Indukcja matematyczna

Transkrypt

1 Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / /R). Zadanie. Obliczyć (a) N n= ( + n); (b) M (c) N k= n= (n + ) M ( k (d) n l= sl. k+) ; k= k; Zadanie. Które z następujących własności są prawdziwe? (a) n i= a i = n i= a n i; (b) n j= b i = nb i. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie 4. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n wyrażenie n n jest podzielne przez 6. (Rozwiązać zadanie na dwa sposoby: korzystając z zasady indukcji matematycznej oraz jakimś innym sposobem). Zadanie 5. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność Zadanie 6. Spróbować udowodnić, że 6n + 6 < n? (a) n i= i = n ; (b) dla dowolnej liczby naturalnej 5n + jest podzielne przez 5. Zadanie 7. Stosując indukcję matematyczną wykazać, że (a) n i= i = n ; (b) n k= k (k + ) = n(n+)(n+7) 6 ; (c) n! > n dla n > ; (d) n i= i > n. Zadanie 8. Udowodnij, stosując zasadę indukcji matematycznej, że liczba n + ( 4) n + dzieli się przez 0 dla każdego n naturalnego.

2 Indukcja matematyczna Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Zapisać za pomocą symboli i następujące wyrażenia (a) suma liczb naturalnych mniejsza lub równa od n N; (b) x n + ( ) n n x n ( ) n x + ( n ) x +. Zadanie D.. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia d(n) (liczba dzielników liczby naturalnej n). Zadanie D.. Które z następujących własności są prawdziwe? (a) n i= a i = n i=0 a n i; (b) n i= a i = [n/] j= a j + [(n )/] k=0 a k+ ; (c) n l= b l = n+ l= b l ; (d) m h=0 (a h + b h ) = m j=0 a j + m g=0 b g. Zadanie D.4. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko n + n + < n? Zadanie D.5. Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówność n < n? Zadanie D.6. Stosując indukcję matematyczną wykazać, że (a) n i= i = n(n+)(n+) 6 ; (b) (a + b) n = n ( n k=0 k) a k b n k ; (c) n+ > 5n dla n ; (d) wielomian x n nx n + n jest podzielny przez x (w jaki inny sposób można rozwiązać to zadanie?); (e) n i=0 ai = an+ a dla dowolnego n N, gdzie a jest liczbą rzeczywistą ; (f) n > n + 4 dla n ; n (g) 4k = n(n ); (h) (i) k= n (p) = n (n + ) ; p= m s (s + ) = s= m(m + )(m + )(m + 5). Zadanie D.7. Dany jest ciąg {a n } określony wzorem: a = 4, a n+ = a n n + 4. Udowodnij, że a n = n + n dla n N. Zadanie D.8. Udowodnić, że dla ciągu określonego rekurencyjnie zachodzi wzór a =, a n+ = a n n +, n > a n = n, n. n! Zadanie D.9. Uzasadnić (korzystając z zasady indukcji matematycznej), że (a) 4n+ + jest podzielne przez 0; (b) n+ + n+ jest podzielne przez 7; (c) 6 n + n+ + n jest podzielna przez.

3 Indukcja matematyczna Zadanie D.0. Niech ciąg {f n } dany będzie wzorem: f n+ = f n + f n+, f 0 = 0, f =. Ciąg {f n } nazywa się ciągiem Fibonacciego. Uzasadnić, że (a) n k=0 f k ( = f n+ ; (b) f n = + ) n ( ) n. 5 Zadanie D.. Niech {f n } będzie ciągiem Fibonacciego określonym w zadaniu D.0. Uzasadnić, że (a) n k=0 f k = f nf n+ ; (b) n k=0 f k+ = f n+ ; (c) n k=0 f k = f n+. Z powyższych równości wyciągnąć wywnioskować, że Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko n f k = f n+. k=0

4 Funkcje trygonometryczne Zadanie. Znajdź pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta β, wiedząc, że Zadanie. Wyznacz kąt α wiedząc, że Zadanie. Oblicz (a) sin 9π 6. (b) tg π. (c) cos( 5π 9π 6 ) + sin 6. Zadanie 4. Rozwiąż równania: tg β = 5. sin α cos α = ( 4, α 0, π ). Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) sin x + sin x = 0; (b) cos x + sin x = ; (c) sin 4 x + sin x + = 0; (d) sin x sin x = 0. Zadanie 5. Sprawdź tożsamości trygonometryczne (a) (b) tg cos x sin x cos( x+sin x = cos( x π π 4 + x ) tg tg x; 4 x ) = tg x. Zadanie 6. Uzasadnij, że wyrażenie nie jest tożsamością. cos x sin x cos x = tg x + tg x Zadanie 7. Wyprowadź wzory na sin α, cos α ze wzorów na sinus i cosinus sumy kątów. Zadanie 8. Rozwiąż nierówności trygonometryczne (a) cos x + tg x + sin x; (b) sin x sin x. Zadanie 9. Wyznacz zbiór wartości funkcji f danej wzorem f(x) = 4 sin x 4 sin x + 5. Zadanie 0. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (sin x + cos x). Zadanie. Dane jest równanie z niewiadomą x: x cos α + x sin α = cos α. Wykaż, że jeśli α jest kątem ostrym, to równanie ma dwa rozwiązania. Znajdź te wartości parametru α, dla których dane równanie ma dwa rozwiązania takie, że suma ich odwrotności jest większa od.

5 Funkcje trygonometryczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Oblicz (a) sin 75 cos 75. (b) 8 sin π tg 5π. Zadanie D.. Rozwiąż równania: (a) tg x = sin x; (b) sin x + cos x = ; (c) sin x cos x + tan x =,5 sin x. Zadanie D.. Sprawdź tożsamości trygonometryczne (a) sin ( 7π x) + cos x sin x = (cos x sin x) ; (b) sin 7x tg,5x + cos 7x =. Zadanie D.4. Rozwiąż nierówności trygonometryczne Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) 8 sin x 4 sin x sin x + > 0; (b) sin x > cos x. Zadanie D.5. Niech Wyznacz A B. A = Zadanie D.6. Naszkicuj wykres funkcji (a) cos x sin x; (b) f(x) = (cos x) cos x. { x [0, 4π]; sin x > } {, B = x [0, ]; cos x < }. Zadanie D.7. Zbadaj dla jakich parametrów m istnieje rozwiązanie równania sin x + cos x = m.

6 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Zadanie. Omów podstawowe własności funkcji wykładniczej (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe). Zadanie. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) ( ) x = 9 ; (b) 5 x 5 x = 5 x+ 5 ; (c) cos x = cos x ; (d) ( 8 9) 8x 9 ( 9 8) 9x 8 ; (e) 7 x 7 x+ > 4; (f) x+ x x. Zadanie. Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 5 x 0 5 x + 9. Zadanie 4. Omów podstawowe własności funkcji logarytmicznej (dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność, miejsca zerowe). Zadanie 5. Oblicz Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) log 4 6; (b) 9 log 5 ; (c) log 5 log 5 7 log 7 9. Zadanie 6. Oblicz log ab wiedząc, że log 0a = 00 i log 0 b = 00. Zadanie 7. Sporządź wykresy funkcji (a) log x + (b) log x Zadanie 8. Czym się różni wykres funkcji y = log x 4 od wykresu funkcji y = 4 log x? Zadanie 9. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) log x = ; (b) 9 log (p ) = 4; (c) ln(5x e) = ; (d) x log log x = 98; ( (e) log log5 x ) 0. Zadanie 0. Znajdź wszystkie liczby rzeczywiste a spełniające równanie log a (a + 7) =. Zadanie. Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór {(x, y) : log x y = }. Zadanie. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x) = log (8x x ). Zadanie. Dla jakiej wartości x poniższy ciąg jest ciągiem arytmetycznym? log, log( x ), log( x + 0) Zadanie 4. Dla jakich wartości parametrów a i b dziedziną funkcji f(x) = log( x + ax + b) jest przedział (, 4)? Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

7 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Rozwiąż następujące równości i nierówności (a) 4 x = (x+) ; (b) (0, 5) x ( ( ) x+ = (c) ( ) x 9 ; x (d) log x+ = ; (e) 8 log x x x ; (f) log tg x <, Zadanie D.. Oblicz ) x; 4 x [ π, π]. (a) log 0, 00 + log 5 5; (b) 6 log log +. Zadanie D.. Rozwiąż równanie Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko log 5 ( log4 (log x) ) = 0. Zadanie D.4. Naszkicuj wykres funkcji f : [, ] R danej wzorem f(x) = ( ) x+ x. Zadanie D.5. Naszkicuj wykres i podaj zbiór wartości funkcji Zadanie D.6. Sporządź wykresy funkcji (a) log x log x ; (b) log ( x). f(x) = log (x 5x + 6) log (x ). Zadanie D.7. Liczby x i x są różnymi rozwiązaniami równania mx mx + = 0. Dla jakich wartości m spełniona jest równość log x + log x >? Zadanie D.8. Dane jest równanie x + x + + log m = 0. Funkcja f(x) = x x określona jest na zbiorze tych m, dla których dane równanie ma różne pierwiastki x i x. Wyznacz dziedzinę funkcji f i określ zbiór jej wartości.

8 Równania i nierówności Zadanie. Rozwiąż równanie: x 4 = x. Zadanie. Rozwiąż nierówność: 4x + x x. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie. Rozwiąż układ równań: (x + 5) (y + ) = (x + y) (a) x 5( + y) = 4(x + 8) x y + 4 = x (b),5x y x = Zadanie 4. Rozwiąż układ równań i przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań w zależności od parametru: x ay = (a) x + ay = 9 ax + y = a (b) x + ay = a Zadanie 5. Rozwiąż układ równań: x + y = (a) x y = 5 x y = 0 (b) x 4x + (y )(y ) = x + y = (c) ( x ) + (y ) = 4 Zadanie 6. Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań układu: y x < x + y 6 < 0 y = x + Zadanie 7. Rozwiąż układ równań: x y + z = 7 (a) x y = 5 x z = x + y 6z = 8 (b) x + y + 7z = x 4y + z = 0

9 Równania i nierówności Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x + x + = 4x ; (b) x x + =. Zadanie D.. Rozwiąż nierówność: (a) x + x x; (b) x + x +. Zadania do samodzielnego rozwiązania Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.. Rozwiąż układ równań: x y (a) = x y 4 x+y = 4, 5 + y ( ) y + x 5 (x + ) =, (b) x y + 8 = [ ( )] 4 x + y x (c) = y x+6 + (y ) = 0 Zadanie D.4. Rozwiąż układ równań i przeprowadź dyskusję istnienia i liczby rozwiązań w zależności od parametru: 4x + (a + )y = a (a) x y = x + ay = (b) x + y = b Zadanie D.5. Dla jakich wartości parametru k rozwiązanie układu x y = k x y = k jest: (a) parą liczb ujemnych, (b) parą liczb dodatnich, (c) parą liczb o przeciwnych znakach. Zadanie D.6. Rozwiąż układ równań: y + x = 0 (a) y x = 0 x y = (b) x + y = + y x y = (c) ( x ) + ( y ) = Zadanie D.7. Przedstaw ilustrację graficzną zbioru rozwiązań układu: x + y 0 y + 5x 0 5x y 0 0

10 Równania i nierówności Zadanie D.8. Rozwiąż układ równań: m + n = (a) m + k = n + 4k = 0 (x ) + (y ) + (z 7) = 8 (b) x + y + 7z = 0 x y = 0 x y z = 4 (c) x + y 5z = x y + z = 0 Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.9. Wiedząc, że układ równań ay + bx = c cx + az = b bz + cy = a ma dokładnie jedno rozwiązanie wykaż, że abc 0 i znajdź to rozwiązanie.

11 Funkcja kwadratowa Zadanie. Wyznacz funkcję kwadratową f(x) = ax + bx + c, dla której (a) wykres posiada wierzchołek w punkcie P (, 4) i przechodzi przez punkt A(, 0) (b) wykres przechodzi przez punkt A(, 8) i jest styczny do osi OX w punkcie B(4, 0) (c) wykres przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, 9) i jest styczny do osi OX (d) wykres jest symetryczny względem osi OY oraz przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, ) (e) suma pierwiastków wynosi 8, suma odwrotności pierwiastków jest równa / oraz wykres przechodzi przez punkt A(0, 4) (f) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x + x = 5, x x =. Zadanie. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f(x) = x + 4x + dla x 0, (b) f(x) = x + 4 dla x,. Zadanie. Rozwiąż równanie: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) x 5 x + 4 = 0 (b) 4 x + = x (c) x x = a w zależności od parametru a. Zadanie 4. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 6 > 0 (b) x > x. Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru m (a) liczba zawiera się między różnymi rozwiązaniami równania (m 4)x 4x + m = 0 (b) równanie x = m 4m ma dwa pierwiastki dodatnie (c) wartość najmniejsza funkcji f(x) = x x + m m + 4 należy do przedziału, 4 (d) nierówność (m )x m x + > 0 jest spełniona dla każdego x? Zadanie 6. Funkcja f dana jest wzorem f(x) = x 6x + 9(x ). Narysuj wykres funkcji f. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m. Zadanie 7. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x + x + m m = 0, ma dwa różne pierwiastki takie, że suma ich sześcianów jest równa 9. Zadanie 8. Dla jakich wartości parametru x funkcja f(x) = x kx + k + ma dwa miejsca zerowe większe od? Zadanie 9. Dla jakich wartości parametru m zbiór rozwiązań nierówności zawiera się w przedziale (, )? x mx m + < 0 Zadanie 0. Znajdź te wartości parametru m, dla których liczba nie należy do zbioru rozwiązań nierówności x + (m + )x 6m 8m + 44 > 0. Zadanie. Dla jakich wartości m funkcja f(x) = (m 4)x 4x+m ma dwa miejsca zerowe, z których jedno jest mniejsze od a drugie większe od? Zadanie. Suma dwóch liczb jest równa 6. Znajdź te liczby, jeśli wiadomo, że suma podwojonego kwadratu jednej z nich i kwadratu drugiej jest najmniejsza z możliwych. Zadanie. Znajdź tę wartość parametru m, dla której iloczyn pierwiastków równania x mx + m 4m + = 0 jest najmniejszy.

12 Funkcja kwadratowa Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Wyznacz funkcję kwadratową f(x) = ax + bx + c, dla której (a) wykres przechodzi przez punkty O(0, 0) i A(, ) i jest styczny do prostej y = 0 (b) wykres jest symetryczny względem początku układu i przechodzi przez punkty A(0, ) i B(, ) (c) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x x =, x x = (d) a = oraz miejsca zerowe x, x spełniają warunki x + x =, + = 5. x x Zadanie D.. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji (a) f(x) = x 4x + dla x 0,. Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x 9 + x 4 = 5 (b) x + x(x 4) = ( + x). Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie D.4. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 4 > x (b) x <. Zadanie D.5. Dla jakich wartości parametru m (a) pierwiastki równania x + (m )x + m + = 0 spełniają warunek x + x > (b) trójmian x mx + przyjmuje wartości ujemne dla x (, )? Zadanie D.6. Suma wszystkich współczynników równania kwadratowego jest równa zero. Wykaż, że każde równanie kwadratowe o tej własności ma co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste. Zadanie D.7. Funkcja f dana jest wzorem: f(x) = x x +. Uzasadnij, że funkcja f ma dwa dodatnie miejsca zerowe. Zadanie D.8. Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja: ma co najmniej jedno miejsce zerowe. f(x) = (x a)(x b) + (x b)(x c) + (x c)(x a) Zadanie D.9. Pierwiastkami równania x + px + p = 0 są dwie różne liczby x, x. Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru p, przy której wyrażenie (x + x ) (x + x ) osiąga wartość. Zadanie D.0. Wyznacz dziedzinę i naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem f(m) = x x, gdzie x, x są różnymi pierwiastkami równania (m + )x (m + ) x + m + = 0, w którym m R \ {}. Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru k funkcja f(x) = (k + )x kx + k nie przyjmuje wartości dodatnich? Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru k liczby x = i x = należą do zbioru rozwiązań nierówności x + k k x + k > 0? Zadanie D.. Dla jakich wartości parametru m równanie x x m + m pierwiastki? = 0 ma dwa Zadanie D.4. Rozwiąż równanie x = x +.

13 Funkcja kwadratowa Zadanie D.5. Rozwiąż równanie x x = x +. Zadanie D.6. Wyznacz te wartości m, dla których równanie (k + )x x + k = 0 ma dwa różne rozwiązania należące do przedziału (0, ). Zadanie D.7. Wyznacz tę wartość parametru k, dla której suma kwadratów pierwiastków równania x + kx + k 6k = 0 jest największa z możliwych. Zadanie D.8. Dla jakich wartości parametru a do zbioru rozwiązań nierówności x +(a+)x a < 0 należą tylko ujemne liczby? Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko

14 Wielomiany i funkcje wymierne Repetytorium z matematyki elementarnej - 00Z Rozdział 7 wielomiany i funkcje wymierne Zadanie. Dla jakich wartości parametrów a, b, p, q następujące wielomiany zmiennej x są równe: W (x) = (ax + b)(x x + 4) i V (x) = (x + px + q)(x )? Zadanie. Wyznacz wielomian czwartego stopnia, którego podwójnym pierwiastkiem jest liczba, a pojedynczym liczba i który przy dzieleniu przez x daje resztę 4. Zadanie. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) x 4 9x + x 6x + przez x 5; (b) x 5 + 8x 4 + 7x + x + 5 przez x + 7x + 5x +. Zadanie 4. Rozwiąż równanie: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) x 6x + x 6 = 0; (b) x 6 9x + 8 = 0 (c) x 4 + x + x = 0. Zadanie 5. Dla jakich wartości współczynników a i b wielomian P (x) = x 5 +ax+b jest podzielny przez x? Zadanie 6. Dla jakiej wartości parametru m przy dzieleniu wielomianu x + mx 4x + przez x otrzymujemy resztę 6? Zadanie 7. Przy dzieleniu wielomianu P (x) przez x otrzymujemy resztę, przy dzieleniu przez x resztę 4. Znajdź resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian x x +. Zadanie 8. Rozwiąż nierówność: (a) x 5x + 0x < 0; (b) x 5 + x 4 9x x 0x 4 < 0; (c) x 4 x 5 x. Zadanie 9. Rozwiąż równania i nierówności (a) x 4x x 7x+0 = 0; (b) x x 4x+6 x+ = 0; (c) x x x+ 4x ; (d) x 5x+4 x 4 (e) ; x +8 x > x. Zadanie 0. Dla jakich wartości parametru m (a) równanie x x = m ma dokładnie jeden pierwiastek (b) równanie x x = m ma dwa pierwiastki rzeczywiste (c) równanie x(+x ) x = m nie ma pierwiastków x y = m (d) układ równań ma rozwiązanie? y mx = 0

15 Wielomiany i funkcje wymierne Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Wykonać następujące dzielenia z resztą : (a) x 4 + x + x + x + przez x + x + 4 (b) x 5 + 4x 4 + x + przez x + x + 4; (c) x 5 + x 4 + 5x + przez x +. Zadanie D.. Rozwiąż równanie: (a) x 4 + 4x 5x 6x + 84 = 0; (b) x 5 4x 4 6x + 6x + 9x + = 0. Zadanie D.. Dany jest wielomian W (x) = x 4 x + x + mx + zmiennej x z parametrem m R. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których wielomian W jest podzielny przez trójmian Q(x) = x x +. Zadanie D.4. Rozwiąż nierówność: Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) (x 5)(x 4)(x + 8) 0; (b) x 4 x ; (c) x x + x +. Zadanie D.5. Rozwiąż równania i nierówności ( ) ( ) (a) x + x 9 x + x + 0 = 0 (b) x = 6 x+ 4x (c) x + x > x x+ (d) (x+) (x +x+) (4 x)x 0 4 (e) x 5x+6 < 0 x. Zadanie D.6. Reszta z dzielenia wielomianu W przez wielomian Q(x) = x 4 + x x jest równa x + x + x +. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x. Zadanie D.7. Dany jest wielomian postaci x + ax + bx + 6r, gdzie r jest różnicą ciągu arytmetycznego, którego pierwsze trzy wyrazy są pierwiastkami tego wielomianu. Drugi wyraz tego ciągu jest równy. Oblicz pierwiastki tego wielomianu. Zadanie D.8. Wielomiany W (x) = x ax + 4 oraz V (x) = x + x a mają wspólny pierwiastek. Oblicz a oraz pierwiastki tych wielomianów. Zadanie D.9. Udowodnij, że jeżeli reszta z dzielenia wielomianu P (x) = x + 4x + ax + b przez wielomian Q(x) = x + x jest wielomianem stałym, to a = 7. Zadanie D.0. Zbadaj liczbę pierwiastków wielomianu x 4 +( m)x +m m = 0 w zależności od parametru m. Zadanie D.. Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x + wynosi, a przy dzieleniu przez x reszta wynosi. Jaka jest reszta z dzielenia tego wielomianu przez x + x 6?

16 Podstawowe własności funkcji Zadanie. Zbadaj parzystość i nieparzystość następujących funkcji (a) f(x) = x +x x (b) f(x) = cos x + + x (c) f(x) = n ( ) k k+ xk+ k=0 0, x < (d) f(x) =, x x Zadanie. Wykaż, że dla dowolnej funkcji f funkcja g(x) = f(x)+f( x) jest parzysta, a funkcja h(x) = f(x) f( x) jest nieparzysta. Następnie pokaż, że każda funkcja jest sumą funkcji parzystej i nieparzystej. Zadanie. Zbadaj monotoniczność następujących funkcji Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko (a) f(x) = 4 x + x, x 0 (b) f(x) = x, x > 0 (c) f(x) = x (d) f(x) = x Zadanie 4. Zbadaj okresowość następujących funkcji (a) f(x) = [x], gdzie [x] oznacza największą liczbę całkowitą mniejszą niż x (b) f(x) = [x] x (c) f(x) = x [x ] (d) f(x) = sin x + cos x (e) f(x) = + sin x (f) f(x) = tg πx Zadanie 5. Wykaż, że funkcja x +x jest odwrotna względem siebie. Sporządź wykres. Zadanie 6. Sprawdź różnowartościowość następujących funkcji i wyznacz funkcję odwrotną, o ile to możliwe (a) f(x) = x +x (b) f(x) = x x x, x (c) f(x) = x, x > Zadanie 7. Narysuj wykres funkcji (a) x + 4x (b) x + 8x 6 (c) x 5 (d) x x + (e) x +x (f) sin(x + ) (g) sin((x + )) Zadanie 8. Opisz podstawowe własności funkcji f(x) = ax + b w zależności od parametrów a, b R. Zadanie 9. Znaleźć funkcję, której wykres jest prostą prostopadłą (równoległą) do prostej y x + 0 = 0 i przechodzącą przez punkt (, ). Zadanie 0. Zilustruj zbiór liczb x, y R takich, że x + y =.

17 Elementy geometrii Zadanie. Napisz równanie okręgu stycznego do dwóch prostych o równaniach: i przechodzącego przez punkt P = (, 0). x + y = 0, x + y + = 0 Zadanie. Wyznacz liczbę punktów wspólnych okręgu o równaniu x + y + x 6y + 4 = 0 z prostą o równaniu y = x + m w zależności od wartości parametru m. Zadanie. Wyznacz równanie stycznych do okręgu x + y + 4x + = 0 (a) przechodzących przez początek układu współrzędnych, (b) równoległych do prostej y = x 7. Zadanie 4. Wyznacz pole trójkąta o wierzchołkach A = (0, x), B = (x, ), C = (, ) jako funkcję f zmiennej x i naszkicuj jej wykres. Wyznacz liczbę rozwiązań równania f( x ) = m w zależności od wartości parametru m R. Zadanie 5. Dane są punkty A = (, ) i B = (5, 4). Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij. Repetytorium z matematyki elementarnej, 0 Paweł Mleczko Zadanie 6. Dany jest okrąg i prosta odpowiednio o równaniach: x + y + x 4y 5 = 0, x + y 9 = 0 Znajdź najmniejszą z odległości AB, gdzie A jest punktem na okręgu, a B punktem na prostej. Zadanie 7. Przez środek okręgu prowadzimy dwie różne średnice AC i BD. Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest prostokątem. Zadanie 8. Rozważmy dwa okręgi współśrodkowe: jeden o promieniu, drugi o promieniu 5. Znajdź długość odcinka stycznej do mniejszego okręgu, zawartego w większym okręgu. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie D.. Znajdź równanie okręgu o środku w punkcie S = (, ), wiedząc, że:. początek układu współrzędnych należy do tego okręgu;. do okręgu należy punkt A = (, );. okrąg jest styczny do prostej x =. Zadanie D.. Okrąg, którego środek należy do osi OY i promień ma długość r = 5 jest styczny do prostej o równaniu x + y = 0. Napisz równanie tego okręgu. Zadanie D.. Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A = (, ), B = (0, ) i C = (4, ). Zadanie D.4. Okrąg o równaniu (x ) + (y + ) = 4 jest opisany na pewnym trójkącie równobocznym ABC. Znajdź równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zadanie D.5. Promień okręgu wpisanego w romb ABCD jest równy r =, a współrzędne końców przekątnej AC są następujące: A = (, ), C = (4, ). Oblicz współrzędne punktów B i D. Zadanie D.6. Dany jest okrąg o równaniu: x + y x y + = 0 i prosta x y = 0. Oblicz długość cięciwy tego okręgu zawartej w danej prostej i jej odległość od środka. Zadanie D.7. W trójkąt równoramienny o obwodzie 40 wpisano okrąg, którego promień jest równy 5 wysokości poprowadzonej do podstawy. Obliczyć długości boków tego trójkąta.