mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "mgr inż. Wojciech Artichowicz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁACH OTWARTYCH"

Transkrypt

1 Poltechnka Gdańska Wydzał Inżyner Lądowej Środowska Katedra ydrotechnk mgr nż. Wojcech Artchowcz MODELOWANIE PRZEPŁYWU USTALONEGO NIEJEDNOSTAJNEGO W KANAŁAC OTWARTYC PRACA DOKTORSKA Promotor: prof. dr hab. nż. Romuald Szymkewcz Gdańsk czerwec 0 r.

2 Sps treśc. Przepływ ustalony nejednostajny - przedstawene problemu cel zakres pracy.... Równana przepływu ustalonego nejednostajnego Uproszczone równana de Sant-Venanta Różnczkowe równane energ mechancznej Standardowe równane dla kanału pryzmatycznego Typy formułowanych zagadneń Równane energ mechancznej jako ogólny model przepływu ustalonego nejednostajnego Numeryczne rozwązane zagadnena początkowego różnczkowego równana energ mechancznej opsującego ustalony przepływ nejednostajny Ogólna metoda dwupozomowa Analza własnośc funkcj F(h ) Dyskusja stnena rozwązana jego jednoznacznośc Aproksymacja równana energ metodam Rungego-Kutty Analza numerycznego rozwązana zagadnena brzegowego różnczkowego równana energ mechancznej Rozwązane zagadnena brzegowego metodą strzału Rozwązane zagadnena brzegowego metodą różncową Rozwązane równana przepływu ustalonego nejednostajnego w secach kanałów otwartych Weryfkacja rozwązań numerycznych Przepływ ustalony nejednostajny w pryzmatycznym kanale prostokątnym Przepływ ustalony nejednostajny w kanale prostokątnym o zmennym spadku dna Wypływ spod zasuwy Przepływ ustalony nejednostajny w kanale o przekroju kołowym Przepływ ustalony nejednostajny w secach kanałów otwartych Wnosk Symbole użyte w pracy Bblografa... 98

3 . Przepływ ustalony nejednostajny - przedstawene problemu cel zakres pracy W welu przypadkach spotykanych w praktyce nżynerskej przepływ w kanałach lub secach kanałów otwartych może być traktowany jak przepływ nezmenny w czase zmenny w przestrzen czyl klasyfkowany jako przepływ ustalony nejednostajny. Przykładam takego przepływu mogą być: przepływ w kanale przegrodzonym budowlą pętrzącą (rys..) wypływ spod zasuwy (rys..) przepływ na odcnku wylotowym kolektora ścekowego (rys..3) przy ustalonym w czase natężenu przepływu. Rys... Krzywa spętrzena ( n głębokość normalna). Rys... Wypływ spod zasuwy. Rys..3. Wylot kolektora ścekowego.

4 W lteraturze pośwęconej zagadnenu modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach otwartych zauważa sę wyraźny podzał na metody stosowane w przypadku kanałów pryzmatycznych oraz na metody stosowane w przypadku kanałów naturalnych (Venkataraman et. al. 98; French 985; Chanson 004a; Chaudhry 008). Jeśl chodz o kanały pryzmatyczne to do wyznaczana układu zwercadła wody stosuje sę następujące równane (Czetwertyńsk Utrysko 969; French 985; Sawck 998; Chadwck Morfett 999; Sturm 00; Chanson 004a; Chaudhry 008): d dx s S = Fr α (.) Rys..4. Schemat odcnka kanału. gdze: głębokość Z rzędna dna ponad przyjętym pozomem porównawczym x zmenna przestrzenna s spadek dna kanału S spadek ln energ Fr lczba Froude a α - współczynnk korygujący energę knetyczną wynkającą z uśrednonej w przekroju prędkośc przepływu wyrażony wzorem (Chaudhry 008): 3 u ( x y z t) da A α = 3 U A (.) w którym: A - pole przekroju czynnego u(xyzt) - prędkość lokalna w kerunku x w przekroju

5 U - prędkość średna wyrażona wzorem: Q U ( x t) = u( x y z t) da =. (.3) A A W powyższym równanu Q oznacza objętoścowe natężene przepływu. W przypadku modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach naturalnych wykorzystywana jest zapsana w dyskretnej postac zasada zachowana energ mechancznej (French 985; Mays 999; Kubrak 998) lub równane Bernoullego z członem uwzględnającym straty energ (Chanson 004a). W obu przypadkach do oblczeń używa sę ponższego równana: U U h α = h α x S (.4) g g w którym ndeksy określają odpowedno początkowy końcowy przekrój rozpatrywanego odcnka kanału (rys..5) zaś: α α współczynnk korekcyjne energ knetycznej U U prędkośc średne w przekrojach h h rzędne zwercadła wody g przyspeszene zemske x odległość mędzy przekrojam S średn spadek ln energ mędzy przekrojam utożsamany z wysokoścą strat energ powstałych na skutek tarca. Geometryczną nterpretację równana przedstawono na rysunku.5. Średn spadek ln energ można określać zgodne z jednym z ponższych wzorów (Mays 999; Chaudhry 008): Q Q K K S = S S S = (.5a) (.5b) 3

6 S S S S S = (.5c) S = S S (.5d) gdze K oznacza moduł przepływu zależny tylko od geometr właścwośc hydraulcznych koryta: K n / 3 = A R (.6) w którym: n współczynnk szorstkośc wg Mannnga R promeń hydraulczny. Rys..5. Schemat oblczenowy do równana (.4). Jak wynka z równań (.5a)-(.5d) średn spadek można oblczać jako kwadrat lorazu sumy wydatków sumy modułów przepływu oraz jako średną arytmetyczną harmonczną lub geometryczną ze spadków ln energ w przekrojach. O le równane (.4) można stosować zarówno dla kanałów naturalnych jak dla kanałów pryzmatycznych o tyle równane (.) ne może być stosowane dla kanałów naturalnych. Ponadto równane (.) w trakce rozwązywana może sprawać dodatkowe trudnośc. W sytuacj wystąpena przepływu krytycznego (lub zblżonego) manownk prawej strony równana równy jest zeru przez co staje sę ono neokreślone. Możlwe przyczyny neokreślonośc równana (.) wraz z ch nterpretacją fzyczną podaje Chanson (004a): 4

7 Tab... Przyczyny nterpretacja neokreślonośc równana (.) wg. Chansona. Przyczyna neokreślonośc równana d = 0 dx Fr = d 3 = 0 dx oraz Fr = Interpretacja fzyczna Spadek dna równy jest spadkow ln energ: s = S Spadek dna równy jest spadkow krytycznemu: s = skr Wystąpene obu wyżej wymenonych przypadków: s = S s = skr Równane (.4) umożlwa wyznaczene układu zwercadła wody w kanale o dowolnej geometr w tym w kanale pryzmatycznym. Przykład oblczonej krzywej spętrzena w kanale prostokątnym przedstawono na rysunku.6. W trakce rozwązywana tego przykładu ne wystąpły żadne problemy natury numerycznej. Oblczone głębokośc zmenają sę w sposób cągły od zadanej w przekroju budowl pętrzącej do głębokośc normalnej n. Jednak przy próbe oblczena układu zwercadła wody powstającego przy wypływe spod zasuwy pojawają sę trudnośc. Ich charakter lustruje rysunek.7. Jak wdać otrzymane rozwązane zdecydowane odbega od oczekwanego. Chocaż w trakce oblczeń ne wystąpły żadne problemy natury numerycznej to jest ono nepoprawne z punktu wdzena fzyk zjawska. Fakt ten sugeruje stnene pewnych właścwośc rozwązywanego równana (.4) ujawnających swoją obecność w szczególnych przypadkach. Rys..6. Krzywa spętrzena ( n głębokość normalna). Zastosowana powyżej metoda oblczana układu zwercadła wody bazująca na równanu (.4) w lteraturze anglosaskej funkcjonuje pod nazwą the standard step method (Chow 959; French 985). 5

8 Rys..7. Oblczony układ zwercadła wody wypływającej spod zasuwy. Oprócz kanałów pojedynczych przepływ ustalony nejednostajny występuje powszechne równeż w secach kanałów otwartych zarówno naturalnych (rys..8) jak sztucznych (rys..9). Rys..8. Seć kanałów naturalnych (przykład sec dendrycznej). Rys..9. Seć kanałów sztucznych (przykład sec perścenowej). Przepływ tego typu spotykamy w systemach rzecznych kanalzacyjnych oraz w secach kanałów odwadnających lub nawadnających. Mmo stotnego znaczena praktycznego tego zagadnena jak dotąd ne stneje jednolta spójna metodologa rozwązywana tego problemu. W lteraturze można znaleźć wele różnych propozycj algorytmów wyznaczana układu zwercadła wody w secach kanałów. Możlwośc praktycznego zastosowana tych metod są ogranczone. Z tego powodu ch zastosowane jest możlwe tylko w przypadkach szczególnych np. jedyne w secach dendrycznych (rys..8). 6

9 Z drugej strony proponowane algorytmy oblczenowe są zwykle skomplkowane trudne w mplementacj. Należy zauważyć że bardzo często parametry przepływu ustalonego wyznacza sę rozwązując równana przepływu neustalonego z ustalonym w czase warunkam brzegowym (Cunge olly Vervey 979). Borąc pod uwagę trudnośc problemy występujące w trakce rozwązywana różnych przypadków przepływu ustalonego nejednostajnego naturalnym wydaje sę pytane o możlwość opracowana jednoltego w marę ogólnego wolnego od ogranczeń podejśca do rozwązywana zagadnena przepływu ustalonego nejednostajnego zarówno w naturalnych jak sztucznych kanałach pojedynczych oraz w secach kanałów. Wydaje sę że opracowane takego ujednolconego podejśca jest możlwe. W rzeczywstośc bowem podzał metod oblczenowych w zależnośc od rodzaju kanału wydaje sę być sztucznym. Opracowane ujednolconego podejśca wymaga rozstrzygnęca dwóch kwest: - które z możlwych równań należy przyjąć za podstawowe? - jake metody numeryczne należy stosować do jego rozwązana? Ważnym aspektem problemu jest proces numerycznego rozwązana równana przepływu. Szymkewcz (00) wykazał ż dyskretna postać równana energ może meć węcej nż jeden perwastek. W zwązku z tym pojawa sę kwesta wyboru właścwego perwastka. Istotne jest także wyjaśnene zwązku pomędzy lczbą położenem perwastków a zastosowaną metodą aproksymacj równań. Celem nnejszej pracy doktorskej jest opracowane propozycj jednoltego podejśca do modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach otwartych. Realzując powyższy cel: wykonano analzę możlwych model matematycznych opsujących ruch ustalony nejednostajny w kanałach otwartych zaproponowano jednolte podejśce do rozwązywana zagadneń formułowanych dla kanałów pojedynczych sec kanałów otwartych przeprowadzono dyskusję różnych aspektów numerycznego rozwązywana równań wybranym metodam wykonano stanowska laboratoryjne przeprowadzono eksperymenty skonfrontowano wynk oblczeń z wynkam eksperymentów. 7

10 Sclab. Wszystke oblczena wykonano własnym programam opracowanym w języku. Równana przepływu ustalonego nejednostajnego Opracowane jednoltej metodolog oblczeń układu zwercadła wody w kanałach otwartych wymaga wyjśca od ogólnych równań opsujących przepływ neustalony. Modelem opsującym neustalony ruch ceczy w kanałach otwartych jest układ równań de Sant-Venanta składający sę z równana cągłośc oraz równana dynamcznego. Równana te można wyprowadzć z równań Navera-Stokesa z uwzględnenem uśrednena Reynoldsa (French 985; Kubrak 998; Sawck 998; Szymkewcz 000)... Uproszczone równana de Sant-Venanta W roku 87 Adhémar Jean Claude Barré de Sant-Venant wyprowadzł równana przepływu neustalonego w kanałach otwartych. Zakładając że: ruch wody w kanale jest wolnozmenny przepływ jest jednowymarowy rozkład cśnena w przekroju jest hydrostatyczny jedyną słą masową jest sła cężkośc spadek dna kanału jest na tyle mały ż różnca mędzy głębokoścą merzoną wzdłuż os ponowej układu odnesena a głębokoścą merzoną prostopadle do dna jest neznaczna rozkład prędkośc w pone jest jednostajny opory ruchu oblczane są jak dla przepływu ustalonego jednostajnego uwzględna sę dopływ boczny w równanu cągłośc lecz pomja sę jego wpływ na dynamkę przepływu zaproponował on układ równań różnczkowych o pochodnych cząstkowych I rzędu w postac równana cągłosc równana dynamcznego. Układ ten nazywa sę zwykle układem równań de Sant-Venanta. W układze równań de Sant-Venanta mogą występować różne kombnacje zmennych zależnych. Ich zestawene podaje na przykład Chanson (004a). Poneważ wybór zestawu zmennych zależnych w równanach decyduje o możlwośc jego zapsu w forme zachowawczej lub nezachowawczej w dalszej częśc pracy jako zmenne zależne 8

11 przyjmuje sę natężene przepływu rzędną zwercadła wody. Użyce tych zmennych umożlwa zapsane równań w następującej forme zachowawczej: A Q t x = q (.) Q β Q t x A h g A = g A S. x (.) gdze: t czas q dopływ boczny β współczynnk korekcyjny pędu zdefnowany wzorem: u ( x y z t) da A β =. U A (.3) Współczynnk β koryguje błąd welkośc pędu spowodowany wprowadzenem prędkośc średnej. Określa on stosunek pędu strumena przy rzeczywstym rozkładze prędkośc do pędu przy uśrednonej prędkośc. Dyskusję na temat jego rol podają m.n. Chanson (004a) oraz Sturm (00). Spadek ln energ w równanu (.) można wyrazć przy pomocy formuły: S Q n = 4 / 3 (.4) R A wynkającej ze wzoru Mannnga. W przypadku gdy rozważany przepływ jest ustalony w czase w równanach (.) (.) pochodne względem czasu są równe zeru: A h = 0 = 0. t t W konsekwencj układ (.) (.) przyjme prostszą formę: dq = q (.5) dx 9

12 d dx β Q A dh g A = g A S. dx (.6) Otrzymane równana stanową układ równań różnczkowych zwyczajnych poneważ po elmnacj czasu występujące w nch zmenne są funkcjam jedyne położena. Równana (.5) (.6) opsują ustalony przepływ nejednostajny w dowolnym kanale. Można przypuszczać że ch rozwązane będze tożsame z rozwązanem równań de Sant- Venanta (.) (.) przy ustalonych w czase warunkach brzegowych... Różnczkowe równane energ mechancznej Układ równań (.5) (.6) można przekształcć do nnej postac. W tym celu równane (.6) dzelmy przez g. A: Poneważ: d β Q ga dx A dh = S. (.7) dx g A d dx β Q β d β = A g A dx g A dq dx du dx ( Q U ) = U Q (.8) równane (.7) przyjme postać: β U dq Q du dh β = S g A dx g A dx dx. (.9) Po uwzględnenu uproszczonego równana cągłośc (.5) otrzymujemy zależność: z której po uporządkowanu wynka równane: d dx β U Q du dh q β = S g A g A dx dx (.0) β Q β Q h = S g A g A q. (.) Można zauważyć że wyjścowe równane dynamczne (.6) reprezentujące zasadę zachowana pędu po zastosowanych przekształcenach reprezentuje zasadę zachowana 0

13 energ mechancznej. W zwązku z tym współczynnk korekcyjny pędu β należy zastąpć współczynnkem korekcyjnym energ knetycznej α. Ostateczne wyjścowe równane (.6) przyjme postać: d dx α Q α Q h = S g A g A w którym współczynnk α zdefnowany jest zależnoścą (.). Jeśl do równana (.) wprowadzmy wyrażene: q (.) α Q E = h g A (.3) reprezentujące wysokość energ mechancznej to układ równań opsujących ustalony przepływ nejednostajny (równana (.5) (.)) przyjme postać: dq = q (.4) dx de dx α Q = S g A q (.5).3. Standardowe równane dla kanału pryzmatycznego W przypadku kanału pryzmatycznego zależność (.) można poddać przekształcenom prowadzącym do znanej standardowej w hydraulce koryt otwartych postac. W tym celu rzędną zwercadła wody wyraża sę poprzez głębokość strumena rzedną dna Z: h = Z. Różnczkując zależność (.3) otrzymujemy: d dx α Q d α Q d dz α Q α Q h Z = q g A = dx g A dx dx g A g A 3 da. (.6) dx Poneważ powerzchna przekroju A jest funkcją głębokośc a ta z kole jest funkcją położena zatem można zapsać: da da d d = = B (.7) dx d dx dx

14 gdze B jest szerokoścą kanału na pozome zwercadła wody. Wstawając (.7) do równana (.6) otrzymujemy zależność: d dx dz dx α Q g A α Q q g A 3 d B dx α Q = S g A która po uporządkowanu prowadz do równana o postac: d dx Wprowadzene defncj podłużnego spadku dna kanału q (.8) dz α Q S q dx g A =. (.9) α Q B 3 g A umożlwa zapsane równana (.9) w następującej postac: dz s = (.0) dx d dx = α Q s S q g A. (.) α Q B 3 g A Do równana (.) wprowadźmy lczbę Froude a zdefnowaną wzorem (Chanson 004a): U Fr =. (.) g Równane (.) przyjme wówczas następującą postać d dx = α Q s S q g A. α Fr (.3) Opsuje ono układ zwercadła wody w kanale pryzmatycznym z uwzględnenem dopływu bocznego q. W przypadku gdy dopływ boczny ne występuje czyl q=0 równane (.3) upraszcza sę do postac klasycznej:

15 d dx s S = α Fr. (.4) Jest to dobrze znane równane opsujące układ zwercadła wody w kanale pryzmatycznym. Równane które wyprowadzono tutaj z ogólnych równań przepływu neustalonego zwykle wyprowadzane jest w nny sposób (Czetweryńsk Utrysko 969). Równane (.4) jest podstawą analzy charakterystycznych przypadków układu zwercadła wody w zależnośc od warunków w jakch odbywa sę przepływ. Przykłady wynków tej analzy podają np. Chow (959) French (985) Kubrak (998) Chanson (004a). Nektóre typowe układy zwercadła wody wynkające z równana (.4) przedstawono na rysunkach.a.b. Należy pamętać że wynk zameszczone na rysunkach mają raczej jakoścowy charakter. Rys..a. Układ zwercadła wody w zależnośc od warunków przepływu. 3

16 Rys..b. Układ zwercadła wody w zależnośc od warunków przepływu. Na przedstawonych rysunkach jest głębokoścą wody n kr odpowedno głębokoścą normalną krytyczną s oznacza spadek dna a s kr krytyczny spadek dna czyl take nachylene dna kanału przy którym ukształtowałby sę przepływ krytyczny. Wówczas energa przepływu byłaby mnmalna (Kubrak 998). 4

17 .4. Typy formułowanych zagadneń Rozpatrzmy problem rozwązana układu równań (.4) (.5): dq = q (.5) dx d dx α Q α Q h = S g A g A q (.6) Powyższe równana tworzą układ równań różnczkowych zwyczajnych. Problem ch rozwązana można sformułować dwojako. Zależne od konkretnej sytuacj dla równań (.5) (.6) można sformułować albo zagadnene początkowe albo zagadnene brzegowe. Załóżmy że znane jest natężene przepływu w przekroju początkowym oraz dopływ boczny. W takej sytuacj rozwązane równana (.5) ma postać: x Q( x) = Q0 q( X ) dx (.7) 0 gdze X jest zmenną całkowana zaś Q 0 jest natężenem przepływu w przekroju początkowym x=0. Znając natężene przepływu wzdłuż os kanału Q(x) układ zwercadła wody otrzymamy rozwązując równane (.6). W tym celu formułuje sę tzw. zagadnene początkowe dla którego dzedzną rozwązana jest odcnek kanału o długośc L (rys..). Rys... Obszar rozwązana równań opsujących przepływ ustalony nejednostajny. Zagadnene początkowe równana różnczkowego zwyczajnego rzędu perwszego: dy = f ( x y) dx (.8) 5

18 ma następującą postać (Dzubńsk Śwątkowsk 985): poszukuje sę funkcj która w dzedzne rozwązana spełna równane (.8) oraz dodatkowy warunek nazywany warunkem początkowym: y(x 0 )=y 0. Istnena rozwązana dowodz twerdzene Cauchy ego o stnenu całk (Bronsztejn Semendajew 968): Jeżel funkcja f(xy) jest cągła w otoczenu punktu (x0y 0 ) tzn. w obszarze x x < a y y 0 < b to stneje przynajmnej jedno rozwązane równana 0 (.8). Jednoznaczność rozwązana w obszarze x x 0 < a y y 0 < b wynka ze spełnena nerównośc Lpschtza (Bronsztejn Semendajew 968; Kncad Cheney 00). Jeżel stneje take L że zachodz: f ( x y) f ( x y ) L y y (.9) wówczas rozwązane zagadnena jest jedyne jest funkcją cągłą względem y 0. Poprawne postawene zagadnena początkowego równana (.6) wymaga zadana dodatkowego warunku na jednym z krańców dzedzny rozwązana co w praktyce oznacza zadane natężena przepływu rzędnej zwercadła wody na początku lub na końcu kanału. Warunek początkowy zadany w początkowym przekroju kanału będze mał ponższą postać: E x= 0 = h x= 0 α Q x= 0 g Ax= 0. (.30) Umejscowene tego warunku w obszarze rozwązana zaznaczono na rysunku.3. Rys..3. Warunek początkowy zadany na początku kanału. Warunek początkowy zadany na końcu obszaru rozwązana będze mał postać analogczną do (.30): 6

19 E x= L = h x= L α Q x= L g Ax= L. (.3) Umejscowene warunku (.3) przedstawa rysunek.4. Rys..4. Warunek początkowy zadany na końcu kanału. Kerunek całkowana równana (.6) oraz mejsce zadana warunku początkowego określone jest zwykle przez praktyczną możlwość uzyskana wymaganej nformacj oraz przez czynnk determnujące układ zwercadła wody (Chanson 004b). Przykładowo do określena krzywej spętrzena mejscem w którym należy zadać warunek początkowy jest przekrój zapory co przedstawono na rysunku.5. Natomast rysunek.6 przedstawa mejsce zadana warunku początkowego przy oblczanu układu zwercadła wody przy wypływe spod zasuwy. Rys..5. Mejsce zadana warunku początkowego w przypadku kanału przegrodzonego budowlą pętrzącą. 7

20 Rys..6. Mejsce zadana warunku początkowego przy wypływe spod zasuwy. Rozwązanem zagadnena początkowego jest węc krzywa h(x) która przechodz przez punkt o zadanych współrzędnych (x 0 h(x 0 )) lub (x L h(x L )). Drugm typem zagadnena formułowanego dla równań różnczkowych zwyczajnych jest zagadnene brzegowe. Zagadnene to można formułować dla równana różnczkowego zwyczajnego rzędu wyższego nż bądź dla układu równań różnczkowych I rzędu. Poneważ każde równane rzędu N można zastąpć równoważnym układem N równań I rzędu wystarczy rozpatrzyć tylko problem rozwązana zagadnena brzegowego dla układu równań. Zagadnene brzegowe dla układu równań różnczkowych zwyczajnych perwszego rzędu w przedzale a b ma następującą postać: y' = f ( x y) (.3) y ( a) = y y( b) = y (.33ab) a b gdze: y ' - wektor pochodnych funkcj y T f = ( f f f N ) - wektor funkcyjny y y a b - wektory wartośc funkcj y na początku końcu obszaru rozwązana. Poszukwane rozwązane zagadnena brzegowego mus spełnać równane (.3) oraz warunk (.33a) (.33b) zadane na krańcach dzedzny rozwązana. O le rozwązane zagadnena początkowego dla równań różnczkowych zwyczajnych udaje sę uzyskać prawe zawsze to w przypadku zagadnena brzegowego znalezene rozwazana może być nemożlwe. 8

21 Jeśl chodz o przepływy w kanałach otwartych to zagadnene brzegowe dla równań (.5) (.6) formułuje sę wówczas gdy oprócz wyznaczena układu zwercadła wody koneczne jest oblczene wartośc natężena przepływu lub współczynnka szorstkośc. W przypadku zagadnena brzegowego poszukuje sę takej funkcj która spełna zarówno równana jak dodatkowe warunk zadane na obu brzegach dzedzny rozwązana. Oznacza to że poszukwany jest tak układ zwercadła wody przy którym spełnone są oba warunk (.30) (.3) oraz spełnone są równana (.5) (.6). Przykładem zagadnena brzegowego jest problem wyznaczena układu zwercadła wody w kanale łączącym dwa zbornk o stałych pozomach wody (rys..7). Mejsce zadana warunków brzegowych dla tych równań przedstawono na rysunku.7b. a) b) Rys..7. Kanał łączący dwa zbornk: a) wdok z góry b) przekrój wzdłuż os kanału. Jeśl w równanu różnczkowym zwyczajnym I rzędu występuje parametr σ to możlwe jest sformułowane zagadnena brzegowego dzęk możlwośc wprowadzena dodatkowego równana różnczkowego zwązanego z tym parametrem (Ascher Petzold 998). Można założyć że w rozpatrywanej dzedzne parametr ten zachowuje stałą wartość czyl: dσ = 0 (.34) dx 9

22 gdze σ jest parametrem o neznanej wartośc. Dzęk takemu postępowanu możlwe staje sę sformułowane rozwązane zagadnena brzegowego dla układu równań składającego sę z równana wyjścowego I rzędu oraz z dodatkowego równana umożlwającego wyznaczene poszukwanej wartośc parametru. W przypadku przepływu w kanale otwartym sytuacja taka wystąp gdy oprócz układu zwercadła wody neznane jest natężene przepływu w kanale Q lub współczynnk szorstkośc kanału n..5. Równane energ mechancznej jako ogólny model przepływu ustalonego nejednostajnego Aby rozwązać zagadnene początkowe dla któregokolwek z przedstawonych układów równań opsujących przepływ ustalony nejednostajny należy posłużyć sę metodam przyblżonego rozwązywana równań różnczkowych zwyczajnych. W praktyce najczęścej stosowane są metody jednokrokowe gdyż ne wymagają one stosowana stałego kroku całkowana. Jest to stotna zaleta gdyż w cekach naturalnych uzyskane danych opsujących geometrę koryta w równych odstępach wzdłuż os kanału jest nemożlwe. Chow (959) French (985) oraz Chanson (004a) opsują standardową metodę krokową (the standard step method) która jak sę okazuje jest tożsama z rozwązanem równana różnczkowego (.6) nejawną metodą trapezową (Szymkewcz 00). Jak wynka z przeglądu lteratury do rozwązana równań przepływu ustalonego nejednostajnego często stosowana jest równeż jawna metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego (Msra 998; Szymkewcz 000). Poneważ bez względu na to czy do dyskretyzacj równana (.6) zastosowane zostaną metody jawne czy nejawne w każdym kroku oblczeń koneczne jest rozwązane algebracznego równana nelnowego. Zatem ze względów praktycznych korzystnej jest stosować metody nejawne. Umożlwają one osągnęce lepszej dokładnośc oblczeń a ze względu na charakter równań opsujących przepływ ustalony nejednostajny ne powodują zwększena kosztu oblczeń. Rozwążmy kolejno trzy wcześnej przedstawone równana opsujące przepływ ustalony nejednostajny tzn.: równane dynamczne (.6) równane energ w postac (.4) oraz równane (.6). Do rozwązana zastosujmy nejawny schemat trapezowy (Ascher Petzold 998): x y = y ( f ( x y ) f ( x y ) ) (.35) w którym oznacza ndeks przekroju oblczenowego a x jest krokem całkowana. 0

23 Rozpatrzmy równana de Sant-Venanta w warunkach przepływu ustalonego. Zakładając że natężene przepływu Q oraz współczynnk korekcyjny pędu β ne zmenają sę wzdłuż os kanału równane dynamczne (.6) można zapsać następująco: β Q g A da dx dh = S. (.36) dx Aproksymację powyższego równana wykonamy schematem trapezowym nejawnym zapsanym w postac formuły równoważnej do (.35): y x f ( x y ) f ( x y ) =. (.37) y W rezultace otrzymuje sę różncową postać równana dynamcznego: β Q g ( A A A ) A x h h x = ( S S ) (.38) które po uporządkowanu przyjme formę: β Q ( ) g A A A A h h x ( S S ) = 0. (.39) W równanu (.39) jedyną newadomą jest rzędna zwercadła wody h węc rozwązane można uzyskać bez potrzeby formułowana układu równań jak to ma mejsce w przypadku rozwązywana układu równań de Sant-Venanta. Informację umożlwającą rozpoczęce oblczeń dostarcza warunek początkowy (.30) lub (.3). Równane (.39) jest nelnowe względem h w zwązku z czym do jego rozwązywana koneczne jest stosowane metod przyblżonego poszukwana perwastków równań nelnowych takch jak metoda Newtona metoda bsekcj tp. W przypadku gdy całkowane odbywa sę zgodne z kerunkem przepływu we wzorach różncowych szukaną jest rzędna zwercadła wody ndeksowana jako. Natomast gdy całkowane odbywa sę w kerunku przecwnym do przepływu wody szukane są wartośc z ndeksem. Jeśl chodz o rozwązane zagadnena początkowego równana energ mechancznej to dla uproszczena rozważań załóżmy że dopływ boczny ne występuje. W takej sytuacj

24 aproksymacja równana (.6) metodą trapezową nejawną prowadz do ponższej zależnośc: h α Q α Q x = h g A g A ( S S ). (.40) Jej grafczną nterpretację przedstawa rysunek.8. Zauważmy że otrzymana formuła jest tożsama z przytoczoną w rozdzale formułą (.4) czyl z dyskretnym równanem zachowana energ mechancznej. Rys..8. Ilustracja aproksymacj równana energ (.6) nejawną metoda trapezową (.35). Przyjęty warunek początkowy nformuje nas o rzędnej zwercadła wody w przekroju zatem w równanu (.40) występuje tylko jedna newadoma którą jest rzędna zwercadła wody h. Poneważ parametry przekroju są funkcją rzędnej zwercadła wody to równane jest równanem algebracznym nelnowym. W zwązku z tym tak jak w przypadku dyskretnej postac równana dynamcznego równeż do rozwązana równana (.40) należy zastosować jedną z metod przyblżonego oblczana perwastków równań nelnowych (np. metoda bsekcj secznych teracj prostej czy Newtona). Trzecm równanem opsującym przepływ ustalony nejednostajny jest standardowe równane ważne dla kanałów pryzmatycznych. W wynku aproksymacj schematem trapezowym nejawnym równane (.4) przyjmuje następującą formę: = x s S s S α Fr α Fr. (.4)

25 Analogczne do równana dynamcznego (.36) równana energ (.6) równeż w tym przypadku w każdym kroku oblczeń koneczne jest rozwązane równana nelnowego. Jednak jest to koneczne tylko w przypadku stosowana schematów nejawnych takch jak zastosowana tutaj metoda (.35). W sytuacj gdy równane (.4) jest aproksymowane schematem jawnym jego dyskretna postać jest równanem algebracznym lnowym dzęk czemu wprost można oblczyć głębokość w szukanym przekroju. Jak wynka z wcześnejszych analz przepływ ustalony nejednostajny w kanałach otwartych może być opsany w trojak sposób. W zwązku z tym nteresującym wydaje sę porównane wynków otrzymanych wskutek zastosowana nejawnej metody trapezowej do rozwązana numerycznego omawanych wyżej trzech różnych równań różnczkowych. W tym celu rozważmy ponższy przykład. Przykład.. Rozpatrzmy przepływ ustalony nejednostajny w kanale prostokątnym o szerokośc B=5 m długośc 3750 m o stałym spadku dna wynoszącym s=000 [-] w którym natężene przepływu wynos Q=5 m 3 /s. Załóżmy ż na końcu kanału znajduje sę budowla pętrząca w wynku czego głębokość wody w przekroju końcowym wynos L =5 m. Jest ona wększa od głębokośc normalnej odpowadającej przyjętemu natężenu przepływu w rozpatrywanym kanale. Współczynnk szorstkośc wg Mannnga wynos n=003 s/m /3. Krok całkowana przyjęto równy x = 50 m. Równane nelnowe rozwązywano metodą Newtona z dokładnoścą równą ε = m określającą maksymalną dopuszczalną różncę dwóch kolejnych przyblżeń rzędnej zwercadła wody w przekroju oblczenowym. Rysunek.9 przedstawa rozwązane równana dynamcznego równana energ oraz równana standardowego stosowanego dla kanałów pryzmatycznych dla przyjętych wyżej danych. Maksymalna różnca mędzy rozwązanem równana energ a rozwązanem równana dynamcznego wynosła ε = m. Jak można zauważyć na rysunku.9 w przypadku krzywej spętrzena w kanale prostokątnym wynk oblczeń otrzymane wskutek wykorzystana omówonych równań są praktyczne dentyczne. 3

26 Rys..9. Krzywe spętrzena otrzymane w wynku użyca różnych model: a) równane energ b) równane dynamczne c) równane standardowe. Przykład.. Rozważmy przepływ w kanale prostokątnym o długośc L=50 m szerokośc dna B=5 m szorstkośc wynoszącej n=003 s/m /3. Dno kanału ma stały spadek s=000 [-]. Kanał podzelono na 00 odcnków oblczenowych o długośc x = 5 m. Natężene przepływu w kanale ma wartość Q=5 m 3 /s. Warunkem początkowym do oblczeń jest głębokość w końcowym przekroju wynosząca L =06 m. Głębokość ta jest mnejsza od głębokośc normalnej odpowadającej przyjętemu natężenu przepływu w rozpatrywanym kanale. Układ zwercadła wody h(x) będący rozwązanem przykładu. przedstawono na rysunku.0. Jak można zauważyć różnce pomędzy rozwązanam równań energ dynamcznego oraz równana standardowego są wyraźnejsze. Rys..0. Krzywe depresj otrzymane w wynku użyca różnych model: a) równane energ b) równane standardowe c) równane dynamczne. 4

27 Kolejny przykład lustruje znaczne zróżncowane wynków uzyskane w przypadku wypływu spod zasuwy. Przykład.3. Rozważmy pozomy odcnek kanału prostokątnego o szerokośc B= m współczynnku szorstkośc równym n=003 s/m /3 który przegrodzony jest śluzą. Zasuwa otwarta jest na wysokość 0 = 03 m którą to wartość zadano jako warunek początkowy do oblczeń. Wartość natężena przepływu równa jest Q= m 3 /s. Krok całkowana wynos x = 00 m. Otrzymane krzywe przedstawa rysunek.. Rys... Układ zwercadła wody dla zagadnena wypływu spod zasuwy: a) równane energ b) równane standardowe c) równane dynamczne. W przypadku zastosowana rozpatrywanych równań przepływu ustalonego nejednostajnego do zagadnena wypływu spod zasuwy wdoczne jest w przecweństwe do przykładu. wyraźne zróżncowane wynków. Przedstawone powyżej przykłady wykazują ż różne równana mogą prowadzć do różnych wynków w zależnośc od analzowanego przypadku przepływu. Rozwązana równana dynamcznego oraz równana energ różną sę gdyż ch aproksymacje różncowe ne są dentyczne. Fakt ten był sygnalzowany przez Cunge olly Verwey (979). Natomast różnce mędzy rozwązanem równana energ oraz równana standardowego dla kanałów pryzmatycznych są tym wększe m bardzej rozpatrywany przepływ jest zblżony do krytycznego. Sugeruje to ż przyczyną różnc jest fakt ż standardowe równane stosowane do oblczeń w kanałach pryzmatycznych posada asymptotę ponową w punkce głębokośc krytycznej. 5

28 Z uzyskanych rozwązań wynka że chocaż do modelowana przepływu ustalonego nejednostajnego można wykorzystać dowolne z rozważanych równań to otrzymane rezultaty różną sę w zależnośc od warunków przepływu. Równane (.4) standardowo stosowane dla koryt pryzmatycznych staje sę neokreślone gdy przepływ jest zblżony do krytycznego. Jest to duża nedogodność gdyż w pewnych warunkach uzyskane rozwązana jest nemożlwe. Kolejną wadą tego równana jest to ż ne nadaje sę ono do oblczeń w kanałach naturalnych przez co jego zastosowane w praktyce jest ogranczone. Z tego punktu wdzena równane energ (.6) równane dynamczne (.36) mają lepsze właścwośc. Po perwsze necągłośc ne pojawają sę a po druge mogą one być stosowane dla dowolnego typu kanałów. Istotnego argumentu decydującego o wyborze równana dostarcza jego fzyczna nterpretacja. Równane energ (.6) w sposób oczywsty gwarantuje spełnene zasady zachowana energ. Fakt ten można wykazać całkując równane na odcnku kanału ogranczonym dwoma przekrojam o odcętych x oraz x : E x de = Oblczene całk po lewej strone równana daje zależność E x S dx. (.4) x E E S dx. (.43) = Po podstawenu zależnośc (.3) otrzymuje sę równane h α Q g A x α Q h g A = S x. (.44) Powyższy wynk nterpretuje sę następująco: różnca wysokośc energ w dwóch przekrojach jest równa stratom energ na tym odcnku. Postępując dentyczne z równanem (.4) otrzymuje sę następującą postać całkową: d = Po scałkowanu jego lewej strony mamy: x x s S α Fr dx. (.45) = x x s S α Fr dx. (.46) 6

29 Dla równana (.46) ne możemy podać tak oczywstej fzycznej nterpretacj całkowej formy równana wyjścowego jak to mało mejsce w przypadku równana energ (.6). Jest to stotny argument przemawający za stosowanem równana (.6) jako podstawowego jednowymarowego modelu przepływu. Z kole równane dynamczne ne wykazuje żadnych stotnych zalet w porównanu z równanem energ. W zwązku z tym przyjęce równana energ jako ogólnego modelu przepływu ustalonego nejednostajnego w kanałach otwartych wydaje sę całkowce uzasadnone. Z tego powodu dalsze analzy ustalonego nejednostajnego przepływu w kanałach otwartych będą odnesone wyłączne do tego równana. 3. Numeryczne rozwązane zagadnena początkowego różnczkowego równana energ mechancznej opsującego ustalony przepływ nejednostajny Rozwązane równana (.6) można otrzymać stosując różne metody numerycznego rozwązywana równań różnczkowych zwyczajnych. W rozdzale do rozwązana zastosowano nejawną metodę trapezową. Chocaż właścwośc tej metody w szczególny sposób predestynują ją do rozwązana równana (.6) to teoretyczne ne ma żadnych przeszkód aby zastosować dowolną spośród bardzo lcznych metod numerycznego rozwązana zagadnena początkowego równana różnczkowego zwyczajnego. Jednak z powodów praktycznych najlepsze są metody które operują jedyne wartoścam węzłowym ne wymagają nterpolacj parametrów w przekrojach pośrednch kanału pomędzy węzłam. Ten aspekt problemu praktyczne elmnuje z rozważań metody welokrokowe oraz metody jednokrokowe typu Rungego-Kutty. Jeśl chodz o metodę Rungego-Kutty to należy stwerdzć że bardzo dobrze nadaje sę ona do oblczeń w kanałach pryzmatycznych. Jednak w przypadku kanałów naturalnych których geometrę znamy tylko w mejscach pomaru przekrojów poprzecznych wymagana jest nterpolacja parametrów kanałów w przekrojach pośrednch. Wprowadza to dodatkowy trudny do oszacowana błąd lokalny. Zastosowane metody Rungego-Kutty do rozwązana równana (.6) zostane przedstawone dalej w podrozdzale

30 8 3.. Ogólna metoda dwupozomowa Jeśl chodz o wspomnaną nejawną metodę trapezową opsaną zastosowaną w rozdzale to można ją potraktować jako szczególny przypadek rodzny metod do której należy także jawna nejawna metoda Eulera oraz metoda Galerkna. Metody te są szczególnym przypadkam ogólnej metody dwupozomowej którą można zapsać następująco: ( ) ) ( ) ( ) ( = y x f y x f x y y θ θ (3.) gdze θ jest parametrem wagowym o wartośc z przedzału 0. Zauważmy że dla szczególnych wartośc tego parametru otrzymujemy poszczególne metody. I tak: dla θ =0 równane (3.) staje sę jawnym schematem Eulera; dla θ =/ równane (3.) staje sę nejawnym schematem trapezowym; dla θ =/3 równane (3.) staje sę metodą Galerkna; dla θ = równane (3.) staje sę nejawnym schematem Eulera. Zastosujmy formułę (3.) do rozwązana równana (.6). Otrzymamy następującą aproksymację tego równana: 0 ) ( 3 4 / 3 4 / = A R Q n A R Q n x A g Q h A g Q h θ θ α α. (3.) Przy znanym (z warunku początkowego lub poprzednego kroku oblczeń) pozome zwercadła wody w przekroju jedyną newadomą w równanu (3.) jest rzędna zwercadła wody w przekroju sąsednm. Jednakże równane (3.) jest równanem nelnowym względem h = ) ( A g Q h A g Q h h F α α. Jego rozwązane jest węc problemem znalezena perwastków funkcj: 3 4 / 3 4 / ) ( A R Q n A R Q n x θ θ. (3.3) Jak pokazano w rozdzale rozwązane równana (3.) z θ =/ czyl nejawną metodą trapezową w nektórych sytuacjach zapewna rozwązane nebudzące wątplwośc zaś w

31 nnych generuje rozwązana nefzyczne. Ilustracją tych przypadków są rysunk.6 oraz.7. Można przypuszczać że przyczyną tego są właścwośc funkcj F(h ). 3.. Analza własnośc funkcj F(h ) W celu przeprowadzena analzy dyskretnej formy równana energ przyjmjmy schemat oblczenowy przedstawony na rysunku 3.. Rys. 3.. Schemat oblczenowy do równana (3.). Aproksymacja równana energ ogólną metodą dwupozomową ma postać (3.). W zwązku z tym ż przepływ odbywa sę zgodne z kerunkem rosnących wartośc os x wartość natężena przepływu można przyjąć jako dodatną. Dla uproszczena rozważmy jedyne dwa sąsadujące ze sobą przekroje oblczenowe które oznaczymy ndeksam oraz. Zatem równane (3.) przyjme postać: α Q α Q n Q n Q h ( ) = 4 / 3 4 / 3 h x θ θ g A g A R A R A 0. (3.4) W równanu tym newadomą jest rzędna zwercadła wody w przekroju ndeksowanym jako. W dalszej analze dla wygody posłużymy sę głębokoścą zamast rzędnej. Schemat oblczenowy dla tego przypadku lustruje rysunek 3.. Ponadto załóżmy stałą wartość współczynnka korekcyjnego energ α. Ostateczne badana funkcja przyjme postać: 9

32 F( ) α Q x s g A α Q g A = n Q n Q x ( θ ) θ. 4 / 3 4 / 3 R A R A (3.5) Znając położene zwercadła wody w przekroju na końcu odcnka kanału (ndeks ) położene zwercadła wody w przekroju otrzymujemy rozwązując równane: F ( ) = 0. (3.6) Jak pokazano w rozdzale nekedy uzyskane rozwązane jest nefzyczne zdecydowane odbega od spodzewanego. Aby wyjaśnć przyczynę tego faktu należy wykonać zbadać przebeg zmennośc funkcj (3.5). W tym celu rozpatrzmy hpotetyczne zadane. Załóżmy że przepływ o natężenu Q= m 3 /s odbywa sę w kanale prostokątnym o spadku dna równym s=000 [-] szerokośc B=5 m współczynnku szorstkośc wg Mannnga n=003 s/m /3. W przekroju końcowym zadana jest głębokość L = =075 m. Załóżmy dodatkowo θ =/ co oznacza że równane ruchu ustalonego nejednostajnego rozwązujemy nejawnym schematem trapezowym. Dla powyższych danych stablcujmy funkcję (3.5) przyjmując różne wartośc odległośc pomędzy przekrojam x. Na rysunku 3. przedstawone są wykresy funkcj (3.5) odpowadające różnym wartoścom kroku całkowana x. Rys. 3.. Wykres funkcj (3.6) dla różnych wartośc kroku całkowana. Można zauważyć że wraz ze zmaną wartośc x zmena sę kształt funkcj F( ). Z rysunku wynka że perwastek o najwększej wartośc występuje zawsze nezależne od przyjętej wartośc kroku całkowana x. Natomast dla małych wartośc x pojawają sę 30

33 dwa dodatkowe perwastk. Fakt ten oznacza że równane posada węcej nż jedno rozwązane. Konsekwencją tego są wspomnane wcześnej przedstawone na rysunku.7 rozwązana nefzyczne. Wydaje sę że otrzymano je w wynku przypadkowego wyboru perwastka równana. Wspomnany przykład rozwązywano metodą Newtona która dla funkcj posadających węcej nż jedno mejsce zerowe tzn. gdy funkcja ne jest monotonczna może prowadzć do przypadkowego rozwązana. Do podobnego wynku mogą prowadzć wszystke znane metody rozwązywana równań nelnowych. Interesujące jest także odnesene wartośc perwastków fzycznych do wartośc głębokośc krytycznej. Dla rozpatrywanego przypadku głębokość krytyczna wynos kr =06 m zatem jak wynka z rysunku perwastk rozłożone są po obu stronach tej wartośc. W zwązku z powyższą własnoścą pojawa sę problem wyboru odpowednego perwastka w trakce rozwązywana równana (3.5). Przebeg funkcj sugeruje że sukcesywne wyberając perwastek po lewej strone głębokośc krytycznej (gdze (x)<kr) otrzymamy układ zwercadła wody odpowadający krzywej spętrzena odzwercedlającej np. wypływ spod zasuwy (rys..b) natomast wybór perwastka o wartośc wększej od głębokośc krytycznej (gdze (x)> kr ) pozwol uzyskać krzywą depresj lub spętrzena odpowadającą odpowedno swobodnemu wypływow z kanału lub cofce (rys..a). Można węc przypuszczać że równane ruchu ustalonego nejednostajnego (.6) można wykorzystywać do oblczeń układu zwercadła wody zarówno dla przepływu rwącego jak przepływu spokojnego. Jednak jak wynka z wykresów przedstawonych na rysunku 3. aby możlwe było otrzymane rozwązana odpowadającego ruchow rwącemu koneczne jest stosowane małych wartośc x. Wydaje sę ż wyjaśnenem tego faktu może być to że ruch rwący w kanałach otwartych poza przypadkam szczególnym zwykle występuje lokalne na stosunkowo krótkch odcnkach kanału przez co krok całkowana mus być odpowedno mały aby możlwe było odwzorowane tego zjawska. Poneważ równane (3.4) jest wynkem aproksymacj równana różnczkowego można przypuszczać że postać funkcj F( ) (3.5) wynka z przyjętej metody rozwązana czyl zależy od sposobu wykonana jej aproksymacj. W zwązku z tym uzasadnone jest przypuszczene że jej kształt będze w pewnym stopnu zależny także od przyjętej wartośc parametru θ. Zależność taką dla zestawu poprzedno przyjętych danych przedstawono na rysunkach 3.3 oraz

34 Rys Wykres funkcj (3.) przy kroku całkowana równym x=05 m. Rys Wykres funkcj (3.) przy kroku całkowana równym x=5 m. Rysunek 3.3. przedstawa przebeg zmennośc funkcj (3.5) przy różnych wartoścach parametru θ dla kroku całkowana x = 05 m natomast rysunek 3.4 przy wartośc kroku całkowana wynoszącym x = 5 m. Można zauważyć że charakter funkcj wyraźne zależy od przyjętego sposobu aproksymacj. W przypadku gdy równane energ aproksymowane jest formułą jawną (θ =0 jawny schemat Eulera) badana funkcja ma dwa mejsca zerowe a jej kształt praktyczne ne zależy od welkośc kroku całkowana. Natomast równana różncowe otrzymane w wynku aproksymacj schematam nejawnym (θ =/ metoda trapezowa nejawna θ = nejawny schemat Eulera) mają nne własnośc. Lczba mejsc zerowych funkcj F( ) zmenająca sę od jeden do trzy wynka z nelnowośc członu strat energ. Dokonajmy próby wyjaśnena zmennego kształtu funkcj F( ) zależne od typu zastosowanej metody rozwązana. W wynku aproksymacj równana energ zarówno schematam jawnym jak nejawnym otrzymuje sę algebraczne równana nelnowe. Jednak charakter tych równań 3

35 różn sę stotne. Stosowane schematów jawnych skutkuje powstanem algebracznych równań nelnowych w których nelnowość wynka tylko z charakteru zależnośc opsującej wysokość energ właścwej w przekroju (rys. 3.5) opsanej wzorem: E = α Q g A. (3.7) Rys Przykładowy wykres zależnośc wysokośc energ właścwej od głębokośc w przekroju. Natomast nelnowość równań różncowych otrzymanych na skutek aproksymacj schematam nejawnym jest wynkem zarówno nelnowośc członu energ właścwej jak nelnowośc członu strat energ (rys. 3.6) wyrażonego ponższą formułą: E = x (( ) S θ S ) θ. (3.8) Rys Przykładowy wykres wysokośc energ właścwej (kolor czarny) oraz wysokośc strat E (kolor czerwony) w zależnośc od głębokośc w przekroju. Ogólny wzór wynkający z aproksymacj równana energ schematam jawnym można przedstawć jako sumę rzędnej dna energ właścwej oraz członu który ne zależy od szukanej głębokośc: 33

36 34 0 = Φ A g Q Z α. (3.9) Dla jawnego schematu Eulera (θ =0) człon Φ będze opsany następującą zależnoścą: S x A g Q Z Φ = α. (3.0) Jak wdać jego wartość ne zależy od szukanej rzędnej w przekroju ndeksowanym jako. Natomast w przypadku stosowana formuł nejawnych pojawa sę dodatkowy człon zależny od szukanej głębokośc który jest slne nelnowy. Dla formuły trapezowej nejawnej analogczna zależność do (3.9) będze następująca: 0 = Φ S x A g Q Z α (3.) przy czym: S x A g Q Z Φ = α. (3.) Lczba mejsc zerowych równana różncowego (3.5) powstałego na skutek aproksymacj schematem trapezowym nejawnym (θ =/) zależy od wzajemnej relacj jego składowych: E E E F = ) ( (3.3) gdze: A g Q Z E = α (3.4) A g Q Z E = α (3.5) ( ) S S x E =. (3.6) Uwzględnając wzór (.4) opsujący spadek ln energ w przekroju można zapsać że strata energ wynos:

37 x n Q n Q E =. 4 / 3 4 / 3 (3.7) R A R A Równane (3.3) można nterpretować jako blans energ właścwej dla odcnka kanału ogranczonego przekrojam - natomast równane (3.7) jest oszacowanem wysokośc straty energ pomędzy przekrojam. Mejsca zerowe funkcj znajdują sę w punktach przecęca wykresów jej składowych E -E oraz E. W przypadku gdy stneje tylko jeden perwastek funkcja opsująca straty rośne szybcej w kerunku malejących głębokośc nż funkcja opsująca energę właścwą. Wówczas stneje tylko jeden punkt przecęca co przedstawa rysunek 3.7a. Rysunek 3.7b przedstawa wykres funkcj F( ) oraz jej pochodnej. Jak można zauważyć funkcja ta w całej dzedzne jest monotonczna a pochodna ne ma mejsc zerowych. Rys Przykładowy wykres: a) składowych funkcj F( ) b) funkcj F( ) oraz jej pochodnej w przypadku występowana jednego mejsca zerowego. Jeśl funkcja opsująca wysokość strat (3.7) dla głębokośc mnejszych od krytycznej lokalne ma wartośc mnejsze nż funkcja E -E wówczas występują trzy perwastk (rys. 3.8a) a pochodna funkcj ma dwa mejsca zerowe odpowadające lokalnemu maksmum mnmum funkcj (rys. 3.8b). 35

38 Rys Przykładowy wykres: a) składowych funkcj F( ) b) funkcj F( ) oraz jej pochodnej w przypadku występowana trzech mejsc zerowych. Tę własność można wykorzystać do określena lczby mejsc zerowych funkcj (3.5) dla takch wartośc parametru θ przy których otrzymuje sę schemat nejawny. Wnosek dotyczący lczby mejsc zerowych można sformułować następująco: jeśl dla jakejkolwek głębokośc mnejszej od głębokośc krytycznej wartość funkcj (3.7) opsującej straty energ jest mnejsza lub równa wartośc funkcj opsującej wysokość energ to funkcja (3.5) ma dwa lub trzy mejsca zerowe. Jak powyżej wykazano zasadnczy wpływ na charakter funkcj F( ) ma numeryczna metoda rozwązana równana którą defnuje parametr wagowy θ. Jeśl przyjmuje on wartośc wększe od zera oznacza to że w równanu aproksymującym uwzględnany jest slne nelnowy człon strat energ. Warto zatem zbadać czy zastosowana formuła opsująca wysokość strat energ równeż wpływa na kształt funkcj. W tym celu stratę energ wyraźmy wzorem Darcy-Wesbacha: S Q = λ (3.8) 4R g A gdze λ jest współczynnkem oporów natomast R jest promenem hydraulcznym. Do oszacowana współczynnka oporów λ można zastosować formułę Colebrooka-Whte a (Kubrak 998; Chanson 004b): 36

39 = log λ 0 5 k s (3.9) Re λ 37 4 R gdze k s oznacza chropowatość absolutną ścan kanału natomast Re jest lczbą Reynoldsa. Wzór opsujący lczbę Reynoldsa w kanałach otwartych ma następującą formę: 4 Q R Re = (3.0) ν A gdze ν jest współczynnkem lepkośc knematycznej. Funkcja (3.5) z członem strat energ opsanym za pomocą formuły Darcy-Wesbacha ma postać: F( ) α Q x s g A α Q g A = Q λ Q λ x ( θ ) θ. 8g A R 8g A R (3.) Aby możlwe było porównywane funkcj (3.5) oraz (3.) koneczne jest oblczene wartośc chropowatośc absolutnej kanału odpowadającej danej wartośc współczynnka szorstkośc wg Mannnga. Jak podaje Kubrak (998) odpowadającą wartość można oblczyć na podstawe zależnośc: / 6 k n s = 8. g (3.) Zgodne z powyższym wzorem wartość chropowatośc absolutnej odpowadająca współczynnkow szorstkośc n=003 s/m /3 wynese k s =478 mm. Na rysunku 3.9 przedstawono wykres funkcj (3.) otrzymany dla dentycznych danych wykorzystanych wcześnej dla funkcj (3.5). 37

40 Rys Wykres funkcj (3.) dla różnych wartośc kroku całkowana ( θ =/ ). Jak można zauważyć pommo użyca nnej formuły do opsu strat energ kształt funkcj ne uległ zmane. W celu lepszego porównana funkcj (3.5) oraz (3.) ch wykresy dla dwóch skrajnych wartośc kroku całkowana x zestawono na jednym rysunku 3.0. Jak wdać badane funkcje mają bardzo podobny przebeg dla takch samych wartośc kroku całkowana odpowadających sobe danych opsujących szorstkość. Rys Wykresy funkcj (3.5) kolor czarny oraz (3.) kolor czerwony. Lna cągła oznacza wykres stworzony dla wartośc x=05 m natomast lna przerywana dla x=5 m. Zatem można wnoskować że formuła opsująca straty energ praktyczne ne wpływa na kształt funkcj a tym samym na lość mejsc zerowych które ta funkcja posada. Można wykazać że wpływ współczynnka szorstkośc wg Mannga na kształt funkcj (3.5) jest podobny do wpływu welkośc kroku całkowana x. Wnosek ten z praktycznego punktu wdzena ma newelką wartość gdyż szorstkość kanału jest parametrem fzycznym natomast krok całkowana x może być przyjmowany dowolne. 38

41 Stosowane małego kroku całkowana sprawa że dyskretna postać funkcj opsującej przepływ ustalony nejednostajny może posadać węcej nż jedno mejsce zerowe. Jest to przyczyną wspomnanych w rozdzale trudnośc pojawających sę w trakce rozwązywana równana energ. W sytuacj gdy funkcja posada węcej nż jedno mejsce zerowe algorytmy numerycznego rozwązywana algebracznych równań nelnowych mogą prowadzć do przypadkowego wyboru perwastków tego równana. Warunkem otrzymana poprawnego rozwązana jest wybór odpowednego perwastka. Mus to być perwastek odpowadający rozpatrywanemu rodzajow ruchu. O le w przypadku przepływów rwących całkowane równana ruchu wymaga stosowana względne małych wartośc x to rozwązane tego samego równana w warunkach przepływu spokojnego otrzymujemy nezależne od przyjętej wartośc x pod warunkem że w trakce rozwązywana równana wyberany będze perwastek położony na prawo od głębokośc krytycznej (rys. 3.). Fakt ten można zlustrować ponższym przykładem oblczenowym. Przykład 3.. Rozważmy przepływ o natężenu Q=3 m 3 /s w pryzmatycznym kanale o przekroju prostokątnym którego długość wynos L=500 m. Spadek dna kanału równy jest s=000 [-] a współczynnk szorstkośc wg Mannnga n=003 s/m /3. Szerokość dna kanału równa jest B=4 m. W kanale tym poszukwany jest układ zwercadła wody przy warunku zadanym w końcowym przekroju kanału L =5 m. Rys. 3.. Oblczone układy zwercadła wody dla różnych wartośc kroku całkowana x. Na rysunku 3. przedstawono rozwązana otrzymane dla x=05 m x=5 m x=5m. Jak wdać różnce pomędzy poszczególnym rozwązanam są praktyczne nezauważalne a układ zwercadła wody jest zgodny z oczekwanym. 39

42 3.3. Dyskusja stnena rozwązana jego jednoznacznośc W zwązku z faktem ż nelnowe równana algebraczne otrzymane w wynku aproksymacj równana różnczkowego mogą meć od jednego do trzech perwastków nteresujące jest pytane o powód takej sytuacj. Czy jest to własność równana algebracznego czy równana różnczkowego? Aby odpowedzeć na to pytane należy zbadać czy równane energ opsujące przepływ ustalony nejednostajny spełna warunek Lpschtza który gwarantuje jednoznaczność rozwązana (Kncad Cheney 00). Rozważmy zatem rozwązywane równane w postac: de dx = S. (3.3) Załóżmy że przepływ odbywa sę na pozomym odcnku kanału prostokątnego o znacznej szerokośc. W takej sytuacj promeń hydraulczny w przyblżenu jest równy głębokośc (Czetwertyńsk Utrysko 969; Avazan 998): R. (3.4) Wykorzystajmy do określena spadku ln energ formułę Darcy-Wesbacha: S Q λ (3.5) 8g A R = gdze A = B jest powerzchną przekroju czynnego. Uwzględnając warunek (3.4) wzór (3.5) uprośc sę do następującej postac: S Q λ = 8g B 3. (3.6) Załóżmy następne że analzujemy dwa przekroje położone blsko sebe a chropowatość kanału jest stała zarówno na jego długośc jak głębokośc (rys. 3.). 40

43 4 Rys. 3.. Rozważany odcnek kanału. Poneważ rozważamy przepływ wolnozmenny współczynnk oporów w obu analzowanych przekrojach pownen meć bardzo zblżone wartośc. Zatem zasadne jest założene ż współczynnk oporów mędzy dwoma blsko położonym przekrojam jest stały. = const λ Przy powyższych założenach nerówność Lpschtza (Kncad Cheney 00) przyjme postać: g U g U L x f x f ) ( ) ( α α. (3.7) Przy małej odległośc mędzy przekrojam można przyjąć że średne prędkośc w nch ne różną sę stotne. Można węc założyć że: 0 g U g U α α. (3.8) W rezultace nerówność Lpschtza upraszcza sę: ) ( ) ( L x f x f (3.9) a po uwzględnenu defncj prawej strony równana energ (3.3) przyjmuje postać: ) ( L S S. (3.30) Po wstawenu wzoru opsującego spadek ln energ otrzymujemy relację: L B g Q B g Q λ λ. (3.3) Jej nterpretacja będze łatwejsza jeśl dokonamy dalszych przekształceń. W tym celu wyłączamy wartośc stałe przed moduł oraz porządkujemy:

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW

SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODĄ PROPAGACJI ROZKŁADÓW Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskego 8, 04-703 Warszawa tel.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB

Rozwiązywanie zadań optymalizacji w środowisku programu MATLAB Rozwązywane zadań optymalzacj w środowsku programu MATLAB Zagadnene optymalzacj polega na znajdowanu najlepszego, względem ustalonego kryterum, rozwązana należącego do zboru rozwązań dopuszczalnych. Standardowe

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch

Za: Stanisław Latoś, Niwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwiczenia z geodezji II [red.] J. Beluch Za: Stansław Latoś, Nwelacja trygonometryczna, [w:] Ćwczena z geodezj II [red.] J. eluch 6.1. Ogólne zasady nwelacj trygonometrycznej. Wprowadzene Nwelacja trygonometryczna, zwana równeż trygonometrycznym

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A II. Strona 1 z 5 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Krytera ocenana odpowedz Arkusz A II Strona 1 z 5 Odpowedz Pytane 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Odpowedź D C C A B 153 135 232 333 Zad. 10. (0-3) Dana jest funkcja postac. Korzystając

Bardziej szczegółowo

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A

Analiza rodzajów skutków i krytyczności uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 1629A Analza rodzajów skutków krytycznośc uszkodzeń FMECA/FMEA według MIL STD - 629A Celem analzy krytycznośc jest szeregowane potencjalnych rodzajów uszkodzeń zdentyfkowanych zgodne z zasadam FMEA na podstawe

Bardziej szczegółowo

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne XXX OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadane dośwadczalne ZADANIE D Nazwa zadana: Maszyna analogowa. Dane są:. doda półprzewodnkowa (krzemowa) 2. opornk dekadowy (- 5 Ω ), 3. woltomerz cyfrowy, 4. źródło napęca

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ

SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ Jan JANKOWSKI *), Maran BOGDANIUK *),**) SYMULACJA KOMPUTEROWA NAPRĘŻEŃ DYNAMICZNYCH WE WRĘGACH MASOWCA NA FALI NIEREGULARNEJ W referace przedstawono równana ruchu statku w warunkach falowana morza oraz

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 6 Regresja i linie regresji ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 6 Regresja lne regresj ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 Funkcja regresj I rodzaju cechy Y zależnej

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ],

STATECZNOŚĆ SKARP. α - kąt nachylenia skarpy [ o ], φ - kąt tarcia wewnętrznego gruntu [ o ], STATECZNOŚĆ SKARP W przypadku obektu wykonanego z gruntów nespostych zaprojektowane bezpecznego nachylena skarp sprowadza sę do przekształcena wzoru na współczynnk statecznośc do postac: tgφ tgα = n gdze:

Bardziej szczegółowo

Zadane 1: Wyznacz średne ruchome 3-okresowe z następujących danych obrazujących zużyce energ elektrycznej [kwh] w pewnym zakładze w mesącach styczeń - lpec 1998 r.: 400; 410; 430; 40; 400; 380; 370. Zadane

Bardziej szczegółowo

Proces narodzin i śmierci

Proces narodzin i śmierci Proces narodzn śmerc Jeżel w ewnej oulacj nowe osobnk ojawają sę w sosób losowy, rzy czym gęstość zdarzeń na jednostkę czasu jest stała w czase wynos λ, oraz lczba osobnków n, które ojawły sę od chwl do

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY METODĄ STOKESA. Ops teoretyczny do ćwczena zameszczony jest na strone www.wtc.wat.edu.pl w dzale DYDAKTYKA FIZYKA ĆWICZENIA LABORATORYJNE.. Ops układu pomarowego

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np.

W praktyce często zdarza się, że wyniki obu prób możemy traktować jako. wyniki pomiarów na tym samym elemencie populacji np. Wykład 7 Uwaga: W praktyce często zdarza sę, że wynk obu prób możemy traktować jako wynk pomarów na tym samym elemence populacj np. wynk x przed wynk y po operacj dla tego samego osobnka. Należy wówczas

Bardziej szczegółowo

dy dx stąd w przybliżeniu: y

dy dx stąd w przybliżeniu: y Przykłady do funkcj nelnowych funkcj Törnqusta Proszę sprawdzć uzasadnć, które z podanych zdań są prawdzwe, a które fałszywe: Przykład 1. Mesęczne wydatk na warzywa (y, w jednostkach penężnych, jp) w zależnośc

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny

Bardziej szczegółowo

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie

Proste modele ze złożonym zachowaniem czyli o chaosie Proste modele ze złożonym zachowanem czyl o chaose 29 kwetna 2014 Komputer jest narzędzem coraz częścej stosowanym przez naukowców do ukazywana skrzętne ukrywanych przez naturę tajemnc. Symulacja, obok

Bardziej szczegółowo

WikiWS For Business Sharks

WikiWS For Business Sharks WkWS For Busness Sharks Ops zadana konkursowego Zadane Opracowane algorytmu automatyczne przetwarzającego zdjęce odręczne narysowanego dagramu na tablcy lub kartce do postac wektorowej zapsanej w formace

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne

Systemy Ochrony Powietrza Ćwiczenia Laboratoryjne ś POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT INŻYNIERII ŚRODOWISKA PROWADZĄCY: mgr nż. Łukasz Amanowcz Systemy Ochrony Powetrza Ćwczena Laboratoryjne 2 TEMAT ĆWICZENIA: Oznaczane lczbowego rozkładu lnowych projekcyjnych

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania.

Modelowanie komputerowe fraktalnych basenów przyciągania. Modelowane komputerowe fraktalnych basenów przycągana. Rafał Henryk Kartaszyńsk Unwersytet Mar Cure-Skłodowskej Pl. M. Cure-Skłodowskej 1, 0-031 Lubln, Polska Streszczene. W artykule tym zajmujemy sę prostym

Bardziej szczegółowo

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja)

Analiza danych OGÓLNY SCHEMAT. http://zajecia.jakubw.pl/ Dane treningowe (znana decyzja) Klasyfikator. Dane testowe (znana decyzja) Analza danych Dane trenngowe testowe. Algorytm k najblższych sąsadów. Jakub Wróblewsk jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajeca.jakubw.pl/ OGÓLNY SCHEMAT Mamy dany zbór danych podzelony na klasy decyzyjne, oraz

Bardziej szczegółowo

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO

3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STAŁEGO I PRZEMIENNEGO 3. ŁUK ELEKTRYCZNY PRĄDU STŁEGO I PRZEMIENNEGO 3.1. Cel zakres ćwczena Celem ćwczena jest zapoznane sę z podstawowym właścwoścam łuku elektrycznego palącego sę swobodne, w powetrzu o cśnentmosferycznym.

Bardziej szczegółowo

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji.

Opracowanie metody predykcji czasu życia baterii na obiekcie i oceny jej aktualnego stanu na podstawie analizy bieżących parametrów jej eksploatacji. Zakład Systemów Zaslana (Z-5) Opracowane nr 323/Z5 z pracy statutowej pt. Opracowane metody predykcj czasu życa bater na obekce oceny jej aktualnego stanu na podstawe analzy beżących parametrów jej eksploatacj.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA

5. OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA . OPTYMALIZACJA GRAFOWO-SIECIOWA Defncja grafu Pod pojęcem grafu G rozumemy następującą dwójkę uporządkowaną (defncja grafu Berge a): (.) G W,U gdze: W zbór werzchołków grafu, U zbór łuków grafu, U W W,

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Wykład 2

Natalia Nehrebecka. Wykład 2 Natala Nehrebecka Wykład . Model lnowy Postad modelu lnowego Zaps macerzowy modelu lnowego. Estymacja modelu Wartośd teoretyczna (dopasowana) Reszty 3. MNK przypadek jednej zmennej . Model lnowy Postad

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda

BADANIA OPERACYJNE. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności. dr Adam Sojda BADANIA OPERACYJNE Podejmowane decyzj w warunkach nepewnośc dr Adam Sojda Teora podejmowana decyzj gry z naturą Wynk dzałana zależy ne tylko od tego, jaką podejmujemy decyzję, ale równeż od tego, jak wystąp

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 15. ALGORYTMY GENETYCZNE Częstochowa 014 Dr hab. nż. Grzegorz Dudek Wydzał Elektryczny Poltechnka Częstochowska TERMINOLOGIA allele wartośc, waranty genów, chromosom - (naczej

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń.

Wykład 1 Zagadnienie brzegowe liniowej teorii sprężystości. Metody rozwiązywania, metody wytrzymałości materiałów. Zestawienie wzorów i określeń. Wykład Zagadnene brzegowe lnowe teor sprężystośc. Metody rozwązywana, metody wytrzymałośc materałów. Zestawene wzorów określeń. Układ współrzędnych Kartezańsk, prostokątny. Ose x y z oznaczono odpowedno

Bardziej szczegółowo

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia,

Metody gradientowe poszukiwania ekstremum. , U Ŝądana wartość napięcia, Metody gradentowe... Metody gradentowe poszukwana ekstremum Korzystają z nformacj o wartośc funkcj oraz jej gradentu. Wykazując ch zbeŝność zakłada sę, Ŝe funkcja celu jest ogranczona od dołu funkcją wypukłą

Bardziej szczegółowo

AUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID

AUTOMATYKA I STEROWANIE W CHŁODNICTWIE, KLIMATYZACJI I OGRZEWNICTWIE L3 STEROWANIE INWERTEROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W TRYBIE PD ORAZ PID ĆWICZENIE LABORAORYJNE AUOMAYKA I SEROWANIE W CHŁODNICWIE, KLIMAYZACJI I OGRZEWNICWIE L3 SEROWANIE INWEREROWYM URZĄDZENIEM CHŁODNICZYM W RYBIE PD ORAZ PID Wersja: 03-09-30 -- 3.. Cel ćwczena Celem ćwczena

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH

PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH PODSTAWA WYMIARU ORAZ WYSOKOŚĆ EMERYTURY USTALANEJ NA DOTYCHCZASOWYCH ZASADACH Z a k ł a d U b e z p e c z e ń S p o ł e c z n y c h Wprowadzene Nnejsza ulotka adresowana jest zarówno do osób dopero ubegających

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3

Natalia Nehrebecka. Zajęcia 3 St ł Cchock Stansław C h k Natala Nehrebecka Zajęca 3 1. Dobroć dopasowana równana regresj. Współczynnk determnacj R Dk Dekompozycja warancj zmennej zależnej ż Współczynnk determnacj R. Zmenne cągłe a

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Inżynerska dr hab. nż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE Zmenna losowa, Funkcja rozkładu, Funkcja gęstośc, Dystrybuanta, Charakterystyk zmennej, Funkcje

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA 46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych

Zastosowanie symulatora ChemCad do modelowania złożonych układów reakcyjnych procesów petrochemicznych NAFTA-GAZ styczeń 2011 ROK LXVII Anna Rembesa-Śmszek Instytut Nafty Gazu, Kraków Andrzej Wyczesany Poltechnka Krakowska, Kraków Zastosowane symulatora ChemCad do modelowana złożonych układów reakcyjnych

Bardziej szczegółowo

2012-10-11. Definicje ogólne

2012-10-11. Definicje ogólne 0-0- Defncje ogólne Logstyka nauka o przepływe surowców produktów gotowych rodowód wojskowy Utrzyywane zapasów koszty zwązane.n. z zarożene kaptału Brak w dostawach koszty zwązane.n. z przestoje w produkcj

Bardziej szczegółowo

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany

ELEKTROCHEMIA. ( i = i ) Wykład II b. Nadnapięcie Równanie Buttlera-Volmera Równania Tafela. Wykład II. Równowaga dynamiczna i prąd wymiany Wykład II ELEKTROCHEMIA Wykład II b Nadnapęce Równane Buttlera-Volmera Równana Tafela Równowaga dynamczna prąd wymany Jeśl układ jest rozwarty przez elektrolzer ne płyne prąd, to ne oznacza wcale, że na

Bardziej szczegółowo

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz

NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII. Wprowadzenie. Tadeusz Kwilosz NAFTA-GAZ marzec 2011 ROK LXVII Tadeusz Kwlosz Instytut Nafty Gazu, Oddzał Krosno Zastosowane metody statystycznej do oszacowana zapasu strategcznego PMG, z uwzględnenem nepewnośc wyznaczena parametrów

Bardziej szczegółowo

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale

Bardziej szczegółowo

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji

Wykład IX Optymalizacja i minimalizacja funkcji Wykład IX Optymalzacja mnmalzacja funkcj Postawene zadana podstawowe dee jego rozwązana Proste metody mnmalzacj Metody teracj z wykorzystanem perwszej pochodnej Metody teracj z wykorzystanem drugej pochodnej

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona

Wyznaczanie długości fali światła metodą pierścieni Newtona 013 Katedra Fzyk SGGW Ćwczene 368 Nazwsko... Data... Nr na lśce... Imę... Wydzał... Dzeń tyg.... Ćwczene 368: Godzna.... Wyznaczane długośc fal śwatła metodą perścen Newtona Cechowane podzałk okularu pomarowego

Bardziej szczegółowo

AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ

AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII INII NOŚNEJ Prawo Bota-Savarta Pole prędkośc ndukowanej przez lnę (nć) wrową o cyrkulacj może być wyznaczone przy użycu formuły Bota-Savarta

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 ZESZYTY NAUKOWE NSTYTUTU POJAZDÓW 5(96)/2013 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANE MASOWEGO MOMENTU BEZWŁADNOŚC WZGLĘDEM OS PODŁUŻNEJ DLA SAMOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWE WZORÓW DOŚWADCZALNYCH 1. Wstęp

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam

Bardziej szczegółowo

Metody badań kamienia naturalnego: Oznaczanie współczynnika nasiąkliwości kapilarnej

Metody badań kamienia naturalnego: Oznaczanie współczynnika nasiąkliwości kapilarnej Metody badań kaena naturalnego: Oznaczane współczynnka nasąklwośc kaplarnej 1. Zasady etody Po wysuszenu do stałej asy, próbkę do badana zanurza sę w wodze jedną z powerzchn (ngdy powerzchną obrabaną)

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012

ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 2(88)/2012 ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW (88)/01 Hubert Sar, Potr Fundowcz 1 WYZNACZANIE ASOWEGO OENTU BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDE OSI PIONOWEJ DLA SAOCHODU TYPU VAN NA PODSTAWIE WZORU EPIRYCZNEGO 1. Wstęp asowy moment

Bardziej szczegółowo

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie.

Zapis informacji, systemy pozycyjne 1. Literatura Jerzy Grębosz, Symfonia C++ standard. Harvey M. Deitl, Paul J. Deitl, Arkana C++. Programowanie. Zaps nformacj, systemy pozycyjne 1 Lteratura Jerzy Grębosz, Symfona C++ standard. Harvey M. Detl, Paul J. Detl, Arkana C++. Programowane. Zaps nformacj w komputerach Wszystke elementy danych przetwarzane

Bardziej szczegółowo

Laboratorium ochrony danych

Laboratorium ochrony danych Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz

Bardziej szczegółowo

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE

PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE PROSTO O DOPASOWANIU PROSTYCH, CZYLI ANALIZA REGRESJI LINIOWEJ W PRAKTYCE Janusz Wątroba, StatSoft Polska Sp. z o.o. W nemal wszystkch dzedznach badań emprycznych mamy do czynena ze złożonoścą zjawsk procesów.

Bardziej szczegółowo

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu

Kształtowanie się firm informatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu PRACE KOMISJI GEOGRAFII PRZEMY SŁU Nr 7 WARSZAWA KRAKÓW 2004 Akadema Pedagogczna, Kraków Kształtowane sę frm nformatycznych jako nowych elementów struktury przestrzennej przemysłu Postępujący proces rozwoju

Bardziej szczegółowo

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki

METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW. dr hab. inż. Mariusz B. Bogacki Metody Planowana Eksperymentów Rozdzał 1. Strona 1 z 14 METODY PLANOWANIA EKSPERYMENTÓW dr hab. nż. Marusz B. Bogack Marusz.Bogack@put.poznan.pl www.fct.put.poznan.pl/cv23.htm Marusz B. Bogack 1 Metody

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja belki wspornikowej

Optymalizacja belki wspornikowej Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2. Parametry statyczne tranzystorów bipolarnych

Ćwiczenie 2. Parametry statyczne tranzystorów bipolarnych Ćwczene arametry statyczne tranzystorów bpolarnych el ćwczena odstawowym celem ćwczena jest poznane statycznych charakterystyk tranzystorów bpolarnych oraz metod dentyfkacj parametrów odpowadających m

Bardziej szczegółowo

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości

± Δ. Podstawowe pojęcia procesu pomiarowego. x rzeczywiste. Określenie jakości poznania rzeczywistości Podstawowe pojęca procesu pomarowego kreślene jakośc poznana rzeczywstośc Δ zmerzone rzeczywste 17 9 Zalety stosowana elektrycznych przyrządów 1/ 1. możlwość budowy czujnków zamenających werne każdą welkość

Bardziej szczegółowo

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH

DIAGNOSTYKA WYMIENNIKÓW CIEPŁA Z UWIARYGODNIENIEM WYNIKÓW POMIARÓW EKPLOATACYJNYCH RYNEK CIEŁA 03 DIANOSYKA YMIENNIKÓ CIEŁA Z UIARYODNIENIEM YNIKÓ OMIARÓ EKLOAACYJNYCH Autorzy: rof. dr hab. nż. Henryk Rusnowsk Dr nż. Adam Mlejsk Mgr nż. Marcn ls Nałęczów, 6-8 paźdzernka 03 SĘ Elementam

Bardziej szczegółowo

Analiza struktury zbiorowości statystycznej

Analiza struktury zbiorowości statystycznej Analza struktury zborowośc statystycznej.analza tendencj centralnej. Średne klasyczne Średna arytmetyczna jest parametrem abstrakcyjnym. Wyraża przecętny pozom badanej zmennej (cechy) w populacj generalnej:

Bardziej szczegółowo

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00

Współczynnik przenikania ciepła U v. 4.00 Współczynnk przenkana cepła U v. 4.00 1 WYMAGANIA Maksymalne wartośc współczynnków przenkana cepła U dla ścan, stropów, stropodachów, oken drzw balkonowych podano w załącznku do Rozporządzena Mnstra Infrastruktury

Bardziej szczegółowo

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY. Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA

PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY. Zakład Budowy i Eksploatacji Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA W PILE INSTYTUT POLITECHNICZNY Zakład Budowy Eksploatacj Maszyn PRACOWNIA TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ INSTRUKCJA Temat ćwczena: PRAKTYCZNA REALIZACJA PRZEMIANY ADIABATYCZNEJ.

Bardziej szczegółowo

65120/ / / /200

65120/ / / /200 . W celu zbadana zależnośc pomędzy płcą klentów ch preferencjam, wylosowano kobet mężczyzn zadano m pytane: uważasz za lepszy produkt frmy A czy B? Wynk były następujące: Odpowedź Kobety Mężczyźn Wolę

Bardziej szczegółowo

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20

BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG20 Darusz Letkowsk Unwersytet Łódzk BADANIE STABILNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA BETA AKCJI INDEKSU WIG0 Wprowadzene Teora wyboru efektywnego portfela nwestycyjnego zaproponowana przez H. Markowtza oraz jej rozwnęca

Bardziej szczegółowo

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4.

Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe. Modele wieloczynnikowe ogólne. α β β β ε. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 4. Modele weloczynnkowe Analza Zarządzane Portfelem cz. 4 Ogólne model weloczynnkowy można zapsać jako: (,...,,..., ) P f F F F = n Dr Katarzyna Kuzak lub (,...,,..., ) f F F F = n Modele weloczynnkowe Można

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Optymalizacja Modelowane oblczena technczne Metody numeryczne w modelowanu: Optymalzacja Zadane optymalzacj Optymalzacja to ulepszane lub poprawa jakośc danego rozwązana, projektu, opracowana. Celem optymalzacj jest

Bardziej szczegółowo

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA

Problemy jednoczesnego testowania wielu hipotez statystycznych i ich zastosowania w analizie mikromacierzy DNA Problemy jednoczesnego testowana welu hpotez statystycznych ch zastosowana w analze mkromacerzy DNA Konrad Furmańczyk Katedra Zastosowań Matematyk SGGW Plan referatu Testowane w analze mkromacerzy DNA

Bardziej szczegółowo

Jakość cieplna obudowy budynków - doświadczenia z ekspertyz

Jakość cieplna obudowy budynków - doświadczenia z ekspertyz dr nż. Robert Geryło Jakość ceplna obudowy budynków - dośwadczena z ekspertyz Wdocznym efektem występowana znaczących mostków ceplnych w obudowe budynku, występującym na ogół przy nedostosowanu ntensywnośc

Bardziej szczegółowo

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ

Hipotezy o istotności oszacowao parametrów zmiennych objaśniających ˆ ) ˆ WERYFIKACJA HIPOTEZY O ISTOTNOŚCI OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU Hpoezy o sonośc oszacowao paramerów zmennych objaśnających Tesowane sonośc paramerów zmennych objaśnających sprowadza sę do nasępującego

Bardziej szczegółowo

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r.

Minister Edukacji Narodowej Pani Katarzyna HALL Ministerstwo Edukacji Narodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 Warszawa Dnia 03 czerwca 2009 r. Mnster Edukacj arodowej Pan Katarzyna HALL Mnsterstwo Edukacj arodowej al. J. Ch. Szucha 25 00-918 arszawa Dna 03 czerwca 2009 r. TEMAT: Propozycja zmany art. 30a ustawy Karta auczycela w forme lstu otwartego

Bardziej szczegółowo

Metody predykcji analiza regresji

Metody predykcji analiza regresji Metody predykcj analza regresj TPD 008/009 JERZY STEFANOWSKI Instytut Informatyk Poltechnka Poznańska Przebeg wykładu. Predykcja z wykorzystanem analzy regresj.. Przypomnene wadomośc z poprzednch przedmotów..

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup

Plan wykładu: Typowe dane. Jednoczynnikowa Analiza wariancji. Zasada: porównać zmienność pomiędzy i wewnątrz grup Jednoczynnkowa Analza Waranc (ANOVA) Wykład 11 Przypomnene: wykłady zadana kursu były zaczerpnęte z podręcznków: Statystyka dla studentów kerunków techncznych przyrodnczych, J. Koronack, J. Melnczuk, WNT

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 1 Statystyka opisowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 1 Statystyka opsowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowedź (tylko jedna jest prawdzwa). Pytane 1 W statystyce opsowej mamy pełne nformacje

Bardziej szczegółowo

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego

Zmodyfikowana technika programowania dynamicznego Zmodyfkowana technka programowana dynamcznego Lech Madeysk 1, Zygmunt Mazur 2 Poltechnka Wrocławska, Wydzał Informatyk Zarządzana, Wydzałowy Zakład Informatyk Wybrzeże Wyspańskego 27, 50-370 Wrocław Streszczene.

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całki pojedyncze CAŁKOWANIE NUMERYCZNE całk pojedyncze Kwadratury nterpolacyjne Kwadratury nterpolacyjne Rozpatrujemy funkcję f() cągłą ogranczoną w przedzale domknętym [a, b]. Przedzał [a, b] dzelmy na skończoną lczbę

Bardziej szczegółowo

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA

KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA KRZYWA BÉZIERA TWORZENIE I WIZUALIZACJA KRZYWYCH PARAMETRYCZNYCH NA PRZYKŁADZIE KRZYWEJ BÉZIERA Krzysztof Serżęga Wyższa Szkoła Informatyk Zarządzana w Rzeszowe Streszczene Artykuł porusza temat zwązany

Bardziej szczegółowo

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej:

Model ISLM. Inwestycje - w modelu ISLM przyjmujemy, że inwestycje przyjmują postać funkcji liniowej: dr Bartłomej Rokck Ćwczena z Makroekonom I Model ISLM Podstawowe założena modelu: penądz odgrywa ważną rolę przy determnowanu pozomu dochodu zatrudnena nwestycje ne mają charakteru autonomcznego, a ch

Bardziej szczegółowo

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego

Portfele zawierające walor pozbawiony ryzyka. Elementy teorii rynku kapitałowego Portel nwestycyjny ćwczena Na podst. Wtold Jurek: Konstrukcja analza rozdzał 5 dr chał Konopczyńsk Portele zawerające walor pozbawony ryzyka. lementy teor rynku kaptałowego 1. Pożyczane penędzy amy dwa

Bardziej szczegółowo

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru

Teoria niepewności pomiaru (Rachunek niepewności pomiaru) Rodzaje błędów pomiaru Pomary fzyczne - dokonywane tylko ze skończoną dokładnoścą. Powodem - nedoskonałość przyrządów pomarowych neprecyzyjność naszych zmysłów borących udzał w obserwacjach. Podawane samego tylko wynku pomaru

Bardziej szczegółowo

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania

Wielokryterialny Trójwymiarowy Problem Pakowania Łukasz Kacprzak, Jarosław Rudy, Domnk Żelazny Instytut Informatyk, Automatyk Robotyk, Poltechnka Wrocławska Welokryteralny Trójwymarowy Problem Pakowana 1. Wstęp Problemy pakowana należą do klasy NP-trudnych

Bardziej szczegółowo

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli)

Model ASAD. ceny i płace mogą ulegać zmianom (w odróżnieniu od poprzednio omawianych modeli) Model odstawowe założena modelu: ceny płace mogą ulegać zmanom (w odróżnenu od poprzedno omawanych model) punktem odnesena analzy jest obserwacja pozomu produkcj cen (a ne stopy procentowej jak w modelu

Bardziej szczegółowo

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc

Bardziej szczegółowo

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ

1. SPRAWDZENIE WYSTEPOWANIA RYZYKA KONDENSACJI POWIERZCHNIOWEJ ORAZ KONDENSACJI MIĘDZYWARSTWOWEJ W ŚCIANIE ZEWNĘTRZNEJ Ćwczene nr 1 cz.3 Dyfuzja pary wodnej zachodz w kerunku od środowska o wyższej temperaturze do środowska chłodnejszego. Para wodna dyfundująca przez przegrody budowlane w okrese zmowym napotyka na coraz

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn

Wyznaczanie współczynnika sztywności zastępczej układu sprężyn Wyznaczane zastępczej sprężyn Ćwczene nr 10 Wprowadzene W przypadku klku sprężyn ze sobą połączonych, można mu przypsać tzw. współczynnk zastępczej k z. W skrajnych przypadkach sprężyny mogą być ze sobą

Bardziej szczegółowo

EUROELEKTRA. Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej. Rok szkolny 2013/2014

EUROELEKTRA. Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej. Rok szkolny 2013/2014 EUROELEKTRA Ogólnopolska Olmpada Wedzy Elektrycznej Elektroncznej Rok szkolny 232 Zadana z elektronk na zawody III stopna (grupa elektronczna) Zadane. Oblczyć wzmocnene napęcowe, rezystancję wejścową rezystancję

Bardziej szczegółowo

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów.

METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównanie obiektów przy ocenie wielokryterialnej. Ranking obiektów. Opracowane: Dorota Mszczyńska METODA UNITARYZACJI ZEROWANEJ Porównane obektów przy ocene welokryteralnej. Rankng obektów. Porównane wybranych obektów (warantów decyzyjnych) ze względu na różne cechy (krytera)

Bardziej szczegółowo

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO

WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI NA NIEPEWNOŚĆ WYNIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO Walenty OWIECZKO WPŁYW PARAMETRÓW DYSKRETYZACJI A IEPEWOŚĆ WYIKÓW POMIARU OBIEKTÓW OBRAZU CYFROWEGO STRESZCZEIE W artykule przedstaono ynk analzy nepenośc pomaru ybranych cech obektu obrazu cyfroego. Wyznaczono

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE

TRANZYSTOR BIPOLARNY CHARAKTERYSTYKI STATYCZNE POLITHNIKA RZSZOWSKA Katedra Podstaw lektronk Instrkcja Nr4 F 00/003 sem. letn TRANZYSTOR IPOLARNY HARAKTRYSTYKI STATYZN elem ćwczena jest pomar charakterystyk statycznych tranzystora bpolarnego npn lb

Bardziej szczegółowo

Michal Strzeszewski Piotr Wereszczynski. poradnik. Norma PN-EN 12831. Nowa metoda. obliczania projektowego. obciazenia cieplnego

Michal Strzeszewski Piotr Wereszczynski. poradnik. Norma PN-EN 12831. Nowa metoda. obliczania projektowego. obciazenia cieplnego Mchal Strzeszewsk Potr Wereszczynsk Norma PN-EN 12831 Nowa metoda oblczana projektowego. obcazena ceplnego poradnk Mchał Strzeszewsk Potr Wereszczyńsk Norma PN EN 12831 Nowa metoda oblczana projektowego

Bardziej szczegółowo

3.1. ODZIAŁYWANIE DŹWIĘKÓW NA CZŁOWIEKA I OTOCZENIE

3.1. ODZIAŁYWANIE DŹWIĘKÓW NA CZŁOWIEKA I OTOCZENIE 3. KRYTERIA OCENY HAŁASU I DRGAŃ Hałas to każdy dźwęk nepożądany, przeszkadzający, nezależne od jego natury, kontekstu znaczena. Podobne rzecz sę ma z drganam. Oba te zjawska oddzałują nekorzystne na człoweka

Bardziej szczegółowo

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU

STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Ewa Szymank Katedra Teor Ekonom Akadema Ekonomczna w Krakowe ul. Rakowcka 27, 31-510 Kraków STARE A NOWE KRAJE UE KONKURENCYJNOŚĆ POLSKIEGO EKSPORTU Abstrakt Artykuł przedstawa wynk badań konkurencyjnośc

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *)

ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) Wojcech KRAJEWSKI ANALIZA DOKŁADNOŚCI WYBRANYCH TECHNIK CAŁKOWO-BRZEGOWYCH W KONTEKŚCIE MODELOWANIA ZAGADNIEŃ EMC NISKIEJ CZĘSTOTLIWOŚCI *) STRESZCZENIE W artykule przeprowadzono analzę dokładnośc metod:

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO

OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POBLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 81 Electrcal Engneerng 015 Mkołaj KSIĄŻKIEWICZ* OPTYMALIZACJA WARTOŚCI POLA MAGNETYCZNEGO W POLIŻU LINII NAPOWIETRZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Przepływ w korytach otwartych. kanał otwarty przepływ ze swobodną powierzchnią

Przepływ w korytach otwartych. kanał otwarty przepływ ze swobodną powierzchnią Przepływ w korytach otwartych kanał otwarty przepływ ze swobodną powierzchnią Przepływ w korytach otwartych Przewody otwarte dzielimy na: Naturalne rzeki strumienie potoki Sztuczne kanały komunikacyjne

Bardziej szczegółowo