Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

Transkrypt

1 Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej x; n N najwyższy rząd pochodnej funkcji y(x); F funkcja określona na pewnym zbiorze D R n+2 o wartościach w R. Definicja 2. Całką szczególną (ozn.cs, in. rozwiązaniem szczególnym) równania różniczkowego (1) na przedziale X nazywamy każdą funkcję spełniającą to równanie w każdym punkcie przedziału X. Definicja 3. Warunkiem początkowym dla równania (1) nazywamy układ równości y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 (2) gdzie liczby x 0, y 0, y 1,..., y n 1, zwane wartościami początkowymi, są dane. Definicja 4. Całka ogólna (ozn. CO) równania różniczkowego (1) jest to tak duża rodzina rozwiązań szczególnych tego równania, aby dla każdych wartości początkowych dla których istnieje rozwiązanie istniało rozwiązanie z tej rodziny. Uwaga 1. Rozwiązać równanie różniczkowe oznacza znaleźć jego całkę ogólną. Uwaga 2. Całka ogólna nie musi zawierać wszystkich całek szczególnych tego równania. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu dy dx = f(x) h(y) gdzie f - funkcja określona i ciągła na przedziale (a ; b), zaś h - funkcja określona i ciągła na przedziale (c ; d), h(y) 0 dla y (c ; d), nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych. Twierdzenie 1. Wzór h(y)dy = f(x)dx + C, gdzie C R, a całki po obu stronach oznaczają dowolnie ustalone funkcje pierwotne funkcji h i f, określa całką ogólną równania dy dx = f(x) h(y), która przy założeniach jak wyżej zawiera wszystkie rozwiązania tego równania.

2 Równania różniczkowe liniowe rzędu n 1 Niech n 1 będzie dowolną liczbą naturalną. Równanie różniczkowe y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = f(x) (3) gdzie p k, k = 0, 1,..., n 1 oraz f są to dane funkcje ciągłe na pewnym przedziale, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu n. Jeżeli wszystkie funkcje p k, k = 0, 1,..., n 1, są stałe na tym przedziale, to jest to równanie o stałych współczynnikach. Jeżeli f(x) 0, to równanie nazywamy jednorodnym(rj), a w przeciwnym przypadku niejednorodnym(rn). Metoda rozwiązania RN wiedzie przez rozwiązanie RJ, które otrzymujemy z RN zastępując w nim funkcję f przez funkcję tożsamościowo równą zeru y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (4) Wyznaczenie CO równania liniowego pierwszego rzędu Równanie liniowe jednorodne pierwszego rzędu ma postać y + p(x)y = 0 Funkcja y 0 jest CS tego równania, a dla y 0 równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. CO tego równania ma postać y(x) = C exp( p(x)dx), C R gdzie p(x)dx = P (x) oznacza dowolnie ustaloną funkcję pierwotną funkcji p na danym przedziale. Układ podstawowy całek Definicja 5. Układ całek szczególnych y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) równania (4) w przedziale X nazywamy układem podstawowym całek (ozn.upc) tego równania, jeśli wyznacznik (wrońskian) W (x) = y 1 (x) y 2 (x)... y n (x) y 1(x) y 2(x)... y n(x) y (n 1) 1 (x) y (n 1) 2 (x)... y (n 1) (x) n 0 Twierdzenie 2. Jeżeli funkcje y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x) tworzą UPC równania (4), to n y = C k y k (x) k=1 gdzie C k R, k = 1,..., n, jest CO tego równania.

3 Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego o stałych współczynnikach Poszukujemy rozwiązań RJ y (n) + p n 1 y (n 1) p 1 y + p 0 y = 0 (5) p k R, k = 0, 1,..., n 1, w postaci funkcji wykładniczej e rx, gdzie r jest liczbą zespoloną. Wstawiając tę funkcję i jej kolejne pochodne do równania (5) otrzymujemy równanie algebraiczne, zwane równaniem charakterystycznym, r n + p n 1 r n p 1 r + p 0 = 0. (6) n = 1. Równanie liniowe pierwszego rzędu jednorodne o stałych współczynnikach ma postać y + py = 0, p R a odpowiadające mu równanie charakterystyczne jest równaniem pierwszego stopnia r + p = 0. (7) Funkcja y = e px jest CS równania (7), zatem CO tego równania przedstawia wzór y = Ce px, C R Wyznaczanie układu podstawowego całek dla równania liniowego drugiego rzędu Równanie liniowe jednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach ma postać y + py + qy = 0 (8) a odpowiadające mu równanie charakterystyczne jest równaniem kwadratowym r 2 + pr + q = 0. (9) 1. > 0. Równanie (9) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r 1 i r 2. Funkcje e r 1x, e r 2x tworzą układ podstawowy całek równania (8), a CO tego równania przedstawia wzór y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x, C 1, C 2 R. 2. = 0. Równanie (9) ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r. Funkcje e rx, xe rx tworzą układ podstawowy całek równania (8), a CO tego równania przedstawia wzór y = (C 1 + C 2 x) e rx, C 1, C 2 R. 3. < 0. Równanie (9) ma dwa różne pierwiastki zespolone sprzężone r 1 = α+jβ, r 2 = α jβ. Funkcje y 1 (x) = e αx cos βx, y 2 (x) = e αx sin βx tworzą układ podstawowy całek równania (8), a CO tego równania przedstawia wzór y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx), C 1, C 2 R.

4 Wyznaczanie CO równania niejednorodnego Dla znalezienia CORN stosujemy metodę przewidywań lub metodę uzmienniania stałych (metoda uniwersalna). Wykorzystujemy przy tym twierdzenie: Twierdzenie. CORN=CORJ+CSRN Metoda przewidywań Metodę przewidywań stosujemy, gdy 1. dla wszystkich k =0, 1,..., n 1 funkcje p k (x) p k, p k R, 2. funkcja f jest postaci f(x) = e αx (W 1 (x) cos βx + W 2 (x) sin βx), gdzie W i (x), i = 1, 2 są wielomianami zmiennej x. CSRN przewidujemy w postaci: przy czym x k e αx (V 1 (x) cos βx + V 2 (x) sin βx), i) V i (x), i = 1, 2 są wielomianami zmiennej x i st(v 1 ) = st(v 2 ) = max( st(w 1 ),st(w 2 )), ii) liczba całkowita k 0 jest równa krotności pierwiastka α + jβ w równaniu charakterystycznym (6). Metoda uzmienniania stałej dla n = 1 CO równania y + p(x)y = 0 określona jest wzorem: y = C e P (x), C R P (x) dowolnie ustalona funkcja pierwotna funkcji p(x). Metoda uzmienniania stałej polega na tym, że we wzorze na całkę ogólną równania jednorodnego stałą C zastępujemy taką nieznaną funkcją C(x), aby funkcja C(x) e P (x) była rozwiązaniem równania y + p(x)y = f(x) (10) Zakładając, że taka funkcja C(x) istnieje, otrzymujemy po wstawieniu do równania (10) (f(x) C(x) = ) e P (x) dx + C 1, gdzie C 1 R CORN równania (10) określona jest wzorem: y(x) = C 1 e P (x) + e P (x) (f(x) e P (x) ) dx, C 1 R całka występująca we wzorze rozumiana jest jako dowolna, lecz ustalona funkcja pierwotna.

5 Metoda uzmienniania stałych dla n = 2 CO równania y + p(x)y + q(x)y = 0 określona jest wzorem: y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), C 1, C 2 R, {y 1, y 2 } = UP C Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych C 1, C 2 we wzorze na CORJ funkcjami C 1 (x), C 2 (x) takimi, żeby funkcja C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x) była rozwiązaniem równania y + p(x)y + q(x)y = f(x) (11) Pochodne C 1(x), C 2(x) wyznaczamy z układu równań { C 1 (x)y 1 (x) + C 2(x)y 2 (x) = 0 C 1(x)y 1(x) + C 2(x)y 2(x) = f(x) C 1 (x) = C 1 (x) = 0 y 2 (x) f(x) y 2(x) W (x) y 1 (x) 0 y 1(x) f(x) W (x) dx + C 1, C 1 R, dx + C 2, C 2 R. W (x) oznacza wrońskian; całki dowolnie ustalone funkcje pierwotne CORN równania (11) określona jest wzorem y = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x).