Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji, asymptoty i ciągłość
|
|
- Julian Laskowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania z analizy matematycznej - sem. I Granice funkcji asymptoty i ciągłość Definicja sąsiedztwo punktu. Niech 0 a b R r > 0. Sąsiedztwem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór S 0 r = 0 r r; Można je podzielić na sąsiedztwo lewostronne S 0 r = 0 r 0 oraz sąsiedztwo prawostronne S + 0 r = r. Analogicznie definiujemy sąsiedztwo jako S = b oraz sąsiedztwo + czyli S = a. Definicja Heinego granicy właściwej funkcji. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S 0. Mówimy że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy n S0 n = 0 = f n = g. Symbolicznie zapisujemy to f = g. 0 Analogicznie definiuje się prawostronną i lewostronną granicę właściwą funkcji: f = g n S 0 n = 0 = f n = g f = g n S + 0 n = 0 = f n = g oraz granice właściwe w ± : f = g n S f = g n S n = = n = g n = = n = g Definicja 3 Heinego granicy niewłaściwej funkcji. Analogicznie jak wcześniej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie: f = n S0 n = 0 = f 0 n =
2 0 + 0 f = n S 0 n = 0 = f n = f = n S + 0 n = 0 = f n = f = n S0 n = 0 = f 0 n = f = n S 0 n = 0 = f n = oraz w ± : f = n S + 0 n = 0 = f = n S f = n S f = n S f = n S f n = n = = n = n = = n = n = = n = n = = n = Definicja 4 Cauchy ego granicy właściwej funkcji. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S 0. Mówimy że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy ε>0 δ>0 S0 0 < δ = f g < ε. Symbolicznie zapisujemy to 0 f = g. Analogicznie definiuje się prawostronną i lewostronną granicę właściwą funkcji: 0 f = g ε>0 δ>0 S 0 δ < 0 < 0 = f g < ε + 0 f = g ε>0 δ>0 S < 0 < δ = f g < ε oraz granice właściwe w ± : f = g ε>0 R>0 S > R = f g < ε f = g ε>0 R>0 S < R = f g < ε Definicja 5 Cauchy ego granicy niewłaściwej funkcji. Analogicznie jak wcześniej definiujemy granice niewłaściwe w punkcie: 0 f = M>0 δ>0 S0 0 < δ = f > M
3 0 + 0 f = M>0 δ>0 S 0 δ < 0 < 0 = f > M f = M>0 δ>0 S < 0 < δ = f > M 0 f = M>0 δ>0 S0 0 < δ = f < M oraz w ± : f = M>0 δ>0 S 0 δ < 0 < 0 = f < M f = M>0 δ>0 S < 0 < δ = f < M f = M>0 R>0 S > R = f > M f = M>0 R>0 S < R = f > M f = M>0 R>0 S > R = f < M f = M>0 R>0 S < R = f < M Twierdzenie. Odpowiadające sobie definicje Cauchy ego i Heinego granic funkcji są równoważne. Zadanie. Podać odpowiednią definicję granicy funkcji a następnie korzystając z niej wykazać: a + 3 = 5 b = 4 c 5 5 = 0 d + = e = f = 4 g 0 + = h 0 sin = 0 i cos = 0 j tg = 4 k ln = 0 + l = m 3 = n tg nie istnieje o sin nie istnieje. Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji. Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie 0 to. 0 f ± g = 0 f ± 0 g. 0 c f = c f c R 0 3
4 3. f g = f g f = 0 f g 0 g jeśli 0 g 0 g 5. f g = f Powyższe twierdzenia są prawdziwe również dla granic jednostronnych w punkcie 0 oraz granic w ±. Twierdzenie 3 o granicy funkcji złożonej. Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki f = y 0 S0 0 f y 0 oraz gy = p 0 y y 0 to 0 g y = p 0. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla pozostałych typów granic. Twierdzenie 4 o trzech funkcjach. Jeśli funkcje f g h spełniają warunki S0 f g h 0 f = 0 h = g to 0 g = g. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla pozostałych typów granic. Twierdzenie 5 o dwóch funkcjach. Jeśli funkcje f g spełniają warunki S0 f g 0 f = + / 0 g = to g = + / f =. 0 0 Powyższe twierdzenie jest prawdziwe również dla pozostałych typów granic. Twierdzenie 6 zamiana granic funkcji. Granice funkcji w punkcie lub nieskończoności można zastąpić granicami: f = fu u 0 f = f ± u 0 ± u 4
5 Zadanie. Obliczyć granice: a 0 + e cos 9 b c 4 d + e f 4 g h i j k l 4 m n 3 + o 3 p q 3 + r 3 + s + t e + e u e e e + e v e e w y + z + aa ab 0 ac ad ae af ag ah ai aj ak e + e al am an ao 0 e ap 0 sin5 9 sin aq ar sin as 0 tg at 0 tg 4 au 0 sin av 0 sin sin3 aw sin3 0 + sin5 a cos arcsin ay 0 sin az 0 cos ba 0 cos sin5 bb bc bd arctg 3 + arctg
6 be bf bg arctg + arctg arccos sin bh arccos 0 + sin bi tg bj cos 0 bk cos sin. Definicja 6 asymptota pionowa. Prosta = a jest asymptotą pionową funkcji f gdy f = ± jest to asymptota pionowa lewostronna a f = ± jest to asymptota pionowa prawostronna a + a f = ± jest to asymptota pionowa obustronna. Definicja 7 asymptota ukośna. Jeżeli y = A ± + B ± tzn. dla A + B + lub A B jest asymptotą ukośną wtedy i tylko wtedy gdy [f A + + B + = 0 asymptota ukośna w + prawostronna + [f A + B = 0 asymptota ukośna w lewostronna ± [f A + B = 0 asymptota ukośna obustronna. Jeśli A ± = 0 to prostą y = B ± nazywamy asymptotą poziomą. Twierdzenie 7 warunek istnienia asymptoty ukośnej. Prosta y = A ± + B ± jest asymptotą ukośną funkcji f wtedy i tylko wtedy gdy A + = A = f + f oraz B + = + [f A +] oraz B = [f A ]. Zadanie 3. Znaleźć asymptoty poniższych funkcji: a f = + arctg b f = + arctg + c f = d f = 3 e f = f f = g f = sin h f = arctg i f = arccos j f = ln k f = ln 3 l f = ln 3. 6
7 Definicja 8 otoczenie punktu. Niech 0 R r > 0. Otoczeniem o promieniu r punktu 0 nazywamy zbiór O 0 r = 0 r 0 + r; Można je podzielić na otoczenie lewostronne O 0 r = 0 r 0 ] oraz otoczenie prawostronne O + 0 r = [ r. Definicja 9 ciągłości funkcji. Niech 0 D f R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O 0 D f. Funkcja f jest ciągła w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy 0 f = f 0 tzn. jeżeli spełniony jest jeden z poniższych warunków. Definicja 0 ciągłości funkcji w sensie Heinego. Jeśli funkcja f spełnia warunek n O 0 n = 0 = f n = f 0 to jest ciągła w sensie Heinego w punkcie 0 O 0. Definicja ciągłości funkcji w sensie Cauchy ego. Jeśli funkcja f spełnia warunek ε>0 δ>0 O0 [ 0 < δ = f f 0 < ε] to jest ciągła w sensie Cauchy ego w punkcie 0 O 0. Definicja jednostronna ciągłości funkcji. Niech 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O + 0 / O 0. Funkcja f jest prawostronnie/lewostronnie ciągła w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy + 0 f = f 0 / 0 f = f 0. Twierdzenie 8 warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji. Funkcja f jest ciągła w 0 wtedy i tylko wtedy gdy jest w tym punkcie ciągła lewoi prawostronnie. 7
8 Zadanie 4. Na podstawie jednej z definicji Heinego lub Cauchy ego zbadać ciągłość następujących funkcji w podanych punktach: a f = 0 = 0 b f = 3 0 = c f = = d f = 3 0 = 0 e f = na R f f = sin na R g f = cos na R. Zadanie 5. Uzasadnić ciągłość funkcji: a f = e sin b f = sin c f = tg. Zadanie 6. Wykazać że funkcja Dirichleta określona wzorem { dla Q Q = 0 dla Q nie jest ciągła w żadnym punkcie. Zadanie 7. Podać przykład funkcji g : R R która jest ciągła dokładnie: a w jednym punkcie b w dwóch punktach c w trzech punktach. Definicja 3 nieciągłość funkcji. Niech 0 D f R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O 0. Funkcja f jest nieciągła w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy gdy nie istnieje granica f albo f f Fakt. Punkty nieciągłości dziey na. pierwszego rodzaju gdy istnieją skończone granice 0 f + 0 f oraz 0 f f 0 lub + 0 f f 0 ; typu skok gdy 0 f + 0 f typu luka gdy 0 f = + 0 f f 0.. drugiego rodzaju jeśli co najmniej jedna z granic 0 f + 0 f nie istnieje lub jest niewłaściwa. 8
9 Twierdzenie 9. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie 0 to również funkcje f + g f g f g f g o ile g 0 0 są ciągłe w 0. Jeżeli funkcja f jest ciągła w 0 a g ciagła w y 0 = f 0 to funkcja złożona g f jest ciągła w 0. Zadanie 8. Zbadać ciągłość funkcji. Wyznaczyć i określić rodzaj punktów nieciągłości dla funkcji nieciągłych: arctg gdy < 0 a f = 0 gdy = 0 gdy > 0 b f = { gdy R \ { } + 3 gdy = lub = { + 6 gdy ± c f = gdy = { sin d f = gdy R \ {0} gdy = 0 { sin e f = cos gdy 0 0 gdy = 0 log + 3 gdy 3 < k f = gdy < 0 arctg gdy 0 < l f = + gdy + + gdy < < ctg gdy < 0 gdy < sin gdy arctg + gdy < cos gdy f f = tg gdy < < gdy { gdy = k k Z g f = sin gdy k k Z h f = i f = { 0 gdy 0 cos gdy > 0 j f = [] Zadanie 9. Znaleźć parametry a b R tak aby podane funkcje były ciągłe na R:. { a gdy < a f = sin gdy { sin3 b f = sin5 gdy 0 a gdy = 0 3 gdy ± c f = a gdy = b gdy = { cos gdy 0 d f = a gdy = 0 e f = { gdy 3 a + gdy = 3 f f = g f = { arcsin+ + gdy a gdy = { a + gdy < + b + gdy 3 gdy 0 h f = a + b gdy 0 < < gdy i f = { gdy a + b + gdy >. 9
10 Zadanie 0. Zbadać ciągłość funkcji określonej wzorem: a f = b f = e n + e n + e n + e n + [0 ] + n c f = d f = [] sin. + n R Zadanie. Wykazać że jeśli funkcja f jest ciągła i nieujemna na przedziale X R to funkcja f jest ciągła na X. Twierdzenie 0 Weierstrassa. Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym to jest na nim ograniczona oraz osiąga swoje kresy. Twierdzenie Darbou o miejscach zerowych funkcji. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym [a b] oraz spełnia fafb < 0 to c ab fc = 0. Zadanie. Uzasadnić że podane równania mają jednoznaczne rozwiązania we wskazanych przedziałach: a = 9 [ ] e 00 + = 0 b a + b = y a b > 0 c = sin + d arctg = [ ] f 3 + = 3 0 g 3 3 = [ ] h = 3. Obliczyć wartość pierwiastka z dokładnością 0.5. Zadanie 3. Niech f g : [a b] R będą takimi funkcjami ciągłymi że fa < ga oraz fb > gb. Wykazać że istnieje taki punkt 0 a b dla którego f 0 = g 0. Zadanie 4. Niech f : R R będzie funkcją ciągłą i okresową o okresie T > 0. Wykazać że istnieje taki punkt 0 że f 0 + T = f 0. Definicja 4 jednostajna ciągłość. Jeśli funkcja f spełnia warunek ε>0 δ>0 y I [ y < δ = f fy < ε] to jest ciągła jednostajnie na przedziale I = [a b]. 0
11 Definicja 5 Heinego jednostajnej ciągłości. Jeśli funkcja f spełnia warunek ny n I n y n = 0 f n fy n = 0 to jest ciągła jednostajnie na przedziale I = [a b]. Uwaga. Funkcja jednostajnie ciągła na I jest ciągła na I. Twierdzenie. Funkcja f jest ciągła na a b oraz istnieją skończone granice b f to f jest jednostajnie ciągła na a b. Analogiczne twierdzenie zachodzi dla półprostej. a + f Twierdzenie 3 Cantora. Funkcja f : I R która jest ciągła jest również jednostajnie ciągła na I. Twierdzenie 4. Funkcja f spełniająca warunek Lipschitza ze stałą L na I tzn. f f L jest jednostajnie ciągła na przedziale I. Zadanie 5. Zbadać jednostajną ciągłość funkcji f na przedziale A: a f = A = R b f = A = [0 ] c f = e A = 0 d f = sin A = 0 e f = sin A = 0 f f = e A = 0 g f = e A = 0 h f = ln A = 0 i f = sin A = [0 j f = sin A = [0 k f = e A = [0 l f = sin A = [0. Zadanie 6. Zbadać czy dane funkcje mają ciągłe przedłużenie na R: a f = c f = sin e f = e b f = sin d f = sin f f = e. Bibliografia:. J. Banaś S. Wędrychowicz Zbiór zadań z analizy matematycznej WNT Warszawa 00.. M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna. Definicje twierdzenia wzory GiS Wrocław M. Gewert Z. Skoczylas Analiza matematyczna. Przykłady i zadania GiS Wrocław K. Jankowska T. Jankowski Zbiór zadań z matematyki PG Gdańsk W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach część PWN Warszawa W. Kryszewski Wykład analizy matematycznej cz. - Funkcje jednej zmiennej UMK Toruń F. Leja Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych PWN Warszawa 977.
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość
Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym
Bardziej szczegółowoWykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 3. ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Wykład z Podstaw matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska Wykład 3 ANALIZA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Deinicja (unkcja) Niech zbiory XY, będą niepuste Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Analiza Matematyczna F dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3 08/9z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert Z. Skoczylas Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania GiS 008) 3 Granica funkcji
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoGranice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21
Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji f : R R
Ciągłość funkcji f : R R Definicja 1. Otoczeniem o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, δ) := (x 0 δ, x 0 + δ). Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O +
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowoRoksana Gałecka Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych
Temat. Okreslenie pochodnej funkcji, podstawowe własnosci funkcji różniczkowalnych.twierdzenia o wartosci sredniej w rachunku różniczkowalnym i ich zastosowania. Roksana Gałecka 20..204 Spis treści Okreslenie
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoGranice funkcji-pojęcie pochodnej
Granice funkcji-pojęcie pochodnej Oznaczenie S(x 0 ) = S(x 0, r) dla pewnego r > 0 Definicja 1 Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie funkcja określona przynajmniej na sasiedztwie S(x 0, r) dla pewnego
Bardziej szczegółowo6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
6. Granica funkcji. Funkcje ciągłe. 6.1. Sformułować definicję w sensie Heinego granicy (właściwej) funkcji w punkcie (właściwym). Podać ilustrację graficzną w różnych sytuacjach. Definicja Heinego granicy
Bardziej szczegółowoFunkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Bardziej szczegółowoLista zagadnień omawianych na wykładzie w dn r. :
Lista zagadnień omawianych na wykładzie w dn. 29.0.208r. : Granica funkcji Definicja sąsiedztwa punktu. Sąsiedztwo 0 R o promieniu r > 0: S 0, r = 0 r, 0 + r\{ 0 } 2. Sąsiedztwo lewostronne 0 R o promieniu
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2018 Spis treści Definicja ciągłości funkcji. Przykłady Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji Własności funkcji
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 5
Granica funkcji wykład 5 dr Mariusz Grządziel 4 listopada 200 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g
Bardziej szczegółowoSprężyny naciągowe z drutu o przekroju okrągłym
Sprężyny naciągowe z o przekroju okrągłym Stal sprężynowa, zgodnie z normą PN-71/M80057 (EN 10270:1-SH oraz DIN 17223, C; nr mat. 1.1200) Stal sprężynowa nierdzewna, zgodnie z normą PN-71/M80057 (EN 10270:3-NS
Bardziej szczegółowoMatematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.
Matematyka ZLic -. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych. Granica ciągu Ciąg a n ma granicę właściwą g R i piszemy jeśli lim n a n g lub a n g gdy n NN n N a n g
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych.
Ciągłość funkcji i podstawowe własności funkcji ciągłych. Definicja (otoczenie punktu) Otoczeniem punktu x 0 R, o promieniu nazywamy zbiór x R taki, że: inaczej x x 0 x x 0, x 0 Definicja (ciągłość w punkcie)
Bardziej szczegółowoRozdział 3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej
Rozdział Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej Definicja i własności granicy funkcji W rozdziale omówiono granicę ciągu liczbowego przy n, natomiast w rozdziale opisano funkcje elementarne i ich własności
Bardziej szczegółowoSprężyny naciskowe z drutu o przekroju okrągłym
Sprężyny owe z o przekroju okrągłym Stal sprężynowa, zgodnie z normą PN-71/M80057 (EN 10270:1-SH oraz DIN 17223, C; nr mat. 1.1200) Stal sprężynowa nierdzewna, zgodnie z normą PN-71/M80057 (EN 10270:3-NS
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 8 listopada Wykład 4
Granica funkcji 8 listopada 2011 Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < δ. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 27 grudnia Granica funkcji
27 grudnia 2011 Punkty skupienia Definicja Niech D R będzie dowolnym zbiorem. Punkt x 0 R nazywamy punktem skupienia zbioru D jeżeli δ>0 x D\{x0 } : x x 0 < 0. Zbiór punktów skupienia zbioru D oznaczamy
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel rok akademicki 03/04, semestr zimowy Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t:
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 4 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 4 grudnia 08r. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Obliczanie pochodnej
Bardziej szczegółowoCiągłość funkcji. Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości. Jan Kowalski. 22 maja Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Seminarium dyplomowe powtórzenie wiadomości Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 22 maja 2013 1 Podstawowe definicje i fakty 2 funkcji w punkcie Definicja Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze
Bardziej szczegółowoGranica funkcji. 16 grudnia Wykład 5
Granica funkcji 16 grudnia 2010 Tw. o trzech funkcjach Twierdzenie Niech f, g, h : R D R będa funkcjami takimi, że lim f (x) = lim h(x), x x 0 x x0 gdzie x 0 D. Jeżeli istnieje otoczenie punktu x 0 w którym
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoCi agło s c funkcji 2 grudnia 2014 Ci agło s c funkcji
2 grudnia 2014 ciagłość - zaufanie 1 Dlaczego zbliżajac się do łuku drogi nie hamujemy wiedzac, że nie zdołamy się zatrzymać na widocznym kawałku drogi? Ponieważ wierzymy, że dalej ciagnie się droga. 2
Bardziej szczegółowo1 Funkcje i ich granice
Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 201/15 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy I (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3)
Bardziej szczegółowoDZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ
DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Warszawa, dnia 23 lipca 2015 r. Poz. 1024 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA FINANSÓW 1) z dnia 6 lipca 2015 r. w sprawie zmiany obszaru składu wolnocłowego na terenie Portu
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI
Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznyc wykład XI dr ab. Krzysztof Barański, prof. UW dr Waldemar Pałuba Uniwersytet Warszawski rok akad. 0/3 semestr zimowy Racunek różniczkowy Pocodna funkcji
Bardziej szczegółowoPochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria
Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria Pochodne Definicja 2.38. Niech f : O(x 0 ) R. Jeżeli istnieje skończona granica f(x 0 + h) f(x 0 ) h 0 h to granicę tę nazywamy pochodną funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoRACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzyszto KOŁOWROCKI Przyjmijmy, że y (, D, jest unkcją określoną w zbiorze D R oraz niec D Deinicja
Bardziej szczegółowoI WOJEWÓDZKI TURNIEJ KWALIFIKACYJNY SENIOREK I SENIORÓW - WYNIKI GDAŃSK
I RUNDA II RUNDA ĆWIERĆFINAŁ PÓŁFINAŁ FINAŁ 1 MIKLASZEWSKA Maja 32 17 16 KAWECKA Natalia 9 KĘDZIOR Daria 24 25 8 KAMIŃSKA Marcelina 5 MALISZEWSKA Agata 28 21 12 PŁOTKA Magda 13 OLEKSIK Paulina 20 29 4
Bardziej szczegółowoSPRÊ YNY NACISKOWE. Materia³
SPRÊ YNY NACISKOWE Wszystkie wymienion w katalogu rozmiary sprê yn s¹ standaryzowane. Takie s¹ te wymienione tutaj potrzebne dane techniczne. Ka da sprê yna ma swój w³asny katalogowy. Przy zamówieniu proszê
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowo4. Granica i ciągłość funkcji
4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale
Bardziej szczegółowoSYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia
SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 45 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA 1.1 B Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis 1B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowo22 Pochodna funkcji definicja
22 Pochodna funkcji definicja Rozważmy funkcję f : (a, b) R, punkt x 0 b = +. (a, b), dopuszczamy również a = lub Definicja 33 Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0, gdy istnieje granica
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji f : R R
Racunek różniczkowy funkcji f : R R Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu punktu x 0 (tj. istnieje takie δ > 0, że (x 0 δ, x 0 + δ) D f - dziedzina funkcji f). Definicja 1. Ilorazem
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoTechnika Próżniowa. Przyszłość zależy od dobrego wyboru produktu. Wydanie Specjalne.
Technika Próżniowa Przyszłość zależy od dobrego wyboru produktu Wydanie Specjalne www.piab.com P6040 Dane techniczne Przepływ podciśnienia Opatentowana technologia COAX. Dostępna z trójstopniowym wkładem
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowo11. Pochodna funkcji
11. Pochodna funkcji Definicja pochodnej funkcji w punkcie. Niech X R będzie zbiorem niepustym, f:x >R oraz niech x 0 X. Funkcję określoną wzorem, nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie Mówimy,
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoWykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0
Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW
5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW Drugą pochodną nazywamy pochodną funkcji pochodnej f () i zapisujemy f () = [f ()] W ten sposób możemy też obliczać pochodne n-tego rzędu. Obliczmy wszystkie pochodne wielomianu
Bardziej szczegółowoRozdział 7. Różniczkowalność. 7.1 Pochodna funkcji w punkcie
Rozdział 7 Różniczkowalność Jedną z konsekwencji pojęcia granicy funkcji w punkcie jest pojęcie pochodnej funkcji. W rozdziale tym podamy podstawowe charakteryzacje funkcji związane z pojęciem pochodnej.
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8
Pochodna funkcji: zastosowania przyrodnicze wykłady 7 i 8 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu sem. zimowy, r. akad. 2016/2017 Funkcja logistyczna 40 Rozważmy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ANALIZA MATEMATYCZNA. Nazwa w języku angielskim Mathematical Analysis. Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy):
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoLISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)
LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowoSPRÊ YNY NACISKOWE. Materia³
SPRÊ YNY NACISKOWE Wszystkie wymienion w katalogu rozmiary sprê yn s¹ standaryzowane. Takie s¹ te wymienione tutaj potrzebne dane techniczne. Ka da sprê yna ma swój w³asny numer katalogowy. Przy zamówieniu
Bardziej szczegółowoEkstrema globalne funkcji
SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13 Ekstrema globalne funkcji Definicja: Funkcja f : D R ma w punkcie x 0 D minimum globalne wtedy i tylko (x D) f(x) f(x 0 ). Wartość f(x 0 ) nazywamy wartością
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoLISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych
LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia
Bardziej szczegółowo(EN 10270:1-SH oraz DIN 17223, C; nr mat ) (EN 10270:3-NS oraz DIN 17224, nr mat )
(EN 10270:1-SH orz DIN 17223, C; nr mt. 1.1200) (EN 10270:3-NS orz DIN 17224, nr mt. 1.4310) d Fn K Dm k Dz L1 Ln L0 Legend d - Dm - Dz - L0 - n - czynn zwoi Ln - Fn - c - K - k - Fn stl nierdzewn = 1kg
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU
Zał. nr 4 do ZW 33/01 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Analiza matematyczna 1.1 A Nazwa w języku angielskim: Mathematical Analysis 1.1
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowo(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x
. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 )
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 7 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 13 grudnia 2018r. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowo