5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
|
|
- Feliks Szymański
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie różniczkowe postaci F (x, y, y ) = 0. y = f(x, y), ( ) gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D R 2, nazywamy równaniem różniczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej. Definicja 5.2. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania ( ) nazywamy każdą funkcję ϕ : I R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką, że x I ϕ (x) = f(x, ϕ(x)). Wykres funkcji ϕ nazywamy krzywą całkową równania ( ). Rozwiązaniem ogólnym równania ( ) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( ). Definicja 5.3. Niech (x 0, y 0 ) D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania ( ), które spełnia tzw. warunek początkowy ϕ(x 0 ) = y 0. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania ( ): Twierdzenie 5.4 (Peano). Niech D R 2 będzie obszarem oraz f : D R. Jeśli funkcja f jest ciągła, to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) D istnieje rozwiązanie ϕ równania ( ) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0 (tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa całkowa równania ( )). Twierdzenie 5.5 (Cauchy ego-piccard). Niech D R 2 będzie obszarem oraz f : D R. Jeśli funkcje f i f y są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) D istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania ( ) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0. 24
2 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 25 Uwaga 5.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy ego rozumiemy następująco: jeśli funkcje ϕ : I R oraz ψ : J R (gdzie I, J są przedziałami otwartymi takimi, że x 0 I J) są rozwiązaniami równania ( ) spełniającymi warunek ϕ(x 0 ) = ψ(x 0 ) = y 0, to ϕ(x) = ψ(x). x I J Interpretacja gemetryczna równania ( ): 5.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i równanie jednorodne względem x i y. Definicja 5.7. Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci gdzie h : (a, b) R oraz g : (c, d) R. y = h(x)g(y), (ZR) Lemat 5.8. Jeśli y 0 (c, d) oraz g(y 0 ) = 0, to funkcja stała ϕ : (a, b) R określona wzorem ϕ(x) = y 0 dla x (a, b), jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x) 0 dla pewnego x (a, b), to zachodzi również stwierdzenie odwrotne. Twierdzenie 5.9. Jeżeli h : (a, b) R, g : (c, d) R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) 0 dla każdego y (c, d), to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) (a, b) (c, d) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (ZR) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0. Rozwiązanie to określone jest wzorem ϕ(x) = G 1 (H(x) H(x 0 ) + G(y 0 )) dla x I (a, b), gdzie H i G są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i 1 g. Definicja Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci gdzie f : (c, d) R. y = f( y x ), Uwaga Równanie jednorodne (J) poprzez zamianę zmiennych y = xt, sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych t = f(t) t. x (J)
3 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU Równanie liniowe i równanie Bernouliego. Definicja Niech p, q : (a, b) R. Równanie postaci y + p(x)y = q(x) (L) nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q(x) = 0 dla x (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać y + p(x)y = 0. (LJ) Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym. Twierdzenie Jeśli p, q : (a, b) R są funkcjami ciągłymi oraz (x 0, y 0 ) (a, b) R, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (L) określone na przedziale (a, b) i spełniające warunek początkowy ϕ(x 0 ) = y 0. Lemat Rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = Ce P (x), C R, gdzie P jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji p. Twierdzenie Niech p, q : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi oraz niech ϕ s będzie rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem równania liniowego (L) istnieje rozwiązanie ϕ 0 równania jednorodnego (LJ) takie, że ϕ = ϕ 0 + ϕ s. Metody wyznaczania rozwiązania szczególnego równania liniowego (L): metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 5.16), metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 5.17 i 5.18). Twierdzenie Niech p, q : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qe P, to funkcja postaci P (x) ϕ s (x) = C(x)e jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).
4 5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 27 Twierdzenie Jeśli W n, V m są wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaś a, α, β R, to równanie liniowe ma rozwiązanie szczególne postaci y + ay = [W n (x) cos βx + V m (x) sin βx]e αx ϕ s (x) = x k [P l (x) cos βx + Q l (x) sin βx]e αx, gdzie P l, Q l są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz { 1, gdy α = a i β = 0, k = 0 w przeciwnym wypadku. jest rozwiązaniem szczegól- Twierdzenie Niech q 1, q 2 : (a, b) R oraz a R. Jeśli ϕ 1 nym równania zaś ϕ 2 y + ay = q 1 (x), jest rozwiązaniem szczególnym równania y + ay = q 2 (x), to funkcja ϕ 1 + ϕ 2 jest rozwiązaniem szczególnym równania y + ay = q 1 (x) + q 2 (x). Definicja Niech p, q : (a, b) R oraz α R \ {0, 1}. Równanie postaci nazywamy równaniem Bernouliego. Uwaga y + p(x)y = q(x)y α 1. Gdy w równaniu (B) α {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe. 2. Jeśli α > 0, to funkcja ϕ(x) = 0 dla x (a, b), (LS) jest rozwiązaniem szczególnym równania (B). 3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie y = t α 1. (B)
5 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu Wstęp Definicja 6.1. Niech n N, V R n+2 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci Równanie różniczkowe postaci F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n 1) ), ( n ) gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D R n+1, nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej. Definicja 6.2. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania ( n ) nazywamy każdą funkcję ϕ : I R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką, że x I ϕ (n) (x) = f(x, ϕ(x), ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n 1) (x)). Rozwiązaniem ogólnym równania ( n ) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( n ). Definicja 6.3. Niech (x 0, y 0, y 1,..., y n 1 ) D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania ( n ), które spełnia tzw. warunki początkowe: ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1. Definicja 6.4. Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania y = f(x, y, y ), ( 2 ) które spełnia tzw. warunki brzegowe: ϕ(x 1 ) = y 1, ϕ(x 2 ) = y 2, x 1 x 2.
6 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując odpowiednie podstawienia: r. r. rzędu 2 podstawienie r. r. rzędu 1 F (x, y, y ) = 0 y = u(x) F (x, u, u ) = 0 F (y, y, y ) = 0 y = u(y) F (y, u, u du dy ) = Równanie liniowe n-tego rzędu. Definicja 6.5. Niech p n 1, p n 2,..., p 1, p 0, q : (a, b) R. Równanie postaci y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + p n 2 (x)y (n 2) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (L n ) nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu. Jeśli q(x) = 0 dla x (a, b), to równanie (L n ) przyjmuje postać y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + p n 2 (x)y (n 2) p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (LJ n ) Równanie (LJ n ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu. Twierdzenie 6.6. Jeśli p n 1, p n 2,..., p 1, p 0, q : (a, b) R są funkcjami ciągłymi oraz (x 0, y 0, y 1,..., y n 1 ) (a, b) R n, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ (określone na (a, b)) równania liniowego (L n ) takie, że ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1. Dalej zakładamy, że funkcje p n 1, p n 2,..., p 1, p 0 oraz q są ciągłe na (a, b). Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ n ) : Niech V 0 oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących rozwiązaniami równania (LJ n ). Wówczas 1. V 0 C (n) (a, b), 2. kϕ V 0, ϕ V 0 k R 3. ϕ + ψ V 0, ϕ, ψ V 0 co oznacza, że V 0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C (n) (a, b). Twierdzenie 6.7. dim V 0 = n.
7 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 30 Definicja 6.8. Każdą bazę przestrzeni V 0 nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJ n ). Uwaga 6.9. Na mocy powyższego twierdzenia, fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJ n ) jest każdy układ funkcji ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n V 0, który jest liniowo niezależny (lnz) a więc taki, że [(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ α n ϕ n = 0) α 1 = α 2 =... = α n = 0]. α 1,α 2,...,α n R Definicja Niech ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n C (n) (a, b) oraz x (a, b). Wyznacznik ϕ 1 (x) ϕ 2 (x)... ϕ n (x) W (ϕ1,ϕ 2,...,ϕ n)(x) def ϕ = 1(x) ϕ 2(x)... ϕ n(x) ϕ (n 1) 1 (x) ϕ (n 1) 2 (x)... ϕ (n 1) (x) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) układu funkcji (ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ) w punkcie x. Twierdzenie Niech ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n V 0. Układ (ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ) jest lnz istnieje x 0 (a, b) taki, że W (ϕ1,ϕ 2,...,ϕ n)(x 0 ) 0. Twierdzenie Jeśli funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiazań równania (LJ n ), to rozwiązanie ogólne równania (LJ n ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = C 1 ϕ 1 (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x), C 1, C 2,..., C n R. Twierdzenie Jeśli ϕ 1 : I R jest rozwiązaniem równania (LJ 2 ) takim, że ϕ 1 (x) 0 dla x I, zaś P 1 jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p 1, to funkcja określona wzorem ϕ 2 (x) = ϕ 1 (x) e P 1 (x) ϕ 2 1(x) dx jest również rozwiązaniem równania (LJ 2 ). Ponadto funkcje ϕ 1, ϕ 2 są lnz. n Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L n ): Twierdzenie Niech ϕ s będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L n ). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem równania liniowego (L n ) istnieje rozwiązanie ϕ 0 równania (LJ n ) takie, że ϕ = ϕ 0 + ϕ s. Wniosek Jeśli funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania (LJ n ) oraz ϕ s jest rozwiązaniem szczególnym równania (L n ), to rozwiązanie ogólne równania (L n ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = C 1 ϕ 1 (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x) + ϕ s (x), C 1, C 2,..., C n R.
8 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 31 Rozwiązanie szczególne równania liniowego (L n ): Twierdzenie Załóżmy, że funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania (LJ n ). Wówczas funkcja postaci ϕ s (x) = C 1 (x)ϕ 1 (x) + C 2 (x)ϕ 2 (x) + + C n (x)ϕ n (x) jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L n ), gdy funkcje C 1, C 2,..., C n : (a, b) R są rozwiązaniami układu równań C 1ϕ 1 +C 2ϕ C nϕ n = 0, C 1ϕ 1 +C 2ϕ C nϕ n = 0,... C 1ϕ (n 2) 1 +C 2ϕ (n 2) C nϕ (n 2) n = 0, C 1ϕ (n 1) 1 +C 2ϕ (n 1) C nϕ (n 1) n = q Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach. Definicja Równanie postaci y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q(x), (LS n ) gdzie a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 R, q : (a, b) R, nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach. Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJS n ): Definicja Równanie r n + a n 1 r n 1 + a n 2 r n a 1 r + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = 0. (LJS n ) Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJS n ) można wyznaczyć przy pomocy pierwiastków równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu: Twierdzenie Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJS n ). Wówczas 1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji jest rozwiązaniem równania (LJS n ); e rx, xe rx, x 2 e rx, x k 1 e rx
9 6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU jeśli r = α + iβ jest pierwiastkiem zespolonym o krotności k, to każda z funkcji e αx cos βx, xe αx cos βx, x 2 e αx cos βx, x k 1 e αx cos βx, e αx sin βx, xe αx sin βx, x 2 e αx sin βx, x k 1 e αx sin βx, jest rozwiązaniem równania (LJS n ). Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego równania (LJS n ) stanowią układ lnz. Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LS n ): Twierdzenie Jeśli W n, V m są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz a n 1, a n 2,..., a 1, a 0, α, β R, to równanie liniowe y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = [W n (x) cos βx + V m (x) sin βx]e αx ma rozwiązanie szczególne postaci ϕ s (x) = x k [P l (x) cos βx + Q l (x) sin βx]e αx, gdzie P l, Q l są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz k = { kr, gdy r = α + βi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności k r, 0 w przeciwnym wypadku. Uwaga Stałą α + βi nazywamy stałą kontrolną równania rozważanego w tw Twierdzenie Niech q 1, q 2 : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi oraz a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 R. Jeśli ϕ s1 jest rozwiązaniem równania zaś ϕ s2 y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 1 (x), jest rozwiązaniem równania to funkcja ϕ s1 + ϕ s2 y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 2 (x), jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 1 (x) + q 2 (x).
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Marta Zelmańska
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Marta Zelmańska Toruń 009 1 Rozdział 1 Wstęp Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie: F (t, x, x, x,..., x (n) ) = 0 (1.1) Rozwiązaniem równania
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowo1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowo1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Równania różniczkowe 11.05.018 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoZadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych
Zadania do wykładu Jakościowa Teoria Równań Różniczkowych Zwyczajnych [ ] e Zadanie 1 Pokazać, że X(t) = 2t cos t sin t e 2t jest specjalną macierzą fundamentalną w sin t cos t [ 2 cos chwili τ = 0 układu
Bardziej szczegółowo11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.
Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu 11 1 11 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. 11.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i oznaczenia. Równaniem
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19
Zestaw zadań z Równań różniczkowych cząstkowych I 18/19 Zad 1. Znaleźć rozwiązania ogólne u = u(x, y) następujących równań u x = 1, u y = 2xy, u yy = 6y, u xy = 1, u x + y = 0, u xxyy = 0. Zad 2. Znaleźć
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoTemat wykładu: Równania różniczkowe. Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1
Temat wykładu: Równania różniczkowe Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia w SGGW 1 Zagadnienia 1. Terminologia i oznaczenia 2. Definicje 3. Przykłady Anna Rajfura, Matematyka na kierunku Biologia
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk
Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2013 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne. P. F. Góra
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Zasady zaliczenie ćwiczeń egzamin ustny; na egzaminie
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu
Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)
Bardziej szczegółowoV. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
V. Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach 1. Niezależność wielomianów, funkcji wykładniczych i trygonometrycznych W paragrafie tym podamy pewien lemat 1 potrzebny w
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowo26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU
6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...
Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems)
Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 10. Dwupunktowe problemy brzegowe (BVP, Boundary Value Problems) P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2007/08 Wprowadzenie Rozważmy
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowo3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)
Temat 3 Metoda Fouriera da równań hiperboicznych 3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe da struny ograniczonej Rozważać będziemy następujące zagadnienie. Znaeźć funkcję u (x, t) spełniającą równanie wraz
Bardziej szczegółowoϕ(t k ; p) dla pewnego cigu t k }.
VI. Trajektorie okresowe i zbiory graniczne. 1. Zbiory graniczne. Rozważamy równanie (1.1) x = f(x) z funkcją f : R n R n określoną na całej przestrzeni R n. Będziemy zakładać, że funkcja f spełnia założenia,
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowo