WYKORZYSTANIE MODELI SIGN RCA DO PROGNOZY

Transkrypt

1 Joanna Góka Wyższa Szkoła Infomayki i Ekonomii WP w Olszynie WYKORZYSANIE MODELI SIGN RCA DO PROGNOZY WAROŚCI NARAŻONEJ NA RYZYKO Do kwanyfikowania yzyka ynkowego używana jes częso waość naażona na yzyko (Value a Risk, VaR). Isnieje wiele meod szacowania VaR jednak żadna z isniejących już meod nie jes najlepsza. Zaem, poszukuje się modeli, kóe dobze będą opisywać zachowanie się szeegów finansowych oaz kóe będzie można wykozysać do wyznaczenia VaR. Celem efeau jes zasosowanie modeli Sign RCA jako paameycznej meody szacowania VaR, weyfikacja ej meody oaz poównanie ozymanych wyników z oszacowaniami VaR ozymanymi za pomocą innych modeli.. Modele Sign RCA Modele auoegesyjne z losowymi paameami (RCA) są naualnym uogólnieniem klasycznych liniowych modeli auoegesyjnych. Klasyczny sacjonany jednowymiaowy model auoegesyjny zędu piewszego z losowym paameem (ozn. RCA () ) można zapisać w posaci: y gdzie: ( α + δ ) y + ε =, () δ ~ ε iid 0 σ δ, 0 0 0, () σ ε α σ <. (3) + δ Waunek (3) jes waunkiem koniecznym i wysaczającym sacjonaności dugiego zędu pocesu y, naomias waunki ()-(3) gwaanują ścisłą sacjonaność pocesu. Paca zosała wykonana w amach ganu WSIiE WP w Olszynie. Pełny opis ych modeli waz z własnościami, meodami esymacji oaz aplikację można znaleźć w pacy Nicholls i Quinn (98)

2 Ściśle sacjonany poces opisany ównaniami ()-(3) chaakeyzuje się śednią zeo oaz sałą waiancją i kuozą [Appadoo, havaneswaan, Singh 006, Aue 004]. Ponado waość waiancji i kuozy jes większa niż dla pocesu opisanego popzez model AR(). Model (), pzy odpowiednich założeniach, może być modelem ypu AR, SUR, RCA(, p) [Góka 007a, Lee 998]. Sacjonany model RCA() z funkcją znaku (ozn. Sign RCA()) ma posać [havaneswaan, Appadoo 006]: y gdzie: ( α + δ + Φs ) y + ε =, (4) dla y > 0 s = 0 dla y = 0, (5) dla y < 0 oaz spełnione są waunki ()-(3). Jeżeli α + δ > Φ, o ujemna waość Φ oznacza, że dla ujemnych (dodanich) waości w czasie maleją (osną) waości w czasie. W pzypadku sóp zwou oznacza o, że po spadkach noowań nasępują większe niż oczekiwane spadki noowań, naomias w pzypadku wzosu noowań nasępują mniejsze niż oczekiwane wzosy noowań. Jeżeli spełnione są waunki ()-(3), o poces (4) chaakeyzuje się zeową śednią oaz sałą waiancją i kuozą [havaneswaan, Appadoo 006]. Waość waiancji i kuozy jes większa niż dla pocesu opisanego popzez model RCA() czy AR() [Góka 007b].. Miaa Value a Risk Waość zagożona (waość naażona na yzyko) w chwili jes o aka saa waości ynkowej insumenu lub pofela insumenów, że pawdopodobieńswo osiągnięcia jej lub pzekoczenia w ozpaywanym okesie (, +) ówne jes zadanemu poziomowi oleancji [po. np. Jajuga, Jajuga 00]. Definicję ą można zapisać w posaci: P ( P P ) = α + VaR, (6) gdzie: P - waość insumenu/pofela w momencie. W niniejszym opacowaniu ozpaywane są pocenowe logaymiczne sopy zwou ( ln P ln P ) = 00. Wówczas wesja pocenowa wyażenia (6) jes w pzybliżeniu ównoważna zapisowi [po. Doman, Doman 004]: ( + VaR) = α P, (7)

3 zaś jednodniowa waunkowa pognoza VaR, uzyskana za pomocą paameycznych modeli zmienności, wyażona jes wzoem [po. Doman, Doman 004]: VaR ( α ) μ σ zα = (8) l gdzie μ, + + σ oznaczają odpowiednio jednookesowe pognozy waunkowej śedniej oaz waunkowej zmienności, zaś z α jes α -kwanylem ozkładu nomalnego. Pedyko waunkowej śedniej, dla modeli auoegesyjnych z losowym paameem i funkcją znaku (Sign RCA()) ma posać: y ( y F ) = ( + Φs ) y P = E + + α, (9) naomias pedyko waunkowej waiancji wyażony jes wzoem: ( u F ) = σ ε σ y σ = E δ. (0) 3. Ocena pognoz VaR W badaniach empiycznych, do poównania, jakości pognoz VaR wykozysuje się zaówno esy klasyczne jak i esy wykozysujące funkcję sa [po. np.: Doman, Doman 004, Osińska 006, Piąek 005, Pipień 006]. W niniejszym opacowaniu zasosowano akie esy klasyczne jak: es liczby pzekoczeń (Popoion of Failues es - POF), w kóym spawdzianem hipoezy zeowej jes saysyka Kupca: LR POF N α α = ln ~ α α χ () gdzie: N jes liczbą obsewacji, liczbą pzekoczeń VaR, zaś α jes udziałem pzekoczeń w liczbie wszyskich ozpaywanych zwoów, es niezależności pzekoczeń (Independence es-ind) Chisoffesena, w kóym saysyka ma posać: LR IND = ln ( α ) α ( α ) α ( α ) α 0 0 ~ χ () gdzie: ij α ij =, i0 + i α = , ij - liczba okesów, w kóym I = j, jeśli I = i, gdy nasąpilo pzekoczenie I =, 0 w pzeciwnymwypadku es czasu pomiędzy pzekoczeniami (ime Beween Failues es - BF):

4 LR gdzie: BF = i i= vi α α ln ~ α i α i α i =, v - czas do piewszego pzekoczenia, i v szym oaz i -ym pzekoczeniem, dla i =,...,, oaz esy wykozysujące funkcję sa : χ (3) v - czas pomiędzy ( ) z punku widzenia insyucji nadzoującej (Regulaoy Loss Funcion, RL): i - f + = + 0 ( + VaR ) > VaR VaR (4) z punku widzenia fimy (Fim s Loss Funcion, FL): f + cvar = + + ( + VaR ) + + > VaR VaR (5) gdzie c > 0, jes póbą ozwiązania konfliku pomiędzy bezpieczeńswem oaz maksymalizacją wyniku finansowego. 4. Analiza empiyczna Do analizy empiycznej wykozysano pocenowe logaymiczne sopy zwou danych dziennych: cen akcji spółek sekoa bankowego noowanych na GPW w Waszawie w dniu oku. W en sposób uzyskano 8 szeegów czasowych po 530 obsewacji. kusów walu w okesie od do oku. Pzebadano w en sposób 5 szeegów. Wyniki analizy własności saysycznych szeegów pocenowych logaymicznych sop zwou kusów, waości saysyk wybanych esów pzedsawiono w abeli. Badane szeegi kusów walu były niesacjonane. Naomias szeegi pocenowych logaymicznych sóp zwou były sacjonane i ich ozkłady chaakeyzowały się nieco podwyższona kuozą (w sosunku do ozkładu nomalnego) oaz skośnością bliską skośności ozkładu nomalnego. ylko w czeech pzypadkach wysępowała auokoelacja Funkcję sa zapoponował Lopez [po. Lopez 998]. Saę f związaną z zasosowaniem danego modelu do wyznaczenia pognozy VaR w okesie od do N definiuje się, jako sumę sa f N w poszczególnych okesach, zn.: f = f. =

5 naomias es LBI 3 w jedenasu pzypadkach wskazywał na zmienność paameu. Do dalszej analizy wybano ylko zy szeegi 4 : AUD/PLN, CHF/PLN oaz HUF/PLN. abela. Własności saysyczne pocenowych sóp zwou oaz waości saysyk esu Boxa-Ljunga, Engla ARCH, DF, LBI Walua śednia odchylenie s. skośność kuoza Boxa-Ljunga Engla ARCH es CAD/PLN -0,05 0,69 0,098 3,56,750 3,9,374,50-30,73,05 AUD/PLN -0,07 0,63-0,3 4,3,78 5,88 33,606 34,388-30,738 5,43 CHF/PLN -0,035 0,575 0,35 3,98,83,87,565 4,3-33,97 3,5 EUR/PLN -0,09 0,476 0,79 4,40 0,54 0,634 7,9 5,744-3,968,643 EEK/PLN -0,09 0,476 0,7 4,39 0,54 0,608 7,53 5,65-3,970,647 DKK/PLN -0,030 0,477 0,7 4,44 0,503 0,653 7,8 5,08-3,957,66 XDR/PLN -0,04 0,556 0,97 4,00 0,39 0,407 4,4 5,740-3,580,079 SEK/PLN -0,03 0,57 0,0 3,76 0,395,699 0,490 5,60-3,630 0,75 RUB/PLN -0,03 0,600 0,34 4,66 0,96,999 7, 5,358-33,66,708 NOK/PLN -0,03 0,563 0,083 3,684 0,06 0,065 7,40 0,868-3,458,730 JPY/PLN -0,049 0,754 0,6 4,899 0,068 0,738 4,78 5, -3,983 3,77 HUF/PLN -0,03 0,43-0,05 3,78 5,06 5,43 6,58,795-30,4,4 GBP/PLN -0,046 0,58 0,00 3,655,77,645 4,989 9,97-33,69,95 CZK/PLN -0,004 0,444 0,33 4,0,054,7 0,408,478-33,836 0,7 USD/PLN -0,048 0,74 0,40 4,04,46,609 3,850,557-3,00,84 A Czcionką pogubioną zaznaczono pzypadki gdzie nasąpiło odzucenie H 0 na kozyść H na 0% poziomie isoności w pzypadku badania auokoelacji oaz 5% poziomie isoności w pozosałych esach. Źódło: Opacowanie własne. W pzypadku kusów akcji, szeegi cen akcji ównież nie były sacjonane naomias logaymiczne pocenowe sopy zwou były sacjonane a ich ozkłady chaakeyzowały się podwyższona kuozą (w sosunku do ozkładu nomalnego) oaz zóżnicowaną skośnością [Góka 008]. W sześciu analizowanych pzypadkach wysępowała auokoelacja naomias es LBI wskazywał na zmienność paameu auoegesyjnego. Do dalszych badań wybano e szeegi sóp zwou, w kóych wysępowała auokoelacja (BRE Bank, BZ WBK, Handlowy, Millennium, ING BSK, Kedy Bank). W pzypadku sóp zwou Handlowego i Kedy Banku es LBI nie wskazywał na zmienność paameu [Góka 008]. Jako modele konkuencyjne w sosunku do modelu Sign RCA wybano modele RCA oaz ARMA-(G)ARCH. Meodą największej wiaygodność ozymano oceny paameów dla poszczególnych modeli 5. Dla wszyskich badanych szeegów waości kyeium Akaik a (AIC) oaz Schwaza (BIC) wskazywały na wybó modelu RCA(), a nie AR(). DF LBI 3 W ym eście hipoeza zeowa oznacza sałość paameów auoegesyjnych [Góka 007a]. 4 Dla kóych wysępowała auokoelacja i niesałość paameu. 5 Obliczenia pzepowadzono w pogamie Gauss oaz EViews 6. Wybou zędu opóźnień dla modeli ARMA-(G)ARCH dokonano z wykozysaniem kyeium Akaike.

6 W modelu dla sóp zwou Handlowego, paame w modelu RCA() okazał się saysycznie nieisony oaz w eszach modelu nie wysępował efek ARCH. Sąd eż, sopy zwou ego walou zosały pominięe w dalszych badaniach. Dla modeli pocenowych sóp zwou kusów walu waość kyeiów infomacyjnych jes najmniejsza dla ożnych modeli w pzypadku óżnych walu. Niemniej jednak model auoegesyjny z losowym paameem i funkcją znaku nigdy nie był modelem pefeowany w świele ych kyeiów. Waość paameu sojącego pzy funkcji znaku, dla wszyskich szeegów walu, jes ujemna, co może oznaczać, że w badanym okesie po spadkach sóp zwou nasępowały większe niż oczekiwano spadki sopy zwou. Dla sóp zwou cen akcji syuacja aka wysępuje ylko dla walou Kedy Banku. W pzypadku pozosałych badanych sóp zwou z wybanych waloów waość paameu pzy funkcji znaku jes dodania. W nasępnym koku, wyznaczone zosały pognozy waunkowej śedniej i waiancji oaz błędy ex pos 6 wyznaczonych pognoz. Błędy pognoz, dla całego okesu pognozowania, dla pognoz waunkowej śedniej pocenowych sóp zwou kusów walu są najmniejsze dla modelu Sign RCA. Jednakże óżnice pomiędzy wielkością poszczególnych błędów dla modeli RCA(), Sign RCA() oaz AR-(G)ARCH są nieznaczne. Wyjąek sanowią pognozy wyznaczone z wykozysaniem nieliniowego pedykoa 7 (RCA niel.), kóe geneują większe błędy ex pos. Błędy pognoz ex pos wyznaczone dla pognozy waunkowej waiancji najczęściej pzyjmują waość najmniejszą dla modelu AR-(G)ARCH. W pzypadku pognoz wyznaczonych dla pocenowych logaymicznych sóp zwou cen akcji wnioski są analogiczne. Ozymana pognoza VaR z wykozysaniem pezenowanych modeli okazała się: niedoszacowana dla sóp zwou foina (abela ) dla wszyskich badanych poziomów isoności. niedoszacowana dla sóp zwou dolaa ausalijskiego dla,5% oaz % poziomu oleancji. Dla poziomu oleancji 5% pognozy VaR były pzeszacowane. niedoszacowana dla sóp zwou fanka szwajcaskiego ylko dla % poziomu oleancji. W pozosałych pzypadkach pognoza VaR była pzeszacowana. 6 Wyznaczone zosały: błąd śedniokwadaowy, piewiasek błędu śedniokwadaowego oaz śedni błąd bezwzględny. 7 Posać nieliniowego pedykoa można znaleźć miedzy innymi w pacy Góka 007a.

7 We wszyskich badanych pzypadkach, w esach klasycznych bak było podsaw do odzucenia hipoezy zeowej. Wyjąek sanowiły pognozy VaR ozymane z wykozysaniem RCA z nieliniowym pedykoem waunkowej waości śedniej, kóe zawsze znacznie niedoszacowywały poencjalną saę. abela. Ocena ex pos jakości pognoz VaR dla HUF/PLN dla pozycji długiej HUF/PLN liczba pzekoczeń udział pzekoczeń LR POF LR IND LR BF saysyka waość p saysyka waość p saysyka waość p α=5% Sym. His. 54 5,4% 0,0447 0,835 7,6036 0, ,530 0,475 RCA() 58 5,53% 0,5986 0,439,34 0,359 58,0973 0,477 RCA() niel. 36,96% 99,693 0,0000 3,3868 0, ,8375 0,0034 Sign RCA() 57 5,43% 0,4046 0,547,95 0,900 58,0569 0,436 AR()-ARCH() 6 5,8%,397 0,37,653 0,037 54,447 0,76 α=,5% Sym. His. 30,86% 0,556 0,4684 3,5543 0, ,05 0,35 RCA() 38 3,6% 4,774 0,089 0,678 0, ,468 0,500 RCA() niel. 85 8,0% 85,8037 0,0000 8,834 0, ,856 0,0000 Sign RCA() 38 3,6% 4,774 0,089 0,678 0, ,468 0,500 AR()-ARCH() 38 3,6% 4,774 0,089,578 0,098 37,777 0,507 α=% Sym. His. 0 0,95% 0,044 0,8758 0,95 0,6608 8,5 0,5789 RCA() 6,53%,586 0,5 0,496 0,48 0,393 0,030 RCA() niel. 53 5,05% 88,4505 0,0000 5,6489 0,075 57,990 0,0000 Sign RCA() 6,53%,586 0,5 0,496 0,48 0,393 0,030 AR()-ARCH() 7,6% 3,4358 0,0638 0,5606 0,4540 4,8043 0,099 Źódło: Opacowanie własne. W pzypadku sóp zwou cen akcji wybanych waloów spółek sekoa bankowego dodanie funkcji znaku do modelu RCA nie zmieniło znacznie wyników w sosunku do oszacowań VaR uzyskanych dla modelu RCA [Góka 008]. Ozymane oszacowania VaR są albo poównywalne z odpowiednimi oszacowaniami VaR ozymanymi popzez model RCA albo większe. Dla niekóych waloów, lepsze wyniki (w świele esów klasycznych) ozymujemy dla modelu Sign RCA (Millennium, Kedy Bank) dla niższego poziomu oleancji. Analizując waości funkcji sa, z punku widzenia insyucji nadzoującej, można swiedzić, że największa waość ej funkcji była dla modelu RCA z nieliniowym pedykoem waunkowej śedniej (zaówno dla sóp zwou cen akcji jak i walu). Waości funkcji sa dla pozosałych modeli óżnią się nieznacznie. Ogólnie (abela 3) modelem najbadziej uniwesalnym, dla pognoz VaR dla kusów walu ze względu na

8 funkcję RL, okazał się model Sign RCA 8, naomias ze względu na funkcję FL model AR- (G)ARCH 9. W pzypadku pognoz VaR dla sóp zwou waloów wyniki nie są ak jednoznaczne. Jednak, dla większości waloów funkcja say FL była najmniejsza dla modelu RCA z nieliniowym pedykoem, kóy z kolei geneuje największe waości funkcji RL 0. Dla pocenowych sóp zwou Millennium funkcja say FL ozymana za pomocą modelu Sign RCA geneuje się znacznie mniejsze waości niż w pzypadku pozosałych modeli lub symulacji hisoycznej. abela 3. Ranking modeli względem funkcji sa. Poziom oleancji α =5% α =.5% α =% Sopa zwou Sym. His. RCA() RCA() niel. Sign RCA() AR()-(G)ARCH RL FL RL FL RL FL RL FL RL FL AUD/PLN CHF/PLN HUF/PLN AUD/PLN CHF/PLN HUF/PLN AUD/PLN CHF/PLN HUF/PLN oznacza najmniejsza waość funkcji sa, 5 oznacza największą waość funkcji sa. RL funkcja sa z punku widzenia insyucji nadzoującej, FL - funkcja sa z punku widzenia fimy (c=). Źódło: Opacowanie własne. 5. Podsumowanie W pacy zapezenowano wykozysanie modelu Sign RCA do wyznaczania waości naażonej na yzyko. Do analizy empiycznej wykozysano ceny akcji spółek z banży bankowej, noowanych w 00 oku oaz kusów walu w okesie od do oku. Analiza oszacowanych waości VaR na podsawie modeli Sign RCA oaz poównanie ozymanych oszacowań z oszacowaniami VaR ozymanymi za pomocą modeli RCA oaz AR-GARCH pozwala na sfomułowanie nasępujących wniosków: żaden z pezenowanych modeli nie był dosaecznie dobym, uniwesalnym modelem VaR, modelem za pomocą, kóego ozymuje się pognozy VaR dające najmniejsze waości funkcji sa z punku widzenia insyucji nadzoującej dla sóp zwou z kusów walu jes model Sign RCA, 8 Wyniki są nieznacznie gosze od wyników uzyskanych meodą symulacji hisoycznej. 9 Nieznacznie gosze wynik uzyskał model RCA. 0 Podobne wyniki uzyskał w swojej pacy Pipień 006.

9 model Sign RCA może geneować pognozy VaR o mniejszych waościach funkcji sa FL niż pognozy geneowane pzez modele RCA czy model AR-(G)ARCH, model Sign RCA może geneować afne oszacowania VaR nawe dla niskich waości poziomu oleancji. Niniejsze opacowanie nie wyczepuje badania pzydaności modeli Sign RCA do wyznaczania waości naażonej na yzyko. Lieaua Appadoo, S.S., havaneswaan, A., Singh, J, RCA Models wih Coelaed Eos, Applied Mahemaics Lees, 006, 9. Aue, A., Song Appoximaion fo RCA() ime Seies wih Applicaions, Saisics & Pobabiliy Lees, 004, 68. Doman, M., Doman, R., Ekonomeyczne modelowanie dynamiki polskiego ynku finansowego, Wydawnicwo AE, Poznań, 004. Góka J., Modele auoegesyjne z losowymi paameami, [w:] Osińska M. (ed.), Pocesy SUR. Modelowanie i zasosowanie do finansowych szeegów czasowych, Wydawnicwo Dom Oganizaoa, ouń, 007a. Góka J., Opisu kuozy ozkładów za pomocą wybanych modeli z funkcją znaku, [w:] Dynamiczne modele ekonomeyczne, ed Z. Zieliński. UMK, ouń, 007b. Góka J., Modele ARMA-GARCH oaz modele RCA a waość naażona na yzyko, w duku, 008. Jajuga K., Jajuga., Inwesycje, PWN, Waszawa, 00. Lee, S., Coefficien Consancy es in a Random Coefficien Auoegessive Model, Jounal of Saisical Planning and Infeence, 998, 74. Lopez J.A., Mehods fo Evaluaing Value-a-Risk Esimaes, FRBNY Economic Policy Review, 998. Nicholls, D.F., Quinn, B.G., Random Coefficien Auoegessive Models: An Inoducion, Spinge New Yok, 98. Osińska M., Ekonomeia finansowa, PWE, Waszawa, 006. Piąek K., Pzegląd i poównanie meod oceny modeli VaR, Innowacje w finansach i ubezpieczeniach meody maemayczne, ekonomeyczne i infomayczne, 005 (maszynopis). Pipień M., Wnioskowanie bayesowskie w ekonomeii finansowej, Wydawnicwo AE, Kaków, 006. Sama M., homas S., Shah A., Selecion of Value-a-Risk Models, Jounal of Foecasing, 003,. havaneswaan, A., Appadoo, S.S., Popeies of a New Family of Volailiy Sing Models, Compues and Mahemaics wih Applicaions, 006, 5. Seszczenie. W niniejszym opacowaniu zapoponowano użycie modeli auoegesyjnych z losowym paameem i funkcją znaku (Sign RCA) do ozymania pognoz VaR dla sóp zwou z kusów walu oaz z cen akcji spółek sekoa bankowego noowanych na GPW w Waszawie. Ozymane wyniki poównano z oszacowaniami VaR uzyskanymi za pomocą modeli RCA i ARMA-(G)ARCH oaz poddano je weyfikacji. Na podsawie pzepowadzonej analizy nie można wyciągnąć wniosku, że model Sign RCA jes zawsze lepszy niż model RCA czy ARMA-(G)ARCH do wyznaczenia VaR i odwonie. Using Sign RCA models o obain Value-a-Risk foecasing Absac Value-a-Risk (VaR) is used as a ool fo measuing he make isk. Alenaive VaR implemenaion has been bu none of known mehods ae no he bes. his pape poposes o use auoegessive model wih andom coefficien wih sign funcion (Sign RCA) o esimae value-a-isk fo foeign exchange aes and pice of bank seco shae fom he Wasaw Sock Exchange. Obained VaR foecass ou of Sign RCA models, RCA models and ARMA-(G)ARCH models have been compaed. he foecass have been evaluaed using adiional ess and loss funcion mehod. he esuls have no shown dominaion eihe of hese mehods of VaR foecasing.