Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne."

Transkrypt

1 Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne wyższych rzędów. Różniczka funkcji. Monotoniczność i wypukłość funkcji, twierdzenie Taylora. Ekstrema lokalne i globalne funkcji, warunki konieczne i dostateczne istnienia ekstremum. Twierdzenie de l Hospitala. K. Trąbka-Więcław Matematyka 1 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 2 / 54 Efekty kształcenia Student zna funkcje elementarne. Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona - definicja, własności. Całkowanie przez części, całkowanie przez podstawienie. Całka oznaczona - definicja, własności, wzór Newtona-Leibniza, Całka oznaczona i jej zastosowania. Liczby zespolone Student zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. Student potrafi analizować własności funkcji na podstawie badania jej pierwszej i drugiej pochodnej. Student zna podstawowe pojęcia i fakty z zakresu rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej. Student potrafi stosować podstawowe metody całkowania do obliczania całek nieoznaczonych i oznaczonych. Student potrafi stosować całki oznaczone do rozwiązywania problemów w geometrii i fizyce. Student zna liczby zespolone i potrafi rozwiązywać zadania dotyczące liczb zespolonych. K. Trąbka-Więcław Matematyka 3 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 4 / 54 Literatura Warunki zaliczenia Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach. PWN cz. I Gewert M., Skoczylas Z.: Analiza matematyczna 1. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów. WNT Leitner R. et al: Zadania z matematyki wyższej. WNT warunkiem dopuszczenia do egzaminu jest zaliczenie ćwiczeń ocena 4 z ćwiczeń = zwolnienie z egzaminu skala ocen: 0-49% uzyskanych punktów - ocena % uzyskanych punktów - ocena % uzyskanych punktów - ocena 3, % uzyskanych punktów - ocena % uzyskanych punktów - ocena 4, % uzyskanych punktów - ocena 5 K. Trąbka-Więcław Matematyka 5 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 6 / 54 Ogólne własności funkcji adres mailowy: strona internetowa: wm.pollub.pl Instytut Technologicznych Systemów Informacyjnych Pracownicy lub tnij.at/ktrabka Definicja 1 Niech dane będą niepuste zbiory X, Y. Jeśli każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element zbioru Y, to mówimy, że została określona funkcja zbioru X w zbiór Y i piszemy f : X Y. Każdy element zbioru X nazywamy argumentem funkcji f ; zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i piszemy D f lub D. Element zbioru Y, który fukcja f przyporządkowuje argumentowi x oznaczamy przez f (x) i nazywamy wartością funkcji odpowiadająca argumentowi x. Zbiór wartości funkcji nazywamy przeciwdziedziną i piszemy R f lub R. K. Trąbka-Więcław Matematyka 7 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 8 / 54

2 Jeśli funkcję określa tylko wzór, bez jawnego określenia dziedziny, to zbiór elementów należących do X, dla których ten wzór ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji. Podanie jawne dziedziny lub wyznaczenie dziedziny naturalnej jest częścią definicji funkcji, jest więc niezbędne. Jednak wyznaczenie przeciwdziedziny nie jest potrzebne dla prawidłowego zdefiniowania funkcji, często jest trudne. Definicja 2 Funkcję f : X Y nazywamy różnowartościową w zbiorze X, gdy [x 1 x 2 ] [f (x 1 ) f (x 2 )] x 1,x 2 X Funkcję różnowartościową nazywamy również funkcją wzajemnie jednoznaczną. Zapisujemy to symbolem 1 : 1. Przykład 1 Zbadaj różnowartościowość funkcji: f (x) = x 2 + 2x 3, g(x) = x+5 x 3, h(x) = x 1 x. K. Trąbka-Więcław Matematyka 9 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 10 / 54 Złożenie (superpozycja) funkcji Niech f : X Y oraz g : Y Z. Ich złożeniem nazywamy funkcję h : X Z taką, że: h(x) = g(f (x)). Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a g - funkcją zewnętrzną tego złożenia. Możemy też zapisać h = g f. Przykład 2 Wyznaczyć złożenia f g oraz g f dla funkcji: f (x) = x + 1 i g(x) = x 2. Niech dane będą dwie funkcje f : X U oraz g : W Y. Niech ponadto R f D g. Zatem f : X x u = f (x) R f g : D g u y = g(u) Y. oraz Można więc przyporządkować argumentowi x X wartość y = g(u) = g(f (x)) Y. W ten sposób zdefiniowaliśmy nową funkcję h : X Y daną wzorem h(x) = g(f (x)). Funkcję h nazywamy złożeniem lub superpozycją funkcji f i g,co zapisujemy h = g f. Funkcję f nazywamy funkcją wewnętrzną, a g - funkcją zewnętrzną tego złożenia. K. Trąbka-Więcław Matematyka 11 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 12 / 54 Jeśli nie zachodzi warunek R f D g, to składać funkcje f i g można tylko w pewnym podzbiorze zbioru X, mianowicie takim A X, dla którego zawężenie funkcji f - oznaczmy je przez f - ma zbiór wartości zawarty w dziedzinie funkcji g. R f Złożenie funkcji na ogół nie jest przemienne, tzn. f g g f. Przykład 3 Wyznaczyć, o ile to możliwe, złożenia f g i g f dla funkcji: a) f (x) = x i g(x) = 2 + sin x, b) f (x) = log x i g(x) = 1 x 2. Definicja 3 Funkcję g : Y X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f : X Y, jeśli dla każdego elementu x X zachodzi równość g(f (x)) = x oraz dla każdego elementu y Y zachodzi równość f (g(y)) = y. Twierdzenie 1 Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa w X, to istnieje funkcja odwrotna do niej. Funkcję odwrotną oznaczamy symbolem f 1. Wykres funkcji i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne względem prostej y = x. K. Trąbka-Więcław Matematyka 13 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 14 / 54 Przykład 4 Wyznacz funkcje odwrotne do funkcji: f 1 (x) = 2x + 3, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x 3, f 4 (x) = x+5 x 3, f 5 (x) = f 6 (x) = x x 1, x x+1. Definicja 4 Funkcję f : X Y nazywamy rosnącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) f (x 2 )] Definicja 5 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle rosnącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) < f (x 2 )] K. Trąbka-Więcław Matematyka 15 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 16 / 54

3 Definicja 6 Funkcję f : X Y nazywamy malejącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) f (x 2 )] Definicja 7 Funkcję f : X Y nazywamy ściśle malejącą w przedziale (a, b), jeśli [x 1 < x 2 ] [f (x 1 ) > f (x 2 )] Definicja 8 Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale (a, b), jeśli jest w tym przedziale rosnąca lub malejąca. Przykład 5 Funkcja f (x) = 1 x, x 0 maleje osobno w (, 0) oraz w (0, ), ale nie maleje w zbiorze (, 0) (0, ), gdyż np. dla x 1 = 1 < 1 = x 2 nie jest prawdą, że f (x 1 ) = 1 > 1 = f (x 2 ). Funkcja f (x) = tg x rośnie w każdym z przedziałów postaci ( π 2 + kπ, π 2 + kπ), k Z; nie rośnie jednak w sumie przedziałów tej postaci. Np. dla x 1 = 0, x 2 = 3 4 π mamy f (x 1 ) = 0 > 1 = f (x 2 ). K. Trąbka-Więcław Matematyka 17 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 18 / 54 Definicja 9 Funkcję f : X Y nazywamy parzystą, jeśli [ x X f (x) = f ( x)]. x X Definicja 10 Funkcję f : X Y nazywamy nieparzystą, jeśli [ x X f (x) = f ( x)]. x X Przykład 6 Zbadać parzystość funkcji: f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x 3, f 3 (x) = x + 5 x 3, f 5 (x) = x x 4 + x 2 + 1, f 6 (x) = 2x 3 x 2 x + 3 x. K. Trąbka-Więcław Matematyka 19 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 20 / 54 Definicja 11 Funkcję f : X Y nazywamy okresową, jeśli [x ± T X f (x + T ) = f (x)]. T >0 x X Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Najmniejszą z liczb T, o których mowa w powyższej definicji nazywamy okresem podstawowym funkcji f. Przykład 7 f (x) = sin x g(x) = ctg x X = R, T = 2π lub dowolna wielokrotność 2π X = R \ {kπ : k Z}, T = π lub dowolna wielokrotność π Funkcje elementarne Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje logarytmiczne, cyklometryczne) oraz wszystkie funkcje otrzymywane w wyniku skończenie wielu działań arytmetycznych lub złożeń tych funkcji. K. Trąbka-Więcław Matematyka 21 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 22 / 54 Funkcja kwadratowa Wielomian (funkcja wielomianowa) D f = R f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Jeśli a n 0, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia n. gdy n = 0, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia 0 lub funkcją stałą gdy n = 1, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia 1 lub funkcją liniową gdy n = 2, to mówimy, że f jest wielomianem stopnia 2 lub funkcją kwadratową postać ogólna: f (x) = ax 2 + bx + c, a 0 postać kanoniczna: ( f (x) = a x + b ) 2 2a 4a = a(x p)2 + q, gdzie p = b 2a, q = 4a są wpółrzędnymi wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f ; = b 2 4ac postać iloczynowa: f (x) = a(x x 1 )(x x 2 ), gdzie x 1 = b 2a, x 2 = b+ 2a, gdy 0 Jeśli x 1, x 2 są pierwiastkami równania kwadratowego ax 2 + bx + c = 0 (zatem a 0 i 0 ), to x 1 + x 2 = b a, x 1x 2 = c a (wzory Viete a) K. Trąbka-Więcław Matematyka 23 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 24 / 54

4 Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów f (x) = P(x) Q(x), przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. D f = R \ {x : Q(x) = 0} gdy Q(x) = c, c R \ {0}, to funkcja wymierna jest wielomianem gdy P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, ad bc 0, to funkcja wymierna jest postaci f (x) = ax + b cx + d i nazywamy ją funkcją homograficzną K. Trąbka-Więcław Matematyka 25 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 26 / 54 Własności funkcji homograficznej f (x) = ax+b cx+d, ad bc 0, c 0: Funkcję homograficzną można przedstawić w postaci f (x) = 1 c ( a + ) bc ad cx + d jest więc złożeniem funkcji liniowej i funkcji odwrotność. D f = R \ { d c }, R f = R \ { a c }, Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola (równoosiowa), której asymptotą pionową jest prosta x = d c, zaś poziomą prosta y = a c. Funkcja homograficzna jest różnowartościowa w całej swojej dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji y = f (x) = ax+b cx+d jest funkcja homograficzna g(y) = dy+b cy a. Funkcja homograficzna jest bądź malejąca bądź rosnąca w każdym z przedziałów (, d c ) oraz ( d c, ). To nie znaczy, że f jest malejąca (rosnąca) w całej dziedzinie! Dla przykładu funkcja f (x) = 1 x maleje osobno w (, 0) oraz w (0, ), ale nie maleje w zbiorze (, 0) (0, ), gdyż np. dla x 1 = 1 < 1 = x 2 nie jest prawdą, że f (x 1 ) = 1 > 1 = f (x 2 ). K. Trąbka-Więcław Matematyka 27 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 28 / 54 Funkcja wykładnicza f (x) = a x, a > 0, a 1 D f = R, R f = R + gdy a = e, to funkcję f (x) = e x nazywamy funkcją exponens, piszemy również f (x) = exp(x) K. Trąbka-Więcław Matematyka 29 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 30 / 54 Funkcja logarytmiczna Własności funkcji wykładniczej: Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa w całej dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji y = f (x) = a x, a > 0, a 1 jest funkcja g(y) = log a y. Jeśli a > 1, to funkcja f (x) = a x jest rosnąca w R. Jeśli 0 < a < 1, to funkcja f (x) = a x jest malejąca w R. Prosta y = 0 jest asymptotą poziomą funkcji wykładniczej. D f = R +, R f = R f (x) = log a x, a > 0, a 1 K. Trąbka-Więcław Matematyka 31 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 32 / 54

5 Własności funkcji logarytmicznej: Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa w całej dziedzinie. Funkcją odwrotną do funkcji y = f (x) = log a x, a > 0, a 1 jest funkcja g(y) = a y. Jeśli a > 1, to funkcja f (x) = log a x jest rosnąca w R +. Jeśli 0 < a < 1, to funkcja f (x) = log a x jest malejąca w R +. Prosta x = 0 jest asymptotą pionową funkcji logarytmicznej. K. Trąbka-Więcław Matematyka 33 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 34 / 54 Funkcje trygonometryczne W przypadku kąta ostrego funkcje trygonometryczne można określić jako proporcje boków w trójkącie prostokątnym. Funkcje sin, cos, tg, ctg definiuje się jako funkcje zmiennej rzeczywistej będącej łukową miarą kąta skierowanego. sin α = b r sin α = a c cos α = a r cos α = b c tg α = b a tg α = a b ctg α = a b ctg α = b a K. Trąbka-Więcław Matematyka 35 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 36 / 54 f (x) = sin x f (x) = tg x f (x) = cos x K. Trąbka-Więcław Matematyka 37 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 38 / 54 f (x) = ctg x K. Trąbka-Więcław Matematyka 39 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 40 / 54

6 Własności funkcji trygonometrycznych: sin cos dziedzina R R przeciwdziedzina [ 1, 1] [ 1, 1] Parzystość / N P Nieparzystość okresowość T = 2π T = 2π różnowartościowość w każdym z [ π 2 + kπ, π 2 + kπ] [kπ, π + kπ] przedziałów π ekstrema 2 + kπ kπ asymptoty pionowe - - K. Trąbka-Więcław Matematyka 41 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 42 / 54 tg ctg dziedzina R \ { π 2 + kπ} R \ {kπ} przeciwdziedzina R R Parzystość / N N Nieparzystość okresowość T = π T = π różnowartościowość w każdym z ( π 2 + kπ, π 2 + kπ) (kπ, π + kπ) przedziałów ekstrema - - asymptoty pionowe x = π 2 + kπ x = kπ k Z Funkcje trygonometryczne nie są różnowartościowe w swych dziedzinach. Nie posiadają więc funkcji odwrotnych. Jeżeli jednak zawęzimy te funkcje do odpowiednich przedziałów, to otrzymamy funkcje różnowartościowe. Tak uzyskane zawężenia funkcji trygonometrycznych mają już funkcje odwrotne zwane funkcjami cyklometrycznymi. funkcja dziedzina zawężona funkcja odwrotna sin [ π 2, π 2 ] arc sin cos [0, π] arc cos tg ( π 2, π 2 ) arc tg ctg (0, π) arc ctg K. Trąbka-Więcław Matematyka 43 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 44 / 54 Funkcje cyklometryczne Funkcje cyklometryczne są funkcjami odwrotnymi do odpowiednio zawężonych funkcji trygonometrycznych. Wartości funkcji cyklometrycznych są więc łukowymi miarami kątów odpowiadających w zawężonej dziedzinie wartościom stosownej funkcji trygonometrycznej. funkcja f D f R f funkcja D g R g odwrotna g sin [ π 2, π 2 ] [ 1, 1] arc sin [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] cos [0, π] [ 1, 1] arc cos [ 1, 1] [0, π] tg ( π 2, π 2 ) R arc tg R ( π 2, π 2 ) ctg (0, π) R arc ctg R (0, π) K. Trąbka-Więcław Matematyka 45 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 46 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 47 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 48 / 54

7 K. Trąbka-Więcław Matematyka 49 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 50 / 54 Logarytmy Dla a > 0, a 1 oraz b > 0 logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywamy liczbę c taką, że a c = b. log a b = c a c = b Własności wyrażeń logarytmicznych: 1. log a b + log a c = log a (bc) ( ) b 2. log a b log a c = log a c 3. log a a = 1 4. log a 1 = 0 5. log a b n = n log a b 6. log a n b = 1 n log a b K. Trąbka-Więcław Matematyka 51 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 52 / log a b = log d b log d a, d > 0, d 1 8. log a b = 1 log b a, b 1 9. log a (a b) = b 10. a log a b = b gdy a = 10, to piszemy log b lub lg b gdy a = e, to logarytm nazywamy naturalnym i piszemy wtedy ln b liczba e (liczba Eulera) e 2, K. Trąbka-Więcław Matematyka 53 / 54 K. Trąbka-Więcław Matematyka 54 / 54

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)

Bardziej szczegółowo

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze.

O funkcjach : mówimy również, że są określone na zbiorze o wartościach w zbiorze. 1. Definicja funkcji f:x->y. Definicja dziedziny, przeciwdziedziny, zbioru wartości. Przykłady. I definicja: Funkcją nazywamy relację, jeśli spełnia następujące warunki: 1) 2) 1,2 [(1 2)=> 1=2] Inaczej

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Matematyka I Mathematics I Kierunek: biotechnologia Rodzaj przedmiotu: Poziom przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich I stopnia specjalności Rodzaj zajęć: Liczba godzin/tydzień: wykład,

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 for Economists Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia

SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Zalecana znajomość matematyki odpowiadająca maturze na poziomie podstawowym Zał. nr do ZW WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Analiza matematyczna Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria zarządzania

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza matematyczna I Mathematical analysis I Kierunek: Kod przedmiotu: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Poziom kwalifikacji:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia I. Informacje ogólne Analiza matematyczna 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia

Bardziej szczegółowo

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1

Bardziej szczegółowo

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16

Zbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA MATHEMATICS. Forma studiów: studia niestacjonarne. Liczba godzin/zjazd: 3W E, 3Ćw. PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE semestr 1

MATEMATYKA MATHEMATICS. Forma studiów: studia niestacjonarne. Liczba godzin/zjazd: 3W E, 3Ćw. PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE semestr 1 Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: Podstawowy obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Inżynieria Materiałowa Poziom studiów: studia I stopnia MATEMATYKA MATHEMATICS Forma studiów: studia

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis

AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 AiRZ-0531 Analiza matematyczna Mathematical analysis A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA

PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA UNIWERSYTET PRZYRODNICZO HUMANISTYCZNY Instytut Matematyki i Fizyki Siedlce 2011 Dział matematyki Szczegółowy program Liczba godz. I. ELEMENTY

Bardziej szczegółowo

Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus. Ekonomia. I stopień ogólnoakademicki. studia stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki dr Mateusz Masternak

Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus. Ekonomia. I stopień ogólnoakademicki. studia stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki dr Mateusz Masternak KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej

Rozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Rozdział. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Rodzaje funkcji elementarnych Kiedy mamy do czynienia z pojęciem funkcji? Każdy używany samochód ma swój nr rejestracyjny. Oczywiście niektóre tablice rejestracyjne

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Kierunek Chemia. Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S BRAK

WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Kierunek Chemia. Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S BRAK WYDZIAŁ CHEMICZNY POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nazwa przedmiotu MATEMATYKA I Kod CH 1.1 Semestr 1 Godziny 3 3 Punkty ECTS 11 w c l p S Sposób zaliczenia E Katedra Centrum Nauczania Matematyki i Kształcenia na

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów)

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów) Przedmiot: Matematyka I Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów) Kod przedmiotu: E05_1_D Typ przedmiotu/modułu: obowiązkowy X obieralny Rok: pierwszy Semestr: pierwszy

Bardziej szczegółowo

7. Funkcje elementarne i ich własności.

7. Funkcje elementarne i ich własności. Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Sylabus - Matematyka

Sylabus - Matematyka Sylabus - Matematyka 1. Metryczka Nazwa Wydziału: Program kształcenia: Wydział Farmaceutyczny z Oddziałem Medycyny Laboratoryjnej Farmacja, jednolite studia magisterskie Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ MECHANICZNO-ENERGETYCZNY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA Nazwa w języku angielskim Calculus Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień

Bardziej szczegółowo

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU 9815Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Matematyka I i II - opis przedmiotu

Matematyka I i II - opis przedmiotu Matematyka I i II - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Matematyka I i II Kod przedmiotu Matematyka 02WBUD_pNadGenB11OM Wydział Kierunek Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia Uniwersytet Śląski w Katowicach str.. Nazwa kierunku informatyka 2. Cykl rozpoczęcia 207/208Z 3. Poziom kształcenia studia pierwszego stopnia (inżynierskie) 4. Profil kształcenia ogólnoakademicki 5. Forma

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty) Załącznik nr do Uchwały Senatu nr 30/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2019 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Rachunek różniczkowy i całkowy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste

Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek

Bardziej szczegółowo

Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza

Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza Pojęcie funkcji. Funkcje: liniowa, logarytmiczna, wykładnicza dr Mariusz Grządziel Wykład 1; 10 marca 2013 1 Matematyka w naukach przyrodniczych Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Matematyka I

Opis przedmiotu: Matematyka I 24.09.2013 Karta - Matematyka I Opis : Matematyka I Kod Nazwa Wersja TR.NIK102 Matematyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Pochodna funkcji jednej zmiennej Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )

Bardziej szczegółowo

Koordynator przedmiotu dr Artur Bryk, wykł., Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Koordynator przedmiotu dr Artur Bryk, wykł., Wydział Transportu Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.NIK102 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu

Matematyki i Nauk Informacyjnych, Zakład Procesów Stochastycznych i Matematyki Finansowej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu Kod przedmiotu TR.SIK103 Nazwa przedmiotu Matematyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r 0 0 0 + r;

Bardziej szczegółowo

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU

KARTA PRZEDMIOTU CELE PRZEDMIOTU WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr do ZW KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA.1 A Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis.1 A Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka I nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU

SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU SYLABUS/KARTA PRZEDMIOTU. NAZWA PRZEDMIOTU Analiza i modelowanie systemów. NAZWA JEDNOSTKI PROWADZĄCEJ PRZEDMIOT Instytut Politechniczny. STUDIA kierunek stopień tryb język status przedmiotu AiR I Stacjonarne/Niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

22 Pochodna funkcji definicja

22 Pochodna funkcji definicja 22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica

Bardziej szczegółowo

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1

MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Nr postępowania: ZP/366/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU

Nr postępowania: ZP/366/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/366/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Zakres materiału Z-1; sem. 1 1. Funkcje jednej zmiennej i ich własności: a) Wartość bezwzględna definicja, rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-476I Analiza matematyczna I Calculus I. Przedmiot podstawowy Obowiązkowy polski Semestr I

Z-LOG-476I Analiza matematyczna I Calculus I. Przedmiot podstawowy Obowiązkowy polski Semestr I KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 Z-LOG-476I Analiza matematyczna I Calculus I A. USYTUOWANIE MODUŁU W

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

SYLABUS. Cele zajęć z przedmiotu

SYLABUS. Cele zajęć z przedmiotu Załącznik nr 1 do Zarządzenia Rektora UR Nr 4/2012 z dnia 20.01.2012r. SYLABUS Nazwa przedmiotu Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot Analiza matematyczna Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, Instytut Fizyki

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania Rok akademicki 2016/17 UTP Bydgoszcz Definicja pochodnej Przy założeniu, że funkcja jest określona w otoczeniu punktu f (x x 0 jeśli istnieje

Bardziej szczegółowo

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne

Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Matematyka II nazwa przedmiotu SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom kształcenia Profil studiów Forma studiów Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW 33/01 Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna.1 Nazwa w języku angielskim: Mathematical analysis.1 Kierunek

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej . Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica

Bardziej szczegółowo

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2. 2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016/ /20 (skrajne daty)

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016/ /20 (skrajne daty) SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016/17 2019/20 (skrajne daty) 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Analiza matematyczna Kod przedmiotu/ modułu* Wydział (nazwa jednostki

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność

Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus)

Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Nazwa Przedmiotu: Analiza matematyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: podstawowy Rok studiów, semestr: rok pierwszy, semestr I

Bardziej szczegółowo