Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa"

Transkrypt

1 Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012

2 Preskrypt n prwch rêkopisu Copyright by Grzegorz Dzierżnowski i Mrt Sitek, Wrszw 2012 Utwór w cłości ni we frgmentch nie może być powielny ni rozpowszechniny z pomocą urządzeń elektronicznych, mechnicznych, kopiujących, ngrywjących i innych, w tym nie może być umieszczny ni rozpowszechniny w internecie bez pisemnej zgody posidcz prw utorskich ISBN Księgrni internetow Oficyny Wydwniczej PW tel.: , ; fx ; e-mil: Oficyn Wydwnicz PW, ul. Poln 50, Wrszw. Wydnie I. Zmówienie nr 157/2012 Druk i oprw: Drukrni Oficyny Wydwniczej Politechniki Wrszwskiej, tel

3 Spis treści Wstęp... 5 Oznczeni NczympolegMetodElementówSkończonych? Równniliniowejsttykiwzpisiemcierzowym Dyskretnymodelobliczeniowy Pojęcie elementu skończonego. Aproksymcj przemieszczeń Agregcj elementów skończonych. Równnie równowgi konstrukcji PrzykłdzstosowniMES AlgorytmobliczeńMES Przykłddziłnilgorytmu Pytniizdnikontrolne Konstrukcjeprętowe Równnisttykiprętrmyprzestrzennej Równnirównowgiwwersjiprzemieszczeniowej Równniprętówsmukłychiprętówśredniejgrubości Elementyskończonewteoriiprętówsmukłych Elementrmyprzestrzennej Elementprętścisknego Elementbelki Elementrmypłskiej Elementrusztuowęzłchsztywnych Elementyskończonewteoriiprętówśredniejgrubości Dwuwęzłowyelementbelkowy Trójwęzłowyelementbelkowy Cłkownienumeryczne Pytniizdnikontrolne Przykłdy Konstrukcjezprętówsmukłych Krtownicpłsk... 60

4 Słupozmiennymprzekroju Belk Belk Łukprboliczny Rmpłsk Rmpłskzprętmikrtowymi Rusztowęzłchsztywnych Rmprzestrzenn Konstrukcjezprętówśredniejgrubości Belk Belk Łukprboliczny Zdnidosmodzielnegorozwiązni Bibliogrfi...105

5 Wstęp Konstrukcje inżynierskie poddne dziłniu obciążeń ulegją odksztłceniom, którym towrzyszą siły wewnętrzne. Jednym z zdń stwinych przed projektntem jest obliczenie tych wielkości i porównnie ich z wrtościmi dopuszczlnymi. W wielu przypdkch wiąże się to z koniecznością wielokrotnej nlizy sttycznej lub dynmicznej przy zmienijących się dnych początkowych. Rozmitość typów ustrojów budowlnych i teorii opisujących ich odpowiedź n zdne obciążenie wymg od inżynierów budownictw znjomości różnych metod obliczeniowych, których zstosownie często jest ogrniczone do jednego rodzju konstrukcji i wąskiej klsy obciążeń. Celowe wydje się więc poznnie i zrozumienie techniki obliczeniowej umożliwijącej efektywną nlizę wytrzymłościową ustroju budowlnego i obejmującej swoim zsięgiem prktycznie kżde zgdnienie inżynierskie. Jedną z tkich technik jest Metod Elementów Skończonych(MES). Progrmy komputerowe MES są njpopulrniejszymi obecnie nrzędzimi wspomgjącymi projektownie. Rozwiązni otrzymne z ich pomocą są w przewżjącej większości przybliżone, jednk są kceptowlne w zstosownich prktycznych. Potrzeb zstosowni MES, lub metody pokrewnej, jest szczególnie widoczn w obliczenich konstrukcji, których opis mtemtyczny jest dość skomplikowny, np. konstrukcji z wielu mteriłów, konstrukcji o złożonym ksztłcie, itp. Równni Metody Elementów Skończonych możn wyobrzić sobie jko zdni formułowne w języku lgebry liniowej. Co z tym idzie, nleży przyjąć, że wyrzmi w słowniku MES są mcierze i wektory symbolizujące cechy konstytutywne mteriłu, obciążeni konstrukcji orz stowrzyszone z nimi przemieszczeni, nprężeni i odksztłceni. Istotną cechą tych wyrzów i zdń jest ich uniwerslność, co z kolei stwrz możliwość zstosowni w opisie zchowni dowolnej konstrukcji budowlnej.

6 6 Inżynierowie-projektnci korzystją z szerokiej gmy oprogrmowni MES. Nie byłoby ztem celowe omwinie funkcjonlności wybrnego systemu obliczeniowego, poniewż to zdnie powinien wypełnić dołączny zwykle do progrmu podręcznik użytkownik. W złożeniu utorów, niniejsze oprcownie m pomóc Czytelnikowi w zrozumieniu idei leżącej u podstw modelowni skończenieelementowego, smodzielnej implementcji lgorytmu MES w dowolnym środowisku progrmistycznym, tkże interpretcji wyników obliczeń dostrcznych przez progrm komputerowy. Tekst jest skierowny przede wszystkim do studentów Budownictw. Zkres omwinego w skrypcie mteriłu jest ogrniczony do njwżniejszych pojęć z zkresu MES i odpowid progrmowi 45-godzinnego kursu Mechnik Konstrukcji 3 prowdzonego n 2. semestrze studiów II stopni n Wydzile Inżynierii Lądowej Politechniki Wrszwskiej dl studentów specjlności Inżynieri produkcji budowlnej. Autorzy mją jednk ndzieję, że treści zwrte w oprcowniu będą przydtne studentom innych przedmiotów, specjlności lub kierunków studiów. Skrypt skłd się z dwóch części. Część I poświęcon jest wprowdzeniu idei MES, jko nrzędzi służącego do otrzymywni rozwiązń przybliżonych. Szczegółowo omwi się w niej elementy skończone stosowne przy modelowniu konstrukcji prętowych smukłych i średniej grubości w populrnych progrmch komercyjnych. Część II dotyczy zstosowni MES w odniesieniu do zgdnień sttyki konstrukcji dwuwymirowych(trcz i płyt) orz rozszerz rozwżni o niektóre, istotne z inżynierskiego punktu widzeni zdni modelowni skończenieelementowego. Tki podził omwinego mteriłu jest uzsdniony kolejnością wykłdów z zkresu Mechniki Konstrukcji w progrmie studiów n kierunku Budownictwo. Elementrn teori deformcji prętów jest omwin n studich I stopni(inżynierskich). Co z tym idzie, równni tej teorii są nturlną podstwą, n której możn oprzeć rozwżni dotyczące przybliżonych metod obliczeniowych, w szczególności Metody Elementów Skończonych. Rozumienie zgdnień teorii konstrukcji powierzchniowych ujętych w progrmie studiów II stopni(mgisterskich) ułtwi Czytelnikowi śledzenie mteriłu drugiej części skryptu. Ukłd części I jest nstępujący: rozdził 1 poświęcono omówieniu idei Metody Elementów Skończonych, przy czym mtemtyczn ścisłość wywodu nie jest tu njistotniejsz. Wprowdzjąc pojęci z zkresu MES, utorzy odwołują się do znnych Czytelnikowi formuł, strjąc się jednocześnie ujednolicić ich zpis korzystjąc z język lgebry mcierzy. W rozdzile 2 przypomnine są równni sttyki pręt rmy przestrzennej w teorii prętów smukłych i średniej grubości. N tej podstwie omówione

7 Wstęp 7 są typowe elementy skończone dostępne w bibliotekch komercyjnych systemów MES. N końcu obu rozdziłów zmieszczony jest zestw pytń i zdń kontrolnych wrz z odpowiedzimi. Rozdził 3 zwier przykłdy zstosowni MES w nlizie sttycznej ukłdów prętowych smukłych i średniej grubości, zś w rozdzile 4 zmieszczono zdni przeznczone do smodzielnego rozwiązni przez Czytelnik. Spis litertury obejmuje jedynie pozycje wydne w języku polskim. Zdniem utorów tki wybór jest uzsdniony, poniewż zbiór lektur w początkowym okresie studiów nd dowolnym zgdnieniem powinien zwierć teksty nie stwrzjące dodtkowych trudności językowych. N stronie internetowej Zkłdu Mechniki Budowli i Zstosowń Informtyki Politechniki Wrszwskiej, pod dresem index.php/mterily-pomocnicze/mk3-ipb.html dostępne są procedury MAPLE ilustrujące niektóre zdni rozwiązne w skrypcie. Przy oprcowniu mteriłu przyjęto złożenie, że Czytelnik I części skryptu zn pojęci wykłdne w rmch przedmiotów progrmu studiów I stopni n kierunku Budownictwo. W szczególności zkłd się, że posługuje się on progrmem symbolicznych obliczeń mtemtycznych w zkresie lgebry mcierzy orz umie formułowć i rozwiązywć zgdnieni omwine n przedmiotch Wytrzymłość Mteriłów i Mechnik Konstrukcji. W smodzielnej numerycznej implementcji lgorytmu MES pomocn będzie również znjomość podstw progrmowni wyniesion z zjęć Informtyki. Teoretyczną podstwę części II stnowią pojęci i metody obliczeniowe teorii konstrukcji powierzchniowych wykłdne n 1. semestrze studiów II stopni w rmch przedmiotu Teori Sprężystości. Znjomość wymienionych wyżej zgdnień pozwoli n oprcownie włsnych procedur obliczeniowych i porównnie rozwiązń otrzymnych metodmi komputerowymi z rozwiąznimi nlitycznymi, co w opinii utorów jest brdzo istotnym elementem w zrozumieniu mteriłu zwrtego w kżdym kursie MES.

8 Oznczeni Metod Elementów Skończonych(MES) operuje oznczenimi symbolizującymi wektory i mcierze. Mogą być one odniesione do cłej konstrukcji (wektory i mcierze globlne) lub do pojedynczego elementu skończonego (wektory i mcierze loklne). Konieczne jest ztem ustlenie znczników służących jednozncznemu rozpoznniu i przyporządkowniu wielkości lgebricznych. Poniżej nkreślone zostły jedynie ogólne zsdy znkowni stosowne w tekście. Znczenie poszczególnych symboli wektorów i mcierzy są objśnione w dlszej części skryptu, przy okzji omwini kolejnych zgdnień formułownych w języku MES. N początkowym etpie progrmowni MES pomocne będą również rysunki ilustrujące podził konstrukcji n elementy skończone, orientcję loklnych ukłdów współrzędnych względem ukłdu globlnego, czy różnice w globlnej i loklnej numercji węzłów. Wektory i mcierze globlne Opis wielkości lgebricznych o zsięgu globlnym, bądź wspólnych dl wszystkich elementów konstrukcji, nie wymg dodtkowego zncznik. Wektory i mcierze loklne odniesione do węzłów Przyjęto konwencję znkowni wektorów i mcierzy o zsięgu loklnym z pomocą dolnych indeksów oddzielonych przecinkmi. Ustlenie zsięgu wymg podni w indeksie dolnym numeru elementu e orz numeru węzł w obszrze elementu j. Indeks e, j nleży ztem czytć nstępująco:

9 Oznczeni 9 węzeł o loklnym numerze j w elemencie o numerze e. N przykłd: q 10 wektorprzemieszczeńelementuonumerze10, q 10,2 wektorprzemieszczeńwęzłoloklnymnumerze2, w elemencie o numerze 10, Q 0 10,2 wektorzstępczychsiłwęzłowychwloklnymwęźlenr2 w elemencie o numerze 10, K 10 mcierzsztywnościelementuonumerze10. Wektory loklne odniesione do punktów pozwęzłowych Niektóre używne w tekście symbole lgebriczne odnoszą się do punktów pozwęzłowych, np. środk elementu, bądź punktu cłkowni. W tym przypdku obowiązuje system indeksowni identyczny do objśnionego powyżej, przy czym loklny numer węzł zstępuje się loklnym numerem punktu pozwęzłowego.

10 Rozdził 1 N czym poleg Metod Elementów Skończonych? 1.1. Równni liniowej sttyki w zpisie mcierzowym Mterił omówiony w tej części skryptu obejmuje zdni sttyczne. Zgdnieni związne z zstosowniem MES w przypdkch obciążeń geometrycznych bądź termicznych są poruszne w części II. Niech Ω ozncz obszr konstrukcji, p wektor obciążeń, u wektor przemieszczeń, ε wektor odksztłceń, zś σ wektor nprężeń lub sił wewnętrznych. Pondto, niech wektor q określ wrtości nrzucone n skłdowewektorunbrzeguobszruω,ozncznegosymbolemγ.wtym sensie, o przemieszczenich mówi się, że są kinemtycznie dopuszczlne. Znczenie występujących w języku MES wielkości wektorowych i mcierzowych wynik z teorii opisującej rozwżne zgdnienie inżynierskie. Przykłdowo, w teorii belek smukłych przyjmuje się p(x)=[q(x)], u(x)=[w(x)], ε(x)=[κ(x)], σ(x)=[m(x)], (1.1)

11 1.1. Równni liniowej sttyki w zpisie mcierzowym 11 gdziex Ωjestwspółrzędnąmierzonąwzdłużosiprętów.Wteoriitrczw płskim stnie nprężeni te sme wektory przybierją postć p(x,y)=[p x (x,y),p y (x,y)] T, u(x,y)=[u(x,y),v(x,y)] T, ε(x,y)=[ε x (x,y),ε y (x,y),γ xy (x,y)] T, σ(x,y)=[n x (x,y),n y (x,y),n xy (x,y)] T, (1.2) przy czym(x, y) Ω są współrzędnymi dowolnego punktu trczy. Oznczeni stosowne w wyrżenich(1.1),(1.2) powinny być Czytelnikowi znne z kursów Wytrzymłości Mteriłów i Mechniki Konstrukcji. Skłdowe wektorów p, u, ε, σ łączą nstępujące ogólne związki liniowej sttyki: związek geometryczny ε=du, (1.3) gdzie D jest włściwą dl rozptrywnej teorii mcierzą opertorów różniczkowych; związek konstytutywny σ=eε, (1.4) gdzie E jest mcierzą cech mteriłowych(mcierzą konstytutywną), orz wrunek równowgi(zpisny w formie równni prc wirtulnych) Ω ū T pdx+ q T Qds= ε T σdx, (1.5) Γ Ω gdzie ū, ε są wektormi przemieszczeń i odksztłceń wirtulnych związnymi równniem(1.3), q jest wektorem wrtości brzegowych funkcji wirtulnych przemieszczeń, zś Q wektorem sił brzegowych. Równnie (1.5) odnosi się do początkowej(nieodksztłconej) konfigurcji Ω, co jest uzsdnione złożeniem o niezbyt dużych przemieszczenich konstrukcji w porównniu z jej wymirmi. Uzupełnijąc opis równń(1.3),(1.4) wrto przypomnieć, że mcierze D orz E przybierją postci D= [ ] d2 dx 2, E=[EJ], (1.6)

12 12 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? w teorii belek smukłych, orz 0 dx 1 ν 0 D= 0, E= Eh y 1 ν 2 ν ν y x, (1.7) w teorii trcz izotropowych prcujących w płskim stnie nprężeni(psn). Występujące w wyrżeniu(1.5) wielkości określone przymiotnikiem wirtulny nleży rozumieć jko teoretycznie możliwy, bądź mogący zistnieć. Wektory ū, q orz ε są ztem niezleżne od rzeczywistego obciążeni p i mogą być dobierne dowolnie w rmch ogrniczeń nłożonych przez związek geometryczny(1.3) orz wymóg zgodności przemieszczeń z wrunkmi brzegowymi. Wynik stąd, że kinemtycznie dopuszczlne przemieszczeni i stowrzyszone z nimi odksztłceni mogą być trktowne jko wielkości zmienne w równniu prc wirtulnych, zś obciążeni i wynikjące z nich nprężeni jko wielkości ustlone. Jeżeli ztem równnie(1.5) mbyćspełnionezwsze,czylidldowolnychū, qorz ε,toskłdowep,q orz σ muszą być ze sobą sprzężone dodtkową zleżnością, tzw. wrunkiem sttycznej dopuszczlności sił wewnętrznych. Przybier on postć ukłdu równń różniczkowych, nzywnych loklnymi równnimi równowgi. Ich jednoznczne rozwiąznie jest możliwe jeżeli spełnione są dodtkowo wrunki brzegowe nrzucone n skłdowe wektor σ. Ozncz to, że określenie sttycznie dopuszczlnych sił wewnętrznych n podstwie loklnych równń równowgi jest równowżne zgdnieniu wyznczeni cłki szczególnej niejednorodnego równni różniczkowego. W teorii belek smukłych, loklne równnie równowgi zpisuje się jko zśwteoriitrczpsn d 2 dx2m+q=0, (1.8) x N x+ y N xy+p x =0, x N xy+ y N y+p y =0. (1.9) Wrunek sttycznej dopuszczlności sił wewnętrznych w konstrukcjch prętowych jest szczegółowo omówiony w rozdz. 2. Zgdnieni trczowe są omwine w II części skryptu.

13 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 13 Uwzględnienie związków(1.3),(1.4) w wyrżenich(1.8),(1.9) pozwl z kolei n otrzymnie formuł różniczkowych, w których niewidomymi są skłdowe wektor przemieszczeń u. N przykłd, równnie opisujące funkcję ugięci smukłej belki zginnej przybier postć d 4 dx 4w q EJ =0, (1.10) zś związki określjące funkcje przemieszczeń trczy izotropowej w płskim stnie nprężeni zpisuje się jko [ Eh 1 ν 2 x Eh 1 ν 2 ( u x +ν v y [ 1 ν 2 x ( u y + v x ) + 1 ν 2 ) + y ( u y y + v x ( ν u x + v y )] +p x =0, )] +p y =0. (1.11) 1.2. Dyskretny model obliczeniowy Pojęcie elementu skończonego. Aproksymcj przemieszczeń Znlezienie rozwiązni loklnych równń równowgi w kżdym punkcie leżącym w obszrze konstrukcji jest możliwe jedynie w nielicznych przypdkch. Co z tym idzie, ścisł nliz ukłdu kontynulnego Ω jest w ogólności niemożliw w rmch przyjętych złożeń i wymg uproszczeni. W tym rozdzile opisny jest sposób przybliżonego określeni funkcji w w równniu(1.10) orz u, v w równnich(1.11) z pomocą njpopulrniejszej, przemieszczeniowej wersji Metody Elementów Skończonych. Stosownie MES wymg zdefiniowni skończonej liczby niezleżnych prmetrów(tzw. kinemtycznych stopni swobody) określjących przemieszczeni wybrnych punktów konstrukcji(tzw. węzłów). Połączenie węzłów linimi wprowdz podził kontinuum n frgmenty(tzw. elementy skończone), któredośćdobrzewypełnijącłyobszrω(por.rys.1.1),przyczymksztłti wymiry elementów nie muszą być jednkowe. Punkty węzłowe mogą również występowć w obszrze elementu skończonego, lecz oddziływni między elementmi sąsidującymi są możliwe jedynie w węzłch wspólnych. Obciążeni i wrunki brzegowe przemieszczeń możn definiowć tkże tylko wwęzłch.

14 14 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? ) b) c) Rysunek 1.1. ) belk podzielon n elementy skończone, b) trcz PSN przed podziłem n elementy skończone, c) trcz z rys. b) podzielon n elementy skończone. Kropkmi oznczono wybrne w obszrze konstrukcji punkty węzłowe. Nietrudno stwierdzić, że podstwowym w rozumieniu MES, njmniejszym frgmentem dyskretnego modelu konstrukcji jest element o skończonych wymirch. Dl porównni wrto przypomnieć, że w klsycznym ujęciu kontynulnym znnym z teorii sprężystości, z njmniejszy frgment przyjmuje się cząstkę o wymirch nieskończenie młych. Wrunki równowgi dyskretnego modelu obliczeniowego zpisuje się w postci ukłdu równń lgebricznych ze skończoną liczbą niewidomych. Rozwiąznie ukłdu jest równowżne obliczeniu przemieszczeń stowrzyszonych ze stopnimi swobody konstrukcji, więc ogrnicz się do wyznczeni przybliżonych wrtości funkcji przemieszczeń w wybrnych n wstępie punktch węzłowych. N podstwie powyższego, dość lpidrnego opisu idei MES możn wnioskowć, że gęstość sitki wezłów, ich rozmieszczenie w obszrze Ω orz liczb stopni swobody są istotnymi czynnikmi wpływjącymi n dokłdność rozwiązni przybliżonego. Tk jest w istocie, współcześnie stosowne progrmy komputerowe bzujące n MES i moc mszyn obliczeniowych pozwlją n rozwiązywnie ukłdów równń lgebricznych z liczbą niewidomych sięgjącą kilkudziesięciu milionów. Poprwny dobór funkcji proksymcyjnych(tj. opisujących przemieszczeni konstrukcji w sposób przybliżony) jest jednym z njistotniejszych zgdnieńwteoriimes.polegononokreśleniuwektorówu e wobszrze kżdego elementu skończonego, nstępnie n sklejeniu skłdowych tych

15 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 15 wektorów wzdłuż krwędzi łączących elementy sąsidujące. Funkcje proksymujące przybierją zwykle postć wielominu, którego stopień zleżny jest odwymiruwektorbrzegowychwrtościprzemieszczeńq e.nprzykłd, w teorii krtownic funkcje proksymcyjne są wielominmi stopni 1, zś w teorii rm z prętów smukłych stopień wielominu jest równy 3. Kwesti t jest szczegółowo omówion w rozdz. 2. Niechn e oznczliczbęelementówskończonychwprzyjętejdyskretyzcji kontinuum,ω,ω e obszrkonstrukcjiiobszre-tegoelementuskończonego,u h wektorprzybliżonychprzemieszczeńω,u e wektorprzybliżonych przemieszczeńelementuskończonegoonumerzee,gdziee=1,...,n e,zś q e wektorprzemieszczeńjegowęzłów,nzywnywteoriimeswektorem stopni swobody elementu, bądź wektorem loklnych stopni swobody. PrzemieszczenidowolnegopunktuwewnątrzΩ e określsiępostulującmcierz funkcjiproksymcyjnych(mcierzfunkcjiksztłtu)n e wwyrżeniu u e (x)= { Ne (x)q e x Ω e, 0 x Ω\Ω e. (1.12) Coztymidzie,u h przybierwobszrzeωpostć n e u h = u e. (1.13) e=1 Równnie równowgi(1.5) odniesione do pojedynczego(e-tego) elementu skończonego zpisuje się jko q T e ( ) Q e +Q 0 e = Ω e ε T e σ edx, (1.14) przy czym zgodnie z ideą MES, cłkę po brzegu Γ zstąpiono iloczynem sklrnym wektorów przemieszczeń i sił węzłowych Symbolem Γ e q T eq e ds q T eq e. (1.15) Q 0 e= N T ep e dx (1.16) Ω e oznczono wektor zstępczych obciążeń węzłowych elementu o numerze e. ZrozumienieróżnicymiędzywektormiQ 0 eiq e niepowinnosprwićkłopotu.skłdoweq 0 e sąekwiwlentemobciążenidziłjącegowobszrzeω e,

16 16 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? ntomistq e msensfizycznywektorrekcjiwwęzłchłączącyche-ty element skończony z elementmi sąsiednimi. Korzystjąc z(1.3),(1.4) orz(1.12), wyrżenie(1.14) możn przeksztłcić do postci [( ) ] q T e Q e= q T e B T e E eb e dx q e Q 0 e, (1.17) Ω e gdzie B e =DN e (1.18) jest mcierzą, której skłdowymi są pochodne funkcji ksztłtu, zś K e = B T e E eb e dx (1.19) Ω e ozncz mcierz sztywności elementu skończonego. Równnie(1.17)musibyćspełnionedldowolnegowektor q e,ztem, po wykorzystniu(1.18) w związkch(1.3) orz(1.4) otrzymuje się formuły ε e =B e q e, σ e =E e B e q e, Q e =K e q e Q 0 e, (1.20) stnowiącekompletrównńliniowejsttykidowolniewybrnegoobszruω e zjmownego przez element skończony o numerze e. Nietrudnozuwżyć,żeskłdowemcierzysztywnościK e sązleżne od przyjętej do opisu przemieszczeń wewnątrz e-tego elementu skończonegomcierzyfunkcjiksztłtun e.jejskłdowepostulujesięniezleżnie od loklnych równń równowgi w postci przemieszczeniowej, por.(1.10) orz(1.11). Mimo to, w nielicznych przypdkch możn wykzć, że funkcje ksztłtu spełniją te równni w sposób ścisły przy złożeniu, że obciążenie dziłjące w obszrze elementu skończonego jest zerowe, tzn. p = 0. Skłdowe wektorów odksztłceni i sił wewnętrznych wewnątrz elementu skończonego nie muszą być wyznczone dokłdnie pomimo przyjęci ścisłych funkcji ksztłtu w opisie przemieszczeń pręt. Wynik to z zstąpieni obciążenirzeczywistegopdziłjącegowobszrzeω e sttycznierównowżnym wektoremobciążeńwęzłowychq 0 e. Teori proksymcji w ścisłym, mtemtycznym ujęciu operuje pojęciem podprzestrzeniv h V,gdzieVjestprzestrzeniąwszystkichkinemtycznie dopuszczlnychpólprzemieszczeń,zśv h jejskończeniewymirowąpodprzestrzenią, której elementmi są funkcje postci(1.13). Pożądną cechą

17 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 17 rozwiązni przybliżonego, otrzymnego n podstwie nlizy MES, jest zbieżność do rozwiązni ścisłego przy zgęszczeniu sitki podziłu obszru ΩnpodobszryΩ e.żądnietomożnwyrzićwpostciu h uprzy h 0,gdziehjesttypowymwymiremobszruΩ e przypodzileregulrnym. Osiągnięcie tk postwionego celu jest możliwe dzięki zstosowniu w dyskretyzcji Ω tzw. elementów dostosownych, których funkcje ksztłtu spełniją nstępujące kryteri: ) ciągłości przemieszczeń w obszrze elementów i odpowiedniej klsy ich zgodności n brzegch(kryterium zgodności), b) zerowni się odksztłceń stowrzyszonych z przemieszczenimi odpowidjącymi ruchom sztywnym elementów(kryterium ruchu sztywnego), c) obecności skłdników odpowidjących z stłe odksztłceni. W dlszej części prcy omwine będą elementy skończone dostępne w bibliotekch populrnych progrmów inżynierskich. Pełne sprwdzenie kryteriów dostosowni wykrcz jednk poz rmy tego skryptu. Zinteresowni Czytelnicy powinni sięgnąć do brdziej zwnsownych pozycji litertury Agregcj elementów skończonych. Równnie równowgi konstrukcji Opis większości zgdnień mechniki w ujęciu MES wymg określeni wspólnego dl cłej konstrukcji, globlnego ukłdu współrzędnych(x, Y, Z) orzzwiąznychzelementmiskończonymiukłdówloklnych(x e,y e,z e ), e=1,...,n e,por.rys.1.2. Wprowdzonewpoprzednimrozdzilewielkości:q e wektorloklnych stopni swobody(przemieszczeń węzłów elementu skończonego o numerze e), Q 0 e wektorloklnychzstępczychobciążeńwęzłowych,q e wektorloklnychsił(rekcji)węzłowychorzk e mcierzsztywnościelementuskończonego określ się w ukłdzie loklnym elementu o numerze e, poniewż są wielkościmi uwzględnijącymi indywidulne cechy dnego frgmentu konstrukcji. Ukłd globlny jest ntomist środowiskiem, w którym definiuje się: r wektor globlnych stopni swobody(przemieszczeń wszystkich węzłów konstrukcji),r 0 wektorzstępczychobciążeńwęzłowychzebrnychzelementów skończonych uzupełnionych o obciążeni zdefiniowne bezpośrednio w ukłdziegloblnym(wektorr 00 ),R wektorrekcjiwięzówzewnętrznych orz K globlną mcierz sztywności(mcierz sztywności konstrukcji).

18 18 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? Pondto, w ukłdzie globlnym określ się więzy nrzucone n przemieszczeni węzłów, tkże formułuje i rozwiązuje równnie równowgi konstrukcji. Skłdowe wektorów i mcierzy występujących w opisie MES zmieniją wrtości wrz ze zminą ukłdu odniesieni. Poprwn reprezentcj tych wielkości lgebricznych w różnych ukłdch wymg ztem określeni wspólnej dl kżdego elementu skończonego reguły trnsformcji. Pociąg to z sobą konieczność wyznczeni dl kżdego elementu skończonego pewnej pomocniczej mcierzy tzw. mcierzy trnsformcji. Niechv=[v 1 v 2 v 3 ] T oznczwektor,któregoskłdowesąokreślonew ukłdzie globlnym(x, Y, Z). Reprezentcję tego wektor w ukłdzie loklnym(x e,y e,z e )związnymzelementemskończonymonumerzeewyzncz się według schemtu (X,Y,Z) (x e,y e,z e ), v c e v, (1.21) gdziec e jestmcierząkosinusówkierunkowychoskłdowych cos(x,x e ) cos(y,x e ) cos(z,x e ) c e = cos(x,y e ) cos(y,y e ) cos(z,y e ), (1.22) cos(x,z e ) cos(y,z e ) cos(z,z e ) przy czym cos(, ) ozncz kosinus kąt między osią ukłdu globlnego i osią ukłdu loklnego. x 2 z 2 y 2 y 3 z 3 x 3 Z x 1 z 1 Y y 1 X Rysunek1.2.Globlnyukłdwspółrzędnych(X,Y,Z)iukłdyloklne(x e,y e,z e ), e=1,2,3,wprętchrmyprzestrzennej.

19 1.2. Dyskretny model obliczeniowy 19 Skłdowemcierzykosinusówkierunkowychc e wykorzystujesięprzy określniumcierzytrnsformcjic e,jednkjejpostćniejestuniwersln. Zleży on od typu stopni swobody włściwych dl rozptrywnego zgdnieniorzliczbywęzłówwelemencieskończonym.mcierzc e nleży ztem ustlć osobno dl elementu kżdego rodzju. Algorytm MES przewiduje również określenie dl kżdego elementu skończonego w modelu obliczeniowym tzw. mcierzy lokcji ozncznej symbolema e.wynikiemjejdziłnijestkorelcjloklnychstopniswobody, włściwych dl dnego elementu skończonego, ze stopnimi swobody zdefiniownymi globlnie dl cłej konstrukcji. Ogromn większość skłdowych mcierzy lokcji przybier wrtości zerowe, pozostłe(nieliczne) są równe 1. Obiekty o tkiej budowie noszą nzwę mcierzy rzdkich. Specjlne techniki przechowywni dnych orz nowoczesne lgorytmy numeryczne pozwlją n znczne zmniejszenie obszru pmięci opercyjnej potrzebnej do zpmiętni i wykonni opercji n mcierzch rzdkich orz, co z tym idzie, przyspieszenie dziłni progrmów obliczeń inżynierskich. Nleży więc stwierdzić, że stosownie w lgorytmie MES jednkowych metod numerycznych w odniesieniu do mcierzy gęstych i rzdkich nie jest dobrym zwyczjem progrmistycznym. Jednk, zdniem utorów, znjomość technik przyspieszjących dziłnie procedur obliczeniowych nie jest konieczn n początkowym etpie studiów w zkresie MES. Szczegółowe omówienie problemtyki mcierzy rzdkich wykrcz zncznie poz rmy podstwowego kursu Metody Elementów Skończonych. Czytelnicy zinteresowni tym zgdnieniem powinni sięgnąć do pozycji litertury z zkresu metod numerycznych lgebry liniowej. Przyjmując,żemcierzeC e orza e sąznne,możnwyznczyćgloblny wektor zstępczych obciążeń węzłowych orz globlną mcierz sztywności konstrukcji według wzorów n e R 0 = A T e CT e Q0 e +R00, K= e=1 n e e=1 A T e CT e K ec e A e, (1.23) przyczymr 00 oznczwektorobciążeńzdefiniownychbezpośredniow węzłch. Niech R ozncz wektor rekcji więzów zewnętrznych. Równni Kr=R 0 +R (1.24) orz Kr= R 0, (1.25)

20 20 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? sąrównowżnymirównnimirównowgikonstrukcji.symbole Korz R 0 w równniu(1.25) oznczją kolejno globlną mcierz sztywności i globlny wektor zstępczych obciążeń węzłowych z uwzględnieniem wrunków brzegowych. Wrto zuwżyć, że równnie(1.24) odniesione do cłej konstrukcji mbudowęidentycznązrównniem(1.20) 3,któredotyczyjednegoelementu skończonego. W stndrdowej procedurze MES korzyst się z równni (1.25) w celu obliczeni przemieszczeń, nstępnie wyzncz się skłdowe R n podstwie(1.24). Wektoryq e wukłdchloklnych(x e,y e,z e ),e=1,...,n e określsię według wzoru q e =C e A e r. (1.26) N podstwie znnych z kursu Algebry Liniowej reguł mnożeni wektorów i mcierzy możn zuwżyć, że ) liczbwierszymcierzyc e musibyćzgodnzwymiremwektorq e, b)liczbkolumnmcierzyc e musibyćzgodnzliczbąwierszya e, c) liczbkolumnmcierzya e musibyćzgodnzwymiremwektorr, co ozncz, że d)liczbkolumna e jestrównliczbiegloblnychstopniswobody, e) liczbwierszya e orzliczbkolumnc e sąrównesumiegloblnychstopni swobody wybrnych do opisu przemieszczeń węzłów e-tego elementu skończonego, f) liczbwierszyc e jestrównliczbieloklnychstopniswobodye-tego elementu skończonego. Mcierz trnsformcji elementów skończonych określ się uwzględnijąc orientcję loklnych ukłdów współrzędnych względem ukłdu globlnego. Sposób przyjęci mcierzy lokcji elementów jest ntomist ściśle związny z numercją węzłów w modelu obliczeniowym. Czytelnik powinien ztem prześledzić jk njwiększą liczbę zmieszczonych w skrypcie przykłdów i zdń w celu zrozumieni zsd budowy tych mcierzy Przykłd zstosowni MES Algorytm obliczeń MES Korzystjąc z rozwżń zmieszczonych w tym rozdzile możn sformułowć nstępujący lgorytm MES:

21 1.3. Przykłd zstosowni MES Podziel konstrukcję n elementy skończone i zzncz węzły. Przyjmijloklneukłdywspółrzędnych(x e,y e,z e )orzukłd globlny(x, Y, Z). 2. Ustl liczbę skłdowych wektor przemieszczeń r w ukłdzie globlnym. 3.Ustl liczbę skłdowychwektorów q e w ukłdchloklnych.zpiszmcierzea e,c e dlkżdegoelementu. 4.WyznczwektoryzstępczychobciążeńwęzłowychQ 0 eorz mcierzesztywnościk e wposzczególnychelementch. 5. Wyzncz globlną mcierz sztywności K, globlny wektor zstępczychobciążeńwęzłowychr 0 uzupełnionyoobciążeni dziłjącebezpośredniowwęzłch.określmcierz Korz wektor R 0 uwzględnijącwrunkibrzegoweprzemieszczeń (więzy konstrukcji). 6. Rozwiąż równnie równowgi konstrukcji ze względu n r. 7. Oblicz rekcje więzów zewnętrznych(podpór) R. 8.Obliczwektoryq e opisująceprzemieszczeniwęzłówwukłdch loklnych. 9.Określprzemieszczeniu e,odksztłceniε e isiływewnętrzne σ e wwybrnychpunktchelementówskończonych Przykłd dziłni lgorytmu Przykłd 1.1. Oblicz wrtości sił w prętch krtownicy n rys P P 5 Y y 1 x 1 x 2 x3 1 y x 4 4 6l y 3 y 4 X l 2l 2l 4l Rysunek 1.3. Krtownic 4-prętow z podziłem n elementy skończone.

22 22 1. N czym poleg Metod Elementów Skończonych? Podził konstrukcji n elementy skończone, tkże numercj węzłów i elementóworzosieukłdówloklnych(x e,y e )iukłdugloblnego(x,y) są pokzne n rys Przykłd dotyczy krtownicy płskiej, ztem opis przemieszczeń węzłów uwzględni jedynie przesunięci względem osi X orz Y,cotłumczypominięcieosiZorzz e wukłdchwspółrzędnych.wektor przemieszczeń r przybier postć r=[r 1...r 10 ] T. (1.27) Zstosown w opisie konstrukcji numercj węzłów pozwl określić mcierze lokcji w postci A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = ,,,. (1.28) ZsdębudowymcierzyA e njłtwiejzrozumiećnlizującwzór(1.26)w odniesieniu do kolejnych elementów. Przykłdowo, dl e = 3 otrzymuje się A 3 r=[r 5 r 6 r 9 r 10 ] T. (1.29) Łtwo stwierdzić, że powyższe dziłnie skutkuje wyborem tych skłdowych wektor r, które są potrzebne do opisu przemieszczeń węzłów elementu 3.

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r. Typ/orgn wydjący Rozporządzenie/Minister Infrstruktury Tytuł w sprwie szczegółowych wrunków i trybu wydwni zezwoleń n przejzdy pojzdów nienormtywnych Skrócony opis pojzdy nienormtywne Dt wydni 16 grudni

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule) MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/52 2010 Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego - projektownie Ćwiczenie 3 Dobór ikrosilnik prądu stłego do ukłdu pozycjonującego Instrukcj Człowiek - njlepsz inwestycj Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rch Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych Dz.U.2012.204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dni 7 lutego 2012 r. w sprwie rmowych plnów nuczni w szkołch publicznych (Dz. U. z dni 22 lutego 2012 r.) N podstwie rt. 22 ust. 2 pkt 1 ustwy

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Integralność konstrukcji

Integralność konstrukcji 1 Integrlność konstrukcji Wykłd Nr 5 PROJEKTOWANIE W CELU UNIKNIĘCIA ZMĘCZENIOWEGO Wydził Inżynierii Mechnicznej i Robotyki Ktedr Wytrzymłości, Zmęczeni Mteriłów i Konstrukcji http://zwmik.imir.gh.edu.pl/dydktyk/imir/index.htm

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Warszawa, dnia 22 lutego 2012 r. Pozycja 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r.

Warszawa, dnia 22 lutego 2012 r. Pozycja 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Wrszw, dni 22 lutego 2012 r. Pozycj 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dni 7 lutego 2012 r. w sprwie rmowych plnów nuczni w szkołch publicznych

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Księga Znaku. kampanii informacyjno - promocyjnej projektu Warszawski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedałuj i Płyń (bike&sail)

Księga Znaku. kampanii informacyjno - promocyjnej projektu Warszawski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedałuj i Płyń (bike&sail) Księg Znku kmpnii informcyjno - promocyjnej projektu Wrszwski Węzeł Wodno - Rowerowy Pedłuj i Płyń (bike&sil) Księg Znku A STANDARYZACJA ZNAKU 1 ZNAK KAMPANII - WERSJA PODSTAWOWA I JEJ ODMIANY 1.1 Znk

Bardziej szczegółowo

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB

Materiały szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA. Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB Mteriły szkoleniowe DRGANIA MECHANICZNE ZAGROŻENIA I PROFILAKTYKA Serwis internetowy BEZPIECZNIEJ CIOP-PIB 1. Wprowdzenie Drgnimi nzywne są procesy, w których chrkterystyczne dl nich wielkości fizyczne

Bardziej szczegółowo

CHEMIA MIĘDZY NAMI U S Z C Z E L K I P R O F I L E

CHEMIA MIĘDZY NAMI U S Z C Z E L K I P R O F I L E CHEMIA MIĘDZY NAMI U S Z C Z E L K I P R O F I L E CHEMIA MIĘDZY NAMI Firm AIB to prekursor nowoczesnych rozwiązń w dziedzinie udownictw. Dziłlność rozpoczęliśmy w 1992 roku, skupijąc się n produkcji innowcyjnych

Bardziej szczegółowo

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC

KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU Vol. 8 nr Archiwum Technologii Mszyn i Automtyzcji 008 PIOTR FRĄCKOWIAK KSZTAŁTOWANIE ŁUKOWO-KOŁOWEJ LINII ZĘBÓW W UZĘBIENIU CZOŁOWYM NA FREZARCE CNC W rtykule

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

Droga Pani/Drogi Panie! Wakacje minęły szybko i znowu możemy się spotkać. oraz za zabawami z koleżankami i kolegami.

Droga Pani/Drogi Panie! Wakacje minęły szybko i znowu możemy się spotkać. oraz za zabawami z koleżankami i kolegami. KARTY PRACY 1 CZĘŚĆ KARTA PRACY NR 1 IMIĘ:... DATA: STRONA 1 1. Jkie są twoje oczekiwni i postnowieni związne z kolejnym rokiem szkolnym? Npisz list do nuczyciel, uzupełnijąc luki w tekście. miejscowość

Bardziej szczegółowo

Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych

Projektowanie żelbetowych kominów przemysłowych wieloprzewodowych Budownitwo i Arhitektur 3 (2008) 71-80 Projektownie żelbetowyh kominów przemysłowyh wieloprzewodowyh Mrt Słowik 1, Młgorzt Dobrowolsk 2, Krzysztof Borzęki 2 1 Ktedr Konstrukji Budowlnyh, Wydził Inżynierii

Bardziej szczegółowo

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN

Ochrona przed przepięciami w sieciach ISDN OGANICZANIE PZEPIĘĆ W YEMACH PZEYŁ YGNAŁÓW Ochron przed przepięcimi w siecich IDN Andrzej ow Wstęp Wzrost zpotrzeowni n usługi odiegjące od klsycznego przekzu telefonicznego spowodowł gwłtowny rozwój sieci

Bardziej szczegółowo

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki

system identyfikacji wizualnej forma podstawowa karta A03 część A znak marki krt A03 część A znk mrki form podstwow Znk mrki Portu Lotniczego Olsztyn-Mzury stnowi połączenie znku grficznego (tzw. logo) z zpisem grficznym (tzw. logotypem). Służy do projektowni elementów symboliki

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH. 1. Wstę p

ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH. 1. Wstę p MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA, 19 (1981) ANALIZA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- TARCZOWYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH EUGENIUSZ R U S I Ń S K I (WROCŁAW) 1. Wstę p W metodzie elementów skoń czonych, jk widomo,

Bardziej szczegółowo

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl

NOWE NIŻSZE CENY. Ceny spiral introligatorskich DOUBLE-LOOP WIRE. www.radpor.pl Rok złożeni 1994 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, RADPOR 81-854-2860 Nowodworsk 32, 21-100 Lubrtów tel./fks 81-855-6154, 81-854-2860 www.rdpor.pl Ceny spirl introligtorskic DOUBLE-LOOP

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE

Bardziej szczegółowo

Nazwa studiów podyplomowych: Studia Podyplomowe Samorządu Terytorialnego i Gospodarki Lokalnej

Nazwa studiów podyplomowych: Studia Podyplomowe Samorządu Terytorialnego i Gospodarki Lokalnej Wrocłw, dni 8 czerwc 205 r. Wydził Prw, Administrcji i Ekonomii Uniwersytetu Wrocłwskiego ogłsz zpisy n Studi Podyplomowe Smorządu Terytorilnego i Gospodrki Loklnej w roku kdemickim 205/206 Nzw studiów

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Numer yczne wyznaczanie wytr zymałości opakowań z tektury falistej

Numer yczne wyznaczanie wytr zymałości opakowań z tektury falistej Numer yczne wyzncznie wytr zymłości opkowń z tektury flistej Cz. 2. Bdni eksper ymentlne i nlizy numer yczne opkowń ppierowych Numericl Strength Estimte of Corrugted Bord Pckges Prt 2. Experimentl Tests

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z informatyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Sanoku

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z informatyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Sanoku Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z informtyki w II Liceum Ogólnoksztłcącym w Snoku Podręczniki: Informtyk Europejczyk. Podręcznik dl szkół pndgimnzjlnych. Zkres podstwowy ( Nr dopuszczeni 556/202)

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW

ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GRANULOMETRYCZNEJ SUROWCÓW I PRODUKTÓW 1 ĆWICZENIE ANALIZA SITOWA I PODSTAWY OCENY GANULOMETYCZNEJ SUOWCÓW I PODUKTÓW 1. Cel zkres ćwczen Celem ćwczen jest opnowne przez studentów metody oceny mterłu sypkego pod względem loścowej zwrtośc frkcj

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 7 Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium 7 Weryfikj twierdzeń logiznyh Cel. Celem ćwizeni jest zpoznnie się z metodą utomtyznego dowodzeni twierdzeń, tzn. weryfikji, zy dne twierdzenie jest tutologią (twierdzenie

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA PODKARPACKIEGO. Póz. 2919 DECYZJA NR OKR-4210-38(14)/2014/404/XII/EŚ PREZESA URZĘDU REGULACJI ENERGETYKI

DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA PODKARPACKIEGO. Póz. 2919 DECYZJA NR OKR-4210-38(14)/2014/404/XII/EŚ PREZESA URZĘDU REGULACJI ENERGETYKI DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA PODKARPACKIEGO, dlll 10 listopd 2014 r. Elektronicznie podpisn Jnusz Włdysłw Olech Póz. 2919 Dt: 2014-11-10 14:08:59 DECYZJA NR OKR-4210-38(14)/2014/404/XII/EŚ PREZESA URZĘDU

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS

Charakterystyka składu strukturalno-grupowego olejów napędowych i średnich frakcji naftowych z zastosowaniem GC/MS NAFTA-GAZ lipiec 2012 ROK LXVIII Xymen Mzur-Bdur, Michł Krsodomski Instytut Nfty i Gzu, Krków Chrkterystyk skłdu strukturlno-grupowego olejów npędowych i średnich frkcji nftowych z zstosowniem GC/MS Wstęp

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych Pomiry Automtyk Rootyk /5 Sterownie wirnikiem łożyskownym mgnetycznie w oróce powierzchni n-flowych Zdzisłw Gosiewski Arkdiusz Mystkowski * Przedstwiono wyniki dń n-flowego ruchu nieorcjącego się wirnik

Bardziej szczegółowo

NAPRĘŻENIA HOT SPOT STRESS W POŁĄCZENIACH SPAWANYCH KONSTRUKCJI STALOWYCH

NAPRĘŻENIA HOT SPOT STRESS W POŁĄCZENIACH SPAWANYCH KONSTRUKCJI STALOWYCH Szykoieżne Pojzdy Gąsienicowe (19) nr 1, 2004 Sylwester MARKUSIK Tomsz ŁUKASIK NAPRĘŻENIA HOT SPOT STRESS W POŁĄCZENIACH SPAWANYCH KONSTRUKCJI STALOWYCH Streszczenie: Połączeni spwne w konstrukcjch stlowych

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo