Ryszard Kutyłowski. Optymalizacja topologii kontinuum materialnego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ryszard Kutyłowski. Optymalizacja topologii kontinuum materialnego"

Transkrypt

1 Ryszard Kutyłowsk Optymalzacja topolog kontnuum materalnego Ofcyna Wydawncza Poltechnk Wrocławskej Wrocław 2004

2 Recenzje Leszek MIKULSKI Paweł ŚNIADY Opracowane redakcyjne korekta Mara IZBICKA Copyrght by Ofcyna Wydawncza Poltechnk Wrocławskej, Wrocław 2004 OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspańskego 27, Wrocław ISBN Drukarna Ofcyny Wydawnczej Poltechnk Wrocławskej. Zam. nr 45/2004.

3 Sps treśc 1. Wprowadzene Wstęp Zakres dzedzny optymalzacja topolog Rys hstoryczny Przegląd lteratury Cel zakres pracy Układ pracy Problem brzegowy mechank trójwymarowego kontnuum materalnego Wstęp Sformułowane waracyjne problemu brzegowego dla trójwymarowego kontnuum materalnego Sformułowane problemu optymalzacj topolog Wstęp Ops sformułowana zadana Założena Ops obszaru projektowego Podstawy zastosowanej teor homogenzacj Ops charakteru procesu optymalzacj Sformułowane homogenzacyjne podejśce relaksacyjne Wprowadzene Sformułowane waracyjne problemu optymalzacj dla obszaru poddanego homogenzacj Sformułowane waracyjne homogenzacyjno-relaksacyjne problemu optymalzacj Algorytm metody elementów skończonych wraz z przykładam lczbowym Wstęp Algorytm metody elementów skończonych Przykłady lczbowe Postprocessng Funkcje progowe Wstęp Przykłady rozwązań dla zaproponowanych funkcj progowych Podejśce relaksacyjne Wstęp Podejśce relaksacyjne dla kontnuum materalnego Rozważana dotyczące defncj welkośc relaksacyjnej ε Analza wynków Uwag końcowe

4 4 7. Aktualzacja modułu Younga dla materału fkcyjnego Wstęp Defncje uaktualnonego modułu Younga Analza numeryczna Uwag końcowe Analza otrzymanych topolog w aspekce energetycznym Wstęp Analza rozwązana wynkająca z przyjęca różnych funkcj progowych Analza rozwązana wynkająca z przyjęca różnych funkcj relaksacyjnych Analza rozwązana wynkająca z przyjęca różnych funkcj aktualzujących moduł Younga Podsumowane Optymalzacja topolog dla cała z założonym otworam Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Optymalzacja topolog dla cała o zmnejszającej sę mase oraz zwększającym sę obcążenu Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Optymalzacja topolog przekroju poprzecznego wewnętrzne użebrowanej tarczy Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Optymalzacja topolog cała o rosnącej mase powększającym sę obszarze zajmowanym przez to cało Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Podsumowane Lteratura

5 1. Wprowadzene 1.1. Wstęp Optymalzacja topolog (topology optmzaton) daje odpowedź na pytane o sposób rozmeszczena w pewnej przestrzen materału przeznaczonego do wykonana danej konstrukcj tak, aby przy zadanych warunkach brzegowych dla zadanego obcążena kształt konstrukcj był optymalny. Proces optymalzacj polega na poszukwanu maksymalnej bądź mnmalnej wartośc funkcj, bądź funkcjonału celu przy równoczesnym spełnenu pewnej lczby warunków ogranczających. W nnejszej pracy funkcjonał określający podatność konstrukcj będze mnmalzowany przy pewnych ogranczenach nałożonych na masę cała. Optymalzacja przeprowadzana będze w ustalonym, stałym w trakce procesu optymalzacj obszarze projektowym, w którym podczas tego procesu powstają podobszary pozbawone materału podobszary wypełnone materałem. Proces optymalzacj jest to proces, w którym optymalzacj dokonuje sę dla każdego kolejnego kroku, dla którego poszukwane jest mnmum podatnośc. Końcowym efektem procesu optymalzacj jest optymalny rozkład materału w obszarze projektowym. a) b) Rys Ops materałowy (a) geometryczny (b) W nnejszej pracy stosuje sę ops materałowy problemu optymalzacj topolog (rys. 1.1a). W obszarze projektowym (zaznaczonym ramką na rys. 1.1a) konstrukcję

6 6 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego dentyfkuje sę poprzez rozpoznane, czy dany podobszar zajmowany jest przez materał o określonych własnoścach (kolor czarny), czy też dany podobszar jest pozbawony materału (kolor bały). Ten sposób opsu jest domnujący w lteraturze. W nelcznych pracach (np. w [19]) można spotkać sę z opsem geometrycznym (rys. 1.1b), w którym konstrukcję dentyfkuje sę określając położene granc obszarów zajmowanych przez materał (grance zewnętrzne) oraz określając położene granc otworów występujących w materale (grance wewnętrzne). W podejścu tym ne stneje pojęce obszaru projektowego. Optymalzacja topolog jest dzedzną wedzy stosunkowo młodą, ale bardzo szybko rozwjającą sę, szczególne w ostatnej dekadze. Ma ona bardzo duże zastosowane praktyczne, a jej rozwój wynka z potrzeb nektórych gałęz nowoczesnego przemysłu. Zastosowana optymalzacj topolog można rozpatrywać zarówno w skal makro (w budownctwe oraz w przemyśle bomedycznym, motoryzacyjnym lotnczym), jak w skal mkro (konstrukcje stosowane jako mkromechanzmy). Jednym z przykładów konstrukcj w skal makro może być konstrukcja, której topologa mus być optymalna dla każdego, zmenającego sę w trakce eksploatacj, położena obcążena [40]. Przykładem konstrukcj w skal mkro mogą być mechanzmy welkośc rzędu dzesątek czy setek mkrometrów, pracujące w układach elektroncznych, nazywane MEMS (Mcro Electro Mechancal Systems), np. [72]. Dzałana naukowe dotyczące optymalzacj topolog w skal globalnej są koordynowane przez ISSMO (Internatonal Socety of Structural and Multdscplnary Optmzaton) skupające ponad 500 naukowców z ponad 5 krajów. Założycelem stowarzyszena (w 1991 roku) był George Rozvany z Węger, a obecne przewodnczącym jest Martn Bendsøe z Dan. W ramach ISSMO dzałają też tzw. Workng Groups obejmujące swym zasęgem podstawowe dzedzny optymalzacj topolog (Topology Optmzaton, Shape Optmzaton, Optmzaton n Bomechancs td.). Czasopsmem stowarzyszena ISSMO jest Structural and Multdscplnary Optmzaton wydawane przez Sprnger Verlag. Należy dodać, że ISSMO jest stowarzyszenem aflowanym przy IUTAM (Internatonal Unon of Theoretcal and Appled Mechancs). W ostatnm okrese (od początku lat dzewęćdzesątych) odbyło sę wele znaczących konferencj kongresów, których tematem były problemy optymalzacj, w tym optymalzacj topolog: WCSMO World Congress on Structural and Multdscplnary Optmzaton: 1995 Goslar, Nemcy, 1997 Zakopane, Polska, 1999 Buffalo, USA, 2001 Dalan, Chny, 200 Ldo d Jesolo, Włochy. NATO Advanced Research Workshop: 1992 Sesmbra, Portugala, 2000 Budapeszt, Węgry. Konferencje CISM w Udne, Włochy, w latach

7 1. Wprowadzene 7 Cyklczne AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposum on Multdscplnary Analyss and Optmzaton: (1994 Panama Cty, 1996 Seattle, 1998 St. Lous, 2000 Long Beach (USA). Euromech Colloquum 45; The future of Structural Optmsaton, 1996 Lverpool, Angla. Dwe nternetowe konferencje organzowane przez ISSMO ( ). Ponadto organzowano następujące konferencje: Konferencje z ser OPTI (Computer Aded Optmum Desgn of Structures). Doroczne Konferencje Belgan French German Conferences on Optmzaton, odbywające sę w Namur w Belg, koncentrujące sę na ogólnych problemach dotyczących teor optymalzacj. Inne lokalne spotkana (m.n. spotkana ASMO UK/ISSMO (Conference on Engneerng Desgn Optmalzaton), Swansea Welka Brytana, MDO sympozjum w Pretor, Australasan Conference on Structural Optmsaton td.) Na welu multdyscyplnarnych konferencjach kongresach poruszana jest tematyka optymalzacyjna, dotycząca mędzy nnym optymalzacj topolog. Są to np.: Internatonal Congresses of Theoretcal and Appled Mechancs (ostatn odbył sę w Chcago w roku 2000, a następny odbędze sę w Warszawe w 2004 roku, gdze specjalną sesję pośwęconą optymalzacj topolog współorganzuje ISSMO). World Congresses on Computatonal Mechancs (ostatn odbył sę w Wednu w roku 2002). Konferencje GAMM (Gesellschaft für Angewandte Mathematk und Mechank). Poza cyklcznym znanym już konferencjam pojawają sę nowe. Wśród nch wymenć można choćby współorganzowaną przez ISSMO Internatonal Conference on Modellng, Smulaton, Optmzaton for Desgn of Mult-dscplnary Engneerng Systems, która odbyła sę we wrześnu 200 w Goa (Inde) Zakres optymalzacj topolog Optymalzacja topolog jest dynamczne rozwjającą sę dzedzną nauk, której klasyfkacja termnologa szybko sę w zwązku z tym zmenają. Od początku lat dzewęćdzesątych dokonywano prób usystematyzowana tej gałęz wedzy. Najbardzej aktualne omówene problemów zwązanych z klasyfkacją, zakresem poruszanej tematyk, hstorą termnologą znajdujemy w pracach [66] [67] z 2001 roku. Poneważ były one przedstawone dyskutowane na NATO ARW w Budapeszce w roku 2000 z udzałem welu czołowych przedstawcel tej dzedzny, można stwerdzć, że stanową one warygodne źródło aktualnej wedzy

8 8 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego dotyczącej systematyzacj tej dzedzny. Wcześnejsze uwag odnoszące sę do głównych zagadneń analzowanych w optymalzacj topolog wraz z pewną analzą hstoryczną zawarte są w [65]. Dotyczą one jednak przede wszystkm konstrukcj prętowych. Rys Klasyfkacja optymalzacj topolog Optymalzacja topolog dzel sę na dwe zasadncze dzedzny (rys. 1.2): 1. Layout Optmzaton (LO) dotyczy konstrukcj prętowych. Głównym problemem jest tu wyznaczene optymalnej satk prętów stanowących połączena węzłów satk. Zazwyczaj rozpatrywane są tu trzy następujące po sobe problemy:

9 1. Wprowadzene 9 optymalny wybór przestrzennej konfguracj prętów ch połączeń, np. prace [42] [4]; warto podkreślć, że wynk w tych pracach otrzymano na drodze analtycznej, optymalzacja geometr (określene najlepszej lokalzacj węzłów), optymalzacja przekrojów poprzecznych prętów. 2. Generalzed Shape Optmzaton (GSO) dotyczy optymalzacj topolog kontnuum materalnego, które może być jednorodne, może też być kompozytem. Do cał jednorodnych zalcza sę równeż cała porowate. Optymalzacja dokonywana jest wewnątrz ścśle określonego obszaru projektowego, gdze podczas procesu optymalzacj tworzą sę podobszary wypełnone materałem podobszary pozbawone materału. Mamy węc do czynena z wewnętrznym, zmenającym sę podczas procesu grancam tych podobszarów. W dalszej częśc pracy będzemy sę zajmować optymalzacją topolog kontnuum materalnego. Tematyka ta zawera sę w GSO, która jest stosowana, gdy w obszarze projektowym mamy do dyspozycj relatywne wększą lość materału w stosunku do lośc materału stosowanego podczas optymalzacj typu LO. W dalszym cągu rozważań skupmy sę na omawanu GSO, która jest używana do optymalzacj topolog: cał zotropowych (Isotropc-Sold/Empty ISE), cał anzotropowych (Ansotropc-Sold/Empty ASE), porowatych cał zotropowych (Isotropc-Sold/Empty/Porous ISEP). Zagadnene dotyczące optymalzacj topolog kontnuum materalnego zawera sę w grupe ISE. Do rozwązana zadana ISE stosuje sę następujące metody: SIMP (Sold Isotropc Mcrostructure wth Penalzaton) Jest to metoda stosowana podczas procesu optymalzacj dokonywanego numeryczne, np. metodą elementów skończonych. Jej zadanem jest elmnacja materału z tych elementów należących do obszaru projektowego, dla których zastępczy materał powstały w trakce tego procesu ma gęstość stosunkowo newelką. Metoda SIMP wymaga zastosowana odpowedno zdefnowanego uaktualnonego modułu Younga w poszczególnych elementach oraz określena gęstośc materału, która uznana będze za pomjalne małą. Gęstość materału przyjmuje wartośc pośredne mędzy welkoścą początkową a zerem. Podczas procesu optymalzacj mamy węc do czynena z pewnym sztucznym czy też fkcyjnym materałem. Za początek stosowana metody SIMP w rozwązanu numerycznym uważa sę pracę [8] z 1989 roku. Z bardzo welu prac, które ukazały sę późnej, warto wspomneć o [61], gdze precyzyjnej zdefnowano sposób aktualzacj modułu Younga, mający wpływ na gęstość mater w poszczególnych elementach podczas kolejnych kroków procesu optymalzacj. W nnejszej pracy w rozdzałach pątym sódmym analzowano wpływ defncj funkcj progowych sposobu aktualzacj modułu Younga na zbeżność rozwązana. Okazało sę, że rozwązane zależy od śceżk optymalzacj, która wynka z przyjętych parametrów zadana. Podobne w [74] (konstrukcje prętowe) stwerdzono, że rozwązane zależy od welkośc przyjętego wykładnka

10 10 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego potęg funkcj służącej do aktualzacj modułu Younga (odpowadającej funkcj µ (x) zdefnowanej w [8]). W [74] podano też, że rozwązane ne zawsze jest zbeżne z rozwązanem optymalnym. Ustosunkowane sę do tego faktu można znaleźć w rozdzale ósmym, gdze analzowano wpływ parametrów śceżk optymalzacj na zbeżność rozwązana z rozwązanem optymalnym. Ponadto w [74] rozwązywano zadane przy zwększającym sę stopnu penalzacj dla kolejnych kroków procesu optymalzacj, co odpowada sposobow rozwązywana zadana dla różnych zależnych m.n. od numeru kroku funkcj progowych, co pokazano w rozdzale pątym. Podobne w [62] analzowano wpływ na rozwązane welkośc wykładnka potęg, o jakm była mowa wcześnej. Równeż w tym przypadku analza dotyczyła konstrukcj prętowych. W [1] rozwązano problem optymalnej topolog dla lamnatów. Zauważono (bez podawana szczegółów) pozytywny wpływ rosnącego wykładnka potęg na zbeżność rozwązana. Jeszcze naczej (dla konstrukcj cągłej) sformułowano funkcję µ (x) w [56], gdze dla kolejnych kroków uwzględnono pewne przyrosty gęstośc dla danego elementu w stosunku do gęstośc z poprzednego kroku. Ne precyzowano jednak, jake są to przyrosty jak sę je otrzymuje. W [70] dokonano pewnych porównań dla rozwązań, w których zastosowano lub ne zastosowano metody SIMP. Pewną odmaną SIMP można nazwać ATO (Adaptve Topology Optmzaton), metodę obszerne omówoną w [46]. Polega ona na adaptowanu satk podzału w trakce procesu równoczesnym wygładzanu kształtów konstrukcj. Generalne, w lteraturze brakuje opracowań podających szczegóły zwązane ze stosowanym funkcjam progowym sposobem aktualzacj modułu Younga dla konstrukcj o strukturze cągłej, co omówono w rozdzałach pątym sódmym. Nektóre wynk zameszczone w rozdzale sódmym wcześnej były publkowane w [8], natomast nektóre wynk dotyczące problemu zbeżnośc rozwązana w zależnośc od przyjętych funkcj progowych były publkowane w [6]. W ostatnch latach SIMP stał sę coraz bardzej szeroko stosowaną metodą w rozwązywanu zagadneń zwązanych z optymalzacją topolog. Warto też zwrócć uwagę, że metoda SIMP była też używana razem z metodą COC (Contnuum-type Optmalty Crtera) [80], która po modyfkacj zwązanej z rozwązywanem numerycznym zadana przyjęła nazwę DCOC (dodano Dscretzed) [81]. Stosowana ona była do optymalzacj konstrukcj prętowych. Swe korzene ma w [], gdze sformułowano algorytmy, które pozwolły na projektowane konstrukcj o mnmalnym cężarze, przy nałożenu warunków ogranczających na naprężena przemeszczena. OMP (Optmal Mcrostructure wth Penalzaton). W zwązku z tym, że problem dotyczy mkrostruktur, w tym przypadku rośne lczba newadomych. Na przykład dla problemu dwuwymarowego mamy dla każdego elementu trzy nezależne parametry (dwe gęstośc warstwowe kerunek zorentowana mkrostruktury) [55].

11 1. Wprowadzene 11 NOM (Near Optmal Mcrostructure). Jest to pewna odmana metody OMP, dla której generalne ne stosuje sę penalzacj, przez co zadane staje sę słabo zbeżne. W takm przypadku nekedy można posłkować sę pewnym rodzajem postępowana, które można określć jako penalzację o ustalonym pozome. Poprawa to zbeżność zadana. Metoda ta czasam ma mnejszą lczbę nezależnych parametrów dla każdego elementu nż występuje to w metodze OMP [10]. GA (Genetc Algorthms). Algorytmy genetyczne znajdują coraz szersze zastosowane w welu dzedznach, równeż w optymalzacj topolog. Przykładam mogą być prace [12] [4]. Należy dodać, że ostatno w Polsce dzał ten bardzo slne rozwjany jest w ośrodku glwckm. ESO (Evolutonary Structural Optmzaton). Metoda została nazwana sformułowana w 1992 roku. W [77] dokonano szczegółowego jej opsu. Zajmowały sę ną przede wszystkm ośrodk australjske. Pewne rozszerzene o pełną możlwość ponownego uwzględnana danego elementu po uprzednm jego odrzucenu daje metoda BESO ([60] [78]). Ze względu na to, że używa sę tu nazw raczej zarezerwowanych dla algorytmów genetycznych (np. Evolutonary Optmzaton) w [67] zaproponowano nazwę tej metody jako SERA (Sequental Element Rejectons and Admssons). Przykład zastosowana metody SERA można znaleźć w [69]. Warto dodać, że ne zawsze prowadz ona do uzyskana rozwązana optymalnego. Tak węc dotychczas SERA jest metodą raczej ntucyjną, dla której ne ma dowodów stnena rozwązana optymalnego. Jako przykład bazującego na ESO, ale nnego sposobu wyznaczena optymalnej topolog jest [16], gdze optymalzację prowadz sę dla zmnejszającej sę dostępnej masy, przy czym dla danego procesu zakłada sę współczynnk zmnejszana sę masy (np. 1%). Optymalną topologą spośród wszystkch otrzymanych topolog będze ta, dla której energa odkształcena będze najmnejsza podczas zmnejszana sę dostępnej masy. Problem otrzymywana optymalnej topolog dla cała o zmnejszającej sę dostępnej mase w neco nnym ujęcu nż w pracy [16] rozwązywany jest w rozdzale dzesątym. BM (Bubble Method). Metoda bąbelkowa, choć ne jest ujęta w cytowanym podzale, równeż jest rozwjana w ostatnch latach, czego przykładem są prace [19], [20] [21]. Polega ona na teracyjnym umeszczanu otworów (bąbelków) w optymalzowanej konstrukcj. Parametrem optymalzacj jest tu wektor określający położene otworu. Jest to metoda będąca przykładem tzw. geometrycznego opsu problemu optymalzacj topolog, podczas gdy wszystke wymenone wcześnej są przykładam opsu materałowego. Zastosowana w nnejszej pracy metoda meśc sę w metodze SIMP, stosuje sę do materału zotropowego wykorzystuje penalzację. Jej algorytm jest orygnalny będze przedstawony w rozdzale czwartym. W pracy stosuje sę podejśce energetyczne MC (Mnmum Complance). Warto podkreślć, że badana w dzedzne optymalzacj topolog są prowadzone przez dwe grupy badaczy wzajemne sę uzupełnające. Jedna grupa zajmuje sę podstawam teoretycznym, badając zagadnena od strony formalnej, podając m.n. do-

12 12 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego wody na stnene rozwązana w ten sposób pozwala prowadzć badana bardzej praktyczne drugej grupe, która przede wszystkm zajmuje sę wyznaczanem optymalnych topolog dla danych klas zagadneń. Rozwązana problemów optymalzacj topolog mogą być analtyczne numeryczne. Najczęścej stosowaną metodą numeryczną jest metoda elementów skończonych, pozwalająca w sposób dyskretny analzować parametry projektowe. Odpowedno zagęszczona satka podzału MES daje możlwośc traktowana rozpatrywanego obszaru z jednej strony jako dyskretnego, z drugej z makroskopowego punktu wdzena jako kontnuum. Do nedawna, wobec szybkego rozwoju tej dyscyplny wedzy, w welu ośrodkach prowadzono badana nezależne, tak jak nezależne wprowadzano termnologę. Wele pojęć termnów funkcjonuje obecne równolegle, równeż wele wynków otrzymywano równolegle. Jako przykład można podać określena, które opsują to, czym jest SIMP. Są nm np. drect approach zaproponowany w [8], opsujący sposób aktualzacj modułu Younga poprzez zastosowane pewnego sztucznego materału. Inną nazwą tego sposobu postępowana jest artfcal approach [61], gdze dea drect approach jest kontynuowana doprecyzowano tu defncję sztucznego materału stosowanego podczas procesu optymalzacyjnego. Zresztą sama nazwa SIMP też ma różne nterpretacje słowne. Zamast sold welu autorów używa słowa smple. Zamast sold mcrostructure mów sę smple materal, jako że jest to materał, którego formuły opsujące jego własnośc ulegają pewnym modyfkacjom rzec by można uproszczenom. Słowo materal jest stosowane, aby wyraźne podkreślć, że mamy do czynena z zotropowym materałem jednorodnym, choć mcrostructure też może być nterpretowane jako materał jednorodny, o mkrostrukturalnych porach. Należy jednak pamętać, że w wększośc przypadków słowo mcrostructure odnos sę do materałów mających budowę typowo mkrostrukturalną. W rozważanach prowadzonych w nnejszej pracy SIMP należy tłumaczyć jako Sold Isotropc Materal wth Penalzaton, gdyż materał jest materałem jednorodnym, a ne materałem o powtarzalnych tzw. celach ( komórkach ). 1.. Rys hstoryczny Perwszą, fundamentalną pracą, na którą powołują sę wszyscy sęgający do początków rozważań nad optymalną topologą cała jest praca australjskego badacza Mchella z roku 1904 [47]. Potem, przez długe lata, dzedzna ta ne była rozwjana dopero z końcem lat pęćdzesątych w cągu lat sześćdzesątych rozpoczęto prace nad optymalzacją topolog struktur prętowych (Cox (1958), Dorn, Gomory, Greenberg (1964), Dobbs, Felton (1969)). Prace te dotyczyły zastosowana kryterów optymalzacj do bardzo gęstej satk możlwych połączeń pomędzy węzłam. Nektóre z węzłów były

13 1. Wprowadzene 1 obcążone, a nektóre były punktam podparca konstrukcj. Ta satka potencjalnych połączeń nazywana była strukturą podstawową (ground structure), a późnej strukturą bazową. W trakce procesu optymalzacj następowała elmnacja zbędnych połączeń, co prowadzło do uzyskana optymalnej struktury prętowej. Dość kompleksowo problem optymalzacj konstrukcj prętowych potraktowany jest w [45], gdze przedstawono przede wszystkm różne metody optymalzacj stosowanej podczas projektowana konstrukcj. Ksążka przeznaczona jest dla nżynerów zajmujących sę projektowanem. Początkowo optymalzacja topolog dotyczyła wyłączne konstrukcj prętowych. Od końca lat sześćdzesątych zaczęto sę zajmować także optymalzacją topolog cała o strukturze cągłej, a ne tylko prętowej. Obecne tę dzedznę optymalzacj można nazwać optymalzacją topolog kontnuum materalnego. Jako przykłady jednych z perwszych prac dotyczących struktur cągłych można podać np. artykuł z roku 1968 [59], w którym rozważano zagadnena teoretyczne optymalnego projektowana konstrukcj, m.n. w celu otrzymana konstrukcj o maksymalnej sztywnośc. W [6] określono optymalną grubość konstrukcj płytowej. Dopero pod konec lat osemdzesątych powstają prace dające podstawy do dalszych badań ([8] oraz [10]). Następne w latach dzewęćdzesątych późnej, aż do chwl obecnej, notuje sę burzlwy rozwój optymalzacj topolog cągłych cał, zarówno jednorodnych, jak kompozytowych. Hstorę kształtują ludze dlatego warto wspomneć o pewnych osobach, które mały bardzo duży wpływ na rozwój tej dzedzny wedzy: Martna Bendsøe z Techncal Unversty of Denmark w Lyngby, Nelsa Olhoffa z Aalborg Unversty, Georga Rozvanego obecne pracujący na Unwersytece Techncznym w Budapeszce, a także Johna Taylora z Ann Arbor Unversty, który jest autorem welu fundamentalnych prac osobą, która wskazywała wskazuje kerunk rozwoju tej dzedzny. Z artykułów autorstwa Johna Taylora, mających duże znaczene dla nnejszej pracy, warto wymenć [25] oraz cytowane wcześnej [59] [6]. Na uwagę zasługuje też praca [58], gdze zajmowano sę optymalną topologą cała z nkluzjam, [75], w której przedstawono optymalną topologę cała z dużym założonym otworem (konstrukcja mostu), co wąże sę tematyką poruszoną w rozdzale dzewątym wyznaczanem optymalnej topolog cała z założonym otworam. Prace pozostałych wspomnanych osób omawane są w dalszej częśc pracy Przegląd lteratury W dalszej częśc zostaną omówone przede wszystkm prace dotyczące optymalzacj topolog jednorodnego kontnuum materalnego oraz nektóre prace dotyczące cał kompozytowych, w zakrese wążącym sę z rozważaną tematyką.

14 14 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego Rozpocznjmy od bardzo ważnej pozycj z dzedzny optymalzacj topolog, a manowce od wydanej w 1995 roku ksążk Martna Bendsøe [9]. Stanow ona podsumowane wedzy dotyczącej optymalzacj topolog według stanu na około połowę lat dzewęćdzesątych, zawera też bardzo szczegółowy przegląd lteratury, usystematyzowany w cekawy sposób. Prace są podzelone na trzy grupy: ksążk dotyczące pewnych podstawowych zagadneń (optymalne projektowane, klasyczne optymalzowane kształtu, optymalzacja topolog, homogenzacja, relaksacja), najważnejsze artykuły dotyczące tych samych dzedzn co wspomnane ksążk wreszce artykuły z czasopsm konferencj, podzelone na dwadześca pęć grup tematycznych. Dopero po nch znajduje sę typowy sps lteratury. Układ tak pozwala na przejrzystą analzę tzw. state of art w omawanej dzedzne oraz na bardzo szybke odnalezene potrzebnego w danej chwl tytułu. Lteratura cytowana w ksążce opsuje bardzo szeroke spektrum problemów optymalzacj topolog. Mędzy nnym formułuje sę w nej podejśce homogenzacyjne, następne przedstawa sę funkcjonały energetyczne stosowane przy rozwązywanu różnych zagadneń oraz nawązuje sę do struktur prętowych jako osobnej znaczącej dzedzny. Przedmotem rozważań jest równeż zastosowane optymalzacj topolog do rozwązywana m.n. problemów dynamk, problemów z nelnowym zwązkam fzycznym, zagadneń topolog dla wybranych teor płyt td. Podobny układ ma monografa Topology optmzaton, theory, methods and applcatons napsana przez M. Bendsøe O. Sgmunda z 200 roku. Jest ona uaktualnoną rozszerzoną wersją pracy [9]. Warto też wspomneć, poza przytaczaną już wcześnej pracą [77], dotyczącą ESO, jeszcze o publkacj [29] dotyczącej aspektów teoretycznych zwązanych z aproksymacją problemów optymalzacj topolog elementam skończonym, o [48] dotyczącej aspektów teoretycznych zwązanych z brakem wypukłośc w problemach optymalzacj oraz o [1], gdze zawarto szczegółowy ops metody homogenzacj stosowanej w optymalzacj topolog. Omówmy teraz w sposób neco bardzej szczegółowy wymenone ksążk. W pracy [29] (Haslngera Nettaanmäkego) przeprowadzono kompleksową analzę matematyczną problemów optymalzacj topolog od sformułowana zadana w sense matematycznym poprzez dyskretyzację metodą elementów skończonych, aż do analzy wrażlwośc. Uwypuklono praktyczne aspekty zagadnena. Rozważano problem stnena rozwązana. Z bardzo szerokego spektrum zagadneń poruszanych w tej ksążce, w nnejszej pracy wykorzystano przede wszystkm dwa ostatne rozdzały pośwęcone optymalzacj topolog, równeż z wykorzystanem materału fkcyjnego, o czym wcześnej wspomnano przy omawanu m.n. tzw. drect approach [8]. W [29] problem optymalzacj topolog jest traktowany jako problem optymalnej grubośc projektowanego cała, jest on dobrze uwarunkowany ne wymaga podejśca relaksacyjnego. W [29] zameszczono też nezbędne twerdzena ch dowody.

15 1. Wprowadzene 15 Z kole w pracy [48] (Mstakdsa Stavroulaksa) zajęto sę problemem braku wypukłośc necągłoścą w zagadnenach mechank, w tym także w optymalzacj topolog, której pośwęcony jest jeden z rozdzałów. Przedstawono w nm bardzo skrótowo nektóre aspekty optymalzacj topolog, w tym przede wszystkm problem dotyczący aktualzacj modułu Younga. Podano też lteraturę dotyczącą tego zagadnena (m.n. [24], [49], [50] [79]). Wydana w 2002 roku ksążka Allara [1] stanow podsumowane prowadzonych przez autora prac dotyczących metody homogenzacj stosowanej do optymalzacj topolog oraz do zagadneń przewodnctwa. Prezentuje ona typowo matematyczne spojrzene na rozpatrywany problem. Ostatn rozdzał jest pośwęcony algorytmom numerycznym zawera przykłady lczbowe dotyczące m.n. różnych aspektów optymalzacj topolog. W ksążce znaleźć można bardzo szczegółowy wykład dotyczący teor homogenzacj z uwzględnenem H-zbeżnośc oraz G-zbeżnośc, przedstawono także matematyczny model materałów kompozytowych oraz podano zasady optymalnego projektowana. Zameszczono też wele typowych dla optymalzacj topolog przykładów lczbowych. Ksążka ta stanow bazę, do której można sę odneść, rozważając różne aspekty problemów optymalzacj topolog. W dalszej częśc tego rozdzału omówone będą artykuły dotyczące optymalzacj topolog, mające zwązek z przedstawaną pracą, czyl dotyczące optymalzacj topolog kontnuum materalnego, choć różnące sę podejścem, zastosowaną metodą rozwązana, bądź nnym szczegółam. Mogą też być tu prezentowane prace, które dotyczą optymalzacj struktur prętowych, wążące sę z poruszanym w tej pracy zagadnenem. W perwszej grupe omówone będą prace dotyczące optymalzacj topolog kontnuum materalnego, rozważane w ustalonym obszarze projektowym, w których zastosowano mnmalzację podatnośc. Istotnym wyróżnkem tego podejśca jest narzucene ogranczeń na obwód powstałych otworów (permeter method). Ponadto ogranczena narzucono na dostępną w procese masę. W zaproponowanej metodze unka sę konecznośc relaksacj zmennej projektowej, jaką jest gęstość względna w poszczególnych podobszarach. Zamast ustalana dolnej grancy gęstośc względnej zakłada sę górne ogranczene na obwód otworu. Zwększane lczby otworów powoduje zmnejszene podatnośc [15]. W tym przypadku materał stawał sę strukturą z mkroporam. Rozważana dotyczące omawanej metody można znaleźć też w [26], a także w [7] oraz w [6], gdze rozwązano równeż konstrukcje trójwymarowe. Warto zaznaczyć, że podejśce to jest dobrze uwarunkowane ze względu na stosowane ogranczeń narzuconych na obwód powstałych otworów, poneważ problem opsany jest w obszarze, w którym jest materał, a grance otworów są grancam rozpatrywanego cała. Stosowane tej metody daje możlwość kontrolowana welkośc położena otworów na każdym etape procesu optymalzacj. Ponadto stosowane odpowednch fltrów, będących pewnym odpowednkem penalzacj, poprawa

16 16 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego zbeżność rozwązana. Inne podejśce prezentuje sę w [2], gdze dzęk zastosowanu pewnej funkcj włączenu jej do funkcj celu unka sę rozkładu szachowncowego, a także udaje sę uzyskać rozkład zero-jedynkowy (pustka materał). Metoda ta została zastosowana do materału o perodycznej budowe mkrostrukturalnej. Wspomnjmy jeszcze o metodze bąbelkowej opsanej w 199 roku w [19] rozwjanej późnej w [20] [21]. Po wyznaczenu topolog dla rozważanej funkcj celu uwzględnanych w zadanu ogranczeń w obszar zoptymalzowanego w danym kroku cała wprowadza sę otwór. Celem tego wprowadzena jest poprawene otrzymanej topolog, tzn. uzyskane topolog, dla której funkcja celu przyjme mnejszą wartość. Dla danej funkcj celu zadanych ogranczeń formułowane są krytera określające położene otworu. Następne, dla cała, do którego wprowadzono otwór poszukwana jest optymalna topologa. Proces ten powtarzany jest teracyjne, aż do otrzymana optymalnej topolog rozumanej w ten sposób, że kolejne wprowadzene otworu ne popraw już topolog. Trzeba przy tym zauważyć, że w kolejnych krokach zazwyczaj zmenają sę grance obszaru zajmowanego przez materał, obszaru, który w tym przypadku każdorazowo jest tożsamy z obszarem projektowym. Neco naczej zbudowany jest algorytm otrzymywana optymalnej topolog cała w [44]. Nazwany jest on całkowce zautomatyzowanym algorytmem (ACOS). Wykorzystano w nm mnmalzację podatnośc, homogenzację otrzymano rozkład z tzw. odcenam szarośc. Dopero wtedy w drugm etape dzęk zastosowanu welkośc progowych uzyskuje sę rozkład czarno-bały, nazywany tu bnarnym. Okazuje sę, że tzw. thresholdng, sformułowany do tego zagadnena przez autorów ne daje an symetr w zagadnenu symetrycznym, an ne daje prawdłowego rozwązana, co wyraża sę tym, ż algorytm pozostawa masę (czarne punkty) w mejscach, w których materału ne pownno być. Wobec tego wprowadzono do algorytmu procedurę naprawy topolog sprowadzającej sę do elmnacj zbędnej masy przesuwanu jej do właścwych mejsc. Tę procedurę można nazwać pewną formą postprocessngu. W dalszym etape, właścwego postprocessngu, następuje wygładzane kształtów za pomocą specjalnych procedur. W tym mejscu warto wspomneć o różnorodnośc uzyskanych rozwązań danego problemu optymalzacj topolog. Pommo że zarówno w omówonej powyżej pracy [44], jak w [27] [28], a także w nnejszej pracy w rozdzale czwartym mamy rozwązany tak sam przykład; topologe są różne, nawet dla takej samej dostępnej masy. Porównane topolog jest wręcz nemożlwe, poneważ rozwązana podane w lteraturze ne mają opsanych parametrów dentyfkacyjnych. Pommo nawet takego samego podzału na elementy skończone są to różne zadana. Poza tym należy zauważyć, że zastosowane metody rozwązana z reguły są różne. Zazwyczaj jednak charakter topolog jest bardzo podobny, a różnce często dotyczą pewnych szczegółów, co pokazano w rozdzale czwartym (np. w przypadku takej samej dostępnej ma-

17 1. Wprowadzene 17 sy w procese optymalzacj). Ponadto problem otrzymywana różnych rozwązań danego zadana zwązany jest generalne z wyborem śceżk optymalzacj, na co zwraca sę uwagę w rozdzale ósmym, gdze jako podstawowe kryterum analzy dotyczącej wyznaczena optymalnej topolog przyjęto kryterum energetyczne. Zauważmy także, że ne mamy tu do czynena z występowanem lokalnych mnmów, tylko właśne z różnorodnoścą uzyskanych rozwązań danego problemu optymalzacj topolog, gdyż dla przyjętych parametrów mnmalzacja rozważanego funkcjonału prowadz do uzyskana ścśle określonego optymalnego rozwązana, a dla nnych parametrów do nnego rozwązana. Pewne wcześnejsze analzy dotyczące problemu różnorodnośc uzyskanych rozwązań można znaleźć w [41]. W newelu pracach podano algorytm opsujący postępowane podczas procesu optymalzacj. Wśród nch można wymenć wspomnaną wyżej pracę [44], a także wększość prac dotyczących ESO [77] jej odman, jak choćby [78]. Algorytm podano też w [27]. Zastosowany w nnejszej pracy algorytm, pozwalający na otrzymane optymalnej topolog w ogólnej postac, opublkowany był w [7]. Analza stosowanych algorytmów jest użyteczna ze względu na możlwość lepszego porównana otrzymanych wynków. Bardzo stotne znaczene dla problemów optymalzacj topolog mało zastosowane teor homogenzacj, której początk można wązać z pracą [10]. Pozycją podsumowującą rozważana dotyczące różnych aspektów zwązanych z zastosowanem homogenzacj jest wydana ostatno [1]. Warto przy tej okazj wspomneć wcześnejsze prace dotyczące tej tematyk. Można wśród nch wymenć [2], [] [5], zawerające zarówno formalzm matematyczny problemu (wraz z odpowednm dowodam), jak rozwązana konkretnych problemów optymalzacj topolog. Wymenone pozycje operają sę m.n. na pracach [17], [22] oraz na [51]. Należy jeszcze dodać, że nektóre prace Allare a, Francfort a, czy też Kohn a wcześnej były prezentowane na np. NATO Advanced Workshop w Portugal w 1992 roku (opublkowane przez Kluwer Academc Publshers w 199 roku NATO ASI Seres Topology Desgn of Structures). Praca [4], choć ukazała sę przed [1], zawera nowe aspekty dotyczące zastosowana teor homogenzacj z uwzględnenem relaksacj, która pozwala uzyskać rozwązane dla całego obszaru projektowego w sytuacj, gdy coraz wększe jego obszary są pozbawane materału. Materał zaczyna sę wtedy koncentrować w pewnych obszarach, gdze ze względu na wytężene materału jest nezbędny. Dla całego obszaru projektowego zadane staje sę źle uwarunkowane nezbędne staje sę wprowadzene w obszar pozbawony materału odpowedno wotkego materału zastępczego, którego parametry będą w trakce procesu optymalzacj poddane relaksacj. Oprócz rozważań teoretycznych w [4] zameszczono też przykłady lczbowe. Wcześnejszą pracą, w której zastosowano formalzm relaksacyjny dla kontnuum materalnego była praca [18]. Z kole w [9] analzowano wpływ relaksacj na szybkość otrzymana optymalnej topolog.

18 18 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego Dość szeroke spektrum problemów zwązanych z optymalzacją topolog jest poruszane w welu pracach, których współautorem jest Ramm. Wymeńmy tylko nektóre z nch. W [61] poza bardzo ogólnym uwagam na temat optymalzacj przedstawono aspekty teoretyczne oraz rozwązana welu problemów. Są nm np. wyznaczene optymalnego kształtu konstrukcj płyty, powłok cylndrycznej sferycznej pod obcążenem skuponym, a także m.n. płyty użebrowanej. Ponadto analzowano problem optymalnej konstrukcj powłok ze względu na wyboczene. W [46] przedstawono pewną technkę adaptacyjną pozwalającą na otrzymane podczas procesu optymalzacyjnego gładkch kształtów konstrukcj. Można to uzyskać poprzez aproksymowane kształtów obszarów zajętych przez materał w kolejnych cyklach za pomocą krzywych Bezera. Koneczne przy tym jest aktualzowane satk podzału konstrukcj na elementy skończone. Warto wspomneć jeszcze o [11], gdze optymalzowana jest konstrukcja lekkch przekryć. Praca ta jest o tyle cekawa, że porównuje sę w nej stnejące konstrukcje (Panteon w Paryżu, hale Unwersytetu w Manz Unwersytetu MIT) z oblczonym odpowednm konstrukcjam optymalnym. Równeż warta odnotowana jest praca [5], w której wyznaczono optymalną topologę konstrukcj ramowej ze względu na wyboczene. Interesujące jest tu dodatkowo zastosowane dwóch rodzajów podobszarów wewnątrz obszaru projektowego. Perwszy z podobszarów jest z założena wypełnony materałem, natomast w drugm prowadzmy proces optymalzacj. Możemy odnaleźć tu pewne podobeństwa do pokazanego w rozdzale jedenastym procesu optymalzacj, gdze mamy równeż pewen podobszar z założena wypełnony materałem. Dodatkowo w rozdzale jedenastym założone są też rdzene żeber, wokół których gromadz sę materał w trakce procesu optymalzacj. Na zakończene należy dodać, że nektóre z stotnych dla nnejszej pracy publkacj są cytowane w kolejnych rozdzałach, gdyż mają bezpośredn zwązek z przedstawaną w nch treścą, w zwązku z czym w tym rozdzale są pomnęte Cel zakres pracy Jednym z wyzwań, jake stają przed nżyneram w obecnych czasach jest koneczność projektowana konstrukcj w sposób optymalny. Dotyczy to projektowana konstrukcj typowych hal, konstrukcj mostowych, konstrukcj powłokowych stanowących przekryca dużych hal, czy wreszce pewnych elementów konstrukcj budowlanych, gdze szczególnego znaczena nabera problem zmnejszena cężaru, pełnego wykorzystana własnośc zastosowanego materału, czy też uzyskana przy zadanej mase możlwe jak najsztywnejszej konstrukcj. Rozważana dotyczące optymalnego kształtowana konstrukcj są obecne coraz stotnejsze ze względu na pojawane sę nowych materałów o parametrach zupełne odmennych od dotychczas stosowanych. Wreszce nowe technologe pozwalają konstruować równeż w nowy, neznany do-

19 1. Wprowadzene 19 tychczas sposób. Wszystko to zmusza projektantów do optymalnego projektowana konstrukcj. Optymalne kształtowane konstrukcj ma dość bogatą lteraturę w ostatnch pęćdzesęcu latach. Dzedzna ta podzelła sę na szereg bardzo wąskch specjalnośc. Na przełome lat osemdzesątych dzewęćdzesątych zaczęła sę wyodrębnać specjalność neco późnej nazwana optymalzacją topolog. Burzlwy rozwój tej dzedzny w ostatnej dekadze owocował bardzo weloma pracam, dzęk którym wele problemów dotyczących optymalnego kształtowana konstrukcj zostało rozwązanych. Jednak bardzo wele problemów jest jeszcze w trakce rozpoznana, trwa proces rozszerzana tej gałęz wedzy, zwłaszcza badane welu aspektów, które nejako ntucyjne zostały wykorzystane w optymalzacj. Po rozpoznanu aktualnej sytuacj dotyczącej optymalzacj topolog, w tym metod, jakm można sę posługwać, postanowono zbadać szereg problemów dotychczas ne rozwązanych, a także usprawnć sposoby otrzymywana optymalnej topolog cała. Autor nnejszej monograf mał na celu opracowane szybkego algorytmu optymalzacj topolog oraz rozpoznane welu parametrów śceżk optymalzacj mających wpływ na szybkość jakość otrzymanej topolog. Istotne było przy tym, aby otrzymana topologa była topologą optymalną, to znaczy, aby osągnęte było mnmum globalne rozpatrywanego funkcjonału. Wobec tego należało przeanalzować parametry sterujące procesem optymalzacj pod kątem odpowednego przyjęca welkośc odpowadających za jego przebeg. Można węc określć teraz szczegółowe cele nnejszej pracy: 1. Sformułowane w jednoltym zapse problemu optymalzacj topolog kontnuum materalnego. 2. Analza numeryczna zagadnena.. Ocena wpływu parametrów śceżk optymalzacj na otrzymaną topologę. 4. Otrzymane optymalnej topolog cała, co jest równoznaczne z osągnęcem przez funkcjonał mnmum globalnego. 5. Rozwązane wybranych problemów optymalzacj za pomocą otrzymanego algorytmu. Zakres pracy obejmuje: 1. Przygotowane podstaw teoretycznych w zakrese nezbędnym do sformułowana rozwązana rozważanego problemu. 2. Zbudowane algorytmu optymalzacj topolog kontnuum materalnego, który pownen być bardzej efektywny nż algorytmy znane z lteratury.. Zbudowane odpowednch programów komputerowych. 4. Wykonane testów numerycznych weryfkujących możlwośc zbudowanego algorytmu pozwalających potwerdzć uzyskaną, wyższą efektywność tego algorytmu od efektywnośc algorytmów prezentowanych w lteraturze.

20 20 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego 5. Wykonane oblczeń umożlwających zbadane wpływu parametrów śceżk optymalzacyjnej na otrzymaną topologę. Rozważać sę tu będze wpływ: a) zastosowanych funkcj progowych, b) zastosowanych funkcj relaksacyjnych, c) przyjętego modelu aktualzacj tensora sprężystośc podczas trwana procesu optymalzacj dla poszczególnych punktów materalnych. 6. Przeprowadzene analzy otrzymanych topolog w poszukwanu optymalnej topolog cała, co jest równoznaczne z poszukwanem mnmum globalnego zastosowanego funkcjonału z uwzględnenem różnych parametrów śceżk optymalzacj. 7. Przeprowadzene oblczeń nezbędnych do rozwązana wybranych problemów optymalzacj. Realzacja wymenonych celów w przedstawonym zakrese dała ostateczne twerdzącą odpowedź na pytane o możlwość sformułowana w jednoltym zapse problemu optymalzacj topolog kontnuum materalnego, a także na pytane o możlwość zbudowana efektywnejszego od znanych z lteratury algorytmów, który pozwala na otrzymane optymalnej topolog w rozumenu globalnym Układ pracy Monografa składa sę z trzynastu rozdzałów. Rozdzał perwszy podzelony jest na sześć podrozdzałów. W perwszym podrozdzale bardzo krótko opsano rozpatrywane zagadnene oraz przedstawono szereg nformacj dotyczących mędzynarodowych spotkań zwązanych z optymalzacją topolog nformacj o stowarzyszenu grupującym naukowców zajmujących sę tą dzedzną. W drugm podrozdzale przedstawono zakres optymalzacj topolog, podano szczegółowy podzał dzedzny, lokalzując tematykę nnejszej pracy na jej ogólnym tle. W trzecm podrozdzale przedstawono rys hstoryczny, nawązując do najwcześnejszych prac dotyczących optymalzacj topolog. W czwartym podrozdzale dokonano przeglądu lteratury. Na wstępe omówono pozycje ksążkowe z ostatnch klku lat, a następne powołano sę na lteraturę opsującą różne podejśca, dzęk którym można otrzymać optymalną topologę cała. Poruszono pewne podstawowe dla pracy zagadnena, a także pokazano (na przykładze lteratury) jak szeroke spektrum zagadneń optymalzacj wąże sę z nnejszą pracą. W podrozdzale pątym znaleźć można określene celu zakresu pracy. Wreszce w podrozdzale szóstym pokazano układ pracy. W rozdzale drugm przedstawono sformułowane waracyjne problemu brzegowego dla trójwymarowego kontnuum materalnego, co pozwolło otrzymać komplet równań opsujący rozpatrywane zagadnene (zwązk geometryczne, fzyczne, równa-

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Ewa Szymank Katedra Teor Ekonom Akadema Ekonomczna w Krakowe ul. Rakowcka 27, 31-510 Kraków STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Abstrakt Artykuł przedstawa wynk badań konkurencyjnośc

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r.

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r. Mnster Edukacj arodowej Pan Katarzyna HALL Mnsterstwo Edukacj arodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 arszawa Dna 03 czerwca 2009 r. TEMAT: Propozycja zmany art. 30a ustawy Karta auczycela w forme lstu otwartego

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania Łukasz Kacprzak, Jarosław Rudy, Domnk Żelazny Instytut Informatyk, Automatyk Robotyk, Poltechnka Wrocławska Welokryteralny Trójwymarowy Problem Pakowana 1. Wstęp Problemy pakowana należą do klasy NP-trudnych

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE DZIANIN DYSTANSOWYCH DO STREFOWYCH MATERACY ZDROWOTNYCH. Bogdan Supeł

ZASTOSOWANIE DZIANIN DYSTANSOWYCH DO STREFOWYCH MATERACY ZDROWOTNYCH. Bogdan Supeł ZASTOSOWANIE DZIANIN DYSTANSOWYCH DO STREFOWYCH MATERACY ZDROWOTNYCH. Wstęp Bogdan Supeł W ostatnm czase obserwuje sę welke zanteresowane dzannam dystansowym do produkcj materaców. Człowek około /3 życa

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego Zmodyfkowana technka programowana dynamcznego Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur 2 Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 27, 50-370 Wrocław Streszczene.

Bardziej szczegółowo

Jakość cieplna obudowy budynków - doświadczenia z ekspertyz

Jakość cieplna obudowy budynków - doświadczenia z ekspertyz dr nż. Robert Geryło Jakość ceplna obudowy budynków - dośwadczena z ekspertyz Wdocznym efektem występowana znaczących mostków ceplnych w obudowe budynku, występującym na ogół przy nedostosowanu ntensywnośc

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

Nowe europejskie prawo jazdy w celu większej ochrony, bezpieczeństwa i swobodnego przemieszczania się

Nowe europejskie prawo jazdy w celu większej ochrony, bezpieczeństwa i swobodnego przemieszczania się KOMISJA EUROPEJSKA NOTATKA Bruksela, 18 styczna 2013 r. Nowe europejske prawo jazdy w celu wększej ochrony, bezpeczeństwa swobodnego przemeszczana sę W dnu 19 styczna 2013 r., w ramach wejśca w życe trzecej

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM

BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM SRM Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 88/2010 13 Potr Bogusz Marusz Korkosz Jan Prokop POLITECHNIKA RZESZOWSKA Wydzał Elektrotechnk Informatyk BADANIE DRGAŃ WŁASNYCH NAPĘDU ROBOTA KUCHENNEGO Z SILNIKIEM

Bardziej szczegółowo

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

Kierownik Katedry i Kliniki: prof. dr hab. Bernard Panaszek, prof. zw. UMW. Recenzja

Kierownik Katedry i Kliniki: prof. dr hab. Bernard Panaszek, prof. zw. UMW. Recenzja KATEDRA KLINIKA CHORÓB WEWNĘTRZNYCHYCH GERIATRII ALERGOLOGU Unwersytet Medyczny m. Pastów Śląskch we Wrocławu 50-367 Wrocław, ul. Cure-Skłodowskej 66 Tel. 71/7842521 Fax 71/7842529 E-mal: bernard.panaszek@umed.wroc.pl

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

Zapytanie ofertowe nr 4/2016/Młodzi (dotyczy zamówienia na usługę ochrony)

Zapytanie ofertowe nr 4/2016/Młodzi (dotyczy zamówienia na usługę ochrony) Fundacja na Rzecz Rozwoju Młodzeży Młodz Młodym ul. Katedralna 4 50-328 Wrocław tel. 882 021 007 mlodzmlodym@archdecezja.wroc.pl, www.sdm2016.wroclaw.pl Wrocław, 24 maja 2016 r. Zapytane ofertowe nr 4/2016/Młodz

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-6

Ć W I C Z E N I E N R M-6 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M-6 WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI DRUTU ZA POMOCĄ WAHADŁA TORSYJNEGO

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

3.1. ODZIAŁYWANIE DŹWIĘKÓW NA CZŁOWIEKA I OTOCZENIE

3.1. ODZIAŁYWANIE DŹWIĘKÓW NA CZŁOWIEKA I OTOCZENIE 3. KRYTERIA OCENY HAŁASU I DRGAŃ Hałas to każdy dźwęk nepożądany, przeszkadzający, nezależne od jego natury, kontekstu znaczena. Podobne rzecz sę ma z drganam. Oba te zjawska oddzałują nekorzystne na człoweka

Bardziej szczegółowo

Analiza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009

Analiza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009 Mara Konopka Katedra Ekonomk Organzacj Przedsęborstw Szkoła Główna Gospodarstwa Wejskego w Warszawe Analza porównawcza rozwoju wybranych banków komercyjnych w latach 2001 2009 Wstęp Polska prywatyzacja

Bardziej szczegółowo

Analiza ryzyka jako instrument zarządzania środowiskiem

Analiza ryzyka jako instrument zarządzania środowiskiem WARSZTATY 2003 z cyklu Zagrożena naturalne w górnctwe Mat. Symp. str. 461 466 Elżbeta PILECKA, Małgorzata SZCZEPAŃSKA Instytut Gospodark Surowcam Mneralnym Energą PAN, Kraków Analza ryzyka jako nstrument

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych NAFTA-GAZ styczeń 2011 ROK LXVII Anna Rembesa-Śmszek Instytut Nafty Gazu, Kraków Andrzej Wyczesany Poltechnka Krakowska, Kraków Zastosowane symulatora ChemCad do modelowana złożonych układów reakcyjnych

Bardziej szczegółowo

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00 Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 4

SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 4 SPIS TREŚCI. WSTĘP... 4.. WAśNOŚĆ PROBLEMATYKI BĘDĄCEJ PRZEDMIOTEM PRACY....4.. CELE PRACY....4.3. ZAKRES PRACY...4.4. WYKORZYSTANE ŹRÓDŁA....5. OBLICZENIA DYNAMICZNE KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH... 6.. MACIERZOWE

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA W PRZESIEWACZACH WIELOPOKŁADOWYCH

OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA W PRZESIEWACZACH WIELOPOKŁADOWYCH Prace Naukowe Instytutu Górnctwa Nr 136 Poltechnk Wrocławskej Nr 136 Studa Materały Nr 43 2013 Jerzy MALEWSKI* Marta BASZCZYŃSKA** przesewane, jakość produktów, optymalzacja OPTYMALIZACJA PROCESU PRZESIEWANIA

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE

PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA WAHANIA SEZONOWE STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36 Krzysztof Dmytrów * Marusz Doszyń ** Unwersytet Szczecńsk PROGNOZOWANIE SPRZEDAŻY Z ZASTOSOWANIEM ROZKŁADU GAMMA Z KOREKCJĄ ZE WZGLĘDU NA

Bardziej szczegółowo

Tworzenie stron WWW. Kurs. Wydanie III

Tworzenie stron WWW. Kurs. Wydanie III Idź do Sps treśc Przykładowy rozdzał Katalog ksążek Katalog onlne Zamów drukowany katalog Twój koszyk Dodaj do koszyka Cennk nformacje Zamów nformacje o nowoścach Zamów cennk Czytelna Fragmenty ksążek

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

SYSTEM ZALICZEŃ ĆWICZEŃ

SYSTEM ZALICZEŃ ĆWICZEŃ AMI, zma 010/011 mgr Krzysztof Rykaczewsk System zalczeń Wydzał Matematyk Informatyk UMK SYSTEM ZALICZEŃ ĆWICZEŃ z Analzy Matematycznej I, 010/011 (na podst. L.G., K.L., J.M., K.R.) Nnejszy dokument dotyczy

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 81 Electrcal Engneerng 015 Mkołaj KSIĄŻKIEWICZ* OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model

Evaluation of estimation accuracy of correlation functions with use of virtual correlator model Jadwga LAL-JADZIAK Unwersytet Zelonogórsk Instytut etrolog Elektrycznej Elżbeta KAWECKA Unwersytet Zelonogórsk Instytut Informatyk Elektronk Ocena dokładnośc estymacj funkcj korelacyjnych z użycem modelu

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE

KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Adranna Mastalerz-Kodzs Unwersytet Ekonomczny w Katowcach KONSTRUKCJA OPTYMALNYCH PORTFELI Z ZASTOSOWANIEM METOD ANALIZY FUNDAMENTALNEJ UJĘCIE DYNAMICZNE Wprowadzene W dzałalnośc nstytucj fnansowych, takch

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH

OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I P O Z N AŃSKIEJ Nr Budowa Maszyn Zarządzane Produkcją 005 PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU ZE ŹRÓDŁAMI

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych

Ćwiczenie 10. Metody eksploracji danych Ćwczene 10. Metody eksploracj danych Grupowane (Clusterng) 1. Zadane grupowana Grupowane (ang. clusterng) oznacza grupowane rekordów, obserwacj lub przypadków w klasy podobnych obektów. Grupa (ang. cluster)

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010

EKONOMETRIA I Spotkanie 1, dn. 05.10.2010 EKONOMETRIA I Spotkane, dn. 5..2 Dr Katarzyna Beń Program ramowy: http://www.sgh.waw.pl/nstytuty/e/oferta_dydaktyczna/ekonometra_stacjonarne_nest acjonarne/ Zadana, dane do zadań, ważne nformacje: http://www.e-sgh.pl/ben/ekonometra

Bardziej szczegółowo

Semestr zimowy Brak Nie

Semestr zimowy Brak Nie KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angelskm Obowązuje od roku akademckego 2015/2016 Z-ID-702 Semnarum praca dyplomowa Semnar and Dplom Thess A. USYTUOWANIE MODUŁU

Bardziej szczegółowo

O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH

O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH Mateusz Baryła Unwersytet Ekonomczny w Krakowe O PEWNYM MODELU POZWALAJĄCYM IDENTYFIKOWAĆ K NAJBARDZIEJ PODEJRZANYCH REKORDÓW W ZBIORZE DANYCH KSIĘGOWYCH W PROCESIE WYKRYWANIA OSZUSTW FINANSOWYCH Wprowadzene

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne

Wprowadzenie do Sieci Neuronowych Sieci rekurencyjne Wprowadzene do Sec Neuronowych Sec rekurencyjne M. Czoków, J. Persa 2010-12-07 1 Powtórzene Konstrukcja autoasocjatora Hopfelda 1.1 Konstrukcja Danych jest m obrazów wzorcowych ξ 1..ξ m, gdze każdy pojedynczy

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych dr nż. Zbgnew Tarapata: Optymalzacja decyzj nwestycyjnych, cz.ii 8. Optymalzacja decyzj nwestycyjnych W rozdzale 8, część I przedstawono elementarne nformacje dotyczące metod oceny decyzj nwestycyjnych.

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

Instrukcja instalacji systemu. Moduzone Z11 Moduzone Z20 B Moduzone Z30

Instrukcja instalacji systemu. Moduzone Z11 Moduzone Z20 B Moduzone Z30 Instrukcja nstalacj systemu Moduzone Z11 Moduzone Z20 B Moduzone Z30 SPIS TREŚCI INTRUKCJA 1 Instrukcja... 2 1.1 Uwag dotyczące dokumentacj...2 1.2 Dołączone dokumenty...2 1.3 Objaśnene symbol...2 1.4

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0

Regulamin promocji upalne lato 2014 2.0 upalne lato 2014 2.0 strona 1/5 Regulamn promocj upalne lato 2014 2.0 1. Organzatorem promocj upalne lato 2014 2.0, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa

Bardziej szczegółowo

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak Ćwczena z Makroekonom II Model IS-LM- Model IS-LM- jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak gospodarka taka zachowuje sę w krótkm okrese, w efekce dzałań podejmowanych w ramach

Bardziej szczegółowo

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności

ZAJĘCIA X. Zasada największej wiarygodności ZAJĘCIA X Zasada najwększej warygodnośc Funkcja warygodnośc Estymacja wg zasady maksymalzacj warygodnośc Rodzna estymatorów ML Przypadk szczególne WPROWADZEIE Komputerowa dentyfkacja obektów Przyjęce na

Bardziej szczegółowo

1. Komfort cieplny pomieszczeń

1. Komfort cieplny pomieszczeń 1. Komfort ceplny pomeszczeń Przy określanu warunków panuących w pomeszczenu używa sę zwykle dwóch poęć: mkroklmat komfort ceplny. Przez poęce mkroklmatu wnętrz rozume sę zespół wszystkch parametrów fzycznych

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji 14 wiosna

Regulamin promocji 14 wiosna promocja_14_wosna strona 1/5 Regulamn promocj 14 wosna 1. Organzatorem promocj 14 wosna, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 lutego 2014 do 30

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania.

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania. Modelowane komputerowe fraktalnych basenów przycągana. Rafał Henryk Kartaszyńsk Unwersytet Mar Cure-Skłodowskej Pl. M. Cure-Skłodowskej 1, 0-031 Lubln, Polska Streszczene. W artykule tym zajmujemy sę prostym

Bardziej szczegółowo

POMIAR MOCY MECHANICZNEJ MASZYN ELEKTRYCZNYCH POPRZEZ POMIAR KĄTA SKRĘCENIA WAŁU

POMIAR MOCY MECHANICZNEJ MASZYN ELEKTRYCZNYCH POPRZEZ POMIAR KĄTA SKRĘCENIA WAŁU Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne r 82/2009 236 omasz Barszcz, Jacek rbanek, Akadema Górnczo Hutncza, Kraków Bernard Schmdt, EC Systems Sp. z o.o., Kraków POMIAR MOCY MECHAICZEJ MASZY ELEKRYCZYCH

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod:

Bardziej szczegółowo

THE STATISTICAL MODEL OF ROAD TRAFFIC MONITORING

THE STATISTICAL MODEL OF ROAD TRAFFIC MONITORING ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 200909 Sera: TRANSPORT z. 65 Nr kol. 1807 Teresa PAMUŁA, Aleksander KRÓL STATYSTYCZNY MODEL MONITOROWANIA RUCHU DROGOWEGO Streszczene. W artykule przedstawono koncepcję

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH

ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Grzegorz PRZEKOTA ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH ZASTOSOWANIE ANALIZY HARMONICZNEJ DO OKREŚLENIA SIŁY I DŁUGOŚCI CYKLI GIEŁDOWYCH Zarys treśc: W pracy podjęto problem dentyfkacj cykl gełdowych.

Bardziej szczegółowo

Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM).

Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Problem plecakowy (KNAPSACK PROBLEM). Zagadnene optymalzac zwane problemem plecakowym swą nazwę wzęło z analog do sytuac praktyczne podobne do problemu pakowana plecaka. Chodz o to, by zapakować maksymalne

Bardziej szczegółowo

Urządzenia wejścia-wyjścia

Urządzenia wejścia-wyjścia Urządzena wejśca-wyjśca Klasyfkacja urządzeń wejśca-wyjśca. Struktura mechanzmu wejśca-wyjśca (sprzętu oprogramowana). Interakcja jednostk centralnej z urządzenam wejśca-wyjśca: odpytywane, sterowane przerwanam,

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

EMERYTURA Z FUNDUSZU UBEZPIECZEŃ SPOŁECZNYCH USTALANA NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

EMERYTURA Z FUNDUSZU UBEZPIECZEŃ SPOŁECZNYCH USTALANA NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH EMERYTURA Z FUNDUSZU UBEZPIECZEŃ SPOŁECZNYCH USTALANA NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Emerytura z FUS ustalana na dotychczasowych zasadach to śwadczene

Bardziej szczegółowo

POJAZDY SZYNOWE 2/2014

POJAZDY SZYNOWE 2/2014 ANALIZA PRZYCZYN I SKUTKÓW USZKODZEŃ (FMEA) W ZASTOSOWANIU DO POJAZDÓW SZYNOWYCH dr nż. Macej Szkoda, mgr nż. Grzegorz Kaczor Poltechnka Krakowska, Instytut Pojazdów Szynowych al. Jana Pawła II 37, 31-864

Bardziej szczegółowo

SPRAWNOŚĆ MECHANICZNA ZESPOŁU NAPĘDOWEGO Z SIŁOWNIKIEM HYDRAULICZNYM PRZY UWZGLĘDNIENIU TARCIA SUCHEGO

SPRAWNOŚĆ MECHANICZNA ZESPOŁU NAPĘDOWEGO Z SIŁOWNIKIEM HYDRAULICZNYM PRZY UWZGLĘDNIENIU TARCIA SUCHEGO Acta Agrophysca, 2008, 11(3), 741-751 SPRAWNOŚĆ MECHANICZNA ZESPOŁU NAPĘDOWEGO Z SIŁOWNIKIEM HYDRAULICZNYM PRZY UWZGLĘDNIENIU TARCIA SUCHEGO Andrzej Anatol Stępnewsk, Ewa Korgol Katedra Podstaw Technk,

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

Część III: Termodynamika układów biologicznych

Część III: Termodynamika układów biologicznych Część III: Termodynamka układów bologcznych MATERIAŁY POMOCNICZE DO WYKŁADÓW Z PODSTAW BIOFIZYKI IIIr. Botechnolog prof. dr hab. nż. Jan Mazersk TERMODYNAMIKA UKŁADÓW BIOLOGICZNYCH Nezwykle cenną metodą

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO

ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO ROZWIĄZANIA ZBILANSOWANEGO ZAGADNIENIA TRANSPORTOWEGO Studa Materały. Mscellanea Oeconomcae Rok 6, Nr 2/22 Wydzał Zarządzana Admnstrac Unwersytetu Jana Kochanowskego w Kelcach Z a r z ą d z a n e f n a n s e Rafał Prońko ZASTOSOWANIE KLASYCZNEGO ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI W HARMONOGRAMOWANIU PROJEKTÓW 1

WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI W HARMONOGRAMOWANIU PROJEKTÓW 1 DECYZJE nr 13 czerwec 2010 WIELOKRYTERIALNE WSPOMAGANIE DECYZJI W HARMONOGRAMOWANIU PROJEKTÓW 1 Tomasz Błaszczyk* Akadema Ekonomczna w Katowcach Macej Nowak** Akadema Ekonomczna w Katowcach Streszczene:

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Techniczna dla MWT, Rozdział 14. AJ Wojtowicz IF UMK. 5.2. Generacja entropii; transfer ciepła przy skończonej róŝnicy temperatur

Termodynamika Techniczna dla MWT, Rozdział 14. AJ Wojtowicz IF UMK. 5.2. Generacja entropii; transfer ciepła przy skończonej róŝnicy temperatur ermodynamka echnczna dla MW, Rozdzał 4. AJ Wojtowcz IF UMK Rozdzał 4. Zmana entrop w przemanach odwracalnych.. rzemany obegu Carnota.. SpręŜane gazu półdoskonałego ze schładzanem.3. Izobaryczne wytwarzane

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW

OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW Inżynera Rolncza 8(96)/2007 OKREŚLENIE CZASU MIESZANIA WIELOSKŁADNIKOWEGO UKŁADU ZIARNISTEGO PODCZAS MIESZANIA Z RECYRKULACJĄ SKŁADNIKÓW Jolanta Królczyk, Marek Tukendorf Katedra Technk Rolnczej Leśnej,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH

ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ Nr 83 Budownctwo Inżynera Środowska z. 59 (4/1) 01 Bożena BABIARZ Barbara ZIĘBA Poltechnka Rzeszowska ANALIZA JEDNOSTKOWYCH STRAT CIEPŁA W SYSTEMIE RUR PREIZOLOWANYCH

Bardziej szczegółowo

MOŻLIWOŚCI KSZTAŁTOWANIA POWIERZCHNI OBRABIANYCH NA TOKARKACH CNC WYNIKAJĄCE ZE ZŁOŻENIA RUCHÓW TECHNOLOGICZNYCH

MOŻLIWOŚCI KSZTAŁTOWANIA POWIERZCHNI OBRABIANYCH NA TOKARKACH CNC WYNIKAJĄCE ZE ZŁOŻENIA RUCHÓW TECHNOLOGICZNYCH 4/1 Technologa Automatyzacja Montażu MOŻLIWOŚCI KSZTAŁTOWAIA POWIERZCHI OBRABIAYCH A TOKARKACH CC WYIKAJĄCE ZE ZŁOŻEIA RUCHÓW TECHOLOGICZYCH Robert JASTRZĘBSKI, Tadeusz KOWALSKI, Paweł OSÓWIAK, Anna SZEPKE

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do omówienia

Zagadnienia do omówienia Zarządzane produkcją dr nż. Marek Dudek Ul. Gramatyka 0, tel. 6798 http://www.produkcja.zarz.agh.edu.pl Zagadnena do omówena Zasady projektowana systemów produkcyjnych część (organzacja procesów w przestrzen)

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA ANALIZA PODATKU DOCHODOWEGO OD OSÓB FIZYCZNYCH

STATYSTYCZNA ANALIZA PODATKU DOCHODOWEGO OD OSÓB FIZYCZNYCH PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr 39 23 Społeczno-gospodarcze aspekty statystyk ISSN 899-392 Edyta Mazurek Unwersytet Ekonomczny

Bardziej szczegółowo

Regulamin promocji zimowa piętnastka

Regulamin promocji zimowa piętnastka zmowa pętnastka strona 1/5 Regulamn promocj zmowa pętnastka 1. Organzatorem promocj zmowa pętnastka, zwanej dalej promocją, jest JPK Jarosław Paweł Krzymn, zwany dalej JPK. 2. Promocja trwa od 01 grudna

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

dr inż. ADAM HEYDUK dr inż. JAROSŁAW JOOSTBERENS Politechnika Śląska, Gliwice

dr inż. ADAM HEYDUK dr inż. JAROSŁAW JOOSTBERENS Politechnika Śląska, Gliwice dr nż. ADA HEYDUK dr nż. JAOSŁAW JOOSBEENS Poltechna Śląsa, Glwce etody oblczana prądów zwarcowych masymalnych nezbędnych do doboru aparatury łączenowej w oddzałowych secach opalnanych według norm europejsej

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku

Wyznaczanie lokalizacji obiektu logistycznego z zastosowaniem metody wyważonego środka ciężkości studium przypadku B u l e t y n WAT Vo l. LXI, Nr 3, 2012 Wyznaczane lokalzacj obektu logstycznego z zastosowanem metody wyważonego środka cężkośc studum przypadku Emla Kuczyńska, Jarosław Zółkowsk Wojskowa Akadema Technczna,

Bardziej szczegółowo

Praktyczne wykorzystanie zależności między twardością Brinella a wytrzymałością stali konstrukcyjnych

Praktyczne wykorzystanie zależności między twardością Brinella a wytrzymałością stali konstrukcyjnych Wydzał Budownctwa Lądowego Wodnego Katedra Konstrukcj Metalowych Praktyczne wykorzystane zależnośc mędzy twardoścą Brnella a wytrzymałoścą stal konstrukcyjnych - korzyśc realzacj projektu GRANT PLUS -

Bardziej szczegółowo

Dotyczy: opinii PKPP lewiatan do projektow dwoch rozporzqdzen z 27 marca 2012 (pismo P-PAA/137/622/2012)

Dotyczy: opinii PKPP lewiatan do projektow dwoch rozporzqdzen z 27 marca 2012 (pismo P-PAA/137/622/2012) 30/04! 2012 PON 13: 30! t FAX 22 55 99 910 PKPP Lewatan _..~._. _., _. _ :. _._..... _.. ~._..:.l._.... _. '. _-'-'-'"." -.-.---.. ----.---.-.~.....----------.. LEWATAN Pol~ka KonfederacJa Pracodawcow

Bardziej szczegółowo

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

Delegacje otrzymują w załączeniu dokument Komisji D012257/03 ZAŁĄCZNIK.

Delegacje otrzymują w załączeniu dokument Komisji D012257/03 ZAŁĄCZNIK. RADA UNII EUROPEJSKIEJ Bruksela, 28 lpca 20 r. (29.07) (OR. en) 082/ ADD AVIATION 94 PISMO PRZEWODNIE Od: Komsja Europejska Data otrzymana: 8 lpca 20 r. Do: Sekretarat Generalny Rady Nr dok. Kom D02257/0

Bardziej szczegółowo

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta

Sieci Neuronowe 1 Michał Bereta Wprowadzene Zagadnena Sztucznej Intelgencj laboratorum Sec Neuronowe 1 Mchał Bereta Sztuczne sec neuronowe można postrzegać jako modele matematyczne, które swoje wzorce wywodzą z bolog obserwacj ludzkch

Bardziej szczegółowo

Modelowanie struktury stóp procentowych na rynku polskim - wprowadzenie

Modelowanie struktury stóp procentowych na rynku polskim - wprowadzenie Mgr Krzysztof Pontek Katedra Inwestycj Fnansowych Ubezpeczeń Akadema Ekonomczna we Wrocławu Modelowane struktury stóp procentowych na rynku polskm - wprowadzene Wprowadzene Na rynku stóp procentowych analzowana

Bardziej szczegółowo

Realizacja logiki szybkiego przeniesienia w prototypie prądowym układu FPGA Spartan II

Realizacja logiki szybkiego przeniesienia w prototypie prądowym układu FPGA Spartan II obert Berezowsk Natala Maslennkowa Wydzał Elektronk Poltechnka Koszalńska ul. Partyzantów 7, 75-4 Koszaln Mchał Bałko Przemysław Sołtan ealzacja logk szybkego przenesena w prototype prądowym układu PG

Bardziej szczegółowo

A O n RZECZPOSPOLITA POLSKA. Gospodarki Narodowej. Warszawa, dnia2/stycznia 2014

A O n RZECZPOSPOLITA POLSKA. Gospodarki Narodowej. Warszawa, dnia2/stycznia 2014 Warszawa, dna2/styczna 2014 r, RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTERSTWO ADMINISTRACJI I CYFRYZACJI PODSEKRETARZ STANU Małgorzata Olsze wska BM-WP 005.6. 20 14 Pan Marek Zółkowsk Przewodnczący Komsj Gospodark

Bardziej szczegółowo