 w przestrzeni R 3 jest kula otwarta o środku w punkcie P 0 i promieniu r bez środka. Definicja 1.5. Zbiór A R n nazywamy ograniczonym, jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu, tzn. istnieje taki punkt P 0 R n i promień r > 0, że A O (P 0, r). W przeciwnym przypadku mówimy, że zbiór A nie jest ograniczony. Definicja 1.6. Niech A R n. Punkt P A nazywamy punktem wewnętrznym zbioru A, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje taka liczba dodatnia r, że O (P, r) A. 1

2 Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych. Definicja 1.7. Zbiór A R n nazywamy otwartym, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym. Definicja 1.8. Niech A R n. Punkt P A nazywamy punktem brzegowym zbioru A, jeżeli w każdym otoczeniu tego punktu można znaleźć punkty należące i punkty nie należące do tego zbioru, tzn. dla każdej liczby dodatniej r zachodzi warunek O (P, r) A oraz O (P, r) A. Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych. Definicja 1.9. Niech A R n. Punkt P R n nazywamy punktem skupienia zbioru A, jeżeli w każdym sąsiedztwie tego punktu można znaleźć punkty ze zbioru A, tzn. dla każdej liczby dodatniej r zachodzi warunek S (P, r) A. Definicja Zbiór A R n nazywamy domkniętym, jeżeli zawiera swoje punkty skupienia. Definicja Niepusty podzbiór przestrzeni R n nazywamy obszarem, jeżeli jest zbiorem otwartym i każde dwa punkty tego zbioru można połączyć łamaną całkowicie zawartą w tym zbiorze. Jeśli do obszaru dodamy jego brzeg, to taki zbiór nazywamy obszarem domkniętym. 2. Granica i ciągłość funkcji n-zmiennych Ustalmy dowolne n N. Definicja 2.1. Funkcją n zmiennych określoną na zbiorze A R n o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej. Będziemy wówczas pisać f : A R. Wartość funkcji f w punkcie (x 1,..., x n ) A oznaczamy przez f (x 1,..., x n ). Definicja 2.2. Ciągiem punktów przestrzeni R n nazywamy taką funkcję, która każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje dokładnie jeden punkt przestrzeni R n. Wartość tego odwzorowania dla liczby naturalnej k nazywamy k-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez P k = ( x k 1,..., x k n). Ciąg taki oznaczamy symbolem (P k ) k N. Definicja 2.3. Mówimy, że ciąg (P k ) k N punktów przestrzeni R n jest zbieżny do punktu P 0 R n, jeżeli k d (P k, P 0 ) = 0. Piszemy wówczas P k = P 0. k 2

3 Twierdzenie 2.1. Ciąg (P k ) k N = ( ) x k 1,..., x k n punktów przestrzeni k N Rn jest zbieżny do punktu P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) R n wtedy i tylko wtedy, gdy k xk i = x 0 i. Przykład 2.1. Ciąg (P k ) k N = punktu P 0 = ( 1 2, 5), bo 1 i n 2k + 5 k 4k + 2 = 2 4 = 1 2 ( 2k+5 4k+2, k 3 k + 5 k )k N punktów płaszczyzny R 2 jest zbieżny do k 3 k + 5 k = 5. k Definicja 2.4. (Heinego) Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni R n. Załóżmy ponadto, że P 0 jest punktem skupienia zbioru A oraz f : A R. (i) Mówimy, że liczba g R jest granicą funkcji f w punkcie P 0, jeżeli f (P k) = g, k dla każdego ciągu (P k ) k N spełniającego warunki (P k A P k P 0 ) oraz P k = P 0. k k N Ponadto, piszemy wówczas lub gdy P = (x 1,..., x n ) i P 0 = (x 0 1,..., x 0 n). P P 0 f (P ) = g, (x 1,...,x n) (x 0 1,...,x0 n) f (x 1,..., x n ) = g, (ii) Mówimy, że funkcja f ma w punkcie P 0 granicę niewłaściwą równą + [ ], co zapisujemy [ ] gdy f (P ) = +, P P 0 f (P k) = +, k f (P ) =, P P 0 [ ] f (P k) =, k dla każdego ciągu (P k ) k N spełniającego warunki (P k A P k P 0 ) oraz P k = P 0. k k N 3

4 Dla funkcji wielu zmiennych zachodzi analogiczne twierdzenie o arytmetyce granic jak dla funkcji jednej zmiennej. Podamy jego sformułowanie dla funkcji dwóch zmiennych. Twierdzenie 2.2. Niech A będzie niepustym podzbiorem płaszczyzny R 2. Załóżmy ponadto, że (x 0, y 0 ) jest punktem skupienia zbioru A oraz f : A R i g : A R. Jeżeli funkcje f i g mają w punkcie (x 0, y 0 ) granice właściwe, to (i) (ii) (iii) (iv) (f (x, y) + g (x, y)) = (f (x, y) g (x, y)) = f (x, y) + f (x, y) g (x, y), g (x, y), (c f (x, y)) = c f (x, y) dla dowolnego c R, (f (x, y) g (x, y)) = f (x, y) g (x, y), (v) f(x,y) = g(x,y) f(x,y) g(x,y), o ile g (x, y) 0. Przykład 2.2. (x,y) (1,1) x y x 2 y = 2 (x,y) (1,1) x y (x y)(x + y) = (x,y) (1,1) 1 x + y = 1 2 Definicja 2.5. (Heinego) Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni R n i niech f : A R. (i) Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie P 0 A, jeżeli f (P k) = f (P 0 ), k dla każdego ciągu (P k ) k N punktów należących do zbioru A zbieżnego do punktu P 0. (ii) Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Uwaga 2.1. Niech A będzie niepustym podzbiorem przestrzeni R n. Jeżeli P 0 A jest również punktem skupienia zbioru A, to funkcja f : A R jest ciągła w punkcie P 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica P P 0 f (P ) i jest równa f (P 0 ), tj. f (P ) = f (P 0 ). P P 0 Twierdzenie 2.3. (O ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P 0, to funkcje f + g, f g, f g oraz f g (o ile g (P 0) 0) są ciągłe w punkcie P 0. 4

5 Twierdzenie 2.4. (Weierstrassa o ograniczoności i osiąganiu kresów) Funkcja ciągła f określona na zbiorze domkniętym i ograniczonym D R n jest ograniczona i osiąga swoje kresy. 3. Pochodna kierunkowa. Pochodne cząstkowe. Ustalmy dowolne n N. Definicja 3.1. Niech A będzie niepustym i otwartym podzbiorem przestrzeni R n, f : A R, P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) ustalonym punktem zbioru A, a v = (v 1,..., v n ) niech będzie dowolnym wersorem (wektorem o długości 1) z przestrzeni R n. Jeżeli istnieje skończona granica f (P 0 + tv) f (P 0 ), t 0 t to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f w punkcie P 0 w kierunku wektora v i oznaczamy symbolem v f (P 0 ). Zatem f (P 0 + tv) f (P 0 ) v f (P 0 ) =. t 0 t Przykład 3.1. Wyznaczymy pochodną kierunkową funkcji f określonej wzorem f(x, y) = x 2 + y 2 2, w punkcie P 0 = (1, 1) w kierunku wektora v = (1, 0). v f (1, 1) = t 0 f ((1, 1) + t(1, 0)) f (1, 1) t = t 0 (1 + t) t = t 0 t 2 + 2t t = t 0 f (1 + t, 1) f (1, 1) t = t 0 t (t + 2) t = t 0 (t + 2) = 2 Niech dalej e i, gdzie i {1, 2,..., n}, oznaczają wektory bazy kanonicznej w przestrzeni R n, czyli e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0), i {1, 2,..., n}. }{{}}{{} i 1 n i Definicja 3.2. Niech A będzie niepustym i otwartym podzbiorem przestrzeni R n, f : A R, P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) ustalonym punktem zbioru A. Pochodne kierunkowe ei f (P 0 ), gdzie i {1, 2,..., n}, nazywamy pochodnymi cząstkowymi funkcji f w punkcie P 0 i oznaczamy ei f (P 0 ) = i f (P 0 ), i {1, 2,..., n}. 5

6 Pochodne cząstkowe wyższych rzędów Definicja 3.3. Załóżmy, że funkcja f n-zmiennych ma pochodne cząstkowe i f, dla każdego i {1, 2,..., n}, w każdym punkcie pewnego zbioru otwartego A R n. Przy takim założeniu każda z pochodnych cząstkowych i f jest funkcją n-zmiennych. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji i f, wyznaczone względem j-tej zmiennej, gdzie j {1, 2,..., n}, nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji f i oznaczamy symbolem 2 ijf, i, j {1, 2,..., n}. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f, otrzymane przez różniczkowanie tej funkcji względem różnych zmiennych, nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu mieszanymi. Uwaga 3.1. W szczególności funkcja f dwóch zmiennych ma cztery pochodne cząstkowe drugiego rzędu 2 11f, 2 12f, 2 21f, 2 22f, zaś funkcja f trzech zmiennych ma dziewięć pochodnych cząstkowych drugiego rzędu 2 11f, 2 12f, 2 13f, 2 21f, 2 22f, 2 23f, 2 31f, 2 32f, 2 33f. Uwaga 3.2. Przy obliczniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej pozostałe traktujemy jak stałe. Do obliczania pochodnych cząstkowych można stosować reguły różniczkowania funkcji jednej zmiennej, tj. wzory na pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu oraz złożenia funkcji. Przykład 3.2. Niech funkcja f : R 2 R będzie określona wzorem Dla dowolnych (x, y) R 2 mamy f(x, y) = x 2 + y 2 + 2xy + 3x 4y + 7, (x, y) R 2. 1 f(x, y) = 2x + 2y + 3, 2 f(x, y) = 2y + 2x 4, oraz 2 11f(x, y) = 2, 2 12f(x, y) = 2, 2 21f(x, y) = 2, 2 22f(x, y) = 2. Pochodne cząstkowe rzędu trzeciego, czwartego,..., definiujemy analogicznie jak pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Definicja 3.4. Niech k N, k 2. Pochodną cząstkową rzędu k funkcji f, nazywamy pochodną cząstkową pierwszego rzędu z pochodnej cząstkowej rzędu k 1 funkcji f. Pochodną cząstkową rzędu k, określoną przez różniczkowanie względem co najmniej dwóch różnych zmiennych, nazywamy pochodną cząstkową mieszaną rzędu k. 6

7 Twierdzenie 3.1. (Schwarza) Niech funkcja f, n-zmiennych, określona w zbiorze otwartym A R n, ma w tym zbiorze wszystkie możliwe pochodne cząstkowe do rzędu k 1 włącznie i mieszane rzędu k, k N, k 2, wszystkie ciągłe w zbiorze A. Wtedy pochodna cząstkowa mieszana rzędu k funkcji f nie zależy od porządku w jakim zostało wykonane różniczkowanie. Interpretacje geometryczne pochodnej kierunkowej i pochodnych cząstkowych Podamy interpretacje w przypadku funkcji dwóch zmiennych. Fakt 3.1. (Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej ) Niech (x 0, y 0 ) R 2 i niech funkcja f będzie określona na pewnym otoczeniu O ((x 0, y 0 ), r). Ponadto niech γ oznacza kąt nachylenia do płaszczyzny xoy półstycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą x = x 0, y = y 0 i równoległą do wersora v. Wtedy v f(x 0, y 0 ) = tgγ. Pochodna kierunkowa określa szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku wektora v. Rysunek 1: Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji 7

8 Fakt 3.2. (Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych) Niech (x 0, y 0 ) R 2 i niech funkcja z = f(x, y), określona na pewnym otoczeniu O ((x 0, y 0 ), r), ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x 0, y 0 ). Ponadto niech α oznacza kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną y = y 0 w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) do płaszczyzny xoy. Wtedy 1 f(x 0, y 0 ) = tgα. Rysunek 2: Interpretacja geometryczna pochodnej cząstkowej 1 f(x 0, y 0 ) Pochodna cząstkowa 1 f(x 0, y 0 ) jest miarą lokalnej zmiany szybkości wzrostu funkcji f względem zmiennej x przy ustalonej wartości zmiennej y. Podobnie, jeśli β oznacza kąt nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną x = x 0 w punkcie (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) do płaszczyzny xoy, to 2 f(x 0, y 0 ) = tgβ. Rysunek 3: Interpretacja geometryczna pochodnej cząstkowej 2 f(x 0, y 0 ) Pochodna cząstkowa 2 f(x 0, y 0 ) jest miarą lokalnej zmiany szybkości wzrostu funkcji f względem zmiennej y przy ustalonej wartości zmiennej x. 8

9 4. Różniczkowalność funkcji, różniczka zupełna, gradient funkcji Niech A będzie otwartym podzbiorem przestrzeni R n oraz niech P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) będzie ustalonym punktem zbioru A. Załóżmy też, że (x x 1,..., x 0 n + x n ) A oraz f : A R. Definicja 4.1. Wyrażenie f (P 0 ) := f ( x x 1,..., x 0 n + x n ) f ( x 0 1,..., x 0 n nazywamy przyrostem zupełnym funkcji f w punkcie P 0, odpowiadającym przyrostom x 1,..., x n. Definicja 4.2. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0 = (x 0 1,..., x 0 n), jeżeli istnieją takie stałe C 1,..., C n oraz otoczenie punktu P 0, że dla punktów (x x 1,..., x 0 n + x n ) z tego otoczenia przyrost f (P 0 ) można przedstawić w postaci f (P 0 ) = C 1 x C n x n + r ( x 1,..., x n ), ) przy czym ( x 1,..., x n) (0,...,0) r ( x 1,..., x n ) = 0. ( x 1 ) ( x n ) 2 Twierdzenie 4.1. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0, to istnieją w tym punkcie skończone pochodne cząstkowe i f(p 0 ), dla każdego i {1,..., n}, funkcji f oraz C i = i f (P 0 ), i {1,...,n} a więc f (P 0 ) = 1 f (P 0 ) x n f (P 0 ) x n + r ( x 1,..., x n ). Twierdzenie 4.2. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie P 0, to jest w tym punkcie ciągła. Twierdzenie 4.3. Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie pewnego otoczenia punktu P 0 i te pochodne cząstkowe są ciągłe w punkcie P 0, to funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0. Przykład 4.1. Rozważmy funkcję Wtedy dla (x, y) R 2 mamy f (x, y) = x 2 y 3 + 2xy + 3, dla (x, y) R 2. 1 f (x, y) = 2xy 3 + 2y, 2 f (x, y) = 3x 2 y 2 + 2x. Zauważmy więc, że pochodne cząstkowe są określone i ciągłe w każdym punkcie płaszczyzny R 2. Na mocy ostatniego twierdzenia funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie przestrzeni R 2. Uwaga 4.1. Istnienie pochodnych cząstkowych funkcji f w punkcie P 0 nie gwarantuje jej różniczkowalności w tym punkcie. 9

10 Twierdzenie 4.4. Załóżmy, że funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0. Funkcja f jest różniczkowalna w punkcie P 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ( x 1,..., x n) (0,...,0) f (x x 1,..., x 0 n + x n ) f (x 0 1,..., x 0 n) n i f (P 0 ) x i i=1 = 0. ( x 1 ) ( x n ) 2 Przedstawimy teraz interpretację geometryczną różniczkowalności funkcji w punkcie w przypadku funkcji dwóch zmiennych. Fakt 4.1. (Interpretacja geometryczna różniczkowalności funkcji w punkcie) Różniczkowalność funkcji f w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ) oznacza istnienie płaszczyzny stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie (P 0, f(p 0 )). Rysunek 4: Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji Fakt 4.2. (Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji) Załóżmy, że funkcja dwóch zmiennych f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0 = (x 0, y 0 ). Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (P 0, f(p 0 )) ma postać z f(p 0 ) = 1 f(p 0 ) (x x 0 ) + 2 f(p 0 ) (y y 0 ). Definicja 4.3. Niech P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) będzie ustalonym punktem przestrzeni R n i niech funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0. Różniczką funkcji f w punkcie P 0 nazywamy funkcję określoną wzorem df P0 ( x 1,..., x n ) := 1 f(p 0 ) x n f(p 0 ) x n. Różniczkę funkcji f oznacza się również symbolem df(p 0 ) lub krótko df. 10

11 Fakt 4.3. (Zastosowanie różniczki funkcji do obliczeń przybliżonych) Niech P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) będzie ustalonym punktem przestrzeni R n oraz niech funkcja f, określona przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu P 0, ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0. Wtedy f ( x x 1,..., x 0 n + x n ) f ( x 0 1,..., x 0 n) + dfp0 ( x 1,..., x n ). Definicja 4.4. Niech P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) R n. Załóżmy, że funkcja f ma wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0. Gradientem funkcji f w punkcie P 0 nazywamy wektor i oznaczamy symbolem gradf(p 0 ), czyli ( 1 f(p 0 ),..., n f(p 0 )) gradf(p 0 ) = ( 1 f(p 0 ),..., n f(p 0 )). Twierdzenie 4.5. Niech P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) będzie ustalonym punktem przestrzeni R n oraz niech funkcja f, określona przynajmniej na pewnym otoczeniu punktu P 0, ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P 0. Wtedy dla każdego wersora v R n. v f(p 0 ) = gradf(p 0 ) v, Przykład 4.2. Niech f (x, y) = xy dla (x, y) R 2. Wtedy 1 f (x, y) = y, 2 f (x, y) = x, (x, y) R 2. Stąd ( ) , 2 f (1, 1) = 1 f (1, 1) f (1, 1) 2 = = 2. Twierdzenie 4.6. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie P 0, to ma w tym punkcie pochodne kierunkowe w kierunku dowolnego wersora v R n. 11

12 Fakt 4.4. (Interpretacja geometryczna gradientu) (i) Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek jej najszybszego wzrostu w tym punkcie. (ii) Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten punkt. 5. Ekstrema lokalne Niech A R n będzie zbiorem otwartym, P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) A oraz niech f : A R. Definicja 5.1. (i) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S (P 0, r) punktu P 0, że dla wszystkich punktów P = (x 1,..., x n ) z tego sąsiedztwa zachodzi warunek f (P ) f (P 0 ). 12

13 (ii) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S (P 0, r) punktu P 0, że dla wszystkich punktów P = (x 1,..., x n ) z tego sąsiedztwa zachodzi warunek f (P ) > f (P 0 ). (iii) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S (P 0, r) punktu P 0, że dla wszystkich punktów P = (x 1,..., x n ) z tego sąsiedztwa zachodzi warunek f (P ) f (P 0 ). (iv) Powiemy, że funkcja f ma w punkcie P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S (P 0, r) punktu P 0, że dla wszystkich punktów P = (x 1,..., x n ) z tego sąsiedztwa zachodzi warunek f (P ) < f (P 0 ). Twierdzenie 5.1. (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f ma w punkcie P 0 ekstremum lokalne i istnieją w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f, to 1 f (P 0 ) = 0, 2 f (P 0 ) = 0,..., n f (P 0 ) = 0. (1) Uwaga 5.1. Punkt P 0 spełniający warunek (1) nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f. Uwaga 5.2. Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia 5.1 nie jest prawdziwe. Przykład 5.1. Rozważmy funkcję określoną wzorem f (x, y) = xy dla (x, y) R 2. Wtedy 1 f (x, y) = y, 2 f (x, y) = x, (x, y) R 2. Stąd 1 f (x, y) = 0 2 f (x, y) = 0 y = 0 x = 0 Punkt (0, 0) jest jedynym punktem stacjonarnym funkcji f, jednak w punkcie (0, 0) funkcja f nie ma ekstremum. Istotnie, skoro f (0, 0) = 0, to gdyby funkcja f miała w punkcie (0, 0) ekstremum lokalne, to na pewnym sąsiedztwie punktu (0, 0) funkcja f musiałaby być nieujemna bądź niedodatnia. Tymczasem w dowolnym sąsiedztwie punktu (0, 0) funkcja f przyjmuje zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Wystarczy bowiem zauważyć, że dla dowolnie ustalonego r > 0 mamy ( r, ) ( r 2 2 S ((0, 0), r), r, ) r 2 2 S ((0, 0), r) oraz f ( r 2, r 2) = r2 4 > 0, natomiast f ( r 2, r ) = r2 2 4 < 0. 13

14 W celu sformułowania warunków dostatecznych istnienia ekstremum lokalnego funkcji f : A R, określonej na zbiorze otwartym A R n, w punkcie P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) A, załóżmy, że ma ona ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu P 0. Ponadto niech 11f(P 2 0 ) 12f(P 2 0 )... 1if(P 2 0 ) i (P 0 ) = det 21f(P 2 0 ) 22f(P 2 0 )... 2if(P 2 0 ), i {1, 2,..., n} i1f(p 2 0 ) i2f(p 2 0 )... iif(p 2 0 ) Twierdzenie 5.2. (Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego) Niech P 0 będzie punktem stacjonarnym funkcji f : A R, gdzie A R n jest zbiorem otwartym. Załóżmy, że w pewnym otoczeniu punktu P 0 funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu. (i) Jeżeli i (P 0 ) > 0 dla i {1, 2,..., n}, to funkcja f ma w punkcie P 0 minimum lokalne właściwe. (ii) Jeżeli ( 1) i i (P 0 ) > 0 dla i {1, 2,..., n}, to funkcja f ma w punkcie P 0 maksimum lokalne właściwe. (iii) Jeżeli zachodzi jeden z warunków ( i (P 0 ) 0 dla i {1, 2,..., n 1} oraz n (P 0 ) = 0) lub (( 1) i i (P 0 ) 0 dla i {1, 2,..., n 1} oraz n (P 0 ) = 0), to w punkcie P 0 funkcja f może mieć ekstremum lokalne, ale nie musi; przypadek ten wymaga dodatkowych rozważań. (iv) Jeżeli nie zachodzi żaden z warunków (i) (iii), to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie P 0. Przykład 5.2. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem f(x, y) = x 2 + y 2 + xy + 3x 3y, D f = R 2. Funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie płaszczyzny, a więc posiada pochodne cząstkowe pierwszego rzędu ze względu na każdą zmienną. Mianowicie 1 f(x, y) = 2x + y + 3, 2 f(x, y) = 2y + x 3, (x, y) R 2. Korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego mamy { 2x + y + 3 = 0 2y + x 3 = 0 { x = 3 y = 3 Jedynym punktem stacjonarnym funkcji f jest punkt ( 3, 3). Ponadto wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są funkcjami ciągłymi w R 2 oraz 2 11f(x, y) = 2, 2 12f(x, y) = 1, 2 21f(x, y) = 1, 2 22f(x, y) = 2, (x, y) R 2. 14

15 Zatem 1 ( 3, 3) = 2 11f( 3, 3) = 2 > 0, [ ( 3, 3) = det 1 2 ] = 3 > 0, a więc w punkcie ( 3, 3) funkcja f ma minimum lokalne właściwe. Przykład 5.3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji określonej wzorem f(x, y, z) = x 3 + y 2 + 2z 2 + xy 2xz + 3y 1, D f = R 3. Funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie przestrzeni R 3, a więc posiada pochodne cząstkowe pierwszego rzędu ze względu na każdą zmienną. Mianowicie, dla dowolnego (x, y, z) R 3, 1 f(x, y, z) = 3x 2 + y 2z, 2 f(x, y, z) = 2y + x + 3, 3 f(x, y, z) = 4z 2x. Korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego mamy 3x 2 + y 2z = 0 2y + x + 3 = 0 4z 2x = 0 x = 1 2 y = 5 4 z = 1 4 lub x = 1 y = 2 z = 1 2 Funkcja f posiada dokładnie dwa punkty stacjonarne: A = ( 1 2, 5 4, 1 4) oraz B = ( 1, 2, 1 2). Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu, aby sprawdzić warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego. Dla dowolnego (x, y, z) R 3 mamy 2 11f(x, y, z) = 6x, 2 12f(x, y, z) = 1, 2 13f(x, y, z) = 2, 2 21f(x, y, z) = 1, 2 22f(x, y, z) = 2, 2 23f(x, y, z) = 0, 2 31f(x, y, z) = 2, 2 32f(x, y, z) = 0, 2 33f(x, y, z) = 4. Sprawdzamy warunek dostateczny w pierwszym punkcie stacjonarnym: A = ( 1 2, 5 4, 1 4). 1 (A) = det [ 3] = 3, [ (A) = det 1 2 ] = 7, 3 (A) = det = 36. Ponieważ i (A) < 0, dla każdego i {1, 2, 3}, więc w punkcie A funkcja f nie ma ekstremum lokalnego. Sprawdzamy warunek dostateczny w drugim punkcie stacjonarnym: B = ( 1, 2, 1 2). 1 (B) = det [6] = 6, [ (B) = det 1 2 ] = 11, 3 (B) = det = 36. Ponieważ i (B) > 0, dla każdego i {1, 2, 3}, więc w punkcie B funkcja f ma minimum lokalne właściwe. 15

16 6. Ekstrema globalne funkcji Załóżmy, że f : A R, gdzie A R n. Definicja 6.1. (Wartość najmniejsza i największa funkcji na zbiorze) (i) Liczbę m R nazywamy wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze D A, jeżeli istnieje taki punkt P 0 D, że f (P 0 ) = m oraz dla każdego punktu P D zachodzi warunek f(p ) m. Liczbę m nazywamy także minimum globalnym funkcji f na zbiorze D. (ii) Liczbę M R nazywamy wartością największą funkcji f na zbiorze D A, jeżeli istnieje taki punkt P 0 D, że f (P 0 ) = M oraz dla każdego punktu P D zachodzi warunek f(p ) M. Liczbę M nazywamy także maksimum globalnym funkcji f na zbiorze D. Uwaga 6.1. (Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji na zbiorze domkniętym) Załóżmy, że zbiór D jest domkniętym i ograniczonym podzbiorem dziedziny funkcji f. (i) Wyznaczamy punkty należące do wnętrza zbioru D, w których funkcja f może mieć ekstrema lokalne. (ii) Wyznaczamy punkty należące do brzegu zbioru D, w których funkcja może mieć ekstrema warunkowe. (iii) Porównujemy wartości funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie wyznaczamy wartość największą i wartość najmniejszą funkcji w zbiorze D. Przykład 6.1. Wyznaczymy wartość najmniejszą i wartość największą funkcji f o wzorze f(x, y) = x 2 + 2xy 4x + 8y w zbiorze D = {(x, y) R 2 : 0 x 1 0 y 2}. Zauważmy najpierw, że dziedziną funkcji f jest cała płaszczyzna R 2, a zbiór D R 2 jest domknięty i ograniczony. Ponadto funkcja f jest ciągła w zbiorze D, a więc (na mocy twierdzenia Weierstrassa) jest ograniczona i osiąga w zbiorze D wartość najmniejszą i wartość największą. Wyznaczymy teraz wszystkie punkty należące do wnętrza zbioru D, w których funkcja f może mieć ekstrema lokalne, czyli punkty stacjonarne tej funkcji. W tym celu zauważmy, że 1 f(x, y) = 2x + 2y 4, 2 f(x, y) = 2x + 8, (x, y) R 2. Korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego otrzymujemy 2x + 2y 4 = 0, x = 4, 2x + 8 = 0, y = 6. 16

17 Zatem jedynym punktem stacjonarnym funkcji f jest punkt ( 4, 6), jednak ( 4, 6) / D, a więc pomijamy go w dalszych badaniach. W konsekwencji oznacza to, że wewnątrz zbioru D funkcja f nie osiąga żadnego ekstremum lokalnego. W kolejnym kroku badamy zachowanie się funkcji f na brzegu obszaru D. Zauważmy, że zbiór D jest prostokątem ograniczonym prostymi o równaniach Dla x = 0 i y [0, 2] mamy x = 0, x = 1, y = 0, y = 2. f(x, y) = f(0, y) = 8y := g 1 (y). Wystarczy zauważyć, że g 1 jest funkcją liniową, a więc osiąga wartości ekstremalne na końcach przedziału [0, 2]. Zatem, w odniesieniu do funkcji f interesować nas będę punkty (0, 0) oraz (0, 2). Dla x = 1 i y [0, 2] mamy f(x, y) = f(1, y) = 1 + 2y 4 + 8y = 10y 3 := g 2 (y). Ponownie zauważmy, że g 2 jest funkcją liniową, a więc osiąga wartości ekstremalne na końcach przedziału [0, 2]. Zatem, w odniesieniu do funkcji f interesować nas będę punkty (1, 0) oraz (1, 2). Dla y = 0 i x [0, 1] mamy f(x, y) = f(x, 0) = x 2 4x := g 3 (x). Tym razem, aby wyznaczyć wartości największą i najmniejszą funkcji g 3 na przedziale [0, 1] zauważmy, że g 3(x) = 0 2x 4 = 0 x = 2. Jednak 2 / [0, 1]. Oznacza to, że funkcja g 3 osiąga wartości ekstremalne na końcach przedziału [0, 1]. Stąd wynika, że w odniesieniu do funkcji f interesować nas będę punkty (0, 0) oraz (1, 0). Dla y = 2 i x [0, 1] mamy f(x, y) = f(x, 2) = x 2 + 4x 4x + 16 = x := g 4 (x). W celu wyznaczenia wartości największej i najmniejszej funkcji g 4 na przedziale [0, 1] zauważmy, że g 4(x) = 0 2x = 0 x = 0. Ponadto 0 [0, 1], a więc funkcja g 4 osiąga wartości ekstremalne na końcach przedziału [0, 1]. Stąd wynika, że w odniesieniu do funkcji f, ponownie dostajemy punkty (0, 2) oraz (1, 2). Wyznaczamy teraz wartości funkcji f w wyznaczonych punktach, które jak się okazuje są wierzchołkami rozważanego prostokąta. Zatem f(0, 0) = 0, f(0, 2) = 16, f(1, 0) = 3, f(1, 2) = 17. Stąd wynika, że wartość najmniejsza funkcji f na zbiorze D wynosi 3, a wartość największa wynosi

18 7. Różniczki wyższych rzędów, wzór Taylora Definicja 7.1. (Różniczki wyższych rzędów) Załóżmy, że P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) jest ustalonym punktem przestrzeni R n i funkcja f jest k-krotnie różniczkowalna przynajmniej w pewnym otoczenie punktu P 0. Różniczką k-tego rzędu funkcji f w punkcie P 0 nazywamy różniczkę z różniczki rzędu k 1, dla każdego k N, przy czym przyjmujemy, że d 0 f = f. Czyli d 2 f = d(df), d 3 f = d(d 2 f),..., d k f = d(d k 1 f). Przykład 7.1. (Wzory na różniczki drugiego i trzeciego rzędu dla funkcji dwóch zmiennych) Załóżmy, że funkcja f jest 3-krotnie różniczkowalna w zbiorze A R 2. Wtedy, korzystając z definicji różniczki i twierdzenia Schwarza, mamy d 2 f = d(df) = d ( 1 f x f x 2 ) = ( 2 11f x f x 2 ) x 1 + ( 2 12f x f x 2 ) x 2 = 2 11f( x 1 ) f x 1 x f( x 2 ) 2, d 3 f = d(d 2 f) = 3 111f( x 1 ) f ( x 1 ) 2 x f x 1 ( x 2 ) f( x 2 ) 3. Twierdzenie 7.1. (Wzór Taylora) Niech k N. Załóżmy, że funkcja f ma w otoczeniu punktu P 0 = (x 0 1,..., x 0 n) ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu k włącznie oraz, że P = (x 1,..., x n ) jest dowolnym punktem z tego otoczenia. Wtedy na odcinku łączącym punkty P 0 i P istnieje taki punkt P c = (x c 1,..., x c n), że f(p ) = f(p 0 ) + df P 0 (P P 0 ) 1! + d2 f P0 (P P 0 ) 2! + dk 1 f P0 (P P 0 ) (k 1)! + dk f Pc (P P 0 ). k! 18

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach. Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

Ciągłość funkcji f : R R

Ciągłość funkcji f : R R Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe

Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi

Bardziej szczegółowo

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe 8. Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie lato 2015/2016 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 8. Funkcje w Krakowie) wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange'a

Metoda mnożników Lagrange'a Metoda mnożników Lagrange'a Przemysław Ryś 1. Motywacja i założenia W analizie mikroekonomicznej spotykamy się często z problemem znalezienia miejsca, gdzie zadana funkcja przyjmuje największą lub najmniejszą

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP

Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI. JJ, IMiF UTP Wykłady z matematyki inżynierskiej EKSTREMA FUNKCJI JJ, IMiF UTP 05 MINIMUM LOKALNE y y = f () f ( 0 ) 0 DEFINICJA. Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu 0. MINIMUM LOKALNE y y

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 8 Pochodna kierunkowa funkcji Definicja Niech funkcja f określona bȩdzie w otoczeniu punktu P 0 = (x 0, y 0 ) oraz niech v = [v x, v y ] bȩdzie wektorem. Pochodn a kierunkow a funkcji

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n

Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = + Badanie funkcji Zad : Funkcja f jest określona wzorem f( ) = + a) RozwiąŜ równanie f() = 5 b) Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f c) Oblicz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; )

Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; ) Funkcje wielu zmiennych (wykład 14; 15.01.07) Przestrzeń dwuwymiarowa, oznaczana w literaturze matematycznej symbolem R 2, może być utożsamiona z parami liczb rzeczywistych: R 2 = {(x 1, x 2 ), x 1, x

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA

ANALIZA MATEMATYCZNA ANALIZA MATEMATYCZNA TABLICE Spis treści: 1.) Pochodne wzory 2 2.) Całki wzory 3 3.) Kryteria zbieżności szeregów 4 4.) Przybliżona wartość wyrażenia 5 5.) Równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Pochodne czastkowe. Pochodna kierunkowa. Gradient. Różniczka zupełna. Pochodna odwzorowania. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce Wykład 6, pochodne funkcji Siedlce 20.12.2015 Definicja pochodnej funkcji w punkcie Niech f : (a; b) R i niech x 0 ; x 1 (a; b), x0 x1. Wyrażenie nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f między punktami

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza - lista zagadnień teoretycznych

Analiza - lista zagadnień teoretycznych Analiza - lista zagadnień teoretycznych Ostatnie zadanie na egzaminie będzie się składać z jednego bardziej złożonego lub dwóch prostych pytań teoretycznych. Pytanie takie będzie dotyczyło zagadnień poruszanych

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9 Przykład z fizyki Rozpatrzmy szeregowe połączenie dwu elementów elektronicznych: opornika i diody półprzewodnikowej.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie

Rozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że

Pochodna funkcji. Niech f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury

Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wg programu nauczania Matematyka Prosto do matury STEREOMETRIA Wymagania edukacyjne z matematyki - klasa III (poziom rozszerzony) wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności

Pochodna funkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Temat wykładu: Pochodna unkcji. Zastosowania pochodnej. Badanie przebiegu zmienności Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 1. Pochodna Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO

PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO PDM 3 zakres podstawowy i rozszerzony PSO STEREOMETRIA wskazać płaszczyzny równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny wskazać proste równoległe i prostopadłe do danej płaszczyzny odróżnić proste równoległe

Bardziej szczegółowo

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 7 Największe i najmniejsze wartości funkcji (ekstrema globalne) ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Częśd 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa).

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

PDM 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Plan wynikowy. STEREOMETRIA (22 godz.) W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi:

PDM 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Plan wynikowy. STEREOMETRIA (22 godz.) W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi: PDM 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Plan wynikowy STEREOMETRIA ( godz.) Proste i płaszczyzny w przestrzeni Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny wskazać płaszczyzny równoległe i płaszczyzny prostopadłe

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n.

Wzór Maclaurina. Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = x k + f (n) (θx) x n. Wzór Maclaurina Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x 0 = 0 oraz h = x, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina: f (x) = n 1 k=0 f (k) (0) k! x k + f (n) (θx) x n. n! Wzór Maclaurina Przykład. Niech f (x) =

Bardziej szczegółowo