III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
|
|
- Katarzyna Kuczyńska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna do masy substancji, która w danej chwili jeszcze się nie rozpadła. Współczynnik proporcjonalności k, będący wielkością charakterystyczną dla danej substancji, jest stały i nie zależy od czasu. Wyznaczyć zależność masy danej substancji od czasu. Rozwiązanie. Jeżeli przez m(t) oznaczymy ilość substancji w chwili t, to powyższe spostrzeżenie możemy zapisać w postaci m (t) = k m(t). Związek wyrażający zależność między szukaną funkcją m, jej pochodną m oraz zmienną niezależną t, nazywamy równaniem różniczkowym rzę pierwszego. Zauważmy, że dla dowolnej stałej C R, funkcja określona wzorem spełnia otrzymane równanie, czyli jest jego rozwiązaniem. Istotnie, m(t) = C e kt, (1) m (t) = C e kt ( k) = k m(t). Wykres rozwiązania równania nazywamy jego krzywą całkową. Oczywiście z fizycznego punktu widzenia rozwiązania przy C < 0 nie mają sensu, bo masa nie może być ujemna. Pomijając ten aspekt fizyczny nasuwa się pytanie, czy istnieją również inne funkcje będące rozwiązaniami rozważanego równania. Odpowiedź na tak postawione pytanie jest w tym przypadku negatywna. Wzór (1) określa wszystkie możliwe rozwiązania rozważanego równania. Na szukaną funkcję m możemy nałożyć pewne dodatkowe warunki, np. ilość m 0 substancji w pewnej chwili t 0, co zapisujemy m(t 0 ) = m 0. (2) 1
2 Podtawiając t = t 0 we wzorze (1), w oparciu o warunek (2), mamy m 0 = C e kt 0, a stąd C = m 0 e kt 0. Tak więc zależność masy substancji od czasu określona jest wzorem Zauważmy, że m(t) = m 0 e k(t t 0). lim m(t) = 0. t Oznacza to, że z upływem czasu ilość pierwiastka promieniotwórczego maleje do zera niezależnie od jego masy początkowej. Przykład 1.2. (Równanie krzywej ) Znaleźć krzywą przechodzącą przez punkt (t 0, y 0 ), gdzie t 0 > 0, dla której odcinek styczny zawarty między osiami ukła współrzędnych dzieli się na równe części w punkcie styczności. 2
3 Rozwiązanie. Niech y = y(t), gdzie t > 0, będzie funkcją opisującą szukaną krzywą. Zatem 2y(t) 2t = tgα. Z interpretacji geometrycznej pochodnej wynika równość y (t) = tg(π α) = tgα. Szukana funkcja spełnia więc równanie różniczkowe y (t) = y(t), a stąd y(t) = ty (t). t Łatwo sprawdzić, że dla dowolnej stałej C R, funkcja określona wzorem y(t) = C t, jest rozwiązaniem otrzymanego równania różniczkowego. Jeżeli w tym rozwiązaniu podstawimy t = t 0 oraz wykorzystamy warunek y(t 0 ) = y 0, to otrzymamy y 0 = C t 0, a stąd C = y 0 t 0. Szukaną krzywą jest zatem hiperbola dana wzorem y(t) = y 0t 0. t Definicja 1.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzę pierwszego nazywamy równanie postaci F (x, y, y ) = 0, (3) w którym y występuje istotnie, zaś pozostałe argumenty, tzn. x i y, mogą występować, lecz nie muszą. W równaniu tym y oznacza funkcję zmiennej x określoną na pewnym przedziale I R. Przypadkami szczególnymi tego równania są równania postaci y = f(x) i y = f(x, y). Definicja 1.2. Rozwiązaniem (całką) równania różniczkowego (3) nazywamy każdą funkcję różniczkowalną y = y(x), która spełnia dane równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału. Definicja 1.3. Równanie różniczkowe y = f(x, y) (4) wraz z warunkiem y(x 0 ) = y 0 (5) 3
4 nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy ego. Warunek (5) nazywamy warunkiem początkowym, zaś y 0 i x 0 wartościami początkowymi. Uwaga 1.1. Funkcja y = y(x) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego, jeżeli jest rozwiązaniem równania (4) na pewnym przedziale zawierającym punkt x 0 i spełnia warunek (5). 2. Meto rozwiązywania pewnych równań różniczkowych 2.1. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Definicja Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci y = g(x)h(y). (6) Uwaga Zauważmy, że jeżeli h(y 0 ) = 0 dla pewnego y 0, to funkcja stała y(x) y 0 jest jednym z rozwiązań powyższego równania. Jeśli przyjmiemy oznaczenie y := dx, (7) to w formie różniczkowej równanie o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać h(y) = g(x)dx. Twierdzenie Niech funkcje g = g(x) i h = h(y) będą ciągłe, przy czym h(y) 0 dla każdego y, dla którego określona jest funkcja h. Wte całka równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (6) dana jest wzorem h(y) = gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą. g(x)dx + C, Twierdzenie (O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych) Niech funkcje g = g(x) i h = h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a, b) i (c, d), przy czym h(y) 0 dla każdego y (c, d). Wte dla każdego punktu (x 0, y 0 ), gdzie x 0 (a, b) i y 0 (c, d), zagadnienie początkowe y = g(x)h(y), y(x 0 ) = y 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie. Uwaga Inaczej mówiąc, przez każ punkt (x 0, y 0 ) prostokąta (a, b) (c, d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (6). Przykład Rozwiązać zagadnienie początkowe y + y 2 sin x = 3x 2 y 2, y(0) = 1. 4
5 Zauważmy, że podane równanie jest równaniem o rozdzielonych zmiennych. Wykorzystując oznaczenie (7) powyższe równanie możemy zapisać w postaci dx + y2 sin x = 3x 2 y 2, a stąd dx = y2 (3x 2 sin x). Zauważmy, że funkcja g określona wzorem g(x) = 3x 2 sin x jest ciągła na R, a funkcja h o wzorze h(y) = y 2 jest ciągła i różna od zera w każm z przedziałów (, 0) i (0, + ). Zakładamy, że y 0 i rozdzielamy zmiennne w powyższym równaniu a następnie całkujemy obustronnie y 2 = (3x2 sin x)dx, y 2 = 3 x 2 dx sin xdx, skąd otrzymujemy 1 y = x3 + cos x + C. Uwzględniamy teraz warunek początkowy. Podstawiając x = 0 i y(0) = 1, otrzymujemy 1 = 1 + C = C = 2. Zatem szukanym rozwiązaniem jest funkcja określona wzorem y = 1 x 3 + cos x 2. Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe postaci dx gdzie a i b są dowolnymi stałymi rzeczywistymi. Podane równanie można zapisać w postaci dx = xy + ax + by + ab, = x(y + a) + b(y + a), a stąd = (x + b)(y + a). dx Zatem jest to równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych, a więc y + a = (x + b)dx, dla y a. 5
6 Całkując obustronnie otrzymujemy y + a = (x + b)dx, dla y a, skąd ln y + a = 1 2 x2 + bx + C, zatem y = e 1 2 x2 +bx+c a. Otrzymana funkcja jest całką ogólną danego równania. Łatwo sprawdzić, że funkcja stała y = a także jest rozwiązaniem podanego równania Równanie różniczkowe jednorodne względem zmiennych Definicja Równaniem różniczkowym jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci ( y ) dx = f. (8) x Uwaga Równanie tego typu rozwiązujemy wprowadzając nową zmienną zależną przez podstawienie u = u(x) = y, czyli y = xu. x Różniczkując ostatni warunek względem x otrzymujemy Po podstawieniu do równania (8) dostajemy dx = u + x dx. u + x dx = f(u), a stąd zakładając, że x 0 i f(u) u 0, otrzymujemy równanie o rozdzielonych zmiennych 1 f(u) u = 1 x dx. Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe x 2 dx = x2 + xy + y 2. (9) Aby sprowadzić dane równanie do omawiamego typu, musimy je podzielić przez x 2. W tym celu zakładamy, że x 0. Jednocześnie widać, że prosta x = 0 jest całką równania (9). 6
7 Dzieląc równanie (9) obustronnie przez x 2 otrzymujemy Podstawiając y x stąd dx = 1 + y ( y ) 2 x +. x = u, mamy = u + x. A zatem powyższe równanie możemy zapisać w postaci dx dx u + x dx = 1 + u + u2, x dx = 1 + u2. Otrzymane równanie przy założemiu, że x 0, jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Rozdzielając zmienne dostajemy u = 1 2 x dx. Całkowanie daje u = 2 x dx, skąd Z podanej równości wynika, że arctg u = ln x + C. π 2 < ln x + C < π 2. Zatem powyższą równość możemy zapisać w postaci u = tg(ln x + C), a więc wracając do podstawienia otrzymujemy ostatecznie y = x tg(ln x + C). Twierdzenie (O istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania różniczkowego jednorodnego) Niech funkcja f = f(u) będzie ciągła na przedziale (a, b) i niech spełnia na nim warunek f(u) u. Wte dla każdego takiego punktu (x 0, y 0 ), że a < y 0 x 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie. y = f ( y x), y(x 0 ) = y 0, < b zagadnienie poczatkowe Uwaga Inaczej mówiąc, przez każ punkt (x 0, y 0 ) obszaru {(x, y) : a < y x < b }, przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (8). 7
8 Przykład Rozwiązać podane zagadnienie początkowe oraz wyznaczyć przedział, na którym jest ono określone. dx = y2 + x 2, y(1) = 1. xy Ponieważ y 2 + x 2 = y xy x + x y = y ( y 1 x x) +, więc rozważane równanie jest równaniem jednorodnym, gdzie f (u) = u + 1 u. Funkcja f jest ciągła na każm z przedziałów (, 0) i (0, + ), ponadto spełnia na nich warunek f(u) u. Ze wzglę na zadane wartości początkowe wybieramy przedział (, 0). Podstawiając teraz y = ux otrzymamy = u + x. Po dokonanym podstawieniu rozważane dx dx równanie przekształca się w równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych postaci u = 1 x dx. Całkując obustronnie powyższe równanie otrzymujemy u 2 = 2 (ln x + ln C), gdzie C > 0. Stąd całka rozważanego równania dana jest wzorem y 2 = 2x 2 (ln x + ln C), gdzie C > 0. Uwzględniając teraz warunek początkowy y(1) = 1 otrzymamy C = e. Zatem całka spełniająca zadany warunek początkowy ma postać y 2 = x 2 (2 ln x + 1). Stąd rozwiązanie rozważanego zagadnienia początkowego dane jest wzorem y = x 2 ln x + 1, ( ) przy czym rozwiązanie to określone jest na przedziale 1 e, Równanie różniczkowe liniowe pierwszego rzę Definicja Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzę nazywamy równanie postaci y + p(x)y = q(x). (10) Jeżeli q(x) 0, to równanie (10) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem liniowym niejednorodnym. Uwaga Równanie różniczkowe liniowe jednorodne jest szczególnym przypadkiem równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych y = g(x)h(y), w którym przyjęto g(x) = p(x) i h(y) = y. 8
9 Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe jednorodne y + y x = 0. Rozdzielając zmienne mamy Całkując obustronnie otrzymamy y = dx x. ln y = ln x + ln C, gdzie C 0 oraz x > 0 lub x < 0. Zatem rozwiązanie rozważanego równania dane jest wzorem y = C, gdzie C 0. x Ponieważ w naszym przypadku h(0) = 0, więc również funkcja y(x) 0 jest rozwiązaniem. Zauważmy, że dopuszczając w rozwiązaniu zawierającym stałą C, C = 0 otrzymamy także rozwiązanie y(x) 0. Tak więc rozwiązanie rozważanego równania dane jest wzorem gdzie C R oraz x > 0 lub x < 0. y = C x, Uwaga Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne (10) rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej. W tym celu rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne, czyli y + p(x)y = 0. Całką tego równania jest funkcja określona wzorem y = Ce P (x), gdzie P (x) = x x 0 p(t)dt. Teraz stałą C zastępujemy funkcją u = u(x) tak dobraną, żeby funkcja y = u(x)e P (x) (11) była całką równania (10). Powyższy krok tłumaczy nazwę: metoda uzmienniania stałej. Obliczamy pochodną dx = dx e P (x) + u(x)e P (x) ( p(x)), (12) przy czym uwzględniamy związek otrzymujemy dp (x) dx = p(x). Podstawiając warunki (11) i (12) do równania (10) dx e P (x) u(x)p(x)e P (x) + u(x)p(x)e P (x) = q(x), 9
10 a po rekcji dx e P (x) = q(x), czyli dx = q(x)ep (x). Funkcja stojąca po prawej stronie powyższego równania jest ciągła, a tym samym jest całkowalna. Możemy więc napisać u(x) = Q(x) + C 1, gdzie Q(x) = Podstawiając tę funkcję u do równania (11) otrzymujemy y = Q(x)e P (x) + C 1 e P (x). x x 0 q(t)e P (t) dt. Przykład Rozwiązać równanie różniczkowe liniowe niejednorodne postaci 2xy = x. (13) dx Rozwiązujemy najpierw równanie liniowe jednorodne postaci Rozdzielając zmienne otrzymujemy y = 2xdx y = 2xy = 0. dx 2xdx ln y = x 2 + C 1 y = e x2 +C 1 y = Ce x2, gdzie C 0. Uzmienniamy teraz stałą w całce ogólnej równania liniowego jednorodnego przyjmując C = u(x) i przewijemy rozwiązanie równania niejednorodnego (13) w postaci Różniczkując względem x otrzymujemy Wstawiając warunki (14) i (15) do równania (13) dostajemy y = u(x)e x2. (14) dx = dx ex2 + 2xe x2 u(x). (15) dx ex2 + 2xe x2 u(x) 2xe x2 u(x) = x dx ex2 = x. 10
11 Rozdzielamy zmienne a następnie całkujemy obustronnie = xe x2 dx = xe x2 dx, = 1 ( 2x)e x2 dx u = e x2 + C. Wstawiając otrzymaną funkcję u do równania (14) otrzymujemy, po prostych przekształceniach, rozwiązanie równania (13) y = Cex2. Twierdzenie (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania różniczkowego liniowego) Jeżeli funkcje p i q są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x 0 (a, b), y 0 R, to zagadnienie początkowe y + p(x)y = q(x), y(x 0 ) = y 0, ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a, b). Uwaga Inaczej mówiąc, przez każ punkt pasa (a, b) R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego liniowego. Przykład Wyznaczymy rozwiązanie zagadnienia początkowego ( ) 5π y sin x y = 1, y = 0 (16) 2 oraz przedział, na którym jest ono określone. Zaczniemy od przekształcenia równania (16) do postaci y + p(x)y = q(x), czyli y y sin x = 1 sin x. Zauważmy teraz, że funkcje p i q są określone wzorami p(x) = 1 sin x oraz q(x) = 1 sin x i są ciągłe na każm przedziale (kπ, (k + 1)π), gdzie k Z. Ponadto wartość początkowa x 0 = 5π 2 należy do przedziału (kπ, (k + 1)π) tylko dla k = 2. Z twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności wynika więc, że rozwiązanie rozważanego zagadnienia jest określone na przedziale (2π, 3π). W celu wyznaczenia tego rozwiązania wykorzystamy metodę uzmienniania stałej. Zaczynamy od rozdzielenia zmiennych w równaniu liniowym jednorodnym, czyli a więc y y = y sin x = 0, 11 dx sin x.
12 Stąd, po scałkowaniu i prostych przekształceniach, otrzymujemy y(x) = Ctg x 2. Zatem przewijemy rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego w postaci Różniczkując powyższą funkcję mamy y(x) = u(x)tg x 2. y = dx tgx 2 + u(x) 2 cos 2 x 2 Podstawiając teraz do równania liniowego niejednorodnego dostajemy. czyli stąd a więc dx tgx 2 + u(x) 2 cos 2 x 2 dx tgx 2 = 1 sin x, bo u(x)tg x 2 sin x = 1 sin x, u(x) 2 cos 2 x 2 dx = 1 sin x ctgx 2 = 1 2 sin 2 x, 2 u(x) = ctg x 2 + C 1. = u(x)tg x 2 sin x, Zatem rozwiązanie równania liniowego niejednorodnego dane jest wzorem y(x) = 1 + C 1 tg x 2. Wykorzystujac zadany warunek początkowy mamy ( ) 5π 0 = y = 1 + C 1 tg 5π 2 4 C 1 = 1. Stąd wynika, że rozwiązaniem rozważanego zagadnienia początkowego jest funkcja która jest określona na przedziale (2π, 3π). y(x) = 1 + tg x 2, 12
13 2.4. Równanie różniczkowego Bernoulliego Definicja Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci gdzie r R\ {0, 1}, nazywamy równaniem Bernoulliego. y + p(x)y = h(x)y r, (17) Uwaga Gby dopuścić r = 0, to równanie Bernoulliego byłoby równaniem różniczkowym niejednorodnym. Natomiast dla r = 1, to równanie byłoby równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. Zauważmy jeszcze, że dla r > 0 funkcja y 0 jest jednym z rozwiązań równania Bernoulliego. Uwaga (Sprowadzanie równania Bernoulliego do równania liniowego) Równanie różniczkowe Bernoulliego (17), przez zamianę zmiennych z = y 1 r, sprowadza się do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego postaci z + (1 r) p(x)z = (1 r) h(x). Przykład Wyznaczymy rozwiązania równania y 2xy = 2x 3 y 2. (18) Łatwo zauważyć, że równanie (18) jest równaniem Bernoulliego, przy czym p(x) = 2x, h(x) = 2x 3, r = 2. Zauważmy najpierw, że funkcja y 0 jest jednym z rozwiązań równania (18). Załóżmy dalej, że y 0 i podzielmy obie strony równania (18) przez y 2. Otrzymamy wówczas y y 2 2x y = 2x3. (19) Korzystając z Uwagi wiemy, że powyższe równania można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego niejednorodnego stosując odpowiednia zamianę zmiennych. Przyjmijmy zatem, że a stąd Podstawiając (20) i (21) do równania (19), otrzymujemy z = y 1 2 = y 1, (20) z = y y 2. (21) z + 2xz = 2x 3. (22) 13
14 Szukamy teraz rozwiązań równania jednorodnego z + 2xz = 0, czyli, po rozdzieleniu zmiennych a stąd po scałkowaniu dz z = 2xdx, ln z = x 2 + C 0 z = e x2 +C 0 z = Ce x2, gdzie C = e C 0 lub C = e C 0. W kolejnym kroku przewijemy rozwiązanie równania (22) w postaci (czyli uzmienniamy stałą) a stąd z = z = u(x)e x2, dx e x2 2xu(x)e x2. Podstawiając otrzymane warunki do równania (22) dostajemy czyli co jest równoważne a stąd, po scałkowaniu, otrzymujemy dx e x2 2xu(x)e x2 + 2xu(x)e x2 = 2x 3, dx e x2 = 2x 3, = 2x 3 e x2 dx, u(x) = x 2 e x2 + e x2 + C 1, gdzie C 1 R. Zatem rozwiązaniem równania (22) jest funkcja określona wzorem ) z = z(x) = ( x 2 e x2 + e x2 + C 1 e x2 = x C 1 e x2, gdzie C 1 R. Stąd, w oparciu o (20), otrzymujemy postać niezerowego rozwiązania wyjściowego równania (18), czyli 1 y(x) =, x C 1 e x2 gdzie C 1 R. 14
15 2.5. Równania różniczkowe zupełne Definicja Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzę pierwszego postaci P (x, y) + Q(x, y) = 0, (23) dx gdzie P i Q są takimi funkcjami ciagłymi w pewnym obszarze D R 2, że wyrażenie P (x, y)dx + Q(x, y) (24) jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F określonej w obszarze D. Uwaga Stwierdzenie, że wyrażenie (24) jest różniczką zupełną pewnej funkcji F oznacza, że w obszarze D istnieje taka funkcja różniczkowalna F (dwóch zmiennych), że 1 F (x, y) = P (x, y), 2 F (x, y) = Q(x, y), (x, y) D. (25) Twierdzenie Niech D R 2 będzie obszarem jednospójnym i niech funkcje P, Q : D R mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzę w każm punkcie tego obszaru. Wyrażenie (24) jest różniczką zupełną wte i tylko wte, g 2 P (x, y) = 1 Q(x, y), (x, y) D. (26) Twierdzenie Niech D R 2 będzie obszarem jednospójnym i niech funkcje P, Q : D R mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzę w każm punkcie tego obszaru. Jeżeli wyrażenie (24) jest różniczką zupełną funkcji F w obszarze D, to równanie F (x, y) = C, (x, y) D, gdzie C jest dowolną stałą, określa wszystkie rozwiązania równania różniczkowego zupełnego (23). Przykład Wyznaczymy rozwiązania równania 4x 3 + 6xy 3 + ( 9x 2 y ) dx = 0. (27) Sprawdzamy najpierw, czy równanie (27) jest różniczką zupełną. W tym celu przyjmijmy, że P (x, y) = 4x 3 + 6xy 3, Q(x, y) = 9x 2 y Oczywiście funkcje P i Q mają ciągłe pochodne cząstkowe w każm punkcie płaszczyzny R 2 oraz 2 P (x, y) = 18xy 2 1 Q(x, y) = 18xy 2, (x, y) R 2, a więc warunek (26) jest spełniony w każm punkcie płaszczyzny. Zatem zbiorem D może być dowolny jednospójny obszar płaski, w szczególności cała płaszczyzna. 15
16 Z pierwszego z warunków (25) mamy 1 F (x, y) = 4x 3 + 6xy 3, czyli F (x, y) = (4x 3 + 6xy 3 )dx = x 4 + 3x 2 y 3 + ϕ(y), gdzie ϕ jest dowolną funkcją różniczkowalną zmiennej y. Funkcję ϕ wyznaczymy wykorzystując drugi z warunków (25), czyli 2 F (x, y) = 9x 2 y 2 + 3, a z drugiej strony a więc Zatem 2 F (x, y) = 9x 2 y 2 + ϕ (y), ϕ (y) = 3 ϕ(y) = 3y. F (x, y) = x 4 + 3x 2 y 3 + 3y, a więc wszystkie krzywe całkowe równania (27) tworzą rodzinę linii gdzie C R. x 4 + 3x 2 y 3 + 3y = C, 2.6. Równania różniczkowe liniowe drugiego rzę o stałych współczynnikach Definicja Równaniem różniczkowym rzę drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci y + ay + by = f(x), (28) gdzie a i b oznaczają dowolne stałe rzeczywiste, a f jest dowolną funkcją ciągłą w pewnym przedziale I R. Jeżeli f 0, to równanie (28) przyjmuje postać y + ay + by = 0, (29) i nazywamy je równaniem jednorodnym (lub uproszczonym), w przeciwnym przypadku równaniem niejednorodnym (lub w postaci ogólnej ). Twierdzenie Jeżeli funkcja y 1 = y 1 (x; C 1, C 2 ) jest ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego (29), a funkcja y 2 = y 2 (x) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego (28), to rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (28) wyraża się wzorem y = y 1 (x; C 1, C 2 ) + y 2 (x). 16
17 Wte Równania różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzę o stałych współczynnikach W równaniu (29) podstawmy czyli równanie (29) przyjmuje postać skąd, po podzieleniu przez e rx, otrzymujemy y = e rx. y = re rx, y = r 2 e rx, r 2 e rx + are rx + be rx = 0, r 2 + ar + b = 0. (30) Równanie to nazywamy równaniem charakterystycznym równania (29). Postać rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (29) zależy od postaci pierwiastków jego równania charakterystycznego. Mianowicie (i) jeżeli a 2 4b > 0, czyli równanie (30) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r 1 i r 2, to równanie jednorodne (29) ma rozwiązanie ogólne postaci y = C 1 e r 1x + C 2 e r 2x, C 1, C 2 R; (ii) jeżeli a 2 4b = 0, czyli równanie (30) ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r 1 = r 2, to równanie jednorodne (29) ma rozwiązanie ogólne postaci y = (C 1 x + C 2 ) e r 1x, C 1, C 2 R; (iii) jeżeli a 2 4b < 0, czyli równanie (30) ma dwa różne pierwiastki zespolone r 1 = α βi i r 2 = α + βi, to równanie jednorodne (29) ma rozwiązanie ogólne postaci gdzie y = e αx (C 1 cos β + C 2 sin β), C 1, C 2 R, α = a 4b a 2, β = 2. 2 Przykład Wyznaczymy rozwiązania równania y + 4y + 3y = 0. (31) Jest to równanie różniczkowe liniowe jednorodne drugiego rzę o stalych współczynnikach. Tworzymy równanie charakterystyczne r 2 + 4r + 3 = 0 i wystarczy zauważyć, że wyróżnik tego trójmianu kwadratowego jest dodatni, a więc równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r 1 = 3, r 2 = 1. Zatem ogólne rozwiązanie równania (31) jest postaci gdzie C 1, C 2 R. y = C 1 e 3x + C 2 e x, x R, 17
18 Równania różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzę o stałych współczynnikach Z Twierdzenia wynika, że całkę ogólną równania niejednorodnego (28) otrzymujemy jako sumę całki ogólnej równania jednorodnego (29) i całki szczególnej równania niejednorodnego (28). Całkę szczególną równania (28) znajjemy zazwyczaj bądź metodą przewiwań, bądź metodą uzmienniania stałej. W poniższym przykładzie omówimy metodę przewiwań. Przykład Wyznaczymy całkę ogólną równania różniczkowego y 4y + 4y = 8x 3 36x. (32) Oczywiście jest to równanie różniczkowe liniowe niejednorodne drugiego rzę o stałych współczynnikach, przy czym funkcja f o wzorze f(x) = 8x 3 36x, jest ciągła w R. Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne Równanie charakterystyczne y 4y + 4y = 0. (33) r 2 4r + 4 = 0, ma jeden podwójny pierwiastek rzeczywisty r 1 = 2, wobec tego całka ogólna równania (33) jest postaci y 1 (x; C 1, C 2 ) = (C 1 x + C 2 ) e 2x, C 1, C 2 R. Następnie przewijemy jako całkę szczególną równania (32) wielomian stopnia trzeciego, ponieważ funkcja f jest wielomianem stopnia trzeciego. Niech y 2 = ax 3 + bx 2 + cx + d. Wte y 2 = 3ax 2 + 2bx + c, y 2 = 6ax + 2b. Postawiając powyższe warunki do równania (32) otrzymujemy skąd, po uporządkowaniu, Zatem stąd a więc 6ax + 2b 12ax 2 8bx + 4ax 3 + 4bx 2 + 4cx + 4d = 8x 3 36x, 4ax 3 + (4b 12a)x 2 + (6a 8b + 4c)x + (2b 4c + 4d) = 8x 3 36x. 4a = 8 4b 12a = 0 6a 8b + 4c = 36 2b 4c + 4d = 0, a = 2 b = 6 c = 0 d = 3, y 2 = 2x 3 + 6x 2 3. Z Twierdzenia wynika zatem, że całka ogólna równania (32) jest postaci czyli gdzie C 1, C 2 R. y = y 1 (x; C 1, C 2 ) + y 2 (x), y = (C 1 x + C 2 ) e 2x + 2x 3 + 6x 2 3, x R, 18
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowo1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1 Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład 1. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne. 1 Rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 13 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WFiIS, informatyka stosowana, I rok Elżbieta Adamus 17 maja 2018r. Równania różniczkowe zwyczajne 1 Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Równania różniczkowe 11.05.018 1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowo1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu
1. Równanie różniczkowe pierwszego rzędu Wiele zagadnień geometrycznych, fizycznych, ekonomicznych i innych prowadzi do zależności, w których pojawiają się pochodne. Przykład. Znaleźć krzywą dla której
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
2. Równania o rozdzielonych zmiennych 2 1 2 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe II rzędu
Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd
Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu, cd Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Równania różniczkowe zwyczajne w postaci uwikłanej........... 1 1.1.1 Rozwiązanie w postaci parametrycznej................
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowo2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego. Małgorzata Wyrwas
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/49 Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie
13. Równania różniczkowe - rozwiązywanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - rozwiązywanie 1 / 45
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,
Bardziej szczegółowoWykład VI. Badanie przebiegu funkcji. 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) 3. Ekstrema lokalne: 4. Punkty przegięcia. Uwaga!
Wykład VI Badanie przebiegu funkcji 1. A - przedział otwarty, f D A x A f x > 0 f na A x A f x < 0 f na A 2. A - przedział otwarty, f D 2 (A) x A f x > 0 fwypukła ku górze na A x A f x < 0 fwypukła ku
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n
Rachunek różniczkowy i całkowy w przestrzeniach R n Na dzisiejszym wykładzie rozważać będziemy funkcje f : R m R n Każda taka funkcję f można przedstawić jako wektor funkcji (f 1, f 2,, f n ), gdzie każda
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowo26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU
6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoIII. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.
III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Analiza Matematyczna. Aleksander Denisiuk
Analiza Matematyczna Równania różniczkowe Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Analiza
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowo( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne zadań dla sudenów kierunku Auomayka i roboyka WEAIiIB AGH Michał Góra Wydział Maemayki Sosowanej AGH I. Równania o zmiennych rozdzielonych: y = f (y)f () Zadanie. Rozwiąż
Bardziej szczegółowo1 Wiadomości wstępne z równań różniczkowych Podstawowe definicje Interpretacja geometryczna równania rzędu pierwszego...
Skrypt powstał na bazie wykładów z przedmiotu Równania różniczkowe, które prowadzę dla studentów drugiego semestru kierunku Automatyka i Robotyka na Wydziale Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej.
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 2 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Oblicz pochodne cząstkowe funkcji: a) f(x, y) = x sin y x b) f(x, y) = e y +x 2 c) f(x, y, z) = z cos x+y z 2. Oblicz pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji: 3. Wyznacz
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna część 5
[wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1 Równania różniczkowe Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowo