AB = x a + yb y a + zb z a 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "AB = x a + yb y a + zb z a 1"

Transkrypt

1 1. Wektory w przestrzeni trójwymiarowej EFINICJA. Uporzadkowana pare punktów (A, B) nazywamy wektorem i oznaczamy AB. Punkt A to poczatek wektora, punkt B to koniec wektora. EFINICJA. Je±li B = A, to wektor AA jest zerowy. Ka»de dwa wektory zerowe (o dowolnych poczatkach) sa sobie równe. Wektor zerowy oznaczamy przez 0. EFINICJA. wa niezerowe wektory AB oraz C maja ten sam kierunek (sa równolegªe), gdy proste wyznaczone przez te wektory (czyli prosta przechodzaca przez punkty A i B oraz prosta przechodzaca przez punkty C i ) sa równolegªe. EFINICJA. wa niezerowe wektory maja ten sam zwrot, gdy póªprosta wyznaczona przez jeden z tych wektorów mo»na przesuna równolegle tak, by pokryªa sia z póªprosta wyznaczona przez drugi z tych wektorów. Oczywi±cie wektory majace ten sam zwrot sa równolegªe. EFINICJA. Gdy dwa niezerowe wektory sa równolegªe, ale nie maja tego samego zwrotu, to mówimy,»e maja przeciwne zwroty. EFINICJA. ªugo± wektora AB, to dªugo± odcinka AB. ªugo± wektora oznaczamy AB. EFINICJA. wa wektory niezerowe sa równe, gdy maja ten sam kierunek, te sama dªugo± i ten sam zwrot. EFINICJA. Suma wektorów a oraz b nazywamy wektor a + b o poczatku w poczatku wektora a i ko«cu w ko«cu wektora b, o ile koniec wektora a jest poczatkiem wektora b. EFINICJA. Iloczynem wektora a przez liczbe λ nazywamy wektor λ a okre±lony nastepujaco: gdy a = 0 lub λ = 0, to λ a = 0; gdy a 0 i λ 0, to λ a ma kierunek wektora a, dªugo± λ a = λ a oraz zwrot zgodny ze zwrotem a gdy λ > 0, a przeciwny do zwrotu a gdy λ < 0. EFINICJA. Wektor przeciwny do wektora a to wektor a = ( 1) a. Odejmowanie wektorów deniujemy tak: a b = a + ( b). EFINICJA. Kat miedzy niezerowymi wektorami (przesuwamy je tak, by miaªy wspólny poczatek) to kat ( a, b) [0, π] jaki tworza póªproste wyznaczone przez te wektory. wa wektory sa prostopadªe, gdy kat miedzy nimi wynosi π. 2 EFINICJA. Wersory osi 0x, 0y, 0z ukªadu wspóªrzednych to wektory i, j, k o dªugo±ci 1 oraz o kierunku i zwrocie zgodnym z kierunkiem i zwrotem odpowiedniej osi. WŠASNO. la ka»dego wektora a (w przestrzeni trójwymiarowej) istnieja (jednoznacznie okre±lone) liczby a x, a y, a z takie,»e a = a x i + a y j + a z k. Liczby ax, a y, a z to wspóªrzedne wektora. Zapisujemy te» a = [a x, a y, a z ]. WŠASNO. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a = x + y + z, λ a = [λa x, λa y, λa z ], a + b = [a x + b x, a y + b y, a z + b z ]. WŠASNO. Gdy A(x a, y a, z a ), B(x b, y b, z b ), to AB = [x b x a, y b y a, z b z a ], (xb ) 2 ( ) 2 ( ) 2. AB = x a + yb y a + zb z a 1

2 2 EFINICJA. Iloczyn skalarny wektorów a i b to liczba a b = a b cos ( a, b). TWIERZENIE. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a b = a x b x + a y b y + a z b z. WŠASNO. a b a b = 0. EFINICJA. Iloczyn wektorowy wektorów a i b to wektor a b zdeniowany nastepujaco: gdy a = 0 lub b = 0, lub wektory a i b sa równolegªe, to a b = 0; w przeciwnym przypadku, a b = a b sin ( a, b), wektor a b jest prostopadªy do wektorów a i b oraz ma zwrot taki,»e patrzac z ko«ca wektora a b na pªaszczyzne wyznaczona przez wektory a i b (zakªadamy,»e te trzy wektory maja wspólny poczatek) kat skierowany od a do b jest mniejszy od π. WŠASNO. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny: a b = b a. WŠASNO. ªugo± iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest równa polu równolegªoboku zbudowanego na tych wektorach. TWIERZENIE. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], to a i j k b = a x a y a z. b x b y b z PRZYKŠA. Oblicz pole trójkata o wierzchoªkach A(15, 1, 2013), B(16, 1, 2014), C(17, 2, 2013). Pole trójkata to poªowa pola równolegªoboku zbudowanego na wektorach AB = [1, 0, 1], AC = [2, 1, 0] rozpinajacych ten trójkat. Iloczyn wektorowy: AB i j k AC = = i + 2 j + k = [ 1, 2, 1], zatem pole ABC jest równe 1 AB AC = ( 1) = EFINICJA. Iloczyn mieszany trzech wektorów a, b, c, to liczba a b c = ( a b) c. INTERPRETACJA. Warto± bezwzgledna z iloczynu mieszanego trzech wektorów jest równa objeto±ci równolegªo±cianu zbudowanego na tych wektorach. TWIERZENIE. Gdy a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], c = [c x, c y, c z ], to ( a a x a y a z b) c = b x b y b z. c x c y c z PRZYKŠA. Oblicz objeto± czworo±cianu o wierzchoªkach A(15, 1, 2013), B(16, 1, 2014), C(17, 2, 2013). (18, 2, 2010). Objeto± V czworo±cianu rozpietego na wektorach AB = [1, 0, 1], AC = [2, 1, 0], A = [3, 1, 3], to 1 objeto±ci równolegªo±cianu zbudowanego na tych wektorach; 6 ( AB AC) A = = 4, zatem V = 1 ( AB AC) 6 A = 1 4 =

3 3 2. Prosta, pªaszczyzna, powierzchnie drugiego stopnia Ogólne równanie pªaszczyzny: Ax + By + Cz + = 0. Pªaszczyzna ta jest prostopadªa do wektora n = [A, B, C]. Równanie pªaszczyzny prostopadªej do wektora n = [A, B, C] i przechodzacej przez punkt P (x 1, y 1, z 1 ): A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0. Równanie odcinkowe pªaszczyzny nierównolegªej do»adnej osi ukªadu wspóªrzednych: x a + y b + z c = 1. Pªaszczyzna ta przechodzi przez punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c). Odlegªo± punktu P 0 (x 0, y 0, z 0 ) od pªaszczyzny Ax + By + Cz + = 0: d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + A2 + B 2 + C 2. Równanie parametryczne prostej przechodzacej przez punkt P (x 1, y 1, z 1 ) i równolegªej x = x 1 + at do wektora k = [a, b, c]: y = y 1 + bt z = z 1 + ct, dla t R. Równanie kierunkowe (kanoniczne) prostej przechodzacej przez punkt P (x 1, y 1, z 1 ) i równolegªej do wektora k = [a, b, c]: x x 1 = y y 1 = z z 1. a b c { A1 x + B Równanie krawedziowe prostej: 1 y + C 1 z + 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + 2 = 0 ; zakªadamy,»e pªaszczyzny opisane tymi równaniami nie sa równolegªe. Powierzchnia drugiego stopnia to zbiór punktów (x, y, z) opisanych równaniem: A 1 x 2 + A 2 y 2 + A 3 z 2 + A 4 xy + A 5 xz + A 6 yz + A 7 x + A 8 y + A 9 z + A 10 = 0, gdzie przynajmniej jedna ze staªych A 1,..., A 6 jest ró»na od zera. TWIERZENIE. Ka»da powierzchnie drugiego stopnia mo»na tak przesuna i obróci by przyjeªa jedna z nastepujacych postaci: (1) x2 + y2 + z2 c 2 (2) x2 (3) x2 (4) x2 (5) x2 + y2 + y2 + y2 + z2 c 2 + z2 c 2 = 1 (elipsoida), = 0 (punkt), = 1 (zbiór pusty), z2 = 1 c (hiperboloid jednopowªokowa), y2 z2 c 2 = 1 (hiperboloida dwupowªokowa), (6) x2 + y2 z2 = 0 (sto»ek), c 2 (7) x2 + y2 = z b (paraboloid eliptyczna), (8) x2 y2 = z b (paraboloid hiperboliczna),

4 4 (9) x2 + y2 (10) x2 (11) x2 (12) x2 (13) x2 y2 + y2 + y2 y2 = 1 (walec eliptyczny), = 1 (walec hiperboliczny), = 1 (zbiór pusty), = 0 (prosta), = 0 (dwie pªaszczyzny), (14) x2 = y (walec paraboliczny), (15) x2 = 1 (16) x2 (17) x2 (dwie pªaszczyzny równolegªe), = 0 (pªaszczyzna), = 1 (zbiór pusty). 3. Funkcje dwóch zmiennych EFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych okre±lona w zbiorze R 2, to przyporzadkowanie ka»demu punktowi (x, y) dokªadnie jednej liczby rzeczywistej f(x, y). EFINICJA. Wykres funkcji f : R, to zbiór W = {(x, y, z) : z = f(x, y), (x, y) }. EFINICJA. Otoczenie punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór Q = {(x, y) : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. Sasiedztwo punktu (x 0, y 0 ) o promieniu δ > 0, to zbiór S δ (x 0, y 0 ) = {(x, y) : 0 < (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 < δ 2 }. EFINICJA. Punkt (x 0, y 0 ) nazywamy: (1) punktem wewnetrznym zbioru, gdy istnieje otoczenie tego punktu zawarte w zbiorze ; (2) punktem brzegowym zbioru, gdy ka»de otoczenie tego punktu zawiera jaki± punkt ze zbioru i jaki± punkt nienale»acy do ; (3) punktem skupienia zbioru, gdy w ka»dym sasiedztwie tego punktu istnieje jaki± punkt ze zbioru. EFINICJA. Zbiór wszystkich punktów wewnetrznych zbioru to wnetrze tego zbioru. Zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru to brzeg tego zbioru. Zbiór jest otwarty, gdy ka»dy jego punkt jest punktem wewnetrznym tego zbioru. Zbiór jest domkniety, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Zbiór nazywamy obszarem, gdy jest otwarty i gdy ka»de dwa punkty tego zbioru mo»na poªaczy ªamana zawarta w tym zbiorze. EFINICJA. Zaªó»my,»e dziedzina funkcji f(x, y) jest zbiór. Ponadto niech (x 0, y 0 ) bedzie punktem skupienia zbioru. Mówimy,»e funkcja f jest ciagªa w punkcie (x 0, y 0 ), gdy ɛ>0 δ>0 (x,y) S δ (x 0,y 0 ) f(x 0, y 0 ) ɛ < f(x, y) < f(x 0, y 0 ) + ɛ.

5 Zaªó»my,»e ka»dy punkt ze zbioru jest punktem skupienia tego zbioru. Funkcja f jest ciagªa w zbiorze, gdy jest ciagªa w ka»dym punkcie tego zbioru. EFINICJA. Zaªó»my,»e funkcja f(x, y) jest okre±lona w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ). Je»eli istnieje sko«czona granica f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) lim, h 0 h to nazywamy ja pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej x w punkcie (x 0, y 0 ) i oznaczamy f x(x 0, y 0 ) lub f (x x 0, y 0 ). Podobnie deniujemy pochodna czastkowa f y = f funkcji f wzgledem zmiennej y y w punkcie (x 0, y 0 ): f y(x f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) = lim. h 0 h Pochodne te nazywamy pochodnymi czastkowymi pierwszego rzedu. PRZYKŠA. Oblicz, z denicji, f x oraz f y, gdy f(x, y) = x 2 y. f x(x, y) = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h = lim h 0 x 2 y + 2xhy + h 2 y x 2 y h = lim h 0 (x + h) 2 y x 2 y h = lim h 0 (2xy + hy) = 2xy f y(x, f(x, y + h) f(x, y) x 2 (y + h) x 2 y y) = lim = lim h 0 h h 0 h x 2 y + x 2 h x 2 y = lim = x 2 h 0 h EFINICJA. Zaªó»my,»e n 2 jest liczba naturalna. Pochodna czastkowa n-tego rzedu to pochodna czastkowa pochodnej czastkowej rzedu n 1. PRZYKŠA. Oblicz pochodne czastkowe drugiego rzedu funkcji f(x, y) = x 2 y. f x = 2xy, f y = x 2, f xx = ( ) f x = ( 2xy) x x = 2y, f yy = 0, f xy = f yx = 2x. TWIERZENIE. Je»eli pochodne mieszane f xy, f yx sa ciagªe w pewnym obszarze, to sa równe. EFINICJA. Zaªó»my,»e funkcja f(x, y) jest okre±lona w pewnym otoczeniu Q punktu (x 0, y 0 ). Mówimy,»e funkcja f(x, y) osiaga w punkcie (x 0, y 0 ) minimum lokalne, gdy istnieje sasiedztwo S punktu (x 0, y 0 ) zawarte w zbiorze Q takie,»e f(x, y) > f(x 0, y 0 ). (x,y) S Mówimy,»e funkcja f(x, y) osiaga w punkcie (x 0, y 0 ) maksimum lokalne, gdy istnieje sasiedztwo S punktu (x 0, y 0 ) zawarte w zbiorze Q takie,»e f(x, y) < f(x 0, y 0 ). (x,y) S 5

6 6 WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM. Je»eli funkcja f(x, y) ma ekstremum lokalne w punkcie (x 0, y 0 ) i je»eli istnieja pochodne czastkowe pierwszego rzedu w punkcie (x 0, y 0 ), to f x(x 0, y 0 ) = 0 i f y(x 0, y 0 ) = 0. OZNACZENIE. (x, y) = [ f xy(x, y) ] 2 f xx(x, y)f yy(x, y) Wyra»enie to nazywamy wyró»nikiem funkcji f w punkcie (x, y). WARUNEK WYSTARCZAJA CY ISTNIENIA EKSTREMUM. Zaªó»my,»e w pewnym otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) istnieja ciagªe pochodne drugiego rzedu funkcji f(x, y) oraz»e f x(x 0, y 0 ) = 0 i f y(x 0, y 0 ) = 0. (1) Je»eli (x 0, y 0 )> 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie (x 0, y 0 ). (2) Je»eli (x 0, y 0 )< 0, to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie (x 0, y 0 ); gdy f xx(x 0, y 0 )< 0, to osiaga maksimum, a gdy f xx(x 0, y 0 )> 0 to osiaga minimum. PRZYKŠA. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 5 + 5xy + y 5. ziedzina: f = R 2. Pochodne czastkowe: f x(x, y) = 5x 4 + 5y, f y(x, y) = 5x + 5y 4 zeruja sie dla x 1 = 0, y 1 = 0 oraz x 2 = 1, y 2 = 1, zatem punkty podejrzane o ekstremum to P 1 (0, 0), P 2 ( 1, 1). Ponadto, f xx = 20x 3, f xy = 5, f yy = 20y 3. Wyró»nik: (x, y) = x 3 20y3. Badamy znak wyró»nika punktach podejrzanych: (0, 0) = 25> 0, zatem funkcja f nie osiaga ekstremum w punkcie P 1 (0, 0); ( 1, 1) = < 0, wiec funkcja f osiaga ekstremum w punkcie P 2 ( 1, 1). O tym, czy jest to minimum, czy maksimum decyduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzedu (oczywi±cie f xx(p 2 ) oraz f yy(p 2 ) sa tego samego znaku). W tym punkcie f xx( 1, 1) = 20( 1) 3 < 0, co oznacza,»e funkcja osiaga maksimum w P 2. TWIERZENIE. Funkcja ciagªa w zbiorze domknietym i ograniczonym osiaga w pewnych punktach tego zbioru swoja warto± najwieksza i najmniejsza (ekstrema globalne). UWAGA. Aby znale¹ ekstrema globalne funkcji f(x, y) w zbiorze domknietym i ograniczonym wystarczy: (1) znale¹ punkty podejrzane o ekstremum we wnetrzu zbioru (to znaczy punkty, w których obie pochodne czastkowe pierwszego rzedu sa równe zero lub przynajmniej jedna z nich nie istnieje); (2) obliczy warto±ci funkcji f w tych punktach; (3) znale¹ punkty podejrzane na brzegu zbioru (na ogóª dzielac brzeg na dogodne fragmenty) oraz obliczy warto±ci funkcji f w tych punktach; (4) z uzyskanych liczb wybra najwieksza i najmniejsza. PRZYKŠA 1A. Znale¹ ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 oraz znale¹ warto± najwieksza i najmniejsza tej funkcji w zbiorze = {(x, y) : x 2 + y 2 100, y 8}.

7 Pochodne czastkowe f x(x, y) = 2x, f y(x, y) = 2y zeruja sie dla x = 0, y = 0, zatem punktem podejrzanym o ekstremum jest (0, 0). W tym punkcie funkcja f osiaga minimum lokalne, gdy» wyró»nik (0, 0) = 0 2 2< 0 oraz f xx(0, 0) = 2> 0. Punkt (0, 0) nie nale»y do zbioru, wiec nie uwzgledniamy go przy szukaniu ekstremów globalnych funkcji f w zbiorze. Pozostaje zbada zachowanie funkcji f na brzegu zbioru. ogodnie bedzie podzieli ten brzeg na dwa fragmenty: b 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 100, 6 x 6} oraz = {(x, y) : y = 8, 6 < x < 6}. Zauwa»my,»e funkcja f(x, y) = 100 dla (x, y) b 1. Ponadto f(x, y) = x dla (x, y). Niech f 2 (x) = x Oczywi±cie f 2(x) = 2x. Pochodna ta sie zeruje dla x = 0. Obliczamy warto± funkcji: f 2 (0) = 64. Zatem warto±cia najwieksza funkcji f w jest 100, a warto±cia najmniejsza jest 64. PRZYKŠA 1B. Znale¹ warto± najwieksza i najmniejsza funkcji f(x, y) = x 2 + y 2 w zbiorze = {(x, y) : x 2 + y 2 100, y 8}. Tym razem punkt (0, 0) (podejrzany) nale»y do zbioru, wiec go uwzgledniamy; f(0, 0) = 0. Badamy zachowanie funkcji f na brzegu zbioru. zielimy brzeg na dwa fragmenty: b 1 = {(x, y) : x 2 + y 2 = 100, y 8} oraz = {(x, y) : y = 8, 6 < x < 6}. Zauwa»my,»e funkcja f(x, y) = 100 dla (x, y) b 1. Ponadto f(x, y) = x dla (x, y). Niech f 2 (x) = x Oczywi±cie f 2(x) = 2x. Pochodna ta sie zeruje dla x = 0. Obliczamy warto± funkcji: f 2 (0) = 64. Zatem warto±cia najwieksza funkcji f w jest 100, a warto±cia najmniejsza jest 0. EFINICJA. Liczba M jest globalnym maksimum warunkowym funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0, je»eli speªnione sa dwa warunki: (1) istnieje punkt (x 0, y 0 ) taki,»e f(x 0, y 0 ) = M i g(x 0, y 0 ) = 0; (2) dla ka»dego (x, y) takiego,»e g(x, y) = 0 mamy f(x, y) M. Liczbe m nazywamy globalnym minimum warunkowym funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0, je»eli speªnione sa dwa warunki: (1) istnieje punkt (x 0, y 0 ) taki,»e f(x 0, y 0 ) = m i g(x 0, y 0 ) = 0; (2) dla ka»dego (x, y) takiego,»e g(x, y) = 0 mamy f(x, y) m. SCHEMAT ZNAJOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH. Zakªadamy,»e funkcje f(x, y) oraz g(x, y) maja pochodne czastkowe pierwszego rzedu. Tworzymy funkcje Lagrange'a: F (x, y) = f(x, y) + λg(x, y). Punkty podejrzane o warunkowe ekstremum (lokalne) otrzymujemy rozwiazujac ukªad trzech równa«: F x(x, y) = 0, F y(x, y) = 0, g(x, y) = 0. Je»eli krzywa opisana warunkiem (tzn. zbiór punktów opisanych równaniem g(x, y) = 0) jest krzywa zamknieta, to liczymy warto±ci funkcji f w punktach podejrzanych i wybieramy z nich warto± najwieksza i najmniejsza. Je»eli krzywa opisana warunkiem ma ko«ce, to liczymy warto±ci funkcji f w punktach podejrzanych le»acych na tej krzywej oraz liczymy warto±ci f na ko«cach krzywej i nastepnie z uzyskanych warto±ci wybieramy warto± najwieksza i najmniejsza. 7

8 8 PRZYKŠA 2A. Zale¹ najwieksza i najmniejsza warto± funkcji f(x, y) = xy przy warunku x 2 + y 2 = 2. Tworzymy funkcje Lagrange'a: Rozwiazujac ukªad otrzymamy cztery rozwiazania: F (x, y) = xy + λ(x 2 + y 2 2). y + 2xλ = 0, x + 2yλ + 0, x 2 + y 2 2 = 0 x 1 = 1, y 1 = 1; x 2 = 1, y 2 = 1; x 3 = 1, y 3 = 1; x 4 = 1, y 4 = 1 (tutaj lambdy nas nie interesuja). Zatem sa cztery punkty podejrzane: P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). Krzywa opisana warunkiem to okrag (krzywa zamknieta). Wystarczy zatem obliczy warto±ci funkcji f w punktach podejrzanych f(1, 1) = 1, f( 1, 1) = 1, f(1, 1) = 1, f( 1, 1) = 1. Warto±cia najwieksza jest 1, a najmniejsza jest 1. PRZYKŠA 2B. Zale¹ najwieksza i najmniejsza warto± funkcji f(x, y) = xy przy warunku x 2 + y 2 = 2 dla x 0, y 0. Tym razem krzywa opisana warunkiem to (pierwsza) wiartka okregu razem z ko«cami: K 1 (0, 2), K 2 ( 2, 0). Z przykªadu 2A wiemy,»e sa cztery punkty podejrzane: P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). Na naszej krzywej le»y jedynie punkt P 1. Wystarczy zatem obliczy warto±ci funkcji f w P 1 i na ko«cach krzywej: f(p 1 ) = f(1, 1) = 1, f(k 1 ) = f(0, 2) = 0, f(k 2 ) = f( 2, 0) = 0. Warto±cia najwieksza jest 1, a najmniejsza jest 0. EFINICJA. Ró»niczka funkcji f(x, y) w punkcie (x 0, y 0 ) (dla przyrostów dx, dy) nazywamy wyra»enie df(x 0, y 0 ) = f x(x 0, y 0 )dx + f y(x 0, y 0 )dy (zakªadamy tu,»e funkcje f, f x, f y sa ciagªe w pewnym obszarze). Precyzyjniejszy zapis ró»niczki to: df(x 0, y 0, dx, dy). PRZYKŠA 3A. Oblicz ró»niczke funkcji f(x, y) = x 2 y 3 w punkcie (2, 1). Obliczamy: f x(x, y) = 2xy 3, f x(2, 1) = = 4, Zatem df(2, 1) = 4dx + 12dy. f y(x, y) = 3x 2 y 2, f y(2, 1) = = 12. PRZYKŠA 3B. Oblicz ró»niczke funkcji f(x, y) = x 2 y 3 w punkcie (2, 1) dla przyrostów dx = 0, 5, dy = 0, 3. Z poprzedniego przykªadu: df(2, 1) = 4 0, , 3 = 5, 6.

9 WŠASNO. czyli df(x 0, y 0 ) f = f(x 0 + dx, y 0 + dy) f(x 0, y 0 ), f(x 0 + dx, y 0 + dy) f(x 0, y 0 ) + df(x 0, y 0 ). PRZYKŠA. Stosujac powy»sza wªasno± oblicz przybli»ona warto± wyra»enia (8, 02) 2 + (6, 03) 2. Przyjmujemy: f(x, y) = x 2 + y 2, x 0 = 8, dx = 0, 02, y 0 = 6, dy = 0, 03. Wtedy f x(x, y) = f y(x, y) = 2x 2 x 2 + y 2, f x(8, 6) = 2y 2 x 2 + y 2, f y(8, 6) = 8 = 0, 8, = 0, Zatem (8, 02)2 + (6, 03) 2 = f(x 0 + dx, y 0 + dy) f(x 0, y 0 ) + df(x 0, y 0 ) = f x(8, 6)dx + f y(8, 6)dy = , 8 0, , 6 0, 03 = 10, 034. WŠASNO. Pewne wielko±ci zyczne sa powiazane wzorem z = f(x, y) (zakªadamy tu,»e funkcje f, f x, f y sa ciagªe). Je»eli x, y oznaczaja bªedy (bezwzgledne) przy pomiarze wielko±ci x oraz y, to bªad (bezwzgledny) przy obliczeniu wielko±ci z jest w przybli»eniu równy z f x(x 0, y 0 ) x + f y(x 0, y 0 ) y. PRZYKŠA. Zmierzono objeto± ciaªa V 0 = 10cm 3 z dokªadno±cia V = 0, 01cm 3 oraz mase m 0 = 6g z dokªadno±cia m = 0, 05g. Z jaka, w przybli»eniu, dokªadno±cia obliczymy gesto± tego ciaªa stosujçac wzór ϱ = m V? Zastosujemy wzór: ϱ ϱ m(m 0, V 0 ) m + ϱ V (m 0, V 0 ) V. Poniewa» ϱ m = 1 V, ϱ m(m 0, V 0 ) = 1 10, ϱ V = m V 2, ϱ V (m 0, V 0 ) = , wiec ϱ 0, 1 0, , 06 0, 01 = 0, Oznacza to,»e bªad bezwzgledny przy obliczaniu gesto±ci wynosi w przybli»eniu 0, 0056 g cm 3. PŠASZCZYZNA STYCZNA do wykresu funkcji z = f(x, y) w punkcie (x 0, y 0, z 0 ) ma równanie z z 0 = f x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y(x 0, y 0 )(y y 0 ) (zakªadamy tu,»e funkcje f, f x, f y sa ciagªe w pewnym obszarze). PRZYKŠA. Napisz równanie pªaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = 9 x 2 y 2 w punkcie (1, 2, 2). 9

10 10 f x = x 9 x2 y 2, f x(1, 2, 2) = 1 2, f y = y 9 x2 y 2, f y(1, 2, 2) = 1; pªaszczyzna ma równanie: z 2 = 1(x 1) + (y + 2), czyli 1 x + y z + 4, 5 = Caªki podwójne EFINICJA. Obszar normalny wzgledem osi 0x, to zbiór x = {(x, y) : a x b, g(x) y h(x)}, gdzie a < b oraz funkcje g(x) i h(x) sa ciagªe w przedziale [a, b] i speªniaja w nim warunek g(x) h(x). EFINICJA. Obszar normalny wzgledem osi 0y, to zbiór y = {(x, y) : c y d, p(y) x q(y)}, gdzie c < d oraz funkcje p(y) i q(y) sa ciagªe w przedziale [c, d] i speªniaja w nim warunek p(y) q(y). EFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sume sko«czonej liczby obszarów normalnych. EFINICJA. Zaªó»my,»e funkcja f(x, y) jest ograniczona w obszarze regularnym. zielimy zbiór na n dowolnych obszarów regularnych 1,..., n o parami rozªacznych wnetrzach. Niech i, dla i = 1, 2,... n, oznacza pole obszaru i. Najwieksza ze ±rednic zbiorów 1,..., n oznaczamy przez δ n i nazywamy norma podziaªu. W ka»dym zbiorze i wybieramy dowolnie punkt (x i, y i ). Tworzymy sume caªkowa σ n = f(x 1, y 1 ) 1 + f(x 2, y 2 ) f(x n, y n ) n. Tak postepujemy dla n = 2, 3,... otrzymujac pewien ciag podziaªów zbioru. Ciag ten nazywamy ciagiem normalnym podziaªów, je»eli lim n δ n = 0. Je»eli dla ka»dego ciagu normalnego podziaªów zbioru istnieje sko«czona granica lim n σ n (taka sama bez wzgledu na wybór zbiorów i oraz punktów (x i, y i )), to granice te nazywamy caªka podwójna funkcji f(x, y) w zbiorze i oznaczamy f(x, y)dxdy. INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA. Je»eli funkcja f jest caªkowalna i nieujemna w, to objeto± bryªy B = {(x, y, z) : 0 z f(x, y), (x, y) } jest równa f(x, y)dxdy. TWIERZENIE. Funkcja ciagªa w obszarze regularnym jest w nim caªkowalna. WŠASNO CI. Zakªadamy,»e funkcje f(x, y) oraz g(x, y) sa caªkowalne w obszarze regularnym. (1) [ ] f(x, y) ± g(x, y) dxdy = f(x, y)dxdy ± g(x, y)dxdy (2) λf(x, y)dxdy = λ f(x, y)dxdy

11 (3) Gdy jest suma obszarów regularnych 1 i 2 o rozªacznych wnetrzach, to f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy 1 2 TWIERZENIE. Gdy f jest ciagªa w obszarze normalnym x, to b [ h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy ] dx. x a g(x) TWIERZENIE. Gdy f jest ciagªa w obszarze normalnym y, to d [ q(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx ] dy. y c p(y) PRZYPOMNIENIE. Zwiazek miedzy wspóªrzednymi kartezja«skimi (x, y) punktu, a jego wspóªrzednymi biegunowymi jest nastepujacy: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Przyjmujemy tu: r 0, 0 ϕ 2π. TWIERZENIE. Gdy funkcja f jest ciagªa w obszarze regularnym i gdy Ω = {(r, ϕ) : (r cos ϕ, r sin ϕ) }, to f(x, y)dxdy = f(r cos ϕ, r sin ϕ) rdrdϕ. Ω Czynnik r wystepujacy pod caªka to warto± bezwzgledna z jakobianu. Ogólnie jakobian odwzorowania x = x(u, v), y = y(u, v) to nastepujacy wyznacznik J = x u x v y u y, zatem v jakobian przej±cia ze wspóªrzednych kartezja«skich do biegunowych wynosi J = x r x ϕ cos ϕ r sin ϕ = = rcos 2 ϕ + rsin 2 ϕ = r. y r y ϕ sin ϕ r cos ϕ PRZYKŠA. Obliczy objeto± bryªy ograniczonej powierzchniami z = 0, z = 1 x 2 y 2. Zgodnie z interpretacja geometryczna caªki podwójnej, V = (1 x 2 y 2 )dxdy, gdzie = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. Podstawiamy wspóªrzedne biegunowe; odpowiedni obszar Ω = {(r, ϕ) : 0 r 1, 0 ϕ 2π}. Zatem [ V = 1 (r cos ϕ) 2 (r sin ϕ) 2] 1 [ 2π rdrdϕ = (r r 3 )dϕ ] dr = 1 0 Ω [ (r r 3 )ϕ ] ϕ=2π ϕ=0 dr = [ 1 (r r 3 )2πdr = 2π 2 r2 1 ] r=1 4 r4 = 2π( ) = 1 2 π. TWIERZENIE. Je»eli funkcje f, f x, f y sa ciagªe w obszarze regularnym, to pole powierzchni S = {(x, y, z) : z = f(x, y), (x, y) } wynosi 1 + (f x) 2 + (f y) 2 dxdy. r=0 11

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia 1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne.

13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 13. Funkcje wielu zmiennych pochodne, gradient, Jacobian, ekstrema lokalne. 1. Wprowadzenie. Dotąd rozważaliśmy funkcje działające z podzbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb rzeczywistych, zatem funkcje

Bardziej szczegółowo

Funkcje dwóch zmiennych

Funkcje dwóch zmiennych Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Funkcje dwóch zmiennych 1. Funkcje dwóch zmiennych: pojęcia podstawowe Definicja 1. Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji. 0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()

Bardziej szczegółowo

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1

Całki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad. 2015 / 2016. ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1. 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw 1 1. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y 1+x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe

Bardziej szczegółowo

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.ługość l łuku zwykłego gładkiego l = 1dl = b a (x (t)) 2 + (y (t) 2 ) + (z (t)) 2 dt 2.Pole powierzchni walcowej = {(x, y, z) : (x, y), 0 z

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁA Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2005 Spis treści 1. Przestrzenie metryczne. 4 2. Granica i ciągłość funkcji

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 2014 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) ( Liczba 9 3 6 4 27) jest

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

24. CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA 4. CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Płat powierzchniowy gładki o równaniach parametrycznych: x = x( u, v ), y = y( u, v ), z = z( u, v ),, (u,v) w którym rozróżniamy dwie jego stron dodatnią i ujemną.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochodne wyższych rzędów Definicja 1.1 (Pochodne cząstkowe drugiego rzędu) Niech f będzie odwzorowaniem o wartościach w R m, określonym na zbiorze G R k. Załóżmy, że zbiór tych x G, dla których istnieje

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:

ELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Ekstrema globalne funkcji

Ekstrema globalne funkcji SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii

Przestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)

Bardziej szczegółowo

Elementy geometrii analitycznej w R 3

Elementy geometrii analitycznej w R 3 Rozdział 12 Elementy geometrii analitycznej w R 3 Elementy trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej R 3 = {(x,y,z) : x,y,z R} możemy interpretować co najmniej na trzy sposoby, tzn. jako: zbiór punktów (x,

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji-pojęcie pochodnej

Granice funkcji-pojęcie pochodnej Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

Granica funkcji wykład 4

Granica funkcji wykład 4 Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna - przykłady

Geometria analityczna - przykłady Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40 Minimum lokalne

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI Położenie punktu w przestrzeni określamy za pomocą trzech liczb (x, y, z). Liczby te odpowiadają rzutom na osie układu współrzędnych: każdy rzut wzdłuż płaszczyzny równoległej

Bardziej szczegółowo

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU

WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU WYDAWNICTWO PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Karolina Kalińska MATEMATYKA: PRZYKŁADY I ZADANIA Włocławek 2011 REDAKCJA WYDAWNICTWA PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ WE WŁOCŁAWKU Matematyka:

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji Wykład 5 De.5 (różniczka unkcji Niech unkcja ma pochodną w punkcie. Różniczką unkcji w punkcie nazywamy unkcję d zmiennej określoną wzorem. Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych Jeżeli

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 4 MARCA 201 CZAS PRACY: 10 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych liczb

Bardziej szczegółowo

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak

Obliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1. Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient. Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz

Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 2 Podstawowe wiadomości z matematyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 2.1. Przestrzeń i płaszczyzna Podstawowe definicje Punkt - najmniejszy bezwymiarowy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5)

f x f x(x, y) (1.1) f(x, y, z) = xyz (1.5) 1 Pochodne cząstkowo Pochodną cząstkową funkcji dwóch zmiennych z = f(x, y) względem zmiennej x oznaczamy i definiujemy jako granicę f(x + h, y) f(x, y) lim h 0 h natomiast pochodną cząstkową względem

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl

Bardziej szczegółowo

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe. Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna

Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 ( ) Funkcja logistyczna Pochodna funkcji c.d.-wykład 5 (5.11.07) Funkcja logistyczna Rozważmy funkcję logistyczną y = f 0 (t) = 40 1+5e 0,5t Funkcja f może być wykorzystana np. do modelowania wzrostu masy ziaren kukurydzy (zmienna

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Umiejętności/treści Zadania Uwagi/terminy

Umiejętności/treści Zadania Uwagi/terminy Umiejętności/treści Zadania Uwagi/terminy ) Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia

Bardziej szczegółowo

1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych,

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014 Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich

Spis treści 1. Liczby zespolone 2 2. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 4 3. Geometria analityczna 9 4. Granice, pochodne funkcji i ich Spis treści Liczby zespolone Macierze wyznaczniki równania liniowe 4 Geometria analityczna 9 4 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7 Pochodne

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4.

Spis treści 1. Macierze, wyznaczniki, równania liniowe 2 2. Geometria analityczna 7 3. Granice, pochodne funkcji i ich zastosowania 10 4. Spis treści Macierze wyznaczniki równania liniowe Geometria analityczna 7 Granice pochodne funkcji i ich zastosowania 0 4 Liczby zespolone 6 5 Całki nieoznaczone 8 6 Zastosowania geometryczne całek 0 7

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,

Bardziej szczegółowo

11. Pochodna funkcji

11. Pochodna funkcji 11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Zastosowania

Pochodna funkcji. Zastosowania Pochodna funkcji Zastosowania Informatyka (sem.1 2015/16) Analiza Matematyczna Temat 3 1 / 33 Niektóre zastosowania pochodnych 1 Pochodna jako narzędzie do przybliżania wartości 2 Pochodna jako narzędzie

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo