Ryszard Kutyłowski. Optymalizacja topologii kontinuum materialnego

Transkrypt

1 Ryszard Kutyłowsk Optymalzacja topolog kontnuum materalnego Ofcyna Wydawncza Poltechnk Wrocławskej Wrocław 2004

2 Recenzje Leszek MIKULSKI Paweł ŚNIADY Opracowane redakcyjne korekta Mara IZBICKA Copyrght by Ofcyna Wydawncza Poltechnk Wrocławskej, Wrocław 2004 OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROCŁAWSKIEJ Wybrzeże Wyspańskego 27, Wrocław ISBN Drukarna Ofcyny Wydawnczej Poltechnk Wrocławskej. Zam. nr 45/2004.

3 Sps treśc 1. Wprowadzene Wstęp Zakres dzedzny optymalzacja topolog Rys hstoryczny Przegląd lteratury Cel zakres pracy Układ pracy Problem brzegowy mechank trójwymarowego kontnuum materalnego Wstęp Sformułowane waracyjne problemu brzegowego dla trójwymarowego kontnuum materalnego Sformułowane problemu optymalzacj topolog Wstęp Ops sformułowana zadana Założena Ops obszaru projektowego Podstawy zastosowanej teor homogenzacj Ops charakteru procesu optymalzacj Sformułowane homogenzacyjne podejśce relaksacyjne Wprowadzene Sformułowane waracyjne problemu optymalzacj dla obszaru poddanego homogenzacj Sformułowane waracyjne homogenzacyjno-relaksacyjne problemu optymalzacj Algorytm metody elementów skończonych wraz z przykładam lczbowym Wstęp Algorytm metody elementów skończonych Przykłady lczbowe Postprocessng Funkcje progowe Wstęp Przykłady rozwązań dla zaproponowanych funkcj progowych Podejśce relaksacyjne Wstęp Podejśce relaksacyjne dla kontnuum materalnego Rozważana dotyczące defncj welkośc relaksacyjnej ε Analza wynków Uwag końcowe

4 4 7. Aktualzacja modułu Younga dla materału fkcyjnego Wstęp Defncje uaktualnonego modułu Younga Analza numeryczna Uwag końcowe Analza otrzymanych topolog w aspekce energetycznym Wstęp Analza rozwązana wynkająca z przyjęca różnych funkcj progowych Analza rozwązana wynkająca z przyjęca różnych funkcj relaksacyjnych Analza rozwązana wynkająca z przyjęca różnych funkcj aktualzujących moduł Younga Podsumowane Optymalzacja topolog dla cała z założonym otworam Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Optymalzacja topolog dla cała o zmnejszającej sę mase oraz zwększającym sę obcążenu Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Optymalzacja topolog przekroju poprzecznego wewnętrzne użebrowanej tarczy Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Optymalzacja topolog cała o rosnącej mase powększającym sę obszarze zajmowanym przez to cało Wprowadzene oraz sformułowane problemu Przykłady Podsumowane Lteratura

5 1. Wprowadzene 1.1. Wstęp Optymalzacja topolog (topology optmzaton) daje odpowedź na pytane o sposób rozmeszczena w pewnej przestrzen materału przeznaczonego do wykonana danej konstrukcj tak, aby przy zadanych warunkach brzegowych dla zadanego obcążena kształt konstrukcj był optymalny. Proces optymalzacj polega na poszukwanu maksymalnej bądź mnmalnej wartośc funkcj, bądź funkcjonału celu przy równoczesnym spełnenu pewnej lczby warunków ogranczających. W nnejszej pracy funkcjonał określający podatność konstrukcj będze mnmalzowany przy pewnych ogranczenach nałożonych na masę cała. Optymalzacja przeprowadzana będze w ustalonym, stałym w trakce procesu optymalzacj obszarze projektowym, w którym podczas tego procesu powstają podobszary pozbawone materału podobszary wypełnone materałem. Proces optymalzacj jest to proces, w którym optymalzacj dokonuje sę dla każdego kolejnego kroku, dla którego poszukwane jest mnmum podatnośc. Końcowym efektem procesu optymalzacj jest optymalny rozkład materału w obszarze projektowym. a) b) Rys Ops materałowy (a) geometryczny (b) W nnejszej pracy stosuje sę ops materałowy problemu optymalzacj topolog (rys. 1.1a). W obszarze projektowym (zaznaczonym ramką na rys. 1.1a) konstrukcję

6 6 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego dentyfkuje sę poprzez rozpoznane, czy dany podobszar zajmowany jest przez materał o określonych własnoścach (kolor czarny), czy też dany podobszar jest pozbawony materału (kolor bały). Ten sposób opsu jest domnujący w lteraturze. W nelcznych pracach (np. w [19]) można spotkać sę z opsem geometrycznym (rys. 1.1b), w którym konstrukcję dentyfkuje sę określając położene granc obszarów zajmowanych przez materał (grance zewnętrzne) oraz określając położene granc otworów występujących w materale (grance wewnętrzne). W podejścu tym ne stneje pojęce obszaru projektowego. Optymalzacja topolog jest dzedzną wedzy stosunkowo młodą, ale bardzo szybko rozwjającą sę, szczególne w ostatnej dekadze. Ma ona bardzo duże zastosowane praktyczne, a jej rozwój wynka z potrzeb nektórych gałęz nowoczesnego przemysłu. Zastosowana optymalzacj topolog można rozpatrywać zarówno w skal makro (w budownctwe oraz w przemyśle bomedycznym, motoryzacyjnym lotnczym), jak w skal mkro (konstrukcje stosowane jako mkromechanzmy). Jednym z przykładów konstrukcj w skal makro może być konstrukcja, której topologa mus być optymalna dla każdego, zmenającego sę w trakce eksploatacj, położena obcążena [40]. Przykładem konstrukcj w skal mkro mogą być mechanzmy welkośc rzędu dzesątek czy setek mkrometrów, pracujące w układach elektroncznych, nazywane MEMS (Mcro Electro Mechancal Systems), np. [72]. Dzałana naukowe dotyczące optymalzacj topolog w skal globalnej są koordynowane przez ISSMO (Internatonal Socety of Structural and Multdscplnary Optmzaton) skupające ponad 500 naukowców z ponad 5 krajów. Założycelem stowarzyszena (w 1991 roku) był George Rozvany z Węger, a obecne przewodnczącym jest Martn Bendsøe z Dan. W ramach ISSMO dzałają też tzw. Workng Groups obejmujące swym zasęgem podstawowe dzedzny optymalzacj topolog (Topology Optmzaton, Shape Optmzaton, Optmzaton n Bomechancs td.). Czasopsmem stowarzyszena ISSMO jest Structural and Multdscplnary Optmzaton wydawane przez Sprnger Verlag. Należy dodać, że ISSMO jest stowarzyszenem aflowanym przy IUTAM (Internatonal Unon of Theoretcal and Appled Mechancs). W ostatnm okrese (od początku lat dzewęćdzesątych) odbyło sę wele znaczących konferencj kongresów, których tematem były problemy optymalzacj, w tym optymalzacj topolog: WCSMO World Congress on Structural and Multdscplnary Optmzaton: 1995 Goslar, Nemcy, 1997 Zakopane, Polska, 1999 Buffalo, USA, 2001 Dalan, Chny, 200 Ldo d Jesolo, Włochy. NATO Advanced Research Workshop: 1992 Sesmbra, Portugala, 2000 Budapeszt, Węgry. Konferencje CISM w Udne, Włochy, w latach

7 1. Wprowadzene 7 Cyklczne AIAA/USAF/NASA/ISSMO Symposum on Multdscplnary Analyss and Optmzaton: (1994 Panama Cty, 1996 Seattle, 1998 St. Lous, 2000 Long Beach (USA). Euromech Colloquum 45; The future of Structural Optmsaton, 1996 Lverpool, Angla. Dwe nternetowe konferencje organzowane przez ISSMO ( ). Ponadto organzowano następujące konferencje: Konferencje z ser OPTI (Computer Aded Optmum Desgn of Structures). Doroczne Konferencje Belgan French German Conferences on Optmzaton, odbywające sę w Namur w Belg, koncentrujące sę na ogólnych problemach dotyczących teor optymalzacj. Inne lokalne spotkana (m.n. spotkana ASMO UK/ISSMO (Conference on Engneerng Desgn Optmalzaton), Swansea Welka Brytana, MDO sympozjum w Pretor, Australasan Conference on Structural Optmsaton td.) Na welu multdyscyplnarnych konferencjach kongresach poruszana jest tematyka optymalzacyjna, dotycząca mędzy nnym optymalzacj topolog. Są to np.: Internatonal Congresses of Theoretcal and Appled Mechancs (ostatn odbył sę w Chcago w roku 2000, a następny odbędze sę w Warszawe w 2004 roku, gdze specjalną sesję pośwęconą optymalzacj topolog współorganzuje ISSMO). World Congresses on Computatonal Mechancs (ostatn odbył sę w Wednu w roku 2002). Konferencje GAMM (Gesellschaft für Angewandte Mathematk und Mechank). Poza cyklcznym znanym już konferencjam pojawają sę nowe. Wśród nch wymenć można choćby współorganzowaną przez ISSMO Internatonal Conference on Modellng, Smulaton, Optmzaton for Desgn of Mult-dscplnary Engneerng Systems, która odbyła sę we wrześnu 200 w Goa (Inde) Zakres optymalzacj topolog Optymalzacja topolog jest dynamczne rozwjającą sę dzedzną nauk, której klasyfkacja termnologa szybko sę w zwązku z tym zmenają. Od początku lat dzewęćdzesątych dokonywano prób usystematyzowana tej gałęz wedzy. Najbardzej aktualne omówene problemów zwązanych z klasyfkacją, zakresem poruszanej tematyk, hstorą termnologą znajdujemy w pracach [66] [67] z 2001 roku. Poneważ były one przedstawone dyskutowane na NATO ARW w Budapeszce w roku 2000 z udzałem welu czołowych przedstawcel tej dzedzny, można stwerdzć, że stanową one warygodne źródło aktualnej wedzy

8 8 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego dotyczącej systematyzacj tej dzedzny. Wcześnejsze uwag odnoszące sę do głównych zagadneń analzowanych w optymalzacj topolog wraz z pewną analzą hstoryczną zawarte są w [65]. Dotyczą one jednak przede wszystkm konstrukcj prętowych. Rys Klasyfkacja optymalzacj topolog Optymalzacja topolog dzel sę na dwe zasadncze dzedzny (rys. 1.2): 1. Layout Optmzaton (LO) dotyczy konstrukcj prętowych. Głównym problemem jest tu wyznaczene optymalnej satk prętów stanowących połączena węzłów satk. Zazwyczaj rozpatrywane są tu trzy następujące po sobe problemy:

9 1. Wprowadzene 9 optymalny wybór przestrzennej konfguracj prętów ch połączeń, np. prace [42] [4]; warto podkreślć, że wynk w tych pracach otrzymano na drodze analtycznej, optymalzacja geometr (określene najlepszej lokalzacj węzłów), optymalzacja przekrojów poprzecznych prętów. 2. Generalzed Shape Optmzaton (GSO) dotyczy optymalzacj topolog kontnuum materalnego, które może być jednorodne, może też być kompozytem. Do cał jednorodnych zalcza sę równeż cała porowate. Optymalzacja dokonywana jest wewnątrz ścśle określonego obszaru projektowego, gdze podczas procesu optymalzacj tworzą sę podobszary wypełnone materałem podobszary pozbawone materału. Mamy węc do czynena z wewnętrznym, zmenającym sę podczas procesu grancam tych podobszarów. W dalszej częśc pracy będzemy sę zajmować optymalzacją topolog kontnuum materalnego. Tematyka ta zawera sę w GSO, która jest stosowana, gdy w obszarze projektowym mamy do dyspozycj relatywne wększą lość materału w stosunku do lośc materału stosowanego podczas optymalzacj typu LO. W dalszym cągu rozważań skupmy sę na omawanu GSO, która jest używana do optymalzacj topolog: cał zotropowych (Isotropc-Sold/Empty ISE), cał anzotropowych (Ansotropc-Sold/Empty ASE), porowatych cał zotropowych (Isotropc-Sold/Empty/Porous ISEP). Zagadnene dotyczące optymalzacj topolog kontnuum materalnego zawera sę w grupe ISE. Do rozwązana zadana ISE stosuje sę następujące metody: SIMP (Sold Isotropc Mcrostructure wth Penalzaton) Jest to metoda stosowana podczas procesu optymalzacj dokonywanego numeryczne, np. metodą elementów skończonych. Jej zadanem jest elmnacja materału z tych elementów należących do obszaru projektowego, dla których zastępczy materał powstały w trakce tego procesu ma gęstość stosunkowo newelką. Metoda SIMP wymaga zastosowana odpowedno zdefnowanego uaktualnonego modułu Younga w poszczególnych elementach oraz określena gęstośc materału, która uznana będze za pomjalne małą. Gęstość materału przyjmuje wartośc pośredne mędzy welkoścą początkową a zerem. Podczas procesu optymalzacj mamy węc do czynena z pewnym sztucznym czy też fkcyjnym materałem. Za początek stosowana metody SIMP w rozwązanu numerycznym uważa sę pracę [8] z 1989 roku. Z bardzo welu prac, które ukazały sę późnej, warto wspomneć o [61], gdze precyzyjnej zdefnowano sposób aktualzacj modułu Younga, mający wpływ na gęstość mater w poszczególnych elementach podczas kolejnych kroków procesu optymalzacj. W nnejszej pracy w rozdzałach pątym sódmym analzowano wpływ defncj funkcj progowych sposobu aktualzacj modułu Younga na zbeżność rozwązana. Okazało sę, że rozwązane zależy od śceżk optymalzacj, która wynka z przyjętych parametrów zadana. Podobne w [74] (konstrukcje prętowe) stwerdzono, że rozwązane zależy od welkośc przyjętego wykładnka

10 10 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego potęg funkcj służącej do aktualzacj modułu Younga (odpowadającej funkcj µ (x) zdefnowanej w [8]). W [74] podano też, że rozwązane ne zawsze jest zbeżne z rozwązanem optymalnym. Ustosunkowane sę do tego faktu można znaleźć w rozdzale ósmym, gdze analzowano wpływ parametrów śceżk optymalzacj na zbeżność rozwązana z rozwązanem optymalnym. Ponadto w [74] rozwązywano zadane przy zwększającym sę stopnu penalzacj dla kolejnych kroków procesu optymalzacj, co odpowada sposobow rozwązywana zadana dla różnych zależnych m.n. od numeru kroku funkcj progowych, co pokazano w rozdzale pątym. Podobne w [62] analzowano wpływ na rozwązane welkośc wykładnka potęg, o jakm była mowa wcześnej. Równeż w tym przypadku analza dotyczyła konstrukcj prętowych. W [1] rozwązano problem optymalnej topolog dla lamnatów. Zauważono (bez podawana szczegółów) pozytywny wpływ rosnącego wykładnka potęg na zbeżność rozwązana. Jeszcze naczej (dla konstrukcj cągłej) sformułowano funkcję µ (x) w [56], gdze dla kolejnych kroków uwzględnono pewne przyrosty gęstośc dla danego elementu w stosunku do gęstośc z poprzednego kroku. Ne precyzowano jednak, jake są to przyrosty jak sę je otrzymuje. W [70] dokonano pewnych porównań dla rozwązań, w których zastosowano lub ne zastosowano metody SIMP. Pewną odmaną SIMP można nazwać ATO (Adaptve Topology Optmzaton), metodę obszerne omówoną w [46]. Polega ona na adaptowanu satk podzału w trakce procesu równoczesnym wygładzanu kształtów konstrukcj. Generalne, w lteraturze brakuje opracowań podających szczegóły zwązane ze stosowanym funkcjam progowym sposobem aktualzacj modułu Younga dla konstrukcj o strukturze cągłej, co omówono w rozdzałach pątym sódmym. Nektóre wynk zameszczone w rozdzale sódmym wcześnej były publkowane w [8], natomast nektóre wynk dotyczące problemu zbeżnośc rozwązana w zależnośc od przyjętych funkcj progowych były publkowane w [6]. W ostatnch latach SIMP stał sę coraz bardzej szeroko stosowaną metodą w rozwązywanu zagadneń zwązanych z optymalzacją topolog. Warto też zwrócć uwagę, że metoda SIMP była też używana razem z metodą COC (Contnuum-type Optmalty Crtera) [80], która po modyfkacj zwązanej z rozwązywanem numerycznym zadana przyjęła nazwę DCOC (dodano Dscretzed) [81]. Stosowana ona była do optymalzacj konstrukcj prętowych. Swe korzene ma w [], gdze sformułowano algorytmy, które pozwolły na projektowane konstrukcj o mnmalnym cężarze, przy nałożenu warunków ogranczających na naprężena przemeszczena. OMP (Optmal Mcrostructure wth Penalzaton). W zwązku z tym, że problem dotyczy mkrostruktur, w tym przypadku rośne lczba newadomych. Na przykład dla problemu dwuwymarowego mamy dla każdego elementu trzy nezależne parametry (dwe gęstośc warstwowe kerunek zorentowana mkrostruktury) [55].

11 1. Wprowadzene 11 NOM (Near Optmal Mcrostructure). Jest to pewna odmana metody OMP, dla której generalne ne stosuje sę penalzacj, przez co zadane staje sę słabo zbeżne. W takm przypadku nekedy można posłkować sę pewnym rodzajem postępowana, które można określć jako penalzację o ustalonym pozome. Poprawa to zbeżność zadana. Metoda ta czasam ma mnejszą lczbę nezależnych parametrów dla każdego elementu nż występuje to w metodze OMP [10]. GA (Genetc Algorthms). Algorytmy genetyczne znajdują coraz szersze zastosowane w welu dzedznach, równeż w optymalzacj topolog. Przykładam mogą być prace [12] [4]. Należy dodać, że ostatno w Polsce dzał ten bardzo slne rozwjany jest w ośrodku glwckm. ESO (Evolutonary Structural Optmzaton). Metoda została nazwana sformułowana w 1992 roku. W [77] dokonano szczegółowego jej opsu. Zajmowały sę ną przede wszystkm ośrodk australjske. Pewne rozszerzene o pełną możlwość ponownego uwzględnana danego elementu po uprzednm jego odrzucenu daje metoda BESO ([60] [78]). Ze względu na to, że używa sę tu nazw raczej zarezerwowanych dla algorytmów genetycznych (np. Evolutonary Optmzaton) w [67] zaproponowano nazwę tej metody jako SERA (Sequental Element Rejectons and Admssons). Przykład zastosowana metody SERA można znaleźć w [69]. Warto dodać, że ne zawsze prowadz ona do uzyskana rozwązana optymalnego. Tak węc dotychczas SERA jest metodą raczej ntucyjną, dla której ne ma dowodów stnena rozwązana optymalnego. Jako przykład bazującego na ESO, ale nnego sposobu wyznaczena optymalnej topolog jest [16], gdze optymalzację prowadz sę dla zmnejszającej sę dostępnej masy, przy czym dla danego procesu zakłada sę współczynnk zmnejszana sę masy (np. 1%). Optymalną topologą spośród wszystkch otrzymanych topolog będze ta, dla której energa odkształcena będze najmnejsza podczas zmnejszana sę dostępnej masy. Problem otrzymywana optymalnej topolog dla cała o zmnejszającej sę dostępnej mase w neco nnym ujęcu nż w pracy [16] rozwązywany jest w rozdzale dzesątym. BM (Bubble Method). Metoda bąbelkowa, choć ne jest ujęta w cytowanym podzale, równeż jest rozwjana w ostatnch latach, czego przykładem są prace [19], [20] [21]. Polega ona na teracyjnym umeszczanu otworów (bąbelków) w optymalzowanej konstrukcj. Parametrem optymalzacj jest tu wektor określający położene otworu. Jest to metoda będąca przykładem tzw. geometrycznego opsu problemu optymalzacj topolog, podczas gdy wszystke wymenone wcześnej są przykładam opsu materałowego. Zastosowana w nnejszej pracy metoda meśc sę w metodze SIMP, stosuje sę do materału zotropowego wykorzystuje penalzację. Jej algorytm jest orygnalny będze przedstawony w rozdzale czwartym. W pracy stosuje sę podejśce energetyczne MC (Mnmum Complance). Warto podkreślć, że badana w dzedzne optymalzacj topolog są prowadzone przez dwe grupy badaczy wzajemne sę uzupełnające. Jedna grupa zajmuje sę podstawam teoretycznym, badając zagadnena od strony formalnej, podając m.n. do-

12 12 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego wody na stnene rozwązana w ten sposób pozwala prowadzć badana bardzej praktyczne drugej grupe, która przede wszystkm zajmuje sę wyznaczanem optymalnych topolog dla danych klas zagadneń. Rozwązana problemów optymalzacj topolog mogą być analtyczne numeryczne. Najczęścej stosowaną metodą numeryczną jest metoda elementów skończonych, pozwalająca w sposób dyskretny analzować parametry projektowe. Odpowedno zagęszczona satka podzału MES daje możlwośc traktowana rozpatrywanego obszaru z jednej strony jako dyskretnego, z drugej z makroskopowego punktu wdzena jako kontnuum. Do nedawna, wobec szybkego rozwoju tej dyscyplny wedzy, w welu ośrodkach prowadzono badana nezależne, tak jak nezależne wprowadzano termnologę. Wele pojęć termnów funkcjonuje obecne równolegle, równeż wele wynków otrzymywano równolegle. Jako przykład można podać określena, które opsują to, czym jest SIMP. Są nm np. drect approach zaproponowany w [8], opsujący sposób aktualzacj modułu Younga poprzez zastosowane pewnego sztucznego materału. Inną nazwą tego sposobu postępowana jest artfcal approach [61], gdze dea drect approach jest kontynuowana doprecyzowano tu defncję sztucznego materału stosowanego podczas procesu optymalzacyjnego. Zresztą sama nazwa SIMP też ma różne nterpretacje słowne. Zamast sold welu autorów używa słowa smple. Zamast sold mcrostructure mów sę smple materal, jako że jest to materał, którego formuły opsujące jego własnośc ulegają pewnym modyfkacjom rzec by można uproszczenom. Słowo materal jest stosowane, aby wyraźne podkreślć, że mamy do czynena z zotropowym materałem jednorodnym, choć mcrostructure też może być nterpretowane jako materał jednorodny, o mkrostrukturalnych porach. Należy jednak pamętać, że w wększośc przypadków słowo mcrostructure odnos sę do materałów mających budowę typowo mkrostrukturalną. W rozważanach prowadzonych w nnejszej pracy SIMP należy tłumaczyć jako Sold Isotropc Materal wth Penalzaton, gdyż materał jest materałem jednorodnym, a ne materałem o powtarzalnych tzw. celach ( komórkach ). 1.. Rys hstoryczny Perwszą, fundamentalną pracą, na którą powołują sę wszyscy sęgający do początków rozważań nad optymalną topologą cała jest praca australjskego badacza Mchella z roku 1904 [47]. Potem, przez długe lata, dzedzna ta ne była rozwjana dopero z końcem lat pęćdzesątych w cągu lat sześćdzesątych rozpoczęto prace nad optymalzacją topolog struktur prętowych (Cox (1958), Dorn, Gomory, Greenberg (1964), Dobbs, Felton (1969)). Prace te dotyczyły zastosowana kryterów optymalzacj do bardzo gęstej satk możlwych połączeń pomędzy węzłam. Nektóre z węzłów były

13 1. Wprowadzene 1 obcążone, a nektóre były punktam podparca konstrukcj. Ta satka potencjalnych połączeń nazywana była strukturą podstawową (ground structure), a późnej strukturą bazową. W trakce procesu optymalzacj następowała elmnacja zbędnych połączeń, co prowadzło do uzyskana optymalnej struktury prętowej. Dość kompleksowo problem optymalzacj konstrukcj prętowych potraktowany jest w [45], gdze przedstawono przede wszystkm różne metody optymalzacj stosowanej podczas projektowana konstrukcj. Ksążka przeznaczona jest dla nżynerów zajmujących sę projektowanem. Początkowo optymalzacja topolog dotyczyła wyłączne konstrukcj prętowych. Od końca lat sześćdzesątych zaczęto sę zajmować także optymalzacją topolog cała o strukturze cągłej, a ne tylko prętowej. Obecne tę dzedznę optymalzacj można nazwać optymalzacją topolog kontnuum materalnego. Jako przykłady jednych z perwszych prac dotyczących struktur cągłych można podać np. artykuł z roku 1968 [59], w którym rozważano zagadnena teoretyczne optymalnego projektowana konstrukcj, m.n. w celu otrzymana konstrukcj o maksymalnej sztywnośc. W [6] określono optymalną grubość konstrukcj płytowej. Dopero pod konec lat osemdzesątych powstają prace dające podstawy do dalszych badań ([8] oraz [10]). Następne w latach dzewęćdzesątych późnej, aż do chwl obecnej, notuje sę burzlwy rozwój optymalzacj topolog cągłych cał, zarówno jednorodnych, jak kompozytowych. Hstorę kształtują ludze dlatego warto wspomneć o pewnych osobach, które mały bardzo duży wpływ na rozwój tej dzedzny wedzy: Martna Bendsøe z Techncal Unversty of Denmark w Lyngby, Nelsa Olhoffa z Aalborg Unversty, Georga Rozvanego obecne pracujący na Unwersytece Techncznym w Budapeszce, a także Johna Taylora z Ann Arbor Unversty, który jest autorem welu fundamentalnych prac osobą, która wskazywała wskazuje kerunk rozwoju tej dzedzny. Z artykułów autorstwa Johna Taylora, mających duże znaczene dla nnejszej pracy, warto wymenć [25] oraz cytowane wcześnej [59] [6]. Na uwagę zasługuje też praca [58], gdze zajmowano sę optymalną topologą cała z nkluzjam, [75], w której przedstawono optymalną topologę cała z dużym założonym otworem (konstrukcja mostu), co wąże sę tematyką poruszoną w rozdzale dzewątym wyznaczanem optymalnej topolog cała z założonym otworam. Prace pozostałych wspomnanych osób omawane są w dalszej częśc pracy Przegląd lteratury W dalszej częśc zostaną omówone przede wszystkm prace dotyczące optymalzacj topolog jednorodnego kontnuum materalnego oraz nektóre prace dotyczące cał kompozytowych, w zakrese wążącym sę z rozważaną tematyką.

14 14 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego Rozpocznjmy od bardzo ważnej pozycj z dzedzny optymalzacj topolog, a manowce od wydanej w 1995 roku ksążk Martna Bendsøe [9]. Stanow ona podsumowane wedzy dotyczącej optymalzacj topolog według stanu na około połowę lat dzewęćdzesątych, zawera też bardzo szczegółowy przegląd lteratury, usystematyzowany w cekawy sposób. Prace są podzelone na trzy grupy: ksążk dotyczące pewnych podstawowych zagadneń (optymalne projektowane, klasyczne optymalzowane kształtu, optymalzacja topolog, homogenzacja, relaksacja), najważnejsze artykuły dotyczące tych samych dzedzn co wspomnane ksążk wreszce artykuły z czasopsm konferencj, podzelone na dwadześca pęć grup tematycznych. Dopero po nch znajduje sę typowy sps lteratury. Układ tak pozwala na przejrzystą analzę tzw. state of art w omawanej dzedzne oraz na bardzo szybke odnalezene potrzebnego w danej chwl tytułu. Lteratura cytowana w ksążce opsuje bardzo szeroke spektrum problemów optymalzacj topolog. Mędzy nnym formułuje sę w nej podejśce homogenzacyjne, następne przedstawa sę funkcjonały energetyczne stosowane przy rozwązywanu różnych zagadneń oraz nawązuje sę do struktur prętowych jako osobnej znaczącej dzedzny. Przedmotem rozważań jest równeż zastosowane optymalzacj topolog do rozwązywana m.n. problemów dynamk, problemów z nelnowym zwązkam fzycznym, zagadneń topolog dla wybranych teor płyt td. Podobny układ ma monografa Topology optmzaton, theory, methods and applcatons napsana przez M. Bendsøe O. Sgmunda z 200 roku. Jest ona uaktualnoną rozszerzoną wersją pracy [9]. Warto też wspomneć, poza przytaczaną już wcześnej pracą [77], dotyczącą ESO, jeszcze o publkacj [29] dotyczącej aspektów teoretycznych zwązanych z aproksymacją problemów optymalzacj topolog elementam skończonym, o [48] dotyczącej aspektów teoretycznych zwązanych z brakem wypukłośc w problemach optymalzacj oraz o [1], gdze zawarto szczegółowy ops metody homogenzacj stosowanej w optymalzacj topolog. Omówmy teraz w sposób neco bardzej szczegółowy wymenone ksążk. W pracy [29] (Haslngera Nettaanmäkego) przeprowadzono kompleksową analzę matematyczną problemów optymalzacj topolog od sformułowana zadana w sense matematycznym poprzez dyskretyzację metodą elementów skończonych, aż do analzy wrażlwośc. Uwypuklono praktyczne aspekty zagadnena. Rozważano problem stnena rozwązana. Z bardzo szerokego spektrum zagadneń poruszanych w tej ksążce, w nnejszej pracy wykorzystano przede wszystkm dwa ostatne rozdzały pośwęcone optymalzacj topolog, równeż z wykorzystanem materału fkcyjnego, o czym wcześnej wspomnano przy omawanu m.n. tzw. drect approach [8]. W [29] problem optymalzacj topolog jest traktowany jako problem optymalnej grubośc projektowanego cała, jest on dobrze uwarunkowany ne wymaga podejśca relaksacyjnego. W [29] zameszczono też nezbędne twerdzena ch dowody.

15 1. Wprowadzene 15 Z kole w pracy [48] (Mstakdsa Stavroulaksa) zajęto sę problemem braku wypukłośc necągłoścą w zagadnenach mechank, w tym także w optymalzacj topolog, której pośwęcony jest jeden z rozdzałów. Przedstawono w nm bardzo skrótowo nektóre aspekty optymalzacj topolog, w tym przede wszystkm problem dotyczący aktualzacj modułu Younga. Podano też lteraturę dotyczącą tego zagadnena (m.n. [24], [49], [50] [79]). Wydana w 2002 roku ksążka Allara [1] stanow podsumowane prowadzonych przez autora prac dotyczących metody homogenzacj stosowanej do optymalzacj topolog oraz do zagadneń przewodnctwa. Prezentuje ona typowo matematyczne spojrzene na rozpatrywany problem. Ostatn rozdzał jest pośwęcony algorytmom numerycznym zawera przykłady lczbowe dotyczące m.n. różnych aspektów optymalzacj topolog. W ksążce znaleźć można bardzo szczegółowy wykład dotyczący teor homogenzacj z uwzględnenem H-zbeżnośc oraz G-zbeżnośc, przedstawono także matematyczny model materałów kompozytowych oraz podano zasady optymalnego projektowana. Zameszczono też wele typowych dla optymalzacj topolog przykładów lczbowych. Ksążka ta stanow bazę, do której można sę odneść, rozważając różne aspekty problemów optymalzacj topolog. W dalszej częśc tego rozdzału omówone będą artykuły dotyczące optymalzacj topolog, mające zwązek z przedstawaną pracą, czyl dotyczące optymalzacj topolog kontnuum materalnego, choć różnące sę podejścem, zastosowaną metodą rozwązana, bądź nnym szczegółam. Mogą też być tu prezentowane prace, które dotyczą optymalzacj struktur prętowych, wążące sę z poruszanym w tej pracy zagadnenem. W perwszej grupe omówone będą prace dotyczące optymalzacj topolog kontnuum materalnego, rozważane w ustalonym obszarze projektowym, w których zastosowano mnmalzację podatnośc. Istotnym wyróżnkem tego podejśca jest narzucene ogranczeń na obwód powstałych otworów (permeter method). Ponadto ogranczena narzucono na dostępną w procese masę. W zaproponowanej metodze unka sę konecznośc relaksacj zmennej projektowej, jaką jest gęstość względna w poszczególnych podobszarach. Zamast ustalana dolnej grancy gęstośc względnej zakłada sę górne ogranczene na obwód otworu. Zwększane lczby otworów powoduje zmnejszene podatnośc [15]. W tym przypadku materał stawał sę strukturą z mkroporam. Rozważana dotyczące omawanej metody można znaleźć też w [26], a także w [7] oraz w [6], gdze rozwązano równeż konstrukcje trójwymarowe. Warto zaznaczyć, że podejśce to jest dobrze uwarunkowane ze względu na stosowane ogranczeń narzuconych na obwód powstałych otworów, poneważ problem opsany jest w obszarze, w którym jest materał, a grance otworów są grancam rozpatrywanego cała. Stosowane tej metody daje możlwość kontrolowana welkośc położena otworów na każdym etape procesu optymalzacj. Ponadto stosowane odpowednch fltrów, będących pewnym odpowednkem penalzacj, poprawa

16 16 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego zbeżność rozwązana. Inne podejśce prezentuje sę w [2], gdze dzęk zastosowanu pewnej funkcj włączenu jej do funkcj celu unka sę rozkładu szachowncowego, a także udaje sę uzyskać rozkład zero-jedynkowy (pustka materał). Metoda ta została zastosowana do materału o perodycznej budowe mkrostrukturalnej. Wspomnjmy jeszcze o metodze bąbelkowej opsanej w 199 roku w [19] rozwjanej późnej w [20] [21]. Po wyznaczenu topolog dla rozważanej funkcj celu uwzględnanych w zadanu ogranczeń w obszar zoptymalzowanego w danym kroku cała wprowadza sę otwór. Celem tego wprowadzena jest poprawene otrzymanej topolog, tzn. uzyskane topolog, dla której funkcja celu przyjme mnejszą wartość. Dla danej funkcj celu zadanych ogranczeń formułowane są krytera określające położene otworu. Następne, dla cała, do którego wprowadzono otwór poszukwana jest optymalna topologa. Proces ten powtarzany jest teracyjne, aż do otrzymana optymalnej topolog rozumanej w ten sposób, że kolejne wprowadzene otworu ne popraw już topolog. Trzeba przy tym zauważyć, że w kolejnych krokach zazwyczaj zmenają sę grance obszaru zajmowanego przez materał, obszaru, który w tym przypadku każdorazowo jest tożsamy z obszarem projektowym. Neco naczej zbudowany jest algorytm otrzymywana optymalnej topolog cała w [44]. Nazwany jest on całkowce zautomatyzowanym algorytmem (ACOS). Wykorzystano w nm mnmalzację podatnośc, homogenzację otrzymano rozkład z tzw. odcenam szarośc. Dopero wtedy w drugm etape dzęk zastosowanu welkośc progowych uzyskuje sę rozkład czarno-bały, nazywany tu bnarnym. Okazuje sę, że tzw. thresholdng, sformułowany do tego zagadnena przez autorów ne daje an symetr w zagadnenu symetrycznym, an ne daje prawdłowego rozwązana, co wyraża sę tym, ż algorytm pozostawa masę (czarne punkty) w mejscach, w których materału ne pownno być. Wobec tego wprowadzono do algorytmu procedurę naprawy topolog sprowadzającej sę do elmnacj zbędnej masy przesuwanu jej do właścwych mejsc. Tę procedurę można nazwać pewną formą postprocessngu. W dalszym etape, właścwego postprocessngu, następuje wygładzane kształtów za pomocą specjalnych procedur. W tym mejscu warto wspomneć o różnorodnośc uzyskanych rozwązań danego problemu optymalzacj topolog. Pommo że zarówno w omówonej powyżej pracy [44], jak w [27] [28], a także w nnejszej pracy w rozdzale czwartym mamy rozwązany tak sam przykład; topologe są różne, nawet dla takej samej dostępnej masy. Porównane topolog jest wręcz nemożlwe, poneważ rozwązana podane w lteraturze ne mają opsanych parametrów dentyfkacyjnych. Pommo nawet takego samego podzału na elementy skończone są to różne zadana. Poza tym należy zauważyć, że zastosowane metody rozwązana z reguły są różne. Zazwyczaj jednak charakter topolog jest bardzo podobny, a różnce często dotyczą pewnych szczegółów, co pokazano w rozdzale czwartym (np. w przypadku takej samej dostępnej ma-

17 1. Wprowadzene 17 sy w procese optymalzacj). Ponadto problem otrzymywana różnych rozwązań danego zadana zwązany jest generalne z wyborem śceżk optymalzacj, na co zwraca sę uwagę w rozdzale ósmym, gdze jako podstawowe kryterum analzy dotyczącej wyznaczena optymalnej topolog przyjęto kryterum energetyczne. Zauważmy także, że ne mamy tu do czynena z występowanem lokalnych mnmów, tylko właśne z różnorodnoścą uzyskanych rozwązań danego problemu optymalzacj topolog, gdyż dla przyjętych parametrów mnmalzacja rozważanego funkcjonału prowadz do uzyskana ścśle określonego optymalnego rozwązana, a dla nnych parametrów do nnego rozwązana. Pewne wcześnejsze analzy dotyczące problemu różnorodnośc uzyskanych rozwązań można znaleźć w [41]. W newelu pracach podano algorytm opsujący postępowane podczas procesu optymalzacj. Wśród nch można wymenć wspomnaną wyżej pracę [44], a także wększość prac dotyczących ESO [77] jej odman, jak choćby [78]. Algorytm podano też w [27]. Zastosowany w nnejszej pracy algorytm, pozwalający na otrzymane optymalnej topolog w ogólnej postac, opublkowany był w [7]. Analza stosowanych algorytmów jest użyteczna ze względu na możlwość lepszego porównana otrzymanych wynków. Bardzo stotne znaczene dla problemów optymalzacj topolog mało zastosowane teor homogenzacj, której początk można wązać z pracą [10]. Pozycją podsumowującą rozważana dotyczące różnych aspektów zwązanych z zastosowanem homogenzacj jest wydana ostatno [1]. Warto przy tej okazj wspomneć wcześnejsze prace dotyczące tej tematyk. Można wśród nch wymenć [2], [] [5], zawerające zarówno formalzm matematyczny problemu (wraz z odpowednm dowodam), jak rozwązana konkretnych problemów optymalzacj topolog. Wymenone pozycje operają sę m.n. na pracach [17], [22] oraz na [51]. Należy jeszcze dodać, że nektóre prace Allare a, Francfort a, czy też Kohn a wcześnej były prezentowane na np. NATO Advanced Workshop w Portugal w 1992 roku (opublkowane przez Kluwer Academc Publshers w 199 roku NATO ASI Seres Topology Desgn of Structures). Praca [4], choć ukazała sę przed [1], zawera nowe aspekty dotyczące zastosowana teor homogenzacj z uwzględnenem relaksacj, która pozwala uzyskać rozwązane dla całego obszaru projektowego w sytuacj, gdy coraz wększe jego obszary są pozbawane materału. Materał zaczyna sę wtedy koncentrować w pewnych obszarach, gdze ze względu na wytężene materału jest nezbędny. Dla całego obszaru projektowego zadane staje sę źle uwarunkowane nezbędne staje sę wprowadzene w obszar pozbawony materału odpowedno wotkego materału zastępczego, którego parametry będą w trakce procesu optymalzacj poddane relaksacj. Oprócz rozważań teoretycznych w [4] zameszczono też przykłady lczbowe. Wcześnejszą pracą, w której zastosowano formalzm relaksacyjny dla kontnuum materalnego była praca [18]. Z kole w [9] analzowano wpływ relaksacj na szybkość otrzymana optymalnej topolog.

18 18 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego Dość szeroke spektrum problemów zwązanych z optymalzacją topolog jest poruszane w welu pracach, których współautorem jest Ramm. Wymeńmy tylko nektóre z nch. W [61] poza bardzo ogólnym uwagam na temat optymalzacj przedstawono aspekty teoretyczne oraz rozwązana welu problemów. Są nm np. wyznaczene optymalnego kształtu konstrukcj płyty, powłok cylndrycznej sferycznej pod obcążenem skuponym, a także m.n. płyty użebrowanej. Ponadto analzowano problem optymalnej konstrukcj powłok ze względu na wyboczene. W [46] przedstawono pewną technkę adaptacyjną pozwalającą na otrzymane podczas procesu optymalzacyjnego gładkch kształtów konstrukcj. Można to uzyskać poprzez aproksymowane kształtów obszarów zajętych przez materał w kolejnych cyklach za pomocą krzywych Bezera. Koneczne przy tym jest aktualzowane satk podzału konstrukcj na elementy skończone. Warto wspomneć jeszcze o [11], gdze optymalzowana jest konstrukcja lekkch przekryć. Praca ta jest o tyle cekawa, że porównuje sę w nej stnejące konstrukcje (Panteon w Paryżu, hale Unwersytetu w Manz Unwersytetu MIT) z oblczonym odpowednm konstrukcjam optymalnym. Równeż warta odnotowana jest praca [5], w której wyznaczono optymalną topologę konstrukcj ramowej ze względu na wyboczene. Interesujące jest tu dodatkowo zastosowane dwóch rodzajów podobszarów wewnątrz obszaru projektowego. Perwszy z podobszarów jest z założena wypełnony materałem, natomast w drugm prowadzmy proces optymalzacj. Możemy odnaleźć tu pewne podobeństwa do pokazanego w rozdzale jedenastym procesu optymalzacj, gdze mamy równeż pewen podobszar z założena wypełnony materałem. Dodatkowo w rozdzale jedenastym założone są też rdzene żeber, wokół których gromadz sę materał w trakce procesu optymalzacj. Na zakończene należy dodać, że nektóre z stotnych dla nnejszej pracy publkacj są cytowane w kolejnych rozdzałach, gdyż mają bezpośredn zwązek z przedstawaną w nch treścą, w zwązku z czym w tym rozdzale są pomnęte Cel zakres pracy Jednym z wyzwań, jake stają przed nżyneram w obecnych czasach jest koneczność projektowana konstrukcj w sposób optymalny. Dotyczy to projektowana konstrukcj typowych hal, konstrukcj mostowych, konstrukcj powłokowych stanowących przekryca dużych hal, czy wreszce pewnych elementów konstrukcj budowlanych, gdze szczególnego znaczena nabera problem zmnejszena cężaru, pełnego wykorzystana własnośc zastosowanego materału, czy też uzyskana przy zadanej mase możlwe jak najsztywnejszej konstrukcj. Rozważana dotyczące optymalnego kształtowana konstrukcj są obecne coraz stotnejsze ze względu na pojawane sę nowych materałów o parametrach zupełne odmennych od dotychczas stosowanych. Wreszce nowe technologe pozwalają konstruować równeż w nowy, neznany do-

19 1. Wprowadzene 19 tychczas sposób. Wszystko to zmusza projektantów do optymalnego projektowana konstrukcj. Optymalne kształtowane konstrukcj ma dość bogatą lteraturę w ostatnch pęćdzesęcu latach. Dzedzna ta podzelła sę na szereg bardzo wąskch specjalnośc. Na przełome lat osemdzesątych dzewęćdzesątych zaczęła sę wyodrębnać specjalność neco późnej nazwana optymalzacją topolog. Burzlwy rozwój tej dzedzny w ostatnej dekadze owocował bardzo weloma pracam, dzęk którym wele problemów dotyczących optymalnego kształtowana konstrukcj zostało rozwązanych. Jednak bardzo wele problemów jest jeszcze w trakce rozpoznana, trwa proces rozszerzana tej gałęz wedzy, zwłaszcza badane welu aspektów, które nejako ntucyjne zostały wykorzystane w optymalzacj. Po rozpoznanu aktualnej sytuacj dotyczącej optymalzacj topolog, w tym metod, jakm można sę posługwać, postanowono zbadać szereg problemów dotychczas ne rozwązanych, a także usprawnć sposoby otrzymywana optymalnej topolog cała. Autor nnejszej monograf mał na celu opracowane szybkego algorytmu optymalzacj topolog oraz rozpoznane welu parametrów śceżk optymalzacj mających wpływ na szybkość jakość otrzymanej topolog. Istotne było przy tym, aby otrzymana topologa była topologą optymalną, to znaczy, aby osągnęte było mnmum globalne rozpatrywanego funkcjonału. Wobec tego należało przeanalzować parametry sterujące procesem optymalzacj pod kątem odpowednego przyjęca welkośc odpowadających za jego przebeg. Można węc określć teraz szczegółowe cele nnejszej pracy: 1. Sformułowane w jednoltym zapse problemu optymalzacj topolog kontnuum materalnego. 2. Analza numeryczna zagadnena.. Ocena wpływu parametrów śceżk optymalzacj na otrzymaną topologę. 4. Otrzymane optymalnej topolog cała, co jest równoznaczne z osągnęcem przez funkcjonał mnmum globalnego. 5. Rozwązane wybranych problemów optymalzacj za pomocą otrzymanego algorytmu. Zakres pracy obejmuje: 1. Przygotowane podstaw teoretycznych w zakrese nezbędnym do sformułowana rozwązana rozważanego problemu. 2. Zbudowane algorytmu optymalzacj topolog kontnuum materalnego, który pownen być bardzej efektywny nż algorytmy znane z lteratury.. Zbudowane odpowednch programów komputerowych. 4. Wykonane testów numerycznych weryfkujących możlwośc zbudowanego algorytmu pozwalających potwerdzć uzyskaną, wyższą efektywność tego algorytmu od efektywnośc algorytmów prezentowanych w lteraturze.

20 20 Optymalzacja topolog kontnuum materalnego 5. Wykonane oblczeń umożlwających zbadane wpływu parametrów śceżk optymalzacyjnej na otrzymaną topologę. Rozważać sę tu będze wpływ: a) zastosowanych funkcj progowych, b) zastosowanych funkcj relaksacyjnych, c) przyjętego modelu aktualzacj tensora sprężystośc podczas trwana procesu optymalzacj dla poszczególnych punktów materalnych. 6. Przeprowadzene analzy otrzymanych topolog w poszukwanu optymalnej topolog cała, co jest równoznaczne z poszukwanem mnmum globalnego zastosowanego funkcjonału z uwzględnenem różnych parametrów śceżk optymalzacj. 7. Przeprowadzene oblczeń nezbędnych do rozwązana wybranych problemów optymalzacj. Realzacja wymenonych celów w przedstawonym zakrese dała ostateczne twerdzącą odpowedź na pytane o możlwość sformułowana w jednoltym zapse problemu optymalzacj topolog kontnuum materalnego, a także na pytane o możlwość zbudowana efektywnejszego od znanych z lteratury algorytmów, który pozwala na otrzymane optymalnej topolog w rozumenu globalnym Układ pracy Monografa składa sę z trzynastu rozdzałów. Rozdzał perwszy podzelony jest na sześć podrozdzałów. W perwszym podrozdzale bardzo krótko opsano rozpatrywane zagadnene oraz przedstawono szereg nformacj dotyczących mędzynarodowych spotkań zwązanych z optymalzacją topolog nformacj o stowarzyszenu grupującym naukowców zajmujących sę tą dzedzną. W drugm podrozdzale przedstawono zakres optymalzacj topolog, podano szczegółowy podzał dzedzny, lokalzując tematykę nnejszej pracy na jej ogólnym tle. W trzecm podrozdzale przedstawono rys hstoryczny, nawązując do najwcześnejszych prac dotyczących optymalzacj topolog. W czwartym podrozdzale dokonano przeglądu lteratury. Na wstępe omówono pozycje ksążkowe z ostatnch klku lat, a następne powołano sę na lteraturę opsującą różne podejśca, dzęk którym można otrzymać optymalną topologę cała. Poruszono pewne podstawowe dla pracy zagadnena, a także pokazano (na przykładze lteratury) jak szeroke spektrum zagadneń optymalzacj wąże sę z nnejszą pracą. W podrozdzale pątym znaleźć można określene celu zakresu pracy. Wreszce w podrozdzale szóstym pokazano układ pracy. W rozdzale drugm przedstawono sformułowane waracyjne problemu brzegowego dla trójwymarowego kontnuum materalnego, co pozwolło otrzymać komplet równań opsujący rozpatrywane zagadnene (zwązk geometryczne, fzyczne, równa-