5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu"

Transkrypt

1 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie różniczkowe postaci F (x, y, y ) = 0. y = f(x, y), ( ) gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D R 2, nazywamy równaniem różniczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej. Definicja 5.2. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania ( ) nazywamy każdą funkcję ϕ : I R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką, że x I ϕ (x) = f(x, ϕ(x)). Wykres funkcji ϕ nazywamy krzywą całkową równania ( ). Rozwiązaniem ogólnym równania ( ) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( ). Definicja 5.3. Niech (x 0, y 0 ) D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania ( ), które spełnia tzw. warunek początkowy ϕ(x 0 ) = y 0. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania ( ): Twierdzenie 5.4 (Peano). Niech D R 2 będzie obszarem oraz f : D R. Jeśli funkcja f jest ciągła, to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) D istnieje rozwiązanie ϕ równania ( ) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0 (tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa całkowa równania ( )). Twierdzenie 5.5 (Cauchy ego-piccard). Niech D R 2 będzie obszarem oraz f : D R. Jeśli funkcje f i f y są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) D istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania ( ) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0. 24

2 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 25 Uwaga 5.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy ego rozumiemy następująco: jeśli funkcje ϕ : I R oraz ψ : J R (gdzie I, J są przedziałami otwartymi takimi, że x 0 I J) są rozwiązaniami równania ( ) spełniającymi warunek ϕ(x 0 ) = ψ(x 0 ) = y 0, to ϕ(x) = ψ(x). x I J Interpretacja gemetryczna równania ( ): 5.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i równanie jednorodne względem x i y. Definicja 5.7. Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci gdzie h : (a, b) R oraz g : (c, d) R. y = h(x)g(y), (ZR) Lemat 5.8. Jeśli y 0 (c, d) oraz g(y 0 ) = 0, to funkcja stała ϕ : (a, b) R określona wzorem ϕ(x) = y 0 dla x (a, b), jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x) 0 dla pewnego x (a, b), to zachodzi również stwierdzenie odwrotne. Twierdzenie 5.9. Jeżeli h : (a, b) R, g : (c, d) R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) 0 dla każdego y (c, d), to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) (a, b) (c, d) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (ZR) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0. Rozwiązanie to określone jest wzorem ϕ(x) = G 1 (H(x) H(x 0 ) + G(y 0 )) dla x I (a, b), gdzie H i G są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i 1 g. Definicja Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci gdzie f : (c, d) R. y = f( y x ), Uwaga Równanie jednorodne (J) poprzez zamianę zmiennych y = xt, sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych t = f(t) t. x (J)

3 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU Równanie liniowe i równanie Bernouliego. Definicja Niech p, q : (a, b) R. Równanie postaci y + p(x)y = q(x) (L) nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q(x) = 0 dla x (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać y + p(x)y = 0. (LJ) Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym. Twierdzenie Jeśli p, q : (a, b) R są funkcjami ciągłymi oraz (x 0, y 0 ) (a, b) R, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (L) określone na przedziale (a, b) i spełniające warunek początkowy ϕ(x 0 ) = y 0. Lemat Rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = Ce P (x), C R, gdzie P jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji p. Twierdzenie Niech p, q : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi oraz niech ϕ s będzie rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem równania liniowego (L) istnieje rozwiązanie ϕ 0 równania jednorodnego (LJ) takie, że ϕ = ϕ 0 + ϕ s. Metody wyznaczania rozwiązania szczególnego równania liniowego (L): metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 5.16), metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 5.17 i 5.18). Twierdzenie Niech p, q : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qe P, to funkcja postaci P (x) ϕ s (x) = C(x)e jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).

4 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 27 Twierdzenie Jeśli W n, V m są wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaś a, α, β R, to równanie liniowe ma rozwiązanie szczególne postaci y + ay = [W n (x) cos βx + V m (x) sin βx]e αx ϕ s (x) = x k [P l (x) cos βx + Q l (x) sin βx]e αx, gdzie P l, Q l są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz { 1, gdy α = a i β = 0, k = 0 w przeciwnym wypadku. jest rozwiązaniem szczegól- Twierdzenie Niech q 1, q 2 : (a, b) R oraz a R. Jeśli ϕ 1 nym równania zaś ϕ 2 y + ay = q 1 (x), jest rozwiązaniem szczególnym równania y + ay = q 2 (x), to funkcja ϕ 1 + ϕ 2 jest rozwiązaniem szczególnym równania y + ay = q 1 (x) + q 2 (x). Definicja Niech p, q : (a, b) R oraz α R \ {0, 1}. Równanie postaci nazywamy równaniem Bernouliego. Uwaga y + p(x)y = q(x)y α 1. Gdy w równaniu (B) α {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe. 2. Jeśli α > 0, to funkcja ϕ(x) = 0 dla x (a, b), (LS) jest rozwiązaniem szczególnym równania (B). 3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie y = t α 1. (B)

5 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu Wstęp Definicja 6.1. Niech n N, V R n+2 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci Równanie różniczkowe postaci F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n 1) ), ( n ) gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D R n+1, nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej. Definicja 6.2. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania ( n ) nazywamy każdą funkcję ϕ : I R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką, że x I ϕ (n) (x) = f(x, ϕ(x), ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n 1) (x)). Rozwiązaniem ogólnym równania ( n ) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( n ). Definicja 6.3. Niech (x 0, y 0, y 1,..., y n 1 ) D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania ( n ), które spełnia tzw. warunki początkowe: ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1. Definicja 6.4. Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania y = f(x, y, y ), ( 2 ) które spełnia tzw. warunki brzegowe: ϕ(x 1 ) = y 1, ϕ(x 2 ) = y 2, x 1 x 2.

6 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując odpowiednie podstawienia: r. r. rzędu 2 podstawienie r. r. rzędu 1 F (x, y, y ) = 0 y = u(x) F (x, u, u ) = 0 F (y, y, y ) = 0 y = u(y) F (y, u, u du dy ) = Równanie liniowe n-tego rzędu. Definicja 6.5. Niech p n 1, p n 2,..., p 1, p 0, q : (a, b) R. Równanie postaci y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + p n 2 (x)y (n 2) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (L n ) nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu. Jeśli q(x) = 0 dla x (a, b), to równanie (L n ) przyjmuje postać y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + p n 2 (x)y (n 2) p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (LJ n ) Równanie (LJ n ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu. Twierdzenie 6.6. Jeśli p n 1, p n 2,..., p 1, p 0, q : (a, b) R są funkcjami ciągłymi oraz (x 0, y 0, y 1,..., y n 1 ) (a, b) R n, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ (określone na (a, b)) równania liniowego (L n ) takie, że ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1. Dalej zakładamy, że funkcje p n 1, p n 2,..., p 1, p 0 oraz q są ciągłe na (a, b). Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ n ) : Niech V 0 oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących rozwiązaniami równania (LJ n ). Wówczas 1. V 0 C (n) (a, b), 2. kϕ V 0, ϕ V 0 k R 3. ϕ + ψ V 0, ϕ, ψ V 0 co oznacza, że V 0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C (n) (a, b). Twierdzenie 6.7. dim V 0 = n.

7 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 30 Definicja 6.8. Każdą bazę przestrzeni V 0 nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJ n ). Uwaga 6.9. Na mocy powyższego twierdzenia, fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJ n ) jest każdy układ funkcji ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n V 0, który jest liniowo niezależny (lnz) a więc taki, że [(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ α n ϕ n = 0) α 1 = α 2 =... = α n = 0]. α 1,α 2,...,α n R Definicja Niech ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n C (n) (a, b) oraz x (a, b). Wyznacznik ϕ 1 (x) ϕ 2 (x)... ϕ n (x) W (ϕ1,ϕ 2,...,ϕ n)(x) def ϕ = 1(x) ϕ 2(x)... ϕ n(x) ϕ (n 1) 1 (x) ϕ (n 1) 2 (x)... ϕ (n 1) (x) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) układu funkcji (ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ) w punkcie x. Twierdzenie Niech ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n V 0. Układ (ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ) jest lnz istnieje x 0 (a, b) taki, że W (ϕ1,ϕ 2,...,ϕ n)(x 0 ) 0. Twierdzenie Jeśli funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiazań równania (LJ n ), to rozwiązanie ogólne równania (LJ n ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = C 1 ϕ 1 (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x), C 1, C 2,..., C n R. Twierdzenie Jeśli ϕ 1 : I R jest rozwiązaniem równania (LJ 2 ) takim, że ϕ 1 (x) 0 dla x I, zaś P 1 jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p 1, to funkcja określona wzorem ϕ 2 (x) = ϕ 1 (x) e P 1 (x) ϕ 2 1(x) dx jest również rozwiązaniem równania (LJ 2 ). Ponadto funkcje ϕ 1, ϕ 2 są lnz. n Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L n ): Twierdzenie Niech ϕ s będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L n ). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem równania liniowego (L n ) istnieje rozwiązanie ϕ 0 równania (LJ n ) takie, że ϕ = ϕ 0 + ϕ s. Wniosek Jeśli funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania (LJ n ) oraz ϕ s jest rozwiązaniem szczególnym równania (L n ), to rozwiązanie ogólne równania (L n ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = C 1 ϕ 1 (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x) + ϕ s (x), C 1, C 2,..., C n R.

8 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 31 Rozwiązanie szczególne równania liniowego (L n ): Twierdzenie Załóżmy, że funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania (LJ n ). Wówczas funkcja postaci ϕ s (x) = C 1 (x)ϕ 1 (x) + C 2 (x)ϕ 2 (x) + + C n (x)ϕ n (x) jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L n ), gdy funkcje C 1, C 2,..., C n : (a, b) R są rozwiązaniami układu równań C 1ϕ 1 +C 2ϕ C nϕ n = 0, C 1ϕ 1 +C 2ϕ C nϕ n = 0,... C 1ϕ (n 2) 1 +C 2ϕ (n 2) C nϕ (n 2) n = 0, C 1ϕ (n 1) 1 +C 2ϕ (n 1) C nϕ (n 1) n = q Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach. Definicja Równanie postaci y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q(x), (LS n ) gdzie a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 R, q : (a, b) R, nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach. Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJS n ): Definicja Równanie r n + a n 1 r n 1 + a n 2 r n a 1 r + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = 0. (LJS n ) Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJS n ) można wyznaczyć przy pomocy pierwiastków równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu: Twierdzenie Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJS n ). Wówczas 1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji jest rozwiązaniem równania (LJS n ); e rx, xe rx, x 2 e rx, x k 1 e rx

9 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU jeśli r = α + iβ jest pierwiastkiem zespolonym o krotności k, to każda z funkcji e αx cos βx, xe αx cos βx, x 2 e αx cos βx, x k 1 e αx cos βx, e αx sin βx, xe αx sin βx, x 2 e αx sin βx, x k 1 e αx sin βx, jest rozwiązaniem równania (LJS n ). Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego równania (LJS n ) stanowią układ lnz. Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LS n ): Twierdzenie Jeśli W n, V m są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz a n 1, a n 2,..., a 1, a 0, α, β R, to równanie liniowe y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = [W n (x) cos βx + V m (x) sin βx]e αx ma rozwiązanie szczególne postaci ϕ s (x) = x k [P l (x) cos βx + Q l (x) sin βx]e αx, gdzie P l, Q l są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz k = { kr, gdy r = α + βi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności k r, 0 w przeciwnym wypadku. Uwaga Stałą α + βi nazywamy stałą kontrolną równania rozważanego w tw Twierdzenie Niech q 1, q 2 : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi oraz a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 R. Jeśli ϕ s1 jest rozwiązaniem równania zaś ϕ s2 y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 1 (x), jest rozwiązaniem równania to funkcja ϕ s1 + ϕ s2 y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 2 (x), jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 1 (x) + q 2 (x).

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne

1 Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta

Bardziej szczegółowo

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu

1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna część 5

Analiza Matematyczna część 5 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych 2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równania różniczkowe wyższych rzędów Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych

Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równanie przewodnictwa cieplnego (I) Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU

26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009.

1 Szeregi potęgowe. 1.1 Promień zbieżności szeregu potęgowego. Wydział Informatyki, KONWERSATORIUM Z MATEMATYKI, 2008/2009. Szeregi potęgowe Definicja.. Szeregiem potęgowym o środku w punkcie R nazywamy szereg postaci: gdzie x R oraz c n R dla n = 0,, 2,... c n (x ) n, Przyjmujemy, że 0 0 def =. Liczby c n nazywamy współczynnikami

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...

1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego... Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1:

ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy

Bardziej szczegółowo

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych

Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Metody przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych za pomocą szeregów metody dyskretne Metoda współczynników nieoznaczonych Metoda kolejnego

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd

Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................

Bardziej szczegółowo

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów.

6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. Układy równań. Równania wyższych rzędów. 6 1 6 Układy równań różniczkowych. Równania wyższych rzędów. 6.1 Podstawowe pojęcia dla układów równań różniczkowych zwyczajnych Definicja. Układem n równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI

ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych

Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO Na egzaminie magisterskim student powinien: 1) omówić wyniki zawarte w pracy magisterskiej posługując się swobodnie pojęciami i twierdzeniami zamieszczonymi w pracy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Operatory samosprzężone

Operatory samosprzężone Operatory samosprzężone grudzień 2013 Operatory samosprzężone Operatory hermitowskie (3.29) (g, Lf) = (Lg, f) albo (3.30) g (x){l(x)f(x)}w(x)dx = {L(x)g(x)} f(x)w(x)dx. (Użyliśmy nawiasu klamrowego jako

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i 15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.

Bardziej szczegółowo

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Elementy równań różniczkowych cząstkowych Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)

1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5) . Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?

1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011

Matematyka II. De nicje, twierdzenia 21 czerwca 2011 Matematyka II De nicje, twierdzenia 2 czerwca 20 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, cz. 2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna

Bardziej szczegółowo

%*$*+ RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE I CZ STKOWE ZADANIA Z MATEMATYKI SU 1578. Janina Niedoba Wies aw Niedoba

%*$*+ RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE I CZ STKOWE ZADANIA Z MATEMATYKI SU 1578. Janina Niedoba Wies aw Niedoba SU 578 AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM.STANIS AWA STASZICA W KRAKOWIE Janina Niedoba Wies aw Niedoba RÓWNANIA RÓ NICZKOWE ZWYCZAJNE I CZ STKOWE ZADANIA Z MATEMATYKI Pod redakcj Bogdana Choczewskiego Wydanie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo