Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania

Transkrypt

1 Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w punkce. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statycznej newyznaczanośc układu. W przypadku bek cągłej z przegubam korzystamy ze wzoru n r p gdze: r - czba składowych reakcj podpór p - czba połączeń mędzy podukładam (przegubów, teeskopów tue). W rozpatrywanym układze n 6 Część bek znajdująca sę na prawo od przekroju α-α jest statyczne wyznaczana. oŝemy rozwązać bekę składającą sę z ewego środkowego przęsła przyjmując sły dzałające w przekroju α-α jako obcąŝene zewnętrzne. α α Wyznaczymy oddzaływana w przegube oraz reakcję na prawej podporze. Wykorzystamy wartośc tych sł do sporządzena wykresów sł przekrojowych w częśc statyczne wyznaczanej układu. H V R H V

2 Do rozwązana przyjmemy ponŝszy schemat. Układ jest dwukrotne statyczne newyznaczany. Tworzymy układ podstawowy statyczne wyznaczany przez usunęce dwu nadczbowych węzów. us to być układ geometryczne nezmenny. stneje wee takch schematów. PonŜej podano kka przykładów. Układy geometryczne nezmenne Jako układ podstawowy przyjmemy perwszy spośród powyŝszych, geometryczne nezmennych układów. Po usunęcu węzów naeŝy sprawdzć, czy otrzymany układ jest geometryczne nezmenny. Układ geometryczne zmenny ne moŝe być układem podstawowym. PonŜej pokazane są układy geometryczne zmenne otrzymane po usunęcu dwu węzów w rozpatrywanej, dwukrotne statyczne newyznaczanej bece. Układy geometryczne zmenne

3 Wykresy sł przekrojowych ne zaeŝą od przyjętego układu podstawowego. Wybór tego układu jest jednak stotny, ponewaŝ od nego zaeŝy, czy wyznaczene współczynnków przy newadomych (nadczbowych) oraz wyrazów wonych w układze równań metody sł jest mnej ub bardzej pracochłonne. Przyjęty układ podstawowy składa sę z dwu beek wonopodpartych. Przyjęce w bece cągłej weoprzęsłowej momentów podporowych jako nadczbowych jest korzystne ze wzgędów rachunkowych, ponewaŝ wykresy momentów od jednostkowych nadczbowych są nezerowe tyko w sąsednch przęsłach. Ze wzgędu na ponowy kerunek obcąŝena reakcj na podporach przesuwnych we wszystkch przekrojach poprzecznych bek sły normane są zerowe. Sporządzamy wykresy sł przekrojowych (sł poprzecznych momentów gnących), wywołanych przez jednostkowe sły nadczbowe obcąŝene zewnętrzne. Stan T Stan 7 T

4 Stan zerowy (obcąŝene zewnętrzne) T 5 Po sporządzenu wykresów sł przekrojowych we wszystkch stanach moŝna przystąpć do wyznaczena współczynnków przy newadomych (nadczbowych) oraz wyrazów wonych w układze równań metody sł. Wartość całek wyznaczymy korzystając ze wzoru Wereszczagna. W tym ceu wykres momentów od obcąŝena zewnętrznego na odcnku występowana obcąŝena cągłego przedstawmy jako sumę dwu wykresów, da których znamy poa powerzchn oraz współrzędne środków cęŝkośc (wykres nowy pochodz od składowej ponowej reakcj na ewej podporze, natomast wykres paraboczny od obcąŝena cągłego). ejsce występowana ekstremum na wykrese momentów oznaczone jest koorem czerwonym. W przypadku gdy fgura pod wykresem momentów jest trapezem, podzemy ją na dwa trójkąty. Ne jest to jedyny moŝwy sposób podzału. oŝna równeŝ zastosować podzał na prostokąt trójkąt. δ ds δ ds δ δ 7 ds

5 5 ds 5 δ 75 ds 5 δ 5 V 5 5 Układ równań metody sł ma postać V

6 Rozwązane powyŝszego układu równań jest następujące 5,, 5 Rzędne wykresów sł przekrojowych wyznaczamy korzystając z zasady superpozycj.. T T T T Otrzymane w ten sposób wykresy naeŝy uzupełnć wykresam da statyczne wyznaczanej częśc układu, znajdującej sę na prawo od przekroju α-α. Wykresy sł przekrojowych w układze statyczne newyznaczanym,,,, T x,,7, mnoŝnk,,6,,,56,, mnoŝnk Poecene do zadana obejmuje równeŝ wyznaczene ugęca wzgędnej zmany kąta ugęca w punkce. W ceu unknęca wyznaczana wykresu momentów gnących od obcąŝena jednostkową słą w układze statyczne newyznaczanym, skorzystamy z perwszego twerdzena redukcyjnego. Wrtuane obcąŝene przyłoŝymy w punkce w układze statyczne wyznaczanym, utworzonym przez usunęce nadczbowych węzów (ne mus to być układ podstawowy, przyjęty do wyznaczena wykresów sł przekrojowych). Wyznaczene ugęca w punkce W przypadku wyznaczana ugęca w punkce naeŝy przyłoŝyć obcąŝene wrtuane w postac sły jednostkowej o kerunku ponowym dzałającej w tym punkce, a następne wykonać wykres momentów gnących. 6

7 ( ) Wykres momentów gnących od obcąŝena zewnętrznego w przedzae podzemy na dwa wykresy trójkątne. W przedzae V fgury pod oboma wykresam momentów są trapezam, węc podzemy kaŝdy z nch na dwa trójkąty.,,, mnoŝnk ( ) V V mnoŝnk v s ( ) ds,,,,,,, 57, V V Ujemny wynk oznacza, Ŝe zwrot ugęca jest przecwny do zwrotu jednostkowej sły wrtuanej. Punkt przemeszcza sę do góry. 7

8 Wyznaczene wzgędnej zmany kąta ugęca w punkce W ceu wyznaczena zmany kąta mędzy prętam układu połączonym przegubowo w punkce, przykładamy do obu prętów w tym punkce dwa jednostkowe momenty o przecwnych zwrotach, a następne wykonujemy wykres momentów gnących. 5 ( ) Wykres momentów gnących od obcąŝena zewnętrznego w przedzae podzemy na dwa wykresy trójkątne. W przedzae V fgury pod oboma wykresam momentów są trapezam, węc podzemy kaŝdy z nch na dwa trójkąty. Podobne w przedzae V trapez pod wykresem momentów od obcąŝena wrtuanego przedstawmy jako dwa trójkąty.,,,, mnoŝnk ( ) V V V ϕ s ( ) ds,,,,,,, 67, V,V V

9 Z twerdzena redukcyjnego moŝna równeŝ skorzystać w ceu sprawdzena poprawnośc rozwązana zadana, wyznaczając znane przemeszczene. Ugęce w mejscu występowana podpory jest równe zero. Wyznaczymy ugęce w punkce B. B W tym przypadku naeŝy przyłoŝyć obcąŝene wrtuane w postac sły jednostkowej o kerunku ponowym dzałającej w punkce B, a następne wykonać wykres momentów gnących. Wrtuane obcąŝene przyłoŝymy w układze statyczne wyznaczanym, utworzonym przez usunęce nadczbowych węzów. B ( ) W przedzae fgura pod wykresem momentów od obcąŝena wrtuanego w układze statyczne wyznaczanym jest trapezem, węc podzemy ją na dwa trójkąty. Paraboczny wykres momentów gnących od obcąŝena zewnętrznego w układze statyczne newyznaczanym w przedzae podzemy na trzy wykresy: trójkątny od składowej ponowej reakcj w utwerdzenu, prostokątny od momentu w utwerdzenu paraboczny od obcąŝena cągłego. W przedzae fgura pod wykresem momentów od obcąŝena zewnętrznego jest trapezem, węc podzemy ją na dwa trójkąty. ( )

10 ,5,,,,6,, mnoŝnk, 5, v B s ( ) ds, 5, 5, 6,,, 5 Otrzymaśmy wartość ugęca w punkce B, gdze występuje podpora unemoŝwająca przemeszczene w kerunku ponowym, róŝną od zera. JednakŜe wyznaczając stosunek wartośc ugęć w punktach B moŝemy stwerdzć, Ŝe uzyskany wynk ne śwadczy o błędnym rozwązanu zadana, jest natomast konsekwencją stosowana zaokrągeń. zatem, 5 v B. v v B, 5 57, <