Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Transkrypt

1 Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

2 Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale I, nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu n. Zaś równanie y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu n.

3 Równania różniczkowe liniowe rzędu II Twierdzenie 4. Niech a 0 (x), a 1 (x) i f(x) będą funkcjami ciągłymi na przedziale I. Wtedy dla każdego x o I zagadnienie początkowe y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x), y(x 0 )=y 0, y (x0)=α 1 ma jednoznaczne rozwiązanie na przedziale I.

4 Równania różniczkowe liniowe rzędu II Twierdzenie 5. Zbiór wszystkich rozwiązań równania liniowego jednorodnego rzędu 2 (n) y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 na przedziale I tworzy przestrzeń wektorową wymiaru 2 (n).

5 Równania różniczkowe liniowe rzędu II Twierdzenie 6. Rozwiązania y 1 i y 2 są liniowo niezależne na przedziale I wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x I spełniony jest warunek: 0. ) ( ) ( ) ( ) ( x y x y x y x y

6 Równania różniczkowe liniowe rzędu II Twierdzenie 7. Rozwiązanie ogólne równania y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 jest kombinacją liniowo niezależnych rozwiązań y 1 i y 2 y = C 1 y 1 + C 2 y 2.

7 Równania różniczkowe liniowe rzędu II Twierdzenie 8. Niech y 1 i y 2 będą liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania jednorodnego y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 na przedziale I oraz niech y=y s będzie rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x). Wtedy każde rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y s.

8 Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach może być zapisane w postaci y + a 1 y + a 0 y = 0 gdzie a 0, a 1 są dowolnymi stałymi. Podstawiając y=e rx do powyższego równania otrzymujemy równanie charakterystyczne r 2 + a 1 r + a 0 = 0 Odpowiadające danemu równaniu różniczkowemu. Wielomian P(r) = r 2 + a 1 r + a 0 nazywamy wielomianem charakterystycznym odpowiadającym równaniu różniczkowemu.

9 Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach Liniowo niezależne rozwiązania równania y + a 1 y + a 0 = 0 wyznacza się następująco Pierwiastki równania charakterystycznego r 1 r 2 Liniowo niezależne rozwiązania y 1 =e r1x, y 2 =e r2x r 1 = r 2 = r r 1 =λ+jω, r 2 =λ-jω y 1 =e rx, y 2 =xe rx y 1 =e λx cosωx, y 2 =e λx sinωx

10 Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe y - 2y + 5y = 0.

11 Równania różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach Równania różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach może być zapisane w postaci y + a 1 y + a 0 y = f(x) gdzie a 0, a 1 są stałymi zaś funkcja f(x) jest funkcją ciągłą na przedziale I. METODA 1 Metoda współczynników nieoznaczonych I METODA 2 Metoda współczynników nieoznaczonych II, funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej METODA 3 Metoda uzmienniania stałych

12 Metoda współczynników nieoznaczonych I Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe y - y 12y = 7e -x.

13 Metoda współczynników nieoznaczonych I Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe y - y 12y = 7e -3x.

14 Równania różniczkowe liniowe rzędu II Twierdzenie 9. Jeżeli y=u s i y=v s są szczególnymi rozwiązaniami równań i y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = g(x) to y=u s +v s jest rozwiązaniem równania postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) + g(x).

15 Metoda współczynników nieoznaczonych I Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe y - y 12y = e -x + 7e -3x.

16 Metoda współczynników nieoznaczonych II Twierdzenie 10. Niech z(x)=u(x)+jv(x) będzie zespolonym rozwiązaniem równania z + a 1 z + a 0 z = f(x) + jg(x) na przedziale I. Wówczas oraz u + a 1 u + a 0 u = f(x) v + a 1 v + a 0 v = g(x).

17 Metoda współczynników nieoznaczonych II Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe y - 2y + 5y = 8e x sin2x.

18 Metoda uzmienniania stałych Rozwiązując równanie liniowe niejednorodne w postaci y + a 1 y + a 0 y = f(x) znajdujemy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego: y o = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x). Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych C 1, C 2 funkcjami C 1 (x), C 2 (x) zmiennej x i poszukiwaniu rozwiązania ogólnego równania niejednorodnego w postaci y o = C 1 (x)y 1 (x) + C 2 (x)y 2 (x).

19 Metoda uzmienniania stałych W celu wyznaczenia funkcji C 1 (x), C 2 (x) rozwiązujemy układ równań: y 1 (x)c 1 (x) + y 2 (x)c 2 (x) = 0 y 1 (x)c 1 (x) + y 2 (x)c 2 (x) = f(x) Mając C 1 (x), C 2 (x) możemy C 1 (x), C 2 (x) otrzymać przez całkowanie.

20 Metoda uzmienniania stałych Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe y - 4y + 5y = e 2x tgx.

21 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego i drugiego KONIEC